corso: “mani abili” - Istituto Columella

ANNO SCOLASTICO 2014/2015
PROGETTO: ”AREE A RISCHIO”
CORSO: “MANI ABILI”
MATEMATICA
DOCENTE PROF. ROBERTO TOMA
ARGOMENTI DEL CORSO
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SISTEMA METRICO DECIMALE
SCALA DELLE LUNGHEZZE
SCALA DELLE AREE
SCALA DEI VOLUMI
SCALA DEI PESI
SCALA DELLE CAPACITA'
LE EQUIVALENZE
LE PROPORZIONI
LE PERCENTUALI
LE PROPORZIONI E LE PERCENTUALI IN CUCINA
ESERCIZI
IL SISTEMA METRICO DECIMALE
Quando vogliamo misurare una grandezza dobbiamo utilizzare una UNITA' DI
MISURA.
Così se vogliamo misurare la lunghezza di un pezzo di stoffa possiamo usare come unità
di misura il metro, ma potremmo utilizzare anche il decimetro o il centimetro o anche,
potremmo esprimere la lunghezza della stoffa confrontandola col nostro palmo della
mano. Cosa significa tutto questo? Che l'UNITA' DI MISURA da usare può
essere SCELTA A PIACERE.
In passato accadeva spesso che in ogni nazione, ma anche nelle varie regioni di uno
stesso Stato, si usavano unità di misure diverse. Chiaramente questa consuetudine
rendeva più difficoltosi gli scambi commerciali e i calcoli da effettuare nelle
compravendite.
Per queste ragioni si è cercato di adottare delle unità di misura uniche nei differenti paesi
del mondo.
In Francia, nel 1775, fu costituita una commissione di scienziati presieduta da Luigi
Lagrange con l'obiettivo di unificare le unità di misura in modo da creare un insieme di
unità da usare per le misure di lunghezza, di peso, di capacità, e così via.
Il nuovo sistema fu chiamato SISTEMA METRICO DECIMALE, e viene spesso
abbreviato con la sigla S.M.D.. Esso fu adottato dalla maggior parte dei paesi del
mondo, con esclusione dell'Inghilterra e dell'America che hanno continuato ad
impiegare, rispettivamente, il sistema di misura inglese e quello americano.
L'Inghilterra ha adottato il sistema metrico decimale solamente da alcuni anni.
La rapida diffusione del sistema metrico decimale è stata determinata soprattutto dalla
sua estrema semplicità, infatti esso si fonda su unità di misura legate ai propri multipli e
sottomultipli dal rapporto di uno a dieci, uno a cento, uno a mille:
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i MULTIPLI di una unità di misura sono 10, 100, 1.000 volte più grandi di essa;
i SOTTOMULTIPLI di una unità di misura sono 10, 100, 1.000 volte minori di essa.
Questo rende estremamente agevole convertire una unità di misura in un suo multiplo o
in un suo sottomultiplo.
Il SISTEMA METRICO DECIMALE deve il suo nome:
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al fatto di essere un sistema DECIMALE, cioè in BASE 10. Come abbiamo detto, infatti,
il rapporto fra ogni unità di misura e i suoi multipli e sottomultipli è sempre dieci o multiplo
di dieci;
ad una unità di misura in particolare, ovvero il METRO che ha una lunghezza pari alla quarantamilionesima parte del meridiano terreste.
Il prototipo del metro è depositato a Parigi, presso il Museo dei pesi e delle misure a Sèvres. Esso
è costituito da una lega inalterabile formata da 90 parti di platino e 10 parti di iridio e viene
conservata alla temperatura costante di zero gradi.
Dal metro derivano tutte le altre unità di misura che formano il sistema metrico decimale: le misure
di peso, di superficie, di capacità, ecc..
Spesso il SISTEMA METRICO DECIMALE viene chiamato anche SISTEMA
INTERNAZIONALE DI UNITA' DI MISURA che viene abbreviato con la sigla S.I.
LA SCALA DELLE LUNGHEZZE
L'UNITA' DI MISURA delle LUNGHEZZE è il METRO che viene indicato con la
sigla m.
Riportiamo, nella tabella che segue, i MULTIPLI e
i SOTTOMULTIPLI del METRO con le rispettive sigle.
UNITA' DI
MISURA
MULTIPLI
SOTTOMULTIPLI
chilometro
ettometro
decametro
metro
decimetro
centimetro
millimetro
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1.000 m
100 m
10 m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Come si trasforma una misura di lunghezza in un'altra? Per farlo dobbiamo tenere
presente la tabella che abbiamo appena visto e ricordare che:
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per trasformare una unità di lunghezza in un'altra di ORDINE SUPERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante cifre quanti sono
i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura;
Esempio:
43,25 m = 4,325 dam
258,12 m = 2,5812 hm
4327,1 m = 4,3271 km
512 mm = 51,2 cm
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per trasformare una unità di lunghezza in un'altra di ORDINE INFERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tante cifre quanti sono
i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura.
Esempio:
4,15 m = 41,5 dm
40,318 m = 40.318 mm
1,3275 hm = 1.327,5 dm.
Nel caso in cui dovesse essere necessario, si aggiungono degli zeri, se il numero delle
cifre non è sufficiente.
Esempio:
4 m = 0,004 km
0,5 m = 50 cm.
LA SCALA DELLE AREE
La MISURA DI UNA SUPERFICIE si dice AREA.
L'UNITA' DI MISURA principale di SUPERFICIE è il METRO QUADRATO che
viene indicato con la sigla mq oppure con m2.
Il METRO QUADRATO corrisponde ad un quadrato il cui lato è lungo 1 metro.
Riportiamo, nella tabella che segue, i MULTIPLI e i SOTTOMULTIPLI del METRO
QUADRATO con le rispettive sigle.
UNITA'
DI
MISURA
MULTIPLI
chilometro ettometro
quadrato quadrato
km2
decametro quadrato
hm2
1.000.000
10.000 m2
m2
dam2
100 m2
SOTTOMULTIPLI
metro decimetro centimetro millimetro
quadrato quadrato quadrato quadrato
m2
dm2
0,01 m2
cm2
mm2
0,0001 m2 0,000001 m2
Come si trasforma una misura di superficie in un'altra? Per farlo dobbiamo tenere
presente la tabella che abbiamo appena visto e ricordare che:
•
per trasformare una unità di superficie in un'altra di ORDINE SUPERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante COPPIE di cifre
quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura;
Esempio:
513,8 m2 = 5,1380 dam2
71831,7 m2 = 7,183170 hm2
3218,15 mm2 = 32,1815 cm2
•
per trasformare una unità di superficie in un'altra di ORDINE
INFERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di
tanteCOPPIE di cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di
misura.
Esempio:
5,12 m2 = 512 dm2
2,726 hm2 = 272,60 dam2
435,30 cm2 = 43.530 mm2.
Nel caso in cui dovesse essere necessario, si aggiungono degli zeri, se il numero delle
cifre non è sufficiente.
Esempio:
6 m2 = 0,06 dam2
0,04 dam2 = 400 dm2.
LA SCALA DEI VOLUMI
La MISURA DI UN SOLIDO prende in nome di VOLUME.
L'UNITA' DI MISURA di VOLUME principale è il METRO CUBO che viene
indicato con la sigla m3.
Il METRO CUBO corrisponde ad un cubo il cui spigolo è lungo 1 metro.
Riportiamo, nella tabella che segue, i MULTIPLI e i SOTTOMULTIPLI del METRO
CUBO con le rispettive sigle.
MULTIPLI
UNITA' DI MISURA
decametro cubo
metro cubo
decimetro
cubo
centimetro
cubo
dam3
m3
dm3
cm3
1.000 m3
SOTTOMULTIPLI
0,001 m3
millimetro
cubo
mm3
0,000001 m3 0,000000001 m3
Come si può notare dalla tabella precedente, i multipli del metro cubo sono poco
utilizzati e si è soliti impiegare solamente il decametro cubo.
Come si trasforma una misura di volume in un'altra? Per farlo dobbiamo tenere presente
la tabella che abbiamo appena visto e ricordare che:
•
per trasformare una unità di volume in un'altra di ORDINE SUPERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tantiGRUPPI DI TRE
CIFRE quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura;
Esempio:
1.508,8 m3 = 1,5088 dam3
13.850,7 dm3 = 13,8507 m3
3.125.360,7 mm3 = 3,1253607 dm3
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per trasformare una unità di superficie in un'altra di ORDINE INFERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tanti GRUPPI DI TRE
CIFRE quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura.
Esempio:
512,321 m3 = 512.321 dm3
2,7261 cm3 = 2726,1 mm3
4,353022 m3 = 4353022 cm3.
Nel caso in cui dovesse essere necessario, si aggiungono degli zeri, se il numero delle
cifre non è sufficiente.
Esempio:
5 m3 = 0,005 dam3
0,08 dam3 = 80 m3.
LA SCALA DEI PESI
L'UNITA' DI MISURA principale di PESO è il CHILOGRAMMO che viene indicato
con la sigla kg.
Un CHILOGRAMMO è all'incirca pari al peso di un decimetro cubo di acqua distillata
alla temperatura di 4 gradi centigradi.
Riportiamo, nella tabella che segue, i MULTIPLI e
i SOTTOMULTIPLI del CHILOGRAMMO con le rispettive sigle.
UNITA' DI
MISURA
MULTIPLI
megagrammo
centinaia di
decine di
chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo
chilogrammi chilogrammi
Mg
1.000 kg
SOTTOMULTIPLI
kg
100 kg
10 kg
hg
dag
g
0,1 kg
0,01 kg
0,001 kg
Come possiamo notare non esiste nessuna sigla per indicare le centinaia di chilogrammi
e le decine di chilogrammi.
Spesso si parla di:
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•
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miriagrammo (abbreviato con la sigla Mg esattamente come il megagrammo) per indicare 10 chilogrammi;
quintale (abbreviato con la sigla q) per indicare 100 chilogrammi;
tonnellata (abbreviata con la sigla t) per indicare 1.000 chilogrammi.
Queste unità di misura non sono riconosciute dal Sistema Internazionale di Unità di
Misura. Ciò nonostante, soprattutto i quintali e le tonnellate, continuano ad essere diffuse
come unità di misure.
Per indicare delle grandezze molto piccole, si impiegano i SOTTOMULTIPLI DEL
GRAMMO. Eccoli riportati nella tabella che segue.
SOTTOMULTIPLI DEL GRAMMO
grammo
decigrammo
centigrammo
milligrammo
g
dg
cg
mg
0,1 g
0,01 g
0,001 g
Il GRAMMO corrisponde al peso di un centimetro cubo di acqua distillata.
Come si trasforma una misura di peso in un'altra? Per farlo dobbiamo tenere presente le
tabelle che abbiamo appena visto e ricordare che:
•
per trasformare una unità di peso in un'altra di ORDINE SUPERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante cifre quanti sono
i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura;
Esempio:
51,8 dg = 5,18 g
1.327,15 kg = 1,32715 Mg
70 g = 7 dag
•
per trasformare una unità di peso in un'altra di ORDINE INFERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tante cifre quanti sono
i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura.
Esempio:
5,14 kg = 51,4 hg
20,78 hg = 207,8 dag
4,21 g = 421 cg.
Nel caso in cui dovesse essere necessario, si aggiungono degli zeri, se il numero delle
cifre non è sufficiente.
Esempio:
600 kg = 0,6 Mg
4 g = 400 cg.
LA SCALA DELLE CAPACITA’
L'UNITA' DI MISURA principale delle CAPACITA' è il LITRO che viene indicato
con la sigla l.
Il LITRO rappresenta la CAPACITA' equivalente al VOLUME DI 1 DECIMETRO
CUBO.
Riportiamo, nella tabella che segue, i MULTIPLI e
i SOTTOMULTIPLI del LITRO con le rispettive sigle.
UNITA' DI
MISURA
MULTIPLI
SOTTOMULTIPLI
ettolitro
decalitro
litro
decilitro
centilitro
millilitro
hl
dal
l
dl
cl
ml
100 l
10 l
0,1 l
0,01 l
0,001 l
Come si trasforma una misura di capacità in un'altra? Per farlo dobbiamo tenere presente
la tabella che abbiamo appena visto e ricordare che:
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per trasformare una unità di capacità in un'altra di ORDINE SUPERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante cifre quanti sono
i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura;
Esempio:
31,8 l = 3,18 dal
300,25 l = 3,0025 hl
70 cl = 7 dl
•
per trasformare una unità di capacità in un'altra di ORDINE INFERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tante cifre quanti sono
i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura.
Esempio:
5,12 l = 51,2 dl
2,7 hl = 27 dal
4,35 cl = 43,5 ml.
Nel caso in cui dovesse essere necessario, si aggiungono degli zeri, se il numero delle
cifre non è sufficiente.
Esempio:
6 l = 0,06 hl
0,4 dal = 40 dl.
LE EQUIVALENZE
Quali sono le regole da applicare per eseguire correttamente le EQUIVALENZE?
Cerchiamo di rispondere a questa domanda.
Iniziamo col dire che il rapporto tra ogni misura e quella che la segue o la precede è di:
•
•
•
DIECI per le misure di lunghezza , peso e capacità ;
CENTO per le misure di superficie;
MILLE per le misure di volume.
Quindi, per trasformare una unità di misura, in un altra dello stesso tipo (ad esempio,
metri in centimetri, centimetri in decametri, litri in decilitri, ecc..) si applicano le regole
che seguono.
MISURE DI LUNGHEZZA - PESO - CAPACITA'
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per trasformare una unità di misura in un'altra di ORDINE SUPERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante cifre quanti sono
i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, DIVIDENDO per DIECI, per
CENTO o per MILLE per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo degli zeri
se necessario.
Esempio:
1,5 m = 0,15 dam
730,1 g = 7,301 hg
1,7 cl = 0,0017 dal
da m a dam 1 gradino della
scala
dividiamo per 10
1,5 : 10 = 0,15
da g ad hg 2 gradini della scala dividiamo per 100
730,1 : 100 = 7,301
da cl a dal 3 gradini della scala dividiamo per 1000
1,7 : 1.000 = 0,0017
•
per trasformare una unità di misura in un'altra di ORDINE INFERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tante cifre quanti sono
i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, MOLTIPLICANDO per DIECI, per CENTO o per MILLE per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo degli zeri se necessario.
Esempio:
18 l = 180 dl
1,3 dag = 130 dg
7,5 m = 7.500 mm
da l a dl 1 gradino della scala moltiplichiamo per 10
da dag a dg 2 gradini della
scala
da m a mm 3 gradini della
scala
18 x 10 = 180
moltiplichiamo per 100
1,3 x 100 = 130
moltiplichiamo per 1000
7,5 x 1.000 = 7.500
MISURE DI SUPERFICIE
•
per trasformare una unità di misura di superficie in un'altra di ORDINE SUPERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante COPPIE di cifre
quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, DIVIDENDO per
100 per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo degli zeri se necessario.
Esempio:
70 m2 = 0,7 dam2
531,11
mm2 = 0,053111 dm2
da m2 a dam2 1 gradino della
scala
da mm2 a dm2 2 gradini della
scala
dividiamo per 100
70 : 100 = 0,7
dividiamo per 10.000
531,11 : 10.000 = 0,053111
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per trasformare una unità di misura in un'altra di ORDINE INFERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tante COPPIE di cifre
quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, MOLTIPLICANDO per 100 per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo
degli zeri se necessario.
Esempio:
7 m2 = 700 dm2
3,5 m2 =35.000 cm2
da m2 a dm2 1 gradino della moltiplichiamo per 100
scala
7 x 100 = 700
2
2
da m a cm 2 gradini della moltiplichiamo per 10.000
scala
3,5 x 10.000 = 35.000
MISURE DI VOLUME
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per trasformare una unità di misura di volume in un'altra di ORDINE SUPERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tanti GRUPPI DI TRE
CIFRE quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, DIVIDENDO per 1.000 per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo degli
zeri se necessario.
Esempio:
132,7 m3 = 0,1327
dam3
da m3 a dam3 1 gradino
della scala
7 mm3 = 0,000007 dm3 da mm3 a dm3 2 gradini
della scala
dividiamo per 1.000
132,7 : 1.000 = 0,1327
dividiamo per 1.000.000
7 : 1.000.000 = 0,000007
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per trasformare una unità di misura in un'altra di ORDINE INFERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tanti GRUPPI DI TRE
CIFRE quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, MOLTIPLICANDO per 1.000 per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo
degli zeri se necessario.
Esempio:
2 m3 = 2.000 dm3
da m3 a dm3 1 gradino
della scala
moltiplichiamo per 1.000
2 x 1.000 = 2.000
0,5 m3 =500.000 cm3
da m3 a cm3 2 gradini
della scala
moltiplichiamo per
1.000.000
0,5 x 1.000.000 = 500.000
LE PROPORZIONI
CHE cos'è una proporzione? Spesso sentiamo parlare di grandezze e quantità
proporzionali tra loro, o che sono in proporzione a qualcos'altro. In questa lezione
spiegheremo qual è il significato aritmetico delle proporzioni, come si svolgono gli
esercizi e come si usano nella pratica e nella vita di tutti i giorni.
Una proporzione non è nient'altro che un'uguaglianza tra due rapporti. Se
abbiamo quattro numeri, o quantità, o grandezze a, b ,c ,d e scriviamo
=
stiamo considerando un'uguaglianza tra il rapporto (divisione) tra a e b e il rapporto
tra c e d. Un modo alternativo di scrivere la precedente uguaglianza è
a:b = c:d
A CHE COSA SERVONO LE PROPORZIONI?
Non c'è nessun significato nascosto, non c'è nulla di difficile: una proporzione serve
solamente a dire che due coppie di numeri, nel caso precedente (a,b) e (c,d), stanno
nello stesso rapporto tra loro. Non è importante quali siano, separatamente, i
numeri a,b,c,d. Ciò che conta è il risultato delle divisioni a:b e c:d.
Una proporzione esprime cioè una particolare relazione tra due numeri: le due coppie
di numeri devono avere lo stesso rapporto.
Esempio
80 sta a 40 come 2 sta a 1. Infatti 80 : 40 = 2 e 2 : 1 = 2, quindi
80 : 40 = 2 : 1
Se è la prima volta che hai a che fare con le proporzioni, probabilmente ti starai
chiedendo "ma che me ne faccio di questa roba?!". Ti proponiamo un esempio che ti
farà capire subito in che modo le proporzioni sono utili nella vita di tutti i giorni...
...Ieri sono andato al bar e ho mangiato 150g di sfoglia al prosciutto e formaggio
pagando 4,50 euro. Oggi ho tanta fame, e voglio mangiarmi 250g della stessa sfoglia.
Il problema è che non so se i soldi che ho in tasca saranno sufficienti per pagare il
conto. Se il barista non ha cambiato i prezzi, dovrò pagare un totale proporzionale al
peso della sfoglia ordinata. Ieri 150g per 4,50 euro, oggi 250g per...?
4,50:150 = x:250
Dato che i due rapporti devono coincidere:
4,50 : 150 = 0.03 e x : 250 = 0.03, da cui x= 0,03×250 = 7,50
Dovrò quindi pagare 7,50 euro per 250g di sfoglia: molto meglio stare a dieta...
PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI
Prima di tutto, un paio di nomi: chiamiamo estremi proporzionali i due numeri più
esterni rispetto all'uguale, e chiamiamo medi proporzionali i due numeri più vicini
all'uguale. Nella precedente scrittura i due medi proporzionali sarebbero b e c, mentre
gli estremi sarebbero a e d.
Proprietà delle proporzioni:
Proprietà fondamentale: a × d = b × c
Proprietà dell'invertire: b : a = d : c
Permutare i medi:
a:c=b:d
Permutare gli estremi:
d:b=c:a
Proprietà del comporre: (a+b) : b = (c+d) : d e (a+b) : a = (c+d) : c
Proprietà dello scomporre: se a>b
(a-b) : a = (c-d) : c e (a-b) : b = (c-d) : d
COME RISOLVERE GLI ESERCIZI SULLE PROPORZIONI CON L'INCOGNITA X
Immaginiamo di dover risolvere un esercizio in cui vogliamo determinare una
quantità incognita x, legata in una qualche proporzione ad altre tre grandezze (come e
quali dipenderà dal testo dell'esercizio). Un esempio è proprio quello del bar visto
prima!
Se ad esempio abbiamo a,b,c,x e conosciamo solo a,b,c e il testo ci porta ad avere una
proporzione del tipo
a:x=b:c
Se l’incognita x è un medio della proporzione, come nel nostro esempio, essa sarà
uguale al prodotto degli estremi diviso l’altro medio, cioè:
x =
௔×௖
௕
Se l’incognita x è un estremo della proporzione allora essa sarà uguale al prodotto
dei medi diviso l’altro estremo.
Esempi:
ସ×ଵଶ
4 : x = 3 : 12
x=
4 : 16 = 3 : x
x=
ଷ
ଵ଺×ଷ
ସ
= 16
= 12
… Ritornando all’esempio della sfoglia al prosciutto e formaggio:
4,50 : 150 = x : 250
x=
ସ,ହ଴×ଶହ଴
ଵହ଴
= 7,50 euro
LE PERCENTUALI
Niente paura: le percentuali ed il calcolo percentuale sembrano cose strane, ma non
sono nulla di complicato. Una percentuale - si indica con %, e si legge "per cento" esprime una frazione di una determinata quantità. Nella vita di tutti i giorni sentiamo
spesso parlare di percentuali, e siamo abituati a sentire frasi del tipo "il 60% delle
persone è castana", "l'iva è al 21%", "i prezzi sono aumentati del 2%", e così via...
Vediamo quindi di capire cosa sono, come si calcolano le percentuali e di applicare
il tutto a qualche esempio.
COSA SONO LE PERCENTUALI E COME SI EFFETTUA IL CALCOLO
PERCENTUALE?
Come abbiamo accennato all'inizio, una percentuale esprime una frazione di una
determinata quantità. Prendiamo un qualsiasi numero con la virgola o senza, in
pratica un qualsiasi numero reale, chiamiamolo x e scriviamo
x%
Si legge "x per cento" ed il termine x si dice tasso percentuale.
Tale percentuale si riferisce ad una qualche quantità, una quantità totale, di cui
vogliamo prendere l'x per cento. Ad esempio, potremmo parlare del 20 per cento
degli abitanti d'Italia.
Com'è definito l'x%, o x per cento, di una determinata quantità? In questo modo
x% =
௫
ଵ଴଴
Dire
"x% per cento di qualcosa"
Sta semplicemente ad indicare
la quantità pari a
௫
di qualcosa.
ଵ଴଴
Esempio
Il 30% degli italiani beve bibite gassate. Ok, ma in termini quantitativi cosa significa?
In Italia ci sono 60.000.000 di persone, il 30% di 60.000.000 a quanto ammonta?
ଷ଴
ଵ଴଴
x 60.000.000= 30x600.000 = 18.000.000
DALLA PERCENTUALE ALLA FRAZIONE
Lo abbiamo appena visto. Prendiamo il numero espresso in termini percentuali, e
dividiamolo per cento: la frazione che otteniamo fornisce una rappresentazione
alternativa della stessa quantità
x% =
௫
ଵ଴଴
COME SI CALCOLA LA PERCENTUALE?
Se invece conosciamo una parte di una quantità Q espressa in termini di frazione, e
vogliamo scriverla sotto forma di percentuale, come ad esempio
௠
௡
× Q = ? % di Q
è sufficiente esprimere la frazione come numero decimale e moltiplicarla per cento:
௠
௡
↔ × 100%
௠
௡
Per chi fosse interessato, il motivo del precedente passaggio è semplice. Se vogliamo
trovare il numero x che esprime la frazione
௠
௡
come percentuale, basta ricordare che
௫
x% ↔
ଵ଴଴
quindi per far sì che
x%↔
basta scrivere
=
e quindi
=
× 100
Esempio
I quattro quinti, cioè i 4/5, di 60 ragazzi ascolta musica. A quale percentuale di
ragazzi corrisponde la precedente frazione?
I 4/5 di 60 è uguale a 48, quindi 48 ragazzi su 60 ascoltano musica, ma a quanto
corrisponde in percentuale?
Grazie alla formula che abbiamo appena visto, ci basta calcolare
4
× 100 = 4 × 20 = 80
5
e quindi l'80% dei ragazzi ascolta musica.
LA PERCENTUALE COME PROPORZIONE
In una scuola 75 alunni su 300 portano gli occhiali. Qual è la percentuale degli
alunni con gli occhiali? Per rispondere a questa domanda dobbiamo ricorrere
alle proporzioni. Vediamo come.
Il rapporto degli alunni con gli occhiali è 75:300; per esprimerlo sotto forma di
percentuale dobbiamo considerare il totale non più come 300 ma come 100. Si
deve cioè trasformare il rapporto 75:300 nel rapporto x:100. Imposteremo allora la
proporzione:
75 : 300 = x :100
la quale, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, ci fornirà il valore
della
x =
75×100
= 25
300
Ovvero ogni 100 alunni 25 portano gli occhiali, cioè esattamente il 25%
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLE PERCENTUALI
Le percentuali si rappresentano graficamente per mezzo degli areogrammi;
vediamo come utilizzarli per rappresentare le percentuali tramite il seguente esempio.
In Italia il 62% delle famiglie ha un cane, il 22% un gatto ed il 16% un criceto.
Per disegnare l' areogramma calcoliamo i valori dell'ampiezza degli angoli che
corrispondono alle percentuali. Poiché un diagramma a torta altro non è se non un
angolo giro e misurerà quindi 360° per trovare l'ampiezza degli angoli basta
impostare le seguenti proporzioni:
x : 360 = 62 : 100 → x =
62×360
=
100
y : 360 = 22 : 100 → y =
×
= 79°
z : 360 = 16 : 100 → z =
16×360
100
= 58°
223°
Armati di goniometro possiamo quindi rappresentare le nostre percentuali:
PROBLEMI ED ESERCIZI
ESERCIZI:
389,7 dag = dg
4.5 hm = m
0,056 kg = dg
2,07 dal = l
957 ml = dl
3,8 dm = dam
1035 mm=dam
95 hl=l
0,26 cm2 = mm2
56,60 m2= dam2
23 dm3= m3
0,45 m3 = cm3
2 ,25 m2 = dm2
0,005 hm2 = m2
45 cm3 = dm3
1 hm2 = m2
PROBLEMA DEL MISURINO
La ricetta di una torta richiede 6 dl di latte. Ho a disposizione un misurino della capacità di 5 cl.
Quante volte lo devo riempire per arrivare alla quantità richiesta?
Soluzione:
Equivalenza: 6 dl = 60 cl
Divisione: 60 cl/5 cl = 12
Risposta: 12 volte
ESERCIZI:
1. Un bicchiere ha il volume di 50 ml. Quante volte dovrò riempirlo per arrivare ad 1 l?
2. Quante lattine di coca cola da 33 cl dovrò riempire per arrivare a circa 1 l?
3. Quante tazze da 250 ml dovrò riempire per arrivare ad 1 l?
PROBLEMA:
La ricetta di un risotto prevede per 8 persone i seguenti ingredienti:
• 600 g di riso
• 32 code di gambero
• 4 zucchine
• 5 cucchiai di olio
• 10 cl di vino bianco
• 1 l di brodo vegetale
• Sale e pepe q.b.
Se il risotto lo dovessimo preparare per 14 persone come dovremmo modificare le quantità degli
ingredienti?
Risultati: 1050g; 56; 7; circa 9; 17,5 cl; 1,75 l.
PROBLEMA:
In pizzeria, con gli amici, ricevi il seguente conto: “ 4 pizze: 20 euro. Bibite: 5 euro. 2 dessert: 4
euro. Servizio 15% (del totale). Quanto dovete pagare in tutto?
Risultato: 33,35 euro.

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