Iterata iuvant - Dipartimento di Matematica

Iterata iuvant
Modelli matematici discreti e applicazioni
Progetto Lauree Scientifiche – Scuola Estiva di Matematica
5 Settembre 2014
S F V
Dipartimento di Matematica - Sapienza Universit`a di Roma
Con la collaborazione di: L. A, F. C  C. V
1
Introduzione
Dalle indicazioni nazionali sui programmi della scuola superiore (liceo scientifico):
Obiettivi dello studio: ... 8) una conoscenza del principio di induzione matematica e la capacit`a di saperlo applicare, ...
SECONDO BIENNIO (Relazioni e funzioni) Lo studente acquisir`a la conoscenza
di semplici esempi di successioni numeriche, anche definite per ricorrenza ... Sar`a
in grado di costruire semplici modelli di crescita o decrescita esponenziale, nonch´e di
andamenti periodici, anche in rapporto con lo studio delle altre discipline; tutto ci`o
sia in un contesto discreto sia continuo.
QUINTO ANNO ... In relazione con le nuove conoscenze acquisite, anche nell’ambito delle relazioni della matematica con altre discipline, lo studente approfondir`a il
concetto di modello matematico e svilupper`a la capacit`a di costruirne e analizzarne
esempi.
Principio di induzione, successioni per ricorrenza, modelli matematici, tre concetti
(strettamente collegati tra loro) che le indicazioni nazionali sottolineano chiaramente,
ma che poco spazio trovano di solito nei normali programmi scolastici. Il principio
di induzione viene spesso liquidato come un metodo ingegnoso per dimostrare certe divertenti formulette sui naturali. Le successioni per ricorrenza sembrano solo una
sottoclasse speciale delle successioni, assai scomoda a causa della definizione di tipo
implicito, e quindi vengono in genere saltate a pi´e pari. Quanto al concetto di modello matematico, la sua formalizzazione rimane piuttosto complessa, e si preferisce
dedicarsi al pi`u a un paio di esempi ad hoc.
In realt`a molti fenomeni che si ripetono a tempi discreti, e la cui evoluzione dipende
dagli stati precedenti, possono essere descritti in modo ricorsivo a partire da una o pi`u
condizioni iniziali. Non solo, anche molti algoritmi di grande utilit`a nelle applicazioni
hanno la forma di metodi iterativi dove ad ogni passo si cerca di ottenere un nuovo valore dai precedenti. Alla base del funzionamento di ogni computer c’`e infatti la facilit`a
di ricevere dati in input e di trasformarli in dati in output, e di poter ripetere velocemente questo passaggio anche milioni di volte se serve. Sotto tutto questo c’`e sempre
una successione definita per ricorrenza, ben definita dalla legge di trasformazione e dai
dati iniziali. Proviamo a formalizzare il tutto nel caso pi`u semplice di un processo a un
1
singolo stadio. In simboli potremo scrivere
(
xn+1 = f (xn ) ,
x0 = α
(1)
dove xn indica lo stato del sistema dopo n unit`a di tempo, α lo stato iniziale, mentre la
funzione f (x) descrive la legge di trasformazione (la dinamica). Ad esempio la successione definita da xn+1 = 3xn +1, x0 = 1, generer`a la sequenza: 1, 4, 13, 40, 121, 364, ...
Se quindi e` facile generare i valori di una successione del genere (a patto di avere
un computer a disposizione), studiarne teoricamente il comportamento e` molto pi`u
difficile di quando si disponga di una formula esplicita per il termine n-mo. Il primo
problema e` gi`a quello di dimostrare che la successione sia ben definita: per esempio se
la funzione f contenesse una radice quadrata, si dovrebbe controllare che al crescere di
n il radicando non possa mai diventare negativo. E’ chiaro che una simile verifica non
pu`o essere fatta controllando uno per uno tutti i termini, ed ecco che qui entra in gioco
il principio di induzione. Apriamo quindi una breve parentesi.
2
Il principio di induzione
Ogni volta che si vogliono dimostrare infinite propriet`a indicizzate dai numeri naturali,
grazie a questo principio possiamo farlo in soli due passi:
Se una propriet`a P(n)
i) vale per n = 1 (base dell’induzione),
ii) supposta vera per n, risulta vera per n + 1 (passo induttivo),
allora P(n) e` vera per ogni n ∈ N.
Osservazione. Non e` essenziale partire da n = 1. Basta che ci sia un inizio accertabile. Si potrebbe partire da n = n0 , e P(n) sarebbe vera per ogni n ≥ n0 .
Per dare un’idea figurata del procedimento si pu`o pensare all’effetto domino, quel
gioco che consiste nel disporre in lunghe file le tessere del domino in piedi una vicina
all’altra in modo che la prima cadendo le faccia cadere via via tutte le altre. Anche in
quel caso perch´e il gioco riesca completamente servono due condizioni:
1) che si faccia cadere la prima tessera;
2) che se cade una tessera questa faccia cadere la successiva della fila.
Nei seguenti esercizi si chieder`a di dimostrare delle identit`a indicizzate dai numeri
naturali. E` il caso di dire: Mettetevi alla prova!
2
ric
interi
Esercizio 1 Si provi che
1 + 2 + · · · + (n − 1) + n =
dispari
1
n(n + 1).
2
Esercizio 2 Si provi che
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 .
quadrati
Esercizio 3 Si provi che
12 + 22 + 32 + · · · + (n − 1)2 + n2 =
geometrica
1
n(n + 1)(2n + 1).
6
Esercizio 4 Dato q , 1 si provi che
q0 + q1 + q2 + · · · + q(n−1) + qn =
1 − qn+1
.
1−q
Ora che siete sufficientemente allenati, considerate il seguente sorprendente teorema e la sua relativa dimostrazione per induzione. Provate a capire dove sta l’errore nel
ragionamento.
cavalli
Esercizio 5 Teorema. Tutti i cavalli in natura hanno lo stesso colore.
Dimostrazione: Un cavallo solo ovviamente verifica la propriet`a. Supponiamo ora
che n cavalli abbiano sempre lo stesso colore e consideriamo un gruppo di n+1 cavalli.
Se li mettiamo in fila e trascuriamo il primo, i restanti n devono avere lo stesso colore.
Se allo stesso modo consideriamo i primi n trascurando l’ultimo, troviamo che devono
ancora avere lo stesso colore tra loro e dato che l’intersezione tra i due gruppi e` non
vuota, il colore sar`a lo stesso per tutti gli n + 1 cavalli (unione di due insiemi di n
cavalli con n − 1 cavalli in comune). Quindi tutti i cavalli hanno lo stesso colore.
3
Le successioni per ricorrenza
Per tornare alle nostre successioni per ricorrenza, il ragionamento per induzione pu`o
aiutarci a vedere se la loro definizione e` corretta.
Esercizio 6 Verificare che la successione
(
√
xn+1 = xn − 1
x0 = 5
non e` ben definita per ogni n ∈ N, mentre lo e` la successione
(
√
xn+1 = 2 + xn
.
x0 = 0
.
ric
Se poi vogliamo studiare il comportamento di una successione come la (??), di
nuovo dobbiamo ricorrere a ragionamenti induttivi. Riguardo al limite, supponendo
che la funzione f sia continua, si pu`o ragionare cos`ı: se la successione ammette un
limite L finito, allora per n → ∞ nella relazione costitutiva si otterrebbe L = f (L),
per cui L deve necessariamente essere tra i punti fissi della funzione f (graficamente
tali punti corrispondono alle intersezioni del grafico di f con quello della retta y = x,
bisettrice di I e III quadrante). Analogamente la successione potrebbe avere limite ±∞
se lim x→+∞ f (x) = +∞ o lim x→−∞ f (x) = −∞ . Ma trovare uno o pi`u valori ammissibili
3
per il limite non dimostra ancora nulla. Potrebbe succedere ad esempio che cambiando
il solo dato iniziale α, a parit`a di f , la nostra successione possa cambiare il valore
del proprio limite o addirittura smettere di essere convergente. Dovremo aiutarci col
ragionamento e con alcuni risultati noti dell’analisi, come ad esempio quello che ci dice
che una successione monotona ammette limite, finito, se limitata, o infinito, altrimenti,
e di nuovo ci servir`a il principio di induzione.
Rilettura come sistemi dinamici. Osserviamo che i punti fissi della funzione f
corrispondono anche ai valori della condizione iniziale per i quali la successione risulta costante. Se inoltre un tale valore viene assunto dopo un numero finito di passi, non
si modificher`a pi`u per tutti i passi successivi (se xn = L, allora xk = L per ogni k > n).
Risulta quindi interessante rileggere le successioni per ricorrenza come sistemi dinamici discreti (di seguito abbreviati come SDD), modellini matematici in cui una certa
quantit`a che all’istante iniziale valeva α si evolve in base alla dinamica descritta dalla
funzione f . I punti fissi corrispondono allora ai possibili stati di equilibrio del sistema.
Il concetto di equilibrio pu`o essere esteso da un punto solo a una sequenza di punti
che si ripete indefinitamente sempre uguale: e` il caso delle orbite periodiche.
Definizione. Si dice orbita periodica di periodo p del sistema dinamico (1) un
insieme di p punti distinti {x0 , x1 , . . . , x p−1 } tali che
xn = f (n) (x0 ) per n = 1, . . . , p − 1,
f (p) (x0 ) = x0 ,
dove con f (k) (x) si indicata la composizione di k copie della funzione f sul punto x,
cio`e la sua applicazione ripetuta k volte: f ( f ( f (... f (x)))).
In pratica i punti fissi sono orbite di periodo 1. Inoltre i punti di un’orbita periodica
di periodo p corrisponderanno a p punti fissi dell’equazione
xn+1 = f (p) (xn ) ,
e quindi stavolta ai punti di intersezione del grafico della funzione f (p) (x) con la bisettrice.
Un metodo grafico. Per lo studio delle successioni di ricorrenza e dei loro equilibri
pu`o essere di grande
aiuto il cosiddetto diagramma a ragnatela (cobweb diagram in
cobweb
inglese, v. Figura ??). L’idea e` semplice. Intanto abbiamo gi`a osservato che i punti fissi
della funzione di iterazione f sono individuati nel piano xy dai punti di intersezione del
grafico di f con quello della retta y = x. Tracciamo quindi contemporaneamente i due
grafici sovrapposti (di f e della bisettrice) e studiamo l’andamento della successione
nel seguente modo:
(i) individuato il punto (x0 , 0) dell’asse x si traccia da questo il segmento verticale che
lo congiunge al grafico di f , individuando il punto (x0 , f (x0 ) = x1 );
(ii) da quest’ultimo si traccia il segmento orizzontale che ci riporta alla bisettrice y = x
nel punto (x1 , x1 );
(iii) da questo si traccia il segmento verticale fino al grafico di f in (x1 , f (x1 ) = x2 );
(iv) da questo si traccia il segmento orizzontale fino alla bisettrice in (x2 , x2 );
e cos`ı via....
In altre parole zig-zagando tra i due grafici il nostro utile ragnetto pu`o farci capire dove ci stanno portando le iterazioni, se stiamo tendendo verso un punto fisso e
in che modo (per esempio monotono oppure oscillante) o se invece ci stiamo allontanando da esso. E questo ci consente di introdurre anche un altro concetto molto utile
nelle applicazioni e nello studio dei modelli, quello della stabilit`a. Gli equilibri di un
sistema dinamico (punti fissi ma anche orbite) possono essere stabili oppure instabili: in parole povere, se partendo vicino a un equilibrio il sistema non si allontana da
4
esso o addirittura ci si avvicina, parleremo di equilibrio stabile, se invece il sistema
si allontana parleremo di equilibrio instabile. La questione e` importante, perch´e ci fa
capire se piccole perturbazioni sui dati del problema sono ininfluenti o possono invece
drasticamente cambiare l’evoluzione del sistema.
Figura 1: Diagramma a ragnatela della successione xn+1 = xn (1 − xn )
Vediamo alcuni esempi.
N.B. Se non si riesce a dimostrare rapidamente una delle affermazioni si consiglia comunque di assumerla vera e di passare alla dimostrazione della successiva.
Ove possibile aiutatevi col metodo grafico.
Esercizio 7 Si consideri la successione
(
xn+1 = 1/xn
.
x0 = α ∈ R
(i) Determinare i suoi punti fissi.
(ii) Studiarne il comportamento per n → ∞ al variare di α.
Esercizio 8 Si consideri la successione gi`a introdotta nell’Esercizio 6:
(
√
xn+1 = 2 + xn
.
x0 = 0
(i) Si provi che xn < 2.
(ii) Si provi che xn < xn+1 .
(iii) Trovare i numeri reali per i quali xn = xn+1 e dedurne il limite della successione.
(iv) Cosa cambia se x0 = 3?
(v) Esiste un valore iniziale per cui la successione diverge?
ragnatela
Esercizio 9 (i) Determinare graficamente es_graf
il limite della successione xn+1 = f (xn ) se il
grafico della funzione f e` quello in Figura ?? e il valore iniziale x0 vale rispettivamente
α, β o γ.
(ii) Discutere di conseguenza la natura (stabile o instabile) degli equilibri 0, xA e xB
per la successione precedente.
5
cobweb
Figura 2: Grafico per l’Esercizio 10
4
4.1
Erone
Alcune applicazioni
Un algoritmo per calcolare la radice di due
Esercizio 10 Consideriamo l’algoritmo di Erone, ovvero il sistema di iterazioni
!

1
2



xn +
 xn+1 =
2
xn .



 x =2
0
Si calcolino le prime quattro iterazioni, poi
(i) Si mostri che xn > 0.
(ii) Si provi che xn2 > 2.
(iii) Si provi che xn > xn+1 .
(iv) Concludere che la successione converge proprio alla radice di due.
Potremmo accontentarci, ma quando si usa un algoritmo ci interessa non solo che
calcoli il valore desiderato, ma anche la sua efficienza (o velocit`a di convergenza) per
ottenere quel valore con la precisione desiderata, e vorremmo anche sapere quando
fermarci con la certezza di aver raggiunto tale precisione (ci serve cio`e un criterio di
arresto). Per saperne di pi`u andiamo avanti:
(v) Si mostri che
√
xn −
(vi) Si mostri che
√
x0 − 2
2<
.
2n
√
xn+1 −
2 < xn − xn+1 .
La stima (v), oltre a confermarci la convergenza della successione, ci dice che l’errore si dimezza almeno ad ogni iterazione, fornendo una prima stima a priori della
velocit`a di convergenza. La stima (vi) ci fornisce invece un criterio di arresto pratico:
possiamo fermarci appena la differenza tra due iterate successive e` pi`u piccola della
precisione voluta, ma che questa condizione si verifichi davvero ce lo garantisce in
effetti solo la stima precedente.
6
es_graf
4.2
Un modello economico
Esercizio 11 (Legge della domanda e dell’offerta) Studiamo l’andamento del prezzo pn di un certo bene al tempo tn . Dette S n e Dn rispettivamente la quantit`a offerta e quella domandata del bene in questione al tempo tn (dai termini inglesi Supply e Demand), supponiamo (ipotesi semplificata ma ragionevole) che esse dipendano
linearmente dal prezzo:
D(pn ) = a − d pn ,
S (pn ) = −b + spn ,
dove d, s, a, b sono quattro costanti positive (le prime due esprimono rispettivamente
la sensibilit`a dei consumatori e quella dei fornitori al prezzo del bene). Com’`e ovvio
un aumento del prezzo causa una diminuzione della domanda e un incremento dell’offerta. L’ipotesi di base e` che il prezzo di mercato si formi proprio dall’equilibrio tra la
domanda e l’offerta.
(i) Si calcoli l’espressione del prezzo di equilibrio pe dall’uguaglianza D(pe ) = S (pe ),
e si osservi che graficamente questo corrisponde all’ascissa (positiva) del punto di
intersezione delle due rette y = a − dx e y = −b + sx.
Vogliamo ora simulare come si vada formando dinamicamente il prezzo di mercato. Per decidere la merce da immettere sul mercato al tempo tn+1 i produttori faranno
riferimento al prezzo del bene conosciuto al tempo tn , mentre la domanda si adeguer`a
istantaneamente. Possiamo quindi riscrivere in forma ricorsiva le due leggi precedenti:
Dn+1 = a − d pn+1 ,
S n+1 = −b + spn ;
(ii) si ricavi dall’uguaglianza Dn+1 = S n+1 la legge ricorsiva per il prezzo unitario pn , e
si verifichi che l’unico punto fisso della trasformazione e` proprio il prezzo di equilibrio
pe .
(iii) si provi graficamente che se s < d il prezzo osciller`a avvicinandosi sempre pi`u a
quello di equilibrio (stabilit`a);
(iv) si provi graficamente che se s > d il prezzo osciller`a allontanandosi sempre pi`u
dal prezzo di equilibrio (instabilit`a);
(v) si provi graficamente che se s = d il prezzo osciller`a alternativamente tra due prezzi
fissati (ciclo di periodo due).
In altre parole il rapporto tra s e d produce stabilit`a o instabilit`a nel comportamento
asintotico del prezzo del bene. E` il cosiddetto Teorema della ragnatela per l’Economia: ’Se i fornitori sono meno sensibili al prezzo rispetto ai consumatori il mercato
risulter`a stabile, altrimenti diverr`a instabile’.
4.3
La successione di Fibonacci
La nota successione
(
an+2 = an + an+1
a1 = a2 = 1
fu introdotta da Leonardo Pisano (detto il Fibonacci) intorno al 1200 per risolvere il
seguente problema: sapendo che una coppia di conigli adulti genera una coppia di
figli al mese, e questi diventano adulti in due mesi generando a loro volta un’altra
coppia di conigli, quante coppie ci saranno dopo n mesi se si inizia un allevamento
con una coppia di conigli adulti ?
Si tratta chiaramente di una successione definita per ricorrenza, questa volta a due
passi, in quanto ogni elemento e` la somma dei due che lo precedono. Per poter partire
e` quindi necessario assegnare due stati iniziali invece di uno, ma lo strumento chiave e`
7
sempre l’induzione. In questo caso non e` difficile dimostrare che la successione tende
all’infinito (per questo si dice crescere come conigli...):
Fibonacci
Esercizio 12 Si calcolino i primi 10 termini della successione. Poi
(i) Si provi per induzione che la successione ha termini tutti positivi ed e` crescente.
(ii) Si provi che se la successione ammette limite questo pu`o essere solo 0 o +∞.
(iii) Concludere che la successione tende all’infinito.
(iv) Il tasso di accrescimento
Un problema pi`u interessante e` invece quello di determinare il tasso di accrescimento
dell’allevamento, cio`e di quanto presumibilmente crescer`a ogni mese a regime il numero delle coppie presenti. Per farlo occorre studiare la successione bn = an+1 /an . E`
facile vedere che si tratta ancora di una successione definita per ricorrenza:
(
bn+1 = 1 + b1n
b1 = 1
Il tasso tendenziale di accrescimento dell’allevamento sar`a allora, se esiste, il limite
della successione {bn }. Proviamo che
(v) tale limite esiste ed e` pari al numero
√
1+ 5
b=
= 1.6180339887....(la sezione aurea!) ;
2
in altre parole se un mese nell’allevamento ci sono un centinaio di coppie, il mese seguente se ne dovrebbero trovare circa 160 (un tasso di crescita del 60%!). Per
dimostrarlo provate a seguire il seguente ragionamento
in 5 passi:
√
(1) Mostrare che se bn → L, allora L = (1 ± 5)/2. Concludere che l’unico limite
possibile, se la successione converge, deve essere il numero b.
(2) La successione non e` monotona. Dimostrare che
bn+2 = 1 +
bn
1
=2−
;
1 + bn
1 + bn
dimostrare quindi per induzione che la successione dei termini dispari verifica bn < b.
(3) Dedurne che la successione dei termini di indice dispari e` una successione
crescente e limitata da b e che essa tende proprio a b.
(4) Con ragionamento analogo si provi che la successione dei termini di indice pari
verifica bn > b ed e` decrescente verso il numero b.
(5) Osservare che se b2n → b e b2n+1 → b, allora tutta la successione bn → b.
(vi) Sapreste modificare il modello di Fibonacci supponendo che ogni mese la met`a dei
nuovi nati venga venduta? Provate a scrivere la nuova successione e a determinare
quale sar`a ora il suo tasso di accrescimento.
4.4
Un modello biologico: la mappa logistica
A questo punto siamo pronti per spiccare un balzo e salire decisamente di tono! Uno
dei pi`u noti modelli di crescita di popolazioni in campo biologico e` quello legato alla
cosiddetta mappa logistica, come il seguente SDD:
(
xn+1 = αxn (1 − xn )
.
x0 = 1/5
Questa legge ha una lunga storia: fu proposta nel 1845 da P.F. Verhulst come modello matematico per lo studio dei fenomeni di crescita delle popolazioni in situazioni di
8
risorse limitate. Se immaginiamo anche questa volta che xn indichi la densit`a della popolazione considerata (quindi xn ∈ [0, 1]), osserviamo che la specie crescer`a infatti in
modo proporzionale alla sua stessa densit`a, ma la crescita verr`a frenata dal quadrato
di questa. Se gli individui si distribuiscono in un ambiente vasto con sufficienti risorse
per tutti, l’interazione tra gli individui e` scarsa, xn e` molto piccola e quindi il termine
quadratico sar`a in pratica trascurabile: la crescita (ad un tasso riproduttivo α > 1) sar`a
di tipo esponenziale. Ma appena gli individui arriveranno a contendersi le risorse (xn si
avvicina a 1), il termine quadratico diventer`a sempre pi`u importante e frener`a di conseguenza la crescita. Nel corrispondente modello a tempo continuo questo andamento
e`
esse_log
rappresentato da una curva a forma di esse detta appunto curva logistica (v. Figura ??).
E` interessante capire, in funzione del parametro α, quale sar`a l’evoluzione effettiva del
sistema, se la popolazione si estinguer`a (xn → 0), se raggiunger`a un’altro equilibrio
non banale (xn → L), o se osciller`a tra diversi stati pi`u o meno ricorrenti.
Figura 3: Esempio di crescita logistica
La discussione ci pu`o portare a scoprire aspetti matematici sorprendenti. La cosa
notevole e` infatti che, nonostante la forma relativamente semplice, il modello presenta fenomeni complessi che richiedono teorie matematiche molto pi`u solide di quelle
disponibili nella scuola superiore. Si pu`o mostrare in particolare che variando il parametro α si ottengono dinamiche molto differenti, fino a sviluppare comportamenti
di tipo caotico. Qui ci limiteremo solo a studiare qualche situazione semplice (con le
tecniche gi`a utilizzate in altri esempi) e apparentemente rassicurante.
logistica
Esercizio 13 Rispondere alle seguenti questioni.
(i) Provare che la mappa logistica manda [0, 1] in [0, 1] se e solo se α ∈ [0, 4].
(ii) Provare che se α = 1 allora xn+1 ≤ xn .
(iii) Provare che se α = 2 allora xn+1 ≥ xn .
(iv) Mostrare che gli unici punti fissi della mappa logistica sono p0 = 0 e pα = α−1
α .
(v) Ricavare sulla base di quanto visto il limite della successione per α = 1 e α = 2.
(vi) Cosa cambia nel comportamento della successione se partiamo da x0 = 2/3?
Dal primo punto ricaviamo in particolare che l’intervallo [0, 4] e` l’unico insieme in
cui far variare α in modo che il modello mantenga un significato biologico (matematicamente potremmo andare anche oltre, ma avremo gi`a abbastanza problemi cos`ı...).
Gli altri punti ci dicono che per α = 1 la specie si estinguer`a gradatamente (il tasso
riproduttivo e` troppo basso), mentre per α = 2 la specie raggiunger`a rapidamente l’equilibrio perfetto, quello con s´e stessa e le risorse a disposizione, senza fluttuazioni di
sorta. E` la situazione del paradiso terrestre, ma come vedremo il peccato originale e`
anche in questo caso in agguato....
9
esse_log
Avendo a disposizione un computer potremmo svolgere il seguente esercizio:
Esercizio 14 Scrivere le prime 50 iterazioni generate dalla legge logistica considerando per α = 1, 2, 3, 3.25, 3.5, 3.75, 4. Provare a rappresentarle graficamente.
In realt`a non serve essere maghi del computer: in appendice trovate alcuni siti web
dove potrete interattivamente fare le vostre simulazioni senza sforzo. Per i primi valori
di α ritroviamo quanto gi`a dimostrato, ma poi la situazione cambia rapidamente, e
diventa di lettura via via pi`u difficile. E’ possibile (ma non e` questo il luogo dove farlo)
dimostrare che appena α > 3 la dinamica cresce di complessit`a creando comportamenti
periodici di periodo arbitrariamente grande, in quanto esistono infinite soglie αn che
mutano il comportamento
delle iterate del nostro sistema.
logistic
Nella Figura ?? che segue si vede il cosiddetto diagramma di biforcazione della
mappa logistica in funzione del parametro α (in ascissa) tra 2.4 e 4. Lo schema evidenzia sostanzialmente i punti di equilibrio e le orbite periodiche del sistema: si pu`o
osservare che fino ad α = 3 c’`e un solo equilibrio, che poi si trasforma in un’orbita
2-periodica (il sistema osciller`a di fatto tra due stati). Aumentando ancora α il periodo
raddoppier`a ancora (periodo 4), e poi ancora (periodi 8, 16, 32,...) fino ad un vero e
proprio comportamento caotico (con delle strane eccezioni, le zone chiare della mappa
corrispondenti ad un comportamento pi`u regolare ...).
Figura 4: Diagramma di biforcazione della mappa logistica
Per concludere, anche se il modello logistico non nasce certo per simulare il comportamento della specie umana, possiamo concludere con una breve morale: tassi riproduttivi troppo deboli conducono all’estinzione, tassi troppo elevati al caos. Se aspirate a una societ`a tranquilla e senza scosse (ma anche un tantino noiosa...) andate e
riproducetevi con moderazione.
10
logistic
Iterata iuvant - SOLUZIONI
5
interi
Il principio di induzione
5.1
Esercizio 1
Come spiegato prima tutte le dimostrazioni per induzione si snodano nello stesso modo:
inizialmente bisogna verificare che l’affermazione da dimostrare e` vera per un numero
naturale che funge da punto di partenza, dopo si prova che dalla validit`a della relazione
per (n − 1) discende la validit`a per n.
In questo caso notiamo che
1=
1
· 1 · (1 + 1),
2
quindi l’identit`a e` vera per n = 1; adesso prendiamo per buono che
1 + 2 + 3 + ··· + n =
1
n(n + 1),
2
per provare la relazione aggiungiamo il termine (n + 1) ad ambo i membri precedenti
in modo da ottenere (con qualche calcolo)
n
1
1
1 + 2 + 3 + · · · + n + (n + 1) = n(n + 1) + (n + 1) = (n + 1) + 1 = (n + 1)(n + 2) .
2
2
2
A questo punto l’esercizio fig1
e` terminato. Per convincersi ulteriormente dell’identit`a provata si rifletta sulla Figura ??.
Figura 5: v. Esercizio 1
Oppure si osservi che ad esempio per n = 6, sommando per colonne:
1+2+3+4+5+6
6+5+4+3+2+1
7+7+7+7+7+7=
dispari
5.2
6 · 7 = 42 = 2 · 21 .
Esercizio 2
Ragionando come nell’esercizio precedente abbiamo che l’identit`a e` facilmente verificata per il primo numero naturale dispari, infatti per n = 1 si ha
1 = (2 · 1 − 1) = 12 ;
11
fig1
a questo punto assumiamo che sia vero
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 ,
e sommiamo a destra e a sinistra il successivo numero dispari (2(n + 1) − 1) = (2n + 1)
in modo da avere
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = (n)2 + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 ,
e l’uguaglianza segue fig2
ricordando lo sviluppo del quadrato di un binomio. Anche qui
proponiamo in Figura ?? una interpretazione “grafica” dell’identit`a dimostrata.
Figura 6: v. Esercizio 2
quadrati
5.3
Esercizio 3
1
Per n = 1 l’identit`a da provare diventa 1 = ·1·2·3; quindi passiamo subito a mostrare
6
il passo induttivo e supponiamo che sia vera la relazione
12 + 22 + 32 + · · · + (n − 1)2 + n2 =
1
n(n + 1)(2n + 1).
6
Per provare la nostra tesi aggiungiamo dappertutto quello che serve per ottenere il
primo membro corretto e operiamo con un po’ di algebra sul secondo membro
1
n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2
6
h
i
1
1
= (n + 1) [n(2n + 1) + 6(n + 1)] = (n + 1) 2n2 + 7n + 6 ,
6
6
2
e la tesi segue osservando che 2n + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3).
12 + 22 + 32 + · · · + n2 + (n + 1)2 =
fig4
[si veda anche la Figura ??, un po’ meno facile da leggere delle precedenti]
geometrica
5.4
Esercizio 4
Il protagonista di questo esercizio e` la progressione geometrica, in particolare vogliamo
scrivere in maniera sintetica la somma dei suoi primi (n + 1) termini. Procedendo per
induzione verifichiamo subito la relazione per n = 1, infatti viene che
q0 + q1 = 1 + q =
(1 − q)(1 + q) 1 − q2
=
,
1−q
1−q
12
fig2
Figura 7: v. Esercizio 3 [3(1 + 22 + ... + n2 ) = n(n + 1)(n + 1/2)]
e, in realt`a, era ancora pi`u semplice verificarlo per n = 0
q0 = 1 =
1−q
,
1−q
visto che a noi serve un qualsiasi punto di partenza.... Adesso supponiamo di aver
dimostrato che
1 − qn+1
q0 + q1 + q2 + · · · + q(n−1) + qn =
,
1−q
dalla precedente uguaglianza segue che
q0 + q1 + · · · + qn + q(n+1) =
1 − qn+1
1 − qn+1 + q(n+1) − q(n+2) 1 − qn+2
+ q(n+1) =
=
,
1−q
1−q
1−q
ricordando le propriet`a delle potenze. Questi calcoli terminano la dimostrazione dell’identit`a. Apriamo una piccola parentesi: se q ∈ (0, 1) e` possibile mostrare che
∞
X
qk = q0 + q1 + q2 + · · · + qn + · · · =
k=0
1
,
1−q
tale uguaglianza
pu`o essere provata grazie alle propriet`a dei limiti o ragionando sulla
fig6
Figura ??.
cavalli
5.5
Esercizio 5
L’errore sta nel passo induttivo, che non si pu`o applicare per n = 1. Un insieme di
due cavalli e` infatti unione di due insiemi formati da un solo cavallo, e quindi senza
alcuna intersezione tra loro! E’ come se avessimo tolto la seconda tessera del domino,
e la prima cadendo non urtasse pi`u la terza. Se questa non cade allora non ne cade
nessun’altra, e il processo non parte proprio! E cos`ı per fortuna possiamo apprezzare
la grande variet`a di cavalli in natura (ma anche di uccelli, pesci, ecc.).
13
fig4
Figura 8: v. Esercizio 4
6
6.1
Le successioni per ricorrenza
Esercizio 6
Vediamo subito che per la prima successione il nostro meccanismo si inceppa dopo
pochi passi:
√
√
√
√
x0 = 5; x1 = 4 = 2; x2 = 1 = 1; x3 = 0 = 0; x4 = −1 !!!
e non possiamo pi`u proseguire. La seconda successione e` invece ben definita, perch´e
x0 ≥ 0 e se un termine e` non negativo anche il termine successivo lo e` (2 + xn non sar`a
quindi mai negativo).
Osservate la differenza tra le due dimostrazioni. Nel primo caso abbiamo utilizzato
una controllo diretto: fortuna ha voluto che il problema si verificasse gi`a alla quarta iterazione. Se fosse sopraggiunto dopo un migliaio di iterazioni avremmo avuto qualche
problema ad accorgercene. Nel secondo caso il principio di induzione ci consente di
evitare del tutto la verifica diretta dei termini della successione.
6.2
Esercizio 7
I punti fissi della successione verificano L2 = 1 e quindi sono i valori L = ±1. Per ogni
α , ±1 per`o la successione oscilla infinite volte tra i due valori α e 1/α e quindi non
converge. Con le notazioni che abbiamo dato, possiamo dire che il sistema ha un’orbita
periodica di periodo due.
6.3
Esercizio 8
√
√
(i) x0 < 2; se xn < 2 allora: xn+1
=
2
+
x
<
2 + 2 = 2.
n
√
(ii) La relazione xn < xn+1 = 2 + xn sar`a verificata se xn2 < 2 + xn e xn ≥ 0, cio`e se
0 ≤ xn < 2, ed e` sempre vera per −2 ≤ xn < 0, quindi in definitiva per −2 ≤ xn < 2; ma
quest’ultima relazione e` soddisfatta per quanto dimostrato nell’Esercizio 6 e nel punto
precedente.
14
fig6
(iii) La nostra successione e` dunque positiva, crescente e limitata superiormente da 2,
quindi sar`a convergente
ad un numero finito L ≤ 2. I possibili valori di L si ottengono
√
risolvendo L = 2 + L, e l’unico valore accettabile e` 2. Quindi L = 2.
(iv) Se x0 = 3 ovviamente la (ii) non vale pi`u, ma vale il viceversa: xn > 2. Allora per
quanto dimostrato in (iii) la successione sar`a decrescente e limitata inferiormente da 2,
quindi ancora convergente al valore 2, ma dall’alto stavolta. Ecco un buon esempio di
stabilit`a!
(v) Per quanto visto sopra il limite +∞, anche se ammissibile, non e` raggiunto in nessun
caso.
ragnatela
6.4
Esercizio 9
es_graf_sol
(i) Basta tracciare i diagrammi a ragnatela partendo dai punti α, β, γ (v. Figura ??).
(ii) 0 e xB sono equlibri instabili, mentre xA e` stabile.
Figura 9: v. Esercizio 9
7
Erone
7.1
es_graf_sol
Le applicazioni
Esercizio 10
Con l’aiuto di una calcolatrice si ottiene:
x0 = 2,
x1 = 1.5,
x2 = 1.41667,
x3 = 1.4142157,
x4 = 1.4142135 . . .
e vediamo che dopo appena pochi termini gi`a cinque cifre dopo la virgola sembrano
essersi stabilizzate. Ma per capire se si tratti solo di un’impressione o no ci aiuter`a
risolvere i punti successivi.
(i) Il fatto che xn sia sempre positivo e` una conseguenza del fatto che x0 = 2 > 0 e che
le iterazioni successive sono ottenute come media aritmetica di due quantit`a positive.
(ii) Dalla disuguaglianza (a2 + b2 ) ≥ 2ab segue che
√
!
√
2
1 √
1
2
xn +
≥ 2 xn √ = 2,
xn+1 =
2
xn
2
xn
15
che e` quanto dovevamo provare.
(iii) Dobbiamo dimostrare che la successione decresce, cio`e che, dalla definizione,
!
1
2
xn >
xn +
;
2
xn
si vede abbastanza facilmente che ci`o si verifica se e solo se xn2 > 2, che e` quanto
avevamo dimostrato al punto (ii).
(iv)√I precedenti argomenti dovrebbero farci intuire che le iterazioni convergono
√ proprio
sempre
maggiore
di
2; questo
a 2. La successione infatti decresce mantenendosi
√
basta a dimostrare che converga a un numero L ≥ 2.√Ma L dovr`a per forza verificare
l’equazione 2L = L + 2/L, cio`e L2 = 2, quindi L = 2. Infatti l’algoritmo di Erone
fornisce proprio un metodo pratico per approssimare questo numero irrazionale!
√
√
(v) Per ogni n si ha xn > 2 e quindi 2/xn < 2. Allora
!
√
1
2
1
xn+1 =
xn +
< (xn + 2),
2
xn
2
√
√
da cui x√n+1 − 2 < (xn − 2)/2. Iterando segue la tesi. Quindi la differenza tra xn e il
valore 2 tende a zero al crescere di n, e l’errore si dimezza almeno ad√ogni passo.
(vi) Ancora dalla relazione vista al punto
precedente: 2xn+1 < xn + 2, da cui, sot√
traendo a entrambi i membri (xn+1 + 2) si ottiene la tesi, che afferma
√ in sostanza che
se mi fermo dopo n + 1 passi, la mia distanza dal valore corretto di 2 e` minore della
differenza xn − xn+1 . Abbiamo quindi trovato un ottimo criterio d’arresto per il nostro
algoritmo: ci riterremo soddisfatti, e quindi fermeremo le iterazioni, non appena quella
differenza sar`a diventata pi`u piccola della precisione voluta.
Domanda/Offerta
7.2
Esercizio 11
(i) Dall’uguaglianza D(pe ) = S (pe ) si ricava facilmente
pe =
a+b
,
d+s
valore positivo per le ipotesi sui parametri. (v. Figura 10)
(ii) Dall’uguaglianza Dn+1 = S n+1 si ottiene la legge ricorsiva per il prezzo:
s
a+b
pn+1 = − pn +
d
d
il cui unico punto fisso risulta proprio pe .
Vediamo come per l’andamento dei prezzi risulti determinante il rapporto tra s e d,
cio`e la pendenza (il coefficiente angolare) della retta y = − ds x + a+b
d .
(iii) se s < d la retta dell’offerta ha minore pendenza (in valore assoluto) di quella
della domanda, allora −s/d > −1, cio`e la retta che esprime la dinamica ha pendenza
inferiore a quella della bisettrice del primo quadrante, e i valori dei prezzi oscilleranno
attorno a quello di equilibrio avvicinandosi ad esso sempre pi`u.
(iv) se invece s > d succede il contrario, −s/d < −1, cio`e la dinamica ha pendenza
superiore a quella della bisettrice del primo quadrante, e i valori dei prezzi oscilleranno
attorno a quello di equilibrio ma allontanandosene sempre pi`u.
(v) nel caso limite s = d, −s/d = −1 (stessa pendenza delle due rette), e il prezzo
osciller`a all’infinito tra i valori p0 (iniziale) e p1 = −p0 + a+b
d .
Le tre situazioni sono raffigurate in Figura 11.
16
1.0
Q
0.8
D
S
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
pe
0.6
0.8
1.0
p
Figura 10: Il prezzo di equilibrio pe (v. Esercizio 11 (i))
Fibonacci
7.3
Esercizio 12
Scriviamo i primi termini della successione (e proviamo a immaginare di vedere saltellare sotto i nostri occhi mese dopo mese tutti i conigli che si aggiungono):
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....
Dopo un anno avremo gi`a un bell’allevamento. Analizziamo bene i termini della successione per avere l’evidenza che senza nostro intervento questa tender`a all’infinito.
(i) I termini sono ovviamente tutti positivi (lo sono i primi due, e se lo sono tutti quelli
fino all’indice n, lo sar`a anche il termine (n + 1)-mo. Segue subito che la successione e`
crescente.
(ii)-(iii) Per il punto precedente la successione avr`a limite, finito o infinito. Ma l’unico limite finito possibile sarebbe zero, soluzione di L = 2L, e quindi la successione
diverge.
(iv) A questo punto, da imprenditori, ci interessa soprattutto capire qual e` il tasso
tendenziale di crescita dell’allevamento, per poter valutare per esempio quanta parte della produzione possiamo andare a vendere al mercato e quindi quanto potremmo
guadagnare dal nostro lavoro. Per farlo dobbiamo studiare il carattere della successione
bn+1 =
an+2 an+1 + an
an
1
=
=1+
=1+
,
an+1
an+1
an+1
bn
b1 = 1 .
(v) Dimostriamo che esiste il limite della successione e coincide col valore della sezione aurea. Procediammo per passi successivi:
(1) Se la successione bn ammette un limite L, questo dovr`a necessariamente
verifi√
care L = 1 + 1/L, cio`e L2 − L − 1 = 0, equazione risolta dai valori (1 ± 5)/2. Ma dalla
definizione di bn i nostri termini sono tutti positivi, quindi l’unico valore ammissibile
sar`a b = 1.6180339887....
(2) La successione non e` in questo caso monotona, perch´e si pu`o mostrare che i
suoi termini oscillano attorno al valore b. Vediamone qualche termine (arrotondato alle
sette cifre decimali):
1, 2, 1.5, 1.6666667, 1.6, 1.625, 1.6153846, 1.6190476, 1.6176471, 1.6181818, ...
La relazione tra un termine bn e il termine bn+2 e` la seguente:
bn+2 = 1 +
1
1
bn
1
=1+
=1+
=2−
;
1
bn+1
1
+
b
1
+
bn
1 + bn
n
17
Figura 11: a) s < d; b) s > d; c) s = d (v. Esercizio 11 (iii)-(v))
18
se ci limitiamo ai soli termini dispari allora, b1 = 1 < b, e se bn < b (con n dispari)
1
allora bn+2 < 2 − 1+b
= b ; quindi tutti i termini dispari sono sotto b.
(3) Mostriamo che la successione dei termini dispari e` crescente: serve
bn+2 = 2 −
1
> bn
1 + bn
se n e` dispari, che e` vero se b2n − bn − 1 < 0, cio`e se bn < b, come gi`a dimostrato. Allora
la successione dei termini dispari converger`a ad un numero finito che pu`o essere solo
b per quanto provato precedentemente.
(4) La successione dei termini pari decresce verso b: la dimostrazione e` del tutto
simile alla precedente.
(5) Segue dalla definizione di limite di una successione, visto che questa coincide
con l’unione dei termini pari e di quelli dispari.
(vi) La nuova successione avr`a la forma: an+2 = an+1 + an /2 .
Di conseguenza la successione dei tassi di accrescimento sar`a data da:
bn+1 = 1 +
1
,
2bn
e il suo probabile punto di equilibrio sar`a la soluzione
√ positiva dell’equazione di secondo grado: 2x2 − 2x − 1 = 0, cio`e b = (1 + (3))/2 ' 1.36. Insomma questa
volta l’allevamento crescer`a solo del 36% a stagione, ma ci saremo garantiti una buona
rendita.
logistica
7.4
Esercizio 13
Cominciamo a rispondere alle questioni andando per ordine.
(i) Se x ∈ [0, 1] ⇒ x − x2 ≥ 0, e quindi occorre che α sia positivo. D’altra parte se
vogliamo che xn ≤ 1 ci serve che il trinomio di secondo grado αx2 − αx + 1 resti non
negativo per ogni x ∈ [0, 1], relazione vera solo se il discriminante e` negativo o nullo,
ovvero per α ≤ 4.
(ii) Osserviamo subito che x(1 − x) = x − x2 ≤ x per qualsiasi valore della x, da cui
segue la prima affermazione.
(iii) Quando α = 2 e` facile provare che 2x(1 − x) ≥ x se e soltanto se 0 < x < 1/2,
inoltre vale anche 2x(1 − x) ≤ 1/2 per ogni x. Poich´e partiamo dal valore 1/5 e non
possiamo andare oltre 1/2, le iterazioni crescono, come dovevamo dimostrare.
(iv) Per rispondere, si tratta di risolvere l’equazione algebrica di secondo grado x =
αx(1 − x), cio`e x(αx + (1 − α)) = 0, da cui la risposta x1 = 0 e x2 = (α − 1)/α. Quindi un
equilibrio per la mappa logistica sar`a sempre lo zero, per ogni α, mentre l’altro dipende
da α stesso (abbiamo ignorato il caso non interessante in cui α = 0).
(v) Da quanto visto per α = 1 la successione converger`a decrescendo a 0 (equilibrio
stabile del sistema), mentre per α = 2 la successione converger`a crescendo al numero
1/2 = (2 − 1)/2.
(vi) Se x0 = 2/3 non cambia nulla per α = 1 (l’estinzione sar`a solo all’inizio pi`u lenta),
mentre per α = 2 la successione questa volta decrescer`a al valore 1/2.
19
Un po’ di bibliografia per approfondire
1. G.I. Bischi, R. Carini, L. Gardini, P. Tenti, Sulle orme del caos. Comportamenti
complessi in modelli matematici semplici, Bruno Mondadori, 2004
2. G. Gaeta, Modelli matematici in biologia, Springer, Milano, 2007
3. M. Giaquinta, G. Modica, Analisi matematica 2. Approssimazione e processi
discreti, Pitagora, Bologna, 1999
4. G. Israel, Modelli matematici, Muzzio, Roma, 2002
5. E. Salinelli, F. Tomarelli, Modelli dinamici discreti, Springer, Milano, 2009
6. I. Stewart, Dio gioca a dadi? La matematica del caos, Bollati Boringhieri, 1993
Alcuni siti web sulla logistica.
http://math.la.asu.edu/˜chaos/logistic.html
http://www.geom.uiuc.edu/˜math5337/ds/applets/iteration/Iteration.
html
http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/˜kanamaru/Chaos/e/Logits/
http://math.bu.edu/DYSYS/applets/bif-dgm/Logistic.html
20

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