5bsa integrazione numerica parte 2

5BSA Aprile 2015 Docente Salvatore Mosaico Calcolo Numerico (Integrazione parte 2)
La regola del trapezio , è un miglioramento del metodo precedente per approssimare un integrale definito nella forma :
Vogliamo calcolare l’area sottesa da un grafico tra il l’ascissa
Suddividiamo l’intervallo [a-b] in N parti uguali di ampiezza
a
h =
e
b
b − a
N
Per ogni intervallo ottenuto approssimo l’area con un trapezio cha ha altezza h e basi la funzione calcolata agli estremi dell’intervallo
L’area del singolo trapezio è data da
h • ( f ( xi ) + f ( xi +1 )
pertanto l’area sottesa dalla funzione è
2
1
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area = ∑
i = n −1
i= 0
1
h • ( f ( x i ) + f ( x i + 1 ))
2
i
Possiamo anche scrivere
Con
x0 = a
x1 = x0+h=a+h
x2 = x1+h=a+h+h = a+2h
xi = a+ih
gli estremi di ciascun intervallo tra xi e xi+1 pertanto sono
x i = a + ih
x i + 1 = a + (i + 1)h = x i + h
Tenendo conto che
x0 = a xn = b
1
area =
h • ( f ( a ) + f (b ) +
2
∑
2
i = n −1
i =1
2 • f ( x i ))
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In javascript
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Esempio se utilizzo la funzione f(x)=x
bisettrice e voglio calcolare l’area tra 0 e 6
L’AREA la calcolo con basexaltezza/2 = 6*6/2=18
Di seguito vediamo il metodo dei trapezi in HTML/JAVASCRIPT
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Possiamo sfruttare il calcolo dell’area per approssimare
π
Consideriamo l’equazione della circonferenza di raggio 1
Consideriamo il grafico sul primo quadrante
La funzione è
f ( x) = 1 − x 2
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L’area di tutto il cerchio è πr2 ma r=1 dunque l’area vale
L’area sotto il primo quadrante dunque ¼ di
Dunque l’area della funzione
π
π
f ( x) = 4 1 − x 2
vale
π
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Un altro modo per approssimare
π è il seguente
Sappiamo che
Allora vale la seguente uguaglianza
Applichiamo l’approssimazione del calcolo dell’area
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