MG_operatori - Appuntiunito

Alcuni operatori dierenziali
Nel seguito diamo le definizioni di alcuni operatori dierenziali del primo ordine (operatori che
agiscono su un campo, scalare o vettoriale, producendone un altro tramite derivazione prima)
e ricaviamo un paio di loro proprietà algebriche immediate.
Osserviamo subito che, agendo tramite derivazione prima, gli operatori dierenziali del
primo ordine abbassano di un’unità l’ordine di regolarità dei campi su cui agiscono, ossia producono un campo di classe C k31 se applicati ad un campo di classe C k .
denoterà sempre un aperto di Rn , n 2.
Definizione 1 Si chiama gradiente di un campo scalare f 5 C k () il campo vettoriale uf 5
C k31 () definito da
uf :=
Cf
Cf
, ...,
Cx1
Cxn
.
Definizione 2 Si chiama divergenza di un campo vettoriale F = (F1 , ..., Fn ) 5 C k () il
campo scalare div F 5 C k31 () definito da
div F := u · F :=
n
[
CFi
i=1
Cxi
=
CF1
CFn
+ ... +
.
Cx1
Cxn
Definizione 3 Se n = 2, si chiama rotore di un campo vettoriale F = (F1 , F2 ) 5 C k () il
campo scalare rot F 5 C k31 () definito da
rot F :=
CF2 CF1
.
Cx1
Cx2
Se n = 3, si chiama rotore di un campo vettoriale F = (F1 , F2 , F3 ) 5 C k () il campo vettoriale
rot F 5 C k31 () definito dal determinante formale
i
j
k
CF3 CF2 CF1 CF3 CF2 CF1
Y
Y
Y
,
,
rot F := u a F := Yx Yx Yx =
.
2
3
Cx2
Cx3 Cx3
Cx1 Cx1
Cx2
1
F1 F2 F3 Si noti che il campo rot (F1 , F2 ) può essere ottenuto come unica componente non necessariamente nulla di
i
j
k CF2 CF1
Y
Y
Y
= 0, 0,
,
rot (F1 , F2 , 0) = Yx1
Yx2
Yx3 Cx1
Cx2
F1 (x1 , x2 ) F2 (x1 , x2 ) 0 1
ovvero come determinante formale
Y Y
rot (F1 , F2 ) = Yx1 Yx2
F1 F2
CF
CF1
2
.
=
Cx1
Cx2
Le seguenti proprietà algebriche sono immediate conseguenze del teorema di Schwarz sull’invertibilità dell’ordine di derivazione per funzioni di classe C 2 .
Proprieta’ 4 Per ogni campo scalare f 5 C 2 () risulta rot uf 0 .
Dimostrazione Se f 5 C 2 () (campo scalare) allora uf 5 C 1 () (campo vettoriale) e quindi
ha senso calcolare rot uf .
Se n = 2, risulta
rot uf = rot (fx1 , fx2 ) =
Cfx2
Cfx1
C2f
C2f
=
=0
Cx1
Cx2
Cx1 Cx2 Cx2 Cx1
per il teorema di Schwarz sullo scambio dell’ordine di derivazione.
Se n = 3, risulta
j k i
Cfx3
Cfx2 Cfx1
Cfx3 Cfx2
Cfx1
Y
Y
Y
,
,
rot uf = Yx Yx Yx =
2
3
Cx2
Cx3 Cx3
Cx1 Cx1
Cx2
1
fx1 fx2 fx3 e si conclude di nuovo tramite il teorema di Schwarz.
Proprieta’ 5 Se n = 3, per ogni campo vettoriale F 5 C 2 () risulta div rot F 0 .
Dimostrazione Se F 5 C 2 () (campo vettoriale) allora rot F 5 C 1 () (campo vettoriale,
perché n = 3) e quindi ha senso calcolare div rot F. Risulta
CF3 CF2 CF1 CF3 CF2 CF1
,
,
div rot F = div
Cx2
Cx3 Cx3
Cx1 Cx1
Cx2
CF3 CF2
CF1 CF3
CF2 CF1
C
C
C
=
+
+
Cx1 Cx2
Cx3
Cx2 Cx3
Cx1
Cx3 Cx1
Cx2
2
2
2
2
2
2
C F3
C F2
C F1
C F3
C F2
C F1
=
+
+
=0
Cx1 Cx2 Cx1 Cx3 Cx2 Cx3 Cx2 Cx1 Cx3 Cx1 Cx3 Cx2
per il teorema di Schwarz sullo scambio dell’ordine di derivazione.
2

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