Teorema di Redington /2

Variazione approssimata del valore attuale
Abbiamo visto le principali proprietà della duration e diversi modi di calcolarla
in vari esempi, tra cui i titoli a cedola fissa. Ritorniamo alla relazione
V ' (i )
1
= −
D ( x, i)
V (i )
1+ i
che lega la duration alla sensitività del valore attuale rispetto al tasso.
Per piccole variazioni del tasso i abbiamo che il valore della derivata e quello
del rapporto incrementale sono molto vicini, quindi
V ' (i)
∆V
1
∆V
1
≈
⋅
=
⋅
∆i V
V (i)
V
∆i
Inoltre i è in generale dell’ordine del punto percentuale, quindi i < < 1;
In prima approssimazione possiamo quindi scrivere
∆V 1
1
∆V
⋅
≈ −
D ( x , i ) da cui
≈ − ∆ i ⋅ D ( x, i)
V
∆i
1+ i
V
© Fabio Bellini 2011
Esempio
Cioè in prima approssimazione la duration è pari alla perdita di valore in percentuale
per un aumento dei tassi di un punto percentuale.
Verifichiamo la bontà di questa approssimazione con un esempio; considero un BTP
con cedole annuali del 4% e faccio variare i tassi dal 1% al 20%. Per calcolare il
valore attuale utilizziamo la funzione VAN di Excel:
© Fabio Bellini 2011
1
Esempio /2
© Fabio Bellini 2011
Esempio /3
Se immaginiamo che il livello dei tassi odierno sia pari al 5%, possiamo leggere
nella tabella che il valore attuale è pari a 92,28 (sotto la pari, in quanto la cedola
è solo del 4% mentre il tasso i è del 5%).
Abbiamo già calcolato in vari modi la duration di questo titolo, ottenendo
D=8,3596 anni. Quindi in prima approssimazione la perdita percentuale
del prezzo del bond quando i tassi salgono da 5% a 6% dovrebbe essere pari a
-8,36% circa. Possiamo valutare la bontà di questa approssimazione
calcolando la perdita percentuale esatta, che è data dal rapporto
V ( 0 , 06 ) − V ( 0 , 05 ) 85 , 28 − 92 , 28
=
= − 7 , 58 %
V ( 0 , 05 )
92 , 28
Se invece i tassi scendono abbiamo
V ( 0 , 04 ) − V ( 0 , 05 ) 100 − 92 , 28
=
= 8 , 37 %
V ( 0 , 05 )
92 , 28
© Fabio Bellini 2011
2
Significato geometrico della duration
Geometricamente, la duration è proporzionale al coefficiente angolare della retta
tangente nel punto i alla funzione V(i); la formula approssimata proposta
non è altro che la approssimazione della funzione V(i) con la retta tangente
nel punto i, corrispondente al livello attuale dei tassi (stiamo sempre ipotizzando
una struttura per scadenza piatta).
© Fabio Bellini 2011
Alta duration vs bassa duration
Confrontiamo ora graficamente due titoli, uno con bassa duration (maturity
3 anni) e uno con alta duration (maturity 30 anni); in entrambi i casi C=4% e le
cedole sono annuali. La duration del primo titolo è circa 2,88 anni, quella
del secondo circa 16,88 anni.
© Fabio Bellini 2011
3
Stessa duration
Entrambi i titoli pagano cedole del 4% e pertanto sono alla pari se i=4%;
la curva del valore attuale del trentennale è molto più inclinata, in quanto
la sua duration è molto maggiore, e quindi è molto più sensibile alle variazioni
dei tassi.
Ci chiediamo ora come sarebbe questo grafico se considerassimo due titoli
con la stessa duration. Come sarebbe?
Per fare un esempio, confrontiamo il trentennale di cui sopra (flusso 2)
con uno ZCB di maturity 17 anni (molto vicina quindi a 16,88).
Il valore rimborsato dopo 17 anni, 193,97, è scelto in modo che il suo valore attuale
al tasso di mercato del 5% sia pari a quello del trentennale; quindi stiamo
confrontando due titoli con lo stesso valore attuale e la stessa duration, di cui uno
paga cedole (il trentennale) e l'altro (lo ZCB a 17 anni) no.
© Fabio Bellini 2011
Stessa duration /2
© Fabio Bellini 2011
4
Convessità
Il grafico precedente ci suggerisce che la convessità della funzione valore
attuale possa giocare un ruolo importante; quindi calcoliamo la derivata seconda:
n
V ( x, i ) = ∑ xk (1 + i ) −t k
k =1
n
V ' ( x, i ) = ∑ xk (−t k )(1 + i ) −t k −1 quindi
k =1
n
V ' ' ( x, i ) = ∑ (−t k )(−t k − 1) xk (1 + i ) −tk − 2 da cui
k =1
n
1
∑ t k (t k + 1) xk (1 + i) −tk > 0
(1 + i ) 2 k =1
quindi effettivamente la funzione V(i) è una funzione convessa.
V ' ' ( x, i ) =
© Fabio Bellini 2011
Convessità /2
In modo analogo a quanto fatto per la duration, dividiamo entrambi i membri per
il valore attuale V(i) ottenendo
n
t k (t k + 1) x k (1 + i ) −t k
V ' ' (i )
1
=
∑
V (i ) (1 + i ) 2 k =1
V (i )
e introducen do nuovamente i pesi
wk =
x k (1 + i ) −t k
possiamo scrivere
V (i )
V ' ' (i )
1
=
V (i ) (1 + i ) 2
n
∑ wk t k (t k + 1). La quantità
k =1
n
C ( x, i ) = ∑ wk t k (t k + 1) > 0 prende il nome di convessità
k =1
del flusso x; risulta quindi
V ' ' (i )
1
C ( x, i )
=
V (i ) (1 + i ) 2
© Fabio Bellini 2011
5
Proprietà della convessità
Vediamo le principali proprietà della convessità: C ( x, i ) =
n
∑ wk t k (t k + 1)
k =1
• si tratta di una media ponderata, esattamente come la duration; i pesi sono gli
stessi, le quantità di cui faccio la media sono stavolta tk(tk+1)
• dato che tk e tk+1 si misurano in anni, la convessità si misura in anni al quadrato.
• la convessità di uno ZCB di maturity T è pari a T(T+1)
• essendo una media ponderata, la convessità gode della proprietà di internalità;
per un flusso qualsiasi con scadenza T è pertanto compresa tra 0 e T(T+1)
• essendo una media ponderata, la convessità gode della proprietà associativa:
la convessità di un portafoglio è pari alla media ponderata delle convessità dei
singoli titoli con pesi pari ai valori attuali dei singoli titoli (esattamente come
per la duration di porafoglio).
© Fabio Bellini 2011
Esempi di calcolo della convessità
Un caso in cui è particolarmente semplice calcolare la convessità è quello
della rendita perpetua, dove possiamo utilizzare la relazione
V ' ' (i )
1
1
=
C ( x, i ); dato che V (i ) = ,
2
V (i ) (1 + i )
i
(osservate che anche la convessità è omogenea rispetto
agli importi quindi possiamo porre R = 1), otteniamo
2
1
2 V ' ' (i ) i 3
2
V ' (i ) = − 2 , V ' ' (i ) = 3 ,
=
= 2 quindi
1 i
i
i V (i )
i
C ( x, i ) =
2(1 + i ) 2
i2
© Fabio Bellini 2011
6
Esempi di calcolo della convessità /2
In generale non esistono formule semplici e conviene procedere direttamente
calcolando i pesi e poi la media ponderata. Rivediamo il nostro esempio:
© Fabio Bellini 2011
Analogia probabilistica
Al nostro flusso finanziario finanziario corrispondono dei pesi
x k (1 + i ) −tk
wk =
V (i )
attribuiti a ciascuna scadenza tk.
Se immaginiamo che questi pesi rappresentino delle probabilità, cioè se
consideriamo una variabile casuale X per cui
P ( X = t k ) = wk
abbiamo che la duration non è altro che la media di X:
D ( x, i ) =
n
∑ t k wk = E [ X ]
k =1
© Fabio Bellini 2011
7
Analogia probabilistica /2
La convessità invece è data da
n
n
k =1
k =1
C ( x, i ) = ∑ t k (t k + 1) wk = ∑ (t k2 + t k ) wk = E[ X 2 ] + E[ X ]
la convessità è quindi legata al momento secondo della variabile X, ed è tanto
maggiore quanto maggiore è la dispersione dei flussi intorno al loro valore
medio (espresso dalla duration).
Titoli con bassa convessità sono titoli in cui i pesi sono concentrati intorno alla
duration; titoli (portafogli) con alta convessità sono portafogli in cui i flussi
sono molto dispersi attorno alla duration (ad esempio, portafogli "barbell" che
hanno molto peso sulle scadenze molto corte e molto lunghe, e poco peso su
quelle intermedie).
© Fabio Bellini 2011
Riassumendo
Riassumiamo i due risultati fondamentali della analisi di sensitività:
V ' (i )
1
= −
D ( x, i)
V (i )
1+ i
V ' ' (i )
1
=
C ( x, i)
V (i )
(1 + i ) 2
La sensitività del valore attuale rispetto al tasso (inclinazione della curva V(i)) è
proporzionale alla duration; la duration corrisponde alla media pesata delle scadenze;
titoli più lunghi sono più sensibili.
La derivata seconda del valore attuale rispetto al tasso (convessità della curva V(i)) è
proporzionale alla convessità; la convessità corrisponde alla dispersione dei pesi
intorno alla loro media; titoli con flussi più dispersi hanno curvatura maggiore.
© Fabio Bellini 2011
8
Stessa duration, diversa convessità
Torniamo all'esempio in cui confrontiamo un BTP trentennale con cedola annuale
del 4% con uno ZCB di maturity 17 anni. La convessità dello ZCB è presto
calcolata: 17*18=306 anni^2.
La convessità del trentennale viene invece circa 416,11 > 306 (verificate con Excel!)
© Fabio Bellini 2011
L' immunizzazione finanziaria
Il problema della immunizzazione finanziaria (o più in generale dell' asset liability
management (ALM)) può essere descritto in questo modo:
data una serie di flussi in uscita (pagamenti) a cui devo fare fronte (le liabilities),
determinare un portafoglio di titoli (attività, assets) che mi consenta di fare fronte
a questi pagamenti a prescindere dai movimenti dei tassi di interesse (cioè che mi
immunizzi dal rischio di tasso).
Se indichiamo con x il flusso degli assets e con y quello delle liabilities a cui devo
fare fronte, immaginiamo che al tempo 0 (oggi) sono immunizzato:
V 0 ( x, i) = V0 ( y , i)
cioè al momento i valori attuali dei due flussi coincidono; noi vogliamo costruire
un portafoglio x in modo che se i tassi cambiano da i a i', allora
V ( x, i') ≥ V ( y , i' )
© Fabio Bellini 2011
9
L' idea intuitiva
L'idea intuitiva della immunizzazione finanziaria è contenuta nell'ultimo grafico che
abbiamo visto: un portafoglio x immunizza un flusso y se ha lo stesso valore attuale,
la stessa duration e una maggiore convessità.
Nella prossima lezione preciseremo questa idea attraverso i cosiddetti
teoremi di immunizzazione.
© Fabio Bellini 2011
Teoremi di immunizzazione
Abbiamo visto che il problema della immunizzazione finanziaria consiste nel
costruire un portafoglio di assets x che consenta di fare fronte a dei flussi in uscita
predeterminati, dati dalle liabilities y.
Per essere immunizzante, il portafoglio x deve soddisfare due condizioni:
V0 ( x, i) = V0 ( y, i)
V ( x, i' ) ≥ V ( y, i' )
Deve cioè avere oggi lo stesso valore attuale al tasso di mercato i e inoltre, in caso
di cambiamento dei tassi di interesse da i a i', deve conservare in ogni caso un
valore attuale superiore a quello delle liabilities.
Abbiamo visto che la idea intuitiva è costruire un portafoglio x che abbia la
stessa duration delle liabilities (duration matching) e una convessità maggiore.
I teoremi di immunizzazione precisano in quali situazioni questa strategia
funziona.
© Fabio Bellini 2011
10
Struttura per scadenza
Osserviamo innanzitutto che finora abbiamo sempre ipotizzato che il tasso i
fosse lo stesso per tutte le scadenze.
Nella realtà ovviamente i tassi dipendono dalla scadenza, a volte anche in modo
rilevante; ad esempio spesso (ma non sempre) i tassi «a lunga» sono più elevati
di quelli «a breve».
La curva che rappresenta il tasso di rendimento di un gruppo omogeneo di
obbligazioni in funzione della durata prende il nome di struttura per scadenza
dei tassi di interesse (term structure of interest rates o semplicemente term structure).
Molti dei risultati che abbiamo visto possono essere estesi al caso di una struttura non
piatta. Indicando con ik il tasso relativo al periodo [0, tk], la duration diventa
n
n
k =1
k =1
D ( x ) = ∑ t k wk = ∑ t k
xk
.
(1 + ik ) tk
© Fabio Bellini 2011
Bloomberg - <WB>
© Fabio Bellini 2011
11
Bloomberg - <WB>
© Fabio Bellini 2011
Bloomberg - <IYC>
© Fabio Bellini 2011
12
Bloomberg - <IYC>
© Fabio Bellini 2011
Bloomberg - <I40>
© Fabio Bellini 2011
13
Bloomberg - <I40>
© Fabio Bellini 2011
Teorema di Fisher e Weil
Il teorema di Fisher e Weil ci dice che la strategia di duration matching funziona
anche se la struttura dei tassi di interesse non è piatta, purché si muova con uno shift
parallelo e purché le liabilities da coprire consistano di una uscita singola
(siano cioè concentrate in un'unica data). Enunciamolo precisamente.
Sia r (0, t ) la struttura per scadenza al tempo 0, non necessariamente piatta
(il tasso r (0, t ) dipendedalla scadenza t). Sia x il flusso degli assets e y
la liabilitycostituita da un' uscita singola ( y = [ y; T ]), e sia
V0 ( x) = V0 ( y).
Se si ha uno shift parallelodella struttura per scadenza
r ' (0, t ) = r (0, t ) + Z , con Z non dipendenteda t, si ha immunizzazione
(nel senso che V ' ( x) ≥ V ' ( y)) se D( x) = D( y) = T .
© Fabio Bellini 2011
14
Teorema di Fisher e Weil /2
Non dimostriamo questo teorema; esso ci dice che nel caso di uscita singola,
per coprirci da shift paralleli arbitrari della struttura per scadenza è sufficiente la
condizione di duration matching.
Non è necessario fare alcuna richiesta sulla convessità del portafoglio
degli assets, perché dato che la uscita è concentrata in un'unica scadenza T, la
sua convessità sarà automaticamente inferiore rispetto a quella degli asset.
Rispetto all'esempio della volta scorsa il teorema ci dice che l'immunizzazione
vale anche se la struttura per scadenza iniziale non è piatta, purchè si muova
per shift paralleli.
© Fabio Bellini 2011
Esempio
Abbiamo due assets, uno ZCB a 10 anni e uno ZCB a 5 anni entrambi di valore
nominale 100; i tassi di mercato al momento sono costanti e pari al 5%.
Vogliamo costruire un portafoglio immunizzante per uno ZCB a 7 anni, sempre
di valore nominale 100 (cioè abbiamo una uscita singola di importo 100 tra 7 anni).
Il teorema di Fisher e Weil ci dice che se realizziamo un portafoglio dei primi due
ZCB che abbia lo stesso valore attuale e la stessa duration dello ZCB a 7 anni,
allora siamo immunizzati rispetto a shift paralleli. Si ha:
V ZCB 10 =
V ZCB 5
V ZCB 7
100
≅ 61,39
(1,05 )10
100
=
≅ 78 ,35
(1,05 ) 5
100
=
≅ 71,068
(1,05 ) 7
© Fabio Bellini 2011
15
Esempio /2
Indichiamo con α e con β le quantità rispettive dei due titoli;
la condizione di uguale valore attuale diventa
α ⋅ 61,39 + β ⋅ 78 ,35 = 71,068
la condizione di uguaglianz a della duration diventa
α ⋅ 61,39
β ⋅ 78 ,35
10 ⋅
+ 5⋅
= 7 cioè
α ⋅ 61,39 + β ⋅ 78 ,35
α ⋅ 61,39 + β ⋅ 78 ,35
α ⋅ 61,39
β ⋅ 78 ,35
10 ⋅
+ 5⋅
= 7 abbiamo quindi il sistema
71, 068
71, 068
α ⋅ 61,39 + β ⋅ 78 ,35 = 71, 068

che ha soluzione
α ⋅ 61,39
β ⋅ 78 ,35

10 ⋅ 71, 068 + 5 ⋅ 71, 068 = 7
α ≅ 0 , 463 , β ≅ 0,544
© Fabio Bellini 2011
Esempio /3
Possiamo anche calcolare i pesi dei due ZCB nel portafogli o
immunizzan te che sono dati da
wZCB10 =
α ⋅ 61.39
≅ 40%
71,068
β ⋅ 78,35
wZCB 5 =
≅ 60%
71,068
infatti 0,4 ⋅ 10 + 0,6 ⋅ 5 = 7; inoltre possiamo calcolare la convessità
del portafogli o immunizzante come
C = 0,4 ⋅ 110 + 0,6 ⋅ 30 = 62 e verificare che è maggiore di quella dello
ZCB a 7 anni, che è pari a 7 ⋅ 8 = 56.
© Fabio Bellini 2011
16
Teorema di Redington
Il teorema di Redington ci dice che nel caso di uscite multiple possiamo ancora
coprirci da shift paralleli (infinitesimi) costruendo un portafoglio di assets che abbia
stessa duration e maggiore convessità:
Sia r (0, t ) la struttura per scadenza al tempo 0, non necessariamente piatta
(il tasso r dipende dalla scadenza t). Sia x il flusso degli assets e y
la liability (sono ammesse uscite multiple).
Se si ha uno shift parallelo infinitesimo della struttura per scadenza
r ' (0, t ) = r (0, t ) + Z , con Z non dipendente da t, si ha immunizzazione
nel senso che V ' ( x) ≥ V ' ( y ) se
V0 ( x) = V0 ( y ),
D ( x) = D( y )
C ( x) ≥ C ( y )
© Fabio Bellini 2011
Teorema di Redington /2
Il teorema di Redington ci dice che la idea "stessa duration, maggiore convessità"
vale anche nel caso di uscite multiple, purché il movimento della struttura
per scadenza sia uno shift parallelo (infinitesimo).
A differenza del teorema di Fisher e Weil, diciamo che la immunizzazione in
questo caso è solo locale, in quanto vale per piccoli spostamenti (paralleli)
della struttura per scadenza.
Viene naturale chiedersi se è possibile costruire portafogli che siano immunizzati
rispetto a shift arbitrari (non necessariamente paralleli) della struttura per scadenza;
la risposta è evidentemente negativa.
Il punto è capire in che misura i movimenti della struttura per scadenza siano
degli shift paralleli; vedremo a titolo di esempio un'analisi empirica alla fine della
lezione.
© Fabio Bellini 2011
17
Ottimizzazione di portafoglio
Il teorema di Redington ci suggerisce come strategia di immunizzazione
la ricerca di un portafoglio che abbia un valore attuale e una duration fissate
(quelle delle liabilities) e la massima convessità possibile.
Se indichiamo con xi i singoli titoli disponibili, e con wi i pesi corrispondenti,
il problema di massimizzazione della convessità di portafoglio diventa
 n
∑ wi ⋅ C ( x i )
 i =1

n

max  s .t .∑ w i = 1, w i ≥ 0
wi
i =1


n
 s .t .∑ w i D ( x i ) = D ( y )

i =1
In questo caso la funzione obiettivo (convessità di portafoglio) è lineare nelle
variabili decisionali (i pesi); anche i due vincoli (somam dei pesi e duration)
sono lineari e pertanto si tratta di un problema di programmazione lineare.
© Fabio Bellini 2011
Esempio
Consideriamo 3 titoli: ZCB a 5 anni, ZCB a 1 anno, BTP decennale (cedole annuali
4%). Duration e convessità dei singoli titoli sono calcolate in questo foglio:
© Fabio Bellini 2011
18
Esempio /2
Aggiungiamo le variabili decisionali (i pesi dei tre titoli, nelle celle verdi) e
calcoliamo la duration di portafoglio (media pesata delle duration dei singoli titoli):
© Fabio Bellini 2011
Esempio /3
Allo stesso modo calcoliamo la convessità di portafoglio:
© Fabio Bellini 2011
19
Esempio /4
Vogliamo ora massimizzare la convessità con i vincoli sulla somma dei pesi e sulla
duration , che poniamo pari a 7. Utilizziamo il Risolutore (Solver) di Excel:
© Fabio Bellini 2011
Esempio /5
© Fabio Bellini 2011
20
Esempio /5
Il risolutore ha trovato una soluzione che corrisponde a un portafoglio composto
da 18,47% di ZCB a 1 anno e da 81,53% di BTP a 10 anni.
Intuitivamente, per massimizzare la convessità il risolutore ha costruito un
portafoglio del titolo più corto (ZCB a 1 anno, duration 1) e del titolo più lungo
(BTP a 10 anni, duration 8,36), tralasciando il titolo intermedio (ZCB a 5 anni).
Dalla teoria della programmazione lineare sappiamo che dato che ci sono due
vincoli di uguaglianza, se il problema ammette soluzione ottima allora ammette
una soluzione ottima con solo due pesi non nulli (soluzione di base).
Il fatto che il portafoglio ottimo sia composto da solo due titoli non è quindi
accidentale ma del tutto generale per questo tipo di problema.
© Fabio Bellini 2011
21

Download Report