07/04/2014
Acquisizione dati per segnali
dinamici
Modulo di Lezione 2
Misure di segnali dinamici
Altri effetti di “realizzazione”
realizzazione
Componentistica
Sistemi di acquisizione
[Non tutto il materiale trova corrispondenza sul Wheeler]
1
Allineamento nomenclatura
Contenuto armonico o spettro di un segnale
Funzione di trasferimento di un sistema
Guadagno di un sistema
Risposta in frequenza di un sistema
Ampiezza e fase di un segnale (FdT o RiF)
Banda o banda passante di un segnale
Segnali periodici
Contenuto in frequenza di segnali periodici e non
Decibel
Decade/Ottava
2
1
07/04/2014
Campionamento
Campionare un segnale significa prelevare da questo una successione
finita di dati costituita dalla sequenza dei valori istantanei assunti dal
segnale continuo in determinati tempi, detti istanti di campionamento.
L'intervallo che separa due successivi istanti di campionamento viene
chiamato periodo di campionamento, TC (TS o sampling time).
Il reciproco del periodo di campionamento, fC, prende il nome di
frequenza di campionamento, fC (fS o sampling frequency).
Tc=ΔT
3
Segnali analogici digitalizzati
Quindi il segnale digitalizzato è costituito da una funzione tempo
discreta, limitata e quantizzata, ovvero:
¾ definita solo in un numero finito di istanti ti, normalmente
equispaziati con passo dato dal tempo di campionamento,
equispaziati,
campionamento Tc o Δt;
t
¾ avente un codominio composto dai valori di , finiti e discreti, derivanti
dalla quantizzazione.
di = f ( niTc )
dove ni e di sono limitati e appartengono all'insieme Z
dei numeri interi.
4
2
07/04/2014
Il campionamento
La frequenza di campionamento viene definita dall’utente in funzione
delle esigenze della prova ed è molto minore della frequenza di
conversione dell’A/D (caratteristica dell’HW).
Prima di poter utilizzare il segnale campionato per un qualsiasi scopo
occorre rispondere ad un quesito fondamentale:
come possiamo essere sicuri che la perdita delle informazioni non faccia
perdere di significatività a quello che stiamo facendo?
Alternativamente:
come possiamo essere sicuri che il segnale campionato sia
completamente rappresentativo del segnale continuo?
Intuitivamente possiamo supporre che l’evoluzione del segnale tra due
istanti di campionamento debba essere «regolare»; ma se così non fosse
cosa succederebbe? Quali informazioni si perderebbero?
6
Il campionamento
Il campionamento provoca sempre una riduzione del contenuto
informativo presente nel segnale continuo: si perde l'informazione sul
valore assunto in tutti i tempi diversi dagli istanti di campionamento.
E
Esempi
i di quello
ll che
h puòò succedere
d campionando
i
d una sinusoide:
i
id
I due casi mostrano come il campionamento possa generare ambiguità
di interpretazione: i punti campionati appartengono ad entrambe le
sinusoidi.
Necessario stabilire i requisiti per un corretto campionamento, ovvero
per evitare perdita di informazioni importanti.
7
3
07/04/2014
Aliasing
Senza conoscere la sinusoide effettiva come appare il segnale?
t
t
Osservando solo le crocette, il segnale viene naturalmente interpretato
alla frequenza inferiore possibile: ambiguità nota come aliasing.
Sembra di avere a che fare con una sinusoide di una certa frequenza ma,
in realtà si tratta di una frequenza più elevata ma non adeguatamente
campionata.
Ciò può portare ad errori nell’interpretazione del contenuto in
frequenza del segnale originale.
Esempi:
¾ luci stroboscopiche;
¾ ruote di carri e automezzi al cinema.
8
Aliasing
Il fenomeno può essere descritto anche nel dominio delle frequenze.
Nel dominio delle frequenze il coseno è una linea spettrale collocata
alla frequenza corrispondente alla pulsazione/periodicità.
fapp<freale
fapp=0
f
f
La sinusoide a frequenza maggiore dovrebbe essere collocata nella
parte destra del diagramma, mentre appare in quella sinistra.
Il contributo energetico affetto da aliasing si sposta ad una
frequenza inferiore e si confonde con il contenuto in frequenza
eventualmente presente in quella parte dello spettro.
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4
07/04/2014
Aliasing
Consideriamo la generica sinusoide di frequenza f campionata con
passo TC =Δt (frequenza di campionamento fC). sin (2π f t )
Il tempo t al generico istante k-esimo
k esimo è dato da: tK =kΔt
kΔt.
⎛
f ⎞
sin ( 2π f t ) = sin ( 2π f k Δt ) = sin (π f k 2Δt ) = sin ⎜ π k
⎟
fC / 2 ⎠
⎝
Abbiamo quindi introdotto il rapporto tra la frequenza della sinusoide e
metà della frequenza di campionamento.
Che può essere riscritto come:
f
= p+q
fC / 2
In funzione di p e q che sono rispettivamente un numero intero e uno
frazionario:
⎛ f ⎞
⎛ f ⎞
p = int ⎜
⎟ ; q = mod ⎜
⎟
⎝ fC / 2 ⎠
⎝ fC / 2 ⎠
10
Aliasing
Ricordando che
f
= p+q
fC / 2
e quindi che f = ( p + q ) / 2Δt
E tenendo conto che il tempo è campionato, tK =kΔt, la funzione
sin soidale si trasforma:
sinusoidale
p+q
⎛
⎞
sin ( 2π f t ) = sin ( 2π f k Δt ) = sin ⎜ 2π
k Δt ⎟ = sin (π ( p + q )k )
2 Δt
⎝
⎠
= sin(π p k )cos(π q k ) + sin(π q k )cos(π p k )
poiché
otteniamo
sin(π p k ) ≡ 0 per ∀p e k
sin(2π f kΔt ) = sin(π q k )cos(π p k )
11
5
07/04/2014
Aliasing
sin(2π f t ) = sin(π qk )cos(π pk )
Se p è pari:
2Δt
⎛
sin(2π f k Δt ) = sin(π qk ) = sin ⎜ π qk
2Δt
⎝
q
⎛
⎞
k Δt ⎟ = sin ( 2π f1t )
sin ⎜ 2π
⎝ 2Δt
⎠
⎞
⎟=
⎠
Il segnale campionato, riportato al tempo continuo, si è
trasformato in una sinusoide con una frequenza apparente
diversa
d
ve sa da que
quella
a ooriginale
g a e:
q
f
f1 =
=q C
2Δt
2
12
Aliasing
sin(2π f t ) = sin(π qk )cos(π pk )
Se p è dispari:
sin(2π f kΔt ) = (−1) k sin(π q k ) = cos(π k )sin(π q k )
= cos(π k )sin(π q k ) -sin(π k )cos(π qk ) = sin (π (q − 1) k )
Poiché l’argomento è negativo, cambiamo segno per avere frequenze
positive:
2Δt ⎞
1− q ⎞
⎛
⎛
sin(2π f k Δt ) = −sin (π (1 − q ) k ) = −sin ⎜ π (1 − q ) k
⎟ = −sin ⎜ 2π k Δt
⎟
2Δt ⎠
2Δt ⎠
⎝
⎝
La funzione è sfasata di 180° ed anche in questo caso si ha una
1− q
f
frequenza apparente:
f2 =
= (1 − q ) C
2Δt
2
A differenza del caso precedente la pendenza è cambiata di segno
13
6
07/04/2014
Aliasing
Applichiamo queste formule a qualche esempio:
f=1025 Hz
Δt=TC=0.005 s (fC=200 Hz)
q
.25
pp
pari:
f1 =
=
= 255 Hz
2Δt 2 × .005
p=10 ; q=0.25
La funzione sinusoidale a 1025 Hz, campionata a 200 Hz, si è trasformata
in una sinusoide a 25 Hz
Caso p pari f= 1025, dt=0.0050, p=10, q=0.250
1
05
0.5
0
-0.5
-1
0
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
0.012 0.014 0.016 0.018
0.02
14
Aliasing
Campionamento con passo TC=0.0025s (fC=400 Hz)
f2 =
p dispari:
p
p=5; q=0.125
1 − q 1 − .125 .875
=
=
= 175 Hz
2Δt 2 × .0025
0025 .005
005
In questo caso la sinusoide a 1025 Hz si è trasformata in una sinusoide a
175 Hz per il campionamento a 400 Hz
Caso p dispari f= 1025, dt=0.0025, p= 5, q=0.125
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
0.012 0.014 0.016 0.018
0.02
15
7
07/04/2014
Aliasing
L’effetto su un tono affetto da aliasing dipende dal rapporto tra
frequenza del segnale e frequenza di campionamento.
Potremmo dire di avere un metodo p
per capire
p se c’è aliasing:
g
¾ campioniamo il segnale a due frequenze diverse;
¾ confrontiamo il contenuto in frequenza nei due casi;
¾ se la forma dello spettro non cambia allora il campionamento è
corretto altrimenti la modifica dello spettro evidenzia la presenza di
aliasing.
NON HA SENSO!
Il metodo «Trial and error» non è efficiente.
Spesso non è ragionevole ripetere l’esperimento.
Occorre essere in grado di lavorare senza commettere errori.
16
Aliasing
Per non avere ambiguità di rappresentazione, cioè per evitare
l’aliasing, p deve essere nullo, e poichè
⎛ f ⎞
p = int( f 2Δt ) = int ⎜
⎟
⎝ fC / 2 ⎠
il massimo valore di frequenza per cui il criterio è soddisfatto
corrisponde al limite su p, che è p=1
Ne risulta definito un limite in frequenza, detto frequenza di Nyquist:
f Lim =
1
fC = f N
2
Assegnata la ffrequenza dii campionamento
A
i
non sii ha aliasing
i i solo
per i segnali a frequenze inferiori alla frequenza di Nyquist
Il campionamento determina la banda passante dello strumento
«sistema di acquisizione dati»: 0 - fN
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8
07/04/2014
Teorema del campionamento
Quanto detto è sintetizzato nel teorema del campionamento (di
Shannon o di Nyquist) che detta la condizione per evitare l’aliasing
(condizione necessaria per un corretto campionamento):
Se:
un segnale è campionato con una frequenza almeno doppia
di quella a cui il suo contenuto armonico si annulla
Allora: il campionamento non introduce errori di aliasing
A
A(f<fN) ≠ 0
A(f>fN) = 0
fN
fS
Quindi: la banda limitata del segnale deve esistere naturalmente
o deve essere creata artificialmente
perché sia possibile identificare una fN che garantisca il corretto
campionamento.
18
Aliasing:
il diagramma di ripiegamento
o di folding
19
9
07/04/2014
Aliasing
f1 = q /(2Δt )
1− q
f2 =
2 Δt
Diamo un’interpretazione grafica alle relazioni viste.
S p è parii la
Se
l frequenza
f
apparente
t è:
è
quindi
e
f = ( p + q)
f1 = q /(2Δt )
1
1
1
=p
+q
= p f N + f1
2 Δt
2Δt
2 Δt
f1 = f − p f N (primo termine variabile, secondo costante)
La dipendenza della frequenza apparente da quella del segnale è lineare
(il coefficiente di f è unitario) e il valore è ridotto in maniera
discontinua di un contributo che dipende da p: p f N
20
fOsservata
(f1)
Campionamento
ideale
Caso di p pari
+f
Δf =
p
2Δt
Alias
FNyquist
Alias
fReale (f )
FNyquist
Campionamento
reale
0
1
2
3
4
p
21
10
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Aliasing
f2 =
Se p è dispari la frequenza apparente è:
Cioè:
f2 =
1− q
2 Δt
1− q
= f N − f1 = f N − f + p f N = ( p + 1) f N − f
2Δt
Quindi la frequenza apparente oltre ad avere sempre un valore ridotto
in maniera discontinua, ( p + 1) f N , ha una dipendenza dalla
frequenza del segnale f ancora lineare ma cambiata di segno, essendo
il suo moltiplicatore unitario e negativo.
22
fOsservata
(f2)
Caso di p dispari
FNyquist
Alias
FNyquist
0
Alias
fReale
R l (f )
Δf = ( p + 1) f N
1
2
−f
3
4
p
23
11
07/04/2014
Aliasing
Abbiamo ottenuto il diagramma di folding, o diagramma di
ripiegamento.
Campionamento reale
fOsservata
Alias
fNyquist
fNyquist
fReale
La frequenza osservata oscilla tra 0 e la frequenza di Nyquist in
funzione del rapporto della frequenza reale rispetto alla frequenza di
Nyquist stessa.
24
Come evitare l’aliasing
25
12
07/04/2014
Come evitare l’aliasing
L’errore di aliasing non è correggibile a posteriori (i filtri numerici
possono essere applicati per elaborare il segnale digitalizzato ma non
sono in grado di rimuovere l’aliasing).
Per evitare l’aliasing ci sono due possibilità:
¾inserire un filtro passa-basso (anti-aliasing) a monte del
convertitore A/D in modo da creare artificialmente una banda
limitata;
¾ l
¾alzare
la
l frequenza
f
di campionamento
i
t fC fino
fi ad
d ottenere
tt
il
rispetto del teorema di Nyquist (condizione da verificare).
26
Come evitare l’aliasing: filtri passa-basso
Cerchiamo di capire cosa significa attenuare e quanto serve attenuare
Consideriamo 3 sinusoidi di ampiezza unitaria e frequenze 2,5 e 42 Hz
4
2
0
-2
-4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1.5
1
0.5
0
27
13
07/04/2014
Come evitare l’aliasing
Avendo interesse per la banda fino a 25 Hz campioniamo a 50Hz
Avendo commesso aliasing, si ha questa situazione:
4
2
0
-2
-4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
E’ evidente la distorsione dovuta all’aliasing, sia nel tempo che in
frequenza,
28
Come evitare l’aliasing: filtri passa-basso
Cerchiamo di capire l’effetto di un filtraggio sulle frequenze in aliasing
4
Att. 99.9000
80.0000
90.0000
95.0000
98.0000
99.0000
99.5000
0.0000 0.0000
-13.9794
-20.0000
-26.0206
-33.9794
-40.0000
-46.0206
-60.0000
dB dB
2
0
-2
-4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
Da un certo livello di attenuazione la qualità del risultato non migliora
29
14
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Come evitare l’aliasing: filtri passa-basso
Rendiamo più realistico il segnale sporcandolo con un rumore (5%)
4
Att. 99.9000
80.0000
90.0000
95.0000
98.0000
99.0000
99.5000
0.0000 0.0000
-13.9794
-20.0000
-26.0206
-33.9794
-40.0000
-46.0206
-60.0000
dB dB
(r/s=-26.0206
(r/s=-26.0206
dB)dB)
2
0
-2
-4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
Da un certo livello di attenuazione l’effetto non è più apprezzabile: da
quando raggiunge il livello di rumore
Inutile pretendere di attenuare il segnale molto al di sotto del livello di
rumore presente
30
Come evitare l’aliasing: filtraggio
I filtri anti-aliasing sono filtri passa-basso (Low Pass Filters): attenuano
il contenuto in frequenza del segnale al di sopra di una frequenza
caratteristica, detta frequenza di taglio (o di cut-off).
q
Utilizzando il modello asintotico del filtro ((scala delle frequenze
logaritmica) si hanno due regioni: la banda passante (ampiezza
costante) e la banda di attenuazione (segue una legge lineare)
G [dB]
⎛V ⎞
G = 20log ⎜ Out ⎟
⎝ VIn ⎠
0
Frequenza di
taglio
Filtro AA
perfetto
Frequenza
Pendenza di
Attenuazione
-X dB/dec
Filt AA ideale
Filtro
id l
G=0 dB significa VOut/VIn unitario, cioè nessuna attenuazione
G<0 dB significa VOut/VIn <1, cioè riduzione dell’ampiezza del segnale
La legge (pendenza) di attenuazione dipende dall’ordine del filtro:
6 x Ordine_Filtro/Ottava o 20 x Ordine_Filtro/Decade
31
15
07/04/2014
Come evitare l’aliasing: filtraggio
Il modello asintotico vale per frequenze lontane da quella di taglio
Convenzionalmente alla frequenza di taglio un filtro attenua il segnale di
-3dB (fattore di riduzione 0.7): l’attenuazione ha quindi inizio già prima
della frequenza di taglio,
taglio con modalità dipendenti dalla realizzazione del
filtro stesso, e la banda utile per la misura è ridotta.
G [dB]
⎛V ⎞
G = 20log ⎜ Out ⎟
⎝ VIn ⎠
0
Frequenza di
taglio
Frequenza
Limite G=0
Filtro AA
reale
Filtro AA ideale
A partire da una frequenza sufficientemente superiore a quella di taglio il
contenuto armonico sarà trascurabile: il segnale è a banda limitata.
Sarà quindi applicabile il teorema del campionamento una volta che
si assuma tale frequenza come frequenza di Nyquist.
32
Come evitare l’aliasing: filtraggio
Curve caratteristiche di filtri anti-aliasing reali:
r
f/fCut_off
f/fCut_off
Attorno alla frequenza di taglio il filtro ha un
comportamento che dipende dalla modalità realizzativa.
Ciò determina il rapporto r banda passante/ frequenza
di taglio utile a scopi metrologici.
33
16
07/04/2014
Come evitare l’aliasing: filtraggio
Come utilizzare un filtro?
I filtri anti-aliasing sono a frequenza di taglio programmabile, cioè
impostabile dall’utilizzatore, quindi il primo passo è definire la
q
di taglio
g tenendo conto delle esigenze
g
della p
prova.
frequenza
La successiva domanda è:
a quale frequenza occorre campionare il segnale per evitare aliasing?
Oppure:
a partire da quale frequenza si potrà ritenere di avere cancellato
qualsiasi contenuto armonico?
La cancellazione assoluta non ha senso: non ridurremo mai
rigorosamente a zero ll’uscita
uscita del filtro.
filtro
Opportuno interpretare l’esigenza di cancellazione dello spettro oltre la
frequenza di Nyquist come l’attenuazione dell’inevitabile errore di
aliasing al livello del rumore del sistema di misura.
Da evitare scelte arbitrarie o non giustificate dalle specifiche condizioni.
34
Come80evitare l’Aliasing : filtraggio
FTaglio
FInteresse
dB 40
FNyquist
0
Linearità AD -40
R
Rumore
AA
-80
Risoluz. AD
Attenuazione
richiesta
1/4 Rumore
1.0
Data la banda di interesse si definisce la frequenza di taglio.
Si identificano i livelli di rumore dei diversi elementi del sistema di
acquisizione (filtro anti aliasing, trasduttore, quantizzazione, A/D, …).
Si p
prende a riferimento il p
peggior
gg rumore p
presente
Si assume ≈1/4 (-12dB) di tale rumore come livello di attenuazione
necessaria: il rumore residuo dovuto all’aliasing sarà trascurabile
rispetto alla peggiore fonte di disturbi
Intersecando la retta di attenuazione del filtro con l’attenuazione
richiesta si ottiene la frequenza di Nyquist.
35
17
07/04/2014
Come80evitare l’Aliasing : filtraggio
FTaglio
40
dB
0
FNyquist
Effetto Aliasing
-40
-80
FCampionamento
1.0
La pendenza dei filtri è espressa in dB/decade o dB/ottava attraverso
l’ordine del filtro.
Si ricavano quindi le decadi o ottave necessarie per definire il
moltiplicatore della frequenza di taglio:
decadi:
FNyquist =FTaglio ⋅ 10
dBAtt
dBFiltro
ottave: FNyquist =FTaglio ⋅ 2
Il contributo armonico residuo darà origine ad aliasing ma la sua
ampiezza sarà trascurabile in quanto paragonabile al rumore di
riferimento.
La frequenza di campionamento sarà 2 x FNyquist.
dBAtt
dBFiltro
36
Un’avvertenza
sul filtraggio
80
Effetto del
rumore sul
segnale
dB
40
0
-40
-80
Filtro reale
Livello di rumore
dello filtro AA
1.0
Filtro ideale
Un filtro ideale ha pendenza (logaritmica) costante al di sopra della
frequenza di taglio.
Un filtro reale no: il segnale in uscita non potrà avere ampiezza inferiore
al rumore intrinseco dello strumento (il diagramma è approssimato),
quindi faremo aliasing ma a livello del rumore di riferimento.
riferimento
Con un filtro di accuratezza 0.1% non avrebbe senso pretendere
un’attenuazione superiore a -60dB: perché il segnale filtrato ad alta
frequenza dovrebbe essere più pulito di quello in banda passante?
Non ha quindi senso pretendere un’attenuazione che il filtro non può
dare: si spingerebbe inutilmente in alto la frequenza di campionamento.
37
18
07/04/2014
Esempio
Disponiamo di un filtro anti-aliasing a frequenza di taglio programmabile
con attenuazione di 36dB/ottava e di una scheda di acquisizione dati a 12
bits unipolare, con errore di linearità 0.1%.
A quale frequenza
frequenza, espressa in multipli di quella di taglio,
taglio occorre
campionare per evitare l’aliasing?
!!!! Non è noto il FS di acquisizione, quindi impossibile usare i Volts
Esistono diverse sorgenti di rumore. Ammettendo che il filtro sia ideale (in
realtà anche i suoi contributi di errore andranno conteggiati) sono
disponibili due indicazioni:
q
0.5 livelli;;
¾ scheda a 12 bits,, cioè 4096 livelli e errore di quantizzazione
¾ errore di linearità: 0.1 % x 4096 = 4.096 livelli.
Il rumore intrinseco del sistema, per gli elementi dichiarati, è quindi
valutabile in 4 livelli, preponderante rispetto a 0.5 livelli della
quantizzazione.
38
Esempio
Per evitare aliasing il contenuto armonico dovrà essere attenuato al
disotto del livello del rumore peggiore, in tensione: 4 FS/2nbits.
Meglio: ad ¼ di tale valore. Vedremo che così facendo l’aliasing potrà
non essere conteggiato nella definizione della qualità della misura.
misura
Ammettendo una copertura del 100% del fondoscala, esprimiamo in dB
l’attenuazione richiesta rapportando il livello di errore al FS:
Rumore/Misura=(4 liv * FS/2nbits / 4) / (FS) = 1 / 212= 0,000244
20 log10(0,000244)=-72.2dB
L’attenuazione richiesta è quindi -72dB e data l’attenuazione del filtro
di -36dB
36dB per ottava
ottava, sono necessarie N_Oct=2
N Oct 2 ottave.
ottave
Occorre quindi raddoppiare 2 volte la frequenza di taglio e la
frequenza minima di campionamento del segnale filtrato risulta:
FC=2*Ftaglio*2N_Oct=8*Ftaglio
39
19
07/04/2014
Esempio
Livelli
Segnale
[dB] 10
4096
0
1024
-10
-20
256
64
8
4 livelli
2
1 livello
Massima entità
dell’aliasing
residuo -72dB del
segnale in banda
passante
-30
-40
-50
-60
-70
-1
1
10
0
10
1
≈ 2 Oct.
10
2
10
3
10
Fcamp=2FNyq
FTaglio
40
FNyq=4FTaglio
Come evitare l’aliasing: sovracampionamento
Alcuni trasduttori presentano una risposta
in frequenza simile a quella di un filtro
passa basso (andamento piatto senza sovraelongazioni e attenuazione a partire da una
f
frequenza
caratteristica).
tt i ti )
Quindi se il trasduttore ha risposta in frequenza limitata è possibile
aumentare la frequenza di campionamento per evitare l’aliasing.
Se il campionamento avviene ad una frequenza sufficientemente più alta
di quella propria del trasduttore il segnale sarà automaticamente limitato
in frequenza dalla funzione di trasferimento del trasduttore.
L’eccesso di campionamento, dopo opportuno filtraggio digitale, può
essere rimosso mediante una decimazione della storia temporale.
Può essere una soluzione ma non è detto che sia praticabile: lo
strumento sarebbe un filtro AA molto scarso (ordine 2 contro tipico 8)
quindi si tenderebbe ad aumentare molto la frequenza di
41
campionamento.
20
07/04/2014
Esempio di sovracampionamento
Dati:
problema dinamico con banda di interesse di 200 Hz;
accelerometro ENTRAN 10g (freq. propria 800 Hz, attenuazione 40dB/dec);
richiesta un’attenuazione ad 1/500 dell’ampiezza del segnale (-54dB).
Analisi:
l’attenuazione richiesta si avrà a -54dB/(40 dB/decade)=1.35 decadi rispetto
alla frequenza propria dello strumento.
La frequenza di campionamento deve essere quindi: 800 101.35 2 = 35820Hz
Valori
l i cosìì elevati
l
i potrebbero
bb non essere compatibili
ibili con le
l prestazioni
i i del
d l
sistema di acquisizione (in particolare per acquisizioni multicanale).
Con filtro AA di ottavo ordine regolato sulla banda di interesse, 250 Hz, la
frequenza di Nyquist è a 1/3 di decade (54/160) sopra i 250 Hz, quindi la
frequenza di campionamento è di soli 250 2.2 2 ≈ 1100 Hz
42
La finestra di osservazione
43
21
07/04/2014
La finestra di osservazione
Si acquisiscono informazioni per un
tempo di osservazione pari a N passi di
campionamento
i
t o per una finestra
fi t
temporale di osservazione pari a N TC
Che effetto ha la scelta di una finestra
più o meno lunga?
C’è un effetto in relazione al rapporto
tra il periodo di osservazione e le
caratteristiche del segnale (es il periodo
di un segnale armonico)?
44
La finestra di osservazione
La serie di Fourier ha la medesima struttura, discreta, del contenuto in
frequenza di una rappresentazione digitale in un elaboratore elettronico:
n
n
i =1
i =1
f (t ) = a0 + ∑ ai cos(ωit + ϕi ) + ∑ bi sin(ωit + ϕi )
La trasformata di un segnale reale è definita per un campo di frequenza
[ − f Max : + f Max ]
con
f Max = f N = f C / 2
quindi
ωn = 2π f Max
Poiché il numero di campioni della storia temporale è N, il numero n di
frequenze discrete potrà essere al più pari al numero di campioni N.:
trasformando le informazioni non è possibile aumentarne il numero.
T
Tra
− f Max
e
+ f Max
abbiamo
bbi
quindi
i di N valori
l i di ffrequenza spaziati
i ti di
di:
Δf =
2 f Max fC
1
1
=
=
=
N
N N Δt TOss
L’inverso del tempo di osservazione fornisce la distanza tra i picchi della
trasformata digitale, quindi la risoluzione in frequenza
45
22
07/04/2014
La finestra di osservazione
Δf = 1/T
è la separazione tra due linee spettrali
consecutive, detta anche risoluzione in
frequenza.
frequenza
Quindi quanto più a lungo osservo un
fenomeno tanto meglio saprò risolvere il
dominio della frequenza
Aumentare la frequenza di campionamento allarga la banda di
freq en e osservabili.
frequenze
osser abili
Aumentare il tempo di osservazione aumenta
la risoluzione in frequenza.
(a parità di frequenza di campionamento)
46
Un’altra ottica …
Una rappresentazione temporale non ambigua è condizione necessaria
per poter dire di aver campionato correttamente un segnale.
E’ però anche condizione sufficiente?
Supponiamo di aver campionato una sinusoide sicuri di non aver
commesso aliasing.
Come possiamo verificare se il segnale campionato è rappresentativo di
quello originale?
Possiamo verificare il contenuto armonico del segnale, dobbiamo cioè
trasformare il segnale in frequenza e accertarci che sia composto da una
sola linea spettrale in corrispondenza della frequenza della sinusoide
In Matlab lo possiamo fare facilmente usando il comando FFT e plottando
l’ampiezza del risultato
47
23
07/04/2014
Un’altra ottica …
Il comando FFTdi Matlab implementa il calcolo dei coefficienti della
serie di Fourier; quindi è valido per funzioni periodiche
I parametri devono essere regolati in modo che il primo punto non
considerato sia periodico rispetto al primo della serie
fs=50;,
ff=3;
t=[0:1:60]/fs;
s=sin(t*2*pi*ff);
subplot(211), plot(t,s,'-x')
title(sprintf('segnale sin(2*pi*%d*t), fs=%d',ff,fs))
ylabel('Funzione'),
l b l('F
i
') xlabel('Tempo
l b l('T
[[s]')
]')
st=abs(fft(s));
subplot(212),
stem([0:1/(length(t)/fs):fs/2],st(1:end/2+1))
xlabel('Frequenza [Hz]'), ylabel('Trasformata')
48
Un’altra ottica …
Elaboriamo una sinusoide per un tempo TOss multiplo intero del
periodo proprio della sinusoide PS :
TOss = kPS
La sinusoide è correttamente identificata
O
Osserviamo
i
che
h lla ffrequenza d
della
ll sinusoide
i
id coincide
i id con una delle
d ll
frequenze discrete, cioè con un multiplo della risoluzione in frequenza
Infatti:
segnale sin(2*pi*4*t), fs=50, toss=0.980, npt=50
1
0.5
Funzione
Δf = 1/ TOss
0
-0.5
1
kPS
⇒ k Δf =
Per cui: f S = k Δf
-1
1
= fS
PS
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Tempo [s]
0.7
0.8
0.9
1
0.5
0
49
0
1
Trasformata
Δf =
0
5
10
15
Frequenza [Hz]
20
25
Con 4 periodi la frequenza della sinusoide coincide con la quarta
frequenza della serie
24
07/04/2014
Un’altra ottica …
segnale sin(2*pi*3*t), fs=80
1
0.5
Funzione
Effetto dell’aumento della
frequenza di campionamento,
a parità di numero di punti …
0
-0.5
-1
0
0.1
0.2
0.3
0
0
5
10
15
0.4
Tempo [s]
0.5
0.6
0.7
0.8
20
25
Frequenza [Hz]
30
35
40
1
0.5
Trasformata
0.4
0.3
0.5
0.2
0.1
Commenti?
0
¾ Migliora la rappresentazione temporale ma non quella in frequenza.
¾ La frequenza del segnale continua a non essere tra quelle
disponibili nella trasformata.
50
Un’altra ottica …
segnale sin(2*pi*3*t), fs=50
1
0.5
Funzione
Effetto dell’aumento del
tempo di osservazione (del
numero di punti), a parità di
frequenza di campionamento.
0
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
10
15
Frequenza [Hz]
20
25
Tempo [s]
0.5
1
Trasformata
0.4
Commenti?
0.3
0.5
0.2
0.1
0
00
0
5
¾ Maggiore risoluzione in frequenza.
¾ La frequenza del segnale non è ancora tra quelle disponibili
¾ Ridotta la banda interessata dalla dispersione.
51
25
07/04/2014
Un’altra ottica …
Dal confronto osserviamo anche che le ampiezze delle sinusoidi con
frequenza nell’intorno di quella del segnale originale sono ridotte
anche se l’ampiezza calcolata non è ancora corretta.
0.5
Trasformata
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
Quindi l’aumento del tempo di osservazione sembrerebbe aver portato
ad un miglioramento della situazione
Verifichiamolo…
52
Un’altra ottica …
Ripetendo l’analisi aumentando il numero di punti, quindi la
risoluzione in frequenza, si ottiene il grafico riportato.
0
10
-1
10
Trasformata
¾ Il comportamento
p
non
è regolare: le curve si
abbassano per poi
rialzarsi e poi
ridiscendere.
-2
10
¾ Si evidenziano alcuni
casi particolari in cui
il risultato è esatto.
-3
10
0
1
2
3
4
5
Frequenza [Hz]
6
Ris
Ris
Ris
Ri
Ris
Ris
Ris
Ris
Ris
Ris
Ris
Ris
Ris
Ris
Ris
Ris
Ris
Ris
Ri
Ris
Ris
7 Ris
freq =
freq =
freq =
ffreq =
freq =
freq =
freq =
freq =
freq =
freq =
freq =
freq =
freq =
freq =
freq =
freq =
freq =
ffreq =
freq =
freq8=
1.020
0.847
0.725
0
0.633
633
0.562
0.505
0.459
0.420
0.388
0.360
0.336
0.314
0.296
0.279
0.265
0.251
0.239
0
0.228
228
0.218
0.209
Aumentando il tempo di osservazione i risultati cambiano in maniera
non prevedibile: la situazione può anche peggiorare!
Necessario un approfondimento del discorso
53
26
07/04/2014
L’effetto dell’osservazione limitata: il Leakage
La dispersione del contenuto armonico attorno alla frequenza di
riferimento prende il nome di leakage o Smearing
Tutti i contributi armonici per i quali non è possibile rilevare un
numero intero di periodi propri sono soggetti a questo effetto
La distorsione dello spettro dovuto al Leakage è sempre presente
perché è impossibile calibrare perfettamente il periodo di acquisizione:
la frequenza dei toni non è mai nota tanto precisamente da essere certi
di eseguire un’acquisizione per un numero di periodi interi e
Nel caso di spettri con contenuto armonico distribuito non ha senso
parlare di periodicità; ll’effetto
effetto del Leakage non è evidente ma pur
sempre presente
Abbiamo bisogno di uno strumento concettuale per analizzare il
problema in maniera non empirica e capirne gli effetti in generale …
54
Leakage
Il leakage evidenziato dalla FFT è dovuto al fatto che la porzione del
segnale utilizzata è solo parzialmente rappresentativa del segnale:
l’insieme delle informazioni disponibili viene a dipendere dalla
specifica
ifi porzione
i
utilizzata
ili
(es
( il valore
l
medio)
di )
Quando il periodo di osservazione è invece multiplo del periodo base
le informazioni sono sempre esattamente le stesse
Un po’ come se il segnale che esiste anche al di fuori della finestra di
osservazione fosse ottenuto replicando la porzione nota
55
27
07/04/2014
Leakage
Il rimedio al leakage è solitamente costituito dall’uso di finestre
temporali sul segnale misurato.
56
Leakage
Le finestre tipiche utilizzate (Hanning, Hamming, Kaiser)
hanno equazioni della forma seguente:
wi = a + (1 − a ) cos
2πi
N
57
28
07/04/2014
Leakage
La finestratura riduce il leakage ma non lo elimina del tutto
E comunque nessuno fa niente per niente: se la finestratura riduce il
leakage sui toni interessati potrebbe fare qualcosa a quelli che non lo
sarebbero…
58
Leakage
sin(2 π 10 t)
fC = 200 Hz
59
29
07/04/2014
Leakage
Applicata finestra
Hanning
60
La finestra di osservazione
Per i transitori il problema è meno sentito, a patto di utilizzare una
finestra di osservazione abbastanza lunga da contenere tutto il
fenomeno.
61
30
07/04/2014
Schema riassuntivo
Definiamo il blocco ‘Acquisizione Dati’
Prendiamo in considerazione il singolo canale
Frequenza di campionamento
Tempo di osservazione
Fondo scala
Guadagno (interno/esterno)
Uscita
trasduttore
Settaggio filtro AA
Requisiti
Risoluzione in frequenza dinamici
Polarità (Compatibilità)
Copertura FS (Qualità di misura)
Uscita
binaria
Conversione
A/D
Recupero
Misura
Misura
Sensibilità trasduttore
Guadagno
Quanto (FS/2nBit)
nBit
62
62
Schema riassuntivo
Definiamo il blocco ‘Filtro AA’
Freq_Nyquist
Freq_Campionamento
Attenuazione necessaria
Banda richiesta
Uscita
trasduttore
Segnale
filtrato
Filtro AA
Ordine del filtro o
Pendenza di attenuazione
A
A
fInteresse
fInteresse fN
fS
63
31
07/04/2014
Calcoli elementari
Un segnale viene campionato per un tempo totale di 4 s ad una
frequenza di 100 Hz
Quanti campioni vengono
acquisiti?
N= T fc = (4s)(100Hz) = 400
Qual’è la risoluzione in
frequenza?
Df= 1 / T = 1 / 4s = 0.25 Hz
Qual’è la massima frequenza
osservabile?
fmax = fc /2 =100Hz /2 = 50Hz
64
Esercizio
Si supponga di dover misurare l’accelerazione in un punto di una trave
sollecitata dinamicamente fino a 100Hz con una parte dinamica stimata
in 4g(±20%) attorno al valore statico di 1g.
Si dispone di un PC dotato di una scheda di acquisizione dati con una
risoluzione di 12 bits, guadagni pari a 1, 10, 100, 1000, intervallo di
misura pari a +/- 10V (bipolare) oppure 0 ÷10V (unipolare).
L’accelerometro di misura possiede una banda passante di 1000Hz ed
una sensitività 95.0mV/g
p
di un filtro di Butterworth di cui è fornito il
Come AA si dispone
diagramma di funzionamento.
Si richiede di scegliere:
¾ i parametri di configurazione della scheda (tipo di polarità,
guadagno);
¾ i parametri dell’acquisizione (frequenza di campionamento, tempo di
65
campionamento, eventuali filtri e/o condizionatori di segnale).
32
07/04/2014
Esercizio: caratteristiche statiche
Abbiamo a disposizione un accelerometro con banda passante di 1000Hz
ragionevolmente compatibile con il segnale da acquisire.
Parametri statici da definire del sistema A/D: campo di misura e guadagni.
Parametri dinamici da definire: regolazione AA e frequenza di acquisizione.
acquisizione
Banda
Freq_Nyq
richiesta,
Attenuazione
necessaria
Frequenza di campionamento
Tempo di osservazione
Fondo scala
Guadagno (interno/esterno)
Requisiti
Risoluzione in frequenza dinamici
Polarità (Compatibilità)
Copertura FS (Qualità di misura)
Settaggio
filtro AA
Uscita
trasduttore
Filtro AA
Conversione
A/D
Uscita
binaria
Recupero
Misura
Misura
Ordine o Attenuazione
Come risultato avremo la migliore configurazione possibile del sistema A/D
compatibile con l’esperimento e l’indicazione numerica delle caratteristiche
67
di accuratezza.
Esercizio: caratteristiche statiche
Cominciamo dall’identificazione degli elementi statici.
Configurazione generale della scheda
La dinamica del segnale è:
Amax = (1 + 4 × 1.2 )g = 5.8 g
Amin = (1 − 4 ×1.2 )g = −3.8 g
Data la sensibilità dello strumento i valori estremi delle misure
elettriche risultano pari a:
Vmax = Sensibilità [mV / g ] Amax [ g ] = 95 [mV / g ] 5.8 [ g ] = 551.0 mV
Vmin =
95 [mV / g ] −3.8 [ g ] = −361 mV
E’ quindi necessario utilizzare la scheda in configurazione bipolare
(range +/-10V).
68
33
07/04/2014
Esercizio: caratteristiche statiche
Ottimizzazione della copertura
La frazione del fondoscala sfruttata è:
% FS = 551mV /10V ×100 = .551/10 ×100 = 5.51%
Possiamo
P
i
ottimizzare
tti i
l copertura
la
t
d l FS amplificando
del
lifi d il segnale
l con il
guadagno 10 (100 e 1000 porterebbero a saturazione) ottenendo 55.1%.
Elementi per la qualità della misura
La risoluzione nel caso bipolare in esame e con il guadagno adottato è:
Q=
FS Max − FS Min
(10V ) − (−10V )
/ guadagno =
/10 = 0.488mV
N
2
212
In termini di dB: 20 log (1/212-1)=20 log (0.488mV/(10V/10))=-66 dB
L’errore massimo sulla misura di accelerazione è:
Q [mV ] / 2
0.488 mV / 2
=
= 0.0025 g
Sensibilità [mV / g ]
95 mV / g
69
Esercizio: caratteristiche dinamiche, fC
Per evitare aliasing si deve realizzare una banda limitata con un filtro
passa-basso in modo da ottenere una fmax , o fNyq , al di sopra della
quale in contenuto armonico sarà trascurabile; poi si sceglierà f c ≥ 2 f max
P definire
Per
d fi i fmax non sii può
ò fare
f
solo
l riferimento
if i
t alla
ll massima
i
frequenza di interesse, ma anche alle caratteristiche del filtro
antialiasing a disposizione e al livello ipotizzabile di attenuazione
necessario.
Il filtro comincia ad attenuare PRIMA della
frequenza di taglio (-3dB); la frequenza di
taglio deve garantire guadagno unitario
per la banda di frequenze di interesse.
Un filtro passa basso, es Butterworth, lascia
inalterato il segnale fino a 0.8 volte la freq.
di taglio. La frequenza di taglio dovrà essere
1.25 volte quella di interesse: 125.0 Hz.
70
34
07/04/2014
Esercizio: caratteristiche dinamiche, fC
In funzione della pendenza in
attenuazione e del livello di
attenuazione richiesto, si deciderà la
q
di Nyquist
yq
con un ulteriore
frequenza
fattore moltiplicativo. Il filtro garantisce
una attenuazione di 66dB (la risoluzione
dell’A/D) da quasi 3 volte la frequenza
di taglio.
f Nyquist = 2.9 ×1.25 × f Max = 362.5 Hz
Potendo presumere una adeguata attenuazione del contenuto armonico
oltre questa frequenza, per il teorema di Nyquist la frequenza di
campionamento dovrà essere:
f C = 2 × f Nyquist = 725 Hz
Frequenza di campionamento circa 7 volte la frequenza di interesse.
71
Esercizio: caratteristiche dinamiche, Δf
Dovendo fare un’analisi in frequenza, ricordiamo che la risoluzione
in frequenza risulta pari a :
f
1
Δf = C =
n TOsservazione
dove n è il numero di punti campionati.
Per aumentare la risoluzione in frequenza, una volta stabilita la
frequenza di acquisizione, occorre aumentare il numero di campioni,
cioè il tempo di osservazione.
Volendo avere una risoluzione di almeno 5 Hz scegliamo un numero di
campioni pari a
n = f C / Δf = 480 / 5 = 96
corrispondenti
i
d i add un tempo di osservazione
i
T Osser= n / fC = 0.2
0 2 s.
Oppure, ricordando che fC è 1/Δt, si osserva che Δf=1/(n Δt) cioè
l’inverso del tempo di osservazione, si può quindi dire che
T=1/Risoluzione=1/5=0.2 s
n=0.2 s * 480 Hz = 96 campioni
72
35
07/04/2014
Esercizio: schema riassuntivo
FCut_Off= CRoll_Off * FBanda =1.25 *100 Hz
FNyq= FCut_Off * Kfreq = 125 * 2.9 = 362 Hz
Banda richiesta=100
Attenuazione
necessaria=-66dB
Risoluzione in frequenza=5 Hz
F_camp= 2 x FNyq=750Hz
Tempo osservazione= 0.2 s
Escursione accel. (-3.8:5.8 g)
Fondo scala: Bipolare ±10V
Sensibilità 95mV/g
Guadagno: 10
Escursione ingresso (-361:551 mV)
Copertura 0.55%
Uscita
trasduttore
Filtro AA
Conversione
A/D
Uscita
binaria
Recupero
Misura
Misura
Attenuazione: diagramma
Kfreq da pendenza e
attenuazione richiesta
12 bit
Coeff. Roll off=1.25
73
I sistemi di acquisizione dati
74
36
07/04/2014
I sistemi di acquisizione dati
I sistemi di acquisizione dati utilizzano la componentistica vista sino ad
ora per consentire l’acquisizione multicanale.
Esempio di un’architettura tipica di un sistema di acquisizione dati.
I componenti principali sono:
- convertitore A/D
- circuito di amplificazione
- multiplexer
- circuito di memoria (Sample and Hold)
75
I sistemi di acquisizione dati
In un sistema di acquisizione sono tipicamente presenti diversi elementi:
amplificatori di segnale, commutatori di canale (multiplexers), circuiti di
memoria (sample-and-hold), filtri anti aliasing.
Tutti questi elementi possono essere organizzati in architetture diverse,
cosa che comporta possibilità operative e prestazioni differenti.
Per poter valutare o impiegare correttamente un sistema di acquisizione,
occorrerà quindi conoscere non solo le funzioni e le caratteristiche dei
componenti elementari, ma anche l'architettura secondo la quale questi
sono stati assemblati.
In una catena di misura digitale due elementi rimangono in posizioni
fisse: il PRIMO è il trasduttore e l’ULTIMO il convertitore A/D.
Un solo elemento mantiene posizione relativa: il filtro AA DEVE
operare su di un segnale in analogia con l’ingresso, quindi PRIMA di
elementi che ne modifichino la storia temporale.
76
37
07/04/2014
I sistemi di acquisizione dati
L'hardware A/D è fisicamente disgiunto dal computer che svolge i compiti
di programmazione, memorizzazione, visualizzazione e manipolazione .
Possibili collegamenti:
Bus interno (schede di
acquisizione dati)
C ll
Collegamento
esterno (con
(
protocolli
lli
di comunicazione es RS-232, RS-422
o IEEE-488 o Internet)
77
I sistemi di acquisizione dati
Vantaggi
gg del collegamento
g
diretto al bus interno del computer:
p
¾ costo e dimensioni contenuti: il dispositivo di acquisizione dati non
richiede un proprio contenitore, né una propria alimentazione (questa
viene fornita direttamente dal PC);
¾ maggiore velocità di trasferimento dati dall'acquisizione al PC.
Vantaggi del collegamento esterno al computer:
¾ completa indipendenza dei sottosistemi;
¾ la possibilità di misure remote.
78
38
07/04/2014
Il multiplexer (MUX)
Il multiplexer è l’elemento che permette di mettere in collegamento
elettrico uno degli ingressi di un sistema multicanale con l’unica linea
in ingresso al convertitore analogico/digitale.
Collega ciclicamente un ingresso con ll’uscita
uscita seguendo una
temporizzazione programmata, consentendo l’acquisizione multicanale.
S/H e amplificatore possono essere
posizionati indifferentemente prima
o dopo il Mux.
Filtro AA
Il filtro AA, UNO PER CANALE,
deve essere messo sempre prima
del Mux .
Avrebbe senso posizionare il filtro AA dopo il S/H o dopo il MUX?
79
Il multiplexer (MUX)
Analizziamo le prestazioni del sistema.
Costruiamo la linea del tempo che
descrive il funzionamento del
sistema
sistema.
Operazioni:
¾ configurazione MUX (tMUX);
¾ configurazione amplificatore (tG);
¾ carica e apertura SH (tSH);
¾ conversione (tAD=1/fAD).
Settaggio MUX (tMUX)
Settaggio G (tG)
Settaggio SH (tSH) Conversione (tAD=1/fAD)
Ciclo di acquisizione
Tempo ciclo completo di acquisizioni = Nchan*(1/fAD+tMUX+tSH+tG)
80
39
07/04/2014
Considerazione metodologiche
Questo schema operativo, per quanto banale possa sembrare, è uno
strumento di grande utilità.
Si tratta della rappresentazione delle modalità operative che sta alla base
dell’analisi di funzionalità di un processo (es. linea di produzione):
¾ individuazione di tutti i singoli sotto-processi;
¾ definizione del tempo di svolgimento dei sottoprocessi individuati (non
necessariamente in senso deterministico);
¾ definizione delle sequenze di operazione, delle possibili
parallelizzazioni, delle precedenze tra azioni;
¾ determinazione del tempo complessivo;
La rappresentazione grafica permette di individuare i percorsi possibili,
cioè le sequenze di azioni, facilitando l’individuazione dei tempi da
sommare
[!!! NON SI SOMMANO LE FREQUENZE !!!].
81
Considerazione
Verifichiamo le potenzialità rianalizzando il
sistema:
¾ non è necessario aspettare la conclusione
d ll commutazione
della
t i
del
d l MUX per operare il
cambio di guadagno. I guadagni per ogni
canale sono noti a priori, quindi la
configurazione del selettore del guadagno
può avvenire in parallelo a quello del MUX.
Settaggio G (tG)
Settaggio MUX (tMUX)
Settaggio G (tG)
Settaggio SH (tSH) Conversione (tAD=1/fAD)
Ciclo di acquisizione
Tempo ciclo completo di acquisizioni = Nchan*(1/fAD+max(tMUX,tG)+tSH)
82
40
07/04/2014
Acquisizione multicanale
Con questa struttura si ha un ritardo tra l’acquisizione di un canale e
quello successivo pari alla somma dei tempi delle operazioni svolte
durante un ciclo di lettura.
Il collegamento sequenziale dei canali in ingresso con un unico
convertitore comporta un ritardo progressivo nell’acquisizione:
¾ inizio della conversione del primo canale: k tC
¾ inizio della conversione del n-esimo canale: k tC +(n-1) (tAD+tMux+…)
83
Acquisizione multicanale
Per effettuare misure contemporanee
su tutti i canali ci sono due tecniche:
Scheda a convertitori multipli
¾ scheda a S/H e A/D multipli
p ((uno
per ogni canale).
¾ scheda a soli S/H multipli (posti a
monte del MUX) ad attivazione
contemporanea.
Scheda a SH multipli
Tempo di
acquisizione
Tempo di misura
85 85
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Acquisizione multicanale
Effetto del posizionamento di amplificatore e mantenitore.
Possibilità di adeguare il
condizionamento, amplificazione, al
singolo canale senza perdite di tempo.
tempo
Inserendo una batteria di amplificatori a
monte del multiplexer, anziché uno
singolo immediatamente a monte del
convertitore, non è necessario modificare
i guadagni ad ogni campionamento.
Settaggio G (tG)
Settaggio SH (tSH)
Settaggio MUX (tMUX)
Conversione (tAD=1/fAD)
Ciclo di acquisizione
S/H e Amplificatore dopo il Mux
S/H e Amplificatore prima il Mux
Nchan*(1/fAD+tSH+tG+tMUX)
tSH+tG+Nchan*(1/fAD+tMUX)
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Esempio
Nell’esempio sull’aliasing la frequenza di campionamento non è
quella di funzionamento del convertitore: è la frequenza di
campionamento che deve essere garantita per ogni singolo canale.
Nell caso di acquisizioni
N
i i i i multicanale
li
l occorre tenere conto anche
h degli
d li
eventuali ritardi dovuti alla particolare architettura del sistema di
acquisizione e alla modalità di utilizzo.
Es. Acquisizione di 12 canali a 10’000 Hz con una scheda il cui
convertitore A/D ha velocità massima di 300kSamples/s
Sono richiesti 12*10’000=120’000 campionamenti al secondo,
requisito che sembra compatibile con la prestazione nominale dell’
A/D (300’000 Samples > 120’000)
Per sapere se la scheda è adatta, non è detto che ciò sia sufficiente:
occorre conoscere o avanzare ipotesi sull’architettura della scheda.
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Esempio
Ipotizzando un’architettura con amplificatore e mantenitore singoli, le
azioni da eseguire ad ogni campionamento occorre eseguire sono:
¾ effettuare la commutazione del multiplexer;
¾ attendere la stabilizzazione del mantenitore (S&H);
¾ attendere la stabilizzazione del guadagno dell’amplificatore.
Supponiamo che per la loro esecuzione siano necessari 10 microsecondi
complessivi.
L’intervallo temporale che intercorre tra due acquisizioni successive di
uno stesso canale deve tenere conto sia del tempo di acquisizione che di
questi ritardi:
Nchan*(1/fAD+tritardo)=12*(1/300’000+0.000010)=0.00016 s
A questo tempo corrisponde una frequenza di acquisizione di 6250Hz per
canale; la prestazione del sistema di acquisizione non soddisfa i requisiti
di prova.
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Software
Ogni componente della scheda di acquisizione deve essere istruito su
come e quando fare quello che gli chiediamo. I comandi sono
comunicati alla scheda mediante la scrittura di codici particolari in
apposite posizioni della memoria
memoria, dette registri.
registri
Linguaggi di programmazione:
Visual BASIC, C++, FORTRAN
Linguaggi grafici:
LabView, HPVEE
La disponibilità e l'utilizzo di questi sistemi non deve far sottovalutare
l'importanza della comprensione per tutto quello che sta loro dietro e
per quanto nascondono.
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Domande ?
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Qualche quesito
Un segnale viene campionato ogni 0.1 s per un totale di 200 campioni.
Su questi dati viene eseguita una trasformata di Fourier digitale.
1 Calcolare il tempo totale di campionamento.
1.
campionamento
2. Calcolare la frequenza di campionamento in Hz.
3. Calcolare la massima frequenza dello spettro del segnale acquisito.
4. Calcolare la risoluzione in frequenza della trasformata digitale.
La massima frequenza dello spettro di una trasformata di Fourier
digitale è anche detta:
1. corner frequency.
2. cut-off frequency.
3. folding frequency.
4. fundamental frequency.
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Qualche quesito
Una DFT evidenzia leakage. Quale delle seguenti azioni può risultare
utile:
1. campionare a frequenza superiore;
2. aumentare il numero di campioni;
3. cambiare l’algoritmo e passare ad una FFT;
4. nessuno;
5. elaborare i dati con una finestra (es Hanning).
A quale delle seguenti coppie di valori di frequenza di campionamento e
tempo di osservazione totale corrisponde la migliore risoluzione in
q
frequenza?
1. 100 Hz , 5 s
2. 100 Hz, 10 s
3. 200 Hz, 5 s
4. 1000 Hz, 2 s
5. 2000 Hz, 2 s
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Da ricordare
Come gestire tutte la fasi di definizione dei parametri di
q
dati,, ovvero:
funzionamento di un sistema di acquisizione
¾ configurare i guadagni di un sistema di acquisizione in funzione
delle misure attese;
¾ determinare la frequenza di taglio dei filtri anti-aliasing, la minima
frequenza di campionamento necessaria per evitare aliasing;
¾ scegliere il tempo di osservazione necessario per ottenere la
risoluzione
i l i
in
i frequenza
f
richiesta;
i hi t
¾ stimare l’errore compiuto nella individuazione della massima
ampiezza di un segnale sinusoidale o della sua frequenza.
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Da ricordare
Come si determina uno schema del sistema di acquisizione compatibile
con le informazioni disponibili in un certo contesto.
contesto
Come si calcola l’espressione e il valore della massima frequenza di
acquisizione sul singolo canale e quello per un’acquisizione a N canali,
dato uno schema della scheda e le caratteristiche funzionali dei suoi
componenti principali.
Come si valuta la quantità delle informazioni digitali che vengono
prodotte da un sistema di acquisizione
acquisizione.
Come si interviene per rendere una prova fattibile senza per questo
ridurre la qualità delle misure.
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Cosa sappiamo fare?
Testo dell’ Esercizio 2 del 12 settembre 2012
Si vuole caratterizzare il livello vibratorio a cui è sottoposta la cabina
di un elicottero
li tt
usando
d 6 accelerometri.
l
t i Considerando
C id
d che
h la
l banda
b d di
interessa è di 150 Hz e che si dispone di:
scheda di acquisizione a 16 bit, 10 canali, fondo scala 0:10V o ±5V,
guadagno programmabile 1, 10, 100, 1000 e velocità massima 100
ksamples/s
accelerometri piezoceramici, banda passante 0.5-7000Hz, sensibilità
100 mV/g
filtro dell’8° ordine programmabile in frequenza, livello
rumore/segnale 0.1%
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Cosa sappiamo fare?
Esercizio 2 del 12 settembre 2012
…
F supponendo che durante il volo si prevedono valori di accelerazione
pari a ±6g
g si configurino
g
i pparametri della scheda di
massima p
acquisizione
F descrivere la procedura per determinare la frequenza di taglio dei
filtri e la minima frequenza di campionamento necessarie per evitare il
fenomeno di aliasing e determinarne i valori
F determinare il tempo di osservazione necessario per ottenere una
risoluzione in frequenza pari a 0.2 Hz
C assumendo una frequenza di campionamento di 1000 Hz, si stimi
l’errore compiuto nella misura della massima ampiezza
dell’accelerazione associata al disturbo prodotto dal rotore ad una
frequenza di 25 Hz, disturbo da ritenersi con buona approssimazione
sinusoidale.
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Cosa sappiamo fare?
Testo dell’Esercizio 3 del 15 novembre 2012
prove in ppista si vogliono
g
rilevare misure di accelerazione,,
Durante p
posizione e forza per un totale di 32 canali. Il campo di frequenze di
interesse è 0-50 Hz. La strumentazione è di classe 0.5%.
Il sistema di acquisizione multicanale è dotato di un convertitore a 12
bit, guadagno variabile ma ad amplificatore e sample&hold singoli. I
tempi caratteristici del sistema di acquisizione sono: tmux=4 μs,
tad=00.88 μs,
tad
μs tsh=1
tsh 1 μs,
μs tgain=2
tgain 2 μs.
μs L
L’accuratezza
accuratezza globale del sistema
AD è 2.0%. Si dispone di filtri antialiasing a frequenza di taglio
programmabile con attenuazione di 160 dB/decade e accuratezza
0.2%.
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Cosa sappiamo fare?
Esercizio 3 della prova 15 novembre 2012
…
Si richiede di:
1) F Indicare uno schema del sistema di acquisizione compatibile con le
i f
informazioni
i i fornite
f it
2) F Per lo schema descritto al punto precedente, fornire l’espressione e il
valore della massima frequenza di acquisizione sul singolo canale e quello
per un’acquisizione a 32 canali
3) F Descrivere la procedura per la corretta definizione della frequenza di
acquisizione per la prova considerata, limitatamente alle informazioni
disponibili, e fornirne il valore
4) F Ricavare ll’espressione
espressione dell
dell’incertezza
incertezza del sistema di misura
configurato ai punti precedenti (questo non lo sappiamo ancora fare)
5) C Valutare se un sistema di telemetria con velocità di trasferimento di
120 kbit/s sia compatibile con la prova
6) C Indicare come modificare la configurazione della prova nel caso di
esito negativo del punto precedente per cercare di rientrare nelle specifiche
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Approfondimento: gli schemi di collegamento
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Modalità di ingresso
Le schede presentano spesso due modalità di utilizzo: differenziale
(differential) e a riferimento unico (single ended).
Se la scheda è di quest’ultimo tipo allora tutti i segnali che gli vengono
collegati devono
de ono condi
condividere
idere la stessa linea di terra
100
Modalità di ingresso
Può essere più conveniente misurare direttamente la differenza tra le
due linee, alta e bassa, del segnale di ingresso: questa è la modalità di
ingresso differenziale (Differential).
L presenza di un rumore fluttuante
La
fl
o di un offset
ff stazionario,
i
i comune
alle due linee, viene cancellata dal segnale prima della lettura da parte
dell'A/D.
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Modalità di ingresso
Il modo differenziale riduce il numero di ingressi disponibili: es. 8
ingressi single-ended o 4 differenziali.
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