Flessione (retta) Per lo studio della flessione (fig. 1) si assume un

Flessione (retta)
Per lo studio della flessione (fig. 1) si assume un sistema di riferimento particolare: gli
assi x1 ed x2 , che hanno origine nel baricentro di una delle basi del prisma, siano anche
principali di inerzia per la base, cioè siano dotati della seguente proprietà:
Figura 1
19 Flessione retta, deviata
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Figura 2
Oltre alle ipotesi generali:
p11 = p12 = p21 = p22 = 0
[1]
si introduce l’ipotesi che le restanti componenti del tensore degli sforzi p33 , p13 = p31 e
p32 = p23 abbiano la seguente formulazione:
p33 = k x2 , p13 = p31 = 0; p32 = p23 = 0.
[2]
E’ immediato verificare che la formulazione [ 2 ] sopra riportata rispetta le equazioni di
equilibrio indefinito [ 3 ] di seguito riscritte per comodità di esposizione.
19 Flessione retta, deviata
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[3]
Queste, nell’ipotesi di assenza di forze di volume F, sono equazioni differenziali lineari
omogenee alle derivate parziali del primo ordine nelle componenti degli sforzi pik : tutte le
derivate parziali sono identicamente nulle, perché la p33 non dipende da x3 e perché tutte
le altre componenti pik sono costanti.
Si determinano le componenti del tensore di deformazione, tenendo conto delle
formulazioni [ 1 , 2 ] e del fatto che il solido è elastico isotropo ed omogeneo; si ha:
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[4]
E’ immediato verificare che il campo delle deformazioni sopra riportato [ 4 ] soddisfa le
equazioni di congruenza [ 5 ] qui di seguito riscritte per facilità di esposizione: infatti le
equazioni di congruenza sono equazioni differenziali lineari omogenee alle derivate
parziali del secondo ordine nelle componenti delle deformazioni ik ; tutte le derivate
parziali del secondo ordine delle componenti delle deformazioni ik sono nulle, perché le
componenti delle deformazioni ik sono o nulle o funzioni lineari della coordinata x3 .
19 Flessione retta, deviata
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[5]
Discusse e soddisfatte le equazioni che governano questo problema elastico nei punti
interni del cilindro, restano da trattare le condizioni di equilibrio al contorno: sulla
superficie laterale e sulle basi.
Le equazioni di equilibrio sulla superficie laterale del cilindro [ 6 ], qui riportate per facilità
di lettura, sono:
19 Flessione retta, deviata
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[6]
Esse sono identicamente soddisfatte perché tutte le componenti degli sforzi coinvolte
sono nulle:
p11 = p12 = p21 = p22 = p13 = p31 = p32 = p23 = 0.
La soluzione del problema elastico sopra proposta richiama, sulla base destra di fig. 2
avente versore normale uscente n di componenti n1 = n2 = 0, n3 = 1 , la seguente
distribuzione di forze di superficie:
f1 = p31 = 0; f2 = p32 = 0; f3 = n3 p33 = p33 = k x2 .
19 Flessione retta, deviata
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La soluzione del problema elastico sopra proposta richiama, sulla base sinistra di fig. 2
avente versore normale uscente n diretto secondo il verso negativo dell’asse x3 , di
componenti n1 = n2 = 0, n3 = - 1 , la seguente distribuzione di forze di superficie:
f1 = p31 = 0; f2 = p32 = 0; f3 = n3 p33 = - p33 = - k x2 .
Si osserva che le due distribuzioni di forze di superficie sono eguali ed opposte;
garantiscono quindi l’equilibrio globale del solido.
Si calcolano le componenti, secondo gli assi del riferimento, del risultante R e del momento  della distribuzione delle forze di superficie sulla base destra di fig. 2.
Le componenti del risultante R sono le seguenti:
[7]
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La componente R1 del risultante R secondo l’asse x1 altro non è che la componente T1
secondo l’asse x1 dell’azione tagliante globale; nulla nel caso in esame.
La componente R2 del risultante R secondo l’asse x2 altro non è che la componente T2
secondo l’asse x2 dell’azione tagliante globale; nulla nel caso in esame.
La componente R3 del risultante R secondo l’asse x3 altro non è che la componente
assiale N dell’azione globale applicata; nulla nel caso in esame.
Le componenti del momento  sono le seguenti:
[8]
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Figura 3
La componente del momento  secondo l’asse x1 altro non è che il momento flettente M1
intorno all’asse x1 (fig. 3) .
Nel caso in esame si ha:
M1 = k I 1
dove I1 è il momento principale di inerzia della sezione intorno all’asse x1 .
Dunque: k = M1 / I1 .
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Figura 4
La componente del momento  secondo l’asse x2 altro non è che il momento flettente M2
intorno all’asse x2 (fig. 4) .
Le componenti del momento secondo un asse sono assunte positive quando il momento
ha verso concorde con quello della vite destra che avanza nella direzione positiva
dell’asse; ciò spiega il segno negativo nella espressione di MF2 .
Nel caso in esame M2 è nullo.
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Figura 5
La componente del momento  secondo l’asse x3 altro non è che il momento torcente MT
(fig. 5) , assunto positivo secondo la convenzione sopra indicata.
Nel caso in esame MT è nullo.
Da quanto sopra si conclude che la soluzione proposta in termini di sforzi descrive la
flessione intorno all’asse principale di inerzia x1 ; la flessione intorno ad uno degli assi
principali di inerzia viene comunemente denominata flessione retta.
Si analizza la distribuzione degli sforzi e delle deformazioni; si ha:
19 Flessione retta, deviata
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p11 = p12 = p21 = p22 = p13 = p31 = p32 = p23 = 0
M1
p33 = ------- x2
I1
Nella fig. 6 sono riportati, lungo l’altezza della sezione (asse x2) , gli andamenti degli
sforzi p33 e delle deformazioni 33 .
Si osserva che gli sforzi normali longitudinali p33 massimi sia di trazione sia di compressione impegnano le fibre più lontane dall’asse principale di inerzia x1 in corrispondenza del quale gli sforzi normali longitudinali p33 sono nulli.
Figura 6
Nella fig. 6 è anche illustrato, di profilo, un elemento infinitesimo del primo ordine estratto
dal cilindro, avente spessore dx3 , delimitato da due sezioni trasversali parallele al piano
19 Flessione retta, deviata
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x1 - x2 ; per tale elemento è indicato l’andamento degli allungamenti longitudinali delle
varie fibre aventi lunghezza iniziale appunto dx3 . Tali allungamenti valgono:
l3 = 33 dx3
Gli allungamenti variano linearmente lungo l’altezza della sezione e pertanto si può
affermare che, per effetto delle deformazioni dovute alla flessione, le due sezioni
trasversali subiscono una rotazione relativa infinitesimale d pari a :
33 dx3
M1
d = ------------ = ---------- dx3
E I1
x2
[9]
Si osserva inoltre che il comportamento di tutte le sezioni trasversali è analogo: dunque
le fibre longitudinali si atteggiano secondo archi di circonferenza concentriche, le fibre
situate a coordinata x2 positiva si allungano, le fibre situate e coordinata x2 negativa si
accorciano, mentre le fibre situate a coordinata x2 nulla (piano x1 – x3) non si allungano
né si accorciano.
La curvatura  della fibra baricentrica è data da:
19 Flessione retta, deviata
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d
M1
 = -------- = ---------dx3
E I1
Il suo raggio di curvatura R corrispondente è:
1
dx3
E I1
R = --- = -------- = --------
d
MF1
L’angolo di rotazione relativa tra le basi del prisma si ottiene integrando la [ 9 ] per la
lunghezza del prisma; si ha :
MF1 l
 = --------E I1
19 Flessione retta, deviata
[ 10 ]
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Flessione (deviata)
Quando il vettore momento flettente applicato alle basi ha direzione generica, non
coincidente con uno degli assi principali di inerzia, si parla di flessione “deviata” (Figg. 1 e
2).
Figura 1
Figura 2
Per la linearità delle equazioni che governano il problema elastico si osserva che il
problema della flessione deviata si riconduce alla sovrapposizione di due flessioni “rette”
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nelle quali intervengono le componenti M1 ed M2 del vettore momento flettente M
secondo gli assi principali di inerzia x1 ed x2 :
M1 = M cos 
M2 = M sin 
[1]
Si applicano i risultati relativi alla flessione “retta” appena ottenuti e si ha:
M2
M1
p33 = ------- x2 - -------- x1
I1
I2
[2]
Sostituendo le [ 1 ] e raccogliendo si ottiene:
cos 
sin 
p33 = M  --------- x2 - --------- x1 
I2
I1
[3]
Si riconosce che il luogo degli sforzi p33 nulli sulla sezione trasversale del prisma è una
retta passante per l’origine del riferimento (baricentro della sezione) definita dalla
seguente equazione:
19 Flessione retta, deviata
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p33 = 0

cos 
sin 
--------- x2 - --------- x1 = 0
I1
I2
[4]
Tale retta prende il nome di “asse neutro” della flessione deviata. Il parametro angolare
dell’asse neutro risulta:
I1
x2
tg  = ------- = tg  ------x1
I2
[5]
Poiché in generale i momenti principali di inerzia I1 ed I2 sono diversi tra loro, si osserva
che la direzione dell’asse neutro (indicato con n - n in Fig. 2) definita dall’angolo  e quella
del vettore momento flettente M definita dall’angolo  in generale non coincidono.
In generale è:

Si riconosce che gli sforzi normali p33 assumono valore costante su rette parallele all’asse
neutro n – n ; una retta di questo tipo, indicata con k – k in fig. 2 ha l’equazione cartesiana
seguente:
19 Flessione retta, deviata
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I1
I1 sin 
x2 = tg  x1 + b = ------ tg  x1 + b = ------ --------- x1 + b
I2
I2 cos 
[6]
avendo indicato con b la intercetta della retta k – k sull’asse x2 .
Sostituendo la [ 6 ] nella [ 3 ] si ha infatti:
sin 
cos 
sin 
cos 
I1 sin 
p33 = M  --------- x2 - --------- x1  = M  ---------  ------ --------- x1 + b  - --------- x1  =
I2
I1
I2 cos 
I2
I1
cos 
= M ---------- b
I1
Dunque sulla retta k – k gli sforzi sono costanti e dipendono solo dalla distanza di tale
retta dall’asse neutro n – n.
19 Flessione retta, deviata
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Si indica col nome di “piano di sollecitazione” il piano nel quale agiscono le forze che
generano il vettore momento flettente M; tale piano è perpendicolare a tale vettore
momento M e la sua traccia sul piano x1 - x2 è la retta per l’origine indicata con s - s (Fig.
3). La traccia del “piano di sollecitazione” sul piano x1 - x2 prende il nome di “asse di
sollecitazione”.
Figura 3
Tenendo conto che lo ”asse di sollecitazione” (la direzione del quale è definita dall’angolo
 in Fig.3 ) ed il vettore momento flettente M sono perpendicolari tra loro, la [ 5 ] diventa:
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x2
I1
1
I1
tg  = ------- = tg  ------- = -------- ------x1
I2
tg 
I2
Riordinando:
I1
tg  tg  = ------I2
[7]
La [ 7 ] mette in luce il legame involutorio tra l’asse di sollecitazione s – s e l’asse neutro
n – n ; cioè essi si scambiano tra loro e, nel linguaggio della geometria proiettiva, si
dicono “coniugati” .
In alternativa al sistema di riferimento principale di inerzia adottato fino ad ora per trattare
il problema si introducono (fig. 4) le coordinate oblique parallele y1 ed y2 disposte lungo
l’asse neutro e lungo l’asse di sollecitazione (che costituiscono una coppia di assi
“coniugati” nell’involuzione [ 7 ].
Si può verificare che nel nuovo riferimento obliquo la espressione [ 3 ] delle p33 assume la
seguente forma compatta:
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M
p33 = --------- y2
In
[8]
Dove In è il momento di inerzia della sezione intorno all’asse neutro n - n calcolando le
distanze parallelamente all’asse di sollecitazione s – s (coniugato di n – n):
Figura 4
19 Flessione retta, deviata
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La verifica è riservata ad allievi volonterosi.
Preliminarmente si esprimono le coordinate cartesiane ortogonali iniziali x1 ed x2 in
funzione delle nuove coordinate oblique parallele y1 ed y2 . Si ha:
[9]
Si sostituiscono le [ 8 ] nella [ 3 ] e si ottiene:
Si riordinano i termini raccogliendo le nuove coordinate y1 ed y2 :
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Si portano in evidenza le tangenti degli angoli ,  e  raccogliendo i coseni:
In virtù della [ 5 ] Il coefficiente della coordinata y1 è identicamente nullo e la formulazione
di p33 diventa:
Come già visto sopra gli sforzi dipendono dalla distanza dall’asse neutro n – n del punto
che si considera, distanza definita ora dalla coordinata y2 , parallela all’asse di sollecitazione s – s.
Resta da controllare quanto sopra affermato, cioè:
[ 10 ]
19 Flessione retta, deviata
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A questo scopo si scrivono, invertendo le [ 9 ], le nuove coordinate oblique parallele y1 ed
y2 in funzione delle coordinate cartesiane ortogonali x1 ed x2 . Si ha:
[ 11 ]
dove:
Si sostituisce la formulazione [ 11 ] di y2 nell’espressione di In :
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Si sviluppa il quadrato e si portano fuori dal segno di integrale le costanti:
Si ricorda che il sistema di riferimento x1 – x2 è principale di inerzia, dunque:
Conseguentemente:
Ricordando il legame involutorio [ 7 ] che può essere riscritto così:
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Si ha:
Questo risultato si sviluppa così:
e si ottiene quanto affermato sopra [ 10 ].
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In modo del tutto analogo si può far vedere che, nel sistema di riferimento formato dallo
asse neutro e dall’asse di sollecitazione (coppia di assi coniugati nell’involuzione [ 7 ]),
legati dall’involuzione [ 7 ], vale la seguente proprietà:
[ 12 ]
Il prodotto di inerzia rispetto all’asse neutro ed all’asse di sollecitazione, calcolato con le
coordinate parallele y1 ed y2 è nullo.
Con procedimento analogo a quanto fatto per il calcolo di In si ha:
avendo introdotto nella [ 12 ] le formulazioni [ 11 ] per y1 ed y2 .
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Si ricorda che il sistema di riferimento x1 – x2 è principale di inerzia, dunque:
e ricordando il legame involutorio [ 7 ] si ottiene l’assunto:
Inoltre si può verificare che, qualora si calcolino i momenti di inerzia rispetto ad un asse
(asse neutro n – n) misurando le distanze parallelamente alla direzione coniugata
nell’involuzione [ 7 ] (asse di sollecitazione s – s) con la coordinata y2 , i raggi dell’ellisse
centrale di inerzia coincidono con i raggi giratori; pertanto l’ellisse può essere riguardata
come diagramma polare dei raggi giratori (fig. 5).
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Figura 5
Si ricorda preliminarmente che i raggi giratori relativi agli assi principali di inerzia x1 ed x2
sono:
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Si procede, definita l’ellisse centrale di inerzia mediante i raggi giratori relativi alle
direzioni principali 1 e 2 distesi rispettivamente lungo gli assi x2 ed x1 , al calcolo del
raggio giratore n relativo all’asse neutro n – n che è disteso lungo l’asse di sollecitazione
s – s (Fig. 5).
L’equazione dell’ellisse in forma canonica è:
L’asse di sollecitazione s – s è definito dalla seguente equazione:
L’intersezione con l’ellisse è fornita dalla seguente equazione:
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Raccogliendo si ha:
Da cui, tenendo presente che l’involuzione [ 7 ] si può scrivere:
e che i momenti di inerzia sono proporzionali ai quadrati dei raggi giratori:
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si ha:
A questo punto il calcolo del quadrato del raggio giratore n è immediato:
Sostituendo il valore di x12 sopra ottenuto:
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Se si tiene presente che:
quanto sopra ottenuto diventa:
Confrontando con la [ 10 ] si conferma l’assunto, poiché i momenti di inerzia sono ottenuti
moltiplicando per l’area A della sezione i quadrati dei raggi giratori.
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