Documentazione scuola sec II grado (numeri)

Numeri e frazioni … contiamo, dividiamo,numeriamo!
SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO
Obiettivi di
apprendimento
Contenuti
Conoscere i numeri
costruibili:interi e frazionari
Saper disegnare i numeri
interi e loro somma,
differenza, prodotto e
quoziente
Attività
Costruzioni con riga
e compasso dei
numeri interi e loro
somma, differenza,
prodotto e
quoziente;
Metodo
Lavoro in
piccoli
gruppi
Discussione
in classe e
ricerca di
strategie
Lavoro
individuale
Conoscere i numeri
costruibili: frazionari
Saper disegnare i numeri
razionali
Costruzioni dei
numeri interi e loro
somma, differenza,
prodotto e quoziente
con il software
Geogebra
Conoscere e costruire i
numeri irrazionali
Saper disegnare i numeri
irrazionali con i teoremi
studiati
Presentazione del
problema: costruire
Lavoro in
piccoli
gruppi
Presentazione del
problema: costruire
la spirale dei numeri
Lavoro in
piccoli
gruppi
Strumenti Durata
Valutazione
Valutazione
(in ore)
degli obiettivi di
apprendimento
della competenza
Riga e
compasso;
2
Scheda da
consegnare
Richiesta di spiegare
le costruzioni
eseguite
Scheda di
laboratorio
Software
Geogebra
2
Scheda da
consegnare
Richiesta di motivare
la costruzione con il
Teorema di Talete
2
Scheda da
consegnare
Richiesta di motivare
la costruzione
eseguita
Prima con
carta e
penna, poi
con riga e
compasso ed
infine con
l’uso di
Geogebra
Scheda di
laboratorio
Scheda di verifica.
2
Numeri e frazioni …
contiamo, dividiamo,numeriamo!
Sintesi dell’attività
Scuola secondaria di secondo grado
La sperimentazione relativa alla secondaria di secondo grado è stata effettuata nella
classe 2A del liceo delle scienze applicate, dell’I.S.I.S “B. Varchi” di Montevarchi nel
periodo Febbraio-Marzo 2014 dalla prof.ssa Francesca Gori (insegnante di matematica
delle classi) lavorando con cadenza settimanale.
Una parte del lavoro è stata sperimentata anche nelle classi 1A e 2A del liceo classico
sempre dalla stessa insegnante (la prima parte inerente la costruzione dei numeri interi e
frazionari è stata sperimentata in prima , mentre la costruzione dei numeri irrazionali nella
seconda classico dopo aver introdotto i teoremi di Pitagora e Euclide).
In tutte le classi è stato proposto sia il lavoro con riga e compasso che l'utilizzo del
software Geogebra. Quasi sempre il lavoro è stato svolto a piccoli gruppi e discusso i
risultati con l'intera classe. Ad ogni incontro è stato chiesto di stendere un resoconto del
lavoro effettuato.
La classe 2Asa, anche grazie all'indirizzo a cui appartiene, si è mostrata molto entusiasta
nello svolgere i lavori che gli venivano proposti ogni volta e hanno mostrato una adeguata
abilità anche nell'utilizzo del software geogebra.
Il lavoro con loro a seguito questo schema:
1° lezione Ho chiesto loro di disegnare sul foglio un segmento unitario u e di
costruire nel foglio altri segmenti AB= 4u, CD=5u, EF=7u , GH=AB+CD, MN=EFAB.
Alcuni studenti hanno costruito in modo veloce e senza difficoltà i segmenti proposti
attraverso le conoscenze sui segmenti che avevamo approfondito nel precedente
anno scolastico e hanno aiutato compagni più in difficoltà.
Nella discussione, alla domanda dell'insegnante se era possibile ampliare il numero
dei segmenti "costruibili" uno studente ha proposto di disegnare con il metodo del
"falegname" (che avevamo usato l'hanno precedente per disegnare i sottomultipli di
segmenti) anche frazioni dei segmenti assegnati. Una studentessa però si è
"lamentata" di poter disegnare solo frazioni di un segmento assegnato e non
rapporti fra segmenti. L'insegnante allora ha proposto di costruire anche il prodotto
e il quoziente di segmenti grazie al teorema di Talete. Sono state allora proposte le
costruzioni di AB/CD e di AB*CD.
2° lezione Con la scheda di laboratorio (Costruiamo i numeri! Lezione 1) preparata
dall'insegnante gli studenti individualmente hanno riportato sul computer le
costruzioni eseguite la lezione precedente e hanno provato a risolvere ulteriori
esercizi loro assegnati.
Queste sono state le due lezioni svolte anche nella classe prima del liceo classico
in cui questa attività è stata introdotta come approfondimento della costruzione
degli insiemi di numerazione (fino a Q) e consolidamento della geometria.
3° lezione L'insegnate ha proposto ai singoli gruppi di costruire i numeri irrazionali
per esempio
con almeno una costruzione geometrica.
Alcuni gruppi hanno proposto solo la soluzione che utilizza il teorema di Pitagora
proponendo però varie soluzioni per numeri irrazionali diversi. Due gruppi invece
hanno proposto l'utilizzo del secondo teorema di Euclide anche se hanno trovato
difficoltà per impostare in modo corretto la costruzione. L'insegnante nella
discussione ha potuto formalizzare anche questa seconda costruzione per tutta la
classe.
4° lezione L'insegnate ha consegnato la scheda di laboratorio (Costruiamo i
numeri! Lezione 2) in cui viene spiegato la costruzione dei numeri irrazionali con il
teorema di Pitagora e con il secondo teorema di Euclide e ha proposto di costruire
la spirale di Teodoro. Ha assegnato per lavoro la risoluzione dei tre quesiti posti in
fondo alla scheda
• Sapresti costruire
utilizzando il 1° teorema di Euclide?
• Costruisci un segmento di misura
• Costruisci un segmento di misura
L'introduzione di questa scheda è servita per aiutare quegli studenti più deboli che
non erano ancora autonomi per riproporre la costruzione formalizzata nella lezione
precedente sul computer. Questa scheda è stata poi utilizzata nella classe 2 liceo
classico come approfondimento sui Teoremi di Pitagora e Euclide. La costruzione
con il 1° teorema di Euclide è riuscita solo ad alcuni studenti, mentre quasi tutti gli
allievi sono riusciti a presentare i lavori in cui avevano costruito i segmenti proposti.
Il lavoro a gruppi e le discussioni che ne sono seguite hanno stimolato gli studenti a
partecipare attivamente all'attività proposte senza aver paura delle difficoltà ma
proponendo soluzioni o confutando in modo chiaro le soluzioni proposte da altri nel caso
non fossero corrette. Più difficile per alcuni è stato esporre in modo coerente e corretto le
costruzioni svolte e motivare i passaggi svolti, segno che su questo è necessario lavorare
in modo più efficace perché è una attività che si tende a tralasciare.
Di seguito sono riportate le schede fornite agli studenti.
Nel mese di marzo è stato chiesto all'interno delle verifiche orali di costruire numeri
razionali e/o irrazionali con un buon esito sia dagli studenti con votazioni positive sia dagli
allievi più in difficoltà.
Costruiamo i numeri! Lezione 1
Costruiamo con Geogebra, cioè con riga e compasso come facevano gli antichi geometri, i numeri
naturali, interi e razionali.
Scopriremo poi che è possibile
costruire con riga e compasso
anche numeri della forma a+b
,
con a,b e c numeri razionali ma solo
radici quadrate.
Si
chiamano
proprio
numeri
costruibili perché sono numeri
corrispondenti a lunghezze di
segmenti che si possono tracciare
con riga e compasso, fissata
un’unità, secondo i canoni della
geometria greca. Sono chiamati anche “numeri di Euclide” o “numeri euclidei”.
Per ogni costruzione consideriamo un segmento unitario u e costruiremo a partire da questo ogni
altro segmento di misura 4u,
,
ecc. Se il segmento sarà costruito dalla parte positiva
dell'asse reale, allora rappresenterà un numero positivo, in caso contrario un numero negativo.
Costruzione 1
Costruiamo un segmento AB e chiamiamolo u (per cambiare il suo nome clicca sul segmento con il
tasto destro del mouse e utilizza rinomina dandogli valore u).
Costruiamo adesso l'asse reale dove determineremo i valori che desideriamo costruire. Perciò
utilizza retta per due punti. Il primo punto rinominalo O (sarà l'origine dei numeri, il nostro zero!),
mentre l'altro punto nascondilo (in geogebra si possono nascondere elementi che abbiamo
utilizzato per la costruzione e che non ci servono cliccando sul tasto destro del mouse e poi
cliccando su mostra oggetto). La situazione dovrebbe essere questa illustrata sotto.
Vogliamo adesso costruire un segmento di lunghezza 4u e utilizzeremo il compasso per riportare
sulla retta a partire da O 4 volte la misura u.
Possiamo
usare
il
comando
compasso indicando la misura u come
raggio e indicando il centro O, oppure
utilizzare Circonferenza dato centro
e raggio che indicato prima il centro
(nel nostro caso O) subito dopo chiede
con una finestra quale raggio utilizzare
e basta indicare il nome del segmento
in questo caso u. Troviamo poi il punto
di
intersezione
tra
retta
e
circonferenza, geogebra indica questi
due punti con C ed E.
Che numeri rappresentano questi punti?
OE e OC rappresentano segmenti di lunghezza 1u ma mentre E rappresenta la posizione del
numero intero +1, il punto C rappresenta la posizione del numero intero -1.
Riportando più volte il segmento u possiamo
perciò trovare le posizioni dei vari numeri
naturali e interi che desideriamo. Nella figura
possiamo vedere che il punto L rappresenta il
numero +4 e che la misura del segmento OL è
4u.
Adesso vogliamo costruire i segmenti che sono il risultato di operazioni fra due segmenti dati a e b:
la somma che indicheremo con a+b, la differenza a-b, il prodotto a*b e il rapporto a/b.
Costruzione 2
Dati due segmenti a e b, costruiamo i segmenti risultanti dalle quattro operazioni.
SOMMA a+b
Costruisci due segmenti a e b. Considera la retta che contiene il segmento a (retta per due punti A
e B) e riporta con il compasso il segmento b a partire dal secondo estremo del segmento a.
Trovata l'intersezione tra la retta contenente il
segmento a e la circonferenza, si trovano due punti
E e F.
Nascondiamo il punto E.
Il punto F rappresenta il secondo estremo del
segmento AF che è la somma di a e b.
DIFFERENZA a-b
Costruisci due segmenti a e b, con a>b. Considera la retta che contiene il segmento a (retta per
due punti A e B) e riporta con il compasso il segmento b sulla retta a partire dal primo estremo del
segmento a.
Il segmento EB rappresenta la differenza cercata.
PRODOTTO a*b
Prima di iniziare la costruzione del prodotto bisogna ricordare il teorema di Talete
Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, si
dimostra che ad una coppia di segmenti su una trasversale
corrisponde una coppia di segmenti sull'altra trasversale che hanno
lo stesso rapporto. Cioè AB: BC=A'B': B'C'
Perciò se considero due semirette con origine in comune e su di
esse quattro segmenti come in figura si ha
Costruisci il segmento unitario u e due semirette con origine in comune che indicherai con O.
Considera il segmento OD come segmento a e il segmento OG come segmento b. Riporta sulla
seconda semiretta il segmento unitario u con il compasso e chiama H il punto di intersezione della
circonferenza con la semiretta OG. Congiungendo H con D e tracciando la parallela al segmento
DH passante per G si ottiene il punto I. Il segmento OI è il segmento prodotto dei segmenti a e b.
Infatti
cioè
RAPPORTO a/b
Anche in questo caso possiamo sfruttare il teorema di Talete e costruire il rapporto fra due
segmenti.
Costruisci il segmento unitario u e due semirette
con origine in comune che indicherai con O.
Considera il segmento OD come segmento a e il
segmento OG come segmento b. Riporta sulla
seconda semiretta il segmento unitario u con il
compasso e chiama H il punto di intersezione
della
circonferenza
con
la
semiretta
OG.
Congiungendo adesso G con D (cioè gli estremi
dei segmenti a e b) e tracciando la parallela a
GD uscente dal punto H si determina J che è il secondo estremo del segmento OJ che
rappresenta il segmento rapporto tra a e b.
Infatti
cioè
.
"METODO DEL FALEGNAME"
Grazie ancora al teorema di Talete è possibile costruire una frazione di un segmento, cioè
AB,
con n numero naturale non nullo e AB un segmento dato. Questo metodo di solito è conosciuto
come metodo del falegname.
Dato un segmento AB, costruiamo
.
Costruisci un segmento AB e dal
primo estremo A di questo traccia
una semiretta qualsiasi AC.
costruisci
un
segmento
DE
di
lunghezza a scelta tua e riportalo
come abbiamo imparato con il
compasso sulla semiretta a partire
da A tante volte quante indica il
denominatore della frazione scelta, in questo caso 5.
Possiamo adesso nascondere o far tratteggiare a geogebra le circonferenze utilizzate (cliccandoci
sopra
e
togliendo
la
spunta a mostra oggetto
oppure
sempre
cliccandoci
sopra
e
scegliendo proprietà e poi
stile
possiamo
far
cambiare
lo
stile
del
tratto).
Congiungiamo
l'ultimo estremo J con B e
tracciamo tutte le rette
parallele
segmento
a
questo
passanti
per
ogni punto riportato su AJ.
Il segmento AK rappresenta proprio la frazione scelta e cioè,
.
Con tutte le costruzioni appena fatte abbiamo imparato a costruire le misure relative a tutti i numeri
razionali.
ESERCITAZIONE
Costruire a partire da un segmento unitario u i seguenti segmenti:
•
AB 3u ,
•
CD=4u,
•
EF=AB+CD,
•
Costruire a partire da un segmento unitario u, un rettangolo di lati AB e BC tali che
.
Costruiamo i numeri! Lezione 2
Abbiamo già imparato a costruire con Geogebra, cioè con riga e compasso come facevano gli
antichi geometri, i numeri naturali,
interi e razionali.
Scopriremo adesso che è possibile
costruire con riga e compasso
anche numeri della forma a+b
,
con a,b e c numeri razionali ma solo
radici quadrate.
Questi numeri si chiamano proprio
numeri costruibili perché sono
numeri corrispondenti a lunghezze
di segmenti che si possono tracciare
con riga e compasso, fissata
un’unità, secondo i canoni della geometria greca. Sono chiamati anche “numeri di Euclide” o
“numeri euclidei”.
Per ogni costruzione consideriamo un segmento unitario u e costruiremo a partire da questo ogni
.
altro segmento
Ci sono due modi per costruire le radici
quadrate e entrambi utilizzano teoremi molto
importanti e famosi della matematica: i
teoremi di Pitagora e di Euclide. Le
costruzioni che faremo saranno perciò un
occasione per sperimentare un'applicazione
pratica dei teoremi in questione.
Costruzione 1 (teorema di Pitagora)
Costruiamo un segmento AB e chiamiamolo u
(per cambiare il suo nome clicca sul
segmento con il tasto destro del mouse e
utilizza rinomina dandogli valore u).
Costruiamo adesso l'asse reale dove
determineremo i valori che desideriamo
costruire. Costruiamo poi il quadrato di lato u.
Per costruire un quadrato possiamo fare in diversi modi: utilizzando il comando poligono regolare
assegnando come lato e dicendo 4 alla richiesta del numero di lato oppure attraverso la
costruzione del quadrato. La diagonale AC ha misura
per il teorema di Pitagora. Infatti si ha
.
Se riportiamo adesso la misura della diagonale con il compasso sulla retta r troviamo la posizione
di F che rappresenta l'estremo del segmento
.
ESERCITAZIONE
Costruire a partire da un segmento unitario u i seguenti segmenti:
•
, (suggerimento
•
)
, (suggerimento come si può formare 13 come somma di due quadrati semplici da disegnare?)
Costruzione 2 (spirale di Teodoro)
Utilizziamo la costruzione precedente per rappresentare
la spirale di Teodoro.
Teodoro di Cirene (Cirene, 465 a.C. – ...) è un
matematico greco della scuola pitagorica.
Questa spirale è tracciata unendo i secondi estremi di
tanti segmenti di misura
con a=2, 3, 4, ...
Per costruire la spirale partiamo dalla costruzione appena
fatta di
e dal secondo estremo del segmento AC
costruiamo una circonferenza di centro C e raggio il
segmento AB.
In C tracciamo la retta perpendicolare ad AC e
troviamo il punto di intersezione G. Questo unito
con A crea il segmento di misura
.
Infatti
.
Collegando con segmenti i punti B, C, G si inizia a costruire la spirale di Teodoro.
Adesso ripetendo la stessa procedura a partire dal segmento AG possiamo continuare a costruire i
segmenti di misura
,
,
, ecc.
ESERCITAZIONE
Costruisci la spirale di Teodoro fino a
Verifica che la misura di
.
è uguale a due volte la misura del segmento unitario.
Costruzione 3 ( 2° teorema di Euclide)
Adesso vogliamo, dato un segmento di misura
, costruire il segmento di misura
.
Costruiamo un segmento AB e
chiamiamolo u esso sarà la nostra
unità. Consideriamo poi il segmento CD
di misura assegnata . Costruiamo la
retta CD e su di essa riportiamo a
partire da D il segmento unitario AB e
determiniamo il punto F.
Tracciamo un segmento di estremi Ce
F. Questa operazione non è molto importante per noi (infatti non vedo niente in più) ma è utile per
Geogebra che adesso riconosce il
segmento CF e ne può disegnare il
punto medio.
Chiediamo a Geogebra di costruire
il punto medio, G. Costruiamo una
circonferenza di centro G e raggio
GF. Per il punto D, adesso
tracciamo la retta perpendicolare e
determiniamo il punto H che è
l'intersezione tra questa retta e la
circonferenza di centro G.
Costruiamo adesso il triangolo CFH.
questo triangolo è rettangolo
(perché è stato inscritto in una
semicirconferenza) e ha come
proiezioni dei cateti
e
.
adesso per il teorema di Euclide si sa che
ESERCITAZIONE
•
Sapresti costruire
•
Costruisci un segmento di misura
•
Costruisci un segmento di misura
utilizzando il 1° teorema di Euclide?
perciò
.

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