Capitolo 1
Vettori applicati e geometria dello spazio
Marco Robutti
Facolt`
a di ingegneria
Universit`
a degli studi di Pavia
Tutorato di geometria e algebra lineare
Anno accademico 2014-2015
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Vettore applicato)
Un vettore applicato nel punto O e avente il secondo estremo
−→
nel punto P viene indicato con la scrittura v = OP.
Un vettore `e caratterizzato da:
una direzione;
un verso;
un modulo (|v|);
Figura: Un vettore.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Somma tra vettori )
−→ −→
Figure: La somma di due vettori OA e OB non aventi la stessa
direzione si ottiene costruendo il parallelogramma OACB che ha per
−→
lati OA e OB; il vettore somma corrisponde a OC , ossia alla diagonale
del parallelogramma con un estremo in O.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Moltiplicazione vettore scalare)
−→
−→
Il segmento orientato w = OS = αOP = αv, con α ∈ R, ha la
−→
stessa direzione di OP e verso concorde a quest’ultimo se α > 0.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Vettore differenza)
−→ −→
Il vettore differenza w = OB − OA si ottiene costruendo il
−→
−→
parallelogramma avente per lati i vettori OB e −OA. Se
−→
trasliamo A di un vettore pari a w, ossia AB, troviamo B; in
altre parole, B = A + w.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Span di un vettore)
Fissato un vettore non nullo u ∈ E3O , possiamo considerare
l’insieme di tutti i vettori applicati che si ottengono
moltiplicando u per un numero reale, indichiamo tale insieme
con:
n
Span (u) = v ∈ E3O | v = αu, α ∈ R
Marco Robutti
Capitolo 1
o
Definizione (Vettori linearmente indipendenti)
Due vettori u e v di E3O sono detti:
•linearmente indipendenti, se v ∈
/ span (u) o viceversa;
•linearmente dipendenti, se v ∈ span (u) o viceversa;
Figure: Vettori linearmente dipendenti (a sinistra) e indipendenti (a
destra).
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Equazioni parametriche di una retta)
Una retta r in forma parametrica in E3O `e l’insieme di tutti e
soli i punti P che possono essere descritti mediante una
scrittura del tipo:
P = P0 + tv,
t∈R
detta equazione parametrica vettoriale per la retta r .
x
[P] = y ,
z
x0
[P0 ] = y0 ,
z0
x
x0
v1
x
y = y0 + t v2 =⇒ y
z
z
z0
v3
Marco Robutti
Capitolo 1
v1
[v] = v2 ,
v3
= x0 + tv1
= y0 + tv2
= z0 + tv3
Figura: Una retta passante per il punto P0 e avente come vettore
direttore v.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Equazioni parametriche di una retta passante per
due punti dati)
Dati due punti P0 e P1 , l’equazione parametrica della retta r
passante per P0 e P1 `e data da:
P = P0 + tv,
x
[P] = y ,
z
t ∈ R, v = P1 − P0
x0
[P0 ] = y0 ,
z0
x
x0
x1 − x0
x
y = y0 + t y1 − y0 =⇒ y
z
z
z0
z1 − z0
Marco Robutti
Capitolo 1
x1
[P1 ] = y1 ,
z1
= x0 + t (x1 − x0 )
= y0 + t (y1 − y0 )
= z0 + t (z1 − z0 )
Figura: Una retta passante per i punti P0 e P1 .
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Equazioni parametriche di un piano)
Un piano π in E3O `e l’insieme di tutti e soli i punti P che si
possono descrivere nel seguente modo, che chiameremo
rappresentazione (o equazione) parametrica vettoriale del piano:
P = P0 + αu + βv,
x
[P] = y ,
z
x0
[P0 ] = y0 ,
z0
α, β ∈ R,
x0
u1
v1
x
x
y = y0 + α u2 + β v2 =⇒ y
z
v3
z
z0
u3
Marco Robutti
u1
[u] = u2 ,
u3
Capitolo 1
v1
[v] = v2 ,
v3
= x0 + αu1 + βv1
= y0 + αu2 + βv2
= z0 + αu3 + βv3
Figura: Un piano avente vettori direttori u e v.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Equazioni parametriche di un piano contenente 3
punti dati)
Dati tre punti P0 , P1 e P2 , le equazioni parametriche del piano π
contenente i punti dati sono date da:
P = P0 + αu + βv,
α, β ∈ R, u = P1 − P0 , v = P2 − P0
x
x0
x1
x2
[P] = y , [P0 ] = y0 , [P1 ] = y1 , [P2 ] = y2
z0
z1
z2
z
x
x0
x1 − x0
x2 − x0
y = y0 + α y1 − y0 + β y2 − y0 =⇒
z
z0
z1 − z0
z2 − z0
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Equazioni parametriche di un piano contenente 3
punti dati)
=⇒
x
y
z
= x0 + α (x1 − x0 ) + β (x2 − x0 )
= y0 + α (y1 − y0 ) + β (y2 − y0 )
= z0 + α (z1 − z0 ) + β (z2 − z0 )
Marco Robutti
Capitolo 1
Figura: Un piano passante per i punti P0 , P1 , P2 .
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Equazioni cartesiane di una retta)
Una retta scritta sotto forma di equazioni cartesiane `e vista
come l’intersezione tra due piani distinti contenenti la stessa
retta:
(
r:
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Equazione cartesiana di un piano)
L’equazione cartesiana di un piano si ottiene considerando il
piano come l’insieme dei punti dello spazio che soddisfa la
seguente condizione:
D−→ −−→ E
π = {P ∈ ε | OP − OP0 , n = 0}
x
P = y ,
z
x0
Po = y0 ,
z0
a
n = b , vettore normale
c
In tal caso il piano pu`
o essere scritto equivalentemente in due
modi:
a (x − x0 ) + b (y − y0 ) + c (z − z0 ) = 0
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Prodotto scalare)
Il prodotto scalare tra due vettori u e v `e definito come:
hu, vi = kuk · kvk · cos θ
oppure, in coordinate:
x
u = y ,
z
x0
v = y 0
z0
hu, vi = xx 0 + yy 0 + zz 0
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Proiezione ortogonale di un vettore su un altro)
Dati due vettori u e v, la proiezione ortogonale di v su u `e data
dal vettore w cos`ı definito:
w=
Marco Robutti
hu, vi
u
hu, ui
Capitolo 1
Figura: La proiezione ortogonale del vettore v sul vettore u.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Norma di un vettore)
Dato un vettore v = xˆi + yˆj + z ˆ
k `e definita come:
kvk =
q
hv, vi =
Marco Robutti
q
x2 + y2 + z2
Capitolo 1
Definizione (Distanza tra due punti)
La distanza tra due punti A e B `e uguale alla norma del vettore
differenza B − A:
d(A, B) =
q
(xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Distanza punto-piano)
xA
Dati un punto A = yA e un piano π : ax + by + cz + d = 0,
zA
la distanza tra il punto e il piano `e pari a:
d (A, π) =
|axA + byA + czA + d|
√
a2 + b 2 + c 2
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Fascio proprio di piani)
E’ dato dall’insieme zr dei piani contenenti una data retta r . I
piani appartenenti al fascio sono tutti e soli quelli la cui
equazione pu`o essere scritta nella forma:
λ (a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) + µ (a2 x + b2 y + c2 z + d2 ) = 0
(λ, µ) 6= (0, 0)
dove a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e a2 x + b2 y + c2 z = 0
rappresentano due piani π1 e π2 distinti appartenenti al fascio.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Fascio improprio di piani)
E’ dato dall’insieme zn dei piani aventi la stessa direzione
normale n. I piani appartenenti al piano sono tutti e soli quelli
la cui equazione pu`o essere scritta nella forma:
a0 x + b0 y + c0 z + d = 0,
a0
0
dove [n] = b0 6= 0 , d ∈ R
c0
0
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Posizione reciproca tra piani)
Dati due piani:
π1 : ax + by + cz = d
π 0 : a0 x + b 0 y + c 0 z = d 0
i due piani possono essere tra loro:
• paralleli;
• coincidenti;
• incidenti.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Piani paralleli)
I piani π e π 0 sono paralleli se e solo se hanno la stessa retta
normale per O. Ci`o avviene se e solo se i vettori n e n0 generano
la stessa retta, ovvero se e solo se n0 ∈ Span (n). Quindi esiste
un numero reale non nullo k tale che:
a0 = ka,
b0 = kb,
Marco Robutti
c 0 = kc
Capitolo 1
Figura: Due piani paralleli hanno vettori normali linearmente
dipendenti tra loro.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Piani coincidenti)
I piani π e π 0 sono coincidenti se e solo se sono paralleli e se
d 0 = kd. Ovvero se:
a0 = ka,
b0 = kb,
Marco Robutti
c 0 = kc,
Capitolo 1
d 0 = kd
Definizione (Piani incidenti)
I piani π e π 0 sono incidenti se non sono paralleli e non sono
coincidenti; allora la loro intersezione `e una retta:
r = π ∩ π0
e nessuna delle condizioni precedenti si verifica.
Marco Robutti
Capitolo 1
Figura: Due piani incidenti hanno vettori normali linearmente
indipendenti tra loro e definiscono una retta in E3O .
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Posizione reciproca tra rette)
Due rette r1 e r2 aventi rispettivamente i vettori direttori v1 e
v2 ∈ E3O possono essere tra loro:
• parallele;
• incidenti;
• sghembe;
• complanari.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Rette parallele)
Le rette r1 e r2 sono parallele se e solo se hanno la stessa
direzione, se e solo se i loro vettori direttori generano la stessa
retta, cio`e v2 ∈ Span (v1 ).
Marco Robutti
Capitolo 1
Figura: Due rette parallele hanno vettori direttori linearmente
dipendenti tra loro.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Rette incidenti)
Le rette r1 e r2 sono incidenti se e solo se si intersecano in un
unico punto r1 ∩ r2 = {P}.
Esistono due metodi per poter determinare il punto di
intersezione P.
Marco Robutti
Capitolo 1
Figura: Due rette incidenti hanno un solo punto in comune. Se hanno
pi`
u di un punto in comune, allora sono coincidenti.
Marco Robutti
Capitolo 1
Algoritmo - Metodo 1
Avendo le equazioni cartesiane di r1 e r2 ,basta metterle a
sistema:
(
(equazioni cartesiane di r1 )
(equazioni cartesiane di r2 )
se il sistema ammette una soluzione, allora le due rette
sono incidenti;
se il sistema ammette infinite soluzioni, allora le due rette
sono coincidenti;
se il sistema non ammette soluzioni, allora le due rette non
sono incidenti;
Marco Robutti
Capitolo 1
Algoritmo - Metodo 2
Avendo le equazioni parametriche di r1 e l’equazione cartesiana
di r2 , si effettuano i seguenti passi:
Considero un generico punto P1 = P01 + t1 appartenente
x
alla retta r1 e lo sostituisco al posto delle coordinate y
z
nelle equazioni cartesiane di r2 :
(
a1 xP1 + b1 yP1 + c1 zP1 + d1 = 0
a2 xP1 + b2 yP1 + c2 zP1 + d2 = 0
Risolvo il sistema considerando il parametro t1 come
variabile;
Marco Robutti
Capitolo 1
Algoritmo - Metodo 2
Se il sistema `e risolubile, allora le due rette sono incidenti e
il punto di intersezione P pu`
o essere trovato
determinandone le coordinate dalla equazioni parametriche
di r1 , dando al parametro il valore t1 = t∗, dove t∗ `e la
soluzione del sistema; se invece il sistema non `e risolubile,
allora vuol dire che le due rette non sono incidenti.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Rette sghembe)
Le rette r1 e r2 sono sghembe se non sono parallele e non sono
incidenti. In altre parole se non vi nessun piano che le contenga
entrambe:
n1 ∈
/ span (n2 ) ∧ r1 ∩ r2 = ∅
Marco Robutti
Capitolo 1
Figura: Due rette sghembe hanno come intersezione l’insieme vuoto.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Rette complanari)
Le rette r1 e r2 sono complanari se sono parallele o incidenti.
Marco Robutti
Capitolo 1
Figura: Due rette parallele (come in figura) o incidenti sono
complanari.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Posizione reciproca retta-piano)
Una retta r avente vettore direttore v e un piano avente vettore
normale n e giacitura {u1 , u2 } possono essere reciprocamente
nelle seguenti posizioni:
• incidenti;
• perpendicolari (la retta r `e perpendicolare al piano π);
• paralleli;
• la retta r `e contenuta nel piano π.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Retta e piano incidenti)
Una retta r e un piano π sonon incidenti se e solo se si
intersecano in un unico punto:
r ∩ π = {P}
Esistono tre metodi per poter determinare il punto di
intersezione P.
Marco Robutti
Capitolo 1
Figura: Una retta e un piano sono incidenti se hanno un punto in
comune.
Marco Robutti
Capitolo 1
Algoritmo - Metodo 1
Avendo le equazioni parametriche di r e le equazioni
parametriche di π, si ha che la retta e il piano sono incidenti se
e solo se:
v∈
/ Span (u1 , u2 ) ,
cio`e se e solo se:
hv, ni =
6 0
Questo metodo `e il pi`
u comodo per poter determinare se una
retta e un piano sono incidenti.
Marco Robutti
Capitolo 1
Algoritmo - Metodo 2
Avendo le equazioni cartesiane di r e π,basta metterle a sistema:
(
(equazioni cartesiane di r )
(equazione cartesiana di π)
se il sistema ammette una soluzione, allora il piano e la
retta sono incidenti;
se il sistema ammette infinite soluzioni, allora la retta `e
contenuta nel piano;
se il sistema non ammette soluzioni, allora la retta e il
piano sono paralleli;
Marco Robutti
Capitolo 1
Algoritmo - Metodo 3
Avendo le equazioni parametriche di r e l’equazione cartesiana
di π, si effettuano i seguenti passi:
Considero un generico punto P1 = P01 + t1 appartenente
x
alla retta r1 e lo sostituisco al posto delle coordinate y
z
nell’equazione cartesiana di π:
axP1 + byP1 + czP1 + d = 0
Risolvo l’equazione considerando il parametro t1 come
variabile;
Marco Robutti
Capitolo 1
Algoritmo - Metodo 3
Se il sistema `e risolubile, allora retta e piano sono incidenti
e il punto di intersezione P pu`
o essere trovato
determinandone le coordinate dalla equazioni parametriche
di r1 , dando al parametro il valore t1 = t∗, dove t∗ `e la
soluzione dell’equazione; se invece il sistema non `e
risolubile, allora vuol dire che le due rette non sono
incidenti.
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Retta perpendicolare al piano)
La retta r `e perpendicolare al piano π se e solo se la direzione di
r coincide con la direzione normale al piano, cio`e:
v ∈ Span (n)
Esistono tre metodi per poter determinare il punto di
intersezione P.
Marco Robutti
Capitolo 1
Figura: Una retta `e perpendicolare ad un piano se il vettore direttore
della prima `e linearmente dipendente al vettore normale del secondo
(nella figura vettore direttore e normale sono stati disegnati
rispettivamente sulla retta e sul piano per ragioni di chiarezza
espositiva: in realt`
a si trovano tutti nell’origine O!)
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Retta e piano paralleli)
La retta r e il piano π sono paralleli se e solo se:
v ∈ Span (u1 , u2 ) ∧ r ∩ π = ∅
La prima condizione equivale a dire che:
v ⊥ n =⇒ hv, ni = 0
Marco Robutti
Capitolo 1
Figura: Una retta e un piano sono paralleli se non hanno punti in
comune e se il prodotto scalare tra il vettore direttore della retta e il
vettore normale del piano `e nullo (`e da notare che in questa figura il
vettore direttore e quello normale sono posti correttamente
nell’origine!).
Marco Robutti
Capitolo 1
Definizione (Retta contenuta nel piano)
La retta r `e contenuta nel piano π se e solo se:
v ∈ Span (u1 , u2 ) ∧ r ∩ π 6= ∅
Marco Robutti
Capitolo 1
Figura: Una retta `e contenuta in un piano se il suo vettore direttore
appartiene allo Span dei vettori generatori del piano e se esiste almeno
un punto che appartiene sia alla retta che al piano.
Marco Robutti
Capitolo 1
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