Metodo dei nodi e delle maglie

TEORIA dei CIRCUITI
Ingegneria dell’Informazione
− METODO DEI NODI E
DELLE MAGLIE−
Stefano Pastore
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Corso di Teoria dei Circuiti (105IN)
a.a. 2013-14
Metodi generali di analisi
•
I metodi generali di analisi dei circuiti
a parametri concentrati più utilizzati
sono:
A. Il metodo dei nodi puro e modificato
B. Il metodo delle maglie puro e
modificato
2
Metodo dei nodi puro
• È limitato ai circuiti che contengono
componenti controllati in tensione
• È un derivato del tableau. Le variabili del
sistema sono i potenziali di nodo
A i = 0

T
=
⇒
v
A
e

i = Gv + i
s

(
)
AGv + Ai s = 0 ⇒ AGA T e = − Ai s
⇒ G nod e = h s
• Se det Gnod ≠ 0, allora il circuito è ben posto,
come nel tableau. Gnod è simmetrica se nel
circuito ci sono solo bipoli.
• Come si deduce dalle sequenza di equazioni
sopra scritte, si scrive IK per tutti i nodi
esprimendo le correnti in funzione dei
potenziali di nodo
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Metodo dei nodi puro - esempio
• Scriviamo le due equazioni ai nodi per il
circuito LRI di figura alimentato in continua
• Nodo 1:
IK) ia + ib + ic = 0
cost ) ia = va G1 , ib = vbG3 , ic = vc G2
IIK) va = e1 − Vs , vb = e1 , vc = e1 − e2
(e1 − Vs ) G1 + e1G3 + (e1 − e2 ) G2
=0
4
Metodo dei nodi puro – esempio (2)
• Nodo 2:
IK) i 'a +i 'b = I s
cost ) i 'a = v'a G2 , i 'b = v'b G4
IIK) v'a = e2 − e1 , v'b = e2
(e2
− e1 ) G2 + e2G4 = I s
• Raccogliendo i coefficienti si ottiene
e1 (G1 + G2 + G3 ) − e2G2 = Vs G1
− e G + e (G + G ) = I
2
2
4
s
 1 2
• In forma matriciale
G1 + G2 + G3

− G2

− G2   e1  Vs G1 
=



G2 + G4  e2   I s 
• N.B. la matrice Gnod è simmetrica
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Metodo dei nodi modificato (MNA)
• È il metodo principe dei programmi di
analisi dei circuiti
• La presenza di componenti non
controllati in tensione viene risolta
aggiungendo ulteriori variabili ai
potenziali di nodo. Il numero delle
variabili aumenta, ma il metodo
diventa assolutamente generale
• Le variabili aggiunte sono le correnti
dei componenti non controllati in
tensione
• Per equilibrare il numero di incognite e
di equazioni, si devono aggiungere al
sistema puro le relazioni costitutive dei
componenti non controllati in tensione
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Metodo dei nodi mod. - esempio
• Scriviamo le equazioni ai nodi per il circuito
LDI di figura alimentato in alternata
• Il trasformatore ideale è un componente a due
porte non-controllato in tensione. Infatti le
equazioni sono (con i fasori)
V1 = n V2

1

 I1 = − n I 2
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Metodo dei nodi mod. – esempio (2)
• Si ottiene
(
E
1)
− Vs )
+ E1 jωC + I1 = 0
R1
(
E2 − E3 )
=0
2) I 2 +
R2 + jωL
(
E3 − E2 ) E3
3)
+
= Is
R2 + jωL R3
A1) E1 − n E2 = 0
1
A2) I1 + I 2 = 0
n
1
• Sistema di 5 equazioni in 5 variabili (E1, E2,
E3, I1, I2). Alle prime 3 equazioni relative ai
nodi si aggiungono le equazioni costitutive
dei componenti non-controllati in tensione
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Metodo delle maglie puro
• È limitato ai circuiti che contengono
componenti controllati in corrente
• È un derivato del tableau. Le variabili del
sistema sono le correnti di maglia o di anello
• Le maglie sono presenti solo nei circuiti con
grafo planare, gli anelli possono essere
individuati in qualsiasi circuito
Rmag Imag = hs
• Se det Rmag ≠ 0, allora il circuito è ben posto,
come nel tableau. Rmag è simmetrica se nel
circuito ci sono solo bipoli.
• Si scrive IIK per tutte le maglie esprimendo le
tensioni in funzione delle correnti di maglia
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Metodo delle maglie puro - esempio
• Scriviamo le due equazioni alle maglie per il
circuito LRI di figura alimentato in continua
• Maglia 1:
IIK) va + vb = Vs
cost ) va = R1ia , vb = R3ib
IK) ia = I1 , ic = I 2 , ib = ia − ic = I1 − I 2
R1 I1 + R3 (I1 − I 2 ) = Vs
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Metodo delle maglie p. – esempio (2)
• Maglia 2:
IIK) va + vb + vc = 0
cost ) va = R3ia , vb = R2ib , vc = R4ib
IK) ia = I 2 − I1 , ic = I 2 , ib = I 2
ic = ib + I s = I 2 + I s
R3 (I 2 − I1 ) + R2 I 2 + R4 (I 2 + I s ) = 0
• Raccogliendo i coefficienti si ottiene
(R1 + R3 )I1 − R3 I 2 = Vs
− R I + I ( R + R + R ) = − R I
2
2
3
4
4 s
 3 1
• In forma matriciale
 R1 + R3
 −R
3

− R3
  I1   Vs 
=



R2 + R3 + R4   I 2  − R4 I s 
• N.B. la matrice Rmag è simmetrica
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Metodo delle maglie modificato
• La presenza di componenti non
controllati in corrente viene risolta
aggiungendo ulteriori variabili alle
correnti di maglia. Il numero delle
variabili aumenta, ma il metodo
diventa assolutamente generale
• Le variabili aggiunte sono le tensioni
dei componenti non controllati in
corrente
• Per equilibrare il numero di incognite e
di equazioni, si devono aggiungere al
sistema puro le relazioni costitutive dei
componenti non controllati in corrente
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Metodo delle maglie m. - esempio
• Scriviamo le equazioni alle maglie per il
circuito LDI di figura alimentato in alternata
• Ricordiamo:
V1 = n V2

1

 I 2 = n I 3
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Metodo delle maglie m.– esempio (2)
• Si ottiene:
1
(I1 − I 2 ) = Vs
1) R1 I1 +
j ωC
1
(I 2 − I1 ) + V1 = 0
2)
j ωC
3) − V2 + (R2 + jωL )I 3 + R3 (I 3 + I s ) = 0
A1) V1 − n V2 = 0
1
A2) I 2 − I 3 = 0
n
• Sistema di 5 equazioni in 5 variabili (I1, I2, I3,
V1, V2). Alle prime 3 equazioni relative alle
maglie si aggiungono le equazioni costitutive
dei componenti non-controllati in corrente
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