Lezione 14 - Dipartimento di Matematica

Storia della Matematica
Lezione 14
E NRICO R OGORA1
1
Dipartimento di Matematica
”Sapienza”, Universita` di Roma
Roma, 14 Aprile 2014
E NRICO R OGORA
Storia della Matematica
Galileo e l’infinito
Galileo, nel Dialogo sopra due nuove scienze si interroga
sull’infinitamente grande e sull’infinitamente piccolo, trattando dei
seguenti argomenti.
Il pradosso della ruota di Aristotele
La scodella di Galilei
La corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e i loro quadrati
La considerazione di un cerchio con raggio che diventa
arbitrariamente grande e che degenera in una retta
Sembra che Galileo avesse intenzione di scrivere un’opera
sull’infinito in matematica, a conferma della percezione che si
trattasse di uno dei problemi cruciali per sviluppare la nuova scienza.
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Storia della Matematica
Il paradosso della ruota
Due livelli: realta` e modello.
Nella realta` la ruota piccola striscia quando la grande rotola
senza strisciare e la grande frena quando la piccola rotola senza
strisciare
` possibile dare un modello matematico di rotolamento della
E
ruota grande in uno spazio numerico. La piccola allora, nel suo
movimento teorico determina una corrispondenza biunivoca con
i punti della retta tangente, ma questa corrispondenza non e`
un’isometria
Sono possibili altri modelli, non numerici, entro i quali il
paradosso si risolve? Galileo sviluppa un modello discreto
sostituendo ai cerchi due poligoni regolari iscritti e cercando di
immaginarne il limite al crescere del numero dei lati.
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Galileo: contributi Matematici
Tra i contributi matematici,
uso della parabola per modellare la traiettoria di un proiettile
calcolo di volumi e baricentri
interesse nelle proprieta` di curve definite cinematicamente o da
proprieta` fisiche: cicloide, catenaria
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Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
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Storia della Matematica
Biografia essenziale
Nacque a Milano Da giovane entro` nell’ordine dei gesuati di s.
Girolamo. Nel 1615 prese gli ordini minori e fu mandato a Pisa per
perfezionarsi, dove incontro` Benedetto Castelli, allievo di Galileo
Galilei, che diede a Cavalieri le prime lezioni di geometria e,
` lo presento` a Galilei. Per piu` di
avendone riconosciute le capacita,
dieci anni cerco` senza fortuna un incarico per l’insegnamento della
` Finalmente, nel 1629, grazie
matematica presso una Universita.
anche all’appoggio di Galileo, ottenne una cattedra di Matematica
presso l’Universita` di Bologna. Cavalieri non lascera` piu` Bologna fino
alla morte, avvenuta il 30 novembre 1647.
Oltre alla Geometria degli indivisibili, la sua opera piu` importante,
pubblico` la Trigonometria plana e sphaerica, lo Specchio ustorio, le
Exercitationes geometricae sex e varie opere di astronomia e di
astrologia.
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Cavalieri matematico
Cavalieri fu il primo a pubblicare in Italia tavole per i logaritmi, diciotto
anni dopo la loro invenzione da parte di John Neper e a illustrarne
l’uso. Introdusse diversi perfezionamenti, sia nell’uso dei logaritmi,
sia nella geometria sferica, dove dimostro` il teorema che asserisce
che l’area di un triangolo sferico geodetico (cioe` i cui lati sono
porzioni di cerchi massimi) sulla sfera unitaria e` uguale alla differenza
tra la somma degli angoli del triangolo e due angoli retti:
A = α1 + α2 + α3 − π.
Il principale contributo di Cavalieri alla matematica e` il metodo degli
indivisibili, uno snodo cruciale della storia della matematica, sia per la
maggiore flessibilita` rispetto al metodo di esaustione, sia per le
controversie che ne seguirono, che portarono in ultima analisi allo
sviluppo dei metodi infinitesimali e alla nascita del calcolo
infinitesimale.
Dimostro` geometricamente le formule che in notazione moderna si
leggono
Z b
an+1
bn+1
−
xn =
n+1 n+1
a
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Il metodo degli indivisibili
Cavalieri cerco` di dare una esposizione organica al metodo degli
indivisibili nella sua opera Geometria indivisibilibus continuorum nova
quadam ratione promota, che affonda le sue radici nel metodo
meccanico di Archimede.
Meditando dunque un giorno sulla generazione dei solidi che sono
originati da una rivoluzione intorno ad un asse e confrontando il
rapporto delle figure piane generatrici con quello dei solidi generati mi
meravigliavo moltissimo del fatto che le figure generate si
discostassero a tal punto dalla condizione di quelle che la generano,
da mostrare di seguire un rapporto completamente diversodal loro.
per esempio un cilindro, che e` ottenuto insieme ad un cono della
stessa baseper rotazione attorno ad un medesimo asse, e` il triplo di
questo, anche se nasce per rivoluzione da un parallelogramma
doppio del triangolo che genera il cono. [...]
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Il metodo degli indivisibili (II)
Avendo dunque piu` e piu` volte fermato l’attenzione su tale diversita` in
moltissime altre figure, mentre prima, raffigurandomi ad esempio un
cilindro come l’unione di parallelogramm indefiniti per numero e il
cono con stessa base e stessa altezza come l’unione di triangoli
indefiniti per numero passanti tutti per l’asse, ritenevo che ottenuto il
mutuo rapporto di dette figure piane dovesse subito venirne fuori
anche il rapporto dei solidi da esse generate, risultando invece gia`
chiaramente che il rapporto delle figure piane generatrici non
concordava affatto con quello dei solidi generati mi sembrava si
dovesse a buon diritto concludere che avrebbe perduto il tempo e la
fatica e che avrebbe trebbiato inutile paglia chi si fosse messo a
ricercare la misura delle figure con tale metodo.
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Il metodo degli indivisibili (III)
Ma dopo aver considerato la cosa un po’ piu` profondamente,
pervenni finalmente a questa opinione e precisamente che per la
nostra faccenda dovessero prendersi piani non intersecantesi tra loro,
ma paralleli . In questo infatti, investigati moltissimi casi, in tutti trovai
perfetta corrispondenza tanto tra il rapporto dei corpi e quello delle
loro sezioni piane quanto tra il rapporto dei piani e delle loro linee [...]
Avendo dunque considerato il cilindro e il cono suddetti e secati non
piu` per l’asse ma parallelamente alla base, trovai che il rapporto del
cilindro al cono e` uguale a quello di quei piani che chiamo nel libri II
“tutti i piani” del cilindro a “tutti i piani” del cono, con riferimento alla
base comune [...] Stimai percio` metodo ottimo per investigare la
misura delle figure quello di indagare i rapporti delle linee al posto di
quello dei pianie i rapporti dei piani al posto di quello dei solidi per
procurarmi subiti la misura delle figure stesse. La cosa, ritengo, ando`
come nei miei voti, come risulta chiaro a chi leggera` tutto.
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Principio di Cavalieri
La Geometria degli indivisibili si compone di sette capitoli (o Libri,
secondo la denominazione di allora), e contiene, tra l’altro, il famoso
Principio di Cavalieri
Se due figure piane o solide hanno la stessa altezza; se poi, condotte
nelle figure piane delle rette parallele e nelle solide dei piani paralleli,
si trovera` che i segmenti di retta tagliati dalle figure piane (o le
superficie piane tagliate dalle solide) sono grandezze proporzionali, le
due figure staranno tra loro come uno qualsiasi dei segmenti (o nei
solidi una delle superfici) tagliati nella prima al corrispondente
segmento tagliato nell’altra. Libro II Teorema IV.
Illustrazione grafica del principio di Cavalieri
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Successo del metodo degli indivisibili
Nonostante le obiezioni e i paradossi, il metodo degli indivisibili si
impose rapidamente tra i matematici
Opinione di Torricelli
Che poi la geometria degli indivisibili sia un’invenzione del tutto
nuova, non oserei certo dire. Crederei, piuttosto, che gli antichi
Geometri si siano valsi di questo metodo per scoprire i Teoremi piu`
difficili, e che poi, nella dimostrazione, abbino preferito un altro
metodo, sia per nascondere i segreti dell’arte, sia per non offrire, a
invidiosi detrattori, alcuna occasione di critica. Dalle opere.
In somma, a me pare che per via degl’indivisibili si trovino [...] delle
conclusioni da non disprezzarsi [...]. Come dunque questa dottrina
non e` da stimarsi? Se costoro ammettessero le conclusioni pur belle,
come credo, che bisogni concedere, converra` pur anco approvare la
dottrina, almeno dovranno mostrare cje ve ne sono delle false, ma
credo che dureranno fatica?
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