Analisi dinamica ricorsiva

Notes:
BIOPROTESI I
Calcolo ricorsivo delle coppie ai giunti
Prof. Ettore Pennestr`ı
A.A. 2002
1
1. Cinematica dei meccanismi a catena aperta
2. Dinamica inversa
2
L’analisi dinamica inversa consiste nel definire quantitativamente l’azione dinamica esercitata dai muscoli durante un movimento di cui sia prescritta la
cinematica.
Ovviamente tale analisi presuppone altres`ı la conoscenza delle proprieta` inerziali dei vari segmenti.
3
Forze muscolari ed azionidinamiche nelle articolazioni
Il corpo umano, ai fini dell’impostazione di un modello per l’analisi cinematica e dinamica, puo` assimilarsi ad un insieme di corpi rigidi tra loro collegati
da coppie cinematiche.
I muscoli sono considerati alla stregua di attuatori
che impongono delle forze sul sistema meccanico.
In questa lezione ci occuperemo dell’analisi dei
carichi in ciascuna articolazione, nonche´ della riduzione delle forze esterne alle articolazioni.
4
Forze muscolari ed azioni dinamiche nelle articolazioni (cont.)
Si osserva che, nel settore della biomeccanica,
la definizione dei carichi sopportati da ciascuna articolazione ha motivazioni varie quali:
• la necessita` di analisi tensionali nella varie parti
della protesi;
• la previsione dell’usura;
• la comprensione dei meccanismi di danneggiamento nel corso di attivita` lavorative o sportive;
• la prevenzione dei danni generati da posture
non corrette.
Inoltre la definizione di sistemi di forze equivalenti a
quelli delle forze muscolari appare utile soprattutto
nella progettazione delle protesi.
5
Azioni dinamiche su
segmenti corporei ed
articoazioni
Geometria dei
segmenti corporei
Calcolo delle forze
motrici e vincolari
nelle articolazioni
Proprietà inerziali
dei segmenti
corporei
Cinematica dei
segmenti corporei
Determinazione della
distribuzione delle
forze muscolari
Modelli meccanici
di muscoli e tendini
Modelli fisiologici
di muscoli
Figura 1: Fasi della procedura per il calcolo delle forze muscolari e nelle
articolazioni
6
Cenni di statica del corpo rigido
In una protesi che sostituisce un arto, i membri
sono tra loro collegati attraverso coppie cinematiche.
7
NOMENCLATURA
Si adotti la seguente nomenclatura:
• F~i+1,i forza esercitata, in corrispondenza dell’origine oi, sul corpo i + 1 dal corpo i;
`
• ~g : accelerazione di gravita;
~ i+1,i momento risultante, calcolato attorno ad
•M
oi, esercitato sul corpo i + 1 dal corpo i;
−−→
• ~rGi = oiGi: vettore posizione del baricentro del
corpo i;
• ~r = −
o−−→
o : vettore posizione relativa dell’origine
i
i−1 i
oi rispetto ad oi−1;
• mi : massa del corpo i.
8
RELAZIONI FONDAMENTALI
Per il terzo principio della dinamica sussistono le
uguaglianze
F~i+1,i = −F~i,i+1 ,
~ i+1,i = −M
~ i,i+1 .
M
(1a)
(1b)
Inoltre, l’equilibrio del corpo i impone che sia
F~i,i−1 − F~i+1,i + mi~g = 0 , (2a)
~ i,i−1 − M
~ i+1,i − ~ri × F~i,i−1 + ~rG × mi~g = 0 . (2b)
M
i
9
~ i+1,i rappresentano le forze ed i
I vettori F~i+1,i e M
momenti vincolari tra i ed i + 1.
~ i,0 rappresentano forza e moPer i = 0, F~1,0 e M
mento esercitati dal telaio sul primo membro mobile.
Se n sono i corpi mobili, scriveremo 2n equazioni vettoriali in cui sono presenti 2 (n + 1) forze e
reazioni vincolari.
Cio` implica che almeno 2 reazioni vincolari devono essere specificate per risolvere il problema.
10
Allorche´ la protesi dell’arto superiore sta eseguendo un particolare compito, il membro terminale (endeffector ) sara` soggetto ad un carico che sara` ovviamente noto.
~ n+1,n possono essere
Dunque, i vettori F~n+1,n e M
considerarsi grandezze note.
In virtu` di tale osservazione, le (2) ci consentono di impostare un metodo ricorsivo per l’analisi
dinamica.
11
Metodo ricorsivo
Equazioni di equilibrio del corpo i:
F~i,i−1 = F~i+1,i − mi~g ,
~ i,i−1 = M
~ i+1,i − ~ri × F~i,i−1 + ~rG × mi~g .
M
i
12
(3a)
(3b)
Ai fini pratici e` necessario osservare che:
• i vettori delle forze e dei momenti sono espressi
nel riferimento inerziale;
• i vettori posizione (e.g. ~rGi ed ~ri) sono espressi
nel riferimento locale al corpo i.
13
Pertanto, prima di applicare le (3), e` necessario
eseguire le trasformazioni matriciali:
{rGi }(0) = [A]0i {rGi }(i) ,
(4a)
{ri}(0) = [A]0i {ri}(i) ,
(4b)
Avvalendosi delle (3) le forze di reazione possono essere calcolate in maniera ricorsiva a partire
dal membro terminale (i = n, n − 1, . . . , 1) fino a
giungere al membro adiacente al telaio.
14
Metodo ricorsivo
In precedenza, l’analisi e` stata eseguita considerando i vettori tutti espressi nel riferimento inerziale.
La stessa analisi puo` essere eseguita anche considerando i vettori suddetti nei riferimenti locali ai
corpi.
Pertanto, introdotte le trasformazioni
{Fi,i−1}(i−1) = [A]i−1
{Fi}(i) ,
i
(5a)
{Mi,i−1}(i−1) = [A]i−1
{Mi}(i) ,
i
(5b)
le (3) forniscono, utilizzando la notazione matriciale,
{Fi,i−1}(i) = {Fi+1,i}(i) − mi {g}(i) ,
(6a)
h i
h i
(i)
(i)
{Mi,i−1}(i) = {Mi+1,i}(i) + r˜i {Fi,i−1}(i) − r˜Gi mi {g}(i) ,
(6b)
con {g}(i) = [A]i0 {g}(0) vettore accelerazione di gra`
vita.
15
E’ appena il caso di osservare che, prima di utilizzare le (6), e` talvolta necessario eseguire preliminarmente le trasformazioni:
{Fn+1,n}(n) = [A]n0 {Fn+1,n}(0) ,
(7a)
{Mn+1,n}(n) = [A]n0 {Mn+1,n}(0) .
(7b)
16
Coppie equivalenti ai giunti
Una volta calcolate le azioni vincolari (forze e momenti) si puo` procedere alla definizione le forze motrici τi nelle articolazioni.
In generale distingueremo due casi:
• Coppia prismatiche (praticamente assenti nel corpo umano).
Il modulo della forza motrice lungo l’asse della
coppia si ottiene dal prodotto scalare
τi = {zi−1}T {Fi,i−1} ,
(8)
ove {zi−1} e` il versore del suddetto asse.
• Coppie rotoidali (a cui si possono assimilare molte delle articolazioni del corpo umano).
Il modulo della forza motrice lungo l’asse della
coppia si ottiene dal prodotto scalare
τi = {zi−1}T {Mi,i−1} ,
ove {zi−1} e` il versore del suddetto asse.
17
(9)
Esempio
M4,3
F4,3
x3
L3
θ3
y3 y
2
o2
L2
L1
θ1
G2
θ2 x1
y1
y0
x2
o1
G1
x0
Figura 2: Modello di protesi di braccio
18
Il modello e` piano ed e` costituito da tre segmenti
rigidi:
braccio(membro 1)-avambraccio(membro
2)-mano(membro 3)
Le coppie rotoidali schematizzano le articolazioni.
La scelta dei riferimenti cartesiani locali e` avvenuta in accordo con la convenzione adottata nell’impostazione del metodo di Denavit-Hartenberg.
19
Le dimensioni principali dei segmenti, nonche´ le
posizioni dei rispettivi baricentri Gi (i = 1, 2, 3), sono
rispettivamente definite dai seguenti vettori:
{ri}(i) =
{rGi }
(i)
=
T
Li 0 0
−Li/2 0 0
20
,
T
.
Forza e coppia che agiscono sulla mano valgono:
T
{F4,3} = Fx Fy 0
,
T
.
{M4,3} = 0 0 Mz
21
Per il meccanismo in esame, la matrice di trasformazione di Denavit-Hartenberg, imponendo
π
αi = ,
2
si = 0 ,
si particolarizza nella seguente

cos θi − sin θi 0 ai cos θi

 sin θi cos θi 0 ai sin θi
[H]i−1
=

i
0
1
0
 0
0
0
0
1
22



 .

(10)
Pertanto, fatte le posizioni
sθij
cθij
sθijk
cθijk
= sin (θi + θj ) ,
= cos (θi + θj ) ,
= sin (θi + θj + θk ) ,
= cos (θi + θj + θk ) ,
risulta


cθ1 −sθ1 0 L1cθ1


 sθ1 cθ1 0 L1sθ1 
0
[H]1 = 
 ,
0 1 0 
 0
0
0 0 1
[H]02 = [H]01 [H]12

cθ12 −sθ12

cθ12
 sθ
=  12
0
 0
0
0
0 L1cθ1 + L2cθ12
0 L1sθ1 + L2sθ12
1
0
0
1
[H]03 = [H]01 [H]12 [H]23

cθ123 −sθ123

cθ123
 sθ
=  123
0
 0
0
0



 ,

0 L1cθ1 + L2cθ12 + L3cθ123
0 L1sθ1 + L2sθ12 + L3 sin θ123
1
0
0
1
23



 .

Operate le opportune trasformazioni, avremo
T
{r1}(0) = L1 cos θ1 L1 sin θ1 0
,
T
(0)
{r2} = L2 cos θ12 L2 sin θ12 0
,
T
{r3}(0) = L3 cos θ123 L3 sin θ123 0
,
ed
(0)
=
{rG2 }(0) =
{rG1 }
{rG3 }
(0)
=
− L21
− L22
− L23
T
,
cos θ1 − L21 sin θ1 0
T
,
cos θ12 − L22 sin θ12 0
T
L3
cos θ123 − 2 sin θ123 0
24
.
L’applicazione delle (3) fornisce
• i=3


Fx


(0)
(0)
(0)
{F3,2} = {F4,3} − m3 {g} = Fy + m3g


0
{M3,2}
(0)
(0)
= {M4,3}
+
h
(0)
r˜3
i
{F3,2}
(0)
−
h
(0)
r˜G3
i
m3 {g}(0)
con
M3,2z = Mz +Fy L3 cos θ123−FxL3 sin θ123+
25
m3gL3
cos θ123
2



0 
=
0


M3,2z
•
i=2
{F2,1}(0) = {F3,2}(0) − m2 {g}(0)
(0)
{M2,1}
(0)
= {M3,2}
+
h
(0)
r˜2
i



Fx

= Fy + (m2 + m3) g


0
{F2,1}
(0)
−
h
(0)
r˜G2
i
m2 {g}(0)



0 
=
0


M2,1z
con
M2,1z =Mz + Fy (L2 cos θ12 + L3 cos θ123) − Fx (L2 sin θ12 + L3 sin θ123)
m2gL2
L3
+
cos θ12 + m3g L2 cos θ12 +
cos θ123
2
2
26
•
i=1
{F1,0}(0)
{M1,0}(0)



Fx

(0)
(0)
= {F2,1} − m1 {g} = Fy + (m1 + m2 + m3) g


0


0


h i
h i
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
= {M2,1} + r˜1 {F1,0} − r˜G1 m1 {g} =
0


M1,0z
27
con
M1,0z =Mz + Fy (L1 cos θ1 + L2 cos θ12 + L3 cos θ123)
− Fx (L1 sin θ1 + L2 sin θ12 + L3 sin θ123)
m1gL1
L2
+
cos θ1 + m2g L1 cos θ1 +
cos θ12
2
2
L3
cos θ123
+ m3g L1 cos θ1 + L2 cos θ12 +
2
28
Per calcolare le coppie ai giunti necessarie per
equilibrare le forze esterne agenti sulla mano, applicheremo la (9) per i = 1, 2, 3:
τ1 = {z0}T {M1,0} = M1,0z ,
τ2 = {z0}T {M2,1} = M2,1z ,
τ3 = {z0}T {M2,1} = M3,2z .
29
Appare opportuno osservare che, in assenza di
gravita` le precedenti possono riassumersi nella equazione
 


 τ1 
 Fx 
T
= [J]
(11)
τ
F
 y 
 2
τ3
Mz
ove


− (L1sθ1 + L2sθ12 + L3sθ123) − (L2sθ12 + L3sθ123) −L3sθ123
[J] =  (L1cθ1 + L2cθ12 + L3cθ123) (L2cθ12 + L3cθ123) L3cθ123 
1
1
1
(12)
e` la matrice Jacobiana.
30
inipag
Riferimenti bibliografici
[1] Pennestr`ı, E., Dinamica Tecnica e Computazionale, Casa Editrice Ambrosiana, Milano,
2002.
31

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