Cosa sono le disequazioni?

Cosa sono le disequazioni?
Abbiamo abbastanza confidenza con le equazioni , quindi partiamo da lì: risolvere
un'equazione del tipo A=B significa rispondere alla domanda: A è identico a B?
Ad esempio risolvere x+1=2 significa trovare una risposta alla domanda: quanto deve valere x
perché x+1 sia uguale 2 ? Sappiamo che la risposta è: x deve valere 1.
Cosa sono le disequazioni?
Nel caso delle disequazioni la domanda che ci viene posta è un po' più complessa: vogliamo
trovare un modo per confrontare A e B. In sostanza vogliamo sapere se A è maggiore di B, se A
è minore di B e se e quando sono uguali.
Introduciamo i simboli necessari per scrivere le disequazioni:
Simbolo
{tex}>{/tex}
{tex}\geq{/tex}
{tex}<{/tex}
Significato
Maggiore
Maggiore o uguale
Minore
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Cosa sono le disequazioni?
{tex}\leq{/tex}
Minore o uguale
Continuiamo nel paragone tra equazioni e disequazioni. Per risolvere le equazioni avevamo due
regole fondamentali: è possibile sommare lo stesso valore a destra e a sinistra dell'uguale
senza alterare il risultato dell'equazione; è possibile moltiplicare o dividere a destra e a sinistra
dell'uguale per uno stesso valore senza alterare il risultato dell'equazione. Cosa succede per le
disequazioni?
Regole di base per la risoluzione delle disequazioni
1. È possibile sommare o sottrarre lo stesso valore sia al termine a sinistra che a destra della
disequazione senza alterarne il risultato.
Ad esempio è vero che {tex}5 textgreater 3{/tex} ed è anche vero che:
{tex}bullet underbrace{5{color{red}+2}}_{7} textgreater underbrace{3{color{red}+2}}_{5}{/tex}
(abbiamo sommato una stessa quantità sia a destra che a sinistra).
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Cosa sono le disequazioni?
{tex}bullet underbrace{5{color{red}-1}}_{4} textgreater underbrace{3{color{red}-1}}_{2}{/tex} (si
è sottratto uno stesso numero sia a destra che a sinistra).
2. È possibile moltiplicare o dividere entrambi i membri della disequazione per uno stesso
numero diverso da zero ricordando però che:
- se il valore per cui si moltiplica/divide è positivo il verso rimane inalterato;
- se moltiplichiamo o dividiamo per un valore negativo dobbiamo CAMBIARE IL VERSO della
disequazione.
Ad esempio sappiamo che {tex}10 textless 20{/tex} ed è pure vero che:
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Cosa sono le disequazioni?
{tex}bullet underbrace{10{color{red}cdot 3}}_{30} textless underbrace{20{color{red}cdot
3}}_{60}{/tex} (si è moltiplicato per uno stesso numero positivo).
{tex}bullet underbrace{10{color{red}: 5}}_{2} textless underbrace{20{color{red}:5}}_{4}{/tex} (le
due quantità a destra e sinistra sono state divise per uno stesso numero positivo).
{tex}bullet underbrace{10{color{red}cdot (-3)}}_{-30} {color{blue}textgreater}
underbrace{20{color{red}cdot (-3)}}_{-60}{/tex} (è cambiato il verso in quanto abbiamo
moltiplicato per un numero negativo).
{tex}bullet underbrace{10{color{red}: (-5)}}_{-2} {color{blue}textgreater}
underbrace{20{color{red}: (-5)}}_{-4}{/tex} (avendo diviso per un numero negativo il verso è
variato).
{loadposition interlineaspecificolefpar2}
Definizione di disequazione
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Cosa sono le disequazioni?
Si dice disequazione una disuguaglianza del tipo
{tex}f(x)gtreqless g(x){/tex}
dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti x.
In parole povere una disequazione è una diseguaglianza in cui figurano una o più lettere dette i
ncognite
(approfondiremo questo discorso nel corso delle lezioni successive).
Esempi di disequazioni
{tex}x textless 1, 3x^2+2x+1 ge 3, frac{1}{2x}+3x-2 le 0{/tex}
Sono tutte disequazioni nell'incognita x. In particolare, se la x compare a denominatore avremo
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Cosa sono le disequazioni?
a che fare con una disequazione fratta , altrimenti la nostra disequazione si dirà intera.
Soluzioni di una disequazione
Diremo che un numero è soluzione della nostra disequazione se una volta sostituito il suo
valore al posto dell'incognita otterremo una diseguaglianza vera.
Ad esempio {tex}x=3{/tex} è soluzione della disequazione {tex}x^2-1 textgreater 0{/tex}, infatti
se sostituiamo 3 al posto della x avremo: {tex}(3)^2-1=8{/tex} che è un numero maggiore di
zero. Al contrario (ad esempio) {tex}x=0{/tex} non è soluzione in quanto
{tex}(0)^2-1=0-1=-1{/tex} che è un numero negativo.
Risolvere una disequazione vuol dire trovare tutti i valori dell'incognita che verificano la
disuguaglianza
e, contrariamente a quanto
avviene nel caso delle equazioni, generalmente una disequazione ha infinite soluzioni, si parla
cioè di
insieme delle soluzioni
di una disequazione
e si
indica, generalemente, con la lettera {tex}mbox{S}{/tex}.
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Cosa sono le disequazioni?
Per rappresentarlo è molto utile il concetto di intervallo , nozione che però viene introdotta
rigorosamente solo nell'ultimo anno delle Scuole Superiori.
Come rappresentare l'insieme delle soluzioni di una disequazione con gli
intervalli
Rappresentare le soluzioni di una disequazione con gli intervalli è più facile di quanto si possa
pensare. Basta infatti:
- disegnare una semiretta sulla quale riporteremo all'estrema sinistra {tex}-infty{/tex} ed
all'estrema destra {tex}+infty{/tex} ed i valori numerici che son venuti fuori in ordine crescente;
- tracceremo su un nuovo rigo delle linee continue che simboleggiano la nostra situazione e
scriveremo il tutto sotto forma di intervallo leggendo il disegno da sinistra verso destra.
Poco chiaro vero? No problem! I seguenti esempi chiariranno tutto ;)
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Cosa sono le disequazioni?
{tex}bullet x textgreater 2{/tex}
è ovviamente soddisfatta dall'insieme di tutti i numeri maggiori di 2. Come si scrive sotto forma
di intervallo?
Facciamoci il disegnino (il pallino vuoto indica che il 2 non deve essere incluso in quanto come
segno della disuguaglianza abbiamo un >):
Dobbiamo riportare quanto indicato dalla linea rossa. Partendo da sinistra, vediamo che la linea
rossa parte da 2 (che è escluso) e si dirige verso {tex}+infty{/tex}. Scriveremo allora:
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Cosa sono le disequazioni?
{tex}mbox{S}=(2,+infty){/tex}
dove, le due parentesi tonde, stanno ad indicare che entrambi i valori sono esclusi.
{tex}bullet xle 3{/tex}
La precedente disequazione individua l'insieme dei numeri reali minori di 3. La
rappresentazione grafica sarà quindi la seguente (questa volta useremo un pallino pieno per
indicare la presenza dell'uguale, ovvero che anche il 3 è soluzione della nostra disequazione):
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Cosa sono le disequazioni?
In
Ricordate
{tex}mbox{S}=(-infty,3]{/tex}
{tex}-infty{/tex}
valore
{tex}bullet
Vi
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3 (che
caso,
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-2spesso
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procedere
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indobbiamo
questo
l'intervallo
e l'insieme
quindi
5{/tex}
verso
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destra,
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sinistra,
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{tex}mbox{S}=[-2,5){/tex}
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carichino (Galois)
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