Esercitazione 4 Di Brisco

Lezione IV
SENTIERI DI CRESCITA: MODELLI ARITMETICI ED ESPONENZIALI
Agnese Maria Di Brisco
[email protected]
Testo di Riferimento: G.A., DEMOGRAFIE, MILANO, MC GRAW-HILL, 2010 - Cap. 2.3
A. Di Brisco ( )
Lezione IV
22 Maggio 2014
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Sentieri di crescita aggregata
Sentieri di crescita
Si supponga di conoscere l’ammontare della popolazione in un numero
finito di istanti temporali:
Anno
0
1
···
n
Popolazione
0P
1P
nP
Si vuole, a partire dai dati osservati, definire un modello teorico di crescita
(o decrescita) della popolazione.
A. Di Brisco ( )
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Sentieri di crescita aggregata
Modelli di crescita
Siamo interessati alla velocità di variazione di una popolazione in un
intervallo temporale di n anni ossia tra l’anno 0 e l’anno n.
Il tasso di incremento viene a configurarsi come una velocità media ed è
necessario formulare delle ipotesi sulla popolazione di riferimento per
calcolarlo.
A seconda delle ipotesi che si formulano si ottengono dei modelli di crescita
differenti, in particolare i tre più diffusi sono il modello di crescita
aritmetico, quello geometrico e quello esponenziale.
A. Di Brisco ( )
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita aritmetica
Sia 0 P la popolazione iniziale. Si ipotizza che l’incremento assoluto della
popolazione sia costante nel tempo (modello aritmetico).
Allora la popolazione nell’istante t, indicata con t P risulta pari a:
tP
A. Di Brisco ( )
=0 P +0 P t ra
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita aritmetica
Da dove deriva la formula della crescita aritmetica?
Ragioniamo su incrementi unitari di tempo:
1P
2P
3P
=0 P +0 P ra
=1 P +0 P ra = 0P +0 P ra +0 P ra =0 P + 2(0 P ra )
=2 P +0 P ra = 0P + 2(0 P ra ) +0 P ra =0 P + 3(0 P ra )
···
tP
=t−1 P +0 P ra = 0P + (t − 1)(0 P ra ) +0 P ra =0 P + t(0 P ra )
Allora il valore ra è uguale a :
ra =
A. Di Brisco ( )
−0 P
0P t
tP
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita aritmetica
Perchè si parla di crescita aritmetica?
Il termine ra può essere visto come media aritmetica degli t tassi di
variazione annui:
i P − i−1 P
ri =
iP
t
ra =
1X
ri
t
i=1
A. Di Brisco ( )
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita geometrica
L’ipotesi sottostante questo modello di crescita è che i soggetti via via
entrati a far parte della popolazione contribuiscano alla variazione
demografica negli anni successivi al loro ingresso. Per tale ragione la
popolazione di riferimento è quella esistente all’inizio di ciascun anno.
Questa ipotesi dà luogo al modello di crescita geometrico.
tP
A. Di Brisco ( )
=0 P(1 + rg )t
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita geometrica
Da dove deriva la formula della crescita geometrica?
Ragioniamo su incrementi unitari di tempo:
1P
= 0 P + 0 P rg = 0 P(1 + rg )
2P
= 1 P + 1 P rg = 1 P(1 + rg ) = 0 P(1 + rg )(1 + rg ) = 0 P(1 + rg )2
3P
= 2 P + 2 P rg = 2 P(1 + rg ) = 0 P(1 + rg )2 (1 + rg ) = 0 P(1 + rg )3
···
tP
=
t−1 P+ t−1 P rg
A. Di Brisco ( )
=
t−1 P(1+rg )
= 0 P(1+rg )t−1 (1+rg ) = 0 P(1+rg )t
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita geometrica
Allora il valore rg è uguale a :
r
rg =
t
tP
0P
−1
Facciamo i conti:
tP
=0 P(1 + rg )t
tP
0P
r
t
= (1 + rg )t
tP
0P
r
t
tP
0P
A. Di Brisco ( )
= (1 + rg )
− 1 = rg
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita esponenziale
Si ipotizza che ogni unità aggiuntiva della popolazione contribuisca a sua
volta all’incremento della stessa. Per tale ragione la popolazione di
riferimento è quella esistente in ogni intervallo infinitesimamente piccolo. In
pratica è come se la popolazione venisse aggiornata istante per istante.
Il modello che ne consegue è chiamato modello di crescita esponenziale e si
può calcolare nel seguente modo:
tP
A. Di Brisco ( )
= 0 P e re t
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita esponenziale
Allora il valore re è uguale a :
re =
1 tP
ln
t 0P
Facciamo i conti:
= 0 P e re t
tP
= e re t
0P
tP
ln
= re t
0P
1 tP
re = ln
t 0P
tP
In questo contesto si assimila lo sviluppo della popolazione a quello della
crescita di un capitale in regime di capitalizzazione continua ad un tasso di
interesse re
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Sentieri di crescita aggregata
Tempo di raddoppio/dimezzamento
Tempo di raddoppio
Tempo impiegato da una popolazione a raddoppiare il suo ammontare dato
un tasso di crescita r .
Tempo di dimezzamento
Tempo impiegato da una popolazione a dimezzare il suo ammontare dato
un tasso di crescita r .
A. Di Brisco ( )
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita aritmetica: tempo di raddoppio
Si vuole determinare il tempo di raddoppio, dato un modello di crescita
aritmetico, ossia si vuole determinare quel valore di t tale per cui la
popolazione è raddoppiata.
Formalmente, data una popolazione iniziale di ammontare 0 P cerchiamo
quel t tale che:
t P = 2 0P
Sostituiamo nell’equazione del modello aritmetico:
tP
=0 P +0 P t ra
2 0 P =0 P +0 P t ra
Dividendo a destra e a sinistra per 0 P si ottiene:
2 = 1 + t ra
t ra = 1
1
t=
ra
A. Di Brisco ( )
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita aritmetica: tempo di dimezzamento
Si vuole determinare il tempo di dimezzamento, dato un modello di crescita
aritmetico, ossia si vuole determinare quel valore di t tale per cui la
popolazione è dimezzata. Formalmente, data una popolazione iniziale di
ammontare 0 P cerchiamo quel t tale che:
0P
tP =
2
Sostituiamo nell’equazione del modello aritmetico t P =0 P +0 P t ra :
0P
=0 P +0 P t ra
2
Dividendo a destra e a sinistra per 0 P si ottiene:
1
= 1 + t ra
2
t ra = −1/2
1
t=−
2ra
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita geometrica: tempo di raddoppio
Si vuole determinare il tempo di raddoppio, dato un modello di crescita
geometrico, ossia si vuole determinare quel valore di t tale per cui la
popolazione è raddoppiata. Formalmente, data una popolazione iniziale di
ammontare 0 P cerchiamo quel t tale che t P = 2 0 P: Sostituiamo
nell’equazione del modello geometrico:
tP
= 0 P(1 + rg )t
2 0 P =0 P(1 + rg )t
Dividendo a destra e a sinistra per 0 P si ottiene 2 = (1 + rg )t
Calcolando il logaritmo a destra e sinistra: ln 2 = ln(1 + rg )t
ln 2 = t ln(1 + rg )
t=
A. Di Brisco ( )
ln 2
ln(1 + rg )
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita geometrica: tempo di dimezzamento
Si vuole determinare il tempo di dimezzamento, dato un modello di crescita
geometrico, ossia si vuole determinare quel valore di t tale per cui la
popolazione è dimezzata. Formalmente, data una popolazione iniziale di
ammontare 0 P cerchiamo quel t tale che t P = 02P : Sostituiamo
nell’equazione del modello geometrico t P = 0 P(1 + rg )t :
0P
2
=0 P(1 + rg )t
Dividendo a destra e a sinistra per 0 P si ottiene 12 = (1 + rg )t
Calcolando il logaritmo a destra e sinistra: ln 12 = ln(1 + rg )t
− ln 2 = t ln(1 + rg )
t=−
A. Di Brisco ( )
ln 2
ln(1 + rg )
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Sentieri di crescita aggregata
Ripasso sulle proprietà del logaritmo
Ricordiamo brevemente le proprietà del logaritmo usate nei passaggi
precedenti:
ln at = t ln a
ln
a
= ln a − ln b
b
ln 1 = 0
ln
A. Di Brisco ( )
1
= ln 1 − ln a = 0 − ln a = − ln a
a
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita esponenziale: tempo di raddoppio
Si vuole determinare il tempo di raddoppio, dato un modello di crescita
esponenziale, ossia si vuole determinare quel valore di t tale per cui la
popolazione è raddoppiata. Formalmente, data una popolazione iniziale di
ammontare 0 P cerchiamo quel t tale che t P = 2 0 P: Sostituiamo
nell’equazione del modello esponenziale:
tP
= 0 P e re t
2 0 P = 0 P e re t
Dividendo a destra e a sinistra per 0 P si ottiene 2 = e re t
Calcolando il logaritmo a destra e sinistra:
ln 2 = re t
t=
A. Di Brisco ( )
ln 2
re
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Sentieri di crescita aggregata
Crescita esponenziale: tempo di dimezzamento
Si vuole determinare il tempo di dimezzamento, dato un modello di crescita
esponenziale, ossia si vuole determinare quel valore di t tale per cui la
popolazione è dimezzata. Formalmente, data una popolazione iniziale di
ammontare 0 P cerchiamo quel t tale che t P = 02P : Sostituiamo
nell’equazione del modello esponenziale t P = 0 P e re t :
0P
= 0 P e re t
2
Dividendo a destra e a sinistra per 0 P si ottiene
Calcolando il logaritmo a destra e sinistra:
ln
1
2
= e re t
1
= re t
2
− ln 2 = re t
ln 2
t=−
re
A. Di Brisco ( )
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Sentieri di crescita aggregata
Osservazione
I tempi di raddoppio e dimezzamento dei modelli geometrico ed
esponenziale sono identici. Dimostriamolo, per esempio sul tempo di
raddoppio, con i seguenti passaggi algebrici:
ln 2
ln 2
=
ln(1 + rg )
re
Il numeratore è il medesimo, dunque dimostriamo l’uguaglianza del
denominatore:
r !
r
P
t
tP
ln(1 + rg ) = ln(1 + t
− 1) = ln t
=
0P
0P
= ln
tP
0P
A. Di Brisco ( )
(1/t)
1
= ln
t
tP
0P
=
Lezione IV
1
(ln t P − ln 0 P) = re
t
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Sentieri di crescita aggregata
Esercizio (1/7)
Sapendo che la popolazione, in Belgio, ammontava a 10355844 unità al
1-1-2003 ed a 11161642 unità al 1-1-2013:
1
calcolare il tasso di crescita aritmetico e il relativo tempo di
raddoppio/dimezzamento
2
calcolare il tasso di crescita geometrico e il relativo tempo di
raddoppio/dimezzamento
3
calcolare il tasso di crescita esponenziale e il relativo tempo di
raddoppio/dimezzamento
A. Di Brisco ( )
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Sentieri di crescita aggregata
Esercizio (2/7)
Calcolare il tasso di crescita aritmetico e il relativo tempo di
raddoppio/dimezzamento
Tra il 1.1.2003 e il 1.1.2013 sono trascorsi esattamente 10 anni, dunque t
= 10.
Il tasso di crescita aritmetico è pari a:
ra =
11161642 − 10355844
805798
−0 P
=
=
= 0.00778
P
t
10355844
×
10
103558440
0
tP
Per leggere meglio il risultato moltiplichiamo il tasso di crescita aritmetico
per 1000:
0.00778 × 1000 = 7.78%¸
Pertanto secondo il modello di crescita aritmetico, ogni 1000 persone della
popolazione esistenti al 1.1.2003 se ne aggiungono annualmente quasi 8.
A. Di Brisco ( )
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Sentieri di crescita aggregata
Esercizio (3/7)
Il tasso aritmetico calcolato è positivo, dunque si può procedere a valutare
il tempo di raddoppio della popolazione:
t=
1
1
=
= 128.53
ra
0.00778
N.B.
Il numero da inserire a denominatore della formula è il tasso aritmetico, non
il tasso moltiplicato per 1000 (operazione che serve solo per facilitare la
lettura).
Dunque, dato il modello aritmetico, occorrono poco più di 128 affinchè la
popolazione raddoppi il suo ammontare
A. Di Brisco ( )
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23 / 27
Sentieri di crescita aggregata
Esercizio (4/7)
Calcolare il tasso di crescita geometrico e il relativo tempo di
raddoppio/dimezzamento
Tra il 1.1.2003 e il 1.1.2013 sono trascorsi esattamente 10 anni, dunque t
= 10.
Il tasso di crescita geometrico è pari a:
r
r
√
10
10 11161642
t tP
−1 = 1.0778−1 = 1.00752−1 = 0.00752
rg =
−1 =
10355844
0P
Per leggere meglio il risultato moltiplichiamo il tasso di crescita geometrico
per 1000:
0.00752 × 1000 = 7.52%¸
Pertanto secondo il modello di crescita geometrico, ogni 1000 persone della
popolazione esistenti al 1.1.2003 se ne aggiungono annualmente quasi 8.
A. Di Brisco ( )
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24 / 27
Sentieri di crescita aggregata
Esercizio (5/7)
Il tasso geometrico calcolato è positivo, dunque si può procedere a valutare
il tempo di raddoppio della popolazione:
t=
ln 2
ln 2
0.6932
=
=
= 92.55
ln(1 + rg )
ln(1 + 0.00752)
0.00749
Dunque, dato il modello geomtetrico, occorrono poco più di 92 affinchè la
popolazione raddoppi il suo ammontare.
Si può dunque osservare che il tasso di crescita aritmetico è maggiore del
tasso di crescita geometrico e presenta anche un tempo di raddoppio
maggiore.
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25 / 27
Sentieri di crescita aggregata
Esercizio (6/7)
Calcolare il tasso di crescita esponenziale e il relativo tempo di
raddoppio/dimezzamento
Tra il 1.1.2003 e il 1.1.2013 sono trascorsi esattamente 10 anni, dunque t
= 10.
Il tasso di crescita esponenziale è pari a:
re =
1
1 tP
11161642
=
ln
ln
= 0.1 ln 1.0778 = 0.1 × 0.0749 = 0.00749
t 0P
10 10355844
Per leggere meglio il risultato moltiplichiamo il tasso di crescita geometrico
per 1000:
0.00749 × 1000 = 7.49%¸
Pertanto secondo il modello di crescita esponenziale, ogni 1000 persone
della popolazione esistenti al 1.1.2003 se ne aggiungono annualmente quasi
8.
A. Di Brisco ( )
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26 / 27
Sentieri di crescita aggregata
Esercizio (7/7)
Il tasso esponenziale calcolato è positivo, dunque si può procedere a
valutare il tempo di raddoppio della popolazione:
t=
0.6932
ln 2
=
= 92.55
re
0.00749
Dunque, dato il modello esponenziale, occorrono poco più di 92 affinchè la
popolazione raddoppi il suo ammontare.
Il tasso di crescita esponenziale assume sempre valori inferiori al tasso di
crescita geometrico ed aritmetico.
Abbiamo inoltre verificato empiricamente che i tempi di raddoppio dei
modelli geometrico ed esponenziale sono identici.
A. Di Brisco ( )
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