Universit`
a Degli Studi Del Salento
` DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
FACOLTA
Corso di Laurea in Fisica
Tesi di Laurea Magistrale
IL PROBLEMA DELLA RADIAZIONE OSCURA:
PARTICELLE PSEUDOSCALARI PRIMORDIALI
E REIONIZZAZIONE
Relatore:
Candidato:
Chiar.mo Prof. Daniele Montanino
Matteo Leo
Anno Accademico 2012-2013
Indice
Convenzioni e Notazioni
3
Introduzione
4
1 Oscillazioni fotone-assione
8
1.1
Gli Assioni e il problema di CP forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Axion-Like Particles (ALPs)
1.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elettrodinamica in presenza di un campo pseudoscalare
. . . . . . . . . .
18
1.2.2
Oscillazioni fotone-ALP in un campo magnetico esterno
. . . . . . . . . .
19
1.2.3
Probabilità di oscillazione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Esperimenti di rivelazione degli assioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
30
2.1
Risultati dell'esperimento Planck
2.2
Decadimento dei moduli e meccanismo di riscaldamento
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
32
. . . . . . . . . . . . . .
33
2.2.1
Numero eettivo di famiglie di neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2.2
Esempio numerico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Spettro degli ALPs dal decadimento dei moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.3.1
Equazione di Boltzmann per gli ALPs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.3.2
Spettro degli ALPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3 Conversione in campi magnetici a celle
3.1
17
1.2.1
2 ALPs come Radiazione Oscura
2.3
9
Evoluzione in un universo statico
54
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.1.1
Campi magnetici primordiali
3.1.2
Evoluzione in presenza di celle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.1.3
Soluzione analitica in un universo statico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Evoluzione in un universo in espansione
3.2.1
Assorbimento dei fotoni
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1
3.3
3.4
3.2.2
Approssimazione al I ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.2.3
Flusso di raggi X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.2.4
Esperimento ROSAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Il problema della ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.3.1
83
Reionizzazione e ALPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campi magnetici turbolenti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Conclusioni
100
A Oscillazioni fotone-ALP nella metrica FRW
102
B Soluzione in un campo esterno costante
106
Bibliograa
109
2
Convenzioni e Notazioni
Nella presente trattazione verranno usate le seguenti notazioni e convenzioni.
Minkowski
M
verrà attrezzato con la seguente metrica
utilizzati gli indici greci
ηµν =
Lo spazio di
diag(+1, −1, −1, −1) e saranno
α, β, ... ∈ {0, 1, 2, 3} per indicare i quadrivettori in questo spazio, mentre
si useranno gli indici latini
i, j, ... ∈ {1, 2, 3} per indicare i vettori nello spazio euclideo R3 .
Per la
somma si userà la notazione di Einstein per gli indici ripetuti. Tutte le grandezze siche saranno
in unità naturali
c = ~ = 1.
L'operatore quadrigradiente verrà denito come
Verranno usate sovente le seguenti notazioni
tensore delle forze per una teoria di gauge
Aaµ T a con potenziali vettori
Aµ =
Il tensore duale di
Fµν
Ta
χ, r, θ, ϕ
2
SU (N )
e
a∈
{1, 2, ..., N 2
Il
dove
− 1}.
µνστ tensore di Levi-Civita in
con sin2 θdθdϕ
è l'elemento di angolo solido.
R(χ)dχ
dr2
2
2
dχ −
− r dΩ ,
1 − kr2
2
sono rispettivamente la coordinata temporale comovente e le coordinate spaziali
R(χ)
è la cinematica cosmica,
k ∈ {0, ±1}
MP l
è la curvatura dello spazio-tempo e
Deniremo
e il tasso di espansione dell'universo
ridotta sarà denita
√
≡ 1/ 8πG.
g =
det(gµν ).
Il tempo cosmologico
˙
H(R) = R(t)/R(t)
.
α ≡ e2 /~c
dΩ2 =
t
è
La massa di Planck
sarà la costante di struttura ne e re ≡
2
e c raggio classico dell'elettrone. Inne, per le variabili elettromagnetiche verrano utilizzate
Per quanto riguarda le costanti atomiche,
e2 /m
a (x, t) = ∂a(x, t)/∂x.
Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ − ig [Aµ , Aν ],
F˜µν = 21 µνστ Fστ ,
comoventi,
t =
∂ ∂
= ( ∂t
, ∂x ).
per la metrica. La metrica sarà quella di Friedmann-Robertson-Walker (FRW)
ds = R(χ)
sarà
e
∂
∂xµ
Per uno spazio-tempo curvo in relatività generale useremo la notazione
2
dove
SU (N )
generatori del gruppo
sarà denito come
3 + 1 dimensioni spaziali.
gµν = gµν (x)
Aaµ ,
a(x,
˙
t) = ∂a(x, t)/∂t
∂µ ≡
0
le unità di misura di Lorentz-Heaviside.
3
Introduzione
Uno dei settori più aascinanti della Fisica Moderna, che pesca a piene mani da ogni altro
ramo di ricerca, è la Cosmologia. La storia dell'origine dell'Universo e della sua evoluzione, è
di fondamentale importanza per capire più aondo la ricchezza dei fenomeni che osserviamo nel
microcosmo (descritti dalla Meccanica Quantistica) e nel macrocosmo (descritti dalla Relatività
Generale) e come questi fenomeni a diversa scala possano avere delle connessioni comuni in teorie
di unicazione delle forze fondamentali.
La scoperta di Hubble dell'espansione dell'Universo (nella sua famosa legge) ha sancito l'inizio
della cosmologia moderna.
Ad universo statico e immutabile (come si credeva anticamente)
viene sostituita l'idea di un universo dinamico in espansione che avrebbe avuto inizio da una
singolarità gravitazionale innitamente calda e densa (il Big Bang). Gran parte della cosmologia
principio cosmologico, che aerma che l'universo è spazialmente omogeneo
e isotropo se lo si osserva ad una scala opportunamente grande (tale scala non è ben ssata, ma
moderna si basa sul
può essere assunta quella dei super-ammassi di galassie).
Partendo da questa assunzione, si
possono applicare le equazioni di Einstein all'intero universo per descrivere la sua evoluzione,
tali equazioni sono dette di Friedmann.
In queste equazioni gioca un ruolo fondamentale la
densità d'energia dell'universo che permette di predirne il destino nale (universo aperto, piatto
o chiuso).
Le osservazioni della curva di rotazione, delle emissioni X e della dinamica delle galassie nei
cluster hanno permesso di postulare l'esistenza di materia invisibile, detta
materia oscura.
La materia oscura non emette radiazione elettromagnetica, ma è osservabile indirettamente dagli
eetti gravitazionali che essa produce. La natura della materia oscura è uno dei problemi più
aascinanti degli ultimi vent'anni. Alcune teorie si basano su modelli supersimmetrici (SUSY) per
la soluzione di questo problema. Esistono però modelli più tradizionali che non necessariamente
passano per la SUSY, ma che sono compatibili con essa. Uno dei campi candidati a fungere da
materia oscura è il
campo assionico, con il suo quanto l'assione.
Nel 1998 i dati sperimentali sulle supernovae di tipo Ia hanno mostrato che l'universo sta
accelerando la sua espansione, e non decelerandola come ci si aspettava dalle equazioni di Fried-
4
mann. Questo ha portato a una modica di queste equazioni e all'introduzione del concetto di
energia oscura.
L'energia oscura e la materia oscura, sono due problemi fondamentali della
cosmologia moderna. Tuttavia essi non sono gli unici. Infatti risulta di cruciale importanza per
gli scienziati, la conoscenza dei primi istanti di vita dell'universo. Nell'universo primordiale le
energie in gioco sono molto maggiori di quelle disponibili nei collisori. Quindi la ricerca di Nuova
Fisica, nonchè la risposta a tutti i problemi esistenti (energia oscura, materia oscura etc), deve
necessariamente passare per la comprensione di quei primi istanti dopo il Big Bang.
D'altra
parte, uno studio approfondito dell'universo primordiale permette di fornire limiti stringenti alle
nostre speculazioni di sica oltre il Modello Standard.
Nella cosmologia standard, l'universo inizia con uno stadio di inazione.
Durante questo
periodo la densità dell'universo è dominata dall'energia di vuoto di un campo scalare, detto
inatone,
che discende lentamente un minimo di potenziale.
Ad un certo istante l'inazione
nisce e l'energia del campo scalare è praticamente tutta trasferita nei gradi di libertà del Modello Standard termalizzato tramite un processo, detto
riscaldamento
T.
di riscaldamento , alla temperatura di
Poichè lo spettro d'energia delle particelle termalizzate, nell'universo primor-
diale, è descritto dalla distribuzione di Boltzmann, particelle relativistiche con energia
sono fortemente soppresse. Le uniche particelle con
ET
E T
sono non relativistiche.
Tuttavia esistono diversi indizi che ci suggeriscono che questa teoria standard dell'universo non
sia completa. In eetti molte teorie moderne postulano l'esistenza di
radiazione oscura, cioè
di particelle esotiche, che essendo poco interagenti con le particelle del Modello Standard, non
termalizzano e rimangono relativistiche al tempo della nucleosintesi del Big Bang (BBN) e al
tempo della formazione della radiazione cosmica di fondo (CMB). Questa radiazione oscura dovrebbe formarsi durante e successivamente dopo il periodo di inazione. Evidenze sperimentali
dell'eettiva esistenza di questo tipo di radiazione nascosta potrebbero provenire dalle misure del numero eettivo di famiglie di neutrini
Nef f .
Nel Modello Standard
Nef f,SM = 3.046
(poichè c'è una parziale rigenerazione di neutrini da processi di annichilazione
e+ e− ).
Le re-
centi osservazioni sperimentali provenienti da WMAP, ACT, SPT e Planck, danno la seguente
stima di questo paramentro:
[8]),
Nef f = 3.50 ± 0.42
Nef f = 3.84 ± 0.40
(ATC, [9]) e
(WPMA9, [7]),
Nef f = 3.62 ± 0.25
(STP,
(Planck, [10]). Questi valori, seppur
ancora non conclusivi, mostrano uno scostamento positivo
Nef f,SM
Nef f = 3.71 ± 0.35
∆Nef f = Nef f − Nef f,SM > 0
da
previsto dal Modello Standard e quindi, come possibile conseguenza, l'esistenza di ra-
diazione oscura. Possibili candidati ad essere radiazione oscura sono gli assioni: sia gli assioni
di Peccei-Quinn [12, 13] sia una loro possibile generalizzazione [17, 20, 21] (in teorie oltre il Modello Standard) chiamati ALPs (Axion-Like-Particles). Poichè la loro interazione con il Modello
Standard è fortemente soppressa, il rapporto tra il tasso di interazioni
dell'universo
˙
H(t) = R(t)/R(t)
rimane molto piccolo per ogni
5
Γa
e il tasso di espansione
t, Γa /H 1.
Quindi una volta
generati, gli assioni non termalizzerebbero e rimarrebbero relativistici anche a tempi successivi.
Nel contesto dei modelli di stringa, il meccanismo post-inazionario di riscaldamento è condotto da campi scalari con accoppiamenti soppressi da
moduli
[22].
I moduli
Φ,
MP−1
l
(con
MP l
massa di Planck) detti
oltre a generare i gradi di libertà del Modello Standard, possono
decadere in assioni di Peccei-Quinn e ALPs
a
molto leggeri tramite processi
Φ → aa.
In questo
modo alla ne dell'inazione, i moduli decadrebbero sia in particelle del Modello Standard, che
in radiazione oscura (nella fattispecie assioni). Se questo modello fosse corretto, l'eventuale osservazione sperimentale di un fondo di radiazione oscura nell'universo, ci permetterebbe di avere
una immagine dell'universo a tempi dell'ordine di
t ∼ 10−6
s dopo il Big Bang.
Ricordiamo
che le attuali immagini dell'universo primordiale, che provengono dall'analisi della CMB, sono
di tempi
t ∼ 3 · 105
anni dopo il Big Bang. Quindi risulta evidente l'impatto che avrebbe sulle
attuali conoscenze dell'universo la possibilità dell'osservazione di radiazione oscura.
Gli assioni hanno accoppiamenti con i fotoni, quindi possono oscillare in essi in presenza di campi
elettromagnetici. Esiste perciò la possibilità che parte di questa radiazione oscura si converta
in fotoni nello spettro dei raggi X. Queste conversioni genererebbero un fondo di raggi X all'era
attuale.
Nel presente lavoro di tesi verrà studiato in dettaglio il problema della radiazione oscura
assionica generata dai moduli
Φ.
Daremo particolare attenzione all'evoluzione delle equazioni di
campo assioniche in un universo in espansione, dall'istante in cui è generato il campo no all'era
attuale, e della possibilità di mixing col fotone. Nel primo capitolo faremo un breve excursus
sulle motivazioni che hanno portato all'introduzione del concetto di assione e le sue implicazioni
nell'ambito della QCD. Ci soermeremo sull'interazione con il fotone e sulle equazioni di oscillazione fotone-assione derivate in una teoria semiclassica. Nell'ultima parte del capitolo citeremo
lo status attuale degli esperimenti sugli assioni e i limiti imposti da essi sulla massa e la costante
d'accoppiamento.
Nel secondo capitolo approcceremo il problema degli ALPs come radiazione oscura. Utilizzando la meccanica statistica, ricaveremo lo spettro d'energia degli ALPs generati da processi
Φ → aa
nell'universo primordiale.
La risoluzione di queste equazioni avverrà tramite l'uso di
metodi numerici per l'integrazione di equazioni dierenziali.
Una volta generato lo spettro d'energia del fondo di ALPs, nel terzo capitolo si studierà
la possibilità che parte di questo spettro possa essere convertito in fotoni tramite meccanismo
di oscillazione fotone-ALP in presenza di un campo magnetico extragalattico (primordiale) con
congurazione a celle. Due sono gli scopi di questa indagine. Da una parte vogliamo individuare
possibili limiti teorici al usso del fondo di raggi X generato da queste oscillazioni e confrontarli
con le osservazioni sperimentali. Dall'altra parte vogliamo vagliare la possibilità che questo fondo
di raggi X, interagendo con il gas barionico (dopo l'epoca della Ricombinazione), possa generare
6
una pre-ionizzazione dell'idrogeno.
z ∼ 1100,
Sappiamo infatti dalla cosmologia standard che a redshift
l'universo attraversa una fase in cui la temperatura è così bassa da non permettere
l'equilibrio termico tra i fotoni e la materia barionica (protoni e eletroni). Si ha quindi il disaccoppiamento tra materia e radiazione, che favorisce la formazione di atomi neutri di idrogeno e
elio (fase detta appunto di Ricombinazione). Il mezzo intergalattico (IGM) sarebbe quindi costituito prevalentemente da questi atomi neutri. La scoperta della
spettro di quasar a
di ionizzazione a
z & 6,
z ∼ 6.
Lyman-alpha forest, nello
ha permesso agli studiosi di postulare la presenza di una seconda fase
In questa fase l'IGM neutro verrebbe reionizzato dalla presenza delle
prime formazioni stellari (popolazione III di stelle).
Quindi all'era attuale l'IGM è completa-
mente ionizzato.
La presenza di radiazione oscura, come abbiamo detto, genererebbe un usso diuso di raggi X.
Questi fotoni, ionizzando gli atomi neutri, potrebbero spostare la fase di reionizzazione a redshift
maggiori di
6.
Anche in questo caso individueremo possibili limiti teorici a questo fenomeno.
7
Capitolo 1
Oscillazioni fotone-assione
La sica delle particelle elementari studia la struttura della materia e cerca di identicare i mattoni fondamentali che la costituiscono e le forze fondamentali che sono responsabili della loro
interazione. Attualmente le nostre conoscenze della sica fondamentale sono scritte in una teoria
quantistica di campo: il
Modello Standard.
Esso descrive l'universo in termini di tre delle
quattro forze fondamentali: l'interazione elettromagnetica, forte e debole. Tuttavia, pur avendo
riscosso un grande successo, il Modello Standard non può essere considerata una teoria completa,
ma bensì una manifestazione a basse energie di una teoria più fondamentale che contiene tutte
le interazioni tra le particelle, anche la gravità.
Esistono diverse estensioni di questo modello
che permettono di riassorbire in parte i problemi ancora aperti nel Modello Standard e che in-
assione.
troducono nuove particelle non ancora osservate. Una di esse è l'
di un campo pseudoscalare
a(x)
L'assione è il quanto
0
(pseudoscalare perchè sotto parità P a(x , x)
= −a(x0 , −x)).
Tale campo venne introdotto come soluzione (simmetria di Peccei-Quinn) del problema di CP
forte nella cromodinamica quantistica.
Il nome deriva da un noto detersivo usato negli Stati
Uniti negli anni '50, proprio perchè si pensava che questa particella avrebbe pulito la sica delle particelle elementari da alcuni problemi fondamentali. L'assione avrebbe carica nulla,
spin zero e risulterebbe solo debolmente interagente con la materia ordinaria. Questa particella
1
avrebbe inoltre una massa molto piccola ma non nulla .
Originariamente vennero solo intro-
dotti gli assioni di Peccei-Quinn (pseudobosoni di Goldstone della simmetria di Peccei-Quinn).
In realtà successivamente venne generalizzato il concetto a particelle pseudoscalari esotiche con
interazioni a due fotoni dette ALPs (Axion-Like Particles). Facciamo una breve digressione sull'idea che ha portato all'introduzione di questa nuova particella, con un accenno a sue possibili
generalizzazioni.
1
Per gli assioni di Peccei-Quinn le attuali stime teoriche sulla massa hanno ristretto il range tra i
10−2 eV.
8
10−6 eV
e i
1.1
Gli Assioni e il problema di CP forte
Negli anni '70 la teoria delle interazioni forti presentava un interessante problema, che diventò
Cromodinamica Quantistica (QCD). La lagrangiana di QCD è quella di una teoria Yang-Mills SU (3) con N campi fermionici detti avours
dei quark. Nel limite in cui le masse dei quark sono nulle mq → 0, la lagrangiana di QCD ha
particolarmente evidente con l'avvento della
una simmetria globale
U (N )V × U (N )A ,
dove i pedici indicano rispettivamente una simmetria
vettoriale e una assiale. Poichè nella realtà solo le masse dei quark up e down sono trascurabili,
infatti
mu , md ΛQCD
(scala di massa di QCD), allora la simmetria
ad una simmetria globale approssimata
metria vettoriale
(B )
U (2)V ,
U (2)V × U (2)A .
U (N )V × U (N )A
si riduce
Sperimentalmente si osserva che la sim-
che corrisponde alla simmetria di isospin (I ) per il numero barionico
U (N )V = SU (2)I × U (1)B ,
è una buona simmetria della Natura. Ciò lo si può osservare
dall'apparizione di multipletti nello spettro adronico e dalla stabilità del protone. Le cose stanno
diversamente per la simmetria assiale
U (2)A = SU (2)A × U (1)A .
mente che i quark condensano in strutture
q q¯,
Infatti si osserva sperimental-
con valori di aspettazione
< u¯
u >=< dd¯ >6= 0,
rompendo la simmetria assiale spontaneamente. Ne consegue che esisteranno dei bosoni di Goldstone, generati da tale rottura.
bosoni di Goldstone di
SU (2)A
Poichè i pioni sono leggeri, allora possiamo identicare i tre
con i tre pioni
massa sucentemente piccola per la parte
η
π±π0.
U (1)A ,
ha massa molto maggiore di quella dei pioni,
come problema della simmetria
Tuttavia non abbiamo alcun candidato con
dato che il mesone pseudoscalare più leggero
mη mπ .
Tale problema è noto in letteratura
U (1)A .
Questo problema venne risolto da t' Hooft, che notò che la QCD aveva una struttura del
vuoto molto complessa e più ricca rispetto alla QED. Per capire come questo problema può
essere risolto, mettiamoci nel caso di una teoria di gauge
con
a = 1, 2, 3.
SU (2)
con solo campi di gauge
Aaµ ,
a = 0.
Fµν
Ciò
La congurazione di campo classica dello stato fondamentale è
a
corrisponde a congurazioni dei campi vettori Aµ che sono trasformazioni di gauge del vettore
a a = i U ∂ U † , con U (x) ∈ SU (2) e T a generatori. Prendiamo U = U (x)
nullo, Aµ = Aµ T
µ
g
dipendenti solo dalle coordinate spaziali, questo è equivalente a ssare la gauge temporale
Imponiamo anche che
A0 = 0.
U (x) tenda ad una matrice costante per |x| → ∞, indipendentemente dalla
direzione. Prendendo il punto all'innito spaziale, il nostro spazio delle coordinate acquista la
topologia di una sfera tre-dimensionale
S3.
Siamo interessati a sapere se ogni possibile
U (x)
sia deformabile in maniera liscia in una
U (x). Se la risposta è positiva allora tutte queste congurazioni di campo Aµ =
i
†
g U ∂µ U sono gauge-equivalenti, e corrispondono tutte ad un unico stato quantistico
qualsiasi altra
Aaµ T a
=
di vuoto.
Se la risposta è negativa allora ci saranno più di uno stato quantistico di vuoto.
Infatti se prendessimo
U (x)
e
˜ (x)
U
due trasformazioni di gauge che non sono deformabili in
9
Aµ
maniera liscia l'una nell'altra, i due campi associati
e
A˜µ
del vettore nullo. Se proviamo a deformare in maniera liscia
sono due trasformazioni di gauge
Aµ in A˜µ dovremmo necessariamente
passare da congurazioni che non sono trasformazioni di gauge del vettore nullo, e quindi queste
congurazioni sono associate a tensori di forze non nulli. I quali implicano energie non nulle per
passare da una congurazione all'altra, e quindi queste due congurazioni sono separate da una
barriera di ponteziale. Esse rappresentano due dierenti minimi per l'hamiltoniana del sistema
e quantisticamente corrispondono a stati di vuoto dierenti.
U (x)
Le congurazioni di campo specicate da
numero di avvolgimenti.
le une nelle altre.
Le
U (x)
sono classicate da un intero
con lo stesso numero
n
U (x) = a4 + ia · ~σ ,
2×2
dove
complessa unitaria a determianante
a1 , a2 , a3 , a4 ∈ R
detto
sono deformabili in maniera liscia
Possiamo denire tale numero in questo modo.
che una qualsiasi matrice
n ∈ Z
2
con il vincolo a4
+
a2
Notiamo prima di tutto
+1
può essere scritta come
= 1.
Per cui i coecenti
aµ = (a, a4 ) in uno spazio euclideo 4-dimensionale che giacciono su una sfera
3
S di raggio unitario, tale sfera è detta sfera dei vuoti. La funzione U (x) è quindi una mappa
descrivono vettori
da
S3
spaziale a
S3
dei vuoti. Possiamo denire
n
numero di avvolgimenti che conta il numero
di volte che la sfera dei vuoti ricopre la sfera spaziale. Data una mappa
U (x),
si può far vedere
che il suo numero di avvolgimenti è dato da
1
n=−
24π 2
Per
SU (2)
dx3 ijk Tr(U ∂i U † U ∂j U † U ∂k U † ).
(1.1)
abbiamo quindi un numero innito di congurazioni classiche di stati fondamentali,
ciascuna delle quali è parametrizzata da un intero
teoria scalare
ϕ
con potenziale
V (ϕ) =
v 4 (1
n.
Tale teoria è quindi molto simile ad una
− cos(2πϕ/v)),
che ha minimi per
ϕ = nv .
questa teoria è possibile identicare la transizione tra due stati quantistici di vuoto
|ni
e
In
|n0 i
corrispondenti a due diverse congurazioni classiche di minimo, tramite
0
n H |ni ∼ e−S ,
con
S
azione euclidea di una soluzione classica delle equazioni di campo che media tra le due
congurazioni
|ni a t → −∞ e |n0 i a t → +∞.
Per una teoria
ϕ l'azione scala proporzionalmente
al volume, e quindi tende ad innito per volume innito, per cui gli stati di vuoto quantistici
non possono essere collegati tra di loro per eetto tunnel e sono eettivamente degeneri anche
quantisticamente.
Questo non è vero per una teoria di gauge
SU (2).
10
Infatti, in questo caso è possibile mostrare
che esistono soluzioni classiche delle equazioni di campo euclidee che mediano tra gli stati asintotici con diverso numero di avvolgimenti. L'azione di queste soluzioni rimane nita e ssata anche
nel limite di volume innito. Tali soluzioni sono dette
istantoniche
e sono solitoni localizzati
in 4-dimensioni euclidee.
E' semplice osservare che per tali soluzioni l'azione
|n0
− n|
S
è una funzione della sola dierenza
tra il numero di avvolgimenti degli stati asintotici quindi
0
0
n H |ni ∼ e−f (|n −n|) .
H
può essere diagonalizzata dai seguenti stati, detti
|θi =
X
e
θ-stati
−inθ
di vuoto:
|ni ,
n∈Z
notiamo che
θ
è un angolo, poichè le energie di questi stati sono funzioni
Supponiamo di avere una soluzione istantonica
x4 = +T
per
|x| = R, Aµ = 0.
Aµ =
una trasformazione
4
4-dimensionale (R ), avremo una mappa
U+
dovuto ai contributi di
e
U− .
U
θ.
tale che al tempo euclideo
Aµ =
†
i
g U+ ∂µ U+ con numero di avvolgimenti
R, T → ∞,
Allora per
di
x4 = −T approcci
†
i
g U− ∂µ U− con numero di avvolgimenti n−
Aµ
una trasformazione di gauge del vettore nullo
e a
2π -periodiche
n+ ,
e tale che
sulla sfera di contorno nello spazio euclideo
con numero di avvolgimenti totale
Possiamo scrivere la formula (1.1) per
n ≡ n+ − n− ,
n ≡ n+ − n−
come un
4
intergrale sulla superce all'innito di R
1
n=
24π 2
µνστ
dSµ Possiamo denire la
ig 3
Tr(U ∂ν U U ∂σ U U ∂τ U ) =
24π 2
†
†
†
corrente di Chern-Simons
dSµ µνστ Tr(Aν Aσ Aτ ).
(1.2)
µ
≡ 2µνστ Tr(Aν Fστ + 32 igAν Aσ Aτ )
JCS
con
divergenza
µ
∂µ JCS
= 2Tr(Fστ F˜ στ ),
quindi la (1.2) diventa
g2
n=
32π 2
µ
dSµ JCS
,
che applicando il teorema di Gauss, prende la forma
n=
g2
32π 2
µ
dx4 ∂µ JCS
=
g2
16π 2
dx4 Tr(Fστ F˜ στ ).
Usando la tecnica del path integral, partendo da uno stato iniziale ad
11
(1.3)
n−
avvolgimenti e
arrivando ad uno stato nale ad
n+
avvolgimenti, avremo
DAn+ −n− e−S+JA ,
Z(J)n− →n+ =
in cui solo le congurazioni con numero di avvolgimenti
da un
θ-stato
di vuoto
|θi
n+ − n−
contribuiscono. Se ora partiamo
e arriviamo ad uno stato nale di vuoto
|θ0 i
allora il path integral
diventa
Z(J)θ→θ0 =
X
e
i(n+ θ0 −n− θ)
Z(J)n− →n+ .
n− ,n+
Dopo qualche semplice passaggio algebrico e ricordando che
n ≡ n+ − n− ,
otteniamo che
Z(J)θ→θ0 = δ(θ0 − θ)
X
inθ
e
DAn e−S+JA ,
n
e eliminiando la delta di dirac,
Z(J)θ =
X
e
inθ
DAn e
−S+JA
=
iθg 2
DAe−S+JA+ 16π2
Tr(Fστ F˜ στ )
,
n
dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato la relazione (1.3) per
tutti i suoi valori possibili. Se esplicitiamo
S
n
e poi abbiamo sommato su
e facciamo una rotazione di Wick per tornare nello
spazio minkowskiano otteniamo il seguente integrale funzionale
Z(J)θ =
DA exp i
1
θg 2
µν
στ
µ
˜
dx − Tr(F Fµν ) −
Tr(Fστ F
) + J Aµ .
2
16π 2
4
Notiamo che nell'integrale funzionale è aggiunto un termine extra dovuto alla struttura complessa del vuoto della teoria di gauge
SU (2).
Per cui la lagrangiana eettiva consta di un termine
in più
∆Lθ =
θg 2
˜ στ ).
Tr(Fστ F
16π 2
Se passiamo alla cromodinamica quantistica le cose restano pressochè immutate e l'integrale
funzionale diventa
Z=
DADΨDΨ exp i
Sotto trasformazioni
U (1)A
1 aµν a
θg 2 a ˜ aστ
µ
dx iΨγ Dµ Ψ − F Fµν −
F F
.
4
32π 2 στ
4
i campi di materia
Ψ
12
si trasformano come
Ψ → e−iαγ5 Ψ,
Ψ → Ψe−iαγ5 .
Poichè la simmetria
U (1)A
presenta anomalia chirale, tali trasformazioni cambiano la misura di
integrazione di un fattore di fase
2
a ˜ aστ
4 αg
DΨDΨ → exp −i dx
F F
DΨDΨ.
32π 2 στ
Ne deriva che la QCD non è invariante sotto trasformazioni
U (1)A .
Se la soluzione di t' Hooft permette di risolvere il problema mostrando che
simmetria della QCD, essa genera un altro problema fondamentale.
limiti teorici sul valore dell'angolo
e
π.
In pratica il termine
∆Lθ
θ
in
∆Lθ ,
U (1)A
non è una
In principio non esistono
che quindi può assumere un qualsiasi valore tra
−π
viola la parità e l'invarianza temporale, per cui viola la simmetria
di CP. Questo termine induce un momento di dipolo elettrico del neutrone non nullo e dell'ordine
di [14, 15]
dn '
eθmq
.
m2n
Sperimentalmente si è ssato un limite superiore al momento di dipolo elettrico del neutrone
|dn | < 3 · 10−26 e
cm [16], ciò permette di ssare un limite superiore per l'angolo:
Un angolo così piccolo implica eetti trascurabili del termine
∆Lθ ,
|θ| < 10−9 .
per cui verrebbe soppressa
la violazione di P e CP. La questione quindi si sposta sul perchè questo angolo debba essere così
piccolo. Tale problema è noto in letteratura come
problema di CP forte.
Se introduciamo
anche l'interazione elettrodebole allora il termine di massa dei quark è in generale il seguente
termine complesso
Lmassa = q iR Mij qjL + h.c.
e per passare alla base sica dei quark si diagonalizza la matrice di massa
dobbiamo applicare una trasformazione chirale ai campi dei quark
θ = θ + Arg det M .
qi ,
l'angolo
θ
in
l'angolo
θ,
che proviene dall'interazione forte e debole, è così piccolo.
M.
Per fare ciò
tale trasformazione ruota
Il problema di CP forte è dunque: il problema del perchè
Esistono diverse proposte di soluzione al problema.
La soluzione più suggestiva è quella
proposta da Peccei e Quinn [12, 13] e che passa per l'introduzione di una simmetria chirale globale
U (1)P Q ,
detta simmetria di Peccei-Quinn. Questa simmetria globale è rotta spontaneamente e
il bosone di Goldstone che appare è chiamato
assione di Peccei-Quinn, a(x).
13
Sotto l'azione
di
U (1)P Q
il campo assionico trasforma come
a(x) → a(x) + αfa
fa
con
scala di rottura della simmetria
U (1)P Q .
(1.4)
Nel modello originale di Peccei e Quinn, la
simmetria addizionale è introdotta nel Modello Standard tramite due doppietti di Higgs, che
legano la rottura spontanea di
U (1)P Q
alla rottura della simmetria elettrodebole.
La scala
di rottura della simmetria di Peccei-Quinn è quindi confrontabile con quella elettrodebole,
fa ∼
EEW ' 250 GeV. Inoltre la simmetria di Peccei-Quinn è anche violata esplicitamente (dagli stessi
eetti che generano i termini
∆Lθ
nella QCD). Gli assioni sono pseudo-bosoni di Goldstone e non
propriamente bosoni di Goldstone. Per questo motivo gli assioni acquistano una massa eettiva
che è inversamente proporsionale alla scala di rottura di simmetria, in prima approssimazione
[19],
ma ' 6
eV
106 GeV
fa
.
(1.5)
Questo primo modello è stato abbandonato, poichè i limiti sperimentali hanno completamente
escluso l'esistenza di assioni con massa e accoppiamento
ma , fa
delle dimensioni imposte da
questa teoria.
Per salvare il meccanismo di Peccei-Quinn bisogna rendere il parametro
grandezza più grande della scala di rottura elettrodebole
EEW .
Aumentando
fa
alcuni ordini di
fa , sopprimiamo la
massa e l'accoppiamento dell'assione al Modello Standard, e quindi possiamo rientrare nei limiti
imposti dagli esperimenti. Esistono diverse implementazioni di questa idea, che vengono dette
modelli di assioni invisibili.
Tra i più celebri ricordiamo il modello Kim-Shifman-Vainshtein-
Zakharov (KSVZ) [24, 25] e il modello DFSZ proposto da Zhitnitsky [26] e da Dine, Fischler e
Srednicki [27]. Descriviamo brevemente l'idea del modello KSVZ, interessante anche per la sua
semplicità.
Nel modello KSVZ al settore di Modello Standard è aggiunto un campo di quark di Dirac
senza massa, che trasforma secondo la rappresentazione fondamentale di
Higgs
S,
SU (3)C ,
Q
e un campo di
che rimane invariato sotto il gruppo di gauge del Modello Standard. La lagrangiana di
questo modello è
1
θg 2
b
˜ στ ) + iQγ µ ∂µ Q + gAbµ Qγ µ T b Q+
LKSV Z = − F bµν Fµν
−
Tr(Fστ F
4
16π 2
1
2
−y Q†L SQR + Q†R S ∗ QL + ∂µ S ∗ ∂ µ S − λ S ∗ S − va2 ,
2
con
Tb
generatori di
SU (3)C
e
va EEW
(per quanto detto sopra).
14
(1.6)
Abbiamo trascurato il
settore elettrodebole. Questa lagrangiana è invariante a livello classico sotto le trasformazioni
U (1)P Q
Riscriviamo il campo di Higgs
vale la sostituzione
come
ρ(x) → va
a(x) → a(x) + αva
S
QL → eiα/2 QL ,
(1.7)
QR → e−iα/2 QR ,
(1.8)
S → eiα S.
(1.9)
nella forma polare
e quindi la fase
a(x)
S(x) = ρ(x)eia(x)/va .
è la parte interessante di
U (1)P Q .
S.
va ,
Essa trasforma
sotto la simmetria di Peccei-Quinn. Poichè la lagrangiana è invariante
sotto tale simmetria, allora il costo in energia dello shift è nullo e
per
A energie inferiori a
Possiamo sostituire
S=
a(x)
è il bosone di Goldstone
va eia/va alla lagrangiana (1.6)
1
θg 2
b
˜ στ ) + iQγ µ ∂µ Q + gAbµ Qγ µ T b Q+
LKSV Z = − F bµν Fµν
Tr(Fστ F
−
4
16π 2
1
−yva Q†L eia/va QR + Q†R e−ia/va QL + ∂µ a∂ µ a.
2
Una volta che la simmetria
U (1)P Q
è rotta, il campo
Q
(1.10)
acquista una massa
mQ = yva .
Per
vedere ciò dobbiamo ruotare il campo con la trasformazione chirale
QL → eia/2va QL ,
(1.11)
QR → e−ia/2va QR .
(1.12)
Tale rotazione introduce due altri termini nella lagrangiana
∆L = −
∂µ a
g2 a
˜ στ ),
Qγ5 γ µ Q +
Tr(Fστ F
2va
16π va
(1.13)
in cui l'ultimo termine tiene conto dell'anomalia chirale della simmetria
diagramma a loop in gura 1.1. Se
va EEW ,
il campo di quark
Q,
U (1)P Q ,
generato dal
può essere eliminato e la
lagrangiana a bassa energia diviene
LKSV Z
2
1 bµν b
1
a
g
µ
˜ στ ).
= − F Fµν + ∂µ a∂ a + −θ +
Tr(Fστ F
4
2
va 16π 2
La ridenizione del campo assionico
a(x),
permette di ruotare a zero l'angolo
θ
(1.14)
(meccanismo di
Peccei-Quinn).
Nel modello DFSZ, l'idea è pressochè la stessa. In questo caso però al campo scalare di Higgs
15
G
Q
a
Q
Q
G
Figura 1.1: Diagramma a loop triangolare per l'interazione eettiva assione-gluone. Termine che
genera l'anomalia della corrente chirale.
S
sono aggiunti due doppietti di Higgs. I due doppietti di Higgs sono legati, tramite interazione
di Yukawa, al settore fermionico dei quark e dei leptoni.
rotazione chirale per riassorbire la fase di
In questo modo il meccanismo di
S , che genera i termini anomali in (1.13), non necessita
la presenza di un campo di quark aggiuntivo
Q, ma è direttamente compiuto sui campi fermionici
del Modello Standard.
Ad ora non siamo in grado di conoscere il modello esatto che darebbe origine all'assione.
Possiamo quindi scrivere una generica teoria a bassa energia che implementi il meccanismo di
Peccei-Quinn e che colga tutti gli aspetti che accomunano i vari modelli esistenti. Per fare ciò,
in maniera del tutto generale, estendiamo la lagrangiana del Modello Standard in modo che
contenga il campo assionico
L = LSM − θ
a(x):
gs2 ˜ bµν b
1
a gs2 ˜ bµν b
µ
F
F
+
∂
a∂
a
+
L
(a,
Ψ)
+
ξ
F Fµν
µ
int
µν
32π 2
2
fa 32π 2
dove
Lint
Ψ(x)
µ
e l'ultimo termine deriva dall'anomalia della corrente chirale JP C della simmetria
contiene tutte le possibili interazioni tra il campo assionico
∂µ JPµ Q = ξ
Questo termine, insieme al termine di QCD
gs2 ˜ bµν b
F Fµν .
32π 2
∆Lθ ,
a(x)
(1.15)
e i campi di materia
U (1)P Q ,
(1.16)
costituiscono un potenziale eettivo per il
campo assionico, che può essere parametrizzato come
a
V (a) ' Λ4QCD 1 − cos ξ − θ
.
fa
La cui congurazione di minimo è ottenuta da
hai = θfa /ξ ,
16
(1.17)
come richiesto dal teorema di Vafa-
Witten, [18].
I parametri che compaiono nella lagrangiana (1.15) sono model-depending, e quindi variano a
seconda dei diversi modelli assionici (KSVZ, DFSZ, etc).
Ciò che invece accomuna le diverse
teorie è il meccanismo di assorbimento della violazione di CP (meccanismo di Peccei-Quinn).
Infatti se nella lagrangiana (1.15) sostituiamo
a → a − hai
allora il termine
∆Lθ
che viola la CP
scompare. Questo meccanismo quindi permette dinamicamente di ruotare a zero l'angolo
termine
∆Lθ
tramite la presenza del campo assionico
a(x)
θ
del
e di rendere la teoria nuovamente P
e CP invariante.
Tutti i modelli assionici sono anche caratterizzati dall'accoppiamento
aγγ
a due fotoni. La
lagrangiana più generale che descrive questo accoppiamento è la seguente
1
Laγγ = gaγγ aFµν F˜ µν ,
4
gaγγ
con
costante d'accoppiamento e
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(1.18)
tensore elettromagnetico. Questa la-
grangiana di interazione è la più rilevante. Infatti tutte le ricerche sperimentali dirette di assioni
si basano sulla possibile osservazione dell'accoppiamento ai fotoni.
In linea di principio questo tipo di esperimenti è diretto a osservare una qualsiasi specie di particelle pseudoscalari
a (non necessariamente assioni) con accoppiamenti a due fotoni del tipo (1.18).
Queste particelle ipotetiche vengono genericamente denominate ALPs (Axion-Like Particles) per
la loro somiglianza con gli assioni di Peccei-Quinn nell'accoppiamento a due fotoni.
1.2
Axion-Like Particles (ALPs)
Le teorie oltre il Modello Standard sono caratterizzate dalla presenza di nuove simmetrie, alcune
delle quali globali. Queste simmetrie globali possono essere rotte spontaneamente, dando luogo
a bosoni di Goldstone.
In generale molte estensioni del Modello Standard contengono questo
tipo di particelle scalari o pseudoscalari [17, 20, 21], che vengono genericamente chiamate ALPs.
Negli ultimi anni, l'interesse negli ALPs è molto cresciuto, poichè l'osservazione di queste particelle potrebbe essere un forte segnale di Nuova Fisica, nonchè potrebbe risolvere alcuni problemi
tuttora aperti come il problema della materia oscura. Gli ALPs sono generalmente caratterizzati
da accoppiamenti
2
aγγ
del tipo (1.18). Essi sono quindi una generalizzazione del concetto di as-
sione, anche se essi hanno delle importanti dierenze rispetto agli assioni di Peccei-Quinn. Infatti
per essi non è necessariamente detto che ci sia legame tra massa e costante di accoppiamento
al contrario di quanto avviene per gli assioni, equazione (1.5).
2
Per particelle scalari la lagrangiana di interazione con fotoni è
17
In tutta la nostra trattazione
Laγγ = gaγγ aFµν F µν ,
per preservare la parità.
ci riferiremo agli ALPs (e non propriamente agli assioni di Peccei-Quinn), soermandoci solo
sull'interazione (1.18) con i fotoni e supponendo che i parametri
Una conseguenza fondamentale dell'accoppiamento
aγγ
gaγγ
e
ma
non siano correlati.
è il fenomeno del mixing di fotoni e
ALPs, che ha luogo in presenza di un campo elettromagnetico esterno. Questo fenomeno porta
a due eetti: le oscillazioni fotone-ALP e il cambio di polarizzazione dei fotoni nel campo magnetico. Siamo interessati al primo dei due eetti: le oscillazioni di ALPs in fotoni e viceversa.
Ricaveremo in una teoria semiclassica, le equazioni di propagazione di un sistema fotone-ALP
in presenza di un campo magnetico esterno. Per fare ciò, mostriamo prima di tutto come l'elettrodinamica classica verrebbe modicata dalla presenza di un campo pseudoscalare
a(x)
con
termine di accoppiamento al campo elettromagnetico del tipo (1.18).
1.2.1
Elettrodinamica in presenza di un campo pseudoscalare
Aggiungiamo alla lagrangiana elettromagnetica
evoluzione del campo pseudoscalare
a
Lem = −1/4Fµν F µν ,
un termine cinetico
La
di
e il termine di interazione (1.18). La lagrangiana totale è
quindi
1
1
1
L = Lem + La + Laγγ = − Fµν F µν +
∂µ a∂ µ a − m2a a2 + gaγγ aFµν F˜ µν .
4
2
4
Applicando le equazioni di Eulero-Lagrange per il campo
Aµ
e per il campo
a,
(1.19)
otteniamo le
seguenti equazioni in forma manifestamente covariante
∂µ F µν = gaγγ F˜ µν ∂µ a,
a + m2a a =
dove si è fatto uso dell'identità di Bianchi
(1.20)
gaγγ
Fµν F˜ µν ,
4
∂µ F˜ µν = 0.
(1.21)
Possiamo riscrivere queste equazioni, in
una forma non manifestamente covariante, in termini del campo elettrico
E
e magnetico



∇ · E = gaγγ ∇a · B






∇·B=0


∂B
∂t + ∇ × E = 0



∂a

∇ × B − ∂E

∂t = −gaγγ B ∂t − E × ∇a



a + m2 a = −g E · B
aγγ
a
queste sono le equazioni di Maxwell modicate dalla presenza del campo assionico
18
B,
(1.22)
a.
1.2.2
Oscillazioni fotone-ALP in un campo magnetico esterno
Consideriamo un'onda elettromagnetica monocromatica (con
paga in un campo magnetico esterno
Be .
E
e
B
campi associati) che si pro-
In questo caso le equazioni (1.22) di evoluzione del
campo elettromagnetico dell'onda assumono la forma



∇ · E = gaγγ ∇a · Be






∇·B=0


∂B
∂t + ∇ × E = 0



∂a


∇ × B − ∂E

∂t = −gaγγ Be ∂t



a + m2 a = −g B · E
aγγ e
a
avendo supposto che
Be
(1.23)
vari più lentamente del campo dell'onda
B ma sia più grande in modulo,
in questo modo abbiamo potuto trascurare alcuni termini.
Riscriviamo le equazioni (1.23) in termini del potenziale vettore
Aµ ≡ (A0 , A)
dell'onda elettro-
mangnentica. Ricordando che
E=−
∂A
− ∇A0 ,
∂t
B = ∇ × A,
e utilizzando la gauge temporale
A0 = 0,
le equazioni interessanti in (1.23) diventano



= −gaγγ ∇a · Be
∇ · ∂A

∂t

A + ∇(∇ · A) = −gaγγ Be ·



a + m2 a = g B · ∂A
a
aγγ
e
∂a
∂t
.
∂t
Supponiamo che l'onda elettromagnetica monocromatica abbia energia
direzione
dove
x3 .
ω≡E
ω
e si propaghi lungo la
Possiamo risolvere il sistema (1.24) facendo le seguenti Ansatz:
ˆ 3 )e−iω(x3 −t) ,
A(t, x3 ) = A(x
(1.25)
a(t, x3 ) = a
ˆ(x3 )e−iω(x3 −t) ,
(1.26)
energia del fotone. Supponiamo inoltre che la parte di modulazione
vari molto più lentamente della parte portante dell'onda, cioè
che
(1.24)
∂ˆ
a(x3 )
ωˆ
a(x3 ).
∂x3
19
ˆ 3)
A(x
e
a
ˆ(x3 )
dˆ
a(x3 )/ˆ
a(x3 ) ωdx3 che implica
(1.27)
Sostituendo le Ansatz (1.25) e (1.26) nel sistema (1.24) e integrando la prima equazione otteniamo
gaγγ
Aˆ3 (x3 ) =
Be,3 a
ˆ(x3 ),
ω
con
(1.28)
Aˆ3 , Be,3 rispettivamente componente del potenziale vettore e componente del campo magneti-
co esterno lungo la direzione
x3 .
Da questa soluzione notiamo che in presenza di assioni è possibile
una piccola componente dell'onda elettromagnetica lungo la direzione del moto. Numericamente
Aˆ g
B
eV
3
aγγ
e,3
−26
,
' 1.94 × 10
−11
a
ˆ 10 GeV
Gauss
ω
questa componente longitudinale può tranquillamente essere trascurata rispetto agli altri termini
che ora deriveremo. Ricaviamo ora le equazioni per le componenti trasversali dell'onda
(A1 , A2 ).
termini
A⊥ =
Sostituendo le Ansatz nelle altre due equazioni del sistema (1.24) e trascurando i
00
a
ˆ (x3 )
e
ˆ 00 (x3 )
A
⊥
rispetto a
0
ωˆ
a (x3 )
e
0
ˆ (x3 ),
ωA
⊥
otteniamo
0
ˆ = −igaγγ ωBe,⊥ a
2iω A
ˆ,
⊥
(1.29)
0
ˆ ⊥,
2iωˆ
a + m2a a = igaγγ ωBe,⊥ · A
(1.30)
che con un opportuno cambio di fase
a
ˆ → iˆ
a,
il sistema acquista una forma tipo equazione di
Schr¨
odinger
 
Aˆ1

 
i∂x3  Aˆ2  = 
a
ˆ

0
0
0
0
1
2 gaγγ Be,1
1
2 gaγγ Be,2
1
2 gaγγ Be,1
1
2 gaγγ Be,2
2
a
−m
2ω

Aˆ1
 ˆ 
  A2  .
a
ˆ

(1.31)
Questa è l'equazione di evoluzione del sistema fotone-ALP.
Diamo un'interpretazione semiclassica ai campi
Aˆ1,2
e
a
ˆ.
Rideniamo per comodità questi
campi (tale ridenizione non cambia l'equazione di evoluzione (1.31)) come
e
a
ˆ → (2/ω)1/2 a
ˆ.
Aˆ1,2 → (2/ω)1/2 Aˆ1,2
Dopo il passaggio di un certo numero di pacchetti d'onda elettromagnetici, il
usso di energia che attraversa l'unità di superce perpendicolare alla direzione di propagazione
x3
è
dε
dΣ
dove
S(x3 )
2
ˆ
= h|S(x3 )|i Np = h|E × B|i Np = ω A(x
)
3 Np ,
è il vettore di Poynting e
Np
(1.32)
è il numero di pacchetti d'onda per unità di superce.
Il usso di energia può anche essere pensato come il usso di fotoni che attraversano l'unità di
superce, dε/dΣ
= ωNγ (x3 ),
dove
Nγ (x3 )
è il usso di fotoni nel punto
20
x3 .
Eguagliando le due
denizioni, possiamo osservare che
2
ˆ
A(x
)
3 può essere interpretato come la frazione di pacchetti
d'onda che sono visti come fotoni nel punto
nel punto
x3 .
x3 ,
cioè la probabilità di osservare un fotone
Da considerazioni analoghe possiamo interpretare
osservare un ALP nel punto
|ˆ
a(x3 )|2
come la probabilità di
x3 .
Se la propagazione avviene in un mezzo, è facile vericare che l'equazione (1.29) per il campo
elettromagnetico si modica come segue
0
ˆ = χω 2 A
ˆ ⊥ − igaγγ ωBe,⊥ a
2iω A
ˆ,
⊥
dove
χ
(1.33)
è la suscettività elettrica del mezzo attraversato e può in generale essere un numero
complesso (nel caso di un mezzo assorbente). In un mezzo non magnetico con indice di rifrazione
n
abbiamo che
χ = r − 1 = n2 − 1 ' 2(n − 1)
se
n'1
(in mezzi a bassa densità come mezzi
astrosici). Ne consegue che l'equazione (1.31) prende la forma
 
ω(n − 1)
Aˆ1
 ˆ  
i∂x3  A2  = 
0
1
a
ˆ
2 gaγγ Be,1

0
ω(n − 1)
1
2 gaγγ Be,2
Se il mezzo è assorbente, la parte immaginaria di
n−1
1
2 gaγγ Be,1
1
2 gaγγ Be,2
2
a
−m
2ω

Aˆ1
 ˆ 
  A2  .
a
ˆ

(1.34)
è non nulla. In particolare usando la
formula di Rayleight
n = 1 + 2π
dove
f (0)
è l'ampiezza di diusione in avanti e
ω Im(n − 1) =
Ns f (0)
,
ω2
Ns
(1.35)
è la densità di centri diusori. Avremo quindi
2π
Ns σtot
Γ
Ns Imf (0) =
= ,
ω
2
2
(1.36)
dove è stato utilizzato il teorema ottico
Imf (0)
e
σtot
=
ω
σtot
4π
(1.37)
è la sezione d'urto totale di diusione. Per il momento trascureremo l'assorbimento. Dalle
equazioni precedenti si deduce che in un mezzo, il fotone acquista una massa eettiva pari a
m2γ = −2(n − 1)ω 2 .
Nel seguito della nostra trattazione ci riferiremo sempre a fotoni con energia
molto maggiore dell'eV che si muovono in un gas di idrogeno parzialmente ionizzato. Per queste
energie, l'indice di rifrazione del mezzo può essere approssimato da [6]
2
n =1−
21
2
ωpl
ω2
,
(1.38)
dove
2 ≡ 4παn /m ,
ωpl
e
e
fotoni di alta energia
con
ne
densità totale di elettroni (sia liberi che legati) nel mezzo. Per
2.
m2γ ' ωpl
Oltre a questo eetto, dobbiamo considerare che ad un livello più fondamentale della teoria
dobbiamo tenere di conto gli eetti di QED di polarizzazione del vuoto, [23]. Complessivamente
questi termini generano eetti di cambiamento nelle polarizzazioni del fotone. Tenendo conto di
tutto, l'equazione (1.31) viene modicata come segue [23]
 
Aˆ1
 

i∂x3  Aˆ2  = 
a
ˆ

∆11
∆12
∆21
1
2 gaγγ Be,1
∆22
1
2 gaγγ Be,2

Aˆ1
 ˆ 
  A2  ,
a
ˆ
1
2 gaγγ Be,1
1
2 gaγγ Be,2
2
a
−m
2ω

(1.39)
con
∆11 = ∆k cos2 φ + ∆⊥ sin2 φ,
∆22 = ∆k sin2 φ + ∆⊥ cos2 φ,
∆12 = ∆21 = (∆k − ∆⊥ ) sin φ cos φ,
dove
ω2
∆k = ∆pl + 72 ∆QED , ∆⊥ = ∆pl + 2∆QED , ∆pl = − 2ωpl , ∆QED =
Be,3 x
ˆ3
e
ˆ /Be,⊥ .
cos φ = Be,⊥ · x
Chiamiamo
∆aγ ' 1.52 × 10−2
∆a ' −7.8 × 105
∆pl ' −1.1 × 10
∆QED
∆aγ =
1
2 gaγγ Be,⊥ e
∆a =
gaγγ
10−11 GeV−1
ma
Be,⊥
10−9 G
2 ω −1
10−10 eV
ω −1 −2
−1
Mpc
−1
,
−1
Mpc
10−7 cm−3
2
ω B
e,⊥
−18
−1
' 4.1 × 10
Mpc
.
keV
10−9 G
keV
Be,⊥ 2
,
2
me /e
Be,⊥ = Be −
2
−ma /2ω . Numericamente,
Mpc
keV
ne
αω
45π
,
(1.40)
(1.41)
,
(1.42)
(1.43)
Per i nostri scopi vedremo che il termine di QED è molto più piccolo rispetto agli altri termini
e quindi sarà trascurato.
1.2.3
Probabilità di oscillazione
Consideriamo una regione in cui il campo magnetico è omogeneo e costante. La probabilità che
un fotone polarizzato sia convertito in ALP (o viceversa) dopo una distanza
l è (per la derivazione
si veda l'appendice B)
Paγ (l) = sin2 (2θ) sin2
22
∆osc l
2
,
(1.44)
dove
∆osc
2∆aγ
1
θ = arcsin
,
2
∆osc
h
i1/2
= (∆a − ∆pl )2 + (2∆aγ )2
.
Possiamo introdurre una scala d'energia critica
ωc ≡ ω
Nel limite di alte energie
infatti
θ ' π/4,
In questo caso il mixing fotone-ALP è massimale,
regime di strong mixing.
Tenendo conto che
Tale
∆osc ' 2∆aγ =
la condizione che permette di avere regime di strong mixing è:
gaγγ Be,⊥
In regime di strong mixing, se
2
ma
+ ∆pl .
2ω
(1.48)
(∆aγ l) 1, la probabilità di conversione assume la semplice forma
Paγ (l) = (∆aγ l)2 =
1.3
(1.47)
e la probabilità di conversione (1.44) diventa indipendente dall'energia.
regime di energie è quindi detto
gaγγ Be,⊥ ,
(1.46)
ωc ,
|∆a − ∆pl |
.
2∆aγ
ω ωc , ∆osc ' 2∆aγ .
(1.45)
gaγγ Be,⊥ l
2
2
.
(1.49)
Esperimenti di rivelazione degli assioni
La ricerca degli assioni, ad oggi, non ha portato ad alcuna osservazione di queste particelle.
L'estrema elusività rende dicile la loro osservazione in fenomeni di interazione con le particelle
ordinarie. Malgrado questo grosso problema, l'esistenza degli assioni non può essere esclusa sulla
base delle attuali osservazioni sperimentali. La maniera più semplice per la loro rivelazione passa
attraverso il fenomeno del mixing con i fotoni in presenza di campi magnetici esterni, [35]. Lo
studio di questo accoppiamento ha permesso di imporre interessanti limiti alle grandezze che
caratterizzano queste particelle.
Gli esperimenti per la rivelazione di assioni (e in generale di
ALPs) si basano quindi sui due fenomeni che caratterizzano il mixing con fotoni: oscillazioni
ALPs-fotoni e cambio di polarizzazione dei fotoni dovuto ad un background assionico. In questa
sezione descriveremo i più importanti esperimenti condotti sugli assioni e i limiti imposti sulla
costante di accoppiamento e sulla massa. Fondamentalmente gli esperimenti sugli assioni sono
dei seguenti tipi: gli esperimenti in laboratorio, che sono basati generalmente sullo studio di fasci
laser in una regione di campo magnetico esterno, e gli esperimenti astrosici e cosmologici. Gli
esperimenti astrosici e cosmologici sono eettivamente quelli che ci danno più informazioni sui
23
Figura 1.2:
Limiti su massa e accoppiamento degli assioni.
Alcuni degli esperimenti citati
verranno descritti nel testo.
limiti a queste particelle. Tali esperimenti tentano di osservare assioni e fotoni provenienti da
oggetti astrosici (stelle, supernovae, ect) e cosmologici (universo primordiare, cluster di galassie,
etc). Gli esperimenti cosmologici sono di importanza cruciale anche perchè l'assione è uno dei
possibili candidati per risolvere il problema della materia oscura.
L'assione del modello originale di Peccei e Quinn è stato escluso quasi successivamente la
formulazione della teoria. Gli studi dei decadimenti dei quarkonia pesanti, delle diseccitazioni
nucleari e degli esperimenti ai reattori non hanno osservato evidenze di accoppiamento di assioni
a fermioni, e hanno imposto limiti alla scala di rottura
escude completamente assioni con
fa ∼ EEW
fa & 104
e con masse
ma ∼ 103 ÷ 104
limiti provenienti da queste osservazioni sono indicati come
La regione
Telescope
GeV, [36, 37, 38]. Questo limite
eV. Nella gura 1.2 i
Laboratory.
pone dei limiti superiori alla conversione di assioni (di Cold Dark
Matter) in fotoni, da studi sulla luce extragalattica (EBL) e sulla luminosità delle galassie,
[39].
In realtà recenti simulazioni sulle conversioni in cluster di galassie hanno permesso di
evidenziare che una possibile spiegazione all'eccesso di raggi X provenienti da questi oggetti può
essere inquadrata nell'ambito di assioni relativistici (radiazione oscura), con masse e costanti di
accoppiamento molto soppresse, [29, 30, 40]. Di questo ci occuperemo successivamente in questo
lavoro, partendo da ipotesi dierenti.
L'esperimento ADMX (Axion Dark Matter eXperiment) ha l'intento di osservare conversioni
di assioni e ALPs di materia oscura (nell'alone della nostra galassia) in fotoni nella banda delle
24
micro-onde.
Tale ricerca viene fatta tramite l'uso di cavità risonanti dette
haloscopi.
Gli
haloscopi sono cavità risonanti di alta qualità, in grado di variare la frequenza di risonanza.
Le cavità sono permeate da un forte campo magnetico statico di circa
8
Tesla.
Quando la
frequenza della cavità è regolata sulla massa degli assioni, l'interazione degli assioni nell'alone
della nostra galassia con il campo magnetico della cavità diventa massima. La conversione di
queste particelle nella cavità genera un picco di energia nello spettro di frequenza nell'intorno
della massa dell'assione. Un potente ricevitore di micro-onde permette di estrarre il segnale dal
rumore di fondo. ADMX è stato costruito per sondare regioni di massa intorno a
1.9 − 3.5µeV
e
non ha osservato segnali riconducibili a queste particelle, [41]. Allo stato attuale ADMX è in fase
aggiornamento in modo da poter estendere le osservazioni a tutta la regione di massa possibile
per assioni di materia oscura (tipicamente tra
1µeV
e
10µeV).
Un esempio importante di esperimento in laboratorio è PVLAS (Polarizzazione del Vuoto
con LASer), ideato nei laboratori INFN di Legnano. Lo scopo generale di questo esperimento
è l'osservazione di eetti non lineari in fasci monocromatici di onde elettromagnetiche. Gli effetti non lineari sono descritti dalle correzioni radiative (diagrammi a loop) nella QED. Questi
eetti, tra le altre cose, possono portare a variazioni nello stato di polarizzazione dell'onda elettromagnetica in presenza di un campo magnetico esterno. Ora poichè lo scopo fondamentale di
PVLAS è l'osservazione di cambi di polarizzazione, in linea di principio questi eetti potrebbero
essere anche dovuti all'accoppiamento dei fotoni a particelle scalari o pseudoscalari. L'apparato
è costituito da una cavità provvista di un ellissomentro molto sensibile a cambi di polarizzazione, immersa in un campo magnetico di
5
Tesla.
All'interno della cavità viene inviato un
fascio laser monocromatico e perfettamente polarizzato che percorre l'intera cavità (di 1 metro
circa). La presenza del campo magnetico esterno può innescare eetti (dovuti a diverse cause) di
cambio di polarizzazione del fascio iniziale. Durante la presa dati dal 2000 al 2005, PVLAS ha
eettivamente osservato una polarizzazione ellittica e una rotazione in fasci inizialmente polarizzati linearmente. Queste osservazioni sembrano essere in contrasto con la polarizzazione dovuta
agli eetti non lineari di QED. I dati sembrerebbero invece in favore di un eetto di cambio
di polarizzazione dovuto all'accoppiamento dei fotoni a particelle scalari (o pseudoscalari). Tali
ma ∼ 1 meV e
−1
−5
× 10 GeV , [42]. Queste osservazioni vennero smentite dall'esperimento CAST, che
risultati impongono una massa e una costante di accoppiamento delle dimensioni:
gaγγ ∼
1
4
pose dei limiti stringenti alla massa e alla costande d'accoppiamento. Questi limiti tagliano fuori
i valori trovati da PVLAS. Eettivamente, misure successive in PVLAS smentirono la presenza di
rotazioni nella polarizzazione dei fasci e attribuirono il segnale trovato precendentemente a errori
degli strumenti. Attualmente un prototipo dell'esperimento PVLAS è in fase di perfezionamento
nell'università di Ferrara. I limiti imposti da PVLAS sono contenuti in
1.3.
25
Laser exps.
nella gura
Figura 1.3: Limiti su massa e accoppiamento degli ALPs. Alcuni degli esperimenti citati verranno
descritti nel testo.
Di notevole importanza sono i limiti imposti dalle osservazioni delle stelle. Le stelle sono una
potenziale sorgente di ogni tipo particelle, anche particelle estremamente elusive come neutrini
e assioni. Il meccanismo di generazione di assioni è basato sull'eetto Primako,
N + a.
γ+N → γ+
Un fotone molto energetico nel core della stella interagisce con il campo elettromagnetico
degli ioni presenti generando assioni. Se le stelle emettono assioni, i ussi di queste particelle
non possono essere osservati direttamente. Essendo poco interagenti, gli assioni generati dalle
stelle verrebbero praticamente tutti espulsi da esse, comportando perdite di energia. Se il usso
di assioni che fuoriesce fosse cospicuo, le proprietà delle stelle cambierebbero sostanzialmente
rispetto a quanto postulato dalle teorie standard sull'evoluzione stellare.
Da studi su questi
eetti, sono stati ottenuti alcuni limiti superiori sull'accoppiamento degli assioni ai fotoni, [43].
Per esempio l'osservazione delle stelle HB (Horizontal Branch, stadio evolutivo che segue lo stadio
di Gigante Rossa, per stelle con masse simili al Sole) in cluster globulari, ha portato al seguente
26
γ
a
←−−
B
Figura 1.4: Eetto Primako.
limite
gaγγ . 10−10
GeV
−1
.
(1.50)
Sotto questi limiti sarebbe permesso un fenomeno di mixing all'interno di queste stelle, che
genererebbe ussi molto bassi di assioni, tanto da non comprometterne drammaticamente l'evoluzione.
Altri limiti fondamentali derivano dallo studio delle supernovae. Il meccanismo di esplosione
di supernovae si innesca per stelle con masse superiori a
8
M . In queste stelle i meccanismi di
fusione portano alla formazione di nuclei via via più pesanti. La sintesi dei nuclei si ferma intorno
56
al picco del 26Fe , che ha la più alta energia di legame per nucleone. Questi nuclei pesanti vanno
a costituire il core di ferro della stella. A questo punto il meccanismo di fusione si blocca nel
core, poichè si è raggiunto il picco del ferro, mentre continua negli strati superiori, accrescendo
sempre di più la massa del core. In questa fase la pressione di radiazione non è più in grado di
sostenere la forza gravitazionale della massa del core, e l'equilibrio idrostatico viene rotto. Come
conseguenza si ha che il core di ferro collassa su se stesso. Il collasso continua no a quando la
densità non raggiunge il valore della densità nucleare. Il collasso quindi si blocca poichè i nucleoni
impacchettati in volumi sempre più piccoli cominciano a risentire della repulsione nucleare, e il
rimbalzo produce un'onda shock di pressione che espelle via gli strati più esterni. Nella fase di
collasso vengono favorite reazioni di decadimenti
β
inverso,
e− + p → n + νe ,
che portano alla
formazione di una stella di neutroni e arricchiscono il numero di neutrini. Nelle supernovae, gli
assioni potrebbero essere generati da interazioni tra nucleoni
N + N → N + N + a.
Quindi
parte dell'energia della supernova potrebbe essere portata via dal core sotto forma di assioni.
Poichè queste particelle hanno sicuramente accoppiamenti più deboli dei neutrini, i processi di
perdita d'energia del core della stella sotto forma di assioni costituirebbero un canale più ecente
di rilascio di energia rispetto ai neutrini (che nelle supernovae sorono la diusione).
Questo
fenomeno generebbe una diminuzione nella durata del burst di neutrini osservati rispetto a quanto
postulato nelle teorie standard, [43]. Le osservazioni sperimentali sulla supernova SN 1987A sono
27
in buon accordo con una teoria standard di supernova, che non contiene assioni. Anche in questo
caso sono stati ottenuti alcuni limiti sulla costante di accoppiamento e sulla massa (
SN 1987A
in gura 1.2).
Uno dei più importanti esperimenti è quello della ricerca di assioni provenienti dal Sole. Le
ricerche sugli assioni del Sole iniziarono circa vent'anni fà, quando i laboratori di Brookhaven
puntarono per la prima volta un telescopio (chiamato elioscopio) sul Sole. Gli assioni verrebbero
generati nel core del Sole per eetto Primako. Essendo poco interaggenti con la materia ordinaria, una volta generate, queste particelle attraverserebbero tutti gli strati solari e uscirebbero
dal Sole pressochè imperturbate. L'idea dell'esperimento, proposta da Pierre Sikivie, era quella di produrre un eetto Primako inverso, in cui gli assioni provenienti dal Sole, entranti nel
telescopio, venissero ritrasformati in fotoni in presenza di un forte campo magnetico. Il campo
magnetico è diretto trasversalmente alla direzione di propagazione del fascio di assioni. Questo
poichè è la parte trasversa del campo alla direzione del moto a generare l'accoppiamento (si veda
la sezione precedente).
L'esperimento CAST (Cern Axion Search Telescope) si basa proprio su questa idea.
Esso
consiste fondamentalmente di un telescopio (elioscopio) puntato in direzione del Sole (chiuso da
entrambe le estremità per ridurre al minimo il background di fotoni) di lunghezza circa
27 metri.
◦
L'elioscopio è montato su una piattaforma in grado di movimenti verticali di ±8 e orizzontali
di
±40◦ .
All'interno di esso è generato un campo magnetico di
9
Tesla. In entrambi i lati del
magnete sono montati detector in grado di rivelare la presenza di fotoni all'interno del tubo
dell'elioscopio. Le osservazioni del Sole sono fatte all'alba e al tramonto, mentre nel resto della
giornata vengono fatte misure del rumore di fondo. L'esperimento CAST prevede diverse fasi di
rivelazione. La prima fase, durata dal 2003 al 2004, si è conclusa senza osservazioni di segnali
interessanti sopra il fondo. Questa fase ha permesso di ssare un limite superiore alla costante
di accoppiamento ai fotoni,
gaγγ ≤ 8.8 × 10−11
GeV
−1
, [44].
Molti limiti descritti sopra, valgono sia per assioni sia per ALPs, perchè si basano sulle osservazioni di accoppiamenti a fotoni. Quindi questi esperimenti tentano di osservare una qualsiasi
specie di particelle scalare o pseudoscalare con accoppiamento ai fotoni. Gli ALPs hanno una
fenomenologia molto più ricca rispetto agli assioni di Peccei-Quinn, e quindi hanno una maggiore
probabilità di essere osservati negli esperimenti. Infatti nella gura 1.3, osserviamo che i modelli
Axion models) possono giacere solo nella striscia (in giallo nella gura) che tiene con-
assionici (
to della dipendenza della massa dalla scala di rottura, equazione (1.5). Mentre gli ALPs hanno
uno spazio dei paramentri molto più ampio, poichè in generale la costante di accoppiamento e la
massa non sono correlate.
Negli ultimi anni, vari scenari legati agli ALPs sono stati postulati. Questi scenari permettono di spiegare con il meccanismo di mixing fotone-ALP, alcune osservazioni sperimentali che
28
sembrano essere in disaccordo con le teorie standard. Uno dei più importanti è lo scenario DARMA, [45]. I blazar (particolari nuclei galattici attivi) sono le più lontane sorgenti di raggi gamma
no ad ora osservate. Queste sorgenti emettono fotoni molto energetici, chiamati fotoni VHE
(Very Hight Energy, fotoni con energia superiore a 100 GeV). Il problema fondamentale dello
studio di queste sorgenti è legato al fatto che il libero cammino medio dei fotoni VHE è limitato
dall'interazione con il fondo diuso di luce extragalattica (EBL). I fotoni VHE interagiscono con
l'EBL tramite processi di produzione di coppie
γV HE + γEBL → e+ e− .
Ne deriva che la radiazio-
ne VHE emessa da questi oggetti lontani arriverebbe sulla Terra molto diminuita o addirittura
non perverrebbe aatto (a seconda della distanza).
Si dice che l'universo è opaco rispetto a
questa banda di energia. In realtà, studi sullo spettro dei raggi gamma provenienti da blazar
lontani mostrano un eccesso inaspettato di fotoni molto energetici. Una possibile spiegazione per
questo fenomeno è fornita dallo scenario DARMA. Infatti, l'assorbimento dei fotoni VHE può
essere sensibilmente ridotto (e quindi avere una maggiore trasparenza dell'universo) se teniamo
di conto il meccanismo di mixing con ALPs. Un fotone VHE emesso dal blazar lontano può essere
convertito in ALP nel campo magnetico del blazar. Una volta convertito, l'ALP, avendo interazioni molto deboli con la materia, si propaga praticamente imperturbato nell'universo. Arrivato
nella nostra galassia può essere riconvertito in fotone nel campo magnetico galattico. In questo
modo può essere rivelato dagli strumenti ottici. Questo scenario potrebbe spiegare in maniera
interessante l'eccesso osservato di fotoni VHE, se la massa e la costante di accoppiamento degli
ALPs è intorno a
ma ∼ 10−8 ÷ 10−9
eV e
gaγγ ∼ 10−11
per spiegare questo fenomeno sono indicati come
GeV
−1
. Nella gura 1.3, i valori permessi
ALP hints.
In alternativa il fenomeno di
mixing potrebbe avvenire nei campi magnetici extragalattici (e non nel campo galattico), [46].
Nei prossimi capitoli studieremo un altro fenomeno che potrebbe portare a interessanti limiti sulle grandezze che caratterizzano gli ALPs e che potrebbe in futuro essere una fonte di
osservazione di queste particelle così elusive.
29
Capitolo 2
ALPs come Radiazione Oscura
La cosmologia standard inizia con uno stato di inazione. Durante questo periodo la densità dell'universo è dominata dall'energia di un campo scalare, detto
inatone, che discende lentamente
un potenziale verso il minimo. Ad un certo istante l'inazione nisce e l'energia del campo scalare
viene convertita nei gradi di libertà del Modello Standard, che subito termalizzano ad una temperatura
Treheat ,
detta
temperatura di riscaldamento.
Lo spettro delle particelle termalizzate
nell'universo primordiale è regolato dalla distribuzione di Boltzmann.
termalizzate con energia
E Treheat
Particelle relativistiche
sono fortemente soppresse da questa distribuzione.
uniche particelle termalizzate con energia
E Treheat
Le
devono essere non relativistiche. Limiti
fondamentali allo scenario proposto dalla cosmologia standard derivano dallo studio del numero
eettivo di famiglie di neutrini
Nef f ,
che viene misurato al tempo della nucleosintesi del Big
Bang (BBN) e al tempo della formazione della radiazione cosmica di fondo (CMB). Come vedremo successivamente in dettaglio, al tempo della BBN e della CMB, l'universo (nella cosmologia
standard) è dominato dall'energia dei fotoni e dei neutrini
ρrad = ργ + ρν = ργ
7
1+
8
4
11
!
4/3
Nef f
.
(2.1)
In realtà l'equazione precedente può essere generalizzata a teorie oltre il Modello Standard. In
questo caso
Nef f
può essere considerato come la frazione di energia che non è sotto forma di
fotoni (ma in principio è sotto forma di qualsiasi altro tipo di particella:
neutrini, particelle
esotiche, SUSY etc).
Nell'ambito della cosmologia standard il campo inatonico decade solo nelle particelle del
Modello Standard. L'universo al tempo della formazione della CMB è quindi dominato dai soli
neutrini e fotoni. Deniamo
Nef f,SM
il numero eettivo previsto da questo modello (Modello
Standard). Questo parametro è stimato teoricamente essere
30
Nef f,SM = 3.046
(al tempo della
formazione della CMB), poichè c'è una parziale rigenerazione di neutrini da processi di annichilazione
e+ e− .
Le osservazioni sperimentali permettono di stabilire il valore del parametro
Nef f
nell'equazione (2.1) e quanto esso sia in accordo con il valore previsto dal Modello Standard
Nef f,SM .
Se le osservazioni sperimentali predicono un valore
Nef f > Nef f,SM
allora la densità
dell'universo (2.1) sarà caratterizzata non solo da neutrini e fotoni ma anche da un'altro tipo
di radiazione nascosta (costituita da particelle non standard), che denominiamo
oscura.
Le recenti osservazioni sperimentali provenienti da WMAP, ACT, SPT e Planck, danno
la seguente stima di questo paramentro:
(STP, [8]),
Nef f = 3.50 ± 0.42
Nef f = 3.84 ± 0.40
(ATC, [9]) e
(WPMA9, [7]),
Nef f = 3.62 ± 0.25
seppur ancora non conclusivi, mostrano uno scostamento positivo
da
radiazione
Nef f,SM
Nef f = 3.71 ± 0.35
1 Questi valori,
(Planck, [10]).
∆Nef f = Nef f − Nef f,SM > 0
previsto dal Modello Standard, quindi sarebbero in favore dell'esistenza di radiazione
oscura.
Esistono teorie alternative alla cosmologia standard che ci permettono di risolvere il problema
della radiazione oscura. Nel contesto dei modelli di stringa, per esempio, il meccanismo postinazionario di riscaldamento è condotto da campi scalari reali detti
−1
particelle hanno accoppiamenti soppressi di un fattore MP l , dove
MP l
moduli,
Φ [22]. Queste
√
= 1/ 8πG è la massa di
Planck ridotta. I moduli non interagiscono solo con il settore di Modello Standard, ma hanno
accoppiamenti molto più generali e possono decadere in due assioni di Peccei-Quinn o in due
ALPs tramite processi
Φ → aa.
Gli assioni così generati, avendo interazioni molto soppresse con
la materia ordinaria, non riuscirebbero a termalizzare e rimarrebbero relativistici al tempo della BBN e al tempo della formazione della CMB. Queste particelle relativistiche costituirebbero
un fondo di radiazione nascosta nell'universo e sarebbero quindi possibili candidati a costituire radiazione oscura. Notiamo che queste particelle possono avere
E Treheat ,
infatti non
termalizzando, non obbediscono alla distribuzione di Boltzmann.
Poichè gli ALPs hanno interazioni trascurabili con il fondo, il usso di radiazione oscura, generato nell'universo primordiale, rimarrebbe pressocchè immutato anche all'era attuale, risentendo
solo dell'espansione dell'universo. Questo fa si che, in linea di principio, potremmo osservare ancora oggi questo fondo di radiazione oscura generato dopo l'inazione. L'eventuale osservazione
sperimentale di radiazione oscura ci darebbe quindi un'immagine dell'universo al tempo della
formazione di questa radiazione,
t ∼ 10−6 s
dopo il Big Bang. Le attuali informazioni dell'uni-
verso primordiale sono ottenute prevalentemente dallo studio della radiazione di fondo (CMB),
che ci dà una immagine dell'universo a tempi della formazione della CMB,
1
t ∼ 3 · 105
anni dopo
68% di condenza. I valori precedenti sono stati ottenuti includendo la misura diretta
H0 = (73.8 ± 2.4) km s−1 Mpc−1 dall'esperimento HST (Hubble Space Telescope), [11].
Tutte le misure sono al
della costante di Hubble
Questo poichè il t dei valori sperimentali ottenuti da Planck con il modello cosmologico standard danno un valore
−1
−1
di H0 ' (67.3 ± 1.2) km s
Mpc
, che è più basso di 2 ÷ 3σ rispetto ai valori ottenuti dalle misure dirette, [11].
Descriveremo successivamente queste discrepanze.
31
il Big Bang. Risulta quindi chiaro l'impatto che avrebbe sulle nostre conoscenze dell'universo,
l'osservazione di questo fondo di radiazione oscura. In analogia alla CMB, chiameremo il fondo
oscuro di assioni e ALPs come
CAB (Cosmic Axion Background).
Nel presente capitolo studieremo in dettaglio la radiazione oscura dovuta ad ALPs.
Deri-
veremo le equazioni di evoluzione degli ALPs in un universo in espansione, dall'istante della
loro generazione dai moduli sino all'era attuale. Il nostro scopo sarà quello di trovare lo spettro
del fondo di radiazione oscura all'era attuale.
Prima di cominciare la nostra trattazione sulla
CAB, descriviamo brevemente i risultati dell'esperimento Planck che hanno portato a postulare
la presenza di questa radiazione oscura.
2.1
Risultati dell'esperimento Planck
La scoperta della CMB fu la prima eettiva evidenza di un universo in espansione (cosmologia
del Big Bang). L'estrema isotropia di questa radiazione è una conferma molto interessante del
principio cosmologico.
In realtà le osservazioni sperimentali hanno individuato la presenza di
deboli anisotropie nella CMB. Queste anisotropie sono necessarie per spiegare le strutture che
oggi osserviamo nell'universo (galassie, cluster, etc) e sono collegate a piccole perturbazioni nella
metrica di Friedmann-Robertson-Walker (la cui evoluzione è descritta dalla Relatività Generale).
Le anisotropie della CMB sono largamente riconosciute come la più importante evidenza di sica
dell'universo primordiale e il più importante studio sulla Cosmologia.
Infatti lo spettro delle
anisotropie dipende dai parametri cosmologici e permette di fornire interessanti limiti su di essi.
L'esperimento Planck è la terza generazione di missioni spaziali intente a misurare le anisotropie della CMB. Ricordiamo che prima di esso, gli altri due esperimenti in questo settore sono
stati COBE e WMAP. L'esperimento Planck ha come scopo fondamentale quello di misurare le
anisotropie di temperatura e di polarizzazione della CMB su tutto il cielo. I dati relativi alle
anisotropie vengono ttati con gli attuali modelli standard sulla cosmologia, per ottenere i valori
dei parametri cosmologici. La cosmologia standard è basata sul modello
ΛCDM.
Questo model-
lo descrive un universo spazialmente piatto e in espansione accelerata, dominato dalla materia
oscura fredda (Cold Dark Matter, CDM) e da una costante cosmologica (Λ) a tempi successivi.
Il modello
ΛCDM
è caratterizzato da
6
parametri cosmologici chiave: densità di barioni all'e-
ra attuale (Ωb ), densità della CDM all'era attuale (Ωc ), profondità ottica dei fotoni di CMB
(τthom ), ampiezza delle uttuazioni scalari (As ) e indice spettrale (ns ).
Ad essi sono collega-
ti altri parametri derivati. Pur essendo relativamente semplice, questo modello ha riscosso un
grande successo, grazie al fatto che ad ora sembra descrivere in maniera accurata le osservazioni
sperimentali (non solo provenienti dalla CMB, ma anche osservazioni relative a supernovae, a
cluster di galassie etc). Tuttavia il modello
ΛCDM
32
non può essere considerato un modello de-
nitivo della descrizione dell'universo. Infatti alcune anomalie nello spettro della CMB e alcuni
valori dei parametri cosmologici sembrano dare indizzi in direzione di Nuova Fisica. Un indizio di
esistenza di nuova fenomenologia è dato dalla misura del numero eettivo di famiglie di neutrini
(Nef f ). Come abbiamo già detto, questo parametro è collegato alla densità d'energia di particelle relativistiche che non sono fotoni. In linea di principio questa energia può trovarsi sotto
forma di neutrini e di qualsiasi altra specie di particelle esotiche. Nella fenomenologia standard
Nef f,SM = 3.046.
Tuttavia le misure di anisotropia della CMB sembrano preferire valori del
numero di famiglie
Nef f > Nef f,SM .
Questi risultati potrebbero essere una prova dell'esistenza
di una forma di radiazione nascosta (radiazione oscura), costituita da particelle non standard.
La presenza di radiazione oscura potrebbe inoltre inuenzare le oscillazioni acustiche barioniche
(BAO). Basandosi sui soli dati relativi a CMB e BAO, il valore di
Nef f
trovato dall'esperimento
Planck è
Nef f = 3.30+0.54
−0.50
Questo valore è in accordo entro
1σ
(al 95%
con il valore
di condenza).
(2.2)
Nef f,SM = 3.046
previsto dalla cosmologia
standard, sebbene suggerisca la possibilità dell'esistenza di radiazione oscura. In realtà
fortemente correlato con la misura della costante di Hubble
costante di Hubble è
H0 ' (67.3 ± 1.2)
−1
km s
−1
Mpc
H0 .
Nef f
è
Il valore stimato da Planck sulla
. Questo valore dierisce di circa
2 ÷ 3σ
dal valore delle recenti misure dirette della costante di Hubble ad opera di HST (Hubble Space
Telescope), che danno un valore
H0 = (73.8 ± 2.4)
km s
−1
valore di HST per la costante di Hubble, allora il valore di
Nef f = 3.62+0.50
−0.48
(al 95%
−1
Mpc
Nef f
, [11].
Se teniamo conto del
diventa
di condenza).
(2.3)
In questo caso notiamo come il valore ottenuto del numero di famiglie di neutrini sia in disaccordo con il valore aspettato dalla teoria
solo entro
3σ .
Nef f,SM = 3.046.
I due valori sono infatti compatibili
Questi dati potrebbero essere in favore di una nuova forma di energia che pervade
l'universo. Questa energia sarebbe sotto forma di particelle relativistiche non standard. Bisogna
altresì riconoscere che queste osservazioni non sono conclusive e rappresentano una minima evidenza di questo fondo di radiazione nascosta. Osservazioni successive potrebbero fare maggiore
chiarezza su questo nuovo problema cosmologico.
2.2
Decadimento dei moduli e meccanismo di riscaldamento
Dopo il periodo di inazione, l'energia del campo inatonico in linea principio può essere trasferita a tutti i settori di particelle, standard e non (SUSY, assioni etc). Questa fase è detta di
riscaldamento. In realtà se il meccanismo di riscaldamento portasse ad un eccesso di particelle
33
non standard, allora ci aspetterremmo
Nef f Nef f,SM ,
in netto contrasto con quanto osser-
Nef f , tale eccesso è molto
−1
O(10 ). Eettivamente il meccanismo di riscaldamento
vato negli esperimenti. Infatti, pur essendoci un eccesso nel valore
piccolo,
∆Nef f = Nef f − Nef f,SM ∼
sembrerebbe generare prevalentemente il settore di Modello Standard, e solo una piccola parte
di energia verrebbe convertita in settori nascosti (radiazione oscura). Il problema dell'origine
della radiazione oscura è quindi intimamente collegato al meccanismo di riscaldamento. Questo
meccanismo trova una naturale spiegazione nei contesti di stringa. I moderni modelli cosmologici
di stringa sono intenti a risolvere due importanti problemi legati all'universo post-inazionario. Il
primo problema è comprendere come funziona il meccanismo di riscaldamento in toto (chiamato
CMP, Cosmological Moduli Problem, [22]). Il secondo problema è capire il perchè siano i gradi
di libertà del Modello Standard ad essere prevalentemente riscaldati.
La teoria di stringa contiene un certo numero di campi scalari reali con accoppiamenti soppressi dalla costante di Planck
MP l ,
che discendono naturalmente dalla complicata geometria
di Calabi-Yau. Tali campi vengono chiamati
moduli, Φ.
Durante l'inazione, ci si aspetta che
questi campi scalari acquistino VEVs. Una volta arrestatasi l'inazione, il meccanismo di disallineamento porta alla produzione di moduli. Poichè queste particelle hanno interazioni soppresse
dalla massa di Planck, allora il tasso di decadimento dei moduli
ΓΦ =
e la vita media
τΦ = 1/ΓΦ
∼ O(1)
è [47]
m3Φ
1
4π (MP l /k)2
(2.4)
di queste particelle è
τΦ =
dove k
Φ
4π MP2 l
2
3 ,
k mΦ
(2.5)
è una costante. I moduli avendo una costante di accoppiamento soppressa dalla
massa di Planck sarebbero le particelle a più lunga vita media. Inoltre essendo molto massive,
esse sono non relativistiche. Queste particelle vengono diluite come materia nell'espansione dell'universo. Ricordiamo che la densità di materia nell'universo scala come
la radiazione
ρr ∼
ρm ∼ R−3 ,
mentre per
R−4 , per cui l'universo post-inazionario tenderebbe ad essere dominato dalla
materia non relativistica con la vita media più lunga, cioè dai moduli. L'universo primordiale
attraverserebbe quindi una fase dominata dai moduli e sarebbero i decadimenti di essi a costituire l'eettivo meccanismo post-inazionario di riscaldamento. I moduli avendo accoppiamenti
gravitazionali, posso decadere democraticamente in tutti i settori possibili, standard e non. Se
non ci fossero limiti sulla massa dei moduli, l'universo tenderebbe ad essere dominato (a tutte
le ere) da queste particelle scalari, generando un ritardo nella fase di nucleosintesi primordiale
(BBN). Anchè questa teoria sia in accordo con le predizioni sulla BBN, la fase di riscaldamento
34
deve avvenire prima della nucleosintesi primordiale,
periore alla massa dei moduli,
il canale di decadimento
Treheat > O(1)
MeV. Ciò pone un limite su-
mΦ & 30 TeV. D'altra parte se mΦ & 2m3/2
Φ → ψ3/2 ψ3/2
(massa del gravitino),
è aperto. Il gravitino genera degli importanti problemi
cosmologici. Questa particella può decadere in fotoni, leptoni carichi o mesoni tanto energetici
da distruggere i nuclei di
4He e deuterio, stroncando la nucleosintesi. Questi problemi legati ai
moduli vanno sotto il nome di CMP, [22].
I modelli di stringa inglobano dierenti settori oltre al settore delle particelle standard. Il
problema è capire come mai solo il settore di Modello Standard viene generato dal meccanismo
di riscaldamento.
Di più le teorie di stringa contengono un gran numero di moduli,
O(100).
Quindi studiare tutti i possibili decadimenti di ognuno di essi e come interagiscono i vari canali
è pressochè impossibile. Fortunatamente esistono dei modelli in grado di evitare questo studio
e contemporaneamente risolvere i problemi cosmologici. Modelli di questo tipo sono detti LVS
(Large Volume Scenarios), [47].
Questi modelli generano una distinta gerarchia di masse dei
moduli e mostrano come eettivamente solo un tipo di moduli domini nel meccanismo di riscaldamento. Questo permette di eettuare uno studio interessante sui canali di decadimento di
questo tipo di moduli. Si può far vedere infatti che gli unici canali dominanti sono il decadimento
in assioni (di dierenti tipi: ALPs, assioni di PQ etc) e nei campi di Higgs (che generano i gradi di
libertà del Modello Standard), [47]. Non è di nostra competenza scendere nel dettaglio di questo
modello, poichè comporterebbe la chiamata in causa dell'intero impianto di stringa. Per il nostro
scopo siamo interessati solo ai due canali privilegiati di decadimento: canale assionico (CAB) e
canale del Modello Standard. Di più ci metteremo nella ipotesi più favorevole, supponendo che
il canale assionico sia costituito da decadimenti in soli ALPs. Questa ipotesi ci permette di avere
un più ampio spazio di parametri per la massa e la costante di accoppiamento rispetto ad altri
tipi di assioni.
Vediamo come avvengono questi decadimenti. Supponiamo per ora che tutti i moduli decadano simultaneamente al tempo
τΦ
τΦ , per cui tutta la radiazione oscura assionica è generata al tempo
(questa supposizione verrà poi eliminata successivamente). Prima dei decadimenti, l'universo
è dominato dai moduli. In un universo dominato dalla materia abbiamo che
tasso di espansione dell'universo al tempo del decadimento dei moduli
R ∼ t2/3 .
t = τΦ
è
Per cui il
Hdecay =
2
3τΦ .
Assumiamo che queste particelle decadano solo in ALPs e nel settore del Modello Standard.
Chiamiamo
Ba
la frazione di decadimenti in ALPs e naturalmente
dimenti nel Modello Standard.
generati al tempo
τΦ .
1 − Ba
la frazione di deca-
Possiamo calcolare la densità d'energia iniziale
ρa,in
di ALPs,
L'equazione di Friendman al tempo del decadimento è
2
Hdecay
=
1
ρΦ,decay
3MP2 l
35
(2.6)
dove
ρΦ,decay
è la densità d'energia dei moduli al momento del decadimento.
moduli che decade in ALPs è
Ba ,
per cui
ρa,in = Ba ρΦ,decay .
La frazione di
Dall'equazione (2.6) risulta che
2
ρa,in = 3MP2 l Ba Hdecay
.
La densità d'energia
ρSM,in
del Modello Standard al tempo
(2.7)
τΦ
, analogamente, è
2
ρSM,in = 3MP2 l (1 − Ba ) Hdecay
.
(2.8)
Le particelle del Modello Standard, appena generate, termalizzano immediatamente. Possiamo
quindi calcolare la temperatura di riscaldamento
Treheat
in cui si trova il bagno termico delle
particelle standard. Supponiamo che al tempo del riscaldamento il Modello Standard sia relativistico (ESM
mSM ),
per cui le particelle standard sono eettivamente a massa nulla. La
densità di energia per una generica specie di particelle termalizzate alla temperatura
generale,
∞
ρ(T ) =
T
p
n(p, T ) p2 + m2 dp,
è, in
(2.9)
0
con
p
modulo del tri-impluso e
n(p, T )
densità in numero delle particelle (descritta dalla distri-
buzione di Bose-Einstein per bosoni o di Fermi-Dirac per fermioni). In particolare per una specie
di particelle a massa nulla, l'equazione (2.9) prende la forma
∞
ρ(T ) = g
0
dove
g
4πp3
1
dp
3
(2π) exp(p/T ) ± 1
è la degenerazione negli stati di spin e
±
(2.10)
indica le diverse statistiche (Fermi-Dirac o
Bose-Einstein rispettivamente). Integrando, otteniamo che

g π2 T 4
30
ρ(T ) =
g 7 π2 T 4
,
(2.11)
7/8 di dierenza tra le due statistiche.
Per il Modello Standard, che
8
dove abbiamo evidenziato il
per bosoni
contiene sia specie bosoniche che fermioniche,
30
per fermioni
ρSM (T ) = ρbosoni (T ) + ρf ermioni (T ) =
π2
4
30 g∗ (T )T .
g∗ (T ) contiene tutte le possibili specie di particelle termalizzate del Modello Standard che possono
esistere alla temperatura
T,
g∗ (T )
π2
4
30 g∗ (Treheat )Treheat . Se
con le rispettive degenerazioni negli spin. Per questo motivo
è detto numero eettivo di specie. Al tempo del riscaldamento
36
ρSM,in =
confrontiamo questa relazione con l'equazione (2.8), possiamo ricavare
Treheat =
che, usando
Hdecay =
2
3τΦ e
τΦ =
90
2
M 2 (1 − Ba ) Hdecay
π 2 g∗ (Treheat ) P l
1/4
,
(2.12)
2
4π MP l
, diventa
k2 m3Φ
Treheat = k
2.2.1
Treheat
5 (1 − Ba )
2π 4 g∗ (Treheat )
1/4
3/2
mΦ
1/2
.
(2.13)
MP l
Numero eettivo di famiglie di neutrini
ρa (R)
Calcoliamo ora le densità d'energia
e
ρSM (R)
a tempi successivi al periodo di riscalda-
mento. L'interazione degli ALPs con il Modello Standard è fortemente soppressa. Ne deriva che
il rapporto tra il tasso di interazioni
rimane molto piccolo per ogni
Γa
e il tasso di espansione dell'universo
t, Γa /H 1.
˙
H(t) = R(t)/R(t)
Per questo motivo gli ALPs non termalizzano e
risenteno solo del redshift dovuto all'espansione dell'universo. La loro densità d'energia evolve
nel tempo con la dimensione dell'universo
ρa (R) = ρa,in
dove
Rin
Rin
R
4
,
(2.14)
è la cinematica cosmica al tempo del riscaldamento, quindi
ρa,in = ρa (Rin ).
Il Modello Standard, d'altra parte, è termalizzato. La condizione di equilibrio termico impone
che l'entropia in un volume comovente deve essere conservata durante l'espansione dell'universo,
s(T )R3 = costante,
con
s(T )
densità di entropia.
diamo che
Dalla prima legge della termodinamica in un volume
T d (s(T )V ) = d (ρ(T )V ) + p(T )dV
Eguagliando i coecenti in
dV
, dove
p(T )
V,
ricor-
è la pressione del gas termalizzato.
otteniamo
s(T ) =
Per un gas ultrarelativistico (radiazione)
ρ(T ) + p(T )
.
T
p(T ) = ρ(T )/3
s(T ) =
Per il Modello Standard,
(2.15)
sSM (T ) =
4 ρSM (T )
3
T
e quindi
4 ρ(T )
.
3 T
∝ g∗ (T )T 3 .
37
(2.16)
(2.17)
Ora poichè durante l'espansione
dell'universo
sSM (T )R3 ∝ g∗ (T )T 3 R3
è conservata, la densità di energia del Modello Standard
evolve come
ρSM (R) = ρSM,in
Il rapporto
ρa /ρSM
g∗ (Treheat )
g∗ (T )
1/3 Rin
R
4
.
(2.18)
a qualsiasi tempo successivo la rigenerazione sarà
ρa,in
ρa (R)
=
ρSM (R)
ρSM,in
A temperature sotto
g∗ (T )
g∗ (Treheat )
1/3
.
(2.19)
T ∼ 1010 K i neutrini non sono più in equilibrio termico con le altre particelle
standard e continuano la loro propagazione nell'universo pressocchè senza interagire con il fondo.
La temperatura a cui avviene questo fenomeno è detta di disaccoppiamento dei neutrini
La densità d'energia del Modello Standard alla temperatura
Tνdec
Tνdec .
sarà prevalentemente dovuta
ai fotoni, ai neutrini e agli elettroni e positroni
ρSM (Tνdec ) = g∗ (Tνdec )
π2 4
T
,
30 νdec
(2.20)
2
dove
g∗ (Tνdec ) = (|{z}
2 +
γ
7
43
7
(2 · 3) + (2 · 2)) = .
4
|8 {z }
|8 {z }
νe,µ,τ ,¯
νe,µ,τ
La densità d'energia degli ALPs alla temperatura
ρa (Tνdec ) =
Ora poichè
ρa,in /ρSM,in = Ba / (1 − Ba ),
ρa (Tνdec ) =
Moltiplichiamo per
7/16
forma
2
ρa,in
ρSM,in
Per costruire
Ba
1 − Ba
e+ e−
Tνdec
g∗ (Tνdec )
g∗ (Treheat )
(2.21)
è
1/3 43
4
π2 4
.
T
30 νdec
(2.22)
l'equazione precedente diventa
g∗ (Tνdec )
g∗ (Treheat )
1/3 43
4
π2 4
T
.
30 νdec
sia il numeratore che il denominatore.
7
π2 4
ρa (Tνdec ) =
(2 · ∆Nef f ) Tνdec
8
30
g∗ (Tνdec ) ricordiamo le seguenti polarizzazioni.
(2.23)
L'equazione (2.23) prende la
(2.24)
I fotoni hanno 2 stati di polarizzazione. I neutrini
sono di 3 avour, ciascuno con 2 stati di polarizzazione (neutrino left, antineutrino right), gli elettroni e positroni
hanno ciascuno due stati di polarizzazione, essendo particelle con spin
conto del fattore extra
7/8
dovuto alla statistica.
38
1/2.
Di più per i fermioni dobbiamo tener
dove abbiamo denito
∆Nef f ≡
43 Ba
7 1 − Ba
Spieghiamo il motivo di questa denizione.
g∗ (Tνdec )
g∗ (Treheat )
1/3
.
(2.25)
Dopo il disaccoppiamento dei neutrini, l'universo
primordiale attraversa una fase in cui elettroni e positroni (oramai non più relativistici) si annichilano e non vengono più rigenerati (poichè le temperature sono più basse del doppio della
massa dell'elettrone). L'universo si impoverisce di elettroni e positroni termalizzati, e la densità
d'energia del Modello Standard è dominata dai soli fotoni e dai neutrini. I neutrini non sono più
Tν sarà diversa da quella dei fotoni
1/3
(11/4) , [3]. Così in questo periodo
accoppiati alla materia, quindi la loro temperatura
T, Tν Tνdec ,
si può mostrare che
Nef f,SM
7
2+
8
ρSM (T ) =
con
T /Tν →
2 · Nef f,SM ·
4
11
4/3 !!
π2 4
T ,
30
T.
Per
(2.26)
numero eettivo di famiglie di neutrini previsto dalla cosmologia standard.
Nel
Modello Standard abbiamo evidenze di 3 famiglie di neutrini. In realtà dopo il disaccoppiamento
dei neutrini, il numero eettivo di famiglie è stimato teoricamente essere
Nef f,SM = 3.046, poichè
si tiene conto della generazione di neutrini da parte dei processi di annichilazione
La densità di energia degli ALPs
ρa (T ),
e+ e− → ν ν¯.
al tempo dell'annichilazione di elettroni e positroni, può
essere ricavata dalla (2.19). Dopo qualche passaggio algebrico, otteniamo
4/3 2
g∗ (T )
π 4
7
(2 · ∆Nef f )
T .
ρa (T ) =
8
g∗ (Tνdec )
30
Poichè
g∗ (T )
g∗ (Tνdec )
1/3
=
Tν
T
→
4 1/3
, allora
11
4/3 2
7
4
π 4
ρa (T ) =
(2 · ∆Nef f )
T .
8
11
30
La densità totale d'energia di radiazione, dovuta al Modello Standard e agli ALPs, è
ρSM (T ) + ρa (T ).
(2.28)
ρr (T ) =
Dalle equazioni (2.26) e (2.28) risulta
"
7
ρr (T ) = 2 +
8
dove
(2.27)
Nef f ≡ Nef f,SM +∆Nef f .
2 · Nef f ·
Ricordiamo che
di neutrini nel Modello Standard e
∆Nef f
4
11
4/3 !#
π2 4
T ,
30
(2.29)
Nef f,SM = 3.046 è il numero eettivo di famiglie
rappresenta una deviazione del numero eettivo dal
valore del Modello standard dovuto alla presenza di radiazione oscura (nella fattispecie ALPs).
39
La ragione per cui la radiazione oscura è parametrizzata come numero extra di famiglie di neutrini
è puramente storica, in quanto sino a non molto tempo fà il numero di famiglie di neutrini non
era noto.
I calcoli precedenti mostrano in maniera completa come le misure del numero eettivo di
famiglie di neutrini
Nef f
potrebbero essere importanti prove dell'eettiva esistenza di radiazione
oscura. Le recenti osservazioni sperimentali provenienti da WMAP, ACT, SPT e Planck, danno
la seguente stima di questo paramentro:
(STP, [8]),
Nef f = 3.50 ± 0.42
Nef f = 3.84 ± 0.40
(ATC, [9]) e
(WPMA9, [7]),
Nef f = 3.62 ± 0.25
Nef f = 3.71 ± 0.35
(Planck, [10]).
Questi dati
potrebbero essere interpretati a favore dell'esistenza di una qualche forma di radiazione oscura.
Ovviamente questa non è una evidenza forte.
Deriveremo nel capitolo successivo una teoria delle oscillazione fotone-ALP per ALPs di radiazione oscura. Dal meccanismo di conversione di ALPs in fotoni, ci aspettiamo la presenza di un
fondo di raggi X nell'universo attuale. La possibile osservazione di questo fondo diuso potrebbe
essere una prova (ancora più forte della misura di
Nef f )
a favore dell'esistenza di radiazione
oscura assionica. Vedremo meglio i dettagli successivamente.
2.2.2
Esempio numerico
Nella nostra trattazione, per avere una stima numerica dei parametri in gioco nella teoria useremo
Nef f = 3.62. Per la massa dei
7
10 GeV e k = 1, [28, 47]. Sostituendo
il valore centrale dei risultati dell'esperimento Planck [10],
moduli, ci riferiremo a modelli con massa
mΦ ∼
106
÷
questi valori nelle equazioni precedenti, otteniamo una frazione di decadimenti in ALPs
Ba '
0.143, corrispondente a temperature di riscaldamento Treheat ∼ 1 GeV. Queste temperature sono
sucentemente alte da non creare problemi alla fase di BBN (che avviene a temperature del
MeV).
A temperature
gluoni, quark
Treheat ∼ 1 GeV, la densità di energia del Modello Standard è dominata da fotoni,
u, d, s,
leptoni
e, µ
e neutrini (tutti relativistici, come supposto precedentemente).
Infatti queste temperature sono troppo basse per generare i quark
Z 0 , il leptone
τ
0
e il bosone di Higgs H . Quindi
c, b, t,
i bosoni vettori



7
7
7
 = 61.75.
g∗ (Treheat ) = 
2
+
2
·
8
+
(2
·
3
·
3
·
2)
+
(2
·
2
·
2)
+
(2
·
3)
|{z}

|{z}
8
8
8
{z
} | {z } | {z }
γ
8 gluoni |
¯s
u,d,s,¯
u,d,¯
g∗ (Treheat )
e
g∗ (Treheat ) è 3

3
W±
e± ,µ±
(2.30)
νe,µ,τ ,¯
νe,µ,τ
è costituito dalla somma di: 2 polarizzazioni di spin del fotone; 2 polarizzazioni di spin degli
u, d, s e analoghe per gli
e, µ e analoghe per i positroni e le 6 polarizzazioni dei neutrini. Teniamo
7/8 in più rispetto ai bosoni, dovuto alla statistica dierente.
8 gluoni; 2 polarizzazioni di spin per ognuno dei possibili 3 stati di colore dei quark
antiquark; 2 polarizzazioni per i leptoni
conto che i fermioni hanno un fattore
40
2.3
Spettro degli ALPs dal decadimento dei moduli
Nella sezione precedente abbiamo supposto che i moduli decadessero tutti istantaneamente al
tempo
τΦ .
Ne deriva che gli ALPs sarebbero tutti generati al tempo
τΦ .
Abbiamo anche consi-
derato trascurabili le interazioni di queste particelle con il fondo. Gli ALPs, quindi, attraverserebbero l'universo pressocchè imperturbati e potremmo osservare un fondo di questa radiazione
all'era attuale. A quasiasi tempo successivo la generazione, queste particelle risentono solamente
dell'espansione dell'universo e le loro energie scalano tutte secondo la relazione
ρa (R) = ρa,in
Rin
R
4
,
(2.31)
2
ρa,in = 3MP2 l Ba Hdecay
.
(2.32)
con densità di energia al momento della generazione
In realtà la questione è più complicata di quanto no ad ora esposto. Le equazioni devono essere
modicate tenendo conto di due osservazioni.
In primo luogo i moduli non decadono tutti istantaneamente, ma gradualmente. Le energie degli
ALPs scalano in maniera diversa a seconda che queste particelle siano state generate da moduli
decaduti presto o tardi.
In secondo luogo, sebbene siano molto piccole, le interazioni con il fondo non sono totalmente
trascurabili, soprattuto se il numero di ALPs generati è sucientemente grande.
In questa sezione elimineremo solo l'ipotesi di decadimento istantaneo, nel capitolo successivo ci
occuperemo dell'interazione con il fondo e l'eventuale conversione in fotoni tramite meccanismo
di mixing.
2.3.1
Equazione di Boltzmann per gli ALPs
Costruiamo un modello più generale, che elimini l'ipotesi di decadimento istantaneo dei moduli.
Ricordiamo che gli ALPs vengono generati da processi di decadimento
Φ → aa
con tasso di reazione
ΓΦ→aa = Ba × ΓΦ ,
dove
ΓΦ =
(2.33)
3
mΦ
1
4π (MP l /k)2 .
La probabilità per unità di tempo che un modulo di quadri-impulso
41
P = (EΦ , P)
decada in due
a
p
→
−−
P
−−−−→
Φ
−− q
→
a
Figura 2.1: Decadimento di moduli in ALPs.
ALPs con impulso in
con
iT
[p, p + dp]
[q, q + dq]
rispettivamente, è
dΓΦ→aa =
1
|T |2 dP S2 (P )
2EΦ
e
elemento di matrice di scattering tra lo stato
Φ
(2.34)
iniziale e lo stato
a+a
nale e
dP S2
spazio delle fasi nali a 2 particelle
dP S2 (P ) = (2π)4 δ 4 (P − (p + q))
d3 p
d3 q
.
(2π)3 2p0 (2π)3 2q 0
(2.35)
Per calcolate il tasso di decadimenti in ALPs, integriamo l'equazione precedente (dobbiamo
tenere in conto del fattore di simmetria
1/2
identiche)
ΓΦ→aa
Confrontando questa equazione con
1
=
2
poichè lo stato nale è costituito da due particelle
dΓΦ→aa =
ΓΦ→aa = Ba × ΓΦ ,
|T |2
.
32πmΦ
(2.36)
otteniamo che
|T |2 = (32πmΦ ) Ba × ΓΦ .
(2.37)
Determiniamo ora l'evoluzione della densità di energia del gas di ALPs generato dal decadimento dei moduli. Dobbiamo tenere in conto che gli ALPs non termalizzano. Per questo motivo
usiamo il formalismo delle equazioni di Boltzmann per sistemi statistici fuori dallo stato d'equilibrio. Supponiamo di avere un sistema statistico generico di particelle elementari fuori dallo stato
di equilibrio. L'equazione di Boltzmann per la
k -esima
specie di particelle è
Lk (fk )(xµ , pµ ) = Ck (fk )(xµ , pµ )
dove
fk
è la funzione di distribuzione di probabilità per la
impulso delle particelle
k (dλs
k -esima
(2.38)
specie e
pµ ≡
dxµ
dλs quadri-
è il paramentro che caratterizza la world line della particella).
42
Ovviamente
pµ ha solo tre gradi di libertà, poichè soddisfa al vincolo di mass shell gµν pµ pν = m2 .
Deniamo il modulo quadro dell'impulso spaziale come
p2 ≡ −gij pi pj ,
(2.39)
pi
.
δij pi pj
(2.40)
e il vettore unitario come
pˆi ≡ p
Possiamo considerare la funzione di distribuzione di probabilità
Torniamo ora all'equazione (2.38).
Lk (fk )(xµ , p, pˆi ) =
Lk (fk )
è detta
f
dipendente da
parte di Liouville
p
e
pˆi .
e ha la forma
dfk (x, p)
dp ∂
∂fk (x, p) dxi ∂
dˆ
pi ∂
fk (x, p) +
fk (x, p).
=
+
fk (x, p) +
i
ds
∂t
ds ∂x
ds ∂p
ds ∂ pˆi
(2.41)
Se l'universo è spazialmente omogeneo e isotropo (principio cosmologico), allora la distribuzione
di probabilità è funzione solo del modulo
p
dell'impulso e del tempo cosmologico t,
fk = fk (p, t).
L'equazione (2.41) diviene
Lk (fk )(t, p) =
∂fk (x, p) dp ∂fk (x, p)
+
.
∂t
ds
∂p
Siamo interessati alla funzione di distribuzione di probabilità
fa (p, t) per gli ALPs.
(2.42)
Gli ALPs sono
generati ultrarelativistici, per cui la loro massa è trascurabile rispetto all'energia. La relazione
di mass shell è
gµν pµ pν = 0.
Nella metrica FRW con curvatura piatta,
ds2 = dt2 − R(t)2 dr2 + r2 dΩ2 ,
la relazione di mass shell implica
p0 = p.
Utilizzando l'equazione della geodetica per la compo-
nente temporale del quadri-impulso,
pµ pν
dp0
= −Γ0µν 0 ,
ds
p
e ricordando che nella metrica FRW
˙ ij
Γ0ij = RRδ
e
Γ000 = 0,
dp
R˙
= − p.
ds
R
43
(2.43)
otteniamo la seguente relazione
(2.44)
Sostituendo tutto, l'equazione (2.41) per gli ALPs acquista la forma
La (fa )(t, p) =
Ricordiamo che
∂fa (t, p) R˙ ∂fa (t, p)
− p
.
∂t
R
∂p
˙ .
H(t) = R/R
Ck (fk )
Nell'equazione (2.38),
interazioni tra la
k -esima
è la parte di interazione.
Essa racchiude tutte le possibili
specie e le altre specie nel gas in non equilibrio. Nel nostro caso, le
uniche interazioni degli ALPs sono quelle di creazione da moduli
moduli
aa → Φ.
(2.45)
Φ → aa
e di rigenerazione di
La rigenerazione è proibita dal redshift e quindi non sarà considerata. La parte
di interazione ha quindi la forma
Ca (fa )(t, p) =
1
2p
d3 P
d3 q
(2π)4 δ 4 (P − (p + q)) |T |2 [fΦ (P ) (1 + fa (p)) (1 + fa (q))] ,
3
(2π) 2EΦ (2π)3 2q
(2.46)
dove
fΦ
è la funzione di distribuzione di probabilità per i moduli e le altre variabili sono state
denite precedentemente. I termini
(1 + fa (p))
tengono conto che lo stato nale è costituito da
bosoni. Quindi la probabilità che un ALP occupi uno stato quantistico aumenta con il numero
di ALPs che occupano tale stato.
Sostituendo le equazioni (2.45) e (2.46) in (2.38), otteniamo l'equazione di Boltzmann per gli
ALPs generati nell'universo primordiale
=
1
2p
∂fa (t, p)
∂fa (t, p)
− Hp
=
∂t
∂p
d3 P
d3 q
(2π)4 δ 4 (P − (p + q)) |T |2 [fΦ (P ) (1 + fa (p)) (1 + fa (q))] .
3
(2π) 2EΦ (2π)3 2q
(2.47)
Per semplicità supponiamo che i moduli decadano da fermi. Sotto questa ipotesi, la funzione
di distribuzione di probabilità per i moduli può essere scritta come
fΦ (t, P ) = (2π)3 nΦ (t)δ 3 (P),
dove
nΦ (t)
è la densità spaziale di moduli.
nΦ (t)
(2.48)
soddisfa all'equazione di conservazione del
numero totale di particelle
n˙ Φ + 3HnΦ = −ΓΦ nΦ .
Gli ALPs sono quindi generati ciascuno con energia
44
mΦ /2
(2.49)
e diluiti ad energie più basse. Di
più supponiamo che
4
fa (p) = 0
per
p ≥ mΦ /2.
L'equazione (2.47) si modica come
∂fa (t, p)
∂fa (t, p)
1
1
− Hp
=
(2π) δ 0 (mΦ − 2p) |T |2 nΦ (t).
2
∂t
∂p
(2p) 2mΦ
(2.50)
Utilizzando l'equazione (2.37), dopo qualche passaggio algebrico, l'equazione precendente prende
la forma
mΦ ∂fa (t, p)
∂fa (t, p)
4π 2 − Hp
= 2 δ0 p −
ΓΦ Ba nΦ (t).
∂t
∂p
p
2
Moltiplichiamo ambo i membri dell'equazione per
l'
pd3 p/(2π)3 e integriamo.
(2.51)
Otteniamo quindi
equazione di evoluzione della densità di energia degli ALPs,
ρ˙ a + 4Hρa = ΓΦ Ba mΦ nΦ (t).
2.3.2
(2.52)
Spettro degli ALPs
Poichè i moduli decadono anche nei gradi di libertà del Modello Standard, possiamo allo stesso
modo trovare l'equazione di evoluzione della densità del Modello Standard (ricordiamo che la
frazione di decadimenti in questo caso è
1 − Ba )
ρ˙ SM + 4HρSM = ΓΦ (1 − Ba ) mΦ nΦ (t).
(2.53)
L'equazione precedente è calcolata nell'ipotesi che il Modello Standard sia costituito da particelle relativistiche. Come abbiamo visto nella sezione 2.2.2, la temperatura di riscaldamento è
Treheat ∼ 1
GeV. Ricordiamo che la transizione di fase di QCD nell'universo primordiale avviene
a temperature dell'ordine di
TQCD ∼ 150
MeV. Quindi durante il processo di riscaldamento dei
gradi di libertà del Modello Standard, può avvenire la transizione di QCD. Tale transizione comporta una variazione del numero eettivo di specie
g∗ (T ),
come si vede in gura 2.2 nella pagina
seguente. Ne consegue che anche l'equazione (2.53) dovrebbe tener conto di questa variazione nel
tempo. Vedremo però che le equazioni successive di interesse dipenderanno solo debolmente dal
numero eettivo di specie, tanto che possiamo considerare questo paramentro costante durante
tutto il periodo di decadimento dei moduli.
Sommiamo le due equazioni (2.52) e (2.53) e chiamiamo la densità totale di radiazione
ρSM + ρa ,
l'equazione di evoluzione per
ρr
sarà
ρ˙ r + 4Hρr = ΓΦ mΦ nΦ (t).
4
fa (p)
sia continua, allora nell'intorno
(2.54)
p = mΦ /2 è il limite massimo di energia con cui un ALP può essere
fa (p) deve necessariamente annullarsi. Siccome supponiamo
di p = mΦ /2 essa deve tendere a zero.
Questa supposizione è corretta poichè
generato, quindi per valori più grandi di tale limite
che
ρr =
45
Figura 2.2: Variazione del numero eettivo di specie
funzione della temperatura
T
g? (T )
di particelle del Modello Standard in
(da PDG [48]).
Durante questo periodo l'universo è quindi dominato dalla densità d'energia dei moduli che
stanno decadendo e dalla densità d'energia dei prodotti dei decadimenti (Modello Standard e
ALPs). L'equazione di Friedmann durante il periodo del decadimento dipende dalla somma di
queste due densità d'energia,
H(t)2 =
mΦ nΦ (t) + ρr (t)
.
3MP2 l
(2.55)
Per conoscere la densità d'energia degli ALPs in ogni istante successivo alla loro generazione dobbiamo quindi risolvere il sistema costituito dalle equazioni (2.49), (2.54), (2.55) che riscriviamo
per chiarezza


n˙ + 3HnΦ = −ΓΦ nΦ


 Φ
ρ˙ r + 4Hρr = ΓΦ mΦ nΦ



r (t)
H(t)2 = mΦ nΦ (t)+ρ
3M 2
.
(2.56)
Pl
Operiamo il seguente cambio di variabili
θ = ΓΦ t =
t
,
τΦ
nΦ
,
NΦ ζ 3
ρr
σ=
,
mΦ NΦ ζ 3
ν=
46
(2.57)
(2.58)
(2.59)
con
NΦ
ζ
numero iniziale di moduli in un volume comovente e
ζ=
1/3
3MP2 l
mΦ NΦ
−2/3
τΦ
denita come
.
(2.60)
Rideniamo anche la cinematica cosmica come
r(t) = ζR(t),
(2.61)
h(θ) ≡ r(θ)/r(θ)
˙
= τΦ H(t).
(2.62)
in questo modo
Con queste sostituzioni le equazioni del sistema (2.56) diventano indipendenti dai parametri sici



ν(θ)
˙
+ 3hν(θ) = −ν(θ)


σ(θ)
˙
+ 4hσ(θ) = ν(θ)



h(θ)2 = [ν(θ) + σ(θ)]
.
(2.63)
Facciamo una digressione sulle condizioni iniziali del sistema. Consideriamo come istante iniziale,
l'istante in cui inizia il processo di decadimento dei moduli. Per
Inoltre
NΦ ≡
R(0)3 n
radiazione, quindi
3
Φ (0), quindi ν(0)r(0)
ρr (0) = 0
4
e σ(0)r(0)
→ 1.
t → 0, supponiamo che R(t) → 0.
All'istante iniziale non è ancora stata generata
→ 0.
Tenendo conto di queste condizioni iniziali,
integriamo le prime due equazioni del sistema
−θ
ν(θ) =
1
r(θ)4
σ(θ) =
e
r(θ)3
θ
,
(2.64)
dξr(ξ)e−ξ .
(2.65)
0
Sostituiamo le due soluzioni nella terza equazione,
1 d
r(θ) =
r dθ
−θ
e
r3
1
+ 4
r
θ
−ξ
dξr(ξ)e
1/2
.
(2.66)
0
L'equazione può essere intergrata numericamente. In gura 2.3 nella pagina successiva è mostrato
l'andamento della soluzione
r(θ).
Ci aspettiamo che per
θ 1, la densità dei moduli sia maggiore
di quella della radiazione e conseguentemente l'universo è dominanto dalla materia
Per
θ 1,
r(θ) ∼ θ2/3 .
d'altra parte, i moduli sono quasi tutti decaduti e quindi l'universo è dominato dalla
radiazione (Modello Standard e ALPs)
r(θ) ∼ θ1/2 .
47
Figura 2.3:
Evoluzione della cinematica cosmica
r
in funzione di
θ,
nel caso di dominazione
dei moduli (rosso), di dominazione della radiazione (verde) e nel caso in cui tutte e due diano
contributo (blu). La curva blu è la soluzione dell'equazione (2.66).
Il termine
θ
0
dξr(ξ)e−ξ
satura un valore costante per
θD
−ξ
dξr(ξ)e
∞
'
0
θ ≥ θD ,
con
θD ∼ O(1).
Infatti,
dξr(ξ)e−ξ = 1.0867,
(2.67)
0
dove l'integrale è stato valutato numericamente. Chiamiamo
raggiuga un valore costante dell'integrale implica che per
η=
θ ≥ θD
∞
0
ρSM (θD ) = ζ 3 mΦ NΦ
(1 − Ba )
r(θD )4
θD
θ = θD
dξr(ξ)e−ξ ' ζ 3 mΦ NΦ
0
Tale densità evolverà nell'espansione dell'universo.
Il fatto che si
possiamo considerare decaduti
tutti i moduli. La densità di energia del Modello Standard per tempi
come
dξr(ξ)e−ξ .
può essere scritta
(1 − Ba )
η.
r(θD )4
(2.68)
Una parte di essa diventerà la densità in
energia della radiazione cosmica di fondo all'era attuale.
Dall'equazione (2.18) della sezione
precedente, operando semplici calcoli algebrici, otteniamo la relazione tra la densità di energia
della radiazione cosmica di fondo (CMB) al tempo attuale
Modello Standard
ρSM (θ)
a tempi
ργ (Tnow ) =
22
43
ργ (Tnow )
e la densità di energia del
θ = θD
11
4
1/3 g∗ (TD )
g∗ (Tνdec )
48
1/3
ζ −4 r4 (θD )ρSM (θD ),
(2.69)
dove
TD
è la temperatura del Modello Standard a tempi
il disaccoppiamento dei neutrini e
Tnow
θD , Tνdec
è la temperatura a cui avviene
è la temperatura della radiazione di fondo cosmica all'era
attuale. Abbiamo supposto che all'era attuale
R ≡ 1.
Il fattore
(22/43)
è la frazione di fotoni,
elettroni e positroni nel bagno termico di particelle standard dopo il disaccoppiamento dei neu-
11 1/3
tiene conto che per temperature T molto più basse della temperatura
4
1/3
1/3
νdec )
.
Tνdec vale la relazione g∗g(T
→ 11
4
∗ (T )
4
−51
Ricordando che ργ (Tnow ) ' 2 × 10
GeV [48], possiamo stimare numericamente il fattore
trini. Il fattore
ζ
dalla formula (2.69),
ζ = 1.226 × 1012 k
La temperatura
TD
m 3/2
Φ
PeV
(1 − Ba )1/4
può essere calcolata ricordando che
g∗ (TD )
61.75
ρSM (TD ) =
1/12
.
(2.70)
π2
4
30 g∗ (TD )TD , e confrontando
questa espressione con l'equazione (2.68),
1/4
TD = 114 (1 − Ba )
m 3/2 g (T ) −1/4
∗ D
Φ
r(θD )−1
k
PeV
61.75
MeV.
(2.71)
La questione è complicata dal fatto che la transizione di fase di QCD può avvenire durante
il decadimento, quindi se la temperatura
allora
g∗ (TD ) = 17.25,
TD > TQCD
allora
g∗ (TD ) = 61.75,
debole (contribuisce con potenza
ζ
Notiamo che da questa denizione discende che
alle variabili
∂t =
da
g∗ (TD )
è molto
1/12).
Torniamo all'equazione (2.51). Operiamo il seguente cambio di variabile,
(t, p)
TD < TQCD
come si può vedere nella gura 2.2 a pagina 46. In realtà questo è poco
importante in quanto dalla (2.70) si può osservare che la dipendenza di
dalle variabili
se
(r, ),
= pR(t) = pr(t)/ζ .
è l'energia degli ALPs all'era attuale.
Passando
ricordiamo che
∂r
∂
rh(θ) ∂r + ∂ =
∂r + ∂ ,
∂t
∂t
τΦ
r
(2.72)
∂r
∂
r
∂R +
∂ = ∂ .
∂p
∂p
ζ
(2.73)
∂p =
L'equazione (2.51) può quindi essere riscritta come
4π 2 1
∂
2
fa (r, ) =
δ r−ζ
Ba NΦ e−θ ,
∂r
3 h(θ)
mΦ
avendo tenuto conto della soluzione (2.64) per
(2.74)
nΦ .
Possiamo integrare l'equazione precedente in
49
r.
La densità in numero
na
degli ALPs è le-
gata alla funzione
fa
dalla relazione
dna = fa (p)d3 p/(2π)3 ,
quindi integrando l'equazione (2.74)
dna ()
2Ba NΦ −θ
=
e
,
d
h(θ )
(2.75)
otteniamo la seguente relazione
dove
θ
è la soluzione dell'equazione
r(θ ) = 2ζ/mΦ
(che deriva dal vincolo imposto dalla delta
nell'equazione (2.74)).
Dalla denizione di
segue che la densità in numero
na
nella formula (2.75) è la densità
all'era attuale del fondo di ALPs. Questa relazione è la stessa trovata da J.P. Conlon e M.C.D.
Marsh in [29]. Integrando l'equazione (2.75) otteniamo la densità totale in numero all'era attuale
∞
na =
0
dna
d = 2Ba NΦ ,
d
(2.76)
che eettivamente è quello che ci aspettavamo in quanto ogni modulo decade in due ALPs.
Possiamo anche calcolare la densità totale in energia
∞
ρa =
0
dna
η
d = Ba NΦ mΦ .
d
ζ
(2.77)
Deniamo l'energia media degli ALPs all'era attuale,
ρa
η
1
= mΦ ,
na
2
ζ
¯ ≡
(2.78)
che numericamente acquista la forma
¯ = 440
Possiamo riscrivere
na
−1
k
m −1/2
Φ
PeV
−1/4
(1 − Ba )
come
na =
g∗ (θD )
61.75
−1/12
eV.
(2.79)
ρa
.
¯
(2.80)
Ricordando che la densità d'energia degli ALPs all'era attuale è legata alla densità dei fotoni
della CMB dalla relazione (2.27), che possiamo riscrivere come
7
ρa =
8
4
11
1/3
∆Nef f ργ (Tnow ),
sostituendo le equazioni (2.68),(2.69) e (2.70), otteniamo per
1/4
na = 130 (1 − Ba )
k
g∗ (TD )
61.75
50
1/12 na
(2.81)
la seguente stima numerica
mΦ 1/2
PeV
∆Nef f
−3
m
.
(2.82)
Figura 2.4: Graco della funzione
L'equazione (2.75) può essere riscritta in funzione di
S(r).
na ,
−θ
dna ()
e = na
.
d
h(θ )
Possiamo denire la funzione
S(r)
(2.83)
(indipendente dai parametri sici)
−θ(r)
S(r) ≡
e
rh(r)
.
(2.84)
Questa funzione può essere calcolata numericamente a partire dalla soluzione
(2.66). In gura 2.4 è mostrato l'andamento di
r(θ) dell'equazione
S(r).
Il usso di ALPs all'era attuale è ottunuto a partire dalla (2.83),
dJa
η η = Ja S
,
d
¯
¯
dove
Ja =
na c
1
4 è il usso totale di ALPs. Il fattore 4 tiene conto che il usso è diuso in tutto
l'angolo solido.
paramentri
(2.85)
Il usso totale
∆Nef f ,
k,
Ba
e
Ja
g∗ (TD ),
è legato alla densità totale
na
che a sua volta dipende dai
vedi formula (2.82). Il numero eettivo di specie
g∗ (TD )
dà
un contributo irrilevante e può essere trascurato. Per gli altri parametri, possiamo usare le stime
fatte nella sezione 2.2.2, che riportiamo per chiarezza
∆Nef f = 0.574,
51
(2.86)
Figura 2.5: Flusso di ALPs all'era attuale in funzione dell'energia. Il picco di energia varia a
seconda del valore di
mΦ ,
nel nostro caso
mΦ ' 5 × 106
k
GeV.
= 1,
(2.87)
Ba = 0.143.
(2.88)
Tenendo conto di questi valori possiamo fare un graco della funzione (2.85) del usso di ALPs.
Lo spettro del usso attuale degli ALPs (CAB) in funzione della energia è mostrato in gura
2.5, dove per convenzioni future abbiamo chiamato
E
l'energia degli ALPs all'era attuale.
picco di energia varia in funzione del valore della massa dei moduli
mΦ
mΦ .
Il
Il valore preciso di
potrebbe essere stimato, per esempio, a partire da uno studio più profondo della frazione
di moduli che decade nel settore del Modello Standard. In questo modo confrontando la stima
teorica con i valori sperimentali della densità del Modello Standard nell'universo, si potrebbe
risalire all'energia del Modello Standard al tempo del riscaldamento e quindi alla massa dei
moduli. Questo aspetto non verrà trattato nel presente lavoro.
Pur non avendo il valore preciso di
mΦ , possiamo aermare che per mΦ ∼ 106÷7 GeV (modelli
LVS), gli ALPs generati dai decadimenti avrebbero all'era attuale un energia media che è
volte più grande dell'energia media della CMB (che ricordiamo essere
E ' 0.000235
queste particelle sarebbero state generate quando l'universo aveva temperature
a tempi
t ∼
106
eV). Di più,
T ∼1
GeV, cioè
10−6 s dopo il Big Bang. Se fosse rivelato, questo fondo nascosto potrebbe dare
maggiori informazioni sull'universo primordiale di quanto faccia la CMB (che è generata a tempi
t ∼ 3 × 105
anni dopo il Big Bang).
Si noti inne che, in principio, il fondo di assioni qui calcolato potrebbe essere composto
52
da diverse componenti di particelle scalari con dierenti masse e accoppiamenti al fotone.
In
particolare una di queste componenti potrebbe essere l'assione di Peccei-Quinn. Per semplicità
assumeremo che il fondo sia constituito da una sola componente prevalente.
53
Capitolo 3
Conversione in campi magnetici a celle
In questo capitolo studieremo in dettaglio un possibile meccanismo che potrebbe caratterizzare
l'evoluzione degli ALPs di radiazione oscura e potrebbe essere un'importante strumento per la
loro osservazione sperimentale.
Nella teoria degli ALPs descritta nel primo capitolo, riveste
un ruolo di fondamentale importanza l'accoppiamento con i fotoni.
Tutti gli esperimenti di
rivelazione di queste particelle si basano sul fenomeno del mixing con fotoni.
Nel nostro lavoro, vogliamo applicare la teoria delle oscillazioni fotone-ALP agli ALPs generati dai decadimenti dei moduli nell'universo primordiale e constatare se eettivamente questa
conversione in fotoni generi un fondo di radiazione elettromagnetica osservabile all'era attuale.
Nel capito precende abbiamo concluso che l'energia media degli ALPs dovrebbe essere
106
volte
più grande dell'energia media della CMB. Ci aspettiamo quindi un fondo di radiazione elettromagnetica di energia
106
volte più grande di quella dei fotoni della CMB, cioè ci aspettiamo un
fondo di raggi X. L'ipotesi che vogliamo indagare è quella che nella loro evoluzione nell'universo
(in espanzione), una parte di ALPs sia convertita in fotoni dai campi magnetici primordiali. Di
più poichè i fotoni generati dagli ALPs sono nella banda dei raggi X, ci aspettiamo che possano interagire con gli atomi di idrogeno neutro presenti nel mezzo intergalattico e generare una
parziale reionizzazione del mezzo.
In realtà la questione è molto complessa, poichè gli ALPs
sarebbero generati in periodi in cui esistono solo speculazioni teoriche sulla forma dell'universo
e sul suo contenuto in materia. Quindi la densità di energia dei costituenti dell'universo primordiale e la forma dei campi magnetici primordiali sono pressocchè sconosciute. Vedremo però che
è possibile fare delle interessanti approssimazioni che permettono di evitare, almeno in parte,
questi problemi inerenti all'universo primordiale.
54
3.1
Evoluzione in un universo statico
Prima di entrare nel vivo del problema del mixing fotone-ALP in un universo in espansione, ci
soermiamo brevemente su un modello semplicato (quindi non reale) di una evoluzione in un
universo statico. Questo step intermedio renderà più agevole la generalizzazione ad un modello
reale di universo in espansione.
3.1.1
Campi magnetici primordiali
Come ampliamente discusso nel capitolo 1, le conversioni ALP-fotone avvengono in presenza
di campi elettromagnetici esterni. Nella nostra trattazione siamo interessati alle conversioni in
presenza dei campi magnetici primordiali. Per questo motivo facciamo una breve digressione su
questi campi.
Si sa eettivamente poco dei campi magnetici primordiali (PMF). Molti autori
hanno studiato una possibile origine di questi campi, [32]. Senza entrare nel dettaglio, ci sono
no ad ora diverse ipotesi più accreditate per la loro formazione. Una possibilità è che i campi
magnetici abbiano origine da potenziali vettori generati durante l'inazione.
Un'altra ipotesi
accreditata è quella che la componente più blu dello spettro sia invece generata durante una delle
transizioni di fase cosmologiche. Un campo magnetico potrebbe altresì essere generato durante
la formazione della CMB (disaccoppiamento materia-radiazione), dalla presenza di vortici nel
uido cosmologico. Poichè ciascuna di queste ipotesi comporta diverse lunghezze in gioco, allora
l'osservazione dell'indice dello spettro di potenza dei PMF, permetterebbe di evidenziare quale
delle ipotesi di formazione è maggiormente applicabile.
Esistono diverse supposizioni sulla distribuzione del campo magnetico primordiale nell'universo e sulla correlazione del campo nei diversi punti dello spazio-tempo. L'ipotesi più semplice è
quella che i PMF siano costituiti in celle all'interno delle quali il campo è omogeneo e costante e
non vi è correlazione tra celle addiacenti. Questo signica che il modulo e la direzione del campo
magnetico in ogni cella è completamente casuale e non dipende dal valore del campo magnetico
delle celle addiacenti. Ci soermeremo per ora sull'ipotesi di campo magnetico primordiale distribuito in celle. Vedremo successivamente come generalizzare il problema a una distribuzione
di campo più reale.
3.1.2
Evoluzione in presenza di celle
Analizziamo l'evoluzione del sistema fotone-ALP nella ipotesi di un universo statico. Supponiamo che il campo magnetico primordiale sia costante nel tempo e distribuito in celle di dimensione
spaziale
l
(detta lunghezza di coerenza del campo). In ogni cella il campo magnetico è omoge-
neo e costante, ed ha direzione e verso costante ma casuale. Il campo tra una cella e l'altra è
55
Figura 3.1: Propagazione di ALPs in un campo magnetico a celle. In ciascuna delle celle il campo
magnetico è omogenero, costante e orientato in maniera casuale.
completamente scorrelato.
in ogni cella.
Supponiamo inoltre che in media l'intesità del campo sia la stessa
Questo signica che ciò che cambia nel passaggio da una cella alla successiva è
solo la direzione e il verso del campo (si veda la gura 3.1 per ulteriore chiarezza) . Chiamiamo
B⊥ =
1
cella .
q
2
B⊥
, l'intensità quadratica media del campo trasversale al moto dell'ALP in ogni
Consideriamo un fascio monocromatico di ALPs con energia
zione generica
x3 .
E
che si propaga lungo una dire-
Vogliamo calcolare la probabilità che questo fascio venga convertito in fotoni
una volta che attraversi un campo magnetico distribuito in celle, si veda la gura 3.1. Il meccanismo di conversione è quello studiato nel primo capitolo. Prima di tutto studiamo l'evoluzione
di questo fascio in una singola cella, in cui per ipotesi il campo magnetico è omogeneo e costante.
L'equazione di evoluzione del sistema è l'equazione (1.39), che riscriviamo per chiarezza

i
A1


A1

∂ 



 A2  = H  A2  .
∂x3
a
a
(3.1)
L'hamiltoniana è

∆11
∆12

H=
∆21
∆22
∆aγ cos φ


∆aγ sin φ  ,
∆aγ cos φ ∆aγ sin φ
∆a
(3.2)
con
∆11 = ∆k cos2 φ + ∆⊥ sin2 φ,
∆22 = ∆k sin2 φ + ∆⊥ cos2 φ,
1
Evidentemente per ragioni di simmetria sarà
2
B⊥ =
campo magnetico.
56
2
3
2
B ,
dove
B2
è l'intensità quadratica media del
∆12 = ∆21 = (∆k − ∆⊥ ) sin φ cos φ,
dove
∆k = ∆pl + 72 ∆QED , ∆⊥ = ∆pl + 2∆QED ,
con
1
∆aγ = gaγγ B⊥ ,
2
∆a = −
m2a
,
2E
∆pl = −
(3.4)
2
ωpl
,
2E
B⊥ 2
αE
,
=
45π m2e /e
∆QED
B⊥
(3.3)
(3.5)
(3.6)
è la componente del campo magnetico esterno trasversale alla direzione del moto e
cos φ =
ˆ 1 /B⊥ .
B⊥ · x
2
Possiamo riscrivere l'hamiltoniana (3.2) nella seguente forma

∆⊥
0
0

H = Uφ  0
∆k
0
∆aγ


∆aγ  Uφ ,
∆a
(3.7)
dove

− sin φ cos φ 0

Uφ =  cos φ

sin φ 0  ,
0
1
0
con la proprietà
Uφ2 = I3×3 .

(3.8)
Se sommiamo e sottraiamo per la matrice
1
2 (∆k
+ ∆a )I3×3 ,
l'hamil-
toniana può essere riscritta come

∆⊥ − 12 (∆k + ∆a )

H = Uφ 
0
0
0
1
2
0
∆k − ∆a
∆aγ
∆aγ
− 12
∆k − ∆a

1

 Uφ + (∆k + ∆a )I3×3 .
2
(3.9)
L'operatore di evoluzione spaziale si otteniene esponenziando l'hamiltonana. Dopo una distanza
l
(lunghezza di coerenza della cella), l'operatore di evoluzione
T (l) = e−iHl .
2
Abbiamo operato una rotazione delle coordinate spaziali.
lungo la direzione
x2 .
T (l)
è denito come
(3.10)
In questo modo il campo magnetico è diretto
Questa trasformazione ovviamente non cambia la sica del fenomeno, ma ci permette di
semplicare i calcoli.
57
Sostituendo la formula (3.9) per
H
e
α
~ = (α1 , α2 , α3 ), α =
con
e usando la relazione
−i~
α·~
σ
= cos α − i
p
α12 + α22 + α32
e
~σ
α
~ · ~σ
sin α,
α
(3.11)
le tre matrici di Pauli, otteniamo che l'operatore
di evoluzione in (3.10) prende la seguente forma (a meno di un fattore di fase)

sin2 φT⊥ + cos2 φTk sin φ cos φ Tk − T⊥ cos φTaγ


T (l) =  sin φ cos φ Tk − T⊥
cos2 φT⊥ + sin2 φTk sin φTaγ  ,
cos φTaγ
sin φTaγ
Ta

(3.12)
dove
T⊥ = e−il[∆⊥ − 2 (∆k +∆a )] ,
i ∆k − ∆a
Tk = cos(αl) −
sin(αl),
2
α
i ∆k − ∆a
Ta = cos(αl) +
sin(αl) ≡ Tk∗ ,
2
α
∆aγ
sin(αl),
Taγ = −i
α
2
1
2
α=
∆k − ∆a + ∆aγ .
4
1
Supponiamo ora che l'evoluzione avvenga in
n
n
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
celle, che consideriamo per semplicità avere
tutte la stessa lunghezza l. L'operatore di evoluzione spaziale nel punto
di
(3.13)
L = nl
sarà il prodotto
operatori della forma (3.12),
T (L) = Tn (l) · Tn−1 (l) · . . . · T2 (l) · T1 (l),
in cui ciascun
Ti
si dierenzia dal successivo solo per il diverso valore dell'angolo
(3.18)
φ
che identi-
ca la direzione della componente trasversa del campo magnetico esterno. Ricordiamo che
φ
è
distribuito in maniera casuale.
Vogliamo dare la descrizione più generale di questo meccanismo. Per questo motivo utilizziamo il formalismo della matrice densità. La matrice densità per il sistema fotone-ALP a tre
58
3 è denita come
stati di polarizzazione

A1




ρ ≡  A2  ⊗
a
A1 A2 a
∗

ρ11 ρ12 ρ1a


=  ρ21 ρ22 ρ2a  .
ρa1 ρa2 ρaa
(3.19)
La matrice densità obbedisce all'equazione di Liouville: il valore della matrice nella
si ottiene facendo evolvere il valore nella cella precedente
k -esima cella
k − 1 tramite l'operatore di evoluzione.
In formule, abbiamo che
ρk (l) = Tk (l)ρk−1 Tk (l)†
dove
Tk (l) =
(3.20)
−iHk l è l'operatore di evoluzione del sistema nella
e
k -esima
cella. Dopo
n
celle la
matrice densità prenderà la forma
ρn = Tn (l)ρn−1 Tn (l)† .
(3.21)
Poichè in linea di principio non possiamo conoscere la particolare congurazione delle
n
celle,
che è totalmente casuale, operiamo una media su tutte le possibili realizzazioni di ognuna delle
n
celle. A tale scopo deniamo la matrice densità media dopo
n
celle
ρn = hρn i1,2,...,n ,
(3.22)
in cui la media è fatta su ogni possibile congurazione di ognuna delle
l'equazione (3.21), possiamo riscrivere
ρn
n
celle.
come
E
D
ρn = Tn (l)ρn−1 Tn (l)†
1,2,...,n
D
E
= Tn (l)ρn−1 Tn (l)† ,
(3.23)
n
dove nell'ultimo passaggio la media è fatta solo sulle possibili congurazioni della
e
Utilizzando
n-esima
cella
ρn−1 ≡ hρn−1 i1,2,...,n−1 .
A questo livello siamo interessati solamente a determianare la probabilità che un ALP sia
convertito in un fotone e viceversa, per cui gli unici elementi della matrice densità che eettivamente dobbiamo considerare sono gli elementi diagonali
il tasso di fotoni e di ALPs, infatti
2
ρ11 (x) = |A1 (x)|
l'interpretazione semiclassica del capitolo 1 su
A1,2
,
e
ρ11 , ρ22 , ρaa .
Questi elementi descrivono
ρ22 (x) = |A2 (x)|2
e
a,
ρ11
osserviamo che
ρaa (x) = |a(x)|2 .
e
ρ22
rappresentano
la probabilità di osservare un fotone in una delle due polarizzazioni possibili nel punto
ρaa
rappresenta la probabilità di osservare un ALP nel punto
polarizzazione viene generato un fotone allora deniamo
3
x.
x,
mentre
Poichè non ci interessa con quale
ργ = ρ11 +ρ22 , che ci dà il tasso totale di
Due stati di polarizzazione di fotone e uno stato pseudoscalare di ALP.
59
Dal-
fotoni indipendentemente dalla loro polarizzazione, mentre per semplicità di notazione deniamo
ρa ≡ ρaa .
Gli elementi
ργ
e
ρa
della matrice densità vengono detti
funzioni di trasfertimento
per il fotone e per l'ALP rispettivamente.
Vogliamo ora scrivere l'equazione (3.23) per gli elementi
ργ
e
ρa .
Per fare ciò deniamo i
seguenti operatori di proiezione

1 0 0



Πγ =  0 1 0  ,
0 0 0


0 0 0


Πa =  0 0 0  .
(3.24)
(3.25)
0 0 1
Se moltiplichiamo a destra ambo i membri dell'equazione (3.23) per
otteniamo un'equazione per
ργ,n
e ne facciamo la traccia,
ργ ,
ργ,n =
dove
Πγ
D
Tr
n
oE
Tn (l)ρn−1 Tn (l)† Πγ
,
(3.26)
n
è la funzione di trasferimento media per i fotoni nella cella
n-esima.
n-esima.
fatta su tutte le possibili congurazioni del campo magnetico nella cella
modo se moltiplichiamo a destra per
ρa,n =
dove
ρa,n
Πa
D
Allo stesso
e ne facciamo la traccia, otteniamo un'equazione per
Tr
n
oE
Tn (l)ρn−1 Tn (l)† Πa
,
ρa ,
(3.27)
n
n-esima.
è la funzione di trasferimento media per gli ALPs nella cella
formula (3.12) per
La media è sempre
Sostituendo la
Tn e mediando su tutte le possibili congurazioni della cella n-esima, otteniamo
il seguente sistema

ρ =
γ,n
ρ =
a,n
3.1.3
2 |T⊥ |2 + Tk ργ,n−1 + |Taγ |2 ρa,n−1
1
2
1
2
|Taγ |2 ργ,n−1 + |Ta |2 ρa,n−1
.
(3.28)
Soluzione analitica in un universo statico
In un universo statico, possiamo fare delle ulteriori supposizioni che permettono di risolvere
analiticamente il sistema (3.28).
Prima di tutto riportiamo i valori numerici delle variabili in
gioco
−2
∆aγ ' 1.52 × 10
gaγγ
10−11 GeV−1
60
B⊥
10−9 G
−1
Mpc
,
(3.29)
5
∆a ' −7.8 × 10
2 E −1
ma
10−10 eV
E −1 ∆pl ' −1.1 × 10−2
keV
ne
−1
Mpc
Per le stime dei parametri
entra solo il prodotto
masse
ma .
B⊥ , ne , ma
gaγγ B⊥ ,
e
gaγγ
(3.30)
−1
Mpc
10−7 cm−3
2
E
B⊥
−18
−1
' 4.1 × 10
Mpc
.
keV
10−9 G
keV
∆QED
,
,
(3.31)
(3.32)
ci riferiremo ai seguenti limiti. Nelle equazioni
questo prodotto deve soddisfare
gaγγ B⊥ . 10−13 GeV
nG, per
10−9 eV, altrimenti il meccanismo di mixing con ALPs, genererebbe delle evidenti
anomalie nello spettro di corpo nero della CMB, [33]. In eetti esistono anche dei limiti superiori
ai PMF,
e lunghezze di coerenza della scala
l ' 0.1 ÷ 1
Mpc,
ne .
−7
−3
10 cm , come si può dedurre dalle recenti misure della densità barionica, [7, 8, 9, 10].
[34].
3×
B⊥ . 2.8 × 10−7 (l/Mpc)−1/2 G,
La densità totale di elettroni (legati e liberi) nello spazio extragalattico è invece
Per quanto riguarda l'energia
E ∼ 100 ÷ 800
E
degli ALPs, ricordiamo che nel nostro lavoro essa è intorno a
eV (si veda lo spettro degli ALP all'era attuale del capitolo 2). Se sostituiamo
questi parametri nelle equazioni precedenti, osserviamo che il termine
∆QED
è eettivamente
trascurabile rispetto agli altri termini.
Ricordiamo dalla sezione 1.2.3 che la probabilità di oscillazione in una singola cella con campo
magnetico costante è
Paγ (l) = sin2 (2θ) sin2
dove
∆osc
Notiamo che se
l = π/∆osc ,
allora
∆osc l
2
,
2∆aγ
1
θ = arcsin
,
2
∆osc
i1/2
h
= (∆pl − ∆a )2 + (2∆aγ )2
.
Paγ
(3.36)
B⊥ , m a
e
gaγγ
Mpc. La lunghezza di coerenza del campo magnetico è invece
l'approssimazione
(3.35)
π
.
∆osc
Se sostituiamo i valori sopra descritti dei parametri
losc
(3.34)
è massima. Deniamo quindi lunghezza di oscillazione
losc ≡
in un regime in cui
(3.33)
e
E , osserviamo che losc ∼ 102
l ' 0.1 ÷ 1
Mpc. Siamo quindi
è molto maggiore della dimensione di ogni singola cella, quindi vale
d
ρn − ρn−1 ' l dx
ρ(x3 ),
dove
x3 = nl,
per ogni
n-esima
cella. In parole povere,
poichè la dimesione di una singola cella è molto più piccola rispetto alla lunghezza di oscillazione,
il sistema necessita di un numero molto grande di celle per oscillare.
61
Per questo motivo le
evoluzioni in singole celle possono essere viste come evoluzioni innitesime. Il sistema (3.28) può
quindi essere reso un sistema dierenziale
d
dx
ργ (x3 )
!
ρa (x3 )
 h 
i
2 2
2
1
1  2 |T⊥ | + Tk − 1 h |Taγ | i 
=
2
1
l
|Ta |2 − 1
2 |Taγ |
ργ (x3 )
ρa (x3 )
!
.
(3.37)
Poichè il nostro scopo è quello di osservare conversioni degli ALPs della radiazione oscura in
x3 = 0
fotoni, allora lo stato iniziale a
sono quindi
ρa (0) = 1
e
ργ (0) = 0.
†
l'hamiltoniana è hermitiana H
della probabilità totale, Tr {ρ}
è uno stato puro di soli ALPs.
Le condizioni iniziali
Di più ricordiamo che per un sistema non dispersivo, in cui
= H,
la matrice densità deve soddisfare al vincolo di unitarietà
= ργ + ρa = 1.
Con queste condizioni, l'equazione precedente è facilmente integrabile. Riportiamo la soluzione
ρa (x3 )
√
ρa (x3 ) =
con
δ − (A − C) λ1 x3
√
e
+
2 δ
√
δ + (A − C) λ2 x3
√
e
,
2 δ
(3.38)
2 1 1
2
−1 ,
|T⊥ | + Tk
A=
l 2
1
|Taγ |2 ,
l
i
1h
C=
|Ta |2 − 1 ,
l
B=
δ = (C − A)2 + 2B 2 ,
√
(C + A) ± δ
λ1,2 =
.
2
Ovviamente
ργ (x3 ) = 1 − ρa (x3 ).
per il valore del prodotto
(3.39)
Nella gura 3.2 è gracato l'andamento della soluzione
gaγγ B⊥ ∼
10−11 GeV−1 nG e per energie
ργ (x3 ),
E ∼ 200 eV (picco nella gura
2.5), mentre i valori degli altri parametri sono gli stessi citati sopra. La gura mostra come la
probabilità di conversione aumenti con l'aumentare della distanza, e quindi con l'aumentare delle
celle del campo magnetico.
Notiamo che questa trattazione è stata fatta sotto l'ipotesi di un universo statico. Quindi
di un universo che non evolve dinamicamente da una singolarità puntiforme. In questa ipotesi
i valori dei parametri
B, E, ne , l, losc
sono congelati ad avere valori costanti in ogni istante di
tempo. Questo non è più vero se l'universo è in espansione, infatti in questo caso le distanze
si dilatano, e le energie e le intensità dei campi sorono il redshift. Terremo conto di ciò nella
sezione successiva.
62
Figura 3.2:
Probabilità di conversione di ALP in fotoni in funzione della distanza percorsa
dal fascio in un campo magnetico distribuito in celle, con valore
E = 200
3.2
gaγγ B⊥ ∼ 10−11
GeV
−1
nG e
eV.
Evoluzione in un universo in espansione
Vediamo ora cosa succede alle equazioni precedenti se eliminiamo l'ipotesi (non sica) di un
universo statico. Come dimostrato nell'appendice A, sostanzialmente le equazioni di evoluzione
fotone-ALP rimangono le stesse a patto di tener conto che i parametri sono soggetti al redshift,
e quindi vengono diluiti nell'espansione dell'universo. Se etichettiamo con il pedice
parametri all'era attuale, allora ciascuno di essi scala con il redshift
z
0
i valori dei
alla seguente maniera: il
campo magnetico come
B(z) = B0 (1 + z)2 ,
(3.40)
la lunghezza delle celle come
l(z) =
l0
,
(1 + z)
(3.41)
la densità totale di elettroni come
ne (z) = ne0 (1 + z)3 ,
(3.42)
E(z) = E0 (1 + z).
(3.43)
l'energia degli ALPs come
63
Poichè abbiamo detto che le equazioni del moto risentono solo del redshift dei parametri, allora
l'equazione di evoluzione (3.28) del sistema fotone-ALP in un universo in espansione si modica
come

ρ (zn ) =
γ,n
ρ (z ) =
a,n
dove
zn
n
1
2
1
2
|Taγ (zn )|2 ργ,n−1 (zn−1 ) + |Ta (zn )|2 ρa,n−1 (zn−1 )
2 |T⊥ (zn )|2 + Tk (zn ) ργ,n−1 (zn−1 ) + |Taγ (zn )|2 ρa,n−1 (zn−1 )
rappresenta il valore del redshift nella cella
n-esima4 . T⊥ , Tk , Taγ , Ta
,
(3.44)
sono dati dalle
relazioni (3.13),(3.14),(3.15) e (3.16) in cui ai valori dei parametri all'era attuale si devono sostituire i valori dei parametri dipendenti dal redshift
z : B(z), l(z), ne (z), E(z).
Operando questa
sostituzione, gli elementi dell'hamiltoniana (3.2) scalano come segue
∆pl = ∆0pl (1 + z)2 ,
(3.45)
∆aγ = ∆0aγ (1 + z)2 ,
(3.46)
∆a =
∆0a
,
(1 + z)
(3.47)
∆QED = ∆0QED (1 + z)5 ,
dove l'apice
(3.48)
0 indica i valori dei parametri all'era attuale, che sono quelli dati in (3.29),(3.30),(3.31)
e (3.32). Per le stime dei parametri all'era attuale
gaγγ B0,⊥ , ma
e
ne0 ,
Per il prodotto gaγγ B0,⊥ considereremo valori gaγγ B0,⊥ .
−9
10 eV, per la lunghezza di coerenza l0 ' 0.1 ÷ 1 Mpc, e per la densità totale di elettroni
ti limiti.
ma .
ci riferiremo ai seguen-
10−13 GeV nG, per masse
(legati e liberi) nello spazio extragalattico
ne0 ' 3 × 10−7
E0 ∼ 100 ÷ 800 eV. Se sostituiamo questi valori,
−3 . Le energie all'era attuale sono
cm
possiamo osservare che all'era attuale il termine
di QED è trascurabile rispetto agli altri termini dell'hamiltoniana. Notiamo che, nel caso di un
universo in espansione, non possiamo rendere innitesimo il sistema (3.44), come abbiamo fatto
nella sezione 3.1.3. Infatti poichè losc
delle celle scala solo come
1/(1 + z).
allora
∼ 1/∆osc ,
Se
l
losc
quindi già intorno a
z ∼ 500, l ∼ losc
essa scala come
l0 ∼ 1
0
Mpc e losc
∼
1/(1 + z)2 ,
102 (poichè
mentre la lunghezza
∆0osc ∼ 102
∼ 10−2 (1 + z) ,
e l'approssimazione
−1
Mpc
)
(3.49)
l losc
non è più applicabile.
Dobbiamo procedere quindi ad una evoluzione delle equazioni (3.44).
In linea di principio per determinare la frazione di fotoni generati da ALPs, il sistema (3.44)
4
Ovviamente poichè le celle risentono dell'espansione dell'universo, la cella
dimensione della cella
(n − 1)-esima.
64
n-esima
sarà più grande in
dovrebbe evolvere dal momento in cui vengono generati gli ALPs dai moduli, sino all'era attuale.
Gli ALPs sono generati dopo l'inazione, quindi l'evoluzione delle funzioni di trasferimento
e
ρa
ργ
necessita il passaggio in ere dell'universo in cui non si conosce in maniera appropriata il
contenuto in materia. Di più il problema si complica poichè ad ora non si sa se eettivamente
questi campi magnetici primordiali esistano o meno e qual'è la loro forma. Se i PMF esistessero allora necessariamente nelle prime fasi dell'universo avrebbero un carattere turbolento e
risentirebbero in maniera non banale del background. Questo comporta che la nostra semplice
approssimazione a celle in cui il campo magnetico è costante e omogeneo non potrebbe più essere
un'approssimazione reale della distribuzione del campo magnetico. Infatti un campo magnetico
in evoluzione non scala semplicemente come
evoluzione intrinseca con il redshift
redshift molto alti (per esempio
z,
B = B0 (1 + z)2
con
B0
costante, ma ha una sua
dovuta all'interazione con il fondo. Per questi motivi, a
z 1000),
le equazioni del sistema (3.44) non sono più valide.
In realtà questi problemi possono essere elusi. Notiamo infatti che a redshift
z & 104 ,
il termine
di QED (3.48) non è più trascurabile, e tende a dominare (questo poichè scala con la quinta
potenza di
z)
rispetto al termine
con la seconda potenza di
per redshift
z >
z ).
∆aγ ∼ gaγγ B
responsabile delle oscillazioni (che scala solo
Questo fà si che le oscillazioni fotone-ALP rimangano bloccate
104 e solo intorno a redshift
z ∼ 1000
il fenomeno di mixing comincia a dare
risultati signicativi. In parole povere, gli ALPs generati dai moduli non hanno (nell'universo
primordiale) interazioni sucenti con i campi magnetici da generare fotoni, poichè il termine di
QED domina nell'hamiltoniana (3.2). Intorno a redshift
confrontabile con il termine
a partire da
z ∼ 1000
∆aγ ∼ gaγγ B
z ∼ 1000,
il termine di QED diventa
responsabile delle conversioni in fotoni. Quindi solo
il fenomeno delle oscillazioni degli ALPs di CAB in fotoni comincia ad
5
essere non più trascurabile . Questo risultato è di cruciale importanza in quanto ci permette di
trascurare le oscillazioni nell'universo primordiale (dove ci sono forti problemi nelle teorie che lo
descrivono) e focalizzare la nostra attenzione nell'evoluzione da
z ∼ 1000
no a noi. Per questi
valori del redshift le equazioni (3.44) e l'approssimazione di campi magnetici a celle continuano
a valere.
3.2.1
Assorbimento dei fotoni
Come abbiamo detto precedentemente, il mixing degli ALPs di CAB ai fotoni genererebbe un
usso di raggi X nell'universo. Tale usso potrebbe essere osservato all'era attuale come usso
diuso. In realtà, i fotoni hanno interazioni non trascurabili con la materia circostante, quindi il
5
Del resto eventuali fotoni prodotti prima della ricombinazione entrerebbero immediatamente in equilibrio
termico e non potrebbero essere direttamente osservati, anche se potrebbero interferire per esempio con la nucleosintesi primordiale (BBN). Si noti inne come la conversione di fotoni di CMB in ALPs sia molto soppressa. Ciò
è stato evidenziato da [33] dall'assenza di distorsioni spettrali rispetto a un corpo nero dello spettro di CMB.
65
usso osservato all'era attuale potrebbe essere inferiore al usso totale generato dalle conversioni
poichè parte dei fotoni potrebbe essere assorbita dal mezzo intergalattico (IGM) che pervade
l'universo. Per essere più precisi, abbiamo concluso la parte precedente con l'osservazione fondamentale che le oscillazioni fotone-ALP inizino a redshift
z ∼ 1000.
A questi valori del redshift
l'universo si trova nella fase di disaccoppiamento tra materia e radiazione, fase che è iniziata intorno a
z ∼ 1100.
Nelle fasi precedenti, la radiazione (i fotoni termici) è accoppiata alla materia
tramite l'equilibrio della relazione
verso è di circa
H + γ ↔ p + e− .
Intorno a
z ∼ 1100
la temperatura dell'uni-
T ∼ 0.3 eV, che è inferiore alla soglia di ionizzazione dell'idrogeno Eion ' 13.6 eV.
I fotoni nel bagno termico non hanno più energia suciente a ionizzare l'idrogeno e l'equilibrio
si spezza. La relazione precedente tende verso una unica direzione
p + e− → H + γ ,
cioè vince
il processo di ricombinazione degli elettroni e dei protoni rispetto alla ionizzazione dell'idrogeno.
Questa fase è detta appunto di
Ricombinazione.
L'universo tende quindi ad essere dominato
dagli atomi neutri, pressocchè idrogeno e elio. Per lo stesso motivo, non avendo più interazioni
sucenti con la materia, la radiazione si disaccoppia da essa formando la radiazione cosmica di
fondo (CMB).
A
z ∼ 1000
quindi l'universo è caratterizzato da una nube diusa di atomi neutri. I fotoni
generati dagli ALPs (che sono più energetici della CMB) potrebbero ancora risentire dell'interazione con gli atomi neutri del background e generare una parziale ionizzazione degli stessi tramite
processi
H + γ → p + e− .
Nella nostra trattazione saremo interessati a questo aspetto della ra-
diazione X generata dagli ALPs. Poichè la frazione in massa di elio cosmologico nell'universo è
Yp ' 0.2477 [10], allora possiamo trascurarlo nei nostri conti successivi e supporre che il contenuto in materia barionica dell'universo sia caratterizzato solo da idrogeno neutro. Come abbiamo
detto i fotoni generati da ALPs avrebbero all'era attuale uno spettro in energia compreso in
[100, 800]
eV. Poichè però le oscillazioni cominciano a
con il background, allora l'energia
E
quindi l'intervallo di energia è circa
z ∼ 1000
risente solo del redshift,
[0.1, 0.8]
e gli ALPs sono poco interagenti
E(z) = E0 (1 + z).
A
z ∼ 1000
MeV. In sostanza a seconda di quando avviene la
conversione, i fotoni avranno uno spettro in energia che va dal MeV al keV. A queste energie
i fotoni risentono praticamente di soli due eetti di interazione con gli atomi neutri: l'eetto
fotoelettrico e l'eetto Compton.
Nell'eetto fotoelettrico, un fotone può essere assorbito da un elettrone legato ad un atomo
provocandone l'espulsione. Sotto l'ipotesi che l'atomo sia di idrogeno e che l'energia sia inferiore
alla massa a riposo dell'elettrone
me ' 0.511
MeV, la sezione d'urto per questo processo è [49]
√
σP = 2 2σT α4
66
me
Eγ
7/2
,
(3.50)
γ
γ
γ
γ
−
−
e
e
e−
e−
Figura 3.3: Diagrammi di Feynmann per l'eetto Compton.
dove
α
è la costante di struttura ne,
Eγ
è l'energia iniziale del fotone e
σT =
è la sezione d'urto Thomson, con
re
8πre2
3
(3.51)
raggio classico dell'elettrone.
L'eetto Compton descrive la diusione di un fotone da parte di un elettrone (libero o legato).
Per un elettrone libero, la sezione d'urto dell'eetto Compton è descritta dalla formula di KleinNishina (che è data dalla sovrapposizione dei due diagrammi di Feynmann in gura 3.3).
La
formula di Klein-Nishina per la sezione d'urto totale è la seguente
σKN
in cui
3
= σT
4
≡ Eγ /me ,
con
Eγ
1 + 2(1 + ) ln(1 + 2)
ln(1 + 2)
1 + 3
−
+
−
,
2
1 + 2
2
(1 + 2)2
(3.52)
energia iniziale del fotone. In gura 3.4 mostriamo l'evoluzione delle
due sezioni d'urto in funzione dell'energia iniziale del fotone. Chiamiamo la sezione d'urto totale
σtot = σP + σKN .
Se dobbiamo tenere conto dell'assorbimento dei fotoni da parte degli atomi di idrogeno,
allora dobbiamo modicare l'hamiltoniana (3.2) della teoria. Deniamo
di atomi di idrogeno neutri, ovviamente a
z ∼ 1000 nH (z) ' ne (z)
6
tutti sostanzialmente legati . Ricordiamo che
ne
nH
la densità in numero
poichè gli elettroni sono
è la densità totale di elettroni (legati e liberi).
L'assorbimento dei fotoni aggiunge nella diagonale dell'hamiltonana un termine dispersivo
−iΓ/2,
con
Γ ≡ ΓH + Γf ree = nH σtot + (ne − nH )σKN ,
tasso di assorbimento ad una data energia iniziale dei fotoni (ricordiamo che
termine di assorbimento (3.53) è costituito di due parti.
6
(3.53)
σ = σ(E)).
Un assorbimento dovuto agli atomi
In realtà la frazione di elettroni liberi rispetto agli elettroni totali (liberi e legati) è dell'ordine di
redshift
z ∼ 1000,
[50].
67
Il
10−4
a
Figura 3.4: Confronto fra le sezioni d'urto fotoelettrica (verde) e Compton (blu).
La sezione
d'urto totale è indicata in rosso.
neutri
ΓH = nH σtot
(caratterizzato dalla somma dell'eetto fotoelettrico e dell'eetto Compton)
e lo scattering su elettroni liberi
Γf ree = (ne − nH )σKN
(solo eetto Compton).
Teniamo
conto anche dell'eetto sugli elettroni liberi, perchè è il termine dominante al momento della
ionizzazione degli atomi neutri.
L'hamiltoniana (3.2) si modica come (si veda il paragrafo
1.2.2)


H=
∆11 − i Γ2
∆12
∆aγ cos φ

∆22 − i Γ2

∆aγ sin φ  .
∆aγ cos φ ∆aγ sin φ
∆a
∆21
(3.54)
Per un universo statico il sistema (3.28) prende la forma

ργ,n = 1 |T⊥ |2 + Tk 2 ργ,n−1 + |Taγ |2 ρa,n−1 e− Γ2 l
2
Γ
2
− l
ρ = 1 |T |2 ρ
+
|T
|
ρ
aγ
a
a,n
γ,n−1
a,n−1 e 2
2
e i parametri
T⊥ , Tk , Taγ , Ta
termine dispersivo
,
(3.55)
si modicano tenendo conto che all'hamiltoniana è aggiunto il
−iΓ/2,
T⊥ = e−il[∆⊥ − 2 (∆k +∆a )] e− 4 l ,
i ∆k − ∆a − iΓ/2
Tk = cos(αl) −
sin(αl),
2
α
i ∆k − ∆a − iΓ/2
Ta = cos(αl) +
sin(αl),
2
α
1
68
Γ
(3.56)
(3.57)
(3.58)
∆aγ
sin(αl),
α
#
" Γ 2
1
2
∆k − ∆a − i
+ ∆aγ .
α=
4
2
Taγ = −i
(3.59)
(3.60)
Nel passaggio ad un universo in espansione dobbiamo tenere conto che tutti i parametri sono
soggetti al redshift, ma sostanzialmente la forma delle equazioni rimane la stessa.
In presenza di assorbimento, il sistema (3.55) non esaurisce l'intero set di equazioni. Infatti
per caratterizzare a pieno il fenomeno di assorbimento dobbiamo tenere in conto che anche la
nH
densità di atomi di idrogeno neutri
di elettroni totali
ne
varia con questo processo.
Infatti anche se il numero
rimane ssato, il numero di elettroni liberi e il numero di elettroni legati
può cambiare per eetto della ionizzazione.
Prima di tutto riscriviamo il sistema (3.55) in
termini delle densità dei fotoni e degli ALPs. Le funzioni di trasferimento medie
ργ
e
ρa ,
che
sono gli elementi diagonali della matrice densità, rappresentano le probabilità medie che il usso
iniziale di ALPs rimanga intatto o venga trasformato in fotoni. Se vogliamo sapere il valore della
densità di fotoni
nγ
e di ALPs
na , dobbiamo moltiplicare il valore delle probabilità per la densità
iniziale di ALPs. La densità iniziale di ALPs e il suo spettro sono state derivate nel capitolo 2.
Moltiplicando a destra e a sinistra per questo spettro, le equazioni (3.55) diventano

3 2 2
1
nγ,n = 1+zn
Tk nγ,n−1 + |Taγ |2 na,n−1 e− Γ2n ln
|T
|
+
⊥
1+z
2
n−1 Γn
2
n = 1+zn 3 1 |T |2 n
−
ln
+
|T
|
n
a,n
aγ
γ,n−1
a
a,n−1 e 2
1+zn−1
2
dove
nn ≡ n(zn , En ), Γn ≡ Γ(zn , En )
3
1+zn
1+zn−1
il fattore
e ln
≡ l(zn ). En ≡ E(zn )
(3.61)
è l'energia scalata a redshift
zn
e
tiene in conto della diluizione delle densità.
A questo sistema dobbiamo aggiungere un'altra equazione che tiene di conto che
nH
(densità
in numero di idrogeno neutro) non solo scala come una densità, ma diminuisce per l'assorbimento
dei fotoni,
nH (zn ) =
dove
Γtot
n
1 + zn
1 + zn−1
3
nH (zn−1 )exp −Γtot
n ln ,
(3.62)
è il tasso di assorbimento totale integrato su tutte le energie dello spettro dei fotoni
Γtot
n
∞
≡
0
dnγ,n (zn , E)
dE
σtot (E) .
dE
(3.63)
Il sistema da risolvere è quindi formato dalle tre equazioni
nγ,n
na,n
!
=
1 + zn
1 + zn−1
3 "
1
2
#
2 |T⊥ |2 + Tk |Taγ |2
1
2
|Taγ |2
69
|Ta |2
− Γ2n ln
e
nγ,n−1
na,n−1
!
(3.64)
nH (zn ) =
1 + zn
1 + zn−1
3
nH (zn−1 )exp −Γtot
n ln .
(3.65)
Ricordiamo che, anche se varia il numero di elettroni legati (e liberi), la densità di elettroni totale
ne
rimane costante, risentendo solo del redshift.
In realtà nelle nostre equazioni non si è tenuto conto della possibilità che una volta ionizzati
gli atomi possano ricombinarsi.
Questa ipotesi può essere supportata dal fatto che i fotoni
generati da ALPs sono raggi X. Gli elettroni emessi per eetto fotoelettrico e Compton avranno
un'energia prossima al MeV o al keV, quindi la probabilità per il processo di ricombinazione
p + e− → H + γ
3.2.2
è trascurabile.
Approssimazione al I ordine
Il sistema di equazioni (3.64) e (3.65) rappresenta l'evoluzione esatta del sistema fotone-ALP e la
ionizzazione degli atomi neutri in un background di un campo magnetico distribuito in celle. In
realtà è possibile determinare una soluzione approssimata di questo sistema quando siamo sotto
l'ipotesi che il termine responsabile delle oscillazioni
∆aγ
nell'hamiltoniana, in particolare sia molto minore di
∆pl .
Mostriamo in questa sezione come
derivare una formula approssimata al primo ordine in
∆aγ
del sistema di evoluzione. Notiamo
sia molto minore degli altri termini
prima di tutto che dalle formule (3.29) e (3.31), per valori di
ne0 ∼
gaγγ B0 . 10−13
GeV
−1
nG e
10−7 cm−3 , all'era attuale è soddisfatta la relazione
∆0aγ ∆0pl .
necessaria per la nostra approssimazione. Ora poichè sia
dell'universo come
(1 + z)
2
(3.66)
∆aγ
che
∆pl
sono diluite nell'espansione
, allora la relazione (3.66) è valida per ogni
z.
Riscriviamo l'hamilto-
niana (3.54) del sistema trascurando il termine di QED (che non dà contributi interessanti per
z < 1000),


H=
∆pl − i Γ2
0
0
∆pl − i Γ2

H=


∆aγ sin φ  ,
∆aγ cos φ ∆aγ sin φ
∆a
possiamo sommare e sottrarre il termine

∆aγ cos φ
(3.67)
∆a I3×3 ,
∆pl − i Γ2 − ∆a
0
0
∆pl − i Γ2 − ∆a
∆aγ cos φ
∆aγ sin φ
70
∆aγ cos φ


∆aγ sin φ  + ∆a I3×3 .
0
(3.68)
Il termine
∆a I3×3
nell'hamiltoniana genera un fattore di fase quando passiamo agli operatori di
evoluzione, che ovviamente non cambia la sica del fenomeno. Rideniamo


H=
k − i Γ2
0
0
k − i Γ2
∆aγ cos φ
k ≡ ∆pl − ∆a , quindi


∆aγ sin φ  ,
∆aγ cos φ ∆aγ sin φ
0
(3.69)
e l'equazione di evoluzione in un universo statico è

i
A1

k − i Γ2

0
∆aγ cos φ

A1

∂ 


 
0
k − i Γ2
∆aγ sin φ   A2  .
 A2  = 
∂x3
a
a
∆aγ cos φ ∆aγ sin φ
0
(3.70)
Operando il seguente cambiamento di variabili
A1,2
ˆ
= A1,2 exp −i
x3
0
Γ(s)
ds k(s) − i
2
≡ Aˆ1,2 e−ψ(x3 ) ,
(3.71)
il sistema acquista la semplice forma
 
Aˆ1
0
∂  ˆ  
i
0
 A2  = 
∂x3
a
∆aγ cos φ

Ora se
∆aγ ∆pl
e se
−ψ
e
0
∆aγ cos φ
e
0
∆aγ sin φ
e
∆aγ sin φ
−ψ
e
ψ
ψ
0

Aˆ1
 ˆ 
  A2  .
a

(3.72)
∆aγ x3 1 allora possiamo espandere perturbativamente al primo ordine
la soluzione del sistema (3.72)
x3
Aˆ1 (x3 ) = −i
dζ∆aγ cos φ(ζ)
e
dζ∆aγ sin φ(ζ)
e
ψ(ζ)
a(0),
(3.73)
a(0).
(3.74)
0
Aˆ2 (x3 ) = −i
x3
ψ(ζ)
0
Se poniamo che lo stato iniziale sia solo di ALPs, allora
a(0) = 1
(mentre
Aˆ1,2 (0) = 0).
La probabilità che un ALP sia convertito in fotone è data dalla seguente formula (ricordando
l'interpretazione semiclassica di
|A1,2 |2 )
2 x3
2 ˆ
ˆ
Pa→γ (x3 ) = |A1 (x3 )| + |A2 (x3 )| = A1 (x3 ) + A2 (x3 ) e− 0 dsΓ(s) .
2
2
71
(3.75)
Possiamo calcolare
2
ˆ
A
(x
)
1 3 .
gaγγ
Aˆ1 (x3 ) = −i
2
dove
B1 (ζ) = B⊥ cos φ(ζ).
è a celle.
Aˆ1
Prendiamo la relazione (3.73) per
x3
dζB1 (ζ)
e
ψ(ζ)
e esplicitiamo
,
(3.76)
0
Ricordiamo che la nostra congurazione per il campo magnetico
In ogni cella il campo magnetico è omogeneo e costante, per cui
x3 ∈ [x3,p , x3,p+1 ]
(cioè se
∆aγ ,
x3
è nella cella
p-esima).
B1 (x3 ) = B1,p
se
Di più avendo imposto che mediamente le
7
celle hanno la stessa intensità del campo allora vale la seguente relazione
hBx,p Bx,q i =
2
B⊥
2 δpq .
Poichè il campo è distribuito in celle, l'integrale in (3.76) può essere considerato come una somma
in ogni cella, con
x3 ≡ x3,n
valore della coordinata spaziale nell'n-esima cella
gaγγ
Aˆ1 (x3 ) = −i
2
dove
[x3,p , x3,p+1 ]
è l'intervallo della cella
n
X
x3,p+1
p=1
p-esima.
ψ(ζ)
dζ
B1,p
e
,
(3.77)
x3,p
Possiamo ora calcolare
x3,p+1
n X
n
2
2
X
gaγγ
ˆ
∗
ˆ
ˆ
B1,p B1,q
dζ1
A1 (x3 ) = A1 (x3 )A1 (x3 ) =
4
x3,p
ψ(ζ1 )
2
ˆ
A1 (x3 ) ,
x3,q+1
dζ2
e
e
ψ ∗ (ζ2 )
.
(3.78)
x3,q
p=1 q=1
Mediamo su tutte le possibili congurazioni del campo magnetico,
x3,p+1
n
2 g 2 X
ˆ
aγγ
2
dζ1 dζ2
B⊥
A1 (x3 ) =
8
x3,p
e
i
ζ2
ζ1
dsk(s)
x3,p
dsΓ(s)
e 0
,
(3.79)
p=1
dove abbiamo usato la denizione
costante nell'intervallo
ψ ≡ k − iΓ/2 e abbiamo supposto che Γ(s) rimanga pressocchè
[x3,p , x3,p+1 ].
Se supponiamo che anche
k(s)
rimanga costante all'interno
di ogni cella, allora
x3,p+1
n
2 g 2 X
ˆ
aγγ
2
B⊥
dζ1 dζ2
A1 (x3 ) =
8
x3,p
ik(ζ1 )(ζ2 −ζ1 )
e
x3,p
dsΓ(s)
e 0
.
(3.80)
p=1
Avremo una relazione analoga anche per
2 ˆ
A2 (x3 ) .
La probabilità di conversione in fotoni
7
1
Il fattore 2 è legato al fatto che la media sulle congurazioni è una media sulle diverse direzioni del campo
2 1
magnetico, per cui cos φ = 2 .
72
prenderà la forma
n
x3,p+1
2
X
gaγγ
2 Pa→γ (x3 ) =
B⊥
dζ
x3,p
4
p=1
2
x
3
−ik(ζ)ζ − x3,p dsΓ(s)
e
,
e
(3.81)
che, dalla relazione per la trasformata di Fourier della funzione nestra, può essere riscritta
come
n
2
X
gaγγ
2 2
Pa→γ (x3 ) =
B⊥
lp
4
sinc
2
p=1
dove sinc(x)
cella e
≡ sin(x)/x
kp ≡ k(x3,p ).
è la funzione seno cardinale,
kp lp
2
e
−
x
3
x3,p
dsΓ(s)
lp = |x3,p+1 − x3,p |
,
(3.82)
è la lunghezza di ogni
Il calcolo della probabilità può essere eettuato iterativamente, infatti la
probabilità nella cella
n-esima
(n − 1)-esima
è legata alla probabilità nella cella
dalla seguente
relazione (che discende direttamente dalla (3.82))
Pa→γ (n) = Pa→γ (n − 1)
ora se anche
e
−
x3,n
x3,n−1
dsΓ(s)
2
gaγγ
2 2
+
B⊥
ln
4
kn ln
2
,
(3.83)
Γ(x3,n ) |x3,n − x3,n−1 | 1, possiamo ulteriormente sviluppare in serie l'esponenziale
2
gaγγ
2 2
ln
Pa→γ (n) = Pa→γ (n − 1) (1 − Γn ln ) +
B⊥
4
dove
sinc
2
Γn ≡ Γ(x3,n ).
sinc
2
kn ln
2
,
(3.84)
Anche in questo caso, come per (3.64), possiamo passare all'equazione per la
densità in numero di fotoni. Scriviamo direttamente l'equazione per un universo in espansione,
nγ,n =
1 + zn
1 + zn−1
3 "
2
gaγγ
2 2
B⊥
ln
(1 − Γn ln ) nγ,n−1 +
4
sinc
2
kn ln
2
#
na,n−1 ,
(3.85)
dove
Γn ≡ Γ0 (1 + zn )3 ,
ln ≡
(3.86)
l0
,
(1 + zn )
(3.87)
En = E0 (1 + zn ),
con il pedice
0
ad indicare i valori dei parametri a
z=0
(3.88)
e
kn ≡ k(zn , En ).8
L'approssimazione al I ordine praticamente considera le oscillazioni come una debole perturbazione dell'hamiltoniana di evoluzione degli ALPs. Per cui la probabilità
8
∆a
La dipendenza dal redshift in
e
∆pl
k
Pa→a
che un ALPs
non è banale come negli altri parametri, poichè esso è una combinazione di
che redshiftano in maniera diversa, si veda le formule (3.45) e (3.47).
73
rimanga tale dopo una certa distanza
x3
è pressochè costante.
La densità totale degli ALPs
rimane quindi la stessa per tutto il periodo in cui avvengono le conversioni, risentendo solo del
redshift
na,n (zn , En ) =
1 + zn
1 + zn−1
3
na,n−1 (zn−1 , En−1 ).
(3.89)
Aggiungendo l'equazione di evoluzione della densità di idrogeno neutro, il sistema di equazioni
approssimato sarà
!
nγ,n
=
na,n
1 + zn
1 + zn−1
3 "
2
gaγγ
2
2 2
4 B⊥ ln sinc
(1 − Γn ln )
0
nH (zn ) =
1 + zn
1 + zn−1
kn ln
2
#
nγ,n−1
na,n−1
1
3
nH (zn−1 )exp −Γtot
n ln .
!
,
(3.90)
(3.91)
Nella sezione successiva confronteremo il modello esatto (equazioni (3.64) e (3.65)) con questo
modello approssimato e mostreremo la validità dell'approssimazione al I ordine perturbativo.
Per ragioni pratiche nell'integrazione numerica del sistema precedente introdurremo un l-
−(kn /kc )2 con
tro gaussiano, e
kc
cut-o, che moltiplica la funzione
sinc
2
kn ln
2
nell'equazione
(3.90). L'introduzione di questo ltro genera delle semplicazioni a livello computazionale per-
kn alti (kn kc ) delle lunghe conde della
kn ln
. Dal punto di vista strettamente sico, l'introduzione di un siatto ltro è
2
chè permette di tagliare in maniera netta i valori
2
funzione sinc
ben supportata dal fatto che la funzione seno cardinale munita di ltro gaussiano è la trasformata di Fourier della funzione nestra smussata (smoothed top-hat function). Tale funzione
rappresenta meglio la realtà rispetto ad una funzione nestra normale che invece presenta discontinuità. Infatti se implementassimo questa funzione, le celle del campo magnetico sarebbero
caratterizzate da continuità (in senso matematico) nel passaggio da una cella alla successiva,
e non avrebbero discontinuità sui bordi (come invece accade nella teoria a celle standard). In
breve potremmo dire che questa rappresenta una teoria a celle smussate. Vedremo nel paragrafo successivo che l'aggiunta di questo ltro non comprometterà la sica del fenomeno in quanto
restistuisce valori pressochè identici ad una teoria a celle standard.
3.2.3
Flusso di raggi X
La risoluzione del sistema di equazioni (3.64) e (3.65) (o del sistema approssimato (3.90) e (3.91))
ci permette di avere due importanti informazioni. Da un lato permette di determinare la densità
nγ
(e quindi il usso) di fotoni prodotti da conversione degli ALPs e dall'altro permette di
quanticare la variazione del numero di atomi neutri
74
nH
dovuto alla ionizzazione degli stessi
Figura 3.5: Flusso di ALPs all'era attuale in funzione dell'energia. Il picco di energia varia a
seconda del valore di
fotoni.
mΦ ,
nel nostro caso
mΦ ' 5 × 106
GeV.
In questa parte ci soermeremo sul primo dei due scopi della nostra trattazione.
Il
secondo verrà trattato successivamente.
Possiamo risolvere numericamente il sistema delle tre equazioni (3.64) e (3.65) e determinare
la densità
nγ
di fotoni. Come abbiamo già accennato precedentemente la condizione iniziale è
caratterizzata da soli ALPs.
Lo spettro dei quali è stato determinato nel capitolo 2 e la cui
gura riproponiamo ora (gura 3.5). Nel capitolo 2 ricordiamo che non abbiamo fatto l'ipotesi di
presenza di oscillazioni degli ALPs in fotoni, quindi lo spettro in gura 3.5 è lo spettro in energia
all'era attuale degli ALPs se non ci fossero oscillazioni in fotoni. Questo spettro redshiftato a
z ∼ 1000 rappresenta ora la condizione iniziale per la densità (o il usso) di ALPs na (z, E(z)) nel
sistema di equazioni (3.64) e (3.65). Le altre due condizioni iniziali sono che il numero di fotoni
iniziale sia nullo,
nγ (1000) = 0 (poichè supponiamo che a z ∼ 1000 inizino le oscillazioni) e che il
numero iniziale di atomi neutri sia lo stesso del numero totale di elettroni,
(poichè a
z ∼ 1000
nH (1000) ' ne (1000)
siamo nell'era della ricombinazione, quindi in buona approssimazione tutti
gli elettroni sono legati in atomi). In realtà più che determinare
nγ (E),
risulta più interessante
determinare il usso diuso di fotoni all'era attuale. Ricordiamo che il usso diuso è denito a
partire dalla densità
nγ (E)
come
Jγ (E) =
con
c
velocità della luce. Il fattore
nγ (E) · c
,
4
(3.92)
1
4 tiene conto che il usso è diuso in tutto l'angolo solido.
Abbiamo integrato il sistema di equazioni (3.64) e (3.65) per determinare lo spettro del
75
usso di fotoni all'era attuale.
da
z = 1000,
Ciò è stato ottenuto facendo evolvere le equazioni del sistema
con le condizioni iniziali descritte sopra, no all'era attuale
z ∼ 0,
tramite una
evoluzione a step in ognuna delle celle del campo magnetico. La teoria continene un certo numero
di parametri liberi. Riportiamo i valori numerici usati per i parametri liberi. Per generare lo
spettro di ALPs dal decadimento dei moduli (capitolo 2) abbiamo usato i seguenti valori: per la
variazione del numero eettivo di famiglie di neutrini
∆Nef f = 0.143,
e per la massa dei moduli
mΦ = 5 · 106
GeV.
Per le oscillazioni, abbiamo usato i seguenti valori all'era attuale: per il prodotto del campo
magnetico per la costante di accoppiamento
gaγγ B0,⊥ = 10−14
GeV
−1
nG,
per la lunghezza delle celle
l0 ∼ 1
Mpc,
per la massa degli ALPs
ma = 10−13
eV,
e per il numero totale di elettroni
ne0 ' 2.48
−3
cm
.
Il risultato di tale integrazione è riassunto in gura 3.6. La gura mostra lo spettro del usso attuale in energia dei fotoni (generati dalle conversioni degli ALPs di CAB) in funzione dell'energia
attuale. Sempre nella stessa gura abbiamo anche riportato un confronto con la soluzione delle
equazioni (3.90) e (3.91) del modello approssimato (anche in questo caso è stata fatta un'integrazione numerica). Notiamo come l'approssimazione al I ordine dia un risultato che è in perfetto
accordo con il risultato determinato usando la teoria completa. Questo risultato ci fornisce la
giusticazione per l'uso della teoria perturbativa nel caso di campi turbolenti (paragrafo 3.4).
Integrando numericamente lo spettro in gura 3.6, otteniamo il valore del usso totale integrato
in energia di fotoni,
Jγ =
∞
dE
0
dJγ (E)
= 68.3
dE
−2
cm
−1
s
.
(3.93)
Se confrontiamo i valori dello spettro degli ALPs all'era attuale (gura 3.5) e lo spettro dei fotoni
(gura 3.6), possiamo stimare un ordine di grandezza per la probabilità di oscillazione. Questa
76
Figura 3.6: Flusso all'era attuale dei fotoni generati da ALPs in funzione dell'energia. Le due
curve rappresentano i due dierenti modelli usati per generarlo: modello esatto (rosso) e modello
approssimato al I ordine perturbativo (verde).
mΦ ' 5 · 106
Abbiamo usato una massa dei moduli pari a
GeV.
probabilità è dell'ordine di
Paγ ∼ 10−4 .
(3.94)
Ovviamente per dierenti valori dei parametri liberi, avremo dierenti ordini di grandezza della
probabilità.
Ci soermiamo un attimo sui problemi della teoria. Il problema fondamentale è la presenza
di parametri liberi di cui esistono solo speculazioni teoriche sui loro valori.
L'unico dato che
proviene da osservazioni sperimetali è il numero totale di elettroni nel mezzo intergalattico
ne
(al
cui valore ci siamo riferiti partendo dai risultati dell'esperimento Planck, [10]). Si hanno alcune
evidenze di valori
∆Nef f 6= 0
mΦ , ma
sono sconosciuti.
e
gaγγ B ,
(come accennato all'inizio del lavoro), mentre gli altri parametri,
Su di essi si possono solamente postulare limiti di natura
teorica (per la massa dei moduli) e di natura osservativa (per il prodotto
ma ,
gaγγ B
e per la massa
gura 1.3 del capitolo 1). Per questo motivo non ha granchè senso ssare questi parametri.
Risulta molto più interessante vedere come varia il usso totale di fotoni per dierenti valori dei
parametri, soprattutto di
mΦ , ma
usso integrato di fotoni
Jγ
9
e
gaγγ B .9
Nelle tabelle 3.1 e 3.2 mostriamo i diversi valori del
ottenuti facendo variare i tre parametri
mΦ , ma
e
gaγγ B .
Notiamo
Come è stato già accennato nel capitolo 2, il fondo di ALPs può essere costituito da diverse componenti. E'
facile convincersi che se
f
è la frazione di ALPs che è in grado di subire una conversione, questo parametro può
gaγγ B : gaγγ B → f 1/2 gaγγ B .
essere riassorbito in una ridenizione di
77
Tabella 3.1: Massa ALPs
gaγγ
B (GeV−14 nG)
mΦ
0.1
0.1
0.5
0.5
1.0
1.0
6
(10 GeV)
1.0
5.0
1.0
10.0
1.0
5.0
Tabella 3.2: Massa ALPs
gaγγ
B (GeV−14 nG)
1.0
1.0
1.0
5.0
5.0
10.0
mΦ
6
(10 GeV)
ma = 10−13
eV
Flusso totale (cm
−2 s−1 )
0.89
0.61
22.61
8.42
93.55
68.30
ma = 10−9
eV
Flusso totale (cm
−2 s−1 )
0.16 · 10−3
0.18 · 10−4
0.89 · 10−5
0.21 · 10−3
0.36 · 10−4
0.86 · 10−3
0.1
0.5
1.0
1.0
5.0
1.0
come la dierenza di quattro ordini di grandezza nella massa degli ALPs generi delle evidenti
dierenze nei ussi delle due tabelle. Questo è un risultato che ci si aspetta poichè il termine
di massa
∆a
nelle equazioni del moto agisce in maniera antagonista al termine di mixing
∆aγ ,
tendendo a bloccare le oscillazioni. Per questo motivo il numero di fotoni generati (e quindi il
usso) è così esiguo per valori alti di massa degli ALPs. Osserviamo anche che all'aumentare
della massa dei moduli
perchè aumentando
mΦ
mΦ
(a parità degli altri parametri) il usso di fotoni diminuisce. Questo
spostiamo lo spettro iniziale degli ALPs verso energie più basse (e quindi
anche lo spettro dei fotoni sarà ad energie più basse). Come si vede dalla gura 3.4, minore è
l'energia dei fotoni, maggiormente essi risentono dell'assorbimento, quindi il usso osservato è
minore.
3.2.4
Esperimento ROSAT
Lo scopo di questa trattazione era quello di determinare il usso di fotoni generato dagli ALPs
di CAB che dovremmo osservare all'era attuale. Abbiamo stimato alcuni valori di questo usso
per dierenti valori dei parametri della nostra teoria. Vogliamo ora solo citare alcuni esperimenti
atti ad osservare fondi di raggi X diusi. Ben inteso questi esperimenti, di carattere astrosico,
non hanno nulla a che vedere con la nostra teoria particolare, ma in generale sono intenti ad
osservare ussi diusi di raggi X anomali che non provengano da oggetti conosciuti (galassie,
78
stelle, etc). Potrebbero quindi essere dierenti le fonti di questi raggi X, e non è assolutamente
detto che l'unico fenomeno (se esiste) di generazione sia l'oscillazione con gli ALPs.
L'osservazione cruciale di un ecceso di raggi X è stata determinata dal satellite ROSAT,
[51]. ROSAT fù una missione spaziale conginta di Germania, USA e UK, intenta ad osservare
il cielo nella banda elettromagnetica
[0.1, 2.4]
keV. L'intento di questa missione era osservare e
isolare un possibile eccesso di raggi X (più o meno diuso) dal background delle stelle e delle
galassie. I risultati di ROSAT furono duplici. Da un lato, ROSAT osservò un eccesso di raggi
X proveniente da circa 38 cluster di galassie.
I cluster di galassie sono i più grandi oggetti
legati gravitazionalmente e storicamente sono sempre stati potenti indicatori di nuova sica. Un
esempio fondamentale è dato dall'evidenza che la materia oscura caratterizza circa l'80% della
massa dei cluster.
Oltre alla materia oscura, i cluster sono anche costituiti dall'ICM (Ionised
Intracluster Medium).
L'ICM è un gas altamente ionizzato alla temperatura di
T ∼ 108
K.
Questo gas contiene la maggior parte della massa barionica del cluster e genera un usso diuso
di raggi X intorno ai
7
keV attraverso il processo di bremsstrahlung termico. In realtà ROSAT
(e altri esperimenti precedenti) osservò un eccesso di raggi X con spettro di energia minore di
7
keV e quindi non riconducibile al processo di bremsstrahlung nell'ICM. Lo spettro osservato da
ROSAT ha un picco per energie intorno ai
0.4 keV. Sono diverse le ipotesi storiche formulate per
spiegare questo eccesso, ciascuna delle quali però presenta tutt'ora delle pesanti contraddizioni.
Notiamo come l'eccesso di raggi X osservato nei cluster sia di energie comprese nell'intervallo
(trattato da noi) dello spettro di fotoni generati dagli ALPs di radiazione oscura (per esempio
si veda la gura 3.6).
L'unico problema fondamentale è che questo spettro non è diuso, ma
è osservato nella direzione dei cluster, quindi non rappresenta al meglio i risultati della nostra
teoria. Recentemente è stata proposta una soluzione a questo eccesso nei cluster, [52]. Infatti se
la conversione del fondo di ALPs avvenisse nel campo magnetico dei cluster (che è maggiore di
quello primordiale,
0.1 ÷ 1µG),
verrebbero generati fotoni con energia intorno a
0.4
keV. Questo
spettro potrebbe spiegare in maniera più interessante i risultati di ROSAT nei cluster. In [52] è
stato trattato e confrontato con gli esperimenti l'eccesso osservato nell'ammasso della Chioma.
Dall'altra parte il satellite ROSAT ha anche osservato un eccesso diuso di raggi X in tutto il
cielo, che sembrerebbe dierente da quello dei cluster. Questi risultati potrebbero essere collegati
alle conversioni di ALPs di CAB nei campi magnetici primordiali. Quindi sono eettivamente
questi i risultati ad essere interessanti per il nostro lavoro di tesi.
Riportiamo alcuni valori
osservati da ROSAT. I risultati di ROSAT in questo frangente sono divisi in due bande di
osservazione, la banda
energie nell'intervallo
1/4 keV (con energie nell'intervallo [0.1, 0.4] keV) e la banda 3/4 keV (con
[0.6, 1.0]
keV). I valori ottenuti dalla nostra teoria (nelle tabelle 3.1 e 3.2)
devono quindi essere confrontati con la banda
1/4
79
keV. I limiti di ROSAT sulla banda
1/4
keV
danno un usso totale di fotoni X compreso nell'intervallo,
20
−2
cm
s
−1
. Jγ . 70
−2
cm
−1
s
,
(3.95)
per i valori precisi e gli errori di misura si rimanda al lavoro di ROSAT, [53]. Se confrontiamo
questo intervallo con i nostri risultati dei ussi otteniamo una certa concordanza con una parte dei
valori nella tabella 3.1, mentre i ussi nella tabella 3.2 sono completamente discordanti con i limiti
in (3.95). In realtà i valori nella tabella 3.2 non possono essere del tutto scartati, poichè in tutto
il nostro lavoro di tesi abbiamo supposto che gli ALPs interagissero solo con i campi magnetici
primordiali.
La questione nella realtà è un pò più complessa in quanto gli ALPs potrebbero
risentire anche e soprattutto del campo magnetico della nostra galassia. Quindi una parte degli
ALPs potrebbe essere convertita in fotoni nella nostra galassia e quindi aumentare il valore del
usso stimato dalle sole conversioni nei PMF. Questo problema non verrà trattato nel nostro
lavoro, ma risulta molto interessante ai ni di uno studio più completo della fenomenologia del
CAB. Di più la distribuzione del campo magnetico galattico è maggiormente conosciuta, quindi
una evoluzione nel campo galattico darebbe risultati maggiormente confrontabili con la realtà.
In questa direzione citiamo un lavoro che tratta le conversioni nel campo magnetico galattico,
[54].
I valori nelle tabelle 3.1 e 3.2 devono anche essere confrontati con i limiti imposti dall'altro
fenomeno che ci accingiamo ora a studiare: la ionizzazione dell'idrogeno neutro.
3.3
Il problema della ionizzazione
Approcciamo ora alla parte, a nostro avviso, più interessante della teoria: il problema della reionizzazione dovuto agli ALPs di CAB. Facciamo una breve introduzione sulla fase cosmologica di
Reionizzazione.
La reionizzazione può essere pensata come la seconda maggiore fase di cam-
biamento nella ionizzazione dell'idrogeno nell'universo (il primo cambiamento della ionizzazione
è la fase di ricombinazione che avviene a
z ' 1100,
di cui abbiamo ampliamente discusso sopra).
La fase di reionizzazione è di particolare importanza per lo studio della formazione di strutture
nell'universo. Infatti da un lato, la reionizzazione è diretta conseguenza dalla formazione delle
prime sorgenti luminose nell'universo (chiamate popolazione III di stelle). Dall'altro lato, la ionizzazione dell'idrogeno inuenza la formazione delle strutture successive. Fondamentalmente lo
studio del processo di reionizzazione si basa su due importanti aree: la variazione nella ionizzazione del mezzo intergalattico (IGM) e le sorgenti che generano tale ionizzazione. Nella cosmologia
standard le uniche sorgenti di ionizzazione sono i fotoni generati dalle prime formazioni stellari.
Possiamo quindi pensare che ad un certo istante di tempo nell'universo si siano accese le prime
80
sorgenti luminose (stelle, protogalassie e quasar).
La radiazione elettromagnetica generata da
queste prime formazioni stellari ha cominciato a interagire con il mezzo circostante (IGM), no a
ionizzarlo completamente. Prima di questa fase ricordiamo che l'IGM era completamente neutro
perchè si era in epoca di ricombinazione. La ionizzazione dell'IGM ha comportato una sua variazione nelle proprietà siche e chimiche. Queste variazioni hanno inuenzato la formazione delle
successive galassie e ammassi di galassie. Esistono ancora dei dubbi fondamentali sulla natura
delle sorgenti che hanno generato la ionizzazione e se eettivamente siano state solo sorgenti
puntiformi (galassie e quasar) a ionizzare l'IGM. Infatti alcune teorie si basano sulla possibilità
che parte della reionizzazione sia ad opera di altri oggetti astrosici tipo le prime formazioni
di buchi neri e le supernovae o ad opera di meccanismi più esotici (teorie oltre la cosmologia
standard) come decadimenti della materia oscura.
Riportiamo le fasi storiche che hanno permesso di individuare il processo di reionizzazione.
Nel 1965 Gunn e Peterson mostrarono che l'IGM deve essere altamente ionizzato a redshift
z ∼ 2.
Essi infatti osservarono che sono assenti linee di assorbimento Lyα
del usso trasmesso dai QSO (Quasi-Stellar Obgjects) a
emesso dai quasar a
z ∼ 2
z ∼ 2.
10 nello spettro
Questo signica che lo spetto
non è assorbito dal mezzo intergalattico.
L'unico motivo per il
quale non avviene questo assorbimento risiede nel fatto che l'IGM è ionizzato a
z ∼ 2.
Questo
fenomeno storicamente va sotto il nome di eetto Gunn-Peterson (GP). Negli anni successivi
risultò sempre più palese come l'eetto GP potesse essere il test più stringente del grado di
ionizzazione dell'universo.
Nel 1970, l'astronomo Roger Lynds fù il primo ad osservare un'anomalia nello spettro del
quasar
4C 05.34
posto a
z ∼ 3.
Lynds notò un numero stranamente molto grande di linee
di assorbimento nello spettro di questo quasar.
Egli intuì che tutte queste linee provenivano
dalla stessa transizione Lyα dell'atomo di idrogeno, per questo motivo l'eccesso di linee nello
spettro fu denominato
Lyman-apha forest.
L'interpretazione più accreditata della presenta
della Lyman-apha forest nello spettro dei quasar più lontani è che l'IGM non sia omogeneo, ma sia
caratterizzato dalla presenza di nuvole di idrogeno neutro all'interno dell'IGM ionizzato. Queste
nuvole generano linee di assorbimento discrete nel usso dei quasar lontani. Dallo studio del usso
trasmesso (eetto GP) e della Lyman-alpha forest, si può concludere che a
z ≤6
l'universo è
quasi completamente ionizzato. Le linee di assorbimento Lyα possono essere interpretate come
un residuo della fase di reionizzazione, cioè la presenza di segni di assorbimento nello spettro
dei quasar indicano una non completa ionizzazione dell'IGM e quindi la presenza di nuvole di
idrogeno neutro.
La situazione osservativa cambia in maniera rimarchevole per quasar a redshift
10
z & 6.
Gli
Ricordiamo che la transizione Lyα è la transizione dallo stato fondamentale dell'idrogeno al primo stato
eccitato.
81
spettri di questi quasar lontani hanno delle dierenze sostanziali nelle linee di assorbimento
rispetto ai quasar a
z ≤ 6,
[55]. Di più osservando la profondità ottica Lyα dovuta all'eetto
GP, si nota un cambiamento nell'andamento a
z ∼ 6,
che fà pensare ad un cambio di fase nel
mezzo intergalattico. Abbiamo quindi la seguente situazione osservativa proveniente dai QSO.
Nell'universo attuale l'eetto GP ci permette di considerare l'IGM praticamente ionizzato (e
l'idrogeno neutro connato in nubi all'interno dell'IGM). A redshift
z ∼6
l'IGM sembrerebbe
cambiare fase e diventare pressochè neutro. Lo studio dello spettro dei QSO permette in denitiva
z ∼ 6.
di ssare una data di reionizzazione a
Un'altra osservazione sperimentale della data di reionizzazione proviene dallo studio del
parametro cosmologico
τthom .
Come abbiamo esposto nel capitolo 2, la maggior parte degli espe-
rimenti cosmologici è basata sulla misura delle anisotropie di temperatura e di polarizzazione
della CMB. Le uttuazioni della CMB possono essere considerevolmente ridotte dallo scattering Thomson dei fotoni sul plasma ionizzato dell'IGM. Questo fenomeno è parametrizzato dal
parametro
τthom
che rappresenta la profondità ottica (misurata all'epoca attuale) dovuta allo
scattering Thomson dei fotoni di CMB. Per denizione la profondità ottica di un mezzo è la misura della frazione di radiazione elettromagnetica sparpagliata o assorbita dal mezzo. La frazione
assorbita da un mezzo di dimensione
σint
d
con densità di centri diusori
ndif f usori
e sezione d'urto
di interazione fotone-diusore è
d
τ=
dxσint (x)ndif f usori (x).
(3.96)
0
Nel nostro caso il mezzo è l'IGM ionizzato e l'interazione che consideriamo è quella Thomson
tra fotoni e elettroni liberi. In un universo in espansione, la profondità ottica della CMB dovuta
all'eetto Thomson su elettroni liberi è
zdec
τthom = σT
dx(z)nf ree (z)
(3.97)
0
dove
σT
è la sezione d'urto Thomson che è una costante
σT =
zdec ' 1100
8πre2
,
3
è il valore del redshift nella fase di ricombinazione e
di elettroni liberi. L'integrazione è fatta rispetto al redshift
da
z = 0
(3.98)
(era attuale) no a
z = zdec
z.
nf ree
è la densità in numero
Gli estremi dell'integrale vanno
(formazione della CMB). Ovviamente l'integrale darà
contributi solo dal periodo di reionizzazione in poi, poichè prima tutto l'idrogeno è neutro e
quindi la densità di elettroni liberi
nf ree ∼ 0.
82
Basandoci sulle informazioni provenienti dai
QSO, ci aspettiamo che per una fase di reionizzazione intorno a
profondità ottica
τthom . 0.05,
z ∼ 6,
si abbia un valore della
[55].
L'esperimento Planck, anche in questo caso, ha determinato una stima del parametro cosmologico
τthom
[10]
τthom = 0.089 ± 0.032
Questo valore è compatibile solo entro
2σ
(al 68% di condenza).
con un valore atteso
τthom ∼ 0.05.
(3.99)
Se consideriamo il
valore centrale del parametro stimato da Planck, allora la fase di ionizzazione si colloca intorno
a
z ∼ 11,
che ovviamente è discrepante con quanto osservato nei QSO.
Riassumendo quanto detto sopra, il valore della data di reionizzazione basato sullo studio
degli spettri dei QSO è intorno a
anisotropie di CMB) è intorno a
prima di Planck,
z = 6,
z = 11.
mentre il valore stimato da Planck (basatosi sulle
Per completezza citiamo il valore osservato da WMAP
τthom = 0.089±0.014 [50], che è compatibile con il valore di Planck.
Ricordiamo
che anche la missione WMAP ha studiato le anisotropie di CMB. Ciò che ne deriva è che i due
esperimenti di osservazione della CMB sembrano in contrasto con il valore ottenuto dai QSO.
Ovviamente quanto detto no ad ora in questa sezione è collocabile in una teoria standard della
reionazzione, in cui le stelle sono le uniche fonti di questo fenomeno. Non è nostra intenzione
entrare nei dettagli della teoria standard della reionizzazione, abbiamo solo citato i passi salienti.
Un'interessante review sul tema della reionizzazione (teoria e osservazioni) è citata in [55].
Studieremo ora una possibilità originale e dierente di reionizzazione.
Questa possibilità
potrebbe, in uno studio più approfondito, gettare maggiore luce sulla fase di reionizzazione
dell'universo e tentare di riconciliare le discrepanze. Nel nostro lavoro daremo solo i dettagli della
teoria e li confronteremo con il limite dato dall'esperimento Planck.
Non è nostra intenzione
scendere in dettaglio su come le discrepanze osservative si possano riconciliare, poichè questo
comporterebbe uno studio più approfondito sulle dinamiche di reionizzazione, che non sono lo
scopo fondamentale di questo lavoro.
3.3.1
Reionizzazione e ALPs
Nella sezione precedente abbiamo concluso che l'universo all'era attuale è completamente ionizzato. Sappiamo anche che nelle ultime fasi dell'universo dopo la ricombinazione (z
< 1000),
i
fotoni di CMB non hanno energia sucente per ionizzare gli atomi neutri di idrogeno. Da ciò
deriva che in un universo standard, la fase di reionizzazione debba essere solo appannaggio dei
fotoni provenienti dalle prime formazioni stellari (popolazione III), che sono le uniche particelle
ad avere energia sucente a ionizzare. Le cose potrebbero cambiare drasticamente se teniamo
conto della possibile esistenza di radiazione oscura. La presenza di un fondo di ALPs di radiazione oscura potrebbe innescare un fenomeno dierente di reionizzazione. Infatti il meccanismo di
83
oscillazione fotone-ALP, come già detto, genererebbe un usso di fotoni nella banda dei raggi X.
Questa radiazione elettromagnetica (se esistesse) sarebbe in energie
106
volte maggiori dei fotoni
di CMB. Questi fotoni hanno energia suciente a ionizzare gli atomi neutri di idrogeno presenti
nell'universo. Il fenomeno andrebbe quindi a sommarsi al processo di reionizzazione dovuto ai
fotoni delle stelle, modicando il quadro teorico standard.
Nella sezione 3.2.3 abbiamo osservato come la risoluzione del sistema di equazioni (3.64)
e (3.65) per le funzioni di trasferimento dei fotoni e degli ALPs permetta di determinare il
usso di radiazione elettromagnetica all'era attuale.
In realtà la risoluzione di questo sistema
dà anche un'informazione sulla variazione della quantità di idrogeno neutro
nH (z).
Questa
variazione è legata al processo di ionizzazione dovuto ai fotoni generati dagli ALPs (che d'ora
in poi chiameremo fotoni X). Ci soremiamo ora proprio su questa variazione.
frazione di idrogeno ionizzato dai fotoni X in funzione di
b(z) = 1 −
dove
ne (z)
z
Deniamo la
come
nH (z)
,
ne (z)
(3.100)
è la densità totale di elettroni (legati e liberi). L'integrazione numerica del sistema
di equazioni (3.64) e (3.65) permette di determinare l'evoluzione di
b
con
z.
Mostriamo in gura
3.7 questa evoluzione per i seguenti valori dei parametri della teoria: per il prodotto del campo
magnetico per la costante di accoppiamento
gaγγ B0,⊥ = 10−14
GeV
−1
nG,
per la lunghezza delle celle
l0 ∼ 1
Mpc,
per la massa degli ALPs
ma = 10−13
eV,
per il numero totale di elettroni
ne0 ' 2.48
−3
cm
,
e per masse dei moduli
mΦ = 5 · 106
GeV.
L'integrazione è stata fatta con la condizione iniziale che
1000
nH (1000) ' ne (1000),
poichè a
z =
sostanzialmente tutto l'idrogeno presente nell'universo è neutro (fase di reionizzazione),
b(1000) ' 0.
La frazione di atomi di idrogeno ionizzato che appare in gura discende dalla sola
ionizzazione da parte dei fotoni generati dagli ALPs. Nell'integrazione non è stato infatti tenuto
84
Figura 3.7: Variazione della frazione di ionizzazione
logaritmica in
b(z)
in funzione di
z.
La gura è in scala
z.
conto della fase di reionizzazione dovuta alla formazione delle stelle, questo fenomeno si dovrebbe
sommare al fenomeno da noi descritto.
Notiamo come già da sola, la nostra teoria prevede
un qualche grado di ionizzazione dell'IGM. Ovviamente la sola teoria degli ALPs non basta
a spiegare l'intera ionizzazione dell'universo all'era attuale (ricordiamo che l'universo nell'era
attuale è completamente ionizzato). Il contributo dominante alla ionizzazione proviene ancora
dai fotoni emessi delle prime strutture stellari (popolazione III e quasar).
Possiamo anche calcolare numericamente le profondità ottiche che derivano dalla nostra teoria
di reionizzazione e confrontarle con i dati provenienti da Planck. Ricordiamo il risultato di Planck,
τthom = 0.089 ± 0.032
(al 68% di condenza).
(3.101)
Nella nostra teoria questo valore sarà dovuto a due contributi, un contributo dovuto alla reionizzazione standard (popolazione III di stelle) e un contributo dalla ionizzazione dovuta ai fotoni
generati da ALPs. In realtà c'è una complicazione. Le teorie standard sulla reionizzazione, ad
ora, non permettono di denire con certezza quale sia il contributo alla reionizzazione dovuta alle
stelle, [55], sappiamo solo che da un certo istante in poi l'universo cambia la sua ionizzazione.
Nella nostra teoria, d'altra parte, possiamo conoscere con certezza qual'è il grado di reionizzazione dovuta agli ALPs, poichè conosciamo le equazioni per la sua determinazione, (3.64) e (3.65).
Poichè allora conosciamo solo uno dei due contributi alla profondità ottica totale, il valore determinato integrando le equazioni (3.64) e (3.65) della nostra teoria deve essere inferiore o al più
85
uguale alla profondità ottica determinata da Planck,
spazio alla possibilità che la dierenza
τthom − τALP
τALP ≤ τthom .
In questo modo lasciamo
sia dovuta al contributo delle stelle alla
reionizzazione o in generale a qualsiasi altro possibile fenomeno di reionizzazione, che non sono
considerati nelle equazioni di evoluzione fotone-ALP del nostro sistema.
Possiamo calcolare
τALP
nel seguente modo,
zdec
dx(z)σT nf ree (z),
τALP =
(3.102)
0
z
dove l'integrale è fatto in
nH (z). nH (z)
(per tener conto dell'evoluzione dell'universo) e
è la soluzione dell'equazione (3.65) ad ogni
dx(z): dx(z)
sull'elemento di linea
z.
nf ree (z) ≡ ne (z) −
Facciamo una breve digressione
è l'elemento di linea sico, nel senso che è l'elemento di
distanza spaziale che si espande con l'espansione dell'universo. Se riprendiamo la metrica FRW,
ds2 = R(χ)2 dχ2 −
ricordiamo che
r
e
Ω
dr2
2
2
,
−
r
dΩ
1 − kr2
sono le coordiante spaziali comoventi, cioè in parole povere non risentono
dell'espansione. La metrica può essere riscritta in termini del tempo cosmologico e delle distanze
siche come
ds2 = dt2 − dx(t)2 ,
in cui l'elemento di linea
dx(t)
dipende dal tempo, e quindi evolve.
Nell'equazione (3.102)
possiamo passare da un'evoluzione nella distanza ad un'evoluzione nel redshift
z
(ricordando la
denizione di redshift) tramite
dx(z)
1
=
,
dz
[(1 + z)H(z)]
a sua volta ricordiamo che
˙
H(z) ≡ R(z)/R(z)
soddisfa all'equazione di Friedmann (con curvatura
k = 0)
H(z)2 =
dove
ρ(z)
1
ρ(z)
3MP2 l
è la densità totale di energia a redshift
densità totale di energia all'era attuale
ΛCDM,
all'era attuale
ρ0
(3.103)
z . ρ(z)
(3.104)
può essere scritta in funzione della
ρ0 , redshiftando ogni contributo.
In un modello di universo
è caratterizzata dalla materia non relativistica (CDM e barioni), dalla
costante cosmologica e dai fotoni di CMB (il cui contributo è trascurabile rispetto alle prime
due),
ρ0 = ρ0Λ + ρ0matter + ρ0CM B ,
86
(3.105)
che possiamo riparametrizzare rispetto alla densità critica
ΩΛ ≡
ρc = 3MP2 l H02 ,
come
ρ0Λ
,
ρc
Ωmatter ≡
ρ0matter
,
ρc
ΩCM B ≡
ρ0CM B
.
ρc
Ricordando che la densità di materia si diluisce come
(1+z)3
e quella di radiazione come
(1+z)4 ,
possiamo riscrivere l'equazione (3.104) come
H(z) = H0
con
H0 ≡ H(0).
p
ΩΛ + Ωmatter (1 + z)3 + ΩCM B (1 + z)4 ,
(3.106)
Ma la nostra teoria contiene anche la radiazione oscura come costituente
dell'universo, e quindi bisogna aggiungerla nel conto dell'energia totale nell'universo. La densità
di radiazione oscura
ρ0a
sotto forma di ALPs all'era attuale è stata determinata nel capitolo 2 ed
è legata alla densità della CMB all'era attuale,
ρ0a
ovviamente anche per
ρ0a
7
=
8
4
11
1/3
∆Nef f ρ0CM B ,
(3.107)
possiamo denire
Ωa ≡
ρ0a
.
ρc
Tenendo conto di ciò, l'equazione (3.106) viene modicata come
H(z) = H0
p
ΩΛ + Ωmatter (1 + z)3 + ΩCM B (1 + z)4 + Ωa (1 + z)4 ,
(3.108)
poichè gli ALPs sono particelle relativistiche e perciò la loro densità in energia scala come
radiazione.
Possiamo determinare
nH (z). nH (z)
τALP
se consciamo ad ogni redshift il valore della densità di idrogeno
è determinata a partire dall'equazione (3.65). Risolvendo il sistema di equazioni
(3.64) e (3.65) (o il sistema approssimato (3.90) e (3.91)), possiamo determinare ad ogni
nH (z),
z
il
τALP .
Nelle
gure 3.8 a pagina 97 e 3.9 a pagina 97 mostriamo i diversi valori della profondità ottica
τALP
valore di
che integrato come in (3.102), permette di determinare il valore di
per diversi valori del prodotto
gaγγ B
e valori ssati di
87
mΦ
e
ma .
La linea orizzontale rappresenta
il limite superiore entro
i valori di
τALP
2σ
del risultato di Planck (τthom
inferiori a questo limite (τALP
≤ τthom )
= 0.153),
ovviamente come detto sopra
sono i valori permessi anchè la teoria
sia compatibile con l'esperimento. Quindi i valori sotto la linea orizzontale verde nelle gure sono
i valori permessi per il prodotto
gaγγ B
anchè
τALP
sia compatibile con i risultati di Planck.
Ricordiamo che richiediamo una condizione meno stringente di diseguaglianza
τALP ≤ τthom ,
perchè lasciamo libera la possibilità che parte della reionizzazione sia dovuta all'accensione delle
prime formazioni stellari ed ad eventuali altri processi.
Questo conclude il nostro lavoro sulle conversioni degli ALPs di radiazione oscura in presenza
di un campo magnetico distribuito in celle. Nella sezione successiva descriviamo brevemente come
poter estendere la teoria in presenza di un campo magnetico con una congurazione più reale.
3.4
Campi magnetici turbolenti
La distribuzione a celle, pur essendo una buona approssimazione per i nostri scopi, sotto certi
aspetti risulta una versione un pò troppo semplicata dei campi primordiali. Ad ora non si ha
la certezza che i PMF esistano, ma qualora esistessero questi campi dovrebbero necessariamente
avere una struttura che ha una sua evoluzione non banale nell'universo.
Da questo punto di
vista risulterebbe più reale una distribuzione di campo turbolenta, [56], poichè rispecchierebbe il
carattere turbolento delle prime fasi dell'universo, dove si pensa che i campi siano stati generati.
In questa sezione vogliamo mostrare come implementare un campo magnetico turbolento
nelle equazioni di evoluzione fotone-ALP. Fondamentalmente si denisce regime turbolento l'evoluzione di un campo che avviene secondo leggi caotiche, cioè sistemi fortemente inuenzati
dalle condizioni iniziali. Variazioni anche piccole in queste condizioni generano divergenze nelle
evoluzioni nali delle strutture. Nel nostro caso vogliamo descrivere un campo turbolento con
11 . Supponiamo di voler trattare un campo magnetico (isotropo e omoge-
distribuzione gaussiana
neo) turbolento con media nulla e scarto quadratico medio
B2.
Imponiamo inoltre che il campo
magnetico sia indipendente dal tempo. Per un siatto campo è possibile l'espansione in modi di
11
Un generico campo
φ
si dice gaussiano quando ciascuno dei suoi modi di Fourier si distribuisce come una
distribuzione normale
si può mostrare infatti che mentre la
correlazione a
2n
˜2 φ
1
exp − k2 ,
P (φ˜k ) = √
2σ
2πσk
k
correlazione a 2n + 1 punti per questo
tipo di campi è sempre nulla, la
punti può essere scritta come la contrazione della funzione di correlazione a due punti (in
analogia col teorema di Wick), per esempio
hφ1 φ2 φ3 φ4 i = hφ1 φ2 i hφ3 φ4 i + hφ1 φ3 i hφ2 φ4 i + hφ1 φ4 i hφ2 φ3 i .
Per un campo gaussiano la funzione di correlazione a due punti caratterizza quindi completamente il campo.
88
Fourier
d3 k ˜
Bi (k)ei(k·x+ψ(k)) ,
(2π)3
Bi (x) =
dove
ψ(k)
(3.109)
è un eventuale fattore di fase (poco interessante per i nostri scopi) e
˜i (−k) = B
˜i (k),
B
in modo da garantire che il campo sia reale. La funzione di correlazione per i modi di Fourier
delle componenti di un campo isotropo e omogeneo può in maniera generale essere scritta come
E
D
kl 3
0
6
˜
˜
Bi (k)Bj (k ) = (2π) M (k)Pij (k) + iijl Q(k)
δ (k − k0 ),
k
dove
k = |k|
(3.110)
e
Pij (k) = δij −
che tiene conto del vincolo
∇ · B = 0. M (k)
ki kj
k2
è lo spettro delle perturbazioni simmetriche,
normalizzato in modo che lo scarto quadratico medio sia
2
(3.111)
i
B2,
∞
dkk 2 M (k).
B = hBi (x)B (x)i = 8π
(3.112)
0
Q(k)
è la componente elicale, che tiene conto della correlazione tra le diverse componenti del
campo magnetico. Poichè questa parte non dà contributi alle quantità che vogliamo calcolare,
possiamo tranquillamente trascurarla. Se scegliamo
x3 come linea di vista (lungo cui si propagano
gli ALPs), abbiamo la seguente relazione per la componente trasversale
ˆ 3 )i =
hB1 (x)B1 (x + x3 x
Chiamiamo
trasversa,
alla linea di vista
k12
dk3
ik3 x3
d kM (k) 1 − 2 e
ε˜⊥ (k3 )eik3 x3 ,
≡
k
2π
3
ˆ 3 )i.
C(x3 ) ≡ hB1 (x)B1 (x + x3 x
B2 . ε˜⊥ (k3 )
B1
(3.113)
Una formula analoga vale per l'altra componente
è la funzione di correlazione lungo la linea di vista per le componenti
trasverse, che possiamo scrivere come
k12
dk1 dk2 M (k) 1 − 2 .
k
ε˜⊥ (k3 ) = 2π
Passando alle coordinate cilindriche
cambio di variabile
2 + k2 ,
k 2 = k⊥
3
(k1 = k⊥ cos φ, k2 = k⊥ sin φ, k3 )
(3.114)
e integrando in
φ
con il
otteniamo
ε˜⊥ (k3 ) = 2π
2
∞
k2
dkkM (k) 1 + 32
k
|k3 |
.
La funzione di correlazione spaziale lungo la linea di vista per le componenti trasverse
89
(3.115)
B1,2
sarà
dunque collegata ad
ε˜⊥
nel seguente modo
∞
dk
ε˜⊥ (k) cos (kx3 ) .
π
ˆ 3 )i =
C(x3 ) = hB1 (x)B1 (x + x3 x
0
(3.116)
Possiamo simulare una realizzazione di un campo magnetico turbolento lungo una linea di vista
tramite un'espansione discreta in serie di Fourier (questo tipo di espansione è permesso, si veda
[57] per i dettagli),
B1 (x) '
N
X
bn [ξn cos kn x + ηn sin kn x] ,
(3.117)
n=1
dove
1,
ξn
e
ηn
sono variabili indipendenti distribuite gaussianamente, con media nulla e varianza
cioè
hξn1 ξn2 i = hηn1 ηn2 i = δn1 n2 ,
hξn1 ηn2 i = 0,
mentre i
bn
sono i coecenti di Fourier. La funzione di correlazione è quindi data da
N
X
0
C(x − x ) = B1 (x)B1 (x ) '
b2n cos kn (x − x0 ).
0
(3.118)
n=1
Se confrontiamo (3.118) con una versione discretizzata della (3.116) otteniamo la seguente egualianza nei parametri,
r
bn =
con
∆kn
intervallo contenente
kn .
ε˜⊥ (kn )∆kn
,
π
(3.119)
Tenendo conto di (3.119) e applicando la trasformazione di
Box-Muller, possiamo riscrivere il campo in (3.117) come
B1 (x) '
N
X
n=1
con
Un
e
Vn
s
ε˜⊥ (kn )∆kn
ln
π
law con cut-o ultravioletto
M (k)
kc ,
M (k) = Ak
q
1
Un
cos(kn x + 2πVn ),
variabili distribuite uniformemente nell'intervallo
Supponiamo che la distribuzione spettrale
dove
è l'indice spettrale e
A
(0, 1].
del campo magnetico sia una tipica power-
2
k
q − kc
e
(3.120)
,
(3.121)
−
è una costante. Abbiamo introdotto un ltro gaussiano e
modo che lo spettro non sia tagliato in modo netto dal cut-o
kc ,
k
kc
2
in
ma nell'intorno di questo
valore vada a zero in maniera gaussiana. Anchè la condizione di normalizzazione (3.112) sia
90
convergente, l'indice spettrale deve soddisfare a
permette di ssare la costante
q > −3.
La condizione di normalizzazione (3.112)
A,
A=
1
B2
k −(q+3) ,
4π Γ q+3 c
(3.122)
2
con
Γ(q) funzione gamma di Eulero.
Sostituiamo in (3.115), la relazione (3.121) per
M (k).
Dopo
alcuni passaggi algebrici, otteniamo
ε˜⊥ (k) =
dove la funzione
Fq (x)
Fq (x) =
Γ (α)
incompleta
k
kc
,
(3.123)
è
Γ
dove
π B2
Fq
4 kc
q+2
2
2 ,x
Γ
+ x2 Γ
q
2
2, x
q+3
2
è la funzione gamma di Eulero, mentre
Γ (α, x)
,
(3.124)
è la funzione gamma di Eulero
12 .
In gura 3.10 a pagina 98 è mostrata una possibile realizzazione della componente trasversa
di un campo della forma (3.120), con spettro di power-law di indice
like spectrum),
B'1
nG e
kc ' 0.1
−1
Mpc
B1
q = −5/3 (detto Kolmogorov-
.
Possiamo introdurre una lunghezza di coerenza per il campo turbolento nella seguente maniera. Supponiamo di considerare un generico fenomeno che implica scale di evoluzioni maggiori
della scala di corenza di
C(x3 ).
Nel senso che nelle scale di un generico fenomeno,
C(x3 )
si com-
porta approssimativamente come una delta di Dirac. In questo caso possiamo riscrivere
C(x3 )
in (3.116) come
C(x3 ) ' hB1 i2 lδ(x3 ),
con
(3.125)
hB1 i2 scarto quadratico medio della componente trasversa del campo magnetico e l lunghezza
di coerenza (introdotta per ragioni dimensionali). Notiamo che la componente trasversa media
al quadrato
2
hB1 i =
hB1 i2
è legata al quadrato del campo magnetico totale medio
B2
3 . Se integriamo in
x3
la relazione precedente per
+∞
C(x3 ),
B2
dalla relazione
otteniamo
dx3 C(x3 ) ' hB1 i2 l.
(3.126)
−∞
Se ora ricordiamo che la trasformata di Fourier di
12
C(x3 ) è ε˜⊥ (k) (equazione (3.113)), allora è facile
Ricordiamo che la funzione gamma di Eulero incompleta è denita come
Dunque la gamma completa è
Γ(α) ≡ Γ(α, 0).
91
Γ(α, x) =
∞
x
dte−t tα−1
per
x > 0.
vedere che
ε˜⊥ (0) ' hB1 i2 l,
da cui possiamo identicare una semplice relazione per determinare
la lunghezza di coerenza del campo l,
∞
ε˜⊥ (0)
3π 0 dkkM (k)
∞
l'
.
2 = 4
2
hB1 i
0 dkk M (k)
(3.127)
Per uno spettro a power-law come quello in (3.121), la lunghezza di coerenza acquista la semplice
forma
q+2
Γ
2
3π
l=
q+3
4kc Γ
(3.128)
2
valida per
q > −2.
Vediamo ora come implementare una congurazione di campo magnetico turbolento nel sistema di evoluzione fotone-ALP. Partiamo dal caso di un universo statico. Un risultato esatto
con un campo turbolento richiede metodi montecarlo molto dispendiosi dal punto di vista computazionale. Tuttavia, corroboati dal fatto che l'approssimazione al I ordine fornisce un risultato
soddisfacente per il modello a celle, ripeteremo qui la stessa approssimazione per un campo
turbolento. L'hamiltoniana del sistema fotone-ALP in questo caso la si può scrivere come

k − i Γ2
0
0
k − i Γ2
∆1
∆2

H=
dove
k ≡ ∆pl − ∆a
e
∆1,2 = 21 gaγγ B1,2 (x3 ),
in cui
∆1


∆2  ,
0
B1,2 (x3 )
(3.129)
sono le due componenti del campo
magnetico trasverse alla linea di vista. L'equazione di evoluzione diventa

i
A1


∂ 
 
 A2  = 
∂x3
a
k − i Γ2
0
0
k − i Γ2
∆1
∆2
∆1

A1



∆ 2   A2  .
0
a
(3.130)
Operando il seguente cambiamento di variabili
A1,2
ˆ
= A1,2 exp −i
0
x3
Γ(s)
ds k(s) − i
2
≡ Aˆ1,2 e−ψ(x3 ) ,
(3.131)
il sistema acquista la semplice forma
 


0
0
∆1 eψ
Aˆ1
Aˆ1
∂  ˆ  


i
0
0
∆2 eψ   Aˆ2  .
 A2  = 
∂x3
a
∆1 e−ψ ∆2 e−ψ
0
a

92
(3.132)
Come osservato nella sezione 3.2.2, valgono le seguenti disuguaglianze
∆aγ ∆pl
e
∆1,22 x3 1.
Possiamo quindi espandere perturbativamente al primo ordine la soluzione del sistema
Aˆ1 (x3 ) = −i
x3
dζ∆1 (ζ)
e
ψ(ζ)
a(0),
(3.133)
dζ∆2 (ζ)
e
ψ(ζ)
a(0).
(3.134)
0
Aˆ2 (x3 ) = −i
x3
0
Se poniamo che lo stato iniziale sia solo di ALPs, allora
a(0) = 1
(mentre
Aˆ1,2 (0) = 0).
La probabilità che un ALP sia convertito in fotone è data dalla seguente formula (ricordando
l'interpretazione semiclassica di
|A1,2 |2 )
2 x3
2 ˆ
ˆ
Pa→γ (x3 ) = |A1 (x3 )| + |A2 (x3 )| = A1 (x3 ) + A2 (x3 ) e− 0 dsΓ(s) .
2
Possiamo calcolare
2
(3.135)
2
ˆ
A1 (x3 ) ,
x3
ζ 2 1
ζ
ζ
ˆ
i ζ 2 k(s)ds 21 0 1 + 0 2 dsΓ(s)
2
e
.
dζ1 dζ2 B1 (ζ1 )B1 (ζ2 )e 1
A1 (x3 ) = gaγγ
4
0
(3.136)
Poichè non siamo interessati ad una singola evoluzione del campo turbolento, ma ad una media
statistica su tutte le congurazioni possibili del campo turbolento, operiamo una media sul campo
B1 (x3 ),
x3
ζ 2 1
ζ
ζ
ˆ
i ζ 2 k(s)ds 21 0 1 + 0 2 dsΓ(s)
2
e
dζ1 dζ2 hB1 (ζ1 )B1 (ζ2 )i e 1
.
A1 (x3 ) = gaγγ
4
0
Ovviamente
due punti
che
C(ζ)
ζ1
hB1 (ζ1 )B1 (ζ2 )i = C(ζ1 − ζ2 )
e
ζ2 ,
è la funzione di correlazione del campo magnetico nei
che per un campo turbolento è data dalla relazione (3.113).
sia una funzione sucentemente stretta intorno a
di correlazione è non nulla solo a piccole scale, ciò è vero se
ζ = 0
k(ζ).
Supponiamo
(nel senso che la funzione
q > −2).
In questo caso
comporta quasi come una delta di Dirac per funzioni che variano lentamente con
e
(3.137)
C(ζ)
si
ζ , cioè per Γ(ζ)
Sotto questa ipotesi possiamo riscrivere l'equazione seguente come
x3
2 1
ζ1
ˆ
2
dζ1 dζ2 C(ζ1 − ζ2 )e−ik(ζ1 )(ζ1 −ζ2 ) e 0 dsΓ(s) .
A1 (x3 ) = gaγγ
4
0
93
(3.138)
Possiamo fare il seguente cambio di variabile
ζ2 → (ζ1 − ζ2 ) ≡ ξ ,
x3 −ζ1
x3
2 1
ζ1
ˆ
dsΓ(s)
2
C(ξ)e−ik(ζ1 )ξ .
dζ1 e 0
A1 (x3 ) = gaγγ
4
ζ1
0
Ora se
C(ξ)
è sucentemente stretta intorno a
ξ=0
(3.139)
e và rapidamente a zero fuori dall'intorno
(funzione a supporto compatto), possiamo trascurare gli estremi di integrazione nel secondo
integrale e estendere l'integrazione a tutto l'asse reale,
∞
x3
2 1
ζ1
ˆ
dsΓ(s)
2
0
C(ξ)e−ik(ζ1 )ξ .
dζ1 e
A1 (x3 ) = gaγγ
4
−∞
0
Il secondo integrale è proprio la trasformata di Fourier della funzione di correlazione
(3.140)
C(ξ).
Dalla
C(ξ)
è ε˜⊥(k)
. Ricordiamo che ε˜⊥ (k)
2
ˆ
Per
la situazione è analoga.
A1 (x3 )
relazione (3.113) notiamo che la trasformata di Fourier di
è la funzione di correlazione nello spazio dei momenti.
In denitiva la probabilità (3.135) diventa
2
gaγγ
Pa→γ (x3 ) =
2
x3
dζ ε˜⊥ (k(ζ))e−
x3
ζ
dsΓ(s)
.
(3.141)
0
Teniamo presente che l'argomento da cui dipende
ε˜⊥
in questa formula è
k(ζ) ≡ ∆pl − ∆a .
La relazione (3.141) può essere messa nella seguente forma dierenziale
2
gaγγ
d
ε˜⊥ (k(x3 )) − Γ(x3 )Pa→γ (x3 ).
Pa→γ (x3 ) =
dx3
2
(3.142)
Come nelle sezioni precedenti, moltiplicando per la densità iniziale di ALPs, possiamo passare
ad una relazione per le densità di fotoni
nγ
2
gaγγ
d
ε˜⊥ (k(x3 ))na (x3 , E) − Γ(x3 )nγ (x3 , E).
nγ (x3 , E) =
dx3
2
(3.143)
Per passare ad un universo in espansione dobbiamo tenere conto del redshift di ogni elemento
della precedente espressione,
d
dx(z)
nγ (z, E(z)) =
dz
dz
con
dx(z)/dz
data da (3.103).
!
2
gaγγ
ε˜⊥ (k(x3 ))na (z, E(z)) − Γ(z)nγ (z, E(z)) ,
2
(3.144)
Come al solito, all'equazione (3.144) và aggiunta la variazione
di atomi di idrogeno dovuta all'assorbimento dei fotoni generati dagli ALPs, equazione (3.65).
La risoluzione del sistema di equazioni (3.144) e (3.65) permette di derminare il usso di fotoni
94
generati da ALPs e la reionizzazione dovuta a questo usso. La dierenza con i casi precedenti
sta nel fatto che ora si è usata una congurazione di campo magnetico turbolento, invece della
semplice approssimazione di campo a celle. In realtà il caso turbolento introduce un parametro
in più nella teoria, che è l'indice spettrale
q.
Dierenti valori dell'indice spettrale comportano
dierenti valori delle lunghezze in gioco (equazione (3.128)) e quindi dierenti possibilità di
origine del campo. Da studi sui campi magnetici generati nelle transizioni di fase dell'universo
primordiale, si è osservato che per ragioni di causalità il campo magnetico primordiale deve
essere caratterizzato da un indice spettrale
q'
5
2 , [58]. Nel nostro lavoro non intendiamo entrare
nei dettagli delle teorie sui PMF, quindi come esempio mostreremo tre casi con dierenti valori
dell'indice spettrale
q = − 35
(Kolmogorov-like spectrum
13 ),
q=0
(rumore bianco) e
Nella gura 3.11 a pagina 98 mostriamo la varizione della frazione di ionizzazione
q=
5
2.
b(z) dovuta
ai fotoni di ALPs per il modello a celle e per i tre dierenti casi del modello turbolento. Abbiamo
usato i seguenti valori dei parametri liberi: per il prodotto del campo magnetico per la costante
14
di accoppiamento
r
gaγγ B0 =
3
· 10−14
2
GeV
−1
nG,
per la lunghezza delle celle
l0 ∼ 1
Mpc,
per la massa degli ALPs
ma = 10−13
eV,
per il numero totale di elettroni
ne0 ' 2.48
−3
cm
,
e per masse dei moduli
mΦ = 1 · 106
GeV.
Per poter eseguire un confronto, per i modelli turbolenti il cut-o è stato ssato a partire dalla
formula (3.128), considerando una lunghezza di coerenza uguale alla lunghezza delle celle nel
modello a celle (l0
= 1
Mpc).
Notiamo come i quattro modelli abbiano tra di loro delle so-
stanziali dierenze. Ci si aspetta delle dierenze tra modello a celle e turbolento poichè, come
ampliamente discusso, il modello a celle è un'approssimazione un pò troppo semplicata del
13
In questo caso ci riferiamo ad uno spettro Kolmogorov-like in quanto un vero spettro di Kolmogorov implica
u(k) = 4πk2 M (k) scala come k−5/3 , ovvero q = −11/3. Tuttavia uno spettro del genere
che la densità di energia
introduce correlazioni a lunga scala.
14
Il fattore
p
3/2
è stato aggiunto in modo da poter confrontare il caso di evoluzione in celle con quello
gaγγ B0,⊥ = 10−14 GeV−1 nG, mentre nel caso turbolento
turbolento. Ricordiamo infatti che per il caso a celle
compare l'intensità del campo totale (e non la sua proiezione trasversale) quindi dobbiamo tenere di conto della
2
2
3
relazione B = 2 B⊥ .
95
campo magnetico primordiale. Di più, all'interno dello stesso modello turbolento dierenti valori
dell'indice spettrale generano dierenti andamenti della frazione di ionizzazione.
motivo dobbiamo ricordare che a parità di lunghezza di coerenza
l,
il cut-o
kc
Per capire il
è fortemente
inuenzato dall'indice spettrale (come si può osservare dall'equazione (3.128)). Infatti il valore
del cut-o diminuisce monotonicamente all'aumentare dell'indice spettrale. Diminuendo il cut-o
tagliamo via via sempre più il contributo dei momenti grandi
k dello spettro in energia del campo
magnetico. Ora nelle equazioni precedenti, come abbiamo detto, contribuiscono solo i momenti
k ' ∆pl (z) − ∆a (z).
Per valori grandi dell'indice spettrale (q
piccolo da tagliare i momenti
∼ 2),
il cut-o è sucentemente
k ' ∆pl (z) − ∆a (z) a redshift z ' 1000, e per questo motivo sposta
l'inizio delle oscillazioni a redshift più bassi
z ∼ 500,
come si può osservare in gura. Per valori
k ' ∆pl (z) − ∆a (z) anche a
5
redshift alti, per questo motivo per q = 0 o per q = − le oscillazioni (e quindi la reionizzazione
3
5
dovuta ad ALPs) partono a redshift più alti rispetto che in q = .
2
di
q
più bassi il valore del cut-o aumenta, inglobando in se valori
Nelle gure 3.12 a pagina 99 e 3.13 a pagina 99 sono mostrati invece i confronti per la
profondità ottica
con
q = 0
e con
τALP
q =
tra il modello di evoluzione in celle e il modello turbolento con
5
2 . La linea orizzontale rappresenta sempre il confronto con il risultato
sperimentale di Planck per
0.089 ± 0.032).
q = − 53 ,
τthom ' 0.153
Poichè richiediamo che
(limite superiore entro
τALP ≤ τthom ,
2σ
dell'intervallo
τthom =
allora la linea orizzontale rappresenta
il limite ai parametri, al di sotto del quale un processo di reionizzazione dovuto ad ALPs è
permesso.
Concludiamo questa trattazione ricordando che all'inizio del capitolo 2 abbiamo supposto che
tutta la radiazione oscura sia sotto forma di assioni e che tutti gli assioni siano ALPs. Abbiamo
quindi escluso altre tipologie di assioni come assioni di Peccei-Quinn o altri tipi di assioni provenienti dalla teoria di stringa. Questa ipotesi ci ha permesso di lavorare con parametri che sono
non correlati e quindi sono eettivamente liberi. Ovviamente una teoria più completa dovrebbe
tenere conto di tutti i tipi di assioni e quindi delle possibili dierenze nella loro fenomenologia.
96
Figura 3.8:
Variazione della profondità ottica
τALP
Figura 3.9:
Variazione della profondità ottica
τALP
mΦ = 106
GeV e
gaγγ B per il
ma = 10−13 eV.
in funzione del parametro
modello a celle. Gli altri parametri liberi sono ssati ai valori
97
gaγγ B per il
ma = 10−13 eV.
in funzione del parametro
modello a celle. Gli altri parametri liberi sono ssati ai valori
mΦ = 107
GeV e
Figura 3.10: Una realizzazione del campo magnetico turbolento lungo la linea di vista
Figura 3.11: Variazione della frazione di ionizzazione
a celle (rossa), per il modello turbolento con
q=
b(z) in funzione del redshift z , per il modello
q = 0 (blu) e con q = 52 (rosa).
− 53 (verde), con
L'asse delle ascisse è in scala logaritmica.
98
x3 .
gaγγ B per il
5
modello a celle (rossa), per il modello turbolento con q = −
3 (verde), con q = 0 (blu) e con
q = 25 (rosa). Gli altri parametri liberi sono ssati ai valori mΦ = 106 GeV e ma = 10−13 eV. La
Figura 3.12:
Variazione della profondità ottica
τALP
in funzione del parametro
τALP
in funzione del parametro
linea orizzontale (celeste) è il limite di Planck.
Figura 3.13:
Variazione della profondità ottica
gaγγ B per il
q = − 53 (verde), con q = 0 (blu) e con
7
−13 eV. La
valori mΦ = 10 GeV e ma = 10
modello a celle (rossa), per il modello turbolento con
q=
5
2 (rosa). Gli altri parametri liberi sono ssati ai
linea orizzontale (celeste) è il limite di Planck.
99
Conclusioni
La teoria sulla radiazione oscura assionica in interazione con i campi magnetici primordiali presenta fenomeni particolarmente interessanti, alcuni dei quali sono stati descritti in questo lavoro
di tesi.
Sebbene non ci siano ad ora forti evidenze di questa possibilità, la radiazione oscura
potrebbe rappresentare in futuro un tassello fondamentamentale per una comprensione più profonda dell'universo, del suo contenuto e delle strutture presenti in esso. Già da ora, la possibilità
di questa nuova forma di energia ha portato a studiarne sue implicazioni in ambito astrosico
e cosmologico. Il lavoro [40], per esempio, ha mostrato come l'esistenza di assioni di radiazione
oscura (CAB) possano spiegare in maniera interessante l'eccesso di radiazione X osservata nell'ammasso della Chioma. In eetti i fondi di raggi X no ad ora osservati non hanno ancora una
concreta spiegazione teorica nell'ambito della cosmologia standard. L'interesse sempre maggiore
nel problema dei fondi nella banda X ha portato nel 2013 ad una spinta verso nuove descrizioni
del fenomeno in termini di oscillazione degli assioni di CAB in fotoni.
In questo mosaico si incastra il nostro lavoro di tesi, che è stato volto ad una maggiore
comprensione del modello teorico alla base della generazione e dell'evoluzione della radiazione
oscura assionica. Si è discusso di una teoria di oscillazione di queste particelle in presenza del
campo magnetico primordiale e i risultati (seppur approssimativi) mostrano un certo grado di
coerenza con i dati osservativi. Ovviamente per avere una maggiore aderenza alle osservazioni
sperimentali bisognerebbe eettuare un lavoro di ne-tuning sui parametri della teoria. Lavoro
particolarmente ostico poichè i valori esatti dei parametri liberi della nostra teoria sono pressochè
sconosciuti, ragion per cui allo stadio attuale delle nostre conoscenze, si possono solo stimare
eventuali ordini di grandezza. Infatti per esempio ad ora non abbiamo la certezza che esista un
campo magnetico primordiale, seppur diverse evidenze ci spingono a postularne l'esistenza.
Uno studio delle oscillazioni, per esempio nel campo magnetico della nostra galassia, (che è
maggiormente conosciuto rispetto ai PMF) permetterebbe di aggiugere spessore al nostro lavoro,
poichè potrebbe portare a eetti più intensi di mixing ALP-fotone e quindi a risultati maggiormente osservabili.
Di più la radiazione oscura potrebbe concorrere al lavoro di reionizzazione
svolto dalle stelle, di cui abbiamo ampliamente discusso nella nostra trattazione. Uno studio più
100
approfondito sulle dinamiche di reionizzazione dovuta alle stelle e agli ALPs completerebbe il
quadro iniziato dal nostro lavoro. Queste particolarità potrebbero, da una parte, raorzare la
necessità teorica della presenza di queste particelle e dall'altra parte potrebbero essere la base
per esperimenti futuri che permettano di gettare maggiore luce su questo nuovo aspetto della
cosmologia.
Vogliamo concludere ricordando che la nozione di radiazione oscura è nata a partire dalle evidenze di scostamento del numero di famiglie di neutrini
Nef f
dal valore previsto dalla cosmologia
standard. Condiamo quindi che le osservazioni cosmologiche future possano chiarire meglio il
problema e magari denire limiti più stringenti a questo parametro.
101
Appendice A
Oscillazioni fotone-ALP nella metrica
FRW
In questa appendice deriveremo l'equazione di evoluzione di un sistema fotone-assione nella
metrica Friedmann-Robertson-Walker (FRW). In questo modo potremmo osservare l'eventuale
presenza di modicazioni nell'equazione di evoluzione e nel mixing fotone-ALP in un universo in
espansione. Ricordiamo che in uno spazio-tempo curvo la lagrangiana (1.19) acquista la forma
[2]
L=
dove
g = det(gµν )
√
1
1
1 µν
µν
2 2
µν
˜
,
−g − Fµν F +
g ∂µ a∂ν a − ma a + gaγγ aFµν F
4
2
4
e la metrica
gµν
è quella FRW (supponendo un universo piatto,
ds2 = R(χ)2 dχ2 − dr2 − r2 dΩ2 .
Il tensore
Fµν
(A.1)
k = 0)
(A.2)
è il tensore elettromagnetico generalmente covariante, che tende al tensore elet-
tromagnetico della relatività ristretta in un sistema localmente inerziale.
Il tensore duale in
Relatività Generale viene modicato come [2]
1
F˜ µν = √ µνρσ Fρσ .
2 −g
Le equazioni nello spazio-tempo curvo diventano
√
1
√ ∂µ −gF µν = gaγγ F˜ µν ∂ν a,
−g
102
(A.3)
√
gaγγ
1
√ ∂µ
−gg µν ∂ν a + m2a a =
Fµν F˜ µν ,
(A.4)
−g
4
√
˜ µν = 0.
e l'identità di Bianchi ∂µ −g F
√
2
Nella metrica FRW gµν = R ηµν e
−g = R4 . Possiamo denire il tempo cosmologico t =
˙
R(χ)dχ, in questo modo ∂χ R(χ) = R(χ)R(χ)
= R2 (χ)H(R), con R˙ = dR/dt (derivata rispetto
˙
H(R) = R/R
tasso di espansione dell'universo. Di più
√
µρ
νσ
= −gg g Fρσ = η µρ η νσ Fρσ (invarianza conforme1 ).
al tempo cosmologico) e
uguaglianza
√
−gF µν
vale la seguente
Usando queste
proprietà le equazioni (A.3) e (A.4) diventano



∇ · E = gaγγ ∇a · B


∇ × B − ∂χ E = −gaγγ (B∂χ a − E × ∇a)



 1 ∂ 2 + 2RH(R)∂ − ∇2 a + m2 a = −
dove
χ
χ
R2
Ei = F0i , B1 = −F23
etc.
a
Il simbolo
∇
Aχ = 0 .
B=∇×A
e
1
g B
R4 aγγ
(A.5)
·E
è riferito alle coordinate spaziali comoventi.
Introduciamo il potenziale vettore generalmente covariante
temporale
,
Aµ ≡ (Aχ , −A). Mettiamoci in gauge
Il campo magnetico e elettrico in funzione del potenziale vettore sono
E = −∂χ A.
Se consideriamo un'onda elettromagnetica che si propaga in presenza di un campo magnetico
esterno
Be
invariante per trasformazioni conformi e trascuriamo la parte longitudinale dell'onda,
il sistema (A.5) acquista la forma

(∂ 2 − ∇2 )A = −g B ∂ a
aγγ e,⊥ χ
⊥
χ
 1 ∂ 2 + 2RH(R)∂ − ∇2 a + m2 a =
R2
χ
χ
a
1
g B
R2 aγγ e,⊥
,
(A.6)
· ∂η A ⊥
in approssimazione al primo ordine nei campi.
In questo caso non è più possibile fare le Ansatz (1.25) e (1.26), poichè l'evoluzione dell'onda
elettromagnetica avviene in uno spazio-tempo curvo che evolve esso stesso con il tempo.
Per
aggirare questo problema consideriamo che il pacchetto d'onda abbia ampiezza dipendente dal
tempo conforme
χ e che il massimo del pacchetto si muova lungo la linea d'universo di un fotone.
I fotoni descrivono geodetiche nulle
ds2 = 0.
Supponiamo che le onde siano emesse da una sorgente. Siamo interessati ai soli fotoni (e quindi
i massimi dei pacchetti d'onda) che si muovano (pressocchè) lungo la direzione spaziale
x3
di un
certo sistema di riferimento di coordinate comoventi. In questo caso la condizione di geodetica
1
La lagrangiana elettromagnetica
Lem =
√
−gg µρ g νσ Fµν F ρσ
è invariante sotto trasformazioni
gµν → f (x)gµν ,
dette trasformazioni locali di scala (o di Weyl). Tale invarianza è detta conforme. Come conseguenza le equazioni
di Maxwell mantengono la stessa forma in metriche collegate da queste trasformazioni.
103
γ
Ω
S
γ
r
Figura A.1: Fotoni emessi da una sorgente S in un angolo solido
nulla
ds2 = R(χ) dχ2 − dx23 = 0
tali che
χ − x3 = costante.
soluzione
impone che il fotone si muova lungo punti dello spazio-tempo
Per ragioni pratiche consideriamo onde sferiche. In generale i campi
A e a non sono a simmetria sferica, poichè Be
consideriamo campi esterni
questo caso
Ω.
Be
non lo è. Si può far vedere però che se 1)
che sono pressocchè costanti nella direzione di propagazione (in
x3 ) dei pacchetti e se 2) siamo interessati solo a fotoni che si propagano in un cono di
angolo solido
Ω molto piccolo intorno a x3 ,
allora l'approssimazione ad onda sferica è praticabile
(si veda la gura per ulteriore chiarezza). Facciamo quindi le seguenti Ansatz a simmetria sferica
exp(−iω(r − χ))
ˆ
√
A⊥ (r, χ) = A(χ)W
(r − χ + χ0 )
,
Ωr
a(r, χ) = a
ˆ(χ)W (r − χ + χ0 )
dove
W
exp(−iω(r − χ))
√
,
Ωr
(A.7)
(A.8)
è una funzione normalizzata con massimo nello zero e dispersione molto più piccola delle
χ0 è l'istante in cui è emessa l'onda. Inoltre
ˆ
supponiamo che la variazione nell'ampiezza di A⊥ (e anche di a
ˆ) avvenga su scale di tempo molto
distanze percorse dal fotone (distanze cosmologiche).
più grandi della dimesione del pacchetto
Operiamo un cambio di variabili
ψ≡χ
∂χ =
∂χ2 − ∂r2 = ∂ψ2 − 2∂ψ ∂τ .
diventa
∂ψ2 a
ˆ
e
τ ≡ r − χ,
∂τ
∂ψ
∂τ +
∂ψ = ∂ψ − ∂τ ,
∂χ
∂χ
∂r =
da cui
W.
∂ψ
∂τ
∂τ +
∂ψ = ∂τ ,
∂r
∂r
Sostituendo nel sistema (A.6) , per esempio la seconda equazione
i
ˆ
+ 2RH(R)∂ψ a
ˆ−
+ 2 gaγγ Be,⊥ · ∂ψ A⊥ W =
R
i
ˆ
= 2∂ψ a
ˆ + 2RH(R)ˆ
a + 2 gaγγ Be,⊥ · A⊥ (∂τ W − iωW ).
R
m2a R2 a
ˆ
104
(A.9)
Integriamo in
τ.
Ricordiamo che
W
è normalizzata e va a zero su scale molto più piccole delle
distanze cosmologiche, per cui nell'integrazione
Allora
a
ˆ
00
,
a
ˆ
0
e
W dτ = 1 e
0
ˆ
A⊥ rispetto
R = R(ψ − τ )
è supposta costante rispetto a
0
∂τ W dτ = 0. Indichiamo ∂ψ a
ˆ=a
ˆ . Come
ˆ
a ωˆ
a e ω A⊥ . L'equazione (A.9) diventa
0
iˆ
a + iRH(R)ˆ
a=−
τ.
nella sezione 1.2.2 trascuriamo
m2a R2
1
ˆ ⊥.
a
ˆ+
gaγγ Be,⊥ · A
2ω
2R2
(A.10)
Da considerazioni analoghe sull'altra equazione di (A.6), otteniamo che
0
ˆ =
iA
⊥
Ritorniamo alla variabile
in questo modo
χ.
gaγγ
Be,⊥ a
ˆ.
2
(A.11)
Facciamo la seguente ridenizione del campo
0
a
ˆ, α
ˆ (χ) = R(χ)ˆ
a(χ),
0
a
ˆ + RH(R)ˆ
a=α
ˆ /R.
Le equazioni (A.10) e (A.11) assumono quindi la forma nale
ˆ⊥
A
1
i
∂χ
R(χ)
Il termine
!
α
ˆ
R−2 (χ)
=
0
1
−2
2 gaγγ Be,⊥ R (χ)
che moltiplica
spansione dell'universo e
ω/R(χ)
equazione in termini del redshift
d
i
dz
ˆ⊥
A
α
ˆ
!
1
=
(1 + z)H(z)
Be,⊥ tiene
1
−2
2 gaγγ Be,⊥ R (χ)
2
R(χ)
− ma2ω
!
ˆ⊥
A
α
ˆ
!
.
(A.12)
conto della diluizione del campo magnetico nell'e-
tiene conto del redshift del fotone. Possiamo riscrivere questa
z.
Ricordando che
dt = dR/(RH(R)) = dz/((1 + z)H(z)),
0
1
2 gaγγ Be,⊥ (1
+ z)2
1
2 gaγγ Be,⊥ (1 +
m2a
− 2ω(1+z)
z)2
!
ˆ⊥
A
α
ˆ
!
.
(A.13)
Da considerazioni analoghe a quelle nella sezione 1.2.2, otteniamo le stesse interpretazioni semiclassiche per i campi
ˆ⊥
A
e
α
ˆ.
105
Appendice B
Soluzione in un campo esterno costante
In questa appendice troveremo la soluzione dell'equazione (1.31) nelle ipotesi di un campo magnetico esterno omogeneo e costante. Poichè è la parte del campo esterno perpendicolare alla
direzione del moto quella che entra in tale equazione, supporremo che il campo sia trasversale
alla direzione
x3
di propagazione del fotone. Ruotiamo gli assi cartesiani
campo esterno sia, per esempio, nella direzione
x2
x1 x2
in modo che il
(la trattazione è analoga in qualsiasi altra
direzione). In questo caso l'equazione di evoluzione (1.31) diventa
i∂x3 Aˆ1 = 0,
i∂x3
Aˆ2
a
ˆ
!
0
=
1
2 gaγγ Be
Per cui solo i fotoni polarizzati lungo
y
(B.1)
1
2 gaγγ Be
2
a
−m
2ω
!
Aˆ2
a
ˆ
!
.
(B.2)
oscillano in ALP. L'equazione (B.2) è un sistema a
due livelli che è risolubile analiticamente. Infatti ridenendo
v = 1/2gaγγ Be
e
u = −m2a /2ω ,
il
sistema diventa
i∂x3 Ψ(x3 ) = HΨ(x3 ),
con
Ψ(x3 ) =
Aˆ2 (x3 )
a
ˆ(x3 )
e
H=
Poichè
2
ˆ
A
(x
)
1,2 3 e
|ˆ
a(x3 )|2
0 v
v u
(B.3)
!
(B.4)
!
.
(B.5)
rappresentano rispettivamente la probabilità di avere un fotone po-
106
larizzato lungo
notazione
x1,2
e la probabilità di avere un assione, allora possiamo introdurre la seguente
Ψ(x3 ) = Aˆ2 (x3 ) |γ2 i + a
ˆ(x3 ) |ai,
{|γ1 i , |γ2 i , |ai}base
con
nello spazio delle polarizza-
zioni.
Imponiamo la condizione iniziale
Aˆ2 (0)
Ψ(0) =
!
a
ˆ(0)
.
(B.6)
La soluzione di (B.3) è
Ψ(x3 ) = U(x3 , 0)Ψ(0),
con
U(x3 , 0)
(B.7)
x3 = 0
operatore di evoluzione del sistema dal punto
al generico punto
x3 ,
che
possiamo mettere nella forma
U(x3 , 0) = e−iλ1 x3 T1 + e−iλ2 x3 T2 ,
dove
λ1,2
sono gli autovalori di
H
λ1,2 =
e
T1 =
T2 =
Introduciamo
con
(B.8)
p
1
u ∓ u2 + 4v 2 ,
2
λ2
(λ2 −λ1 )
λ1 λ2
v(λ2 −λ1 )
T1 =
T2 =
v
(λ2 −λ1 )
λ1
(λ2 −λ1 )
λ2
− v(λλ21−λ
1)
e le altre
∆i
!
,
1
− (λ2λ−λ
1)
1
− (λ2λ−λ
1)
1
θ = arcsin
2
h
i1/2
∆osc = (∆a )2 + (2∆aγ )2
v
− (λ2 −λ
1)
2∆aγ
∆osc
!
.
,
(B.9)
denite come 1.2.2.
sin2 θ
− sin θ cos θ
− sin θ cos θ
cos2 θ
cos2 θ
sin θ cos θ
sin θ cos θ
sin2 θ
La probabilità che un fotone polarizzato lungo
x2
e
T2
diventano
!
,
!
.
si trasformi in un ALP dopo una distanza
Paγ (l) = |ha| U(l, 0) |γ2 i|2 ,
107
T1
l
è
(B.10)
che sostituendo diventa
2
2
Paγ (l) = sin (2θ) sin
∆osc l
2
.
Se nell'equazione di evoluzione (1.31) introduciamo un termine di plasma
vedere che (B.11) rimane immutata, con
∆osc
ora della seguente forma
h
i1/2
∆osc = (∆a − ∆pl )2 + (2∆aγ )2
.
108
(B.11)
∆pl
allora è facile
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