volume 2 - modulo b unità didattica b2 soluzione del

MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA
VOL2_B
VOLUME 2 - MODULO B
UNITÀ DIDATTICA B2
SOLUZION I DEL LE VERIFICHE DEI PREREQUISITI
1. a) ω = 314,16 rad/s; b) v = 18,85 m/s
2. a) v = 137,6 km/h; b) F’ = 2400 N
3. istantanea rotazione; pari a zero; istante dopo istante
4. Vero, dato che la tensione vale circa 400 N/mm2.
5. Si prende in considerazione la formula della freccia elastica della mensola incastrata; inserendo il valore del
momento d’inerzia Ix, del modulo di elasticità E ed imponendo la freccia f = 2,5 mm, si trova che la forza esterna
agente sull’estremità vale F = 1040 N.
6. Le caratteristiche di sollecitazioni corrispondono alla scomposizione della risultante e del momento risultante
agenti su una sezione, secondo le direzioni di un sistema di assi cartesiani ortogonali x,y,z.
7. La potenza è uguale al prodotto del momento torcente M per la velocità angolare ω; sostituendo si ha che P = 13,09
kW.
8. Il rapporto di trasmissione i è pari al rapporto tra il diametro della ruota condotta e il diametro della ruota motrice.
Inserendo i rispettivi valori si ha che i = 0,72.
9. il lavoro motore in condizioni ideali; il lavoro motore in condizioni reali.
10.
c)
SOLUZIONE DEL PROBLEMA INIZIALE
Come premessa allo sviluppo della trattazione occorre tenere presenti le seguenti regole:
 Si definisce ingranaggio l’accoppiamento di due ruote dentate, rotismo l’accoppiamento fra più di due ruote
dentate.
 Il rapporto di trasmissione i è definito come rapporto tra la velocità di rotazione della ruota motrice e la velocità di
rotazione della ruota condotta.
 Il rapporto di ingranaggio u è definito come rapporto tra il numero di denti della ruota grande, detta corona, e il
numero di denti della ruota piccola, detta pignone o rocchetto.
 Il pedice 1 designa la ruota motrice, il pedice 2 la ruota condotta.
 La circonferenza assunta come riferimento per il proporzionamento della ruota dentata è la circonferenza primitiva:
noto il rapporto di trasmissione di due ruote dentate, le circonferenze primitive rappresentano le circonferenze
esterne di contatto possedute da due ipotetiche ruote di frizione funzionanti a pari rapporto di trasmissione.
 Il modulo è la grandezza basilare dell’ingranaggio dal punto di vista sia geometrico, sia dinamico, sia tecnologico;
la geometria della dentatura viene riferita al modulo, donde il termine proporzionamento modulare; i calcoli
strutturali di progetto sono finalizzati alla definizione del modulo, da cui il termine dimensionamento modulare;
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nel campo delle macchine utensili il taglio del dente mediante fresatrice prevede l’impiego di un utensile
denominato per l’appunto fresa modulare.
La geometria del dente e della ruota è espressa dalle seguenti grandezze:
 rapporto di trasmissione i: è il rapporto tra la velocità angolare della ruota motrice ω1 e la velocità angolare della
ruota condotta ω2;
 rapporto d’ingranaggio u: è il rapporto tra il numero di denti della corona (la ruota maggiore) ed il numero di denti
del pignone (la ruota minore); è sempre maggiore di uno;
 diametro di testa da: è il diametro che individua la circonferenza esterna del dente detta circonferenza di testa;
 diametro di piede o di fondo df: è il diametro della circonferenza tangente al fondo dei vani;
 diametro di base db : è il diametro della circonferenza denominata cerchio di base che viene assunta come polare
fissa, ovvero come cerchio di riferimento, rispetto alla quale costruire il profilo del dente;
 diametro di troncatura esterna de: è il diametro della circonferenza che segna il confine del profilo del dente col
raccordo esterno sul cerchio di testa;
 diametro di troncatura interna di: è il diametro della circonferenza che segna il confine del profilo del dente col
raccordo interno sul cerchio di piede;
 costa o faccia del dente: superficie del dente compresa tra il cerchio primitivo e la sommità del dente;
 fianco del dente: superficie del dente compresa tra il cerchio primitivo ed il diametro di fondo;
 superficie del dente: è l’insieme di costa e di fianco;
 altezza del dente h: è la distanza radiale tra il diametro di testa ed il diametro di piede;
 addendum ha: è la distanza radiale tra il diametro di testa ed il diametro primitivo;
 dedendum hf: è la distanza radiale tra il diametro primitivo ed il diametro di piede;
 passo p: è la distanza fra due denti misurata in forma di arco di cerchio primitivo;
 linea dei contatti o retta d’azione: è la normale comune ai profili dei denti coniugati passante per il loro punto di
contatto;
 lunghezza d’azione: è l’insieme dei punti di contatto tra i profili dei due denti accoppiati, dall’inizio al termine
dell’ingranamento;
 polo di rotolamento o punto primitivo: è il punto d’intersezione tra la retta d’azione e l’asse passante per i centri di
rotazione delle ruote ovvero è il punto di tangenza dei cerchi primitivi, di seguito indicato come punto C;
 angolo di pressione α: è l’angolo compreso tra la retta d’azione e la tangente ai due cerchi primitivi passante per il
punto primitivo C; i suoi valori sono unificati.
 lunghezza della dentatura b: è la lunghezza della fascia del dente espressa come multiplo del modulo;
 spessore circolare sp: è il tratto di cerchio primitivo delimitato fra le due superfici del dente; se anziché il tratto di
arco si misura la corda, lo spessore è detto spessore cordale ed è indicato con sc;
 spessore di base sb; è la distanza tra le due evolventi dello stesso dente sul cerchio base;
 radice: è la superficie esistente sul fondo del vano vuoto compreso tra i fianchi prospicienti di due denti
consecutivi.
 addendum
ha = m
 dedendum
hf = 1,25 m
 altezza del dente
h = (1 + 1,25) m = 2,25 m
 passo
p=mπ
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 angolo di pressione
α = 20°
 lunghezza della dentatura
b =λm
La curva adottata per i fianchi dei denti è l’evolvente di cerchio. Essa ha ormai sostituito quasi del tutto la cicloide.
L’evolvente è una curva piana individuata da un punto P fisso su una retta r vincolata a compiere un rotolamento puro su
una circonferenza di riferimento. Facendo rotolare la retta r ora in un senso or nell’altro, il punto P descrive come traiettorie
due evolventi simmetriche con le quali tracciare i due fianchi del dente. La circonferenza su cui rotola la retta generatrice è
detta circonferenza di base ed il suo raggio è indicato come rb.
La ragione della scelta del profilo ad evolvente è la seguente: il profilo ad evolvente garantisce, nel corso dell’accesso e del
recesso, sia l’invariabilità del rapporto di trasmissione sia il moto uniforme del punto di contatto lungo la tangente comune,
sia ancora la costanza dell’angolo di pressione.
La progettazione delle ruote dentate è basata sulla determinazione del modulo attraverso calcoli strutturali. Essi tengono
conto sia delle forze trasmesse durante l’ingranamento sia della resistenza del materiale impiegato. Noto quindi il valore del
modulo diventa immediato il proporzionamento della dentatura.
La metodologia di dimensionamento a fatica si basa sul calcolo a flessione del singolo dente. Il dente viene schematizzato
come una mensola incastrata sul disco ruota e come tale è sottoposto a flessione dalla forza scambiata col dente compagno
per la durata del contatto, dopodiché esso rimane scarico. Mettendo in evidenza il modulo m si ottiene infine la formula
risolutiva finale, nota come formula di Lewis:
m=3
2 M corr
σ amf X v z λ y
In essa compaiono il momento motore opportunamente corretto mediante un fattore di servizio dato da tabelle; la tensione
ammissibile a fatica in funzione del materiale; un coefficiente di maggiorazione dinamica del carico Xp funzione della
velocità periferica; il numero di denti z; un coefficiente λ che permette di definire la lunghezza del dente; un coefficiente di
forma y detto fattore di Lewis ricavabile mediante formula o da abaco.
La metodologia di dimensionamento ad usura si basa sulla capacità da parte della dentatura di sopportare i carichi senza che
insorgano rotture dovute all’usura superficiale, particolarmente pericolosa in presenza di surriscaldamenti e soprattutto nel
caso di funzionamento ad alta velocità. Questa procedura, fondata sulla teoria delle pressioni di contatto nota come teoria di
Hertz, costituisce un metodo per determinare a calcolo un valore limite minimo per il modulo in grado di prevenire l’usura;
esso deriva dalla conoscenza della pressione massima pamm ammissibile.
La progettazione ad usura prevede una formula nella quale il modulo da calcolare è espresso in funzione del momento
torcente corretto applicato sulla ruota più piccola da progettare, della pressione ammissibile, del fattore di velocità fv e dei
coefficienti C e λ; a sua volta la pressione ammissibile è inversamente proporzionale alla frequenza di rotazione e alla durata
in ore di funzionamento:
m=C
3
M corr
2
f v pamm λ
È opportuno eseguire il calcolo del modulo a flessione e successivamente la verifica ad usura nei casi in cui:
 le ruote sono lente;
 le forze scambiate sono intense, magari in presenza di sovraccarichi ed elevate coppie di spunto;
 vengono impiegati acciai da trattamento termico superficiale o da trattamento termochimico che innalzano
fortemente la durezza superficiale;
 si ritiene che la causa più probabile di messa fuori uso dell’ingranaggio consista nella rottura a fatica del dente.
È opportuno eseguire il calcolo del modulo ad usura e successivamente la verifica a flessione nei casi in cui:
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 le ruote sono veloci;
 le forze scambiate sono regolari o comunque poco variabili tra spunto e funzionamento a regime;
 vengono impiegati acciai da bonifica che innalzano la tenacità ed offrono un ottimo comportamento a fatica;
 si ritiene che la causa più probabile di messa fuori uso dell’ingranaggio consista nel danneggiamento superficiale
del dente per usura.
SOLUZIONI DEI
P ROBLEMI DI RIEPILOGO
1. L’addendum è pari al modulo: ha = 2 mm; il dedendum è pari a 1,25 volte il modulo: hf = 2,5 mm; l’altezza del
dente è pari alla somma di addendum e dedendum: h = 4,5 mm; il diametro primitivo è pari al prodotto del modulo
per il numero di denti: d = 82 mm; il diametro di testa è pari alla somma del diametro primitivo più due volte
l’addendum: da = 86 mm; il diametro di piede è ottenuto sottraendo al diametro primitivo due volte il dedendum:
df = 77 mm;
2. Calcolando il rapporto di trasmissione si trova i = 0,2666 che è un numero periodico; si moltiplichi questo numero
per z1 a partire dal numero minimo di denti 17; dopo alcuni tentativi si nota che, se moltiplicato per trenta, dà
finalmente una cifra tonda: 8. Pertanto tutti i multipli comuni di 30 e di 8 sono valori adottabili, in quanto numeri
interi e non decimali. Ad esempio, z1 = 300 e z2 = 80; z1 = 210 e z2 = 56; z1 = 105 e z2 = 28 e altri ancora.
3. Il rapporto di trasmissione fornito è un numero periodico che, se moltiplicato per tre, dà la cifra tonda 5. Pertanto
tutti i multipli comuni di 3 e di 5 sono valori adottabili, a condizione di non scendere al di sotto del numero minimo
di denti pari a 17. Ad esempio, z1 = 30 e z2 = 50; z1 = 21 e z2 = 35; z1 = 24 e z2 = 40.
4. Si applichi la formula che definisce il numero minimo di denti in funzione del seno dell’angolo di pressione:
z min =
2
2
=
= 31,903
2
2
sen α sen 14,5°
Il numero minimo di denti vale dunque 32. Ne deriva che il pignone da 28 denti proposto dal testo ha un numero
inferiore a quello minimo per cui l’ingranamento non risulta cinematicamente corretto.
5. Si applichi la formula che definisce il numero minimo di denti del pignone in funzione del seno dell’angolo di
pressione α = 20° e del rapporto di ingranaggio u:
z min =
[u
2
2
]
+ (1 + 2u ) sen α − u
2
=
[2,85
2
2
]
+ (1 + 2 × 2,85) sen 2 20° − 2,85
= 14,888
Il numero minimo di denti è zmin = 15
6. Per rispondere alle varie domande relative al proporzionamento di una ruota cilindrica a denti elicoidali occorre
riferirsi alle formule specifiche. Il modulo trasversale è ottenuto dividendo il modulo normale per il coseno
dell’angolo di inclinazione dell’elica: mt = 2,5/cos 27,5° = 2,8185 mm. Per ottenere l’angolo di pressione
trasversale occorre passare attraverso la tangente dell’angolo di pressione trasversale, ottenuta dividendo la
tangente dell’angolo di pressione normale per il coseno dell’angolo di inclinazione dell’elica:
tgα t =
tgα n
tg 20°
=
= 0,41033
cos β cos 27,5°
Attivando la funzione inversa di tg αt si perviene all’angolo di pressione trasversale:
α t = arc tg 0,41033 = 22,31°
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Noto il modulo trasversale risulta immediato trovare il diametro primitivo:
d =mt z=2,8185× 68=191,66 mm
L’addendum è pari al modulo normale: ha = mn = 2,5 mm. Il dedendum è pari a 1,25 volte il modulo normale: hf =
1,25 mn = 1,25 x 2,5 = 3,125 mm.
Il diametro di testa:
d a =d + 2 ha =191,66+2 × 2,5=196,66 mm
Il diametro di piede:
d f =d − 2 h f =191,66− 2× 1,25× 2,5=185,41 mm
Il diametro di base:
d b =d cos α t =191,66× cos 22,31° =177,313 mm
7. Per calcolare il rendimento medio di ingranamento per una coppia di ruote in presa si usa le seguente formula:
η=1−πf
(
)
(
)
1 1
1 1
+
=1−0,028 π
+
=0,9945
z1 z2
37 28
Un valore indicativo del rapporto di condotta può essere dedotto dall’apposita tabella; a tale scopo, non essendo
presenti in tabella nessuno dei due numeri di denti citati nel testo, si ricorrerà a valori di media. Pertanto si assume
un valore di rapporto di condotta pari a 0,815 per la ruota n° 2 e un valore pari a 0,848 per la ruota maggiore n° 1.
Sommandoli si ottiene ε = 1,663.
8. Inizialmente occorre conoscere il modulo trasversale, l’angolo di pressione trasversale e il diametro primitivo.
mt =
mn
3
=
=3,10583
cos β cos 15 °
tg α t =
tg α n tg 20°
=
=0,37681
cos β cos 15 °
α t =arctg 0,37681=20,647 °
d 1=mt z 1=3,10583 ×62=192,56 mm
Ora le forze scambiate fra i denti in presa; inizialmente la forza tangenziale:
F t=
2 M 2 ×500 ×103
=
=5193,19 N
d1
192,56
Poi la forza risultante:
F=
Ft
5193,19
=
=5721,4 N
cos α n cosβ cos 20 ° cos15 °
Infine le forza normale e la forza assiale:
F n=F t tg α t =5193,19 tg 20,647 °=1956,9 N
F a= F t tgβ =5193,19tg 15°=1391,5 N
9. Si calcola innanzitutto la frequenza di rotazione ω1 = 50,265 rad/s; il momento motore M1 è ottenuto come rapporto
tra la potenza e la velocità angolare ω1:
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M1 =
P
ω
=
7500
= 149,21 Nm
50,265
Il momento corretto vale Mcorr = 194 Nm, avendo scelto un fattore di servizio fs = 1,3; si scelgono due valori per i
numeri di denti che forniscano il rapporto di trasmissione richiesto; fra le diverse soluzioni possibili, si sceglie la
coppia formata da z1 = 24, z2 = 84; l’acciaio scelto è il 34 Cr 4, acciaio da bonifica di tipico impiego per ruote
dentate, avente una tensione ammissibile a fatica pari a 170 N/mm2. Si sceglie un valore medio del coefficiente che
definisce la lunghezza del dente in base al modulo: λ = 15. Si progetta a fatica mediante il metodo di Lewis; a tale
scopo occorre definire i valori numerici dei diversi fattori. Si ipotizza un valore prudenziale di 0,4 per il
coefficiente di maggiorazione dinamica del carico: Xv = 0,4. Si ricava il fattore di Lewis dall’apposito abaco: y =
0,34. Ora vi sono tutti gli ingredienti per lanciare il calcolo del modulo a fatica, secondo la formula di Lewis:
m=3
2 × 194000
= 3,6 mm
170 × 0,4 × 24 × 15 × 0,34
Si arrotonda al valore unificato m = 4 mm. Si trovano i due diametri primitivi eseguendo i prodotti fra il modulo
così trovato ed i rispettivi numeri di denti: d1 = 96 mm, d2 = 336 mm. La velocità periferica per la ruota minore, la
motrice, vale:
v1 = ω1
d1
96
mm
m
= 50,265
= 2412,72
≅ 2,4
2
2
s
s
Con questo valore di v1 si calcola il coefficiente di maggiorazione dinamica del carico:
Essendo il valore così trovato superiore a quello precedentemente ipotizzato, pari a 0,4, non occorre reiterare il
calcolo della formula di Lewis e si conferma il valore del modulo calcolato a fatica.
Il modulo così trovato verrà ora verificato a usura. Inizialmente si calcola la pressione ammissibile in funzione
della durezza Brinell dell’acciaio scelto ed assumendo una durata di 10000 ore:
Infine la pressione di contatto massima che si ha sul fianco del dente:
Il valore è accettabile in quanto inferiore al valore ammissibile.
10.
Si calcola innanzitutto la frequenza di rotazione ω1 = 77,5 rad/s; il momento motore M1 viene corretto con
un fattore di servizio fs = 1,1. Si scelgono i numeri di denti delle due ruote z1 = 20, z2 = 80 in modo da realizzare il
rapporto di riduzione assegnato. Si sceglie l’acciaio: è il 16 Cr Ni 4, acciaio da cementazione per ruote dentate,
avente una tensione ammissibile a fatica pari a 240 N/mm2. Si sceglie un valore medio del coefficiente che
definisce la lunghezza del dente in base al modulo: λ = 12. Si progetta a fatica mediante il metodo di Lewis; a tale
scopo occorre definire i valori numerici dei diversi fattori. Si ipotizza un valore prudenziale di 0,4 per il
coefficiente di maggiorazione dinamica del carico: Xv = 0,4. Si ricava il fattore di Lewis con l’apposita formula
estesa alle ruote a denti elicoidali in cui compare il numero di denti ideale:
z id =
z
20
=
=25,97
3
cos β 0,91664 3
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y ' =0,484−
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2,865
2,865
=0,484−
=0,3737
z id
25,97
Ora vi sono tutti gli ingredienti per lanciare il calcolo del modulo a fatica, secondo la formula di Lewis nella quale
occorre ricordarsi di inserire il numero di denti ideale zid . Essa ci fornisce il modulo normale:
Si arrotonda al valore unificato mn = 4 mm. Ora è immediato trovare i due diametri primitivi: d1 = mn z1 = 80 mm,
d2 = mn z2 = 320 mm. La velocità periferica del dente, sul cerchio primitivo:
v 1=ω 1
d1
80
mm
m
=77,5 × =3100
=3,1
2
2
s
s
Con questo valore di v1 e con A = 5 si calcola il coefficiente di maggiorazione dinamica del carico:
Non occorre ripetere il calcolo a fatica del modulo normale, per cui si conferma il valore precedentemente
calcolato.
Il modulo così trovato verrà ora verificato a usura. Inizialmente si calcola la pressione ammissibile in funzione
della durezza Brinell dell’acciaio scelto avendo inoltre assunto una durata di 8000 ore:
Ora l’angolo di pressione trasversale:
tg α t =
tg α n
tg 20 °
=
=0,39707
cos β cos 23,56 °
α t =arctg 0,39707=21,66 °
Infine la pressione di contatto massima:
Il valore è accettabile in quanto inferiore al valore ammissibile precedentemente trovato.
SOLUZIONI AI QUESITI DI AUTOVERIFICA ALL’APPRENDIMENTO
Le risposte contengono i concetti chiave e sono fornite in forma di schema.
1.
2.
3.
Si definisce ingranaggio l’accoppiamento di due ruote dentate ingrananti tra loro, montate su assi la cui posizione
relativa resta fissa; una di esse impone il moto alle altre mediante denti che vengono a contatto in successione. Se
l’accoppiamento è fra più di due ruote si parla di rotismo.
Il rapporto di trasmissione i è definito come rapporto tra la velocità di rotazione della ruota motrice e la velocità di
rotazione della ruota condotta. Il rapporto di ingranaggio u è definito come rapporto tra il numero di denti della
ruota grande, detta corona, e il numero di denti della ruota piccola, detta pignone o rocchetto.
a) d = m z; b) p = m π; c) h = 2,25 m
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
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Vero
al modulo.
b) c) d)
a) circonferenza di testa; b) circonferenza di piede; c) circonferenza di troncatura esterna; d) circonferenza di
troncatura interna.
Vero
Il rapporto di condotta ε è espresso come rapporto tra arco d’azione a e passo p; è un numero puro che deve sempre
risultare maggiore di uno.
a) c) d)
Il numero di denti ideale si calcola facendo il rapporto tra il numero di denti z e il coseno dell’angolo dell’elica,
elevato al cubo: si ottiene zid = 33/0,9396933 = 39,77
u = 60/25 = 2,4
Si definisce interferenza la condizione di contatto tra i profili in un punto esterno al segmento N1- N2 della linea
d’azione, con uno dei due denti che durante l’ingranamento tende a penetrare all’interno del profilo dell’altro
scavandolo in parte. I punti N1 ed N2 sono anche detti limiti d’interferenza.
c)
Vero
mensola verticale incastrata inferiormente; nella sommità.
La formula afferma che mn = mt cos β
Falso
d)
a) coni primitivi; b) coni complementari; c) coni base.
sghemba.
a) b)
La formula afferma che tg αn = tg αt cos β
È il numero di denti presente su di una circonferenza ideale ottenuta sezionando la ruota con un piano normale al
dente.
Passo assiale pa: è la distanza tra due denti successivi misurata in un piano meridiano parallelo all’asse di
rotazione; passo trasversale o circonferenziale pt: è la distanza tra due denti successivi misurata in un piano
perpendicolare all’asse della ruota; passo normale pn: è la distanza tra due denti successivi misurata in un piano
perpendicolare all’asse del dente.
Falso
Falso
Il sistema non ammette il moto retrogrado, cioè, la ruota elicoidale non può fungere da organo motore.
Vero
UNITÀ DIDATTICA B3
SOLUZION I DEL LE VERIFICHE DEI PREREQUISITI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Si definisce ingranaggio l’accoppiamento di due ruote dentate ingrananti tra loro, montate su assi la cui posizione
relativa resta fissa; una di esse impone il moto alle altre mediante denti che vengono a contatto in successione. Se
l’accoppiamento è fra più di due ruote si parla di rotismo.
d = m z =39 × 6 = 234 mm
retta; circonferenza; cerchio di base.
Falso
rb = mz/2 × cos α = 6 × 73/2 × cos 20° = 205,8 mm
Addendum: distanza radiale fra il diametro di testa e il diametro primitivo. Dedendum: distanza radiale fra il
diametro primitivo e il diametro di piede.
retta d’azione.
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8. a) trasversale; b) assiale; c) normale.
9. circonferenza ideale; normale al dente.
10. a) d)
SOLUZIONE DEL PROBLEMA INIZIALE
La formula che permette di calcolare il rapporto di trasmissione del rotismo epicicloidale è la formula di Willis. Essa
esprime il rapporto di trasmissione per il rotismo reso ordinario:
i0 =
ω1 − Ω
ω4 − Ω
Con la sigla i0 si designa il rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario ovvero del rotismo al quale si sia imposta una
rotazione di velocità di valore – Ω a tutti i membri del gruppo ed in cui si siano rese libere di ruotare eventuali ruote
bloccate. Il gruppo formato dalle ruote 2 e 3 e dall’asse mobile è sostenuto dal portatreno costituito da un telaio rotante
intorno all’asse fisso, con velocità Ω. Le ruote 1 e 4 sono dette planetari, le ruote 2 e 3 satelliti.
Procedura di calcolo: il rotismo viene ipotizzato come ordinario e la ruota 4 diventa ruota motrice. Il rapporto di
trasmissione i0 può essere calcolato attraverso i numeri di denti.
 z 
i 0 =  − 3 
 z4 
 z1  z 3 × z1 100 × 101
 −  =
=
= 1,0202
z
z
×
z
100
×
99
 2
4
2
Si applica la formula di Willis al rotismo in questione reso ordinario, ponendo a denominatore la velocità angolare della
ruota motrice n°4, a numeratore la velocità angolare della ruota condotta n°1:
i0 =
ω4 −Ω
−Ω
=
ω1 − Ω ω1 − Ω
razionalizzando:
i 0 (ω 1 − Ω ) = −Ω
eseguendo i prodotti, raccogliendo e separando le variabili omega:
Ω (1 − i 0 ) = −i 0 ω 1
infine:
Ω
ω1
=
i0
1,0202
=
= 50,5
i 0 − 1 1,0202 − 1
Il rapporto di trasmissione del rotismo epicicloidale, analogamente a qualunque rotismo, è formulato come rapporto tra la
velocità angolare della ruota motrice Ω diviso la velocità angolare della ruota condotta ω1, quindi:
i=
Ω
ω1
= 50,5
Questo rotismo consente di avere una forte riduzione di velocità senza inversione del moto.
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MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA
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SOLUZIONI DEI
P ROBLEMI DI RIEPILOGO
1. Il rapporto di trasmissione è pari al rapporto tra il numero di denti dell’ultima ruota e quello della prima: i = z5/z1 =
37/64 = 0,5
2. Avendo tutte le ruote modulo uguale, è sufficiente verificare che le somme dei denti dei due ingranaggi siano
uguali: 24 + 41 = 28 + 37 = 65. La coassialità è garantita.
3. Occorre controllare che le somme dei raggi primitivi per ogni ingranaggio siano uguali: r1 + r2 = r3 + r4.
m1
m2
z 2 + z 1 )= ( z 3 + z 4)
(
2
2
Passando ai valori numerici:
2 ( 30+40 )=2,5 ( 24+ 32 )
La coassialità è garantita dato che si ottiene l’uguaglianza 140 = 140.
4. Il rapporto di trasmissione totale vale:
i tot =
z 2 z 4 27 25
=0,3125
=
z 1 z 3 54 40
Il momento uscente vale M2 = i M1 = 416 Nm; la frequenza di rotazione in uscita vale n2 = n1/i = 4736 giri/min.
5. Dall’apposita tabella si ricava che la ragione R del cambio vale 1,25. Calcolo delle velocità nelle varie marce: n2 =
n1 × R = 62,5 giri/min; n3 = n2 × R = 78 giri/min; n4 = n3 × R = 98 giri/min; n5 = n4 × R = 122 giri/min; n6 = n5 × R
= 153 giri/min.
6. Per calcolare i momenti uscenti occorre moltiplicare la coppia motrice M per i rapporti delle varie marce: M1 = M ×
i1 = 497 Nm; M2 = 305 Nm; M3 = 213 Nm; M4 = 162 Nm; M5 = 128 Nm. Si ottengono le sei velocità di rotazione
in uscita dividendo la velocità di rotazione del motore per i vari rapporti di trasmissione: n1 = n/i1 =845 giri/min; n2
= 1379 giri/min; n3 = 1968 giri/min; n4 = 2595 giri/min; n5 = 3271 giri/min.
7. Per la formula di Willis:
( )( )
i 0=
−z 2
z1
−z 4 100 × 96
=
=20
z3
20 × 24
Per questo tipo di rotismo il rapporto di trasmissione ha la seguente formula: i = 1- i0 = 1-20 = -19; essendo il
risultato negativo, si ottiene l’inversione del moto.
8. Per la formula di Willis:
( )( )
i 0=
−z 2
z1
z 4 −222× 282
=
=−69,87
z3
28 ×32
Per questo tipo di rotismo il rapporto di trasmissione ha la seguente formula: i = 1- i0 = 1+69,87 = 70,87; essendo il
risultato positivo, non si ha l’inversione del moto.
SOLUZIONI AI QUESITI DI AUTOVERIFICA ALL’APPRENDIMENTO
Le risposte contengono i concetti chiave e sono fornite in forma di schema.
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1.
Si definiscono rotismi gli insiemi di più ruote dentate che ingranano l’una con l’altra, con possibilità di avere una
singola ruota ingranante con più ruote contemporaneamente.
2. fissi; mobili.
3. Falso
4. Le somme dei raggi primitivi per ogni ingranaggio devono risultare uguali: r1 + r2 = r3 + r4.
5. in presa con la precedente e con la successiva, tranne la prima e l’ultima.
6. a) b)
7. Vero
8. a) solare; b) satellite; c) corona; d) portatreno.
9. I rotismi differenziali hanno il moto entrante dal portatreno ed uscente attraverso due ruote d’estremità. La coppia
motrice è ripartita in parti uguali fra le due ruote cedenti indipendentemente dalle loro velocità di rotazione.
10. a) b) d)
11. La formula che impone la coassialità è la seguente:
mI
m II
z 2 + z 1 )=
(
(z +z )
2
2 3 4
mI
2,5
( 60+20 )= ( 26+ 38)
2
2
m I =2,5
64
=2 mm
80
12. il rotismo reso ordinario.
13. Nei cambi di velocità dei veicoli il sincronizzatore esegue il disinnesto di un rapporto e l’innesto di un altro mentre
gli alberi primario e secondario sono in moto con velocità differenti.
14. Falso
15. c)
16. il telaio mobile che sopporta gli assi intermedi rotanti; satelliti.
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