Misura del momento di inerzia di un volano

` DEGLI STUDI DI FIRENZE
UNIVERSITA
Facolt`a di Scienze M.F.N.
Corso di Laurea in Scienze Fisiche e Astrofisiche
Prof. Oscar Adriani
Appunti aggiuntivi al corso di
ESPERIMENTAZIONI I
MISURA DEL MOMENTO DI INERZIA DI UN VOLANO
18 marzo 2014
1
1
Introduzione
Lo scopo di questa esperienza `e la misura del momento di inerzia di un volano, che altro
non `e se non un disco cilindrico (realizzato in acciaio), vincolato a ruotare attorno ad un
asse fisso (vedi Figura 1). La misura verr`a effettuata andando a studiare il moto verticale
di un peso, utilizzato per mettere in rotazione il volano, aggiungendo progressivamente in
vicinanza del bordo del disco delle coppie di bulloni, che hanno lo scopo di modificare in
maniera nota e significativa il momento di inerzia complessivo del sistema in rotazione.
Figura 1: Fotografia dell’apparato sperimentale disponibile in laboratorio.
2
Descrizione dell’apparato e soluzione delle equazioni del moto
Il volano presente in laboratorio (vedi Figura 2, nella quale sono anche indicati tutti i
simboli che saranno utilizzato nel seguito) `e costituito da un disco di acciaio, libero di
ruotare attorno al proprio asse di simmetria O su due cuscinetti a sfera.
Lo scopo dei cuscinetti `e quello di ridurre il pi`
u possibile l’effetto delle forze di attrito.
In vicinanza del bordo esterno del volano sono stati realizzati simmetricamente 16 fori,
2
C
Diametro filo: dF
Δ
rB
O
δ
M
d
Figura 2: Disegno schematico del volano, con indicazione dei parametri geometrici
utilizzati per la descrizione del sistema.
di diametro δ, che hanno il loro centro a distanza rB dall’asse di rotazione; in questi fori
sar`a possibile avvitare dei bulloni M20, utilizzati per modificare il momento di inerzia
complessivo del sistema in rotazione.
Il disco di acciaio `e munito di una puleggia, coassiale con il disco, di diametro d, sulla
quale viene avvolto un filo di acciaio plastificato, di diametro dF , in buona approssimazione
inestensibile, che passa poi per la gola di una carrucola C. All’altro estremo del filo viene
sospesa una massa M , utilizzata per mettere in rotazione il volano.
Il sistema descritto `e sostanzialmente composto da un corpo rigido (il volano), che si
pu`o muovere solamente di moto rotatorio attorno a un asse passante per il suo centro
di massa, e da un corpo rigido (la massa M ) in moto traslatorio lungo la verticale. Per
risolvere le equazioni del moto dell’intero sistema, facciamo riferimento alla Figura 3, nella
quale sono schematicamente indicate le forze in gioco e i sistemi di riferimento utilizzati
per la descrizione sia del moto rotatorio del volano, che del moto lineare della massa M .
Sostanzialmente la carrucola C viene utilizzata solamente per variare la direzione della
→
−
tensione del filo T .
Per una rotazione del volano di un angolo infinitesimo dϕ, la massa M si muove lungo
la direzione y di una quantit`a dy tale che (si osservi la concordanza tra la variazione della
quota y e la variazione dell’angolo ϕ per come sono stati definiti i sistemi di riferimento):
dy = rdϕ
(1)
r = (d + dF )/2
(2)
con
Il moto lungo la verticale y della massa M pu`o quindi essere collegato al moto di rotazione
del volano attorno al suo asse, attraverso la relazione geometrica (1).
Scriviamo ora la prima equazione cardinale della dinamica (proiettata lungo l’asse
→
−
y) per la massa M , soggetta alla forza peso M~g e alla tensione applicata dal filo T (si
3
C
y’
ϕ
T
T
R
FA
x’
MT g
Mg
y
Figura 3: Descrizione schematica delle forze in gioco nello studio del moto del volano.
trascurano gli effetti dell’attrito dell’aria sul corpo M in movimento):
M g − T = M y¨
(3)
Il volano `e invece soggetto a un insieme di forze pi`
u complesso.
• Sull’asse fisso di rotazione viene applicata la forza peso MT ~g ;
→
−
• la tensione T viene applicata a una distanza r dal centro di rotazione;
→
−
• la reazione vincolare R dovuta al cuscinetto agisce radialmente, nell’ipotesi in cui
il cuscinetto sia considerato ideale;
• vanno poi considerate le forze dovute all’attrito, per ora schematizzate genericamen−
→
te con FA , dovute sia all’attrito dell’aria che all’attrito del cuscinetto, non indicate
esplicitamente in forma vettoriale nella Figura.
Per risolvere il moto del volano, applichiamo la seconda equazione cardinale della dinamica, utilizzando come centro di riduzione l’asse fisso di rotazione O.
−−→
→
−˙
L = τ ext
(4)
−−→
→
−
dove L `e il momento della quantit`a di moto del sistema, e τ ext `e il momento risultante
di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema. Dato che il volano altro non `e che un
→
−
corpo rigido in rotazione attorno a un asse fisso, L pu`o essere espresso come:
→
−
−
L = I→
ω
(5)
−
dove →
ω `e il vettore velocit`a angolare, diretto lungo l’asse z 0 di rotazione, il cui modulo
`e ϕ,
˙ e I rappresenta il momento d’inerzia del volano rispetto all’asse di rotazione. Le
forze applicate sull’asse di rotazione o dirette radialmente (la forza peso e le reazioni
4
−−→
→
−
vincolari) danno un contributo nullo a τ ext ; le altre forze in gioco (la tensione T e le forze
−−→
−
→
di attrito FA ) danno invece un contributo a τ ext diretto lungo l’asse z 0 , che `e uscente dal
foglio secondo le convenzioni definite nella Figura 3. La seconda equazione cardinale della
dinamica si riduce quindi alla seguente relazione tra i moduli:
I ϕ¨ = T r − τA
(6)
avendo indicato con τA il momento totale esercitato dalle forze di attrito, che ha segno
opposto rispetto a quello esercitato dalla tensione del filo T , dato che si oppone al moto.
La tensione T pu`o essere determinata tramite l’equazione (3). Tenendo anche conto della
relazione (1), si ottiene quindi:
I y¨
= M gr − M y¨r − τA
r
(7)
Questa equazione differenziale pu`o essere facilmente risolta se si assume che il momento
esercitato da tutte le forze d’attrito τA sia costante 1 . In tal caso si ottiene:
M gr2 − τA r
y¨ =
= a = costante
I + M r2
ϕ¨ =
M gr − τA
= costante
I + M r2
(8)
La massa M si muove in questo caso lungo la verticale di moto uniformemente accelerato,
con una accelerazione a che dipende sia dal momento d’inerzia del volano I rispetto all’asse
di rotazione, che dal peso M g, che dal momento delle forze di attrito τA , oltre che dal
braccio r. Il volano si muove di moto rotatorio uniformemente accelerato.
In laboratorio misureremo sperimentalmente il moto di caduta della massa M con il
metodo che verr`a descritto nel prossimo paragrafo, che ci permetter`a quindi di misurare
l’accelerazione a.
3
La misura dell’accelerazione a
Il metodo sperimentalmente adottato in laboratorio per misurare indirettamente l’accelerazione a si basa sull’utilizzo di tre fotocellule (F0 , F1 e F2 ), posizionate lungo l’asse di
caduta della massa M (vedi Figura 4).
Le tre fotocellule sono collegate a un circuito elettronico (cronometro+microprocessore)
utilizzato per misurare direttamente intervalli di tempo e calcolare conseguentemente l’accelerazione, sulla base della conoscenza delle posizioni delle fotocellule. L’errore di sensibilit`a del misuratore di tempo `e 10 µs. In particolare, la prima fotocellula F0 , posizionata
a una quota y0 = 02 , viene utilizzata per far partire il contatore del tempo quando la
massa M transita di fronte ad essa (fotocellula di start); la seconda fotocellula F1 (posizionata a una quota y1 ) e la terza fotocellula F2 (posizionata a una quota y2 ) vengono
1
Nel seguito verranno descritti alcuni sistemi per verificare sperimentalmente la correttezza di questa
ipotesi nel caso particolare del sistema disponibile in laboratorio
2
Per semplificare le formule utilizzate nel seguito, si assume di posizionare l’origine dell’asse y nella
posizione della prima fotocellula.
5
M
y=0
F0
Start
y=y1
F1 Intermedio
y=y2
F2
Stop
y
Figura 4: Rappresentazione schematica delle fotocellule utilizzate per lo studio del moto
verticale della massa M .
invece utilizzate per misurare il tempo di passaggio della massa M di fronte a loro (t1 e
t2 rispettivamente). F1 svolge la funzione di misurare il tempo intermedio t1 , F2 svolge la
funzione di misurare il tempo finale t2 .
Se si suppone che il moto di caduta della massa M sia uniformemente
accelerato con accelerazione a, l’equazione che descrive la sua quota y `e:
1
y(t) = v0 t + at2
2
(9)
assumendo che la prima fotocellula F0 sia posizionata alla quota y = 0.
Misurando i tempi di transito della massa M davanti alle due fotocellule F1 e F2 , si
pu`o quindi determinare l’accelerazione a:
a=2
y2 t1 − y1 t2
t1 t2 (t2 − t1 )
(10)
Nel caso del sistema disponibile in laboratorio, le quote y vengono misurate attraverso
due scale graduate solidali con la struttura che sostiene tutto il volano e devono essere
inserite nel codice del microprocessore, utilizzando i tasti di selezione opportunamente
predisposti. I tempi t1 e t2 vengono visualizzati sul display digitale del cronometro,
che permette anche la visualizzazione dell’accelerazione misurata. Il pulsante reset deve
essere utilizzato per riconfigurare il microprocessore tutte le volte che vengono cambiate
le posizioni delle fotocellule3 .
3
Si presti attenzione a non posizionare le fotocellule verticalmente troppo vicine le une alle altre,
per evitare malfunzionamenti del sistema di misura. Sulla scatola che contiene il microprocessore sono
posizionati alcuni Led, che permettono di verificare il corretto allineamento delle coppie trasmettitorericevitore e la corretta memorizzazione dei tempi di transito durante la caduta del peso.
6
4
Prima parte dell’esperienza: verifica del moto uniformemente accelerato della massa M
Nella prima parte dell’esperienza di laboratorio `e necessario verificare se l’ipotesi di moto
uniformemente accelerato della massa M `e corretta, dato che tutta l’analisi dei dati dell’esperienza verr`a effettuata utilizzando la relazione (10), che `e valida solamente in questa
ipotesi4 .
Per effettuare questa verifica, andremo a confrontare l’accelerazione a della massa
M misurata per posizioni diverse delle fotocellule utilizzate per la misura dei tempi. In
particolare, conviene tenere fissa la posizione delle prime due fotocellule F0 e F1 , e variare
la posizione della terza fotocellula F2 , andando quindi a misurare l’accelerazione della
massa M in diverse regioni del suo moto verticale.
Dal punto di vista pratico, per effettuare questa verifica conviene procedere nella
maniera seguente.
• Si posizionano le tre fotocellule rispettivamente alle quote y = 0, y = y1 e y = y2
(Posizione 1).
• Si avvolge completamente il filo sulla puleggia, si preme il bottone di reset del
cronometro, e si lascia cadere la massa M , stando attenti a minimizzare le oscillazioni
laterali, che potrebbero inficiare il sistema di misura dei tempi.
• Sul display del cronometro si leggono i tempi t1 e t2 relativi al passaggio della massa
M davanti alle fotocellule F1 e F2 , utilizzando il pulsante di select per commutare
tra l’uno e l’altro.
• Si ripete questa procedura almeno 4 o 5 volte, senza variare la posizione delle fotocellule, per avere un’idea della precisione con la quale si riesce a misurare a1 con la
tecnica usuale dello scarto massimo rispetto al valor medio.
• A questo punto si cambia la posizione della terza fotocellula F2 , e si ripete il ciclo di 5
o 6 misure, per misurare l’accelerazione a2 in questa nuova configurazione (Posizione
2).
• L’intera procedura viene ripetuta per almeno 3 o 4 posizioni diverse della terza
fotocellula, portando alla misura delle accelerazioni ai , i = 1...4/5 con i relativi
errori ∆ai .
Per verificare se il moto `e davvero uniformemente accelerato, le accelerazioni ai misurate
con diverse posizioni della terza fotocellula devono risultare compatibili tra loro, entro gli
errori di misura. La verifica pu`o essere fatta riportando in grafico le misure con i relativi
errori su carta millimetrata.
4
Ricordiamo che verificare la costanza dell’accelerazione a corrisponde a verificare la costanza del
momento delle forze di attrito τA .
7
5
Seconda parte dell’esperienza: misura del momento di inerzia del volano
Dopo aver verificato la correttezza dell’ipotesi del moto uniformemente accelerato della
massa M , si pu`o passare alla misura del momento di inerzia I0 del volano rispetto al suo
asse di rotazione5
Per effettuare questa misura si vanno ad eseguire misure dell’accelerazione a di caduta
della massa M aggiungendo al volano diversi bulloni M20, avvitati sui fori presenti in
prossimit`a del bordo del disco, che hanno lo scopo di modificare in maniera significativa
il momento di inerzia del sistema in rotazione.
Cerchiamo quindi di determinare come ci si aspetta che vari l’accelerazione a al variare
del numero di bulloni avvitati sul disco6 . Indichiamo con IB il contributo aggiuntivo al
momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione dovuto a un bullone di massa mB avvitato
a distanza rB dall’asse7 :
2
IB = mB rB
(11)
Se n bulloni sono avvitati sul disco, dalla relazione (8) si ottiene:
I0 + nIB + M r2
I0 + M r2
IB
1
=
=
+n
,
2
2
2
a(n)
M gr − τA r
M gr − τA r
M gr − τA r
(12)
che pu`o essere riscritta come
1
= α + βn,
a(n)
dove
α=
I0 + M r2
M gr2 − τA r
β=
(13)
IB
− τA r
M gr2
(14)
Ci si aspetta quindi una dipendenza lineare dell’inverso dell’accelerazione a dal numero
di bulloni avvitati sul disco n.
Dal punto di vista pratico, in laboratorio dovranno essere eseguite misure dell’accelerazione a(n) al variare del numero n di bulloni aggiunti, con 0 ≤ n ≤ 16, e con n
sempre multiplo di 2. Per ogni diversa configurazione di bulloni (sempre con la medesima
posizione delle fotocellule), se il tempo lo consente, potranno essere effettuate pi`
u misure
dell’accelerazione a(n) (tipicamente dell’ordine di 4-5), per stimare sia il valore medio
5
In realt`
a si misura il momento di inerzia di tutto il sistema in rotazione, costituito dal volano di acciaio
e dalla puleggia utilizzata per avvolgere il filo al quale `e sospesa la massa M . A causa della configurazione
geometrica del sistema, e a causa del diverso materiale di cui sono costituiti il disco (acciaio) e la puleggia
(alluminio, con densit`
a molto minore rispetto a quella dell’acciaio) il maggior contributo al momento di
inerzia complessivo viene comunque dal disco di acciaio.
6
Osserviamo che per mantenere il centro di massa del sistema sull’asse di rotazione, i bulloni vanno
aggiunti a coppie disposte simmetricamente rispetto all’asse di rotazione stesso, per come sono stati
realizzati i fori. Il numero di bulloni n che compare nelle formule seguenti deve quindi essere sempre pari.
7
Questo deriva dal teorema di Huygens-Steiner, assumendo di poter trascurare il momento di inerzia
del bullone rispetto al suo asse di simmetria (mB ρ2B /2, con ρB raggio equivalente del bullone) in con2
fronto con il termine dovuto alla distanza dall’asse di rotazione (mB rB
). Lo studente potr`a verificare la
correttezza di questa assunzione sulla base delle misure di laboratorio.
8
dell’accelerazione che il suo errore. In seguito, i vari valori misurati di a(n) (con i relativi
errori) dovranno essere riportati in grafico in funzione del numero di bulloni n, per ricavare l’ordinata all’origine α e il coefficiente angolare β della retta che meglio approssima i
dati sperimentali, con il metodo grafico e/o con il metodo del minimo di χ2 . Il momento
di inerzia del volano I0 pu`o quindi essere ricavato dalla misura dei parametri α e β della
retta risolvendo il sistema di equazioni (14):
I0 = IB
α
− M r2
β
(15)
dato che le altre quantit`a che compaiono nella formula possono essere misurate direttamente o indirettamente:
• M e mB vengono misurati con le bilance elettroniche a disposizione in laboratorio;
• r viene ricavato dalla misura del diametro d della puleggia e del diametro dF del filo
con un calibro (vedi (2));
• rB viene ricavato dalle misure di d, ∆ e δ (vedi Figura 2).
Come ulteriore risultato della misura di α e β `e possibile anche dare una stima del
momento totale delle forze di attrito τA :
τA = M gr −
IB
rβ
(16)
Si lascia al lettore la stima dell’incertezza con cui si ricavano I0 e τA , ottenuta propagando le incertezze nelle formule (15) e (16)8 .
6
Un’appendice: come dare una stima indipendente
di τA
A conclusione dell’esperienza, `e possibile dare una stima indipendente del momento totale
delle forze di attrito τA andando a valutare la perdita di energia meccanica del sistema
volano-massa M . Per come infatti `e stato realizzato il sistema di laboratorio, la massa M ,
dopo aver svolto completamente il filo dalla puleggia scendendo con moto uniformemente
accelerato, risale fino ad una certa altezza con moto uniformemente decelerato (si veda la
Figura 5). Se non fossero presenti forze dissipative, la massa M risalirebbe fino alla stessa
quota dalla quale `e stata lasciata cadere. La presenza delle forze dissipative fa invece s`ı
che la quota raggiunta a seguito della risalita non coincida con la quota iniziale di rilascio.
Una misura di questa differenza di quota ci permette quindi di stimare il valore di τA .
Vediamo come si pu`o procedere.
Supponiamo che la massa M venga inizialmente rilasciata da una quota y0 ; sia yf la
quota della massa M quando il filo `e completamente svolto, e y1 la quota raggiunta dalla
8
Si osservi che α e β, risultati del fit della retta nel piano 1/a - n, non sono indipendenti tra loro. Per
una corretta propagazione degli errori sarebbe necessario tenere conto del coefficiente di correlazione.
9
M
y=y0
M
y=y1
y=yf
y
Figura 5: Definizione delle quantit`a in gioco durante il ciclo discesa-risalita della massa
M.
massa M alla fine della sua risalita (queste quote possono essere stimate grossolanamente
traguardando la posizione della massa M rispetto alla scala graduata, con una precisione
dell’ordine del cm).
L’energia dissipata durante questo ciclo non `e altro che:
∆U = M g(y1 − y0 )
(17)
e deve essere uguale al lavoro totale fatto dalle forze di attrito, che nel caso di moto
rotatorio pu`o essere espresso come:
∆U =
Z
τA dα = τA ∆α
(18)
dove con ∆α abbiamo indicato l’angolo totale di cui `e ruotato il volano durante il ciclo di
discesa e risalita della massa M . Dalla (1) si trova che
∆α =
da cui
τA = M g
(yf − y0 ) (yf − y1 )
+
r
r
(y1 − y0 )
(y1 − y0 )
= M gr
∆α
2yf − y1 − y0
(19)
(20)
Misurando quindi la quota iniziale y0 , la quota minima yf e la quota raggiunta nuovamente
dopo la risalita y1 `e possibile ottenere una stima di τA indipendente da quella ottenuta in
precedenza, con la quale pu`o essere confrontata.
Come ultima osservazione, facciamo notare che questo sistema permette anche di verificare la costanza del momento delle forze di attrito τA , andando a misurare le quote
raggiunte in alcuni successivi cicli di discesa e risalita della massa M . Per il primo ciclo
si ha infatti che
τA
(y1 − y0 )
=
.
(21)
M gr
2yf − y1 − y0
10
In generale, per il ciclo i-esimo si deve avere che:
(yi+1 − yi )
τA
=
= costante
M gr
2yf − yi+1 − yi
(22)
Andando quindi a misurare le varie quote yi si pu`o verificare la validit`a dell’ipotesi di
costanza di τA .
Si tenga per`o presente che l’energia cinetica posseduta dal sistema quando il moto di M
si inverte bruscamente pu`o essere in parte dissipata a causa della non perfetta elasticit`a e
inestensibilit`a del filo. Queste perdite di energia non sono tenute in conto nella descrizione
di questa appendice.
11

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