Diagrammi di Bode Sistemi Andrea Mola I.T.I.S. Cartesio 25 maggio 2014 Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 1 / 44 Indice 1 Introduzione Cos’é Rappresentazione A cosa serve Esempio 2 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri F.d.t in frequenza Esempio 3 Calcolare e Disegnare Modulo Fase Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 2 / 44 Introduzione Cos’é Cos’é Un diagramma di Bode è una rappresentazione grafica della risposta in frequenza di un sistema lineare stazionario (LTI). Nota Bene ω = 2πf s = jω = j2πf Ricordiamo che si parla di risposta in frequenza quando la funzione di trasferimento di un sistema lineare tempo invariante viene sollecitata da un ingresso di tipo sinusoidale con pulsazione ω al variare di questa. Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 3 / 44 Introduzione Rappresentazione Rappresentazione (1/2) Consiste in due grafici cartesiani che rappresentano rispettivamente l’ampiezza (o modulo) e la fase della funzione complessa di risposta in frequenza G(jω). Ascissa, la frequenza o la pulsazione. Ordinata, il modulo dell’ampiezza in decibel o la fase in gradi. Per facilitare lo studio, il diagramma del modulo e della fase vengono rappresentati su carta semilogaritmica divisa in decadi. Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 4 / 44 Introduzione Rappresentazione Rappresentazione (2/2) Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 5 / 44 Introduzione A cosa serve A cosa serve Il diagramma di Bode trova applicazione, ad esempio, nella teoria dei controlli, nella teoria dei sistemi, nella progettazione di filtri e amplificatori. Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 6 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (1/4) Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 7 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (1/4) Equazioni del circuito Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 7 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (1/4) Equazioni del circuito ( (t) i = C dVout dt out (t) i = Vin (t)−V R Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 7 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (1/4) Equazioni del circuito ( (t) i = C dVout dt out (t) i = Vin (t)−V R 0 CVout (t) = Vin (t) − Vout (t) R Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 7 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (1/4) Trasformata di Laplace ( x(t) < −− > X (s) x 0 (t) < −− > sX (s) Equazioni del circuito ( (t) i = C dVout dt out (t) i = Vin (t)−V R 0 CVout (t) = Vin (t) − Vout (t) R Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 7 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (1/4) Trasformata di Laplace ( x(t) < −− > X (s) x 0 (t) < −− > sX (s) Equazione con Laplace Equazioni del circuito ( (t) i = C dVout dt out (t) i = Vin (t)−V R 0 CVout (t) = Vin (t) − Vout (t) R Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 7 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (1/4) Trasformata di Laplace ( x(t) < −− > X (s) x 0 (t) < −− > sX (s) Equazione con Laplace Equazioni del circuito ( (t) i = C dVout dt out (t) i = Vin (t)−V R 0 CVout (t) = CsVout (s) = Vin (s) − Vout (s) R Vin (t) − Vout (t) R Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 7 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (1/4) Trasformata di Laplace ( x(t) < −− > X (s) x 0 (t) < −− > sX (s) Equazione con Laplace Equazioni del circuito ( (t) i = C dVout dt out (t) i = Vin (t)−V R 0 CVout (t) = CsVout (s) = Vin (t) − Vout (t) R Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Vin (s) − Vout (s) R Vout (s)(RCs + 1) = Vin (s) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 7 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (1/4) Trasformata di Laplace ( x(t) < −− > X (s) x 0 (t) < −− > sX (s) Equazione con Laplace Equazioni del circuito ( (t) i = C dVout dt out (t) i = Vin (t)−V R 0 CVout (t) = CsVout (s) = Vin (t) − Vout (t) R Vout (s)(RCs + 1) = Vin (s) G(s) = Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Vin (s) − Vout (s) R Diagrammi di Bode 1 Vout (s) = Vin (s) RCs + 1 25 maggio 2014 7 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (2/4) R = 100k Ω, C = 1µF Calcolo guadagno µ G(s) = 1 RCs + 1 Calcolo zeri Non ci sono Calcolo poli 1 µ = G(0) = =1 0+1 Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) RCs + 1 = 0 1 s=− = −10 RC Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 8 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (3/4) Calcolo del modulo |G(jω)|dB 1 1 = 20 log |µ|−20 log 1+jω = 20 log 1−20 log 1+jω −1 RC 10 |G(0)|dB = 20 log |1| − 20 log |1| = 0dB |G(j)|dB = 20 log |1| − 20 log |1 + j10| ' −20dB Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 9 / 44 Introduzione Esempio Esempio: Filtro passivo passa basso (4/4) Calcolo della fase arg Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 10 / 44 Indice 1 Introduzione Cos’é Rappresentazione A cosa serve Esempio 2 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri F.d.t in frequenza Esempio 3 Calcolare e Disegnare Modulo Fase Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 11 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (1/3) Forma Normale Q Q ρ i (s + zi ) i (s2 + 2ζi αni s + α2 ni ) Q Q 2 G(s) = g 2 s i (s + pi ) i (s + 2ξi ωni s + ω ni ) Forma di Bode G(s) = Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) µ Q sg Q i (1 i (1 + τi s) Q + Ti s) Q 2ζi s 2 αni s + αni 2 + ω2ξnii s + ωsni 1+ i i 1 Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 12 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (1/3) Forma Normale Q Q ρ i (s + zi ) i (s2 + 2ζi αni s + α2 ni ) Q Q 2 G(s) = g 2 s i (s + pi ) i (s + 2ξi ωni s + ω ni ) Parametri τi = 1 zi Ti = 1 pi Forma di Bode G(s) = Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) µ Q sg Q i (1 i (1 + τi s) Q + Ti s) Q 2ζi s 2 αni s + αni 2 + ω2ξnii s + ωsni 1+ i i 1 Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 12 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (1/3) Forma Normale Q Q ρ i (s + zi ) i (s2 + 2ζi αni s + α2 ni ) Q Q 2 G(s) = g 2 s i (s + pi ) i (s + 2ξi ωni s + ω ni ) Parametri τi = 1 zi Ti = ρ= Q Q µ i τi i ωni 2 Q Q 2 i Ti i αni µ= 1 pi Q Q ρ i zi i αni 2 Q Q 2 i pi i ωni Forma di Bode G(s) = Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) µ Q sg Q i (1 i (1 + τi s) Q + Ti s) Q 2ζi s 2 αni s + αni 2 + ω2ξnii s + ωsni 1+ i i 1 Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 12 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (2/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Parametri Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 13 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (2/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Parametri ρ é uno scalare ed é detto costante di trasferimento Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 13 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (2/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Parametri ρ é uno scalare ed é detto costante di trasferimento g > 0: poli nell’origine g < 0: zeri nell’origine g é un intero, ed é detto tipo g = 0: ne poli, ne zeri nell’origine Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 13 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (2/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Parametri ρ é uno scalare ed é detto costante di trasferimento g > 0: poli nell’origine g < 0: zeri nell’origine g é un intero, ed é detto tipo g = 0: ne poli, ne zeri nell’origine rd é un interno, ed é detto grado relativo Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 13 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (2/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Parametri ρ é uno scalare ed é detto costante di trasferimento g > 0: poli nell’origine g < 0: zeri nell’origine g é un intero, ed é detto tipo g = 0: ne poli, ne zeri nell’origine rd é un interno, ed é detto grado relativo µ é uno scalare ed é detto guadagno Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 13 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (3/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) = Diagrammi di Bode µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni 25 maggio 2014 14 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (3/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Reali Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 14 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (3/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Reali spoli = −pi = − T1i Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 14 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (3/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Reali spoli = −pi = − T1i Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) szeri = −zi = − τ1i Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 14 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (3/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Reali spoli = −pi = − T1i szeri = −zi = − τ1i Complessi Coniugati Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 14 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (3/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Reali spoli = −pi = − T1i szeri = −zi = − τ1i Complessi Coniugati spoli = −ξi ωni ± jωni Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) q 1 − ξi 2 Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 14 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (3/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Reali spoli = −pi = − T1i szeri = −zi = − τ1i Complessi Coniugati szeri q 1 − ξi 2 q = −ζi αni ± jαni 1 − ζi 2 spoli = −ξi ωni ± jωni Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 14 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (3/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Reali spoli = −pi = − T1i szeri = −zi = − τ1i Complessi Coniugati szeri q 1 − ξi 2 q = −ζi αni ± jαni 1 − ζi 2 spoli = −ξi ωni ± jωni Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode αni e ωni pulsazione naturale 25 maggio 2014 14 / 44 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri Rappresentazioni e Parametri della F.d.t (3/3) Forma Normale G(s) = Forma di Bode Q Q ρ i (s+zi ) i (s2 +2ζi αni s+α2 ni ) Q Q sg i (s+pi ) i (s2 +2ξi ωni s+ω 2 ni ) = µ s Q 2ζ s 2 i i (1+ αni s+( αni ) ) Q 2ξi s 2 i (1+Ti s) i (1+ ω s+( ω ) ) i (1+τi s) Q Q g ni ni Reali spoli = −pi = − T1i szeri = −zi = − τ1i Complessi Coniugati szeri q 1 − ξi 2 q = −ζi αni ± jαni 1 − ζi 2 spoli = −ξi ωni ± jωni Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode αni e ωni pulsazione naturale ζi e ξi smorzamento 25 maggio 2014 14 / 44 F.d.t. F.d.t in frequenza F.d.t in frequenza Forma di Bode G(s) = µ Q sg Q i (1 i (1 + τi s) Q + Ti s) i (1 Q 2ζi s 2 αni s + ( αni ) ) + ω2ξnii s + ( ωsni )2 ) + i (1 corrisponde la seguente risposta in frequenza s = jω G(jω) = Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) µ Q sg Q i (1 i (1 + jωτi ) Q + jωTi ) i (1 Q i (1 Diagrammi di Bode 2jζi ω ω 2 αni − ( αni ) ) ω 2 iω + 2jξ ωni − ( ωni ) ) + 25 maggio 2014 15 / 44 F.d.t. Esempio Esempio A: F.D.T. (1/3) Forma normale G(s) = − 10(s + 10)(s − 8) (s + 1)(s + 100)(s + 9) Si possono ricavare subito: Poli s = −p = − T1 Zeri s = −z = − τ1 s = −1 s = −10 s = −100 s = +8 s = −9 Costante di trasferimento ρ Tipo del sistema g ρ = −10 Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) g=0 Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 16 / 44 F.d.t. Esempio Esempio A: F.D.T. (2/3) Forma normale G(s) = − 10(s + 10)(s − 8) (s + 1)(s + 100)(s + 9) Ora trasformiamo nella forma di Bode 1 1 1 8 9 100 1 1 − 81 100 9 1 1 s s 10(1 + 10 )(1 − 8 ) 1 100 9 − s s 1 (s + 1)(1 + 100 )(1 + 9 ) 10 − 18 1 s s (10)(10)(−8) 10(1 + 10 )(1 − 8 ) − s (100)(9) (s + 1)(1 + 100 )(1 + 9s ) 10(s + 10)(s − 8) G(s) = − (s + 1)(s + 100)(s + 9) = = Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 1 10 1 10 − 25 maggio 2014 17 / 44 F.d.t. Esempio Esempio A: F.D.T. (3/3) Forma di Bode G(s) = s (1 + 10 )(1 − 8s ) 8 s 9 (s + 1)(1 + 100 )(1 + 9s ) Da cui si può ricavare: Guadagno µ µ = G(0) = Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) 8 9 Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 18 / 44 F.d.t. Esempio Esempio V: F.D.T. (1/3) Forma di Bode G(s) = s (1 + 10 )(1 − 8s ) 8 s 9 (s + 1)(1 + 100 )(1 + 9s ) Da cui si può ricavare: Guadagno µ µ = G(0) = Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) 8 9 Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 19 / 44 Indice 1 Introduzione Cos’é Rappresentazione A cosa serve Esempio 2 F.d.t. Rappresentazioni e Parametri F.d.t in frequenza Esempio 3 Calcolare e Disegnare Modulo Fase Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 20 / 44 Calcolare e Disegnare Modulo Modulo L’asse delle ordinate riporta in scala lineare il valore del modulo della risposta in frequenza espresso in decibel [dB]. |G(jω)|dB = 20 log |G(jω)| |G(jω)|dB > 0 − − − |G(jω)| > 1 |G(jω)|dB = 0 − − − |G(jω)| = 1 |G(jω)|dB < 0 − − − 0 < |G(jω)| < 1 Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 21 / 44 Calcolare e Disegnare Modulo Calcolo del modulo |G(jω)|dB = 20 log µ Q sg Q i (1 i (1 + jωτi ) Q + jωTi ) i (1 Q 2jζi ω ω 2 αni − ( αni ) ) ω 2 iω + 2jξ ωni − ( ωni ) ) + i (1 Applicando le proprietà dei logaritmi si ha: |G(jω)|dB = 20 log |µ| − 20g log |jω| + X X ω 2 2jζi ω − + + 20 log |1 + jωτi | + 20 log 1 + αni αni i i 2 X X ω 2jξ ω i − 20 log |1 + jωTi | − 20 log 1 + − ωni ωni i i Si nota che nel dominio G(jω) per calcolare gli zeri, basta partire dal valore dei poli cambiando i segni. Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 22 / 44 Calcolare e Disegnare Modulo Regole per il tracciamento del diagramma asintotico del modulo Indipendente dal segno della parte reale Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 23 / 44 Calcolare e Disegnare Modulo Regole per il tracciamento del diagramma asintotico del modulo Indipendente dal segno della parte reale Tratto iniziale Il tratto iniziale ha pendenza −g e in ω = 1 il suo prolungamento assume il valore 20 log |µ|; Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 23 / 44 Calcolare e Disegnare Modulo Regole per il tracciamento del diagramma asintotico del modulo Indipendente dal segno della parte reale Tratto iniziale Il tratto iniziale ha pendenza −g e in ω = 1 il suo prolungamento assume il valore 20 log |µ|; Cambio pendenza Reali Zero +20dB/decade Coppia complessi coniugati Zero +40dB/decade Polo −20dB/decade Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Polo −40dB/decade Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 23 / 44 Calcolare e Disegnare Modulo Gµ (jω) = µ |G(jω)|dB = 20 log |µ| Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 24 / 44 Calcolare e Disegnare Gtipo (jω) = Modulo 1 sg |G(jω)|dB Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) 1 = g20 log = −g20 log ω jω Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 25 / 44 Calcolare e Disegnare Gpolo (jω) = Modulo 1 1+Ts |G(jω)|dB Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) p 1 = −20 log 1 + ω 2 T 2 = 20 log 1 + jωT Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 26 / 44 Calcolare e Disegnare Modulo Gzero (jω) = 1 + τ s p |G(jω)|dB = 20 log |1 + jωτ = 20 log 1 + ω 2 τ 2 Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 27 / 44 Calcolare e Disegnare Gpolocmplx (jω) = |G(jω)|dB 1 1+ ω2ξn jω+ = 20 log Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Modulo jω ωn 2 s ω ω2 2 + 2ξ 1− 2 2 = −20 log ωn ωn 1 + ω2ξn jω + ωjωn 1 Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 28 / 44 Calcolare e Disegnare Gzerocmplx (jω) = 1 + |G(jω)|dB 2ζ ωn jω + Modulo jω 2 ωn s 2 2ζ ω 2 jω ω2 2 = 20 log 1+ jω+ = 20 log + 2ζ 1− 2 ωn ωn ωn ωn Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 29 / 44 Calcolare e Disegnare Fase Fase L’asse delle ordinate riporta in scala lineare, il valore di arg della risposta in frequenza espresso in gradi. Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 30 / 44 Calcolare e Disegnare Fase Calcolo della fase (1/2) arg G(jω) = arg µ − g arg(jω) + X X 2jζi ω ω 2 + arg(1 + jωτi ) + arg 1 + − + αni αni i i X X 2jξi ω ω 2 − arg(1 + jωTi ) − arg 1 + − ωni ωni i Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) i Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 31 / 44 Calcolare e Disegnare Fase Calcolo della fase (2/2) ∠G(jω) 0 ω = arctan − g arctan + µ 0 X 2ζi ω X ωτi αni + arctan + arctan 2 + 1 1− ω i − X i Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) i arctan ωTi 1 − Diagrammi di Bode X i arctan αni 2ξi ω ωni 1− ω 2 ωni 25 maggio 2014 32 / 44 Calcolare e Disegnare Fase Regole per il tracciamento del diagramma asintotico del modulo fase Regole Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 33 / 44 Calcolare e Disegnare Fase Regole per il tracciamento del diagramma asintotico del modulo fase Tratto iniziale Il tratto iniziale del diagramma ha ordinata arg µ − g90; Regole Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 33 / 44 Calcolare e Disegnare Fase Regole per il tracciamento del diagramma asintotico del modulo fase Tratto iniziale Il tratto iniziale del diagramma ha ordinata arg µ − g90; Cambio pendenza Reali Zero τ >0 , 90o Polo T >0 , −90o T < 0 , 90o τ <0 τ < 0 , −90o Complessi coniugati Zero τ >0 , 180o Polo T >0 , −180o Regole Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) T <0 Diagrammi di Bode , −180o , 180o 25 maggio 2014 33 / 44 Calcolare e Disegnare Fase Gµ (jω) = µ ∠G(jω) = argµ = Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) ( arctan µ0 = 0o − arctan 0 µ Diagrammi di Bode = −180o ,µ > 0 ,µ < 0 25 maggio 2014 34 / 44 Calcolare e Disegnare Gtipo (jω) = Fase 1 sg ∠G(jω) = −g90o Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 35 / 44 Calcolare e Disegnare Gpolo (jω) = 1 1+Ts T >0 ∠G(jω) = arg Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Fase 1 1 + jωT = − arctan Diagrammi di Bode ω2T 2 1 25 maggio 2014 36 / 44 Calcolare e Disegnare Gpolo (jω) = 1 1+Ts T <0 ∠G(jω) = arg Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Fase 1 1 + jωT = − arctan Diagrammi di Bode ω2T 2 1 25 maggio 2014 37 / 44 Calcolare e Disegnare Gzero (jω) = 1 + τ s Fase τ >0 ω2τ 2 ∠G(jω) = arg 1 + jωτ = arctan 1 Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 38 / 44 Calcolare e Disegnare Gzero (jω) = 1 + τ s Fase τ <0 ω2τ 2 ∠G(jω) = arg 1 + jωτ = arctan 1 Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 39 / 44 Calcolare e Disegnare Gpolocmplx (jω) = Fase 1 1+ ω2ξn jω+ jω ωn positivo 2 ∠G(jω) = arg Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) 1 2ξ ωn jω 2 − ωωn Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 40 / 44 Calcolare e Disegnare Gpolocmplx (jω) = Fase 1 1+ ω2ξn jω+ jω ωn negativo 2 ∠G(jω) = arg Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) 1 2ξ ωn jω 2 − ωωn Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 41 / 44 Calcolare e Disegnare Gzerocmplx (jω) = 1 + 2ζ ωn jω + Fase jω 2 ωn ∠G(jω) = arg Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) 1 positivo 2ζ ωn jω 2 − ωωn Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 42 / 44 Calcolare e Disegnare Gzerocmplx (jω) = 1 + 2ζ ωn jω + Fase jω 2 ωn ∠G(jω) = arg Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) 1 negativo 2ζ ωn jω 2 − ωωn Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 43 / 44 Calcolare e Disegnare Fase Thank You! [email protected] Wikipedia.it Fondamenti di controlli automatici - McGraw Hill Andrea Mola (I.T.I.S. Cartesio) Diagrammi di Bode 25 maggio 2014 44 / 44
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