Esercitazioni di Algebra e Geometria - Lezione 1

Esercitazioni di Algebra e Geometria
Anno Accademico 2011 – 2012
Dott.ssa Elisa Pelizzari
e-mail
Esercitazioni:
[email protected]
lunedì
14.30 – 16.30
venerdì
14.30 – 16.30
Ricevimento studenti: venerdì 13.00 – 14.00
presso il Dipartimento di Matematica (via Valotti).
1
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Matrice
Una matrice m x n a coefficienti in un campo K è
una ‘tabella’ con:
m righe
n colonne
i cui elementi, detti entrate, appartengono al
campo K.
Esempi di campi sono:
Q il campo dei numeri razionali,
R il campo dei reali,
C il campo dei numeri complessi.
Esempio
−3 0 2
൬
൰
ߨ 4 √2
è una matrice 2x3 a coefficienti reali.
2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
La notazione
oppure ║…║.
(…)
è
equivalente
a
[…]
Nella forma generale una matrice di m righe e n
colonne viene rappresentata nel modo seguente:
ܽଵ,ଵ
ܽଶ,ଵ
‫=ܣ‬൮ ⋮
ܽ௠,ଵ
ܽଵ,ଶ
ܽଶ,ଶ
⋮
ܽ௠,ଶ
⋯ ܽଵ,௡
⋯ ܽଶ,௡
⋱
⋮ ൲
⋯ ܽ௠,௡
Indicando il nome della matrice con una lettera
maiuscola dell’alfabeto latino e le entrate con la
stessa lettera minuscola.
In forma più sintetica è:
‫ = ܣ‬൫ܽ௜,௝ ൯௜ୀଵ,…,௠
௝ୀଵ,…,௡
dove ܽ௜,௝ è l’elemento che si trova in posizione
(i,j) cioè sulla i-esima riga e j-esima colonna.
3
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Nell’esempio precedente:
−3 0 2
‫=ܤ‬൬
൰
ߨ 4 √2
ܾଵ,ଵ = −3
ܾଶ,ଵ = ⋯
ܾଵ,ଶ = ⋯
ܾଶ,ଶ = ⋯
ܾଵ,ଷ = ⋯
ܾଶ,ଷ = ⋯
con ܾ௜,௝ ∈ R e gli indici ݅ = 1,2 e ݆ = 1,2,3.
L’insieme delle matrici di dimensioni ݉ × ݊ sullo
stesso campo K è indicato con Km,n .
Qm,n ha per oggetti le matrici ݉ × ݊ a entrate
razionali,
Rm,n ha per oggetti le matrici ݉ × ݊ a entrate
reali,
Cm,n ha per oggetti le matrici ݉ × ݊ a entrate
complesse.
Casi particolari:
a) ݉ = 1 si ottengono matrici riga
dimensioni 1 × ݊ a coefficienti in K.
4
‫ = ܣ‬ሺܽଵ,ଵ
ܽଵ,ଶ
⋯
ܽଵ,௡ ሻ ∈ K1,n
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
di
b) ݊ = 1 si ottengono matrici colonna di
dimensioni ݉ × 1 a coefficienti in K.
ܾଵ,ଵ
ܾଶ,ଵ
‫=ܤ‬൮
൲ ∈ Km,1
⋮
ܾ௠,ଵ
c) ݊ = ݉ si ottengono matrici quadrate di
dimensioni ݊ × ݊ a coefficienti in K. Il
numero n è detto ordine della matrice
quadrata.
ܿଵ,ଵ
ܿଶ,ଵ
‫ۇ‬
‫ܿ ۈ = ܥ‬ଷ,ଵ
⋮
‫ܿۉ‬௡,ଵ
ܿଵ,ଶ
ܿଶ,ଶ
ܿଷ,ଶ
⋮
ܿ௡,ଶ
ܿଵ,ଷ
ܿଶ,ଷ
ܿଷ,ଷ
⋮
ܿ௡,ଷ
⋯ ܿଵ,௡
⋯ ܿଶ,௡
‫ۊ‬
⋯ ܿଷ,௡ ∈ Kn,n,
‫ۋ‬
⋱
⋮
⋯ ܿ௡,௡ ‫ی‬
ma di solito tale insieme si indica Mn(K).
Ovviamente ݊ = ݉ = 1 è una matrice con
un’unica entrata ‫ = ܦ‬൫݀ଵ,ଵ ൯.
5
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
‫ = ܣ‬ቀ−
Esempi
0
ଵ
ଶ
య
√ଶ
ଷ
√6 4ቁ ∈ R1,5
è una matrice riga con 5 entrate coefficienti
reali.
−2
‫ ۇ‬−1
‫ۊ‬
ିଵ
‫ ∈ ۋ ݁ۈ = ܤ‬R5,1
3
‫ ۉ‬0 ‫ی‬
è una matrice
coefficienti reali.
0
3
‫ۇ‬య
2
‫√ ۈ‬ଶ
‫ۈ=ܥ‬
ହ
‫ۈ‬1
‫ۉ‬−
ଷ
ଶ
1
5
−5
√6
3
0
0
1
4
−3
√5
4
con
colonna
0
ߨ
6
0
−5
−√5
2
0
ఱ
√3
5
0
1
5
entrate
0
2
‫ۊ‬
−1
‫ۋ‬
4 ‫ ∈ ۋ‬M6(R)
2‫ۋ‬
0‫ی‬
è una matrice quadrata di ordine 6 con
6 × 6 = 36 entrate coefficienti reali.
6
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Operazioni con le matrici
La somma di matrici
Siano A, B due matrici di Km,n.
Indichiamo A+B una matrice di Km,n così definita:
Quindi la matrice A+B ha in posizione (i,j)
l’elemento ottenuto sommando ai,j e bi,j in K:
Osservazioni:
1) prima di eseguire la somma tra due matrici
controllare sempre che abbiano lo stesso
7
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
numero di righe e lo stesso numero di
colonne.
2) La matrice O di Km,n con entrate tutte nulle
oi,j=0 per ogni i=1,…,m e j=1,…,n funge da
elemento neutro rispetto alla somma di
Km,n ed è detta matrice nulla di Km,n:
O+A=A+O=A.
Esercizio
Date le seguenti matrici:
Calcolare, ove sia possibile, A+B, B+C, A+D,
A+A, B+(B+B) e (B+C)+C.
a) A+B: l’operazione non è definita in quanto…
b) B+C: l’operazione è definita e la matrice
somma è:
8
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
c) A+D: l’operazione non è definita in quanto…
d) A+A: l’operazione è definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite:
9
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite:
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data
una matrice
è possibile calcolare
e così via.
10
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Possiamo generalizzare e definire:
Il prodotto tra uno scalare e una
matrice
Siano A una matrice di Km,n e λ∈ K uno scalare.
Indichiamo λA una matrice di Km,n così definita:
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi
posizione (i,j) l’elemento ai,j moltiplicato per lo
scalare λ in K.
11
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano, quando possibile, le seguenti
operazioni con le matrici:
A+B, C+D, A+C;
A - B, C – D, B – C;
-A, 2B, -3C, -2D;
A – 2B, 2C + D , 2A+3D.
12
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra
matrice riga e matrice colonna.
Siano A, matrice riga di K1,n, e B, matrice
colonna di Kn,1; indichiamo con A·B un elemento
di K così definito:
Osservazione:
il prodotto è definito solo se il numero di colonne
di A è uguale al numero di righe di B.
Esempio
13
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
mentre
non è definito.
Allora, date A ∈ Km,n e B ∈ Kn,p, definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B:
Osservazione: il prodotto è definito perché il
numero delle colonne di A è n per ipotesi uguale
al numero di righe di B.
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B può essere così scritto:
14
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C è
sempre definito. Per esempio il prodotto tra la
2-riga di A e la 3-colonna di C è:
Attenzione: il prodotto tra una riga di C e una
colonna di A non è definito.
15
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici:
date due matrici A ∈ Km,n e B ∈ Kn,p, definiamo il
prodotto AB una matrice di Km,p il cui
elemento in posizione (i,j) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B:
Osservazioni:
1) Il prodotto AB è definito solo se il numero
delle colonne di A è uguale al numero delle
righe di B. Se il prodotto AB è definito la
matrice risultante ha il numero delle righe di
A e il numero delle colonne di B.
2) Se è definito AB, non è detto che lo sia BA:
per esempio A matrice di R3,2 e B matrice di
R2,1
16
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
3) Se sono definiti AB e BA non è detto che
AB=BA: esempio A matrice di R2,1 e B matrice
di R1,2.
Esempi
Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC.
17
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data A ∈ Mn(K) è possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r ∈N, r≥2 .
b) Date A, B ∈ Mn(K) è sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse).
c) Indicata con In =(ik,j)k,j=1,…,n la matrice così
definita:
ik,j =0 se k≠j
ik,j =1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi A ∈ Mn(K).
In è la matrice che funge da unità (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed è detta matrice
identica.
18
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Esempio
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare, quando possibile,
AB, BA, CD, DC;
A2 , BC, BD;
A2 – I3, A(A2-3B).
19
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Osservazione: due matrici sono identiche se e
solo se hanno lo stesso numero di righe, lo
stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K:
date
A=B se e solo se
1) m=p
2) n=q
3) ai,j=bi,j ∈ K per ogni i=1,…,m e j=1,…,n.
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste “operazioni”.
20
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Somma di matrici
Per ogni ‫ܣ‬, ‫ܤ‬, ‫ ∈ ܥ‬Km,n valgono le seguenti
proprietà:
1) Proprietà associativa
ሺ‫ ܣ‬+ ‫ܤ‬ሻ + ‫ ܣ = ܥ‬+ ሺ‫ ܤ‬+ ‫ܥ‬ሻ
Dimostrazione:…
2) Esistenza dell’’elemento neutro
Esiste ܱ ∈ Km,n tale che ‫ ܣ‬+ ܱ = ܱ + ‫ܣ = ܣ‬, dove
ܱ e la matrice con tutte le entrate nulle definita
durante la lezione precedente.
Da dimostrare.
3) Esistenza dell’opposto
Esiste la matrice ‫ܣ‬ሚ ∈ Km,n tale che
‫ܣ‬ሚ + ‫ ܣ = ܱ = ܣ‬+ ‫ܣ‬ሚ
Se la matrice ‫ ܣ‬ha per entrate gli elementi ai,j ,
allora la matrice ‫ ܣ‬ha in posizione (i,j) l’elemento
- ai,j.
Da dimostrare.
21
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Una struttura algebrica (G,+) che soddisfa le tre
proprietà precedentemente elencate si definisce
gruppo:
quindi (Km,n, +) è un gruppo.
4) Proprietà commutativa
Da dimostrare.
‫ܣ‬+‫ܤ= ܤ‬+‫ܣ‬
Ne segue che (Km,n, +)
commutativo (abeliano).
è
un
gruppo
Dimostrazione…
22
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni ‫ܣ‬, ‫ ∈ ܤ‬Km,n e per ogni ߣ, ߤ ∈ K valgono
le seguenti proprietà:
1) ሺߣ + ߤሻ ∙ ‫ ܣ ∙ ߣ = ܣ‬+ ߤ ∙ ‫( ܣ‬da dimostrare);
2) ߣ ∙ ሺ‫ ܣ‬+ ‫ܤ‬ሻ = ߣ ∙ ‫ ܣ‬+ ߣ ∙ ‫( ܤ‬da dimostrare);
3) ሺߣ ∙ ߤሻ ∙ ‫ ∙ ߣ = ܣ‬ሺߤ ∙ ‫ܣ‬ሻ (dimostrata di seguito);
4) 1 ∙ ‫( ܣ = ܣ‬da dimostrare).
Dimostrazione: …
23
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietà associativa
Siano ‫ ∈ ܣ‬Km,n , ‫ ∈ ܤ‬Kn,p e ‫ ∈ ܥ‬Kp,q
ሺ‫ܤܣ‬ሻ‫ܣ = ܥ‬ሺ‫ܥܤ‬ሻ (da dimostrare)
2) Proprietà distributive
Siano ‫ ∈ ܣ‬Km,n , ‫ܤ‬, ‫ ∈ ܥ‬Kn,p
‫ܣ‬ሺ‫ ܤ‬+ ‫ ܥ‬ሻ = ‫ ܤܣ‬+ ‫( ܥܣ‬da dimostrare)
Siano ‫ ∈ ܣ‬Kp,m , ‫ܤ‬, ‫ ∈ ܥ‬Kn,p
ሺ‫ ܤ‬+ ‫ ܥ‬ሻ‫ ܣܤ = ܣ‬+ ‫( ܣܥ‬da dimostrare)
3) Elemento neutro sinistro / destro
Siano ‫ ∈ ܣ‬Kp,m e ‫ܫ‬௣ ∈ Kp,p:
ࡵ࢖ ࡭ = ࡭
Siano ‫ ∈ ܣ‬Kp,m e ‫ܫ‬௠ ∈ Km,m:
࡭ࡵ࢓ = ࡭
24
(da dimostrare)
(da dimostrare)
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di
ordine n il prodotto di matrici e sempre ben
definito e risulta una legge di composizione
interna; le tre proprietà qui elencate valgono
banalmente ed esiste la matrice ࡵ࢔ elemento
neutro del prodotto.
Attenzione: rispetto al prodotto non possibile
garantire, per ogni matrice, l’esistenza della
matrice inversa. Quindi in generale data una
matrice ‫ ∈ ܣ‬Mn(K) non e detto che esista ‫ܣ‬ሚ tale
che
‫ܣܣ‬ሚ ൌ ‫ܫ‬௡ ൌ ‫ܣ‬ሚ‫ ܣ‬.
Ne segue che
(Mn(K),+) è un gruppo commutativo,
ma (Mn(K) , · ) non è un gruppo.
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dell’’annullamento del prodotto:
eppure nessuna delle due matrici fattori del
prodotto è la matrice nulla.
25
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
La matrice trasposta
Sia ‫ ∈ ܣ‬Km,n una matrice di entrate ai,j: si
definisce trasposta di ࡭, la si indica con
࢚
࡭, ‫ܣ‬௧
oppure ‫ܣ‬ூ , una matrice di Kn,m di entrate aj,i.
Per esteso
Con notazione sintetica
t
26
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012
Per costruire la matrice trasposta, trascrivo la
i-esima riga di ‫ ܣ‬nella i-esima colonna di ௧‫ܣ‬,
(scambio le righe con le colonne) o viceversa.
Esempi
27
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012

Download Report