Notazioni

Capitolo 1
Notazioni
Elenchiamo di seguito alcune notazioni che verranno ripetute diverse volte nel corso di questi
appunti.
Spazi
c0 : Denoteremo con c0 lo spazio vettoriale delle successioni infinitesime a valori in R, cioè
c0 = {{xn } ⊆ R | lim xn = 0}.
n→∞
Generalmente a c0 sarà associata la norma infinito kxk∞ = supn |xn |.
Insiemi
Br (¯
x): Dato uno spazio vettoriale normato (X, k · k), denoteremo con Br (¯
x) la palla chiusa di
centro x
¯ ∈ X e raggio r > 0, cioè Br (¯
x) = {x ∈ X | kx − x
¯k ≤ r}. Qualora non venisse
specificato x
¯, si intenderà implicitamente x
¯ = 0. Qualora ci fosse ambiguità nella scelta
k·k
x)).
della norma, sarà specificata ad apice (Br (¯
1
2
Capitolo 2
Stream of consciousness
Lo “stream of consciousness” si riferisce a quella parte degli appunti che è stata riportata qui
più o meno così com’è stata presa a lezione, senza essere rivista né sistemata. Poco per volta,
ciascuna lezione presente in questo capitolo verrà rielaborata e spostata in quello successivo,
come versione più “definitiva”.
2.1
Lezione 01/10/14 (Novaga)
Sistemata e spostata nel capitolo successivo!
2.2
Lezione 02/10/14 (Novaga)
Vediamo alcuni corollari di Hahn-Banach:
Corollario 2.2.1. Sia E uno spazio di Banach, G < E sottospazio vettoriale, g : G → R
applicazione lineare continua. Allora ∃f ∈ E ∗ che estende g; inoltre kf k = kgk.
Dimostrazione. Applicazione immediata di Hahn-Banach
Corollario 2.2.2. Sia E uno spazio vettoriale normato, sia x ∈ E. Allora ∃f ∈ E ∗ tale che
kf k = kxk e f (x) = kxk2 .
Dimostrazione. Se x = 0 il risultato è banale. Se x 6= 0, sia G = hxi e g : tx 7→ tkxk2 : vale
kgk = kxk e dunque si può estendere g ad una f ∈ E ∗ che verifica la tesi.
Osservazione 2.2.3. Se nel Corollario 2.2.2 lo spazio E è di Hilbert, sappiamo che f è unica ed
è hx, ·i; inoltre l’applicazione ϕ : x 7→ f è lineare. Tutto ciò non si verifica in generale.
Esempio 2.2.4. Prendendo E = R2 con la norma k·k1 , applicando il Corollario 2.2.2 a x = (1, 0)
non è soddisfatta l’unicità di f .
3
Teorema 2.2.5 (Hahn-Banach - forma geometrica). Sia E uno spazio vettoriale normato, siano
A, B ⊆ E insiemi convessi disgiunti e non vuoti, supponiamo inoltre che A sia aperto. Allora
∃f ∈ E ∗ e ∃α ∈ R tali che
f (x) ≤ α ≤ f (y)
∀x ∈ A ∀y ∈ B,
cioè l’iperpiano chiuso {f = α} separa A da B.
Esercizio 2.2.6. Sia f : E → R un’applicazione lineare non identicamente nulla. Allora {f = α}
è un iperpiano ∀α ∈ R; inoltre {f = α} è chiuso se e solo se f è continua ∀α ∈ R.
Dimostrazione. Se {f = α} è chiuso, prendiamo x0 6∈ {f = α} tale che f (x0 ) < α: allora ∃r > 0
tale che Br (x0 ) ∩ {f = α} = ∅, per cui f < α su Br (x0 ); in particolare, f sarà continua. [...]
Osservazione 2.2.7. Gli iperpiani possono essere o chiusi o densi (in dimensione infinita).
Dimostrazione (Hahn-Banach - forma geometrica). Dimostriamolo in passi successivi.
1. Se B = {x0 } con x0 6= 0 e 0 ∈ A, sia p(x) = kxkA = inf{t ∈ R | x ∈ tA} una seminorma
su E; sia G = hx0 i = {tx0 ∈ E | t ∈ R, sia g : G → R | g(tx0 ) = t. Osserviamo che
x0 6∈ A ⇒ p(x0 ) ≥ 1 e dunque g(x) ≤ p(x) ∀x ∈ G. Di conseguenza possiamo applicare
Hahn-Banach ed estendere g a f ∈ E ∗ , che soddisferà kf k(x) ≤ p(x) ∀x ∈ E. Essendo A
aperto, per ogni x ∈ A esisterà t < 1 tale che x ∈ tA, in particolare f (x) ≤ p(x) < 1 su A;
d’altra parte f (x0 ) = 1, e dunque α = 1 separa A e B.
2. Se B = {0}, è sufficiente traslare per ricondursi al punto 1.
3. Nel caso generale, sia A0 = A − B: questo insieme è aperto (è unione di copie traslate di A)
e non contiene lo 0 (intersezione vuota). Sia dunque B 0 = {0}: posso applicare il punto 2 e
ottenere f che separa 0 da A0 , con f |A0 < 0. In particolare, f (x − y) < 0 ∀x ∈ A ∀y ∈ A,
che implica f (x) < f (y); di conseguenza avremo supA f (x) ≤ inf B f (y), e potremo trovare
α che separa.
Teorema 2.2.8. Sia E uno spazio vettoriale normato, siano A, B ⊆ E insiemi convessi disgiunti
e non vuoti, supponiamo inoltre che A sia chiuso e B compatto. Allora ∃f ∈ E ∗ , ∃α ∈ R tali
che f (x) < α < f (y) ∀x ∈ A ∀y ∈ B.
Dimostrazione. Sia Bε l’“ingrassato” di B, cioè Bε = B + Bε (0) aperto. Vogliamo mostrare che
per ε sufficientemente piccolo vale A ∩ Bε = ∅: in questo modo potremo separare fortemente A e
B applicando Hahn-Banach a Bε/2 , A. Supponiamo per assurdo che esista una successione (zn )
tale che zn ∈ B1/n ∩ A ∀n ∈ N: si conclude per ragioni di compattezza.
Corollario 2.2.9. Sia E uno spazio vettoriale normato, sia F < E un sottospazio vettoriale non
denso in E. Allora ∃f ∈ E ∗ \ 0 tale che F ⊆ ker f ; in particolare, se F è un iperpiano chiuso,
F = {f = 0}.
Dimostrazione. Sia A = F¯ , x0 6∈ F¯ e B = {x0 }: per ogni x ∈ F¯ possiamo separare fortemente
{x0 } da F¯ , ottenendo f (x) < α; tuttavia, essendo f lineare e F un sottospazio, questo è possibile
se e solo se f |F ≡ 0.
4
Teorema 2.2.10 (Banach-Steinhaus, o uniforme limitatezza). Siano E, F spazi di Banach,
sia {Ti }i∈I una famiglia di funzionali in L(E, F ) = {T : E → F | T lineare e continuo}.
Supponiamo inoltre che valga
sup kTi (x)kF < +∞
∀x ∈ E :
i∈I
allora vale anche
sup kTi kL(E,F ) < +∞,
i∈I
cioè ∃c : kTi (x)k|F ≤ ckxkE per ogni x ∈ E, ∀i ∈ I.
Lemma 2.2.11 (Baire). Sia E uno spazio metrico completo e sia (Xn ) una successione di chiusi
di E con parte interna vuota. Allora anche la loro unione ha parte interna vuota.
Dimostrazione. Sia On = E \ Xn ∀n
T ∈ N: questi saranno aperti e densi in E. La tesi
T diventa
quindi equivalente a dimostrare che On è ancora denso in E, o equivalentemente che On ∩A 6=
∅ per ogni aperto A ⊆ E. Procediamo nel seguente modo:
1. Sia x1 ∈ O1 ∩ A (∃ perché O1 è denso): in particolare ∃r1 > 0 tale che Br1 (x1 ) ⊆ O1 ∩ A.
2. Dati x1 , . . . , xn e r1 , . . . , rn , sia xn+1 ∈ On+1 ∩ Brn (xn ): anche in questo caso ∃rn+1 > 0
tale che Brn+1 (xn+1 ) ⊆ On+1 ∩ Brn (xn ); in particolare imporremo rn+1 < rn /2.
3. Essendo rn ≤ r1 /2n−1 , seguirà che xn è una successione di Cauchy; in particolare avrà
limite xn → x, essendo E completo.
T
4. Giocando sulla compattezza delle palle chiuse, otteniamo x ∈ Oi ∩ A.
Osservazione 2.2.12. Non esiste una norma che renda RN (successioni reali definitivamente nulle)
uno spazio di Banach: possiamo infatti considerare la catena R ( R2 ( R3 ( . . .: si tratta di
chiusi con parte interna vuota, la cui unione è RN stesso; in particolare il lemma di Baire non
sarà verificato.
Dimostrazione (Banach-Steinhaus). Sia Xn = {x ∈ E | kTi (x)k ≤ n ∀i ∈ I}: si tratta di un
insieme chiuso (è intersezione di chiusi) e la sua unione è tutto E. Per il lemma di Baire possiamo
˚n 6= ∅; esisteranno in particolare x ∈ X
˚n , r > 0 tali che Br (x) ⊆ X
˚n ⊆ Xn ,
dire che ∃n0 : X
0
0
0
0
da cui kTi (x + ry)k ≤ n0 ∀i ∈ I ∀y ∈ B1 e infine kTi (y)k ≤ n0 /r + kTi (x/r)k ≤ c ∀i ∈ I ∀y ∈
B1 .
Corollario 2.2.13. Sia (Tn ) una successione in L(E, F ) tale che Tn ha limite Tn (x) → T (x)
∀x ∈ E. Allora T ∈ L(E, F ), supn kTn k < ∞ e kT k ≤ lim supn kTn k.
In generale può non valere Tn → T in L(E, F ), e si può avere kT k < lim supn kTn k.
Esempio 2.2.14. Sia E = L2 (0, 2π) e Tn = sin(nx) ∈ H ∗ ∼
= H, cioè
Z 2π
Tn (f ) =
sin(nx)f (x)dx
0
Si verifica che Tn (f ) → 0 per ogni f ∈ E; tuttavia kTn k =
√
π.
Corollario 2.2.15. Sia E uno spazio di Banach e A ⊆ E un sottoinsieme. Allora A è limitato
se e solo se f (a) è limitato per ogni f ∈ E ∗ .
Dimostrazione. Per ogni a ∈ A, sia Ta (f ) = f (a) : E ∗ → R. [...]
5
Corollario 2.2.16. Sia E uno spazio vettoriale normato. Allora vale
kxk = sup f (x)
∀x ∈ E
f ∈E ∗
kf k≤1
Dimostrazione. f (x) ≤ kf kkxk ≤ kxk, dunque kxk ≥ sup f (x). Per l’altra freccia, scrivere il
funzionale simil-Ritz. [...]
2.3
Esercitazione 07/10/2014 (Gelli)
Un esercizio tipico di questo corso sarà, dati due spazi vettoriali normati (X, k · kX ), (Y, k · kY )
e un’applicazione T : (X, k · kX ) → (Y, k · kY ), dire se T è lineare, se è limitata, calcolare la sua
norma e dire se è assunta (cioè se la norma è effettivamente un max).
Osservazione 2.3.1. Se X = Rn e Y = Rm e T : X → T è lineare, si possono fare le solite
considerazioni sulla matrice associata. Si verifica inoltre che le applicazioni lineari in dimensione
finita sono continue.
Esercizio 2.3.2. Sia T : (Rn , k · k1 ) → (Rm , k · k1 ) un operatore lineare: calcolare kT k. Si tratta
di una norma matriciale?
Esercizio 2.3.3. Sia T : (Rn , k · kp ) → R un operatore lineare: calcolare kT k.
Esercizio 2.3.4. Sia X = C 0 ([a, b]), sia x
¯ ∈ ]a, b[ fissato e sia T : (X, k · k∞ ) → R t.c. T (f ) =
f (¯
x). Dimostrare che T è continua e calcolare kT k.
Dimostrazione.
• T è lineare: verifica immediata.
• T è limitata:
|T (f )| = |f (¯
x)| ≤ max |f (x)| = kf k∞ ;
[a,b]
in particolare f è continua.
• T = 1 perchè f ≡ 1 soddisfa con l’uguaglianza (2.3).
Esercizio 2.3.5. Si consideri il caso dell’esercizio precedente, ponendo però su X la norma 1.
Dire se T è continua e in caso calcolarne la norma.
Dimostrazione. T è ancora lineare (ovviamente). Tuttavia, questa volta risulta non limitata, in
quanto è facile trovare una successione di funzioni fn ∈ X di norma unitaria che diverga in un
punto fissato.
Esercizio 2.3.6. Sia X = C 1 ([a, b]) con la norma kf kC 1 = kf k∞ + kf 0 k∞ e sia Y = C 0 ([a, b])
con la norma kgk∞ . Sia T : (X, k · kC1 ) → (Y, k · k∞ ) t.c. T (f ) = f 0 : dire se T è lineare, se è
continua e determinare kT k.
Dimostrazione.
• T è lineare: verifica immediata.
6
• T è limitata: kT (f )k∞ = kf 0 k∞ ≤ kf 0 k∞ + kf k∞ = kf kC 1 ; in particolare T è continua.
• kT k = 1: basta considerare la successione fn (x) =
norma non è assunta: infatti
1
n
sin(nx). Notare che in questo caso la
kf 0 k∞ = kf kC 1 ⇐⇒ kf k∞ = 0 ⇐⇒ f ≡ 0.
Un’altra casistica tipica è X = `p con p ≥ 1 (eventualmente p = ∞), con le norme solite.
[Seguono considerazioni varie e già viste sugli spazi `p ]
Esercizio 2.3.7. Sia T : `2 → `1 tale che
T (x1 , x2 , x3 , . . .) =
x
x2 x3
, ,... .
1 2 3
1
,
Dimostrare che T è ben definita, che è continua come T : (`2 , k · k2 ) → (`1 , k · k1 ), calcolare kT k
e dire se è continua anche come T : (`2 , k · k2 ) → (`1 , k · k2 ).
Dimostrazione.
• T è ben definita: immediato per la disuguaglianza di Hölder.
• T è lineare: immediato.
• T è limitata: sempre per Hölder; in particolare T è continua.
pP
1/n2 : Hölder + x = (1, 1/2, 1/3, . . .) ∈ `2 .
• kT k =
• Il resto è lasciato per casa.
2.4
Lezione 08/10/2014 - Novaga
Teorema 2.4.1 (Mappa aperta). Siano E, F spazi di Banach, sia T : E → F un operatore
lineare continuo e surgettivo: allora T è una mappa aperta.
Dimostrazione.
• Per linearità, è sufficiente dimostrare che ∃c ∈ R+ tale che Bc ⊆ T B1 .
S
S
S
• Chiaramente N Bn = E, dunque per surgettività N T Bn ⊇ N T Bn = F ; per il lemma di
Baire troviamo n ∈ N tale che T Bn = nT B1 abbia parte interna non vuota. In particolare,
∃y0 ∈ F , ∃c ∈ R+ tali che B(y0 , 4c) ⊆ T B1 .
• Per linearità, anche −y0 ∈ T B1 da cui, per convessità,
T B1 ⊇
B(y0 , 4c) − y0
⊇ B2c .
2
• Se y1 ∈ Bc ⊆ T B1/2 , allora ∃x1 ∈ B1/2 tale che kT x1 −y1 k < c/2. Definiamo iterativamente
yn+1 = yn − T xn : avremo per induzione yn ∈ Bc/2n−1 ⊆ T B1/2n , e troveremo xn ∈ B1/2n
tale che kyn+1 k = kT xn − yn k < c/2n . Si verifica dunque
n
n
X
X
y1 = yn+1 +
T xi ⇒ y1 −
T xi = kykn+1 < c/2n .
i=1
i=1
7
Pn
• Chiaramente x
˜n = i=1 xi è una successione di Cauchy e convergerà ad un certo x ∈ B1 ;
tuttavia T x
˜n → y1 , e per continuità T x = y1 , cioè y1 ∈ B1 .
Corollario 2.4.2. Se T del teorema precedente è bigettiva, allora è un omeomorfismo.
Corollario 2.4.3. Se nel teorema precedente E = (X, k · k2 ), F = (X, k · k1 ) e T = Id è continua,
allora le due norme sono equivalenti; equivalentemente ∃c ∈ R+ t.c. k · k1 ≤ ck · k2 sse ∃c0 ∈ R+
t.c k · k2 ≤ c0 k · k1 .
Rx
Esempio 2.4.4. T (f ) = 0 f è lineare, continua ma non chiusa, poiché ha immagine densa.
Teorema 2.4.5 (Grafico chiuso). Sia T : E → F un operatore lineare tra spazi di Banach: allora
E × F è di Banach con la norma kX, Y k = kXkE + kY kF . Sia inoltre Γ(T ) = {(x, T x) | x ∈ E}
il grafico di T : allora T è continuo sse Γ(T ) è un chiuso.
Dimostrazione.
(⇒) Sia (xn , yn ) ⊆ Γ(T ) una successione convergente a (x, y): in particolare avremo yn = T xn ,
e per continuità y = T x, per cui (x, y) ∈ Γ(T ).
(⇐) Consideriamo la norma kxkT = kxkE + kT xkF su E:
• Per definizione di k · kT , una successione xn è di Cauchy in (E, k · kT ) se e solo se xn
è di Cauchy in (E, k · kE ) e T xn è di Cauchy in (F, k · kF ). In particolare, se xn è di
Cauchy in (E, k · kT ), avremo (xn , T xn ) → (x, y) in E × F , da cui y = T x per chiusura
del grafico. Dato che kx − xn kT = kx − xn kE + kT x − T xn kF , segue immediatamente
che xn → x anche in (E, k · kT ), che sarà uno spazio di Banach.
• Dato che k · kE ≤ k · kT , per il Corollario 2.4.3 ∃c ∈ R+ tale che k · kT ≤ ck · kE ; in
particolare
kxkE + kT xkF ≤ ckxkE
⇒
kT xkF ≤ (c − 1)kxkE
∀x ∈ E,
dunque T è limitata (e continua).
Definizione 2.4.6. Siano E, F spazi di Banach, D < E un sottospazio vettoriale. Un operatore
lineare T : D → F si dice chiuso se il suo grafico è chiuso in E × F .
Esempio 2.4.7. Se D 6= E, non è più garantito che T è chiuso sse Γ(T ) è chiuso. Sia per
esempio E = F = C 0 con la norma k · k∞ , D = C 1 e T : D → F tale che T (f ) = f 0 : si verifica
che T è lineare, ha grafico chiuso, ma non è limitata.
Definizione 2.4.8. Sia E uno spazio di Banach e G < E un sottospazio chiuso. Diremo che un
sottospazio chiuso L < E è supplementare topologico di G se E = G ⊕ L.
Esempio 2.4.9. Un sottospazio chiuso può non ammettere supplementare topologico. Un
esempio di ciò è c0 < `∞ , ma non è facile da dimostrare.
Proposizione 2.4.10. Se un sottospazio chiuso G < E ha dimensione o codimensione finita,
allora G ammette supplementare topologico.
Dimostrazione. Vedi appunti di Mufasa.
Esempio 2.4.11. Se G < H con H spazio di Hilbert, allora G è chiuso e ha supplementare
topologico G⊥ .
Teorema 2.4.12. Sia E uno spazio di Banach. Allora lsse:
8
(i) Ogni G < E sottospazio chiuso ammette supplementare topologico;
(ii) Esiste una norma Hilbertiana equivalente a k · kE .
Senza dimostrazione.
Teorema 2.4.13. Sia E uno spazio di Banach, siano G, L < E sottospazi chiusi tali che G + L
sia chiuso. Allora ∃c ∈ R+ tale che ∀z ∈ G + L esistono x ∈ G e y ∈ L tali che x + y = z e
kxk, kyk ≤ ckzk.
Dimostrazione. Sia T : G × L → G + L tale che T (x, y) = x + y:
• T è lineare e surgettiva: verifiche immediate.
• T è continua: kx + yk ≤ kxk + kyk.
• Dunque T è una mappa aperta, ed esisterà r ∈ R+ tale che T B1 ⊇ Br ; in particolare
∀z ∈ E : kzk = r esistono x ∈ G, y ∈ L tali che x + y = z e kxk + kyk ≤ 1.
• Per linearità, possiamo dire che ∀z ∈ E : kzk = 1 esistono x ∈ G, y ∈ L tali che x + y = z
e kxk + kyk ≤ 1r kzk.
Definizione 2.4.14. Siano E, F spazi di Banach, sia T ∈ L(E, F ): si dice che T ha inverso
destro se ∃S ∈ L(F, E) tale che T ◦ S = IdF ; in particolare T sarà surgettivo e S iniettivo.
Analogamente definiremo l’inverso sinistro come S ∈ L(F, E) tale che S ◦ T = IdE ; in questo
caso T sarà iniettivo e S surgettivo.
2.5
Lezione 09/10/2014
Teorema 2.5.1. Siano E, F spazi di Banach. Allora:
1. Se T ∈ L(E, F ) è surgettivo, allora T ha inverso destro sse ker T ammette supplementare
topologico;
2. Se T ∈ L(E, F ) è iniettivo, allora T ha inverso sinistro sse Im T è chiusa e ammette
supplementare topologico.
Dimostrazione.
1. Dimostriamo le due frecce.
(⇒) Sia S ∈ L(F, E) tale che T ◦ S = IdF , sia L = Im S < E.
ker(T ) ∩ L = {0}: infatti
x ∈ ker(T ) ∩ L
⇒
x = S(y), T (x) = 0
⇒
y = T ◦ S(y) = 0
⇒
ker(T ) + L = E: infatti
x∈E
⇒
y = T (x) ∈ Im T
⇒
x0 = S ◦ T (x) ∈ Im S = L,
T (x − x0 ) = T (x) − T (x0 ) = y − T (S(T (x))
= y − T ◦ S(y) = 0
9
⇒
x − x0 ∈ ker(T );
x=0
dunque x = (x − x0 ) + x0 ∈ ker(T ) + L.
L è un chiuso: sia xn → x una successione convergente, con xn ∈ L ∀n ∈ N e x ∈ E; in
particolare ∀n ∈ N esiste yn ∈ F tale che xn = S(yn ), da cui yn = T ◦ S(yn ) = T (xn ).
Dato che F è uno spazio di Banach, per continuità di S e T abbiamo yn → y e
xn = S(yn ) → S(y) = x, cioè x ∈ Im S = L.
(⇐) Sia L il supplementare topologico di ker(T ): allora E = ker(T ) ⊕ L e ha senso definire
il proiettore PL : E → L | x + x0 7→ x0 dove x ∈ ker(T ) e x0 ∈ L. Per ogni y ∈ F , per
surgettività ∃x ∈ E : T (x) = y; definiremo dunque S(y) = PL (x).
S è ben definita. Infatti se T (x1 ) = T (x2 ) allora x1 − x2 ∈ ker(T ) e PL (x1 ) = PL (x2 ).
S è un operatore lineare perché lo è il proiettore PL .
T ◦ S(y) = T (PL (x)) = T (x) = y.
Per la mappa aperta ∃c > 0 : kT (x)k ≥ ckxk ∀x ∈ E; in particolare, se x = S(y):
kT (S(y))k = kyk ≥ ckS(y)k
⇒
kS(y)k ≤ c−1 kyk
∀y ∈ F,
dunque S è limitata (e continua).
2. Dimostriamo le due frecce.
(⇒) Sia S ∈ L(F, E) tale che S ◦ T = IdE . In particolare T sarà inverso destro di S
e, per la dimostrazione del primo punto, ker S ammetterà supplementare topologico
Im T ; essendo la proprietà di essere supplementare topologico simmetrica, ker S è il
supplementare topologico di Im T cercato.
(⇐) Sia E = L ⊕ Im(T ) e P ∈ L(F, F ) proiettore su Im(T ). Sia S(y) = T −1 (P (y)), che
è ben definita in quanto T è iniettiva e P (y) ∈ Im(T ), e soddisfa S ◦ T = IdE . Dato
che T : E → Im(T ) è bigettiva, per un corollario del teorema della mappa aperta sarà
un omeomorfismo e di conseguenza S ∈ L(F, E).
Osservazione 2.5.2. Dato che c0 < `∞ è un chiuso che non ammette supplementare topologico,
l’immersione c0 → `∞ non ammette inversa sinistra, cioè non esiste T ∈ L(`∞ , `∞ ) tale che T |c0
sia l’identità.
0
Esercizio 2.5.3. Se p ∈ ]1, ∞[, allora (`p )∗ = `p dove p0 soddisfa 1/p + 1/p0 = 1. Inoltre
(`1 )∗ = `∞ e c∗0 = `1 , ma (`∞ )∗ ) `1 .
Osservazione 2.5.4. In generale, E si può immergere isometricamente in E ∗∗ tramite un operatore
lineare continuo J ∈ L(E, E ∗∗ ), tale che J(E) sia un chiuso di E ∗∗ . Se J è surgettivo, allora
E viene detto riflessivo. Questo operatore J è la valutazione, cioè (J(x))(f ) = f (x); rispetterà
dunque kJ(x)kE ∗∗ = supB1E∗ f (x) = kxkE .
Topologia debole
Definizione 2.5.5. Sia (E, k · k) uno spazio di Banach, E ∗ il suo spazio duale. Chiameremo
topologia debole la topologia σ(E, E ∗ ) su E meno fine tra tutte quelle che rendono continua ogni
f ∈ E ∗ . Tale topologia esiste sempre, dato che quella indotta da k · k rende continua ogni f ∈ E ∗
e intersezione di topologie è ancora una topologia.
Seguono alcuni fatti non dimostrati; si sistemano ma bisogna perderci un po’ di tempo.
Osservazione 2.5.6. σ(E, E ∗ ) deve contenere f −1 (I) per ogni I ⊆ R intervallo aperto, per ogni
f ∈ E∗.
10
Osservazione 2.5.7. Ogni aperto Ω ∈ σ(E, E ∗ ) contiene una retta.
Osservazione 2.5.8. Se la dimensione di E è infinita, allora gli aperti di σ(E, E ∗ ) sono illimitati.
Esercizio 2.5.9. Se B1 = {x ∈ E | kxk ≤ 1} è la palla chiusa unitaria, determinare la sua parte
σ
interna intσ (B1 ), la sua chiusura B1 nella topologia debole. Inoltre, se S1 = {x ∈ E | kxk = 1}
σ
è la sfera unitaria, determinare S1 .
2.6
Lezione 15/10/14
Continuiamo con la teoria generale sulla topologia debole.
Vantaggio: meno aperti → compatti.
Una base di aperti per σ è data dalle intersezioni finite di iperspazi.
Notazione: xn * x convergenza in σ(E, E ∗ ).
Osservazione 2.6.1. La topologia forte coincide con quella debole iff siamo in dimensione finita.
Infatti dim E = +∞ ⇒ tutti gli aperti di σ(E, E ∗ ) sono illimitati (anzi, di più: contengono un
sottospazio chiuso di codimensione finita).
Osservazione 2.6.2. σ(E, E ∗ ) separa i punti (H-B II).
Teorema 2.6.3. Se C ⊆ E convesso, allora C chiuso iff C debolmente chiuso.
Osservazione 2.6.4. Se dim E = +∞, allora (E, σ(E, E ∗ )) non è metrizzabile. Ricordiamo che
in generale compattezza per ricoprimenti e successioni sono cose diverse.
Osservazione 2.6.5. Se xn → x, allora xn * x. Non vale il viceversa; sia per esempio xn = en in
`2 : xn non può convergere, tuttavia xn * 0, in quanto hy, xn i = yn → 0 ∀y ∈ `2 (gli elementi del
duale corrispondono al prodotto scalare). Questo controesempio funziona in tutti gli `p quando
p ∈ ]0, ∞[.
Esercizio 2.6.6. In `1 convergenza forte e debole coincidono (questo può succedere perché la
topologia debole non è metrizzabile).
Proposizione 2.6.7. Se xn * x, allora
1. ∃C > 0 : kxn k ≤ C ∀n ∈ N;
2. kxk ≤ lim inf n kxn k;
3. Se fn → f in E ∗ , allora fn (xn ) → f (x);
4. ∃yk combinazioni convesse di x1 , . . . , xnk tale che yk → x.
Dimostrazione.
1. f (xn ) → f (x), dunque f (xn ) è limitato ∀f ∈ E ∗ ; per un corollario di B.S. xn è limitato.
2. f (xn ) → f (x), ma anche |f (xn )| ≤ kf kkxn k, da cui |f (x)| ≤ kf k lim inf kxn k; concludiamo
passando al sup.
3.
|fn (xn ) − f (x)| ≤ |fn (xn ) − f (xn )| + |f (xn ) − f (x)|
≤ kfn − f kE ∗ kxn kE + |f (xn ) − f (x)| → 0.
11
σ
4. Sia C = conv{xn } convesso debolmente chiuso. Allora x ∈ C, ma C è chiuso ed esisterà
una successione convergente a valori in C (??).
Osservazione 2.6.8. La (3) non funziona se fn * f . Sia per esempio en ∈ `2 e fn = en ∈ `2 =
(`2 )∗ .
Corollario 2.6.9. Sia ϕ : E → R ∪ {+∞} convessa. Allora ϕ è semicontinua inferiormente iff
è debolmente semicontinua inferiormente (ricordiamo che semicontinua inferiormente significa
che ϕ−1 (]−∞, α]) è un chiuso per ogni α ∈ R).
Dimostrazione. ϕ−1 (]−∞, α]) chiuso debole iff ϕ−1 (]−∞, α]) chiuso forte, per convessità (?).
Osservazione 2.6.10. k · k è debolmente semicontinua inferiormente, ma non è debolmente continua.
Definizione 2.6.11. Topologia debole ∗ su E ∗ , denotata σ(E ∗ , E): è la topologia meno fine tra
quelle che rende continue tutte le f ∈ J(E) ⊆ E ∗∗ .
Osservazione 2.6.12. E è riflessivo iff σ(E ∗ , E) = σ(E ∗ , E ∗∗ ).
Osservazione 2.6.13. σ(E ∗ , E) separa i punti: infatti, se f1 , f2 ∈ E ∗ con f1 6= f2 , allora ∃α ∈ R,
∃x ∈ E tali che wlog f1 (x) < α < f2 (x). Separo con A1 = {f | f (x) < α} e A2 = {f | f (x) > α}.
Notazione: fn * f convergenza debole ∗.
∗
Proposizione 2.6.14. Valgono le seguenti:
1. fn * f iff fn (x) → f (x) per ogni x ∈ E;
∗
2. fn * f implica fn * f ;
∗
3. fn * f implica kfn k ≤ C per qualche C > 0 e kf k ≤ lim inf n kfn k;
∗
4. fn * f , xn → x implica fn (xn ) → f (x).
∗
Dimostrazione. Analogamente alla topologia debole.
Osservazione 2.6.15. Non è detto che C convesso chiuso sia anche debole ∗ chiuso.
Esempio 2.6.16. E non riflessivo implica J(E) < E ∗∗ chiuso, debole chiuso ma debole ∗ denso
(lo dimostreremo).
Teorema 2.6.17 (Banach-Alaoglu). La palla chiusa B E ∗ = {f ∈ E ∗ | kf k ≤ 1} è debole ∗
compatta.
Dimostrazione. X = {f : E → R} = RE , dotato della topologia prodotto, che è la meno fine tra
quelle che rendono continue le valutazioni per ogni x ∈ E. E ∗ < X è un sottospazio chiuso, e la
topologia prodotto ristretta coincide con la topologia debole ∗.
kf k ≤ 1 vuol dire |f (x)| ≤ kxk ∀x ∈ E, da cui
Y
B E∗ = E ∗ ∩
[−kxk, kxk] =: E ∗ ∩ K,
x∈E
con K ⊆ X compatto. Essendo E ∗ chiuso, allora B E ∗ è compatto per la topologia prodotto.
12
Osservazione 2.6.18. Questi risultati valgono per la topologia debole ∗, che nel caso riflessivo (che
è quello tipico) coincide con quella debole. In generale, nel caso non riflessivo, Banach-Alaoglu
non si può applicare alla topologia debole.
Esempio 2.6.19. `1 = c∗0 . Sia E = c0 : la palla unitaria non è debolmente sequenzialmente
compatta. Infatti (en ) sta nella palla unitaria, en * 0 ma non converge debole.
∗
2.7
Lezione 16/10/2014
Osservazione 2.7.1. Se C è un chiuso della topologia debole σ(E, E ∗ ), allora è anche sequenzialmente chiuso. Il viceversa non è necessariamente vero.
Esempio 2.7.2. {x ∈ `1 | kxk = 1} è un chiuso forte, è debolmente sequenzialmente chiuso ma
σ
∂B1 = B1 .
Osservazione 2.7.3. Se K è compatto in σ(E, E ∗ ), non è necessariamente sequenzialmente compatto.
J
∗
Esempio 2.7.4. E = `∞ , B1E è compatta per σ(E ∗ , E) Vale anche E = (`1 )∗ , da cui `1 ,→
(`∞ )∗ . xn = J(en ) agisce su `∞ : y ∈ `∞ 7→ hxn , yi, xn * x ⇒ . . . ⇒ E.
13
14
Capitolo 3
Versione quasi-definitiva
3.1
Spazi di Banach
Proposizione 3.1.1. Siano (X, k · kX ), (Y, k · kY ) spazi vettoriali normati, sia f : X → Y un
operatore lineare. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti:
(i) f è continua;
(ii) f è continua in un punto x
¯ ∈ X;
(iii) f è limitata in tutte le palle chiuse Br (¯
x);
(iv) f è limitata in una palla chiusa Br (¯
x).
Dimostrazione. È evidente che (i) → (ii) e (iii) → (iv); restano da dimostrare le altre frecce.
Essendo su spazi metrici, ricordiamo che la continuità è equivalente alla continuità per successioni.
(ii) → (i) Se f è continua in x
¯ ∈ X, allora f (¯
xn ) → f (¯
x) per ogni successione convergente
x
¯n → x
¯. Sia xn → x una successione convergente qualsiasi in X: osserviamo che
f (xn ) = f (xn − x + x
¯) − f (¯
x) + f (x)
→
f (x),
in quanto si ha xn − x + x
¯ =: x
¯n → x
¯.
(iv) → (iii) Se f è limitata su Br (¯
x), allora
∃L > 0 :
kf (x)kY ≤ L ∀x ∈ X : kx − x
¯kX ≤ r
Siano x
¯0 ∈ X e r0 > 0 qualsiasi: vogliamo mostrare che f è limitata su Br0 (¯
x0 ). Si può
osservare che
x0 ∈ Br0 (¯
x0 ) ⇐⇒ kx0 − x
¯0 kX < r0 ⇐⇒ kx − x
¯ kX < r
dove x = r(x0 − x
¯0 )/r0 , da cui
0
r
0 0
kf (x0 )kY = (f
(x)
−
f
(¯
x
))
+
f
(¯
x
)
≤L,
r
Y
dove L0 =
r0
(L + kf (¯
x)kY ) + kf (¯
x0 )kY è una costante.
r
15
(i) → (iv) Se f è continua, dato che f (0) = 0, in particolare
∀ε > 0 ∃r > 0 :
kf (x)kY < ε ∀x ∈ Br ,
da cui, fissato un ε qualsiasi, f è limitata su Br .
(iii) → (ii) Se f è limitata sulle palle chiuse, in particolare
∃L > 0 :
kf (x)kY ≤ L ∀x ∈ B1 .
Sia xn → 0 una successione convergente: se mostriamo che f (xn ) → f (0) = 0, allora f
sarà continua in 0. Questo è immediato in quanto
xn
≤ kxn kX L → 0.
f
kf (xn )kY = kxn kX kxn kX Y
Definizione 3.1.2. Se (X, k · kX ) e (Y, k · kY ) sono due spazi vettoriali normati, denoteremo con
L(X, Y ) lo spazio degli operatori lineari continui da X in Y . Possiamo definire su L(X, Y ) la
norma operatoriale
kf kL(X,Y ) = sup kf (x)kY ,
x∈B1
che è ben definita per la proposizione precedente. Che si tratti effettivamente di una norma sono
semplici verifiche.
Osservazione 3.1.3. Possiamo dare definizioni equivalenti della norma operatoriale su L(X, Y ),
sfruttando la linearità:
kf kL(X,Y ) = sup kf (x)kY = sup
x∈X
kxkX =1
kf (x)kY
.
kxkX
Valgono inoltre le seguenti proprietà, utili da ricordare:
∀x ∈ X
kf (x)kY ≤ ckxkX ⇐⇒ kf kL(X,Y ) ≤ c;
∃x ∈ X : kf (x)kY ≥ ckxkX ⇐⇒ kf kL(X,Y ) ≥ c.
Definizione 3.1.4. Se (X, k · k) è uno spazio vettoriale normato, il suo spazio duale sarà
X 0 = L(X, R),
dotato in genere della norma operatoriale k · kX 0 := k · kL(X,R) .
Teorema 3.1.5 (Riesz). Sia H uno spazio di Hilbert su campo K, e H 0 il suo spazio duale. Sia
Φ : H → H 0 tale che Φ(y) = h·, yi. Allora Φ è un (anti-)isomorfismo isometrico, cioè:
(i) Φ è bigettiva, isometrica e additiva;
(ii) Se K = R, Φ(λx) = λΦ(x) ∀λ ∈ R ∀x ∈ H (isomorfismo);
¯
(iii) Se K = C, Φ(λx) = λΦ(x)
∀λ ∈ C ∀x ∈ H (anti-isomorfismo).
Osservazione 3.1.6. I controesempi che troveremo in questo corso saranno perlopiù ottenuti dagli
spazi normati c0 , `1 e `∞ .
Proposizione 3.1.7. Sia (X, k · kX ) uno spazio vettoriale normato qualsiasi: allora (X 0 , k · kX 0 )
è uno spazio di Banach.
16
Dimostrazione. Se {fn } ⊆ X 0 una successione di Cauchy, allora
∀ε > 0 ∃N ∈ N t.c. kfn − fm kX 0 < ε ∀m, n > N
⇐⇒ |fn (x) − fm (x)| < ε ∀m, n > N, ∀x ∈ B1 .
In particolare fn (x) è una successione di Cauchy ∀x ∈ X (per linearità, dato che lo è su B1 ).
Dato che R è completo, esisterà f (x) limite puntuale di fn (x), che sarà ancora lineare.
Osserviamo che per passaggio al limite
lim |fn (x) − fm (x)| = |f (x) − fm (x)|
n→∞
∀x ∈ X, ∀m ∈ N,
da cui ∀m > N e ∀x ∈ B1 vale
|fn (x) − fm (x)| < ε ∀n > N
⇒
|f (x) − fm (x)| ≤ ε,
cioè kf − fm kX 0 → 0 per arbitrarietà di ε > 0.
Resta da mostrare che f è continua: mostriamo equivalentemente che è limitata. Questo è
evidente in quanto, fissati m > N e C = kfm kX 0 , abbiamo ∀n > N
|fn (x)| ≤ |fn (x) − fm (x)| + |fm (x)| < C + ε ∀x ∈ B1 ,
da cui |f (x)| ≤ C ∀x ∈ B1 per passaggio al limite.
Definizione 3.1.8. Se E è uno spazio vettoriale, una funzione sublineare p su E è una funzione
p : E → R tale che
1. p(λx) = λp(x) ∀λ > 0, ∀x ∈ E;
2. p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Osserviamo in particolare che le norme sono funzioni sublineari.
Teorema 3.1.9 (Hahn-Banach). Sia E uno spazio vettoriale reale, e sia p : E → R una funzione
sublineare. Sia G < E un sottospazio vettoriale, e sia g : G → R un’applicazione lineare tale che
g ≤ p su G. Allora si può estendere g su tutto E, nel senso che ∃f : E → R lineare tale che
f |G = g e f ≤ p su E.
Dimostrazione. Sia X l’insieme delle estensioni lineari di g dominate da p, cioè
X = {f : Ef → R lineare | G < Ef < E, f ≤ p, f |G = g} .
con la relazione d’ordine parziale
f1 ≤ f2
⇐⇒
Ef1 < Ef2 e f2 |Ef1 = f1 .
Sono soddisfatte le ipotesi del lemma di Zorn:
• g ∈ X, dunque X 6= ∅;
S
• Se {fα } è una catena, sia Ef = α Efα e osserviamo che f : x 7→ fαx (x) è ben definita su
tutto Ef (con αx sufficientemente grande), appartiene a X ed è un maggiorante per {fα }.
17
Sia dunque f ∈ X elemento massimale, e supponiamo per assurdo che valga Ef 6= E: esisterà
quindi x0 ∈ E \Ef . Vogliamo mostrare che, se così fosse, potremmo trovare Eh ) Ef e h ∈ X tali
che h > f . Sia dunque Eh = Ef + hx0 i: definiremo h(x + tx0 ) = f (x) + tα per ogni x ∈ E, t ∈ R,
fissando arbitrariamente α = h(x0 ). Si verifica che h è ben definita; per dimostrare che h ∈ X,
l’unica cosa non banale da verificare è che esiste una scelta α ∈ R che soddisfa h ≤ p su Eh .

∀x ∈ Ef ∀t > 0;

 α ≤ p(x/t + x0 ) − f (x/t)
h(x + tx0 ) ≤ p(x + tx0 )
α ≥ −p(−x/t − x0 ) + f (−x/t)
∀x ∈ Ef ∀t < 0;
⇐⇒

∀x ∈ Ef , ∀t ∈ R

f (x) ≤ p(x)
se t = 0.
La terza disuguaglianza è verificata per ipotesi; ponendo y = x/t e z = −x/t, le altre sono più
deboli di
f (y) − p(y − x0 ) ≤ α ≤ p(z + x0 ) − f (z)
∀y, z ∈ Ef .
Ricordando che vale
f (y) + f (z) = f (y + z) ≤ p(y + z) ≤ p(y − x0 ) + p(z + x0 ),
si verifica [sup{f (z) − p(z − x0 )}, inf{p(y + x0 ) − f (y)}] 6= ∅, dunque è sufficiente prendere α lì
dentro per estendere ulteriormente f . Siamo dunque ad un assurdo perché h ∈ X con f < h.
Definizione 3.1.10. Se X è uno spazio vettoriale e C ⊆ X è un convesso, definiamo il giogo di
C come
kxkC = inf{t ≥ 0 | x ∈ tC}.
Il giogo non è necessariamente una norma, ma si verifica che è sempre una funzione sublineare.
Osservazione 3.1.11. Sia X uno spazio vettoriale. Così come possiamo associare ad una norma
k · kX la sua palla unitaria B1 , possiamo costruire delle norme a partire da un candidato palla
˜1 , tramite il giogo.
unitaria B
˜
È necessario (mi sembra di capire che sia anche sufficiente,
S ˜ da vedere) che B1 sia un convesso
˜
˜
chiuso, simmetrico (cioè B1 = −B1 ), assorbente (cioè nB1 = X) e che non contenga rette.
18
Capitolo 4
Appendice
4.1
4.1.1
Esercizi
Spazi di Banach
Esercizio 4.1.1. Sia c0 lo spazio delle successioni reali infinitesime, cioè
c0 = {(xi ) : N → R | lim xi = 0}.
i→∞
Verificare che k · k∞ = supi∈N {|xi |} è una norma su c0 , e dimostrare che (c0 , k · k∞ ) è uno spazio
di Banach; esibire inoltre una norma k · k per la quale (c0 , k · k) non sia completo.
Risoluzione. Mostrare che k·k∞ è una norma su c0 sono semplici verifiche. Sia dunque j 7→ (xi )(j)
(j)
una successione di Cauchy in c0 : si verifica facilmente che j 7→ xi è una successione di Cauchy
(j) j
∀i ∈ N, dunque troviamo xi ∈ R tale che xi
−
→ xi per ogni i ∈ N.
Dato che j 7→ (xi )(j) è di Cauchy, ∀ε > 0 ∃N ∈ N tale che
(n)
|xi
(m)
− xi
| < ε ∀i ∈ N, ∀m, n > N.
In particolare, passando a limite
(n)
lim |xi
n→∞
(m)
cioè kxi − xi
(m)
− xi
(m)
| = |xi − xi
|≤ε
∀i ∈ N, ∀m > N,
k∞ → 0.
Sia ora k · k tale che
k(xi )k =
X |xn |
.
n2
n∈N
(j)
È immediato
dove
Pn verificare che k · k è una norma su c0 ; inoltre la successione j → (xi )
(n)
(xi ) = k=1 ek ∀n ∈ N è di Cauchy rispetto a k · k, ma l’unico candidato per la convergenza
è x ≡ 1 6∈ c0 .
19
4.2
Dimostrazioni non svolte
Presentiamo qui alcune dimostrazioni che non sono state svolte a lezione, ma che includiamo per
completezza, utilità o semplice interesse.
4.2.1
Spazi di Banach
Teorema (Riesz, Teorema 3.1.5). Sia H uno spazio di Hilbert su campo K, e H 0 il suo spazio
duale. Sia Φ : H → H 0 tale che Φ(y) = h·, yi. Allora Φ è un (anti-)isomorfismo isometrico,
cioè:
(i) Φ è bigettiva, isometrica e additiva;
(ii) Se K = R, Φ(λx) = λΦ(x) ∀λ ∈ R ∀x ∈ H (isomorfismo);
¯
(iii) Se K = C, Φ(λx) = λΦ(x)
∀λ ∈ C ∀x ∈ H (anti-isomorfismo).
Dimostrazione.
• Iniettività. Se Φ(y) = Φ(y 0 ), allora hx, yi = hx, y 0 i ∀x ∈ H; questo è equivalente a
hx, y − y 0 i = 0 ∀x ∈ H, in particolare varrà ky − y 0 k2 = 0.
• Surgettività. Sia f ∈ H 0 : se f ≡ 0 si ha banalmente f = Φ(0), in caso contrario avremo
V := ker f 6= H. Per un risultato noto, essendo V < H un sottospazio chiuso, varrà
H = V ⊕ V ⊥ . Dato che V 6= H, abbiamo V ⊥ ∼
= H/V ∼
= Im f = K, da cui V ⊥ = hwi con
w opportuno di norma unitaria. Dato che ogni x ∈ H si può scrivere come x = v + λw con
v ∈ V , è una verifica mostrare che Φ(f (w)w) = f .
• Isometria. Osserviamo che |Φ(y)(x)| = |hx, yi| ≤ kxkkyk ∀x, y ∈ H, da cui kΦ(y)k ≤ kyk.
Vale in realtà l’uguaglianza, in quanto x = y/kyk soddisfa ∀y ∈ H.
• Le altre proprietà sono conseguenze immediate delle proprietà del prodotto scalare (o
hermitiano).
20

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