sfondo bianco - Università degli Studi di Catania

Lezione
PONTI E GRANDI STRUTTURE
Prof. Pier Paolo Rossi
Università degli Studi di Catania
Torsione elastica
Torsione elastica
Problema del De Saint Venant
Si consideri una trave a sezione costante incastrata ad un estremo e sottoposta ad momento torcente.
Per l’equilibrio le tensioni trasmesse al vincolo danno luogo ad un momento torcente uguale e di verso opposto a quello sollecitante.
Dal punto di vista statico, il problema è equivalente a quello di De Saint Venant per la torsione.
x
z
y
T
3
Torsione elastica
Problema del De Saint Venant
Il momento torcente vale :
T  GJ '
dove :
J ’ rigidità torsionale
angolo di torsione unitario
Per profili aperti in parete sottile la rigidità torsionale è approssimativamente ottenuta dalla relazione :
1 a 3
J   b ( s )ds
3 0
x
z
y
T
essendo b lo spessore del profilo a la lunghezza totale della linea media
4
Torsione elastica
Problema del De Saint Venant
La rotazione della sezione varia linearmente con z, raggiungendo il suo valore massimo all’estremo :
Tz
( z ) 
GJ
Gli spostamenti sono :
s x  y
dove :


s y  x
s z  '  ( s )
funzione di ingobbamento
rotazione torsionale
x
L
z
Le sezioni si ingobbano tutte in egual misura, la torsione è uniforme !
y
T
… ciò comporta che le fibre non si deformano in direzione longitudinale. 5
Torsione elastica
Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov
È evidente come un incastro impedisca ai punti di spostarsi longitudinalmente. Lo spostamento sz risulterà in realtà funzione di z in una zona più o meno estesa a partire dal vincolo (principio di equivalenza elastica). Un modo di incorporare questo aspetto è quello di assumere un angolo di torsione unitario ’ funzione di z.
Le sezioni non si ingobbano tutte in egual misura, la torsione è non uniforme
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Torsione elastica
Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov
L’espressione degli spostamenti diviene:
s x  ( z )  y ( s )  yc 
s y  ( z )  x ( s )  xc 
sz  '(z) ( s )
dove :
xc yc coordinate del centro di taglio nel riferimento principale della sezione
L’espressione di sz = ’(z) (s) dipende da z, quindi ….
le fibre subiscono deformazioni dirette in senso longitudinale :
sz
z 
 ( s )''(z)
z
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Torsione elastica
Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov
La presenza di deformazioni longitudinali
comporta la presenza di tensioni normali σz :
( z )  E  z  E ( s ) ''(z)
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Torsione elastica
La funzione di ingobbamento
La funzione di ingobbamento vale:
( s )  2    ( s ) 
dove :
1 s
( s )   r ( s ')ds'
2 0
r(s) distanza dal centro di taglio della tangente alla linea media nel generico punto P(s). Tale distanza si considera positiva se t provoca rotazione positiva intorno al centro di taglio.

1
dA

A A
s
x
P(s)
xc
G
t
r(s) c
yc
y
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Torsione elastica
La funzione di ingobbamento
La funzione di ingobbamento gode delle seguenti proprietà

A
dA  0

A
xdA  0

A
ydA  0
Non ci può essere sforzo normale
Non ci può essere momento flettente intorno all’asse y
Non ci può essere momento flettente intorno all’asse x
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Torsione elastica
La funzione di ingobbamento
Le σz devono quindi costituire uno stato di autotensione, corrispondente ad azione assiale e momenti flettenti nulli. Avendo assunto il centro di rotazione come centro di taglio, questa proprietà risulta verificata :
N

Mx 
A
 z dA  E ''  dA  0

A
A
y  z dA  E ''  ydA  0
A
M y    x z dA   E ''  xdA  0
A
A
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Torsione elastica
Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov
Si consideri un elemento infinitesimo di trave. Data la piccolezza dello spessore, le σz sono assunte distribuite uniformemente su di esso. Poiché esse variano lungo z, per l’equilibrio nascono delle tensioni tangenziali τ2, dette secondarie, uniformi sullo spessore.
σzbds
2bds 
 (  2b)
dzds
z
s
τ2bdz
ds
dz
b(s)
 z bds  b

dzds
z
// z
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Torsione elastica
Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov
L’equilibrio alla traslazione lungo l’asse z impone :
 (  2 b)
 z
 b
  Eb( s ) ( s ) '''(z)
s
z
σzbds
2bds 
 (  2b)
dzds
z
s
τ2bdz
ds
dz
b(s)
 z bds  b

dzds
z
// z
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Torsione elastica
Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov
Il flusso q=τ2b delle tensioni tangenziali secondarie attraverso lo spessore può essere calcolato integrando la precedente relazione. Se la superficie laterale è scarica, per l’equilibrio deve essere τ2=0.
La costante di integrazione è quindi nulla e si ottiene :
s
q( s, z )  2b   E '''(z)  b( s ')( s ')ds '
0
A tale flusso non corrispondono azioni taglianti. 14
Torsione elastica
Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov
Tale flusso dà luogo ad un momento torcente T2
T2 

a
0
qrds   E '''(z) 
a
0
dove :


a
0
 s b( s ')( s ')ds '  r ( s )ds
 0

 s b( s ')( s ')ds '  r ( s )ds
 0

è una proprietà geometrica della sezione, detta rigidità di ingobbamento (warping rigidity).
Quindi T2   E  '''(z)
=
momento torcente secondario
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Torsione elastica


a
0
 s b( s ')( s ')ds '  r ( s )ds
 0

Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov
Si può ricondurre  ad una forma più semplice ponendo
( s) 

s
0
( s ')b( s ')ds '
e sostituendo rds = ‐dψ :
a
a
Integrando per parti ( ) 0 u dv  uv 0  0 v du
l’espressione della rigidità d’ingobbamento, si ottiene:
a
a
a
0
0
     ( s )d    ( a )( a )   (0)(0)   ( s )d 
dove Λ(0)=0 e Λ(a)=0
Poiché dΛ=ψbds= ψdA, la rigidità di ingobbamento diviene :


A
 2 dA
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Torsione elastica
Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov
Il momento torcente secondario T2
rappresenta il contributo degli effetti del vincolo.
Sommato al momento primario T1 , corrispondente alle tensioni tangenziali date dalla soluzione di De Saint Venant, equilibra in ogni sezione la coppia applicata all’estremo della mensola :
T  T1  T2  GJ '(z)  E  '''(z)
I due contributi hanno importanza relativa diversa nelle diverse sezioni. L’effetto del vincolo diminuisce con la distanza dal vincolo stesso.
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Torsione elastica
Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov
E’ possibile estendere i risultati anche ad una trave soggetta a momento torcente distribuito mt per unità di lunghezza.
Per l’equilibrio alla rotazione di un elemento infinitesimo di trave si ha : dT dz   mt
Derivando l’equazione fondamentale della torsione
T ( z )  G J '(z)  E '''(z) , si ottiene :
mt  E   '''' (z)  G J ''(z)
Questa equazione differenziale, lineare a coefficienti constanti, governa il comportamento torsionale dei profili aperti. Il suo integrale generale dipende da quattro costanti di integrazione, determinate dalle condizioni al contorno.
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Torsione elastica
Sezione a I
In una sezione a I il centro di taglio coincide con il baricentro della sezione.
Se la sezioni ruota di un angolo θ intorno a questo punto, le flange subiscono uno spostamento orizzontale sf :
sf
d
h
sf ( z )  ( z )
2
bf
x
ba
CG
h
CG

essendo, più in generale :
s x ( z )  y ( z )
y
sf
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Torsione elastica
Sezione a I
Se le sezioni fossero libere di ingobbarsi, si avrebbe una rotazione rigida delle flange nel proprio piano. d
d
Ala superiore
Ala inferiore
sf
sf
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Torsione elastica
sf ( z ) 
Sezione a I
h
( z )
2
Per la presenza dell’incastro, la flangia si inflette e tale inflessione è contrastata dalla rigidezza legata al momento d’inerzia della flangia If :
1
I f  bf d 3
h
12
Nella flangia saranno presenti momenti flettenti d 2 sf
bf d 3h
M f ( z )  EI f
E
''
2
dz
24
e sforzi di taglio
bf d 3h
Vf ( z )  E
'''
24
d
bf
sf
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Torsione elastica
Sezione a I
Sulla sezione sono presenti :
Ⱶ tensioni tangenziali conseguenti a T1
Ⱶ tensioni normali da momenti di flangia Mf
Ⱶ tensioni tangenziali da tagli di flangia Vf
Mf
T1
Vf
e …
Mf
Vf
T  T1  Vf h
h
dz
T
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Torsione elastica
Sezione a I
Il primo addendo è il momento torcente secondo De Saint Venant :
T1  G J '(z)
dove : 1
J   h ba3  2d bf3 
3
è la rigidità torsionale primaria per la sezione ad I
… il secondo addendo è il momento torcente secondario :
T2 ( z )  Vf ( z )h   E  '''(z)
dove : bf d 3h 2

24
è la rigidità di ingobbamento per la sezione ad I
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Torsione elastica
Sezione a I
La funzione d’ingobbamento vale :
 ( h / 2) s1

( s )  
0
 ( h / 2) s2
flangia superiore
anima
flangia inferiore
s1
s2
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Torsione elastica
Sezione a I
Si definisce bimomento la quantità :
B  E  ''
Nella sezione a I, il bimomento è pari al prodotto dei momenti di flangia per la distanza tra le flange stesse, ovvero :
B  Mf h
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Torsione elastica
Altri profili
d1
bf
h
C
e
ba
bf
d13
eh 3
d1  d 23
1
J   hba3  ( d1  d 2 )bf3 
3
bf h 2 d13d 23

12 d13  d 23
d2
bf
h
ba
C
e
bf
3bf d 3
e
6bf d  hba
J 
1
hba3  2dbf3 

3
bf d 3h 2 3dbf  2hba

12 6dbf  hba
26
Torsione elastica
Altri profili
d
bf
ba
h
1
J   hba3  2dbf3 
3
C G
bf h 2 d13d 23

12 d13  d 23
bf
d
R
e  2R
b
C
α
sin    cos 
  sin  cos 
2
J  Rb3
3
2
2 5  3 6  sin    cos   
  bR   

3
sin
cos






e
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Torsione elastica
Altri profili
Per profili costituiti da rettangoli allungati convergenti in un solo punto la rigidità di ingobbamento risulta nulla. Il centro di taglio si colloca nel punto di incontro dei rettangoli e ciò comporta un valore nullo per la distanza r(s) della tangente alla linea media da C. Se si considerano le variazioni di ingobbamento sullo spessore si ottengono dei valori della rigidità di ingobbamento che possono ritenersi trascurabili.
d2
d
bf
C
h
J 
1
hba3  dbf3 

3
C
d1
ba

b
1 3 3 1 3 3
bf d  ba h
144
36
J 
1 3
b  d1  d 2 
3

1 3 3
b  d1  d 23 
36
28
Principali riferimenti

Leoni Corradi Dell’Acqua. Meccanica delle strutture 1 - Il comportamento dei corpi
continui, Mc Graw Hill. ISBN: 978 88386 67145

Leoni Corradi Dell’Acqua. Meccanica delle strutture 2 - Volume 2 - Le teorie
strutturali e il metodo degli elementi finiti, Mc Graw Hill. ISBN: 978 88386 67152
29
FINE
30

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