Sistemi trifase

TEORIA dei CIRCUITI
Ingegneria dell’Informazione
− SISTEMI TRIFASE−
Stefano Pastore
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Corso di Teoria dei Circuiti (105IN)
a.a. 2013-14
Generatore trifase
• Un generatore trifase equilibrato è composto
da 3 generatori monofase collegati a stella o a
triangolo, aventi la stessa ampiezza e sfasati
tra loro di 2π/3 rad.
• Le tensioni E sono chiamate stellate o di fase,
le V concatenate o di linea
• La relazione tra i fasori di una terna diretta o
destrorsa (verso orario di rotazione) sono:
E1 = E1
2

−j π
E2 = E1e 3
2
4
2

−j π
−j π
j π
E3 = E2e 3 = E1e 3 = E1e 3
2
Generatore trifase (2)
• Una terna inversa o sinistrorsa ruota in senso
anti-orario
• Noi faremo riferimento sempre a terne
destrorse
• Per distinguere le due terne in una presa
trifase reale, si prende un morsetto a caso
come riferimento di fase (morsetto 1) e si
numerano gli altri in modo che lo sfasamento
sia di volta in volta di − 2π/3
• In pratica si prendono 3 fili a caso, si
numerano e si verifica il verso di rotazione.
Se è sbagliato, basta invertire tra loro 2 fili
qualsiasi
3
Tensioni concatenate
• La tensioni concatenate sono prese ai morsetti
per cui
V12 = E1 − E2

V23 = E2 − E3
V = E − E
3
1
 31
• La relazione diretta tra le due terne è (E1
riferimento di fase)
π
j

6
V
=
3
E
e
 12
1
2
π
π

j
−j π
−j
V23 = 3 E2 e 6 = 3 E1e 2 = V12 e 3
π
5
2

j
j π
−j π
V31 = 3 E3e 6 = 3 E1e 6 = V23e 3

4
Riferimento di fase
• A seconda dei casi, prenderemo come
riferimento di fase o la tensione di fase
E1, o la tensione concatenata V12. In
questo secondo caso il triangolo delle
alimentazioni risulta ruotato
“rigidamente” di π/6 rad
5
Carichi trifase
• Un carico trifase (in un sistema senza
neutro) ha tre morsetti
• Può essere rappresentato con una terna
di resistenze connesse a “stella” o a
“triangolo”
• Per ogni carico trifase, si può trovare
una rappresentazione a stella e una a
triangolo “equivalenti” tra loro (dal
punto di vista del circuito esterno), nel
senso che le tensioni e le correnti del
circuito esterno non cambiano
6
Sistemi trifase
• Un sistema trifase è composto da un
generatore trifase, da una linea di
alimentazione (trifase) e da un carico
(trifase) collegato a stella o a triangolo.
Se le impedenze sono diverse tra loro,
il carico si dice squilibrato, altrimenti
equilibrato
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Sistemi squilibrati a stella
• Consideriamo un generatore trifase e un
carico squilibrato a stella (trascuriamo le
impedenze di linea zl)
 E1 = VO 'O + V1

 E2 = VO 'O + V2
E = V + V
O 'O
3
 3
 V1 = z1 I1

V2 = z 2 I 2
V = z I
3 3
 3
8
Sistemi squilibrati a stella (2)
• Calcoliamo la ddp tra i centri stella con
il teorema di Millmann
VO 'O
E1 E2 E3
+
+
z1
z2
z3
=
1
1
1
+
+
z1 z 2 z3
• Le correnti in un carico squilibrato
sono pertanto

V1
E1 − VO 'O
=
 I1 =
z1
z1

V2
E2 − VO 'O

I
=
=
 2
z2
z2

V3
E3 − VO 'O

I
=
=
 3 z
z3
3

9
Posizione dei centri stella
• Il centro stella O’ del carico si sposta dal
centro stella O del generatore tanto più il
carico è squilibrato.
• Le correnti formano una terna di fasori
squilibrati con somma nulla per IK
I1 + I 2 + I 3 = 0
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Carichi equilibrati a stella
• In caso di carico equilibrato:
z = z1 = z2 = z3
• Per la proprietà fondamentale di una
terna equilibrata
2 
4 


cos x + cos x − π  + cos x − π  = 0
3 
3 


∀x
VO’O = 0 V
• Ovvero i centri stella coincidono
11
Carichi equilibrati a stella (2)
• Le tensioni sui carichi Vk coincidono con le
tensioni di fase Ek
• Le correnti allora formano anch’esse una
terna equilibrata e sono sfasate rispetto alle
tensioni della fase ϕ dell’impedenza z.
 I1 = V1 / z
2

−j π
 I 2 = I1e 3
2

−j π
 I 3 = I 2 e 3
12
Sistemi squilibrati a stella con neutro
• Per mantenere equilibrate le tensioni sul
carico, si inserisce un quarto cavo detto
“neutro”
• V1 = E1 , V2 = E2 , V3 = E3
• Le correnti restano squilibrate e si ha
I n = I1 + I 2 + I 3
• In caso di carico equilibrato, In = 0
13
Sistemi squilibrati a triangolo
• Un carico a triangolo può essere squilibrato o
equilibrato (z = z12 = z23 = z31)
• Le tensioni concatenate sono equilibrate per
definizione, le correnti sono equilibrate solo
in caso di carico equilibrato
• Nei sistemi senza neutro, i carichi a triangolo
e a stella sono equivalenti per la “ben nota”
trasformazione
14
Sistemi squilibrati a triangolo (2)
• Le correnti si calcolano
 I1 = I12 − I 31

 I 2 = I 23 − I12
I = I − I
31
23
 3
• E quindi considerando le tensioni
concatenate


V12 V31
V12
−
 I12 =
 I1 =
z12 z31
z12


V23
V23 V12


⇒ I 2 =
−
 I 23 =
z 23
z 23 z12


V31
V31 V23


 I 31 = z
I3 = z − z
31
31
23


15
Carichi equilibrati
• La trasformazione stella-triangolo
(sistema senza neutro) e viceversa è
molto semplice, in quanto
zTRIANGOLO = 3zSTELLA
• Un carico equilibrato si comporta
sempre nello stesso modo, sia esso
rappresentato da una stella o da un
triangolo
• Le tensioni sulle impedenze e le
correnti di linea sono equilibrate
• È conveniente utilizzare la stella per
calcolare le correnti di linea
• In ogni caso, trovata una corrente, le
altre si possono calcolare per
sfasamento di 2π/3
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Potenza in un sistema trifase
• In generale per un carico a stella (con o senza
neutro)
Pc = V1 I1* + V2 I 2* + V3 I 3* =
= Pc1 + Pc 2 + Pc 3
• Con il neutro e senza zl si ha: Vk = Ek anche
per carichi squilibrati
• In generale per un carico a triangolo
Pc = V12 I12* + V23 I 23* + V31 I 31*
= Pc12 + Pc 23 + Pc 31
N.B. non sono le correnti di linea, in quanto
queste non scorrono sulle impedenze del
carico
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Potenza in un carico equilibrato
• Se il carico è equilibrato a stella, le
tensioni e le correnti sono equilibrate,
quindi hanno lo stesso modulo, per cui
V1 = V2 = V3 = V f
I1 = I 2 = I 3 = I L
z = z e jϕ
Pc1 = V f I L cos ϕ + j V f I L sin ϕ =
= P1 + jQ1 = Pc 2 = Pc 3
 P = 3 V f I L cos ϕ

 Q = 3 V f I L sin ϕ
18
Potenza in un carico equilibrato (2)
• Oppure con le tensioni concatenate o di
linea
V12 = V23 = V31 = VL
 P = 3 VL I L cos ϕ

Q = 3 VL I L sin ϕ
• Queste espressioni possono essere
usate sia con un carico a triangolo, sia
con un carico a stella, dal momento che
la fase ϕ dell’impedenza non cambia
con la relativa trasformazione
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Potenza istantanea in
un carico equilibrato
• Le potenze istantanee in un carico equilibrato
a stella sono
p1 (t ) = P1 + P1 cos(2ωt + 2ϕV 1 ) + Q1 sin (2ωt + 2ϕV 1 )
p2 (t ) = P2 + P2 cos(2ωt + 2ϕV 2 ) + Q2 sin (2ωt + 2ϕV 2 )
p3 (t ) = P3 + P3 cos(2ωt + 2ϕV 3 ) + Q3 sin (2ωt + 2ϕV 3 )
p(t) = p1(t) + p2(t) + p3(t)
• Se il carico è equilibrato
P1 = P2 = P3 = Pa
Q1 = Q2 = Q3 = Qr
ϕV2 = ϕV1 – 2π/3, ϕV3 = ϕV1 – 4π/3
• La potenza istantanea complessiva è quindi
p(t) = 3 Pa
20
Rifasamento
• Il rifasamento di un carico trifase segue
lo stesso principio del corrispondente
monofase
• Si deve annullare la potenza reattiva
del carico
• Supponendo che il carico sia induttivo,
si procederà al rifasamento ponendo in
parallelo 3 condensatori connessi a
stella o a triangolo
• Per le relazioni esistenti tra le
impedenze connesse a stella o a
triangolo, la configurazione a triangolo
permette di utilizzare condensatori di
capacità minore, quindi meno costosi
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Carichi a stella equivalenti
• Consideriamo un carico a stella
squilibrato che assorbe le correnti di
linea I1, I2 e I3 alimentato con le
tensioni concatenate V12, V23 e V31.
vogliamo determinare le impedenze del
carico a stella
V12 = z1 I1 − z 2 I 2

V23 = z 2 I 2 − z3 I 3
• 2 equazioni, 3 incognite, per cui una
impedenza può essere scelta a piacere,
per esempio la z1. Essendo complessa,
corrisponde a ∞2 soluzioni, ovvero ∞2
stelle “equivalenti” che, alimentate con
la stessa terna di tensioni concatenate,
assorbono le stesse correnti
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Carichi a stella equivalenti (2)
• Le stelle equivalenti differiscono per la
posizione del centro stella del carico O’
e, quindi, per le tensioni Vk di fase (del
carico)
• Queste stelle assorbono la stessa
potenza Pc che è invariante rispetto alla
variazione di O’
Pc = V1 I1* + V2 I 2* + V3 I 3*
V1" = V1 − VO"O '

V2 " = V2 − VO"O '
V2 " = V2 − VO"O '

Pc " = V1" I1* + V2 " I 2* + V3 " I 3* =
= V1 I1* + V2 I 2* + V3 I 3* −
*
*
*
− VO"O ' I1 + I 2 + I 3 = Pc
14
4244
3
=0
(
)
23
Teorema di Aron
• Teorema di Aron: in un sistema trifase
puro (anche dissimmetrico e
squilibrato), la potenza complessa (così
come la potenza istantanea) può essere
calcolata valutando le tensioni di fase
rispetto ad un riferimento qualsiasi O’
(teorema di Aron o della invarianza
della potenza rispetto al centro stella).
• Le stelle equivalenti differiscono per la
posizione del centro stella del carico O’
e, quindi, per le tensioni Vk di fase (del
carico)
24
Inserzione Aron
• E' un metodo di misura della potenza elettrica
di un sistema trifase tramite l’utilizzo di due
soli wattmetri
P = E1 I1 + E2 I 2 + E3 I 3
I1 + I 2 + I 3 = 0 ⇒ I1 = − I 2 − I 3
P = E1 (− I 2 − I 3 ) + E2 I 2 + E3 I 3 =
= (E2 − E1 )I 2 + (E3 − E1 )I 3 =
= V21 I 2 + V31 I 3 = Wa + Wb
• Per i sistemi equilibrati vale anche
Q=
3 (Wa − Wb )
25

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