IL COEFFICIENTE DI PRESSIONE LATERALE A RIPOSO DI

IL COEFFICIENTE DI PRESSIONE LATERALE A RIPOSO DI SABBIE
POMICEE
Maurizio Ziccarelli, Calogero Valore e Sandro Rino Muscolino
Dipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale, Aerospaziale, dei Materiali (DICAM) -Università di
Palermo
e-mails: [email protected], [email protected], [email protected]
Sommario
Si riportano i risultati di una ricerca sperimentale sul coefficiente di spinta a riposo K0 di sabbie pomicee ottenute
artificialmente per frantumazione dal materiale naturale. Lo studio è stato condotto fino ad alte pressioni efficaci
verticali (100 MPa). Per questo studio è stato utilizzato un edometro speciale strumentato con estensimetri
elettrici circonferenziali e verticali per la determinazione delle tensioni orizzontali e per la valutazione delle
forze d’attrito all’interfaccia sabbia-parete interna dell’edometro. La sperimentazione è stata eseguita su sabbie
“asciutte” ossia con contenuto d’acqua minore dell’1% (contenuto d’acqua in ambiente controllato). Il
coefficiente K0 è variabile nell’intervallo 0,25 e 0,5 fino a valori della tensione verticale efficace v di 10 MPa
circa. Per valori maggiori di v e fino ai valori massimi raggiunti K0 si mantiene all’incirca costante con valori
dell’ordine di 0,35-0,5. Per le sabbie sovraconsolidate K0 è legato all’indice di sovraconsolidazione OCR
mediante una relazione monomia del tipo di Schmidt. I valori di K0 misurati per queste particolari sabbie, aventi
doppio ordine di pori, sono simili a quelli di altre sabbie (di quarzo e carbonatiche) molto differenti per natura e
costituzione mineralogica.
1. Introduzione
È ben noto che risposta meccanica dei terreni è non lineare già a partire da livelli tensionali molto
bassi. Per la previsione del comportamento meccanico dei terreni, è necessario quindi, conoscere lo
stato tensionale iniziale che rappresenta il punto di partenza e lo stato di riferimento rispetto al quale
bisogna valutare le variazioni di stato tensionale totale ed efficace. Negli ammassi naturali le tensioni
verticali possono essere valutate attendibilmente sotto ipotesi non eccessivamente restrittive. Ad
esempio nel caso di deformazione monodimensionale le tensioni verticali possono valutarsi con
semplici considerazioni di equilibrio senza chiamare in causa il legame costitutivo del terreno, ossia
tenendo conto delle deformazioni. Le tensioni orizzontali, al contrario, non possono essere determinate
nemmeno nel caso di deformazione 1-D se non si conosce il legame costitutivo del terreno e la storia
tensionale. Poiché né lo stato tensionale né quello de formativo sono noti, le tensioni orizzontali
possono essere determinate soltanto mediante misure in situ (Wroth, 1975; Amadei e Stephanssonn,
1997). Le difficoltà esecutive e gli alti costi, specie a grandi profondità, inducono ad indagare sui
fattori dai quali le tensioni orizzontali dipendono, almeno nei casi più semplici, e a ricercare le
possibili relazioni tra le tensioni orizzontali e quelle verticali e la loro dipendenza dalle proprietà del
terreno.
In questa nota si riportano i risultati di una ricerca sperimentale condotta su sabbie di pomice ottenute
per frantumazione dal materiale naturale fino a pressioni molto alte (100 MPa), allo scopo di studiare
le variazioni del coefficiente di pressione laterale a riposo con la tensione verticale e con l’indice di
sovra consolidazione. Per confronto alcune prove sono state eseguite su sabbie di quarzo e su sabbie
carbonatiche che presentano caratteristiche molto diverse dalle sabbie di pomice.
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2. Caratteristiche delle sabbie utilizzate nella sperimentazione
La sperimentazione è stata condotta su una sabbia di pomice ottenuta artificialmente per
frantumazione di frammenti di roccia delle dimensioni della ghiaia grossa disponibile in commercio.
Le sabbie utilizzate sono essenzialmente monogranulari, con diametro dei grani compreso tra 0,125 e
1,18mm. Il peso specifico s è di 24.5 kNm-3. I grani hanno forma irregolare, sono generalmente
allungati e a spigoli vivi, e presentano vuoti intragranulari. La sperimentazione è stata eseguita anche
su sabbie quarzo e su sabbie carbonatiche a scopo di confronto, che sono sabbie di differente natura e
mineralogia, e presentano caratteristiche dei grani molto diverse dalle sabbie di pomice e che sono
anche state oggetto di studio in passato (Ziccarelli, 1999). La composizione granulometrica delle
sabbie utilizzate è rappresentata in Fig. 1. Il coefficiente di uniformità Cu è compreso fra 1,18 e 1,42.
0.25
passante in peso (%)
100
0.425
1.18
0.60 0.85
80
4
5
60
3
40
2
1
20
0
0.25
0.425 0.60
0.1
0.85
2
1
d (mm)
Fig 1. Composizione granulometrica delle sabbie utilizzate nella sperimentazione. Sabbie di pomice (P):
1,2,3,4,5. Sabbie di quarzo (Q): 3,4. Sabbie carbonatiche, (C): 2,3 e 4.
1) 0.125d 0.250mm; 2) 0.25d 0.425mm; 3) 0.425d 0.60mm; 4) 0.60d 0.85mm; 5) 0.85d 1.18mm.
3. Dispositivo sperimentale e piano della sperimentazione
La sperimentazione è stata eseguita con un edometro speciale sufficientemente rigido, ricavato da un
monoblocco di acciaio. L’altezza dei provini può variare tra 20 e 50mm. Il carico assiale è stato
applicato per mezzo di una pressa a controllo di carico della Zwick/Roell Z600, con carico massimo
applicabile di 600 kN. Il carico, la misura degli spostamenti e delle deformazioni estensimetriche sono
gestiti da software. Il comportamento dell’edometro, nell’ambito del campo tensionale esplorato, è
linearmente elastico.
Per la determinazione della pressione orizzontale radiale h, l’anello edometrico è stato strumentato
sulla superficie laterale esterna con quattro estensimetri elettrici in modo da determinare la
deformazione circonferenziale . Sono stati utilizzati estensimetri elettrici monoassiali BHM
Hottinger, della categoria LY11 6/350, con griglia di lunghezza di 6mm e larghezza di 2,9mm, con
resistenza nominale di 350 Ohm, gauge factor k pari a 2 e coefficiente di dilatazione termica  per
applicazioni su acciaio di 10,8x10-6/K. Gli estensimetri sono stati installati su due “mezzo ponte” di
Wheatstone, diametralmente opposti, su due diverse circonferenze, in modo che due di essi siano
ubicati all’incirca sul piano mediano del provino nella configurazione iniziale (estensimetri 2 e 4, Fig.
2) e due di essi all’incirca sul piano mediano nella configurazione nella quale il provino presenta
l’altezza minima (estensimetri 1 e 2, Fig.2).
Dalle deformazioni circonferenziali  misurate sulla superficie esterna dell’edometro è stata
determinata la tensione orizzontale h sulla superficie interna. Per la presenza della piastra di base e
per il fatto che la pressione h agisce su una superficie di altezza finita, pari all’altezza corrente del
provino, la relazione tra h e  è stata ricavata per via numerica col metodo degli elementi finiti
costruendo la curva che lega la deformazione circonferenziale  all’altezza del provino per
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h=1MPa (nell’ipotesi di distribuzione uniforme di h; Ziccarelli, 1999). Per altezze del provino
comprese tra 2,5 cm e 1 cm la relazione è la seguente:
 
0,324
2,587
10
(con h espresso in cm)
Per ogni altezza del provino considerata la deformazione circonferenziale  è stata ottenuta come
media delle deformazioni calcolate nei punti di Gauss corrispondenti ai punti dove sono ubicati gli
estensimetri elettrici, tenendo, quindi, conto del fatto che gli estensimetri sono ubicati su due differenti
circonferenze.
La pressione radiale h nell’ipotesi di elasticità lineare e di distribuzione costante, risulta quindi:


 
La deformazione  è la deformazione circonferenziale media delle quattro misure eseguite. Per ogni
valore dell’altezza del provino sono stati determinati gli spostamenti medi radiali della parete interna
dell’edometro; essi variano tra 3,65x10-4 cm h=40 MPa e 9,82x10-4 cm h=120 MPa. Considerato
che la massima tensione orizzontale determinata con le misure estensimetriche risulta dell’ordine di 50
MPa cui corrisponde un valore degli spostamenti radiali di 4,56x10-4 cm che risultano al di sotto di
quelli che è possibile controllare con prove di compessione in cella triassiale (Bishop, 1958; Rowe,
1958). Nelle prove eseguite gli spostamenti radiali variano da 0,2*10-4 per v=6MPa a 3,75*10-4 cm
per v=100MPa, e sono dello stesso ordine di grandezza di quelli ottenuti da Hendron (1963) e
ampiamente minori di quelli (3,3*10-3) ottenuti da Yamamuro (1993). Il rapporto tra la deformazione
radiale e quella assiale r/a in corrispondenza della massima tensione verticale applicata è minore di
10-3 (1/1000) e si può ritenere accettabile perché il processo di deformazione possa considerarsi 1-D.
Per valutare l’attrito laterale all’interfaccia sabbia-parete interna dell’edometro, quest’ultimo è stato
strumentato con estensimetri elettrici verticali delle stesse caratteristiche di quelli circonferenziali
precedentemente descritti. Durante l’esecuzione delle prove si sono misurate quindi le deformazioni
verticali della parete esterna dell’edometro. La disposizione degli estensimetri (estensimetri 5 e 6) è
riportata in Fig. 2. Gli estensimetri verticali sono stati ubicati al di sotto della base del provino per
misurare le eventuali forze d’attrito sviluppabili su tutta l’altezza del provino stesso. Per poter risalire
dalle misure agli estensimetri alle forze d’attrito sono state eseguite prove di compressione
direttamente sull’edometro e si è costruita quindi la curva deformazione estensimetrica-sforzo
normale, Fig. 3. Ipotizzando, in prima approssimazione, che la risultante delle tensioni tangenziali
all’interfaccia sabbia-parete dell’edometro dia luogo ad uno sforzo di compressione costante lungo lo
spessore della parete dell’edometro, la risultante delle forze di attrito risulta:

 
Pianta
Sezione B-B'
Sezione A-A'
14
14
10
10
pistone
pistone
pistone
B'
17
4
Sezione C-C'
14
10
C'
1-4: estensimetri elettrici circonferenziali
5-6: estensimetri elettrici verticali
4
2
piastra d'acciaio
33
27
33
piastra d'acciaio
20
20
sabbia
43.5
6
5
piastra d'acciaio
piastra d'acciaio
10
sabbia
10
10
piastra d'acciaio
17
B
3
sabbia
33
81
1
41.0
3 A'
114 mm
piastra d'acciaio
A 1
20
6
5
14
C
2
73
14
101 mm
101 mm
Fig 2. Schema dell’edometro utilizzato nella sperimentazione.
M. Ziccarelli, C. Valore, S.R. Muscolino
14
73
101 mm
14
14
73
101 mm
14
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nella quale v è la media delle deformazioni verticali misurate e v*, per v minori di 600m (maggiore
dei massimi valori misurati), è pari a 0,305 m/kN, Fig.3. I valori delle forze d’attrito, ad eccezione
della prova 32 per la quale si è misurato un valore del 16% dello sforzo normale applicato, sono
compresi tra il 3 e il 10% e sono dello stesso ordine di quelli misurati da Hendron (1963) e Yamamuro
et al. (1996). È da considerare che non vi sono state registrate differenze per le differenti sabbie,
quindi le forze d’attrito sembra che non dipendano dal tipo di sabbia utilizzata. È da considerare infine
che in tutte le prove è stato interposto tra la sabbie e la parete interna dell’edometro una striscia
sottilissima di betpolietilentereftalato. In definitiva, le forze d’attrito possono essere trascurate per gli
scopi del presente studio.
Sono state eseguite complessivamente 37 prove di compressione edometrica delle quali 7 eseguite
sulle sabbie di quarzo (Q), 9 sulle sabbie carbonatiche (C) e 21 sulle sabbie pomicee (P). Le prove
sono state eseguite su materiale con contenuto d’acqua molto basso (dell’ordine dello 0,1-0,2%) che il
materiale presenta in laboratorio in ambiente controllato. I provini sono stati confezionati per tamping
a strati di 2-3mm circa direttamente nell’edometro. L’indice di porosità iniziale e0 dei provini è
compreso tra 3,70 e 1,48 per le sabbie di pomice, tra 0,72 e 0,52 per le sabbie di quarzo e tra 1,02 e
0,73 per le sabbie carbonatiche. Sono state eseguite sia prove con un solo ciclo di carico e scarico che
prove con più cicli di carico e scarico. La durata delle prove è variabile dai 30 minuti circa a 7 ore. La
massima pressione applicata è stata di 100 MPa. A fine prova, per tutti i provini, è stata determinata
per via secca la composizione granulometrica, allo scopo di studiare e quantificare il processo di
crushing dei grani.
300
Prova 1
Prova 2
Prova 3
Prova 4
Prova 5
Media
250
N [kN]
200
150
100
50
0
0
200
400
600
800
1000
v [m/m]
Fig 3. Curve carico verticale – deformazione verticale della parete esterna dell’edometro utilizzate per la
valutazione dell’attrito all’interfaccia sabbia-edometro.
4. Risultati sperimentali
In Fig. 4 sono riportati tipici risultati per quanto riguarda gli andamenti della tensione orizzontale a) e
del coefficiente K0 (K0=h/v), b), con la tensione applicata v. Sulla figura 5 sono riportati gli
andamenti di K0 con la pressione applicata per sabbie di pomice con differente granulometria iniziale.
Il coefficiente K0 varia con v da valori compresi tra 0,25 e 0,5 fino a v di 8-10MPa. Per valori più
alti di v l’andamento di K0 è pressoché costante, indipendentemente dalla granulometria della sabbia
esaminata, ed è compreso tra 0,35 e 0,5. Nell’intervallo nel quale si registra una forte variazione di K0
si verifica una forte frantumazione dei grani, profonde variazioni della composizione granulometrica e
dell’assetto strutturale, con conseguenti continue ridistribuzioni di sforzi e delle catene di sforzi nella
sabbia. A partire da pressioni più alte, la sabbia raggiunge una configurazione molto più stabile (anche
se il processo di frantumazione non si è completamente arrestato), con conseguenti minori effetti sulle
catene di forze e quindi sulla distribuzione degli sforzi intergranulari e su K0. Questi risultati si
riscontrano, anche se in maniera meno accentuata, per le altre sabbie utilizzate nello studio (sabbia di
quarzo Q e sabbia carbonatica C) e confermano i risultati di precedenti ricerche (Ziccarelli, 1999) e
anche quelli relativi ad altre tipologie di sabbie (Yamamuro, 1993; Yamamuro et al. 1996).
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40
3
a)
b)
2
k0
´h [MPa]
2.5
20
1.5
1
0.5
0
0
0
20
40
´v [MPa]
60
0
20
40
´v [MPa]
60
Fig 4. Andamento della tensione orizzontale h (a)) e di K0(b)) con v (prova 11, 0,25<d<0,425mm).
1
0.60<d<0.85mm
e0=3.26
k0
0.8
0.6
Prova 1
0.425<d<0.60mm
Prova 7
e0=3.46
0.4
0.2
0
0
25
50
75
0
25
50
75
1
0.25<d<0.425mm
e0=3.27
k0
0.8
Prova 8
0.125<d<0.25mm
Prova 35
e0=1.48
0.6
0.4
0.2
0
0
25
50
75
0
´v [MPa]
25
50
75
´v [MPa]
Fig 5. Andamento di K0 con v delle sabbie pomicee in fase di carico.
Allo scarico il coefficiente K0 varia in tutto l’intervallo di v eplorato, in dipendenza dell’indice di
sovraconsolidazione OCR. In Fig. 6 è riportato l’andamento di K0 con OCR per la sabbia con diametro
dei grani compreso tra 0,425 e 0,60mm. I dati sperimentali possono essere interpolati con una
relazione del tipo di Schmidt (1966): K0=a OCRb con a=0,35 e b=0,47. I valori di a variano tra 0,35 e
0,52, mentre quelli di b tra 0,45 e 0,58. Considerando unitariamente tutti i dati relativi all sabbie di
pomice si ha a=49, b=0,55. È da osservare che i coefficienti a e b non sembrano dipendere dall’indice
di porosità iniziale e0 e dall’indice di breakage relativo Br di Hardin (Hardin, 1985), e non sono molto
diversi di quelli relativi alle sabbie carbonatiche e di quarzo, Fig. 7.
5. Conclusioni
Il coefficiente di pressione laterale a riposo K0 dipende dallo stato tensionale. In fase di carico K0
subisce variazioni fino a valori della tensione efficace verticale v di circa 10 MPa. In questa fase e in
questo intervallo tensionale il processo di frantumazione e schiacciamento dei grani è molto forte e
condiziona enormemente la trasmissione degli sforzi nello scheletro solido. Per valori più alti della
tensione v il coefficiente K0 è pressoché costante e assume valori compresi tra 0,35 e 0,5 circa.
Questi risultati non confermano la congettura di Heim secondo la quale al crescere della profondità lo
stato tensionale dovrebbe tendere a quello uniforme (K0 dovrebbe tendere all’unità). Allo scarico, per
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le sabbie sovraconsolidate, K0 cresce con OCR ed è descrivibile con una relazione monomia del tipo di
Schmidt. I risultati ottenuti per le sabbie pomicee che sono sabbie molto particolari presentando
altissima porosità anche intrinseca e che sono frantumabili già da livelli tensionali bassissimi, sono
simili a quelli ottenuti anche su altre sabbie differenti per natura e costituzione mineralogica.
30
Sabbia di pomice
0.425 < d < 0.60mm
20
K0=0.35 (OCR) 0.47
10
R2=0.96
5
k0
3
2
1
0.5
0.3
0.2
0.1
2
1
5
10
20
50
100
OCR
Fig 6. Andamento di K0 con OCR per la sabbia pomicea (fase di scarico).
30
20
k0
10
Sabbia di quarzo
K0=0.51 (OCR) 0.57
Sabbia carbonatica
K0=0.46 (OCR) 0.58
R2=0.97
R2=0.98
5
3
2
1
0.5
0.3
0.2
a)
b)
0.1
1
2
5
10
OCR
20
50
100
1
2
5
10
20
50
100
OCR
Fig 7. Andamento di K0 con OCR (fase di scarico), per a) sabbia carbonatica e b) sabbia di quarzo.
Bibliografia
Amadei B, Stephansson O (1997). Rock stress and its measurements. Chapmann & Hall ed. London.
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Hendron A J (1963). The behaviour of sand in one-dimensional compression. PhD thesis, University of Illinois
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Wroth C P (1975). In situ measurement of initial stresses and deformation characteristics. Proc. of the Conf. on
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Yamamuro J A (1993). Instability and behaviour of granular materials at high pressures. PhD Dissertation, Dept.
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Yamamuro J A, Bopp P.A. & Lade P.V. (1996). One-Dimensional Compression of Sands at High Pressures. J.
of Geotech. Engrg, ASCE, 112, 2, 147-154.
Ziccarelli M (1999). Comportamento meccanico di sabbie carbonatiche bioclastiche in stato di deformazione
monodimensionale– Tesi di dottorato in Ingegneria Geotecnica – Dottorato di Ricerca in Ingegneria
Geotecnica – Università di Catania.
M. Ziccarelli, C. Valore, S.R. Muscolino

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