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Pressoflessione
Laboratorio di Costruzione, Mantova
18 novembre 2014
Giacomo Bof
Pressoflessione
●
Modello lineare, cls fessurato
–
Flessione retta
●
●
–
●
verifica
domini di interazione
Flessione deviata
Modello non lineare
–
Flessione retta
●
●
–
verifica
domini di interazione
Flessione deviata
Modello lineare, cls fessurato
●
Flessione retta
valgono le formule della SdC con omogeneizzazione
dell'armatura e (eventuale) parzializzazione della sezione.
Vedremo i seguenti aspet
–
–
●
verifica: per la sezione rettangolare in particolare, si determina lo stato
di sollecitazione
domini di interazione: si costruisce, nel piano N-M, il luogo (o dominio)
dei punti per i quali le tensioni sono inferiori alle tensioni di progetto
Flessione deviata
Non vi sono particolari problemi concettuali, solo difcoltà
analitiche
Modello lineare, cls fessurato
●
●
La sezione è eventualmente parzializzata perché se
la risultante dei carichi è contenuta nel nocciolo
centrale di inerzia della sezione omogeneizzata,
allora l'asse neutro giace al di fuori della sezione che
è tutta tesa o tutta compressa.
Al variare della sollecitazione cambiano le
caratteristiche della sezione reagente!
–
come fare l'analisi strutturale? semplicemente ed in
modo approssimato considerando nell'analisi la sezione
geometrica del solo calcestruzzo.
Verifica
Si devono distinguere diversi sottocasi
● trazione a bassa eccentricità
● compressione a bassa eccentricità
● sollecitazione normale a forte eccentricità
Trazione a bassa eccentricità
Quando la sollecitazione è di trazione, il calcestruzzo
per azione assiale poco eccentrica è completamente
fessurato.
Dobbiamo considerare come sezione reagente quella
delle sole armature.
Trazione a bassa eccentricità
Con As e A's aree
dell'acciaio, la posizione dG
del baricentro è
il momento di inerzia
e le distanze dei poli dal
baricentro sono
continua
L'eccentricità nominale M/N (M positivo se tende le
fibre inferiori, N positiva se di trazione) è riferita al
centro geometrico del calcestruzzo, le posizioni dei poli
sono riferite al baricentro dell'armatura.
Una sezione sarà quindi tutta tesa se
continua
Dopo aver verificato che l'asse neutro è esterno alla
sezione, possiamo calcolare le tensioni nell'acciaio
Compressione a bassa eccentricità
In questo caso, per determinare area, momento statico, baricentro e momento
di inerzia usiamo la sezione omogeneizzata attraverso il coefciente n.
nb: le distanze sono misurate dal lembo compresso tranne la posizione dei poli dei bordi, che
sono misurate rispetto al baricentro e date in valore assoluto.
Sollecitazione normale eccentrica
Parliamo sempre di una sezione compressa superiormente.
Alle grandezze già definite dobbiamo aggiungere
● d , distanza del centro C dal bordo superiore, positiva se
C
C è sotto il bordo,
● e , distanza di C dall'asse neutro, positiva se C è sotto nn
n,
● x, distanza dal bordo superiore all'asse neutro, x > 0.
Queste grandezze non sono indipendenti, infat en=dC-x,
mentre dC dipende da ex, dC = ex+h/2
Sollecitazione normale eccentrica
Per una sezione pressoinflessa il momento di inerzia
rispetto all'asse neutro è uguale al prodotto tra
momento statico rispetto all'asse neutro e distanza tra
asse neutro e centro di spinta C
e possiamo facilmente calcolare Sn e Jn:
Sollecitazione normale eccentrica
Sostituendo nell'equazione di equilibrio, raccogliendo i
termini in x e normalizzando otteniamo una equazione
cubica la cui soluzione positiva ci porge la posizione
dell'asse neutro
Sollecitazione normale eccentrica
Dopo aver calcolato x possiamo calcolare Sn, e quindi le
tensioni con la cosiddetta formula monomia, dove s è
la distanza dall'asse neutro:
from scipy.optimize import newton
# dati in Newton e millimetri
M = 180E6 ; N = -450E3
h = 600.0 ; b = 300.0
n =
15
A0 = 1000.0 ; A1 = 600.0
c = 40.0
d = h-c
ex = M/N
dc = ex+h/2
# coefficienti della cubica
c1 = -3*dc
c2 = 6*n*(A0*1*(d-dc)+A1*1*(c-dc))/b
c3 = -6*n*(A0*d*(d-dc)+A1*c*(c-dc))/b
x = newton(lambda x: x**3 + x**2*c1 + x*c2 + c3, h/2)
Sn = - b*x*x/2 - n*A1*(x-c) + n*A0*(d-x)
print """Posizione n-n
%10.3f mm
Momento statico
%10.3f cm^3
Sigma calcestruzzo
%10.3f N/mm^2
Sigma acciaio
%10.3f N/mm^2"""%(x,Sn/1000., -N*x/Sn, n*N*(dx)/Sn)
======================================================================
Posizione n-n
286.188 mm
Momento statico
-10394.039 cm^3
Sigma calcestruzzo
-12.390 N/mm^2
Sigma acciaio
177.816 N/mm^2
Sezioni generiche
Sezione completamente reagente o completamente
fessurata
•
•
•
•
•
calcolare baricentro e momento d'inerzia baricentrico
calcolare nocciolo d'inerzia
verificare che C sia interno al nocciolo di inerzia
se C è interno, calcolare le tensioni nel sistema di
riferimento baricentrico (M* diverso da M)
se no, passare alla procedura per sezione parzializzata
Sezioni generiche
Se la sezione è parzializzata
•
•
•
Si trovano le espressioni di Sn e Jn in funzione della
posizione x dell'asse neutro
Si risolve numericamente l'equazione di equilibrio
Nota x, si calcola Sn e utilizzando le formule monomie si
ricavano le tensioni
Esempio
●
●
●
●
●
As = A's = 1000 mm2,
c = 40 mm
xG = 650 mm
N = - 2E6 N
M = 800E6 N mm
Esempio
●
Sn1 = -300 x2/2 + n As (40-x) + n As (1260-x),
Jn1 = 300 x3/3+ n As (40-x)2 + n As (1260-x)2.
●
e
Sn2 = Sn1- 1000 (500-x)2/2,
Jn2 = Jn1 + 1000 (x-500)3/3.
●
Sn3 = Sn1 + (1000×300) (650-x)
Jn3 = Jn1 + (1000×3003/12 )+ (1000×300) (650-x)2.
Domini di interazione
Si assume un diagramma di sforzi che presenti una situazione limite nel campo
lineare e si ricavano i valori di sollecitazione N ed N corrispondenti.
I valori ottenuti, rappresentati nel piano N-M, racchiudono
l'insieme delle
sollecitazioni
che la sezione puo equilibrare, ovvero il cosiddetto dominio
di interazione M-N.
Domini di Interazione
Si assume un diagramma di sforzi che presenti una situazione limite nel
campo lineare e si ricavano i valori di sollecitazione N ed N
corrispondenti.
I valori ottenuti, rappresentati nel piano N-M, racchiudono l'insieme
delle sollecitazioni che la sezione puo equilibrare, ovvero il cosiddetto
dominio di interazione M-N
Domini di Interazione
.
Nella condizione A l'armatura è tutta tesa con il valore massimo, nel campo 1
l'armatura inferiore ha il valore di tensione massimo e il calcestruzzo è tutto non
reagente, nella condizione B l'asse neutro entra nella sezione, nel campo 2
l'armatura inferiore hatensione max e il calcestruzzo ha tensione che varia tra 0
e la sua tensione minima
Nel campo 3 il calcestruzzo ha tensione minima e la tensione nell'acciaio
inferiore diminuisce fino a cambiare di segno, in D l'asse neutro esce dalla
sezione, nel campo 4 la sezione è tutta compressa
Diagramma N-M
Tradizionalmente si considerano positive le azioni assiali di compressione.
Questo diagramma è relativo a una sezione con armatura simmetrica.
L'andamento è molto regolare eccetto che tra i punti C e D,
il diagramma può essere ben approssimato conoscendo i punti A, B, C, D ed E,
più alcuni punti nel campo 3, ottenuti facendo variare la tensione nell'acciaio
inferiore.
Flessione deviata
Un approccio approssimato consiste nel calcolare, per
NEd assegnato i valori del momento resistente per le
due flessioni rette, Mx,Rd e My,Rd e poi verificare che
risulti
Modello non lineare
●
Flessione retta
–
–
●
verifica
domini di interazione
Flessione deviata
Verifica
Sono noti NEd e MEd, e le caratteristiche della sezione.
In linea di principio si può trovare la massima coppia di
sollecitazioni aNEd ed aMEd per cui la sezione raggiunge
lo stato limite, e se a≥1 la verifica è OK.
In pratica si preferisce partire da NEd, e calcolare il
massimo momento resistente per N=NEd.
La procedura è
Verifica
La procedura è
1.verificare che
-(Acfcd+As,totfyd) ≤ NEd ≤ As,totfyd.
2.verificare se la sezione è parzializzata, ovvero se
NEd ≤ Ac β fcd + Σ As,i fs,i.
3.Se la sezione è parzializzata, si usa lo stress block per scrivere
l'equazione di equilibrio NRd=NEd e poi calcolare MRd da confrontare
con MEd,
altrimenti bisogna calcolare i coefcienti di riempimento e la
posizione della risultante per una distribuzione convenzionale di
sforzi normali, per poi procedere come sopra.
Sezione interamente compressa
Convenzionalmente si mantiene fissa, rispetto alla sezione con asse
neutro tangente, la posizione della fibra con deformazione εc2 e si fa
ruotare il diagramma delle deformazioni, il conseguente diagramma
delle tensioni è costante sopra questa fibra e parabolico al di sotto di
essa.
Si esprime εc,min in funzione di un parametro η: εc,min = η εc2.
Sezione interamente compressa
Si possono calcolare, analiticamente o numericamente, β e
κ in funzione di η (vedi tabella 11.1 del Ghersi), oppure
usare una soluzione approssimata: definiamo h' come la
profondità di un'area uniformemente compressa, σc = fcd,
con h' data da
e con la posizione della risultante, che per la sezione
rettangolare è h'/2, da calcolare in funzione della forma
della sezione.
Sezione rettangolare
Definiamo No come il più piccolo valore di N per cui la sezione
è interamente compressa, ossia il valore che corrisponde
all'asse neutro che coincide con il bordo inferiore, ossia x=h.
Calcoliamo le risultanti degli sforzi per x=h:
Ns = -A'smin(fyd,Es ecu (h-c)/h)- As Es ecu c/h,
Nc = - β b h α fcd,
e quindi risulta
No = N s + N c
Se NEd è più piccolo, in modulo, di No la sezione è parzializzata
e useremo le seguenti espressioni ...
Sezione rettangolare
Se NEd è più piccolo, in modulo, di No la sezione è
parzializzata e useremo le seguenti espressioni (
per calcolare x. Calcolato x, si scrive l'equilibrio alla
rotazione rispetto al baricentro del calcestruzzo e si
trova il momento resistente MRd=MRd(NEd) .
Sezione rettangolare
Se NEd è più piccolo, in modulo, di No la sezione è
parzializzata e useremo le seguenti espressioni (εcu<0)
per calcolare x. Calcolata x, si scrive l'equilibrio alla
rotazione rispetto al baricentro del calcestruzzo e si
trova il momento resistente MRd=MRd(NEd) .
Esempio
Sezione 30x60, C25/30, As = 10cm2 e A's = 6cm2.
NEd = -675 kN, MEd = 270 kN m
●
No = (- 2066 – 235 – 47 ) kN = - 2348 kN
La sezione è parzializzata.
●
●
●
Numericamente trovo x = 24.15 cm
Ns = 391.3 kN, N's = -234 kN, Nc = = -831.5 kN
M = 391 (0.56-0.30) + (-234)(0.04-30) + (-831)
(0.41*24.15-0.30) = 328.7 kN m > 270 kN m
Sezione rettangolare
In caso contrario, per sezione tutta compressa, la variabile
da determinare sarà η. Con c2=-0.002 abbiamo
Una volta noto η, scriviamo l'equilibrio delle forze rispetto
al baricentro del calcestruzzo per trovare il momento
resistente.
Esempio
Stessa sezione con M=120kNm e N=-2500kN.
● N<N , quindi sezione tutta compressa
o
●
●
Si trova numericamente η=0.1215, Nc=-2175kN,
N's=-235kN, Ns=-90kN.
Equilibrio alla rotazione,
MRd = Nc(0.5(h'-h)) + Ns(d-h/2) + N's(c-h/2) =
=118.1 kN m → sezione non verificata.
Domini di interazione
Nel caso di resistenza allo stato limite ultimo, la
questione si semplifica perché
● o la sezione è parzializzata e la coppia di valori M, N
è determinata dal valore di x, 0 < x ≤ h (per x → 0
abbiamo la sezione snervata a trazione),
● o la sezione è tutta compressa e il diagramma di
deformazione ruota intorno al punto fisso come
visto prima.
Domini di interazione
Per sezione parzializzata,
● ε
sup = εcu (nota: εcu è negativo),
●
εs = εcu(x-d)/x (in genere positivo) e infine
●
ε's=εcu(x-c)/x (che in genere è negativo).
●
Nc = β b x α fcd, Ns = As fs, N's = A's f's
●
NEd = Nc + Ns + N's,
●
MEd = Nc (κx-h/2) + N's(c-h/2) + Ns(d-h/2)
Domini di interazione
Sezione completamente reagente
In questo caso 0.0 < η < 1.0 e dobbiamo scrivere tutto
in funzione di η.
Le seguenti espressioni sono valide per una sezione rettangolare
Diagramma di interazione per b=300mm, h=600mm, A=1000mm2, A'=600mm2
350
'pippo.dat'
300
250
M/(kN m);
200
150
100
50
0
-50
1000
500
0
-500
-1000
-1500
N/kN;
-2000
-2500
-3000
-3500
Formule approssimate
Per una sezione rettangolare parzializzata il momento resistente
dovuto al solo calcestruzzo è
Mc(N) = Nc ( h/2 + N κ/(β b fcd))
e ha una espressione parabolica.
Il massimo lo si ha per
NM = -vM A fcd, con vM = β/(4κ) = 289/594 = 0.4865.
Sostituendo in Nc = β b x fcd si ha
x = h/(4κ) = 119 h /198 = 0.601 h
Sostituendo in Mc = Nc (h/2 - κ x) si trova infine
MM = A h fcd beta/(16κ) = 289/2376 … = 0.1216 A h fcd.
Formule approssimate
Per quanto riguarda il contributo dell'armatura, il massimo contributo
si ha quando le due armature sono snervate, e per l'importante caso
di armatura simmetrica si ha
Ms,Mx = As fyd (h-2c).
Questo contributo è costante in un ampio insieme di diagrammi limite.
Per una sezione data, nell'intorno del massimo momento, possiamo
scrivere, con buona approssimazione
MRd = Mc(Nc) + Ms,Mx.
La formula risultante può essere anche utilizzata come formula di
progetto.
Esempio
Sezione rettangolare 30x70, C25/30,
M=280 kN n e N=-600 kN.
NM = 0.48 fcd Ac = -29757 * 0.48 kN = 1428 kN,
MM = 0.12 fcd Ac h = 250 kN m
280 = 250(1-(-600+1428)2/14282) – As fyd (0.62)
280 = 135.9 – As fyd(0.62)
As = (114 100)/(62*39,13) = 4.70 cm2
In questo caso abbiamo una buona soluzione perché M<MM.
Esempio
Stessa sezione, M = 280 kN m, N = -2400 kN.
In questo caso, la N è alta e la soluzione non sarà
buona.
Ripetendo la stessa procedura, le armature devono
equilibrare 145 kN m, e l'area richiesta è As = 6.0 cm2.
Una analisi rigorosa mostra che sono richiesti 6.5 cm
quadrati di armatura.
Considerazioni progettuali
●
Azione assiale “abbastanza” nota, momenti importanti
ma non noti (telai antisismici)
–
●
Azione assiale abb.nota, piccoli momenti (telai)
–
●
dimensiono la sezione usando Ac = 2 N/fcd, per avere il
massimo della resistenza flessionale
dimensiono la sezione a compressione con un piccolo
margine
Sezione inflessa, con piccola azione assiale
–
dimensiono la sezione a flessione, poi calcolo l'armatura
usando l'ultima procedura descritta
Flessione deviata
L'argomento è molto complesso ma possiamo usare
una formula approssimata a favore di sicurezza.
Per un valore assegnato di NEd, si calcolano con le
formule della flessione retta MRd,x ed MRd,y e si compie
la seguente verifica

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