Faculteit Wetenschappen
Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek
Coveringgebaseerde ruwverzamelingen
en hun uitbreiding in de vaagverzamelingenleer
Tara Vanhecke
Promotor: Prof. dr. Chris Cornelis
Begeleider: Lynn D’eer
Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de
wiskunde, afstudeerrichting toegepaste wiskunde.
Academiejaar 2013–2014
Voorwoord
Tijdens de lessen Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen en in het bijzonder het gastcollege
over ruwverzamelingen gegeven door prof. Cornelis werd mijn interesse voor deze takken
binnen de wiskunde aangewakkerd. Toen ik een aantal maanden later de lijst met masterproefonderwerpen te zien kreeg, was het mij dan ook vrij snel duidelijk welke keuze ik
zou maken. Prof. Cornelis werd mijn promotor en zo startte het verhaal van mijn thesis.
Bij deze wil ik dan ook van de gelegenheid gebruik maken om mijn promotor, prof. dr.
Chris Cornelis, te bedanken. Niet alleen voor de gastles die heeft geleid tot een zeer
leerrijke ervaring maar ook voor zijn hulp bij het schrijven van deze masterproef. In het
bijzonder wil ik ook Lynn D’eer bedanken die mij op uitmuntende wijze begeleid heeft
gedurende het hele academiejaar. Van LATEX-vragen en het bijschaven van de schrijfstijl
tot momenten waarop ik vast zat in een bewijs, telkens heeft ze mij op gepaste wijze
geholpen. De talloze tips hebben zonder twijfel geleid tot een mooier geheel. Daarnaast
wil ik ook al mijn vrienden en vriendinnen bedanken en in het bijzonder alle (ex-)leiding
van Scouts Kerlinga. Zonder onze gezamenlijke momenten van ontspanning had ik dit
niet tot een goed einde kunnen brengen. Tenslotte wens ik ook Thomas, mijn ouders en
mijn broer te bedanken. Hun onvoorwaardelijke steun en verwennerijen gaven me niet
alleen tijdens het schrijven van deze thesis maar gedurende mijn hele studieperiode moed
en zin om verder te gaan.
i
Toelating tot bruikleen
De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen
en delen van de masterproef te kopi¨eren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik
valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de
verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze
masterproef.
Tara Vanhecke, 31 mei 2014
ii
Inhoudsopgave
Inleiding
1
1 Basisbegrippen
4
1.1
Tralietheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1
Begrippen tralietheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2
Afbeeldingen tussen tralies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Ruwverzamelingenleer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3
Coverings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4
Vaagverzamelingenleer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1
Vaagverzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2
Vaaglogische operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3
Vaagrelaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Veralgemeende ruwverzamelingen
30
2.1
Ruwverzamelingen gebaseerd op elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2
Ruwverzamelingen gebaseerd op granules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3
Ruwverzamelingen gebaseerd op systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4
Ruwverzamelingen gebaseerd op binaire relaties . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Verbanden tussen benaderingsoperatoren
3.1
3.2
45
Verbanden binnen en tussen de verschillende klassen benaderingsoperatoren 45
3.1.1
Benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren . . . . . 46
3.1.2
Benaderingsoperatoren gebaseerd op coverings . . . . . . . . . . . . 48
3.1.3
Benaderingsoperatoren uit verschillende klassen . . . . . . . . . . . 50
Verbanden met benaderingsoperatoren gebaseerd op binaire relaties . . . . 53
3.2.1
De methode van Yao: eigenschappen van relaties en van gegenereerde benaderingsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
iii
3.2.2
De methode van Zhu: ge¨ınduceerde coverings en relaties . . . . . . 60
3.2.3
Vergelijkende studie van de methode van Yao en Zhu . . . . . . . . 63
4 Vaagcoverings en T -partities
4.1
4.2
64
Definities uit de literatuur en hun verbanden . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.1
Ruspini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2
De Baets-Mesiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3
Deng et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.4
Li et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.5
E´enduidig verband tussen T -partities en T -equivalenties . . . . . . 70
4.1.6
Motivatie voor de definitie van een vaagcovering . . . . . . . . . . . 71
Uitbreiding van gerelateerde begrippen naar het vage geval . . . . . . . . . 72
4.2.1
Complete, minimale en maximale beschrijving . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2
Afgeleide coverings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.3
Omgevingsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.4
Sluitingssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Vaagruwverzamelingen gebaseerd op vaagcoverings
5.1
5.2
77
Uitbreiding van benaderingsoperatoren naar het vage geval . . . . . . . . . 78
5.1.1
Benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagomgevingsoperatoren . . . 78
5.1.2
Benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings . . . . . . . . . 81
5.1.3
Benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagsluitingssystemen . . . . . 83
Vaagbenaderingsoperatoren in de literatuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.1
Li et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.2
Feng et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.3
Inuiguchi et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.4
Wu et al.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Verbanden tussen benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings
96
6.1
Verbanden tussen vaagbenaderingsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2
Uitbreidingen van (apr0C , apr0C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3
Uitbreidingen van (apr00C , apr00C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7 Besluit
113
iv
Bijlagen
115
A Resume
115
B Samenvatting
117
Bibliografie
120
v
Inleiding
Hoe graag we het soms ook zouden willen, in het leven is niet alles perfect of volledig. Zo
beschikken we bij het maken van beslissingen zelden over alle nodige informatie. Vaak
moeten we roeien met de riemen die we hebben en ons besluit trekken aan de hand van
de onvolledige gegevens die we voor handen hebben. Daarnaast bestaat er in de wereld
weinig zwart of wit. Soms komen we als mens tot het besef dat we niet perfect behoren
tot ´e´en bepaalde groep, maar dat we eerder ergens tussenin vallen. Wanneer is iemand
immers groot of rijk? Dikwijls is het moeilijk om grenzen op te leggen voor dit soort
verzamelingen.
Deze fenomenen zijn een deel van de dagelijkse realiteit. De verschillende takken in de
wiskunde hebben als doel om gestructureerde modellen te bieden voor deze realiteit. Dat
lang niet alles verklaard kan worden door wiskundige theorie¨en mag duidelijk zijn, maar
toch ontstond de wil en de noodzaak om een wiskundige interpretatie te geven aan onvolledigheid en imperfectie. Tot een aantal decennia geleden bestonden enkel scherpe
verzamelingen om een groep objecten met een bepaald kenmerk te beschrijven. Deze
werden onderzocht in de verzamelingenleer die de basis vormt van heel wat wiskundige
theorie¨en en wiskundigen een taal geeft om de werkelijkheid in te modelleren. Er zagen
twee nieuwe theorie¨en het daglicht die elk een uitbreiding zijn van de klassieke verzamelingenleer en elk een oplossing bieden voor de problematieken van onvolledigheid en
onvolmaaktheid.
De ruwverzamelingenleer ontstond in 1982 en heeft als doel om op een wiskundige manier om te gaan met onvolledige informatie. Een ruwverzameling geeft een benadering
van een verzameling en wordt bepaald door twee andere verzamelingen, die de onder- en
bovenbenadering worden genoemd. Het idee is dat de onderbenadering de verzameling
is van alle elementen uit het beschouwde universum die zeker tot de te benaderen verzameling behoren. De bovenbenadering wordt dan gevormd door alle elementen uit het
universum die mogelijk behoren tot die verzameling. Deze benaderingen worden verkregen door zogenaamde benaderingsoperatoren die inwerken op de beschouwde verzameling.
Pawlak [31], die in 1982 de basis legde van de ruwverzamelingenleer, definieerde deze benaderingsoperatoren voor scherpe verzamelingen aan de hand van een partitie van het
universum die bepaald wordt door equivalentieklassen. Een equivalentieklasse bevat objecten die aan elkaar kunnen gerelateerd worden door middel van een equivalentierelatie.
Onderbenaderingen zijn dan de unie van equivalentieklassen die in de te benaderen verzameling bevat zitten en bovenbenaderingen worden gevormd door de equivalentieklassen
die een niet-ledige doorsnede hebben met de verzameling. Een belangrijke toepassing
van ruwverzamelingen is het analyseren van data in informatie- en beslissingssystemen.
1
Hierbij worden objecten gekarakteriseerd door middel van attribuutwaarden. De objecten
worden gegroepeerd door equivalentieklassen die in dit geval samengesteld worden door
alle objecten die dezelfde attribuutwaarden hebben, men spreekt dan van ononderscheidbaarheid, i.e., deze objecten zijn op basis van de gegeven attributen niet van elkaar te
onderscheiden.
Al gauw stapte men echter af van het idee dat de bouwstenen van deze benaderingen
equivalentieklassen moesten zijn en zo ontstond de veralgemeende ruwverzamelingenleer.
Het universum wordt dan niet meer bedekt door een partitie maar meer algemeen door
een covering. Net zoals een partitie geeft een covering een manier om objecten die op
een bepaalde manier samenhoren te groeperen, waarbij elk object in minstens ´e´en groep
voorkomt. Het grootste verschil is dat een object hierbij ook tot meerdere groepen kan
behoren, in tegenstelling tot bij equivalentieklassen. Ruwverzamelingen die gebaseerd zijn
op coverings vormen het onderwerp van deze masterproef. Er bestaan meerdere mogelijkheden om benaderingsoperatoren te defini¨eren aan de hand van coverings. Hier werd al
heel wat onderzoek naar gedaan in de wetenschappelijke literatuur. Zakowski (1983, [61])
en Pomykala (1987, [32]) waren de eersten die veralgemeende ruwverzamelingen beschouwden. Ze werden gevolgd door vele anderen (zie o.a. [3], [40], [58], [56], [70]). De studie
van de veralgemeende ruwverzamelingen en hun verbanden is het uitgangspunt van deze
thesis.
Zoals reeds vermeld was er ook nood aan een uitbreiding van de verzamelingenleer die
een manier bood om met vage informatie om te gaan. We zien immers dat er in het
leven zelden sprake is van groepen objecten die scherp afgelijnde grenzen hebben. Indien
we in het dagelijkse leven enkel scherpe verzamelingen zouden beschouwen, zorgt dit onvermijdelijk voor een beperkte weergave van de realiteit. Neem terug het voorbeeld van
de verzameling rijke mensen. Het is heel moeilijk om te bepalen vanaf wanneer iemand
rijk is en dus tot de verzameling behoort. De binaire denkwijze die stelt dat iemand tot
een verzameling moet behoren of er niet toe behoort, strookt niet met de werkelijkheid.
Daarom ontstond de behoefte om niet enkel de zwart-witte visie te modelleren, maar ook
de grijze zone daartussen een wiskundige entiteit te geven. De vaagverzamelingenleer zag
het daglicht in 1965 en werd ingevoerd door Zadeh [60]. Ze bood een manier om vage
informatie te modelleren. Vaagverzamelingen worden voorgesteld door een functie die
bepaalt in welke mate een element tot een zekere verzameling behoort. Op die manier
wordt het voor een element mogelijk om naast wel of niet tot een verzameling te behoren
ook andere graden van lidmaatschap toegewezen te krijgen. We zullen in deze masterproef
lidmaatschapsgraden tussen 0 en 1 beschouwen. Zo slagen we er in het zwart-wit patroon
te doorbreken.
De vaagverzamelingen- en ruwverzamelingenleer kunnen ook hand in hand gaan wanneer
we toelaten dat de onder- en bovenbenaderingen van ruwverzamelingen vaagverzamelingen zijn. In dat geval spreken we van een vaagruwverzameling. Deze werden voor het
eerst onderzocht door Dubois en Prade [15] in 1990. Men kan ruwverzamelingen echter
op verschillende manieren uibreiden naar het vage geval. Het bestaande onderzoek focust
zich voornamelijk op de vaagruwverzamelingen die gebruik maken van vaagrelaties (zie
o.a. [11], [30], [33], [59]). Uitbreidingen van benaderingsoperatoren die gebaseerd zijn op
coverings worden in mindere mate onderzocht in de wetenschappelijke literatuur. In deze
masterproef staat het onderzoek naar dit soort vaagruwverzamelingen centraal. Hier2
voor zal de uitbreiding van coverings naar het vage geval bestudeerd worden en worden er
nieuwe definities opgesteld voor benaderingsoperatoren die zich baseren op vaagcoverings.
Om dat onderzoek te kunnen uitvoeren, bespreken we in het eerste deel van deze thesis de
verschillende definities voor benaderingsoperatoren gebaseerd op coverings. In Hoofdstuk
1 geven we definities, eigenschappen en proposities die de nodige basis vormen voor het
verdere onderzoek in de masterproef. Ruwverzamelingen kunnen op verschillende manieren gedefinieerd worden aan de hand van coverings. Men kan rechtstreeks gebruik maken
van coverings, maar het is ook mogelijk om benaderingsoperatoren te baseren op andere
systemen die gebaseerd zijn op een covering, zoals omgevingsoperatoren en sluitingssystemen. Deze verschillende definities zullen we stuk voor stuk bespreken in Hoofdstuk 2
en het onderzoek naar hun verbanden zal behandeld worden in Hoofdstuk 3. Wanneer
we een grondige kennis hebben van het scherpe geval, starten we in Hoofdstuk 4 met de
uitbreiding naar de vaagverzamelingenleer. We wijden dit hoofdstuk aan het bestuderen
van de term vaagcovering. In Hoofdstuk 5 worden de vaagruwverzamelingen gebaseerd
op vaagcoverings gedefinieerd en wordt er uitvoerig besproken welke definities reeds in de
literatuur bestaan. Tot slot worden opnieuw de onderlinge verbanden tussen deze benaderingsoperatoren onderzocht in Hoofdstuk 6. Hoofdstuk 7 geeft tenslotte een overzicht
van de gemaakte conclusies en bespreekt open problemen die het onderwerp kunnen zijn
van verder onderzoek.
3
Hoofdstuk 1
Basisbegrippen
In dit hoofdstuk leggen we de nodige basis voor deze masterproef. We behandelen eerst
de basisconcepten uit de tralietheorie die noodzakelijk zullen zijn bij het bespreken van
veralgemeende benaderingsoperatoren. Daarna bespreken we de basisbegrippen uit de
theorie van de ruwverzamelingen. Vervolgens geven we definities en voorbeelden van coverings. We onderzoeken welke coverings aan bepaalde eigenschappen voldoen. Tenslotte
bespreken we de basisconcepten uit de vaagverzamelingenleer.
1.1
Tralietheorie
Starten doen we met het invoeren van basisbegrippen uit de tralietheorie. Het begrip
tralie zal namelijk de onderliggende structuur vormen bij het verder onderzoeken van
ruwverzamelingen. Het eerste deel van deze sectie bespreekt de definitie van een tralie
en begrippen die hieraan gerelateerd zijn, zoals speciale eigenschappen van tralies. In het
tweede deel behandelen we afbeeldingen tussen tralies. Omdat deze afbeeldingen de basis
zullen vormen van Sectie 1.2, bespreken we uitvoerig de nodige definities en bewijzen we
proposities die ons een karakterisatie geven van afbeeldingen tussen specifieke tralies.
1.1.1
Begrippen tralietheorie
Eerst is het noodzakelijk het begrip partieel geordende verzameling (of kortweg: poset) te
defini¨eren. Elk koppel (P, ≤) bestaande uit een niet-ledige verzameling P en een binaire
relatie ≤ op P noemen we een poset indien voldaan is aan de voorwaarden:
1. reflexiviteit: ∀x ∈ P : x ≤ x,
2. antisymmetrie: ∀x, y ∈ P : x ≤ y en y ≤ x ⇒ x = y,
3. transitiviteit: ∀x, y, z ∈ P : x ≤ y en y ≤ z ⇒ x ≤ z.
4
Als de relatie ≤ enkel reflexief en transitief is, noemen we (P, ≤) een quasi-geordende
verzameling.
We vermelden hieronder enkele begrippen uit de tralietheorie waar we later in deze thesis
gebruik van zullen maken. Voor deze standaardbegrippen hebben we gebruik gemaakt
van [14] en [25].
Voor de definitie van een tralie hebben we de begrippen infimum en supremum nodig.
Beschouw hiervoor een geordende verzameling (P, ≤) en een verzameling S ⊆ P . Een
element y ∈ P is een bovengrens van S als x ≤ y voor alle x ∈ S. Analoog is een element
y ∈ P een ondergrens van S als voor alle x ∈ S geldt dat y ≤ x. Als er een kleinste
element bestaat in de verzameling bovengrenzen
van S, noemen we dat element het suW
premum van S en we noteren dit met S. De V
grootste ondergrens noemen we dan het
infimum en het infimum van S noteren we met S.
We kunnen nu de definitie van een tralie geven:
Definitie 1.1.1. Een poset (P, ≤) waarin elk paar elementen een supremum en een infimum bezit, is een tralie. Wij zullen een tralie noteren met (L, ≤).
Voor twee elementen a en b uit een tralie (L, ≤) zullen we het supremum voorstellen met
a ∨ b (join) en het infimum met a ∧ b (meet). De uitdrukking a ∨ b = a zegt dus dat
het supremum van {a, b} gelijk aan a is. Zodra we in een tralie (L, ≤) de algebra¨ısche
bewerkingen ∧ en ∨ introduceren, zullen we deze tralie noteren met (L, ≤, ∧, ∨).
We zien bijgevolg dat de volgende equivalenties gelden:
a∧b=a⇔a≤b
a ∨ b = a ⇔ b ≤ a.
De twee binaire bewerkingen ∧ en ∨ op L voldoen aan de volgende eigenschappen (zie [14]):
• idempotentie: ∀a ∈ L : a ∧ a = a en a ∨ a = a,
• commutativiteit: ∀a, b ∈ L : a ∧ b = b ∧ a en a ∨ b = b ∨ a,
• associativiteit: ∀a, b, c ∈ L : (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) en (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c),
• absorptie: ∀a, b ∈ L : a ∧ (a ∨ b) = a en a ∨ (a ∧ b) = a.
We vermelden ook enkele kenmerkende eigenschappen die tralies kunnen bezitten.
Definitie 1.1.2.
• Een tralie (L, ≤ ∧, ∨) is compleet als elke niet-ledige deelverzameling van L een
supremum en een infimum heeft. Indien de verzameling L eindig is, dan is
(L, ≤, ∧, ∨) altijd compleet.
5
• Een begrensde tralie (L, ≤, ∧, ∨) is een tralie waarbij de verzameling L een grootste en kleinste element bevat. We noteren dit respectievelijk met 1 en 0. In een
begrensde tralie is 1 het neutraal element van ∧ en 0 van ∨:
∀a ∈ L : a ∧ 1 = a en a ∨ 0 = a.
• Een begrensde tralie (L, ≤, ∧, ∨) is gecomplementeerd indien voldaan is aan:
∀a ∈ L, ∃a0 ∈ L : a ∨ a0 = 1 en a ∧ a0 = 0.
Hierbij wordt a0 het complement van a genoemd. Enkele veelgebruikte eigenschappen van de complementering zijn: 10 = 0, 00 = 1 en (a0 )0 = a.
• Men noemt een tralie (L, ≤, ∧, ∨) distributief als er geldt dat:
∀a, b, c ∈ L : a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) of,
∀a, b, c ∈ L : a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
• Een booleaanse tralie is een tralie (L, ≤, ∧, ∨) die begrensd, gecomplementeerd en
distributief is. We noteren dit met (B, ≤, ∧, ∨,0 ).
Een voorbeeld van een complete booleaanse tralie is (P(U ), ⊆, ∩, ∪, co) met U een eindige
verzameling, waarbij P(U ) de verzameling van deelverzamelingen van U is en co een
notatie is voor het complement in deze tralie. Voor een deelverzameling A van U is
co A = {x ∈ U : x ∈
/ A}.
1.1.2
Afbeeldingen tussen tralies
We bestuderen ook kenmerken van afbeeldingen tussen tralies, omdat deze belangrijk
worden bij het defini¨eren van ruwverzamelingen in Sectie 1.2 en veralgemeende ruwverzamelingen in Hoofdstuk 2.
In het vervolg van deze subsectie beschouwen we afbeeldingen f : L → K voor twee tralies
(L, ≤L ) en (K, ≤K ). Wanneer we het hebben over een afbeelding op de tralie (K, ≤K ),
bedoelen we een afbeelding van de vorm f : K → K. De begrippen uit deze subsectie
zijn gebaseerd op [25].
Als eerste beschouwen we een eigenschap van afbeeldingen tussen tralies.
Definitie 1.1.3. Voor twee tralies (L, ≤L ) en (K, ≤K ) is de afbeelding f : L → K
ordebewarend, indien er voldaan is aan:
∀x, y ∈ L : x ≤L y ⇒ f (x) ≤K f (y).
De volgende kenmerken van afbeeldingen van tralies zijn zeer belangrijk in de veralgemeende ruwverzamelingenleer en zullen meermaals terugkomen in het vervolg.
Definitie 1.1.4. Voor twee tralies (L, ≤, ∧, ∨) en (K, ≤, ∧, ∨) noemen we f : L → K
6
• een meetmorfisme wanneer geldt:
Als x, y en x ∧ y bestaan in L, dan bestaat ook f (x), f (y) en f (x ∧ y) in K en geldt
dat f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y).
• een joinmorfisme wanneer geldt:
Als x, y en x ∨ y bestaan in L, dan bestaat ook f (x), f (y) en f (x ∨ y) in K en geldt
dat f (x ∨ y) = f (x) ∨ f (y).
• een compleet meetmorfisme
wanneer geldt:
V
V
V
Als S V
⊆ L en V S bestaan in L, dan bestaat ook f (S) en f ( S) in K en geldt
dat f ( S) = f (S).
• een compleet joinmorfisme
wanneer geldt:
W
W
W
Als S W
⊆ L en W S bestaan in L, dan bestaat ook f (S) en f ( S) in K en geldt
dat f ( S) = f (S).
Aangezien een eindige tralie steeds compleet is, volgt dat voor een eindige tralie L een
compleet meetmorfisme, resp. joinmorfisme zich herleidt tot een afbeelding f : L → K
waarvoor geldt:
∀x, y ∈ L : f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y), resp. f (x ∨ y) = f (x) ∨ f (y).
In de volgende definities geven we de beschrijving van de begrippen geconjungeerde, duale
en geadjungeerde van een afbeelding tussen twee tralies.
Definitie 1.1.5. Stel dat f en g twee afbeeldingen op een complete booleaanse tralie
(B, ≤, ∧, ∨,0 ) zijn. Dan is g de geconjungeerde van f als geldt dat:
∀x, y ∈ B : x ∧ f (y) = 0 ⇔ y ∧ g(x) = 0.
We noteren de geconjungeerde van f als f c .
Daarnaast noemen we g de gecoconjungeerde van f als voldaan is aan:
∀x, y ∈∈ B : x ∨ f (y) = 1 ⇔ y ∨ g(x) = 1.
De gecoconjungeerde noteren we met fc .
Indien g de geconjungeerde is van f , dan is f eveneens de geconjungeerde van g. Dit wil
zeggen dat f c uniek is of dat (f c )c = f . Om dezelfde reden is ook de gecoconjungeerde
uniek bepaald. Een afbeelding is zelf-geconjungeerd indien f = f c en zelf-gecoconjungeerd
als f = fc .
Definitie 1.1.6. Beschouw twee afbeeldingen f en g op een complete booleaanse tralie
(B, ≤, ∧, ∨,0 ). We noemen g de duale van f als voor alle x ∈ B geldt dat:
g(x0 ) = (f (x))0 .
We noteren de duale van f met f ∂ . De duale van een afbeelding f is uniek en er geldt
dat (f ∂ )∂ = f .
7
Definitie 1.1.7. Beschouw twee quasi-geordende verzamelingen (K, ≤K ) en (L ≤L ). Een
geordend paar (f, g) van afbeeldingen f : K → L en g : L → K noemen we een galoisconnectie als voor alle p ∈ K en q ∈ L, geldt dat:
f (p) ≤L q ⇔ p ≤K g(q).
We noemen g de geadjungeerde van f , die we noteren als f a en f noemen we de gecoadjungeerde van g, die we noteren met ga . We zien bijgevolg dat (f a )a = f . Ook de
geadjungeerde en de gecoadjungeerde van een afbeelding zijn uniek bepaald. Het paar
(f, f a ) van een afbeelding f en zijn geadjungeerde noemen we een adjunct paar.
We zullen nu het verband tussen de duale, geconjungeerde en geadjungeerde van een
afbeelding op een tralie onderzoeken in de volgende proposities.
Propositie 1.1.8. [25] Neem f : B → B met (B, ≤, ∧, ∨,0 ) een complete booleaanse
tralie. Dan heeft f een geconjungeerde als en slechts als f een compleet joinmorfisme is
op B.
Bewijs. We veronderstellen eerst dat f een geconjugeerde f c heeft, met andere woorden
voor alle x, y ∈ B : x ∧ f (y) = 0 ⇔ y ∧ f c (x) = 0. Als we kunnen aantonen dat f
ordebewarend is, dan volgt
W hieruit
W dat f (x ∨ y) ≥ f (x) ∨ f (y) voor alle x, y ∈ B (of
in het algemeen dat f ( S) ≥ f (S) voor alle S ⊆ B). Dan hoeven we enkel nog de
omgekeerde ongelijkheid aan te tonen.
Stel dat x ≤ y , dan is f (x ∨ y) = f (y) en zo volgt dat f (x ∨ y) ∧ f (y)0 = 0. Door het
bestaan van de geconjungeerde kunnen we dit schrijven als:
(x ∨ y) ∧ f c (f (y)0 ) = 0.
Als we hierin nu distributiviteit toepassen, krijgen we:
(x ∧ f c (f (y)0 )) ∨ (y ∧ f c (f (y)0 )) = 0.
Hieruit volgt dan dat zowel x ∧ f c (f (y)0 ) = 0 als y ∧ f c (f (y)0 ) = 0. Uit het eerste halen
we door het bestaan van de geconjungeerde dat f (x) ∧ f (y)0 = 0. We kunnen bewijzen
dat deze uitdrukking equivalent is aan f (x) ≤ f (y):
f (x) ∧ f (y)0 = 0 ⇔ (f (x) ∧ f (y)0 ) ∨ f (y) = 0 ∨ f (y)
⇔ (f (x) ∨ f (y)) ∧ (f (y)0 ∨ f (y)) = f (y)
⇔ (f (x) ∨ f (y)) ∧ 1 = f (y)
⇔ f (x) ∨ f (y) = f (y)
⇔ f (x) ≤ f (y).
Zo hebben we dus bewezen dat f ordebewarend is.
Meer algemeen nemen we een S ⊆ B, dan geldt voor alle x ∈ S dat
8
W
W
f (x) ≤ Wf (S) = {f (y) : y ∈ S}. Door het voorgaande is dit equivalent met
f (x) ∧ ( f (S))0 = 0. We gebruiken de geconjungeerde om te schrijven:
_
0 c
∀x ∈ S : f
f (S)
∧ x = 0.
Bijgevolg geldt ook:
f
c
_
0 _
f (S)
∧ S = 0.
W
W
Opnieuw geeft de eigenschap
van
de
geconjungeerde
dat
ook:
f
(
S)
∧
(
f (S))0 = 0, wat
W
W
terug equivalent is met f ( S) ≤ f (S) en zo kunnen we besluiten dat f een compleet
joinmorfisme is.
Nu gaan we er van uit dat f een compleet joinmorfisme is. We defini¨eren de functie g op
B als volgt:
_
0 ^
∀y ∈ B : g(y) =
{x ∈ B : f (x) ≤ y 0 } = {x0 : f (x) ∧ y = 0}
(1.1)
waarvan we zullen bewijzen dat het de geconjungeerde is van f .
Voor alle x, y ∈ B geldt dat f (x) ∧ y = 0 impliceert dat g(y) ≤ x0 en dit is dan weer
equivalent met g(y) ∧ x = 0. Omgekeerd willen we nu nog aantonen dat voldaan is aan
g(y) ∧ x = 0 ⇒ f (x) ∧ y = 0. Beschouw hiervoor:
_
_
0
0
f (g(y) ) = f
{x : f (x) ≤ y } = {f (x) : f (x) ≤ y 0 }) ≤ y 0 .
Als we een x en y uit B hebben die voldoen aan g(y) ∧ x = 0, dan is x ≤ g(y)0 . Door
bovenstaande uitdrukking geldt er dat f (x) ≤ f (g(y)0 ) ≤ y 0 , wat equivalent is met
f (x) ∧ y = 0. Hiermee is de stelling bewezen.
Lemma 1.1.9. [25] Neem twee quasi-geordende verzamelingen (K, ≤K ) en (L ≤L ) en
twee afbeeldingen f, g : K → L. Het geordend paar (f, g) is een galoisconnectie als en
slechts als zowel f als g ordebewarend zijn.
Propositie 1.1.10. [25] Beschouw twee complete tralies (K, ≤K ) en (L, ≤L ).
• Een afbeelding f : K → L heeft een geadjungeerde als en slechts als f een compleet
joinmorfisme is.
• Een afbeelding g : L → K heeft een gecoadjungeerde als en slechts als g een compleet
meetmorfisme is.
Bewijs. Stel dat f een compleet joinmorfisme is, dan zullen we de geadjungeerde f a
construeren. Definieer g : L → K als:
_
∀q ∈ L : g(q) = {x ∈ K : f (x) ≤ q}.
(1.2)
9
W
Stel p ∈ K en q ∈ L. AlsWf (p) ≤ q dan geldt dat p ≤ {x ∈WK : f (x) ≤ q} en dus
p ≤ g(q). Stel p ≤ g(q) = {x ∈ K : f (x) ≤ q}, dan is f (p) ≤ {f (x) : f (x) ≤ q} ≤ q.
Zo hebben we bewezen dat (f, g) een galoisconnectie is, met andere woorden, g is de
geadjungeerde van f .
Omgekeerd moeten we bewijzen dat als f a bestaat, fWeen compleet joinmorfisme is. Neem
S ⊆ K, dan geldt voor alle x ∈ S dat f (x)W≤ f ( S),
W omdat f ordebewarend
W is (zie
Lemma 1.1.9). Daardoor geldt dan ook dat f (S) = {f (x) : x ∈ S} ≤ f ( S). Stel
dat y ∈ L een bovengrens is voor {f (x) : x ∈ S}, dan geldt:
∀p ∈ S : p ≤ f a (f (p)) ⇒ ∀p ≤ f a (y)
_
⇒
S ≤ f a (y).
W
Als we opnieuw toepassen dat f ordebewarend is, zien we dat f ( W S) ≤ W
f (f a (y)) ≤ y.
Doordat y een bovengrens is van f (S), kunnen we besluiten dat f ( S) = f (S) en dus
dat f een compleet joinmorfisme is.
Op analoge wijze tonen we aan dat een afbeelding g : L → K een gecoadjungeerde heeft
als en slechts als g een compleet meetmorfisme is.
Propositie 1.1.11. [25] Beschouw een complete booleaanse tralie (B, ≤, ∧, ∨,0 ). Voor
elk compleet joinmorfisme f op B geldt dat zijn geadjungeerde f a de duale is van de geconjungeerde van f , i.e., f a = (f c )∂ . Daarnaast geldt ook dat voor elk compleet meetmorfisme
f dat fa = (f ∂ )c .
Bewijs. Uit de bewijzen van de vorige proposities (zie uitdrukkingen (1.1) en (1.2)) bleek
dat voor x ∈ B:
_
0
{y ∈ B | f (y) ≤ x0 }
f c (x) =
_
f a (x) = {y ∈ B | f (y) ≤ x}.
We bepalen eerst de duale van de geconjungeerde van f . Neem x ∈ B, dan is:
(f c )∂ (x) = (f c (x0 ))0
_
= {y ∈ B | f (y) ≤ (x0 )0 }
_
= {y ∈ B | f (y) ≤ x},
wat precies de uitdrukking voor f a (x) is.
We gaan verder met de basisconcepten uit de ruwverzamelingenleer.
1.2
Ruwverzamelingenleer
Ruwverzamelingen werden voor het eerst onderzocht door Zdzislaw Pawlak [31] die de
term invoerde om een formele definitie te geven aan benaderingen van scherpe verzamelingen. Het biedt een mathematische structuur wanneer we te maken krijgen met
10
onvolledige informatie. Hierbij voerde Pawlak de onder- en bovenbenadering van een verzameling in. Pawlak voerde definities in op basis van equivalentierelaties waarbij de onderen bovenbenaderingen scherpe verzamelingen zijn. Deze werden later veralgemeend voor
andere soorten relaties en al snel werd ook de link met de vaagverzamelingenleer gelegd,
waardoor termen als ruwvaagverzamelingen en vaagruwverzamelingen ontstonden. Wij
zullen hier beginnen met het invoeren van de basisbegrippen in de ruwverzamelingenleer
ge¨ıntroduceerd door Pawlak.
Voor het vervolg van dit hoofdstuk en van deze thesis veronderstellen we dat het universum een niet-ledige, eindige verzameling U is. Bovendien werken we vanaf hier in
de tralie (P(U ), ⊆ ∩, ∪, co), waardoor de noodzaak van het inleiden van de tralietheorie
meteen duidelijk wordt.
Voor de vaagruwverzamelingen van Pawlak zullen we equivalentierelaties nodig hebben.
Om hiervan de definitie te kunnen geven, bespreken we eerst enkele mogelijke eigenschappen van een binaire relatie (zie [53]):
Definitie 1.2.1. We noemen een binaire relatie R op U :
• Reflexief ⇔ ∀x ∈ U : x ∈ xR.
• Symmetrisch ⇔ ∀x, y ∈ U : y ∈ xR ⇒ x ∈ yR.
• Transitief ⇔ ∀x, y, z ∈ U : y ∈ xR en z ∈ yR ⇒ z ∈ xR
⇔ ∀x, y ∈ U : y ∈ xR ⇒ yR ⊆ xR.
• Serieel ⇔ ∀x ∈ U, ∃y ∈ U : y ∈ xR ⇔ ∀x ∈ U : xR 6= ∅.
• Invers serieel ⇔ ∀x ∈ U, ∃y ∈ U : y ∈ Rx ⇔ ∀x ∈ U : Rx 6= ∅.
• Euclidisch ⇔ ∀x, y ∈ U : y ∈ xR ⇒ xR ⊆ yR.
We defini¨eren een equivalentierelatie en de verwante begrippen equivalentieklasse en pawlakbenaderingsruimte.
Definitie 1.2.2. Een equivalentierelatie R op U is een reflexieve, symmetrische en transitieve relatie op U . De verzameling [x]R = {y ∈ U : (x, y) ∈ R} noemen we de equivalentieklasse van x in U met betrekking tot de equivalentierelatie R. Het geordend paar
(U, R) met R zo een equivalentierelatie noemt men een pawlakbenaderingsruimte.
De familie equivalentieklassen [x]R in U met R een equivalentierelatie vormt een partitie
van U die we noteren met U/R. Algemeen wordt een partitie als volgt gedefinieerd:
Definitie 1.2.3. Een familie deelverzamelingen Ai , met i element van de indexverzameling I, van een universum U , vormt een partitie van U als en slechts als
1. ∀i ∈ I : Ai 6= ∅,
11
2. ∀i, j ∈ I : i 6= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅,
S
3.
Ai = U .
i∈I
Als de familie deelverzamelingen enkel aan voorwaarden 1 en 2 voldoet, spreken we van
een semi-partitie.
Wanneer we een willekeurige relatie R beschouwen, spreken we niet van equivalentieklassen
maar van voor- en naverzamelingen:
Definitie 1.2.4. Voor een relatie R op U en een element x ∈ U , beschouwen we de
naverzameling (of afterset) van x:
xR = {y ∈ U | (x, y) ∈ R}
en de voorverzameling (of foreset) van x:
Rx = {y ∈ U | (y, x) ∈ R}.
We bespreken nu de benaderingsoperatoren van een verzameling volgens Pawlak (zie [31]).
In [58] en [56] wordt bepaald dat een paar veralgemeende benaderingsoperatoren op drie
equivalente wijzes kan gedefinieerd worden. Deze verschillen naargelang de gekozen representatie van een equivalentierelatie (e.g. [53], [54], [55] en [57]).
Definitie 1.2.5. In een pawlakbenaderingsruimte (U, R), defini¨eren we de pawlakbenaderingsoperatoren van een verzameling A ⊆ U als volgt: de onderbenadering van A,
genoteerd met apr A, is:
(1.3)
apr(A) = {x ∈ U : [x]R ⊆ A}.
De bovenbenadering van A, apr A, is gegeven door:
apr(A) = {x ∈ U : [x]R ∩ A 6= ∅}.
(1.4)
Het paar (apr A, apr A) wordt de elementgebaseerde definitie van benaderingsoperatoren
genoemd. De volgende definities zijn equivalent aan dit paar en worden de granulegebaseerde definities genoemd:
[
(1.5)
apr(A) = {[x]R : [x]R ∈ U/R, [x]R ⊆ A},
[
apr(A) = {[x]R : [x]R ∈ U/R, [x]R ∩ A 6= ∅}.
(1.6)
Voor het derde equivalente paar benaderingsoperatoren moeten we notie hebben van het
begrip subsysteem σ(U/R) van P(U ). Dit systeem is de σ-algebra op de verzameling equivalentieklassen U/R (zie [58]) en kan bekomen worden door aan de partitie U/R de ledige
verzameling toe te voegen en het gesloten te maken onder de unie van verzamelingen. De
definities gebaseerd op het subsysteem σ(U/R) worden als volgt gedefinieerd:
[
apr(A) = {X : X ∈ σ(U/R), X ⊆ A},
(1.7)
\
apr(A) = {X : X ∈ σ(U/R), A ⊆ X}.
(1.8)
12
Een paar (A1 , A2 ) met A1 , A2 ⊆ U noemen we een ruwverzameling indien er een A ⊆ U
bestaat zodat:
(
A1 = apr A
A2 = apr A.
We merken op dat volgens Definitie 1.1.6 de ingevoerde benaderingsoperatoren duaal zijn.
In het volgende hoofdstuk zullen we dieper ingaan op benaderingsoperatoren maar dan
in een algemenere setting. Daarvoor bespreken we het begrip covering uitvoerig in de
volgende sectie.
1.3
Coverings
We zullen de definitie van een covering behandelen alsook enkele begrippen die hieraan
gerelateerd zijn. De noodzaak van deze begrippen zal duidelijk worden wanneer we de
term ruwverzameling veralgemenen, aangezien coverings een alternatief bieden voor de
gebruikte partities. Daarna geven we eveneens mogelijke eigenschappen en voorbeelden
van verschillende coverings die we kunnen afleiden uit ´e´en en dezelfde covering. Tenslotte
onderzoeken we in deze sectie welke eigenschappen elk van de coverings die we bespreken,
bezitten.
Voor de vier volgende definities hebben we gebruik gemaakt van [35] en [58].
Definitie 1.3.1. Laat C = {Ki : i ∈ I} een familie van niet-lege deelverzamelingen van
U zijn en met I een indexverzameling. Dan is C een covering van U als ∪ Ki = U .
i∈I
Het geordende paar (U, C) noemen we een coveringbenaderingsruimte.
Merk op dat we een eindig universum U veronderstellen en dat coverings van een eindig
universum ook eindig zijn.
We zullen ook meermaals gebruik maken van een aantal concepten die gerelateerd zijn
aan het begrip covering. We beginnen met het omgevingssysteem.
Definitie 1.3.2. Als C een covering is van U en x ∈ U , dan wordt het omgevingssysteem
C(C, x) van x als volgt gedefinieerd:
C(C, x) = {K ∈ C : x ∈ K}.
Dit kan ook de complete beschrijving van x genoemd worden.
Verder defini¨eren we ook de ge¨ınduceerde covering (zie o.a. [6]).
Definitie 1.3.3. Neem een covering C van U en een element x ∈ U . We defini¨eren de
verzameling Cx als volgt:
Cx = ∩{K : K ∈ C(C, x)}.
De covering Cov(C) = {Cx : x ∈ U } noemen we de ge¨ınduceerde covering van C.
13
We bespreken ook de definitie van de minimale en maximale beschrijving van een element
uit een coveringbenaderingsruimte.
Definitie 1.3.4. Als (U, C) een coveringbenaderingsruimte is en x ∈ U , dan wordt de
verzameling
md(C, x) = {K ∈ C(C, x) : (∀S ∈ C(C, x))(S ⊆ K ⇒ K = S)}
de minimale beschrijving van x genoemd.
Definitie 1.3.5. Als (U, C) een coveringbenaderingsruimte is en x ∈ U , dan wordt de
verzameling
MD(C, x) = {K ∈ C(C, x) : (∀S ∈ C(C, x))(K ⊆ S ⇒ K = S)}
de maximale beschrijving van x genoemd.
Voor iedere K ∈ C(C, x), kunnen we een K 0 ∈ md(C, x) en een K 00 ∈ MD(C, x) vinden
waarvoor K 0 ⊆ K ⊆ K 00 .
Daarnaast onderscheiden we een aantal belangrijke eigenschappen van coverings die we
in de komende definities bespreken. Voor de volgende definities en stellingen verwijzen
we naar [69] en [58].
Definitie 1.3.6.
• Een covering C van U noemen we unair als en slechts als
∀x ∈ U : | md(C, x)| = 1.
• We noemen een element K uit de covering C van U unie-reducibel als K de unie is
van andere elementen uit C, i.e.,
∃C0 ⊆ C\{K} : K = ∪ 0 C.
C∈C
Als K hier niet aan voldoet, noemen we K unie-irreducibel.
Indien K de doorsnede is van andere elementen uit C, defini¨eren we analoog dat K
doorsnede-reducibel is. Indien dit niet zo is, noemen we K doorsnede-irreducibel.
De covering C is unie-irreducibel (doorsnede-irreducibel) als alle elementen K uit
C unie-irreducibel (doorsnede-irreducibel) zijn, anders is de covering unie-reducibel
(doorsnede-reducibel).
• Indien voor een element K uit de covering C van U en x ∈ K voldaan is aan:
∀K 0 ∈ C : x ∈ K 0 ⇒ K ⊆ K 0 ,
dan noemen we x een representatief element van K. De covering C is representatief,
wanneer elke K ∈ C een representatief element heeft.
Het idee achter deze definitie is dat wanneer een element x ∈ K representatief is,
dit wil zeggen dat als x ook in K 0 zit alle elementen van K in K 0 zitten.
14
• Een exacte covering is een covering C van U , waarbij voor alle C0 ⊆ C geldt dat:
{K ∈ C : K ⊆ ∪C0 } = {K ∈ C : ∃K 0 ∈ C0 waarvoor K ⊆ K 0 }.
Deze definitie zegt dat C een exacte covering is indien elke deelcovering C0 van C
die een element K omvat, een element K 0 bevat met K ⊆ K 0 .
Verder zullen we gebruik maken van een andere karakterisatie van unie-reducibele elementen van coverings:
Stelling 1.3.7. [69] Een element K van een covering C is unie-reducibel als en slechts
als
∀x ∈ U : K ∈
/ md(C, x).
De verbanden tussen eigenschappen van coverings worden in de volgende stellingen gegeven. Zo bestaat er het volgende verband tussen representatieve en exacte coverings:
Stelling 1.3.8. [69] Een covering C van U is representatief als en slechts als C exact is.
Het verband tussen representatieve en unie-irreducibele coverings, wordt in de volgende
stelling aangehaald:
Stelling 1.3.9. [69] Indien een covering C van U representatief is, dan is C eveneens
unie-irreducibel.
Voor het omgekeerde resultaat moeten we een extra voorwaarde opleggen:
Stelling 1.3.10. [69] Indien een covering C van U unie-irreducibel en unair is, dan is
C eveneens representatief.
In [58] worden de definities van verschillende coverings ge¨ıntroduceerd die worden afgeleid
uit een gegeven covering C van de verzameling U :
Definitie 1.3.11. Stel C een covering van U .
• C1 = ∪{md(C, x) : x ∈ U },
• C2 = ∪{MD(C, x) : x ∈ U },
• C3 = {∩(md(C, x)) : x ∈ U } = {∩(C(C, x)) : x ∈ U },
• C4 = {∪(MD(C, x)) : x ∈ U } = {∪(C(C, x)) : x ∈ U },
• C∪ = C\ {K ∈ C : (∃C ⊆ C\{K}) (K = ∪C)},
• C∩ = C\ {K ∈ C : (∃C ⊆ C\{K}) (K = ∩C)}.
Propositie 1.3.12. De covering C3 gebaseerd op de covering C is gelijk aan de ge¨ınduceerde
covering Cov(C).
15
Bewijs. We zien door de definities van beide coverings en de definitie van de verzameling
Cx voor een x ∈ U , dat:
Cov(C) = {Cx : x ∈ U }
= {∩C(C, x) : x ∈ U }
= C3 .
Er werd aangetoond in [36] dat twee van deze afgeleide coverings samenvallen:
Stelling 1.3.13. [36] Stel C een covering van U , dan geldt dat C∪ = C1 .
We zullen nagaan welke eigenschappen uit Definitie 1.3.6 deze vijf coverings bezitten.
Merk op dat we de covering C∪ niet apart zullen beschouwen wegens de vorige stelling.
We onderzoeken welk van deze coverings C1 , C2 , C3 , C4 en C∩ al dan niet unair, unieirreducibel, doorsnede-irreducibel of representatief zijn. Hierbij passen we Stelling 1.3.8
meermaals toe, waardoor we de exactheid van de coverings niet afzonderlijk hoeven aan
te tonen.
We voeren eerst een nieuwe notatie in. Voor een element K = {x1 , . . . , xn } van een
covering C noteren we K = 1 . . . n. Bij wijze van voorbeeld noteren we het universum
U = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 } als U = 123456.
We zullen de covering C = {1, 6, 14, 23, 345, 46, 236, 245, 12345, 13456} van de verzameling
U = 123456 gebruiken om tegenvoorbeelden te vinden.
De covering C1
Eerst beschouwen we de covering C1 wat meer in detail. Deze covering die afgeleid is van
de covering C, bepalen we door voor elke x uit U de minimale beschrijvingen md(C, x) te
berekenen waarna we de unie nemen. Wanneer we de bovenstaande covering C gebruiken,
zien we dat:
md(C, 1) = {1}
md(C, 2) = {23, 245}
md(C, 3) = {23, 345}
md(C, 4) = {14, 245, 345, 46}
md(C, 5) = {245, 345}
md(C, 6) = {6}
en we leiden af dat C1 ={1, 6, 14, 23, 46, 245, 345}.
Opdat de covering C1 unair zou zijn, moet voor elk element x van U de minimale beschrijving md(C1 , x) uit ´e´en element bestaan. Uit het voorbeeld zien we onmiddellijk dat
C1 hier niet aan voldoet, vermits:
md(C1 , 2) = {23, 245}.
16
Hiermee hebben we een tegenvoorbeeld gevonden en we concluderen dat de covering C1
in het algemeen niet-unair is.
Wanneer we de irreducibiliteit onderzoeken en we gebruiken het ingevoerde voorbeeld,
zien we dat geen enkel element uit C1 de unie of de doorsnede is van andere elementen
uit die covering. Uit het voorbeeld kunnen we bijgevolg niet vaststellen of de covering
C1 uit een willekeurige covering C al dan niet unie- of doorsnede-irreducibel is. We laten
ons leiden door het voorbeeld en tonen aan de hand van de definitie van C1 aan dat deze
covering steeds unie-irreducibel is.
Propositie 1.3.14. De covering C1 bekomen uit een covering C is unie-irreducibel.
Bewijs. Wegens de karakterisatie in Stelling 1.3.7, zien we dat:
K ∈ C is unie-irreducibel ⇔ ∃x ∈ U : K ∈ md(C, x) ⇔ K ∈ C1 .
Hiermee hebben we aangetoond dat C1 unie-irreducibel is.
Uit een ander tegenvoorbeeld blijkt echter dat C1 niet steeds doorsnede-irreducibel is.
We beschouwen hiervoor U = 1234 en de covering C = {1, 12, 134, 1234}. We kunnen eenvoudig zien dat de covering C1 dan gegeven wordt door {1, 12, 134}, wat een
doorsnede-reducibele covering is vermits 1 = 12 ∩ 134. We besluiten dat C1 in het algemeen doorsnede-reducibel is.
We bekijken terug ons eerste voorbeeld om te zien of C1 representatief is. Elk element
uit C1 = {1, 6, 14, 23, 46, 245, 345} zou een representatief element moeten hebben. We
zien echter onmiddellijk dat het element 23 geen representatief element bevat, aangezien
23 6⊆ 245 en 23 6⊆ 345. We besluiten dat C1 niet-representatief is en door Stelling 1.3.8
volgt dan eveneens dat C1 niet-exact is.
De covering C2
Vervolgens onderzoeken we de eigenschappen van C2 . Deze covering wordt uit de beschouwde C bekomen door alle elementen uit de maximale beschrijvingen te beschouwen.
Voor ons voorbeeld geeft dit:
MD(C, 1) = {12345, 13456}
MD(C, 2) = {236, 12345}
MD(C, 3) = {236, 12345, 13456}
MD(C, 4) = {12345, 13456}
MD(C, 5) = {12345, 13456}
MD(C, 6) = {236, 13456}.
Op die manier bekomen we dat de afgeleide covering C2 gegeven wordt door de verzameling
{236, 12345, 13456}. Om na te gaan of deze C2 unair is, is het genoeg de minimale
beschrijving van 1 in C2 te beschouwen:
md(C2 , 1) = {12345, 13456}.
17
Deze minimale beschrijving heeft twee elementen, waaruit blijkt dat C2 niet-unair is.
Daarnaast onderzoeken we of C2 unie- of doorsnede-irreducibel is. In het voorbeeld bekomen we een unie- en doorsnede-irreducibele C2 . We zullen eerst aantonen dat een
algemene C2 unie-irreducibel is:
Propositie 1.3.15. De covering C2 afgeleid uit een covering C is unie-irreducibel.
Bewijs. We nemen een K ∈ C2 en veronderstellenSdat K unie-reducibel is. Dan bestaat
er een deelverzameling C0 ⊆ C2 \{K} zodat K =
C. Met andere woorden:
C∈C0
∃C0 ⊆ C2 , ∀C ∈ C0 : C ( K en K =
[
C.
C∈C0
Er geldt:
K ∈ C2 ⇒ ∃x ∈ U : K ∈ MD(C, x)
⇒ ∃Cx ∈ C0 : x ∈ Cx (en Cx ( K).
Verder geldt:
Cx ∈ C0 ⊆ C2 ⇒ ∃y ∈ U : Cx ∈ MD(C, y)
⇒ y ∈ Cx
⇒ y ∈ K.
Omdat y ∈ K, K ∈ C, Cx ⊆ K en Cx ∈ MD(C, y) geldt door definitie van de maximale
beschrijving dat Cx = K. Dit is een contradictie met het feit dat Cx ( K. Met andere
woorden, K is unie-irreducibel. Vanwege de willekeur van K, is C2 een unie-irreducibele
covering.
In het bewijs van de volgende propositie tonen we dat C2 ook doorsnede-irreducibel is:
Propositie 1.3.16. De covering C2 afgeleid uit een covering C van U is doorsnedeirreducibel.
Bewijs. Stel dat C2 doorsnede-reducibel is, m.a.w. dat er een K ∈ C2 bestaat waarvoor
K = ∩ Ki met I een zekere indexverzameling en Ki elementen van C2 zodat K ⊂ Ki
i∈I
voor alle i ∈ I. Vermits C2 = ∪{MD(C, x) : x ∈ U }, bestaat er een x ∈ U zodat
K ∈ MD(C, x). Aangezien we dan ook weten dat x ∈ Ki voor alle i ∈ I en er geldt
dat K ⊂ Ki , levert dit een tegenstrijdigheid op. De covering C2 is bijgevolg doorsnedeirreducibel.
Tenslotte zien we onmiddellijk dat C2 in het algemeen niet-representatief is, aangezien
in het voorbeeld geen enkel element van C2 een representatief element bevat. Opnieuw
volgt hieruit dat C2 ook niet-exact is.
18
De covering C3
De covering C3 = {∩(md(C, x)) : x ∈ U } is voor ons voorbeeld gelijk aan de verzameling
{1, 2, 3, 4, 6, 45}. Hieruit bepalen we de minimale beschrijvingen:
md(C3 , 1) = {1}
md(C3 , 2) = {2}
md(C3 , 3) = {3}
md(C3 , 4) = {4}
md(C3 , 5) = {45}
md(C3 , 6) = {6},
waardoor in dit voorbeeld C3 unair is. We zullen dit vervolgens aantonen in de volgende
propositie.
Propositie 1.3.17. De covering C3 afgeleid uit de covering C is unair.
Bewijs. Stel dat er een x ∈ U bestaat waarvoor L, M ∈ md(C3 , x). Het volgende geldt:
x ∈ L ⇒ ∩ md(C, x) ⊆ L
⇒ ∩ md(C, x) = L,
waarbij de tweede implicatie verklaard wordt doordat ∩ md(C, x) ∈ C(C3 , x) en
L ∈ md(C3 , x). Hetzelfde geldt voor M waardoor we zien dat L = M . We hebben
bewezen dat C3 unair is.
De covering C3 uit het voorbeeld is representatief. Algemeen bewijzen we in de volgende
propositie dat de afgeleide covering C3 steeds representatief is:
Propositie 1.3.18. De covering C3 gebaseerd op de covering C is representatief.
Bewijs. We tonen dit aan als volgt: voor een willekeurige K uit C3 geldt, K = ∩ md(C, x)
voor een x ∈ U .
Opdat een covering representatief is, moet elke K in die covering een representatief element bevatten. Als K = ∩ md(C, x), bevat K zeker x. We kunnen zien dat deze x een
representatief element van K is. Indien x namelijk ook bevat zit in een ander element K 0
van C3 , waarvoor K 0 = ∩ md(C, y) voor een y ∈ U , geldt inderdaad dat
K = ∩ md(C, x) ⊆ K 0 .
De covering C3 is bijgevolg altijd representatief.
Wegens Stelling 1.3.9 bewijst dit ook dat C3 unie-irreducibel is. Door Stelling 1.3.8 is
C3 exact. Als laatste gaan we na of C3 al dan niet doorsnede-irreducibel is. Zoals bij
C1 maken we gebruik van de covering C = {1, 12, 134, 1234} van U = 1234. De covering
C3 gebaseerd op deze C is {1, 12, 134} en dus doorsnede-reducibel. Dit tegenvoorbeeld
toont dat de covering C3 in het algemeen niet doorsnede-irreducibel is.
19
De covering C4
We tonen aan dat de covering C4 aan geen enkele eigenschap voldoet. Hiervoor nemen
we een andere covering C dan deze gebruikt voor de vorige coverings. We defini¨eren
C = {6, 12, 234, 345, 3456, 12345}. Als we uit deze covering de covering C4 willen bepalen,
hebben we de maximale beschrijvingen nodig:
MD(C, 1) = {12345}
MD(C, 2) = {12345}
MD(C, 3) = {3456, 12345}
MD(C, 4) = {3456, 12345}
MD(C, 5) = {3456, 12345}
MD(C, 6) = {3456}.
Hieruit bepalen we dat C4 = {3456, 12345, 123456}. Als we onderzoeken of deze C4 unair
is, merken we op dat:
md(C4 , 3) = {3456, 12345},
waardoor we zien dat de covering C4 niet-unair is. Aangezien 123456 = 3456 ∪ 12345, is
C4 voor dit voorbeeld unie-reducibel. Dit is voldoende om te concluderen dat C4 in het
algemeen niet unie-irreducibel is.
We zien in dit voorbeeld van C4 ook een tegenvoorbeeld voor de representativiteit, vermits 123456 geen representatief element bevat. Hierdoor is aangetoond dat de covering
C4 niet-representatief is. Vervolgens volgt hieruit dat C4 niet-exact is.
Tevens kunnen we aan de hand van een ander tegenvoorbeeld aantonen dat C4 over het algemeen niet doorsnede-irreducibel is. We beschouwen de covering C = {1, 16, 23, 234,
2356} en leiden af dat C4 = {16, 234, 2356, 12356, 23456}. Doordat 2356 = 12356 ∩ 23456
besluiten we dat C4 doorsnede-reducibel is.
De covering C∩
Als we voor de definitie van C∩ teruggrijpen naar Definitie 1.3.11 en we opnieuw de
covering C = {1, 6, 14, 23, 46, 236, 245, 345, 12345, 13456} van U gebruiken, dan zien we
dat C∩ = {1, 14, 46, 236, 245, 345, 12345, 13456}. Omdat
md(C∩ , 2) = {236, 245},
kunnen we onmiddellijk besluiten dat C∩ in het algemeen niet-unair is.
De covering C∩ is per definitie de covering van alle doorsnede-irreducibele elementen van
C, waardoor C∩ dus altijd doorsnede-irreducibel is. Niettegenstaande, vinden we in het
voorbeeld 1 ∪ 245 ∪ 345 = 12345, woordoor we in dit voorbeeld een unie-reducibel element
in C∩ hebben gevonden. We zien dus dat de covering C∩ niet altijd unie-irreducibel
is. Doordat unie-reducibele coverings niet-representatieve coverings zijn (zie Stelling
1.3.9), besluiten we dat C∩ niet-representatief en bijgevolg ook niet-exact is.
20
De bekomen resultaten staan vermeld in deze samenvattende tabel:
Eigenschap
unair
unie-irreducibel
doorsnede-irreducibel
representatief/exact
C1
7
3
7
7
C2
7
3
3
7
C3
3
3
7
3
C4
7
7
7
7
C∩
7
7
3
7
Tabel 1.1: Eigenschappen van de coverings C1 , C2 , C3 , C4 en C∩
We zien dat er geen eigenschap is die kenmerkend is voor alle coverings. Opvallend is
dat covering C4 geen enkele van de besproken eigenschappen bevat. De covering C3 daarentegen voldoet aan alle eigenschappen, uitgenomen de doorsnede-irreducibiliteit. Het
verrast niet dat C1 = C∪ unie-irreducibel en C∩ doorsnede-irreducibel is. Dit zijn tevens
de enige eigenschappen die deze coverings omschrijven. De covering C2 is zowel unie- als
doorsnede-irreducibel.
Als laatste deel van dit hoofdstuk bespreken we enkele aspecten binnen de vaagverzamelingenleer.
1.4
Vaagverzamelingenleer
Vaagverzamelingen werden ge¨ıntroduceerd door Lotfi Zadeh [60] als een uitbreiding voor
de gekende scherpe verzamelingen. Het was de nood om vage kenmerken te kunnen modelleren die aanleiding gaf tot het begrip vaagverzameling. Tot dan toe kon men immers
enkel exacte informatie modelleren aan de hand van een wiskundig concept, namelijk de
verzameling. Wanneer men imprecieze informatie te verwerken kreeg, schoot de verzamelingenleer te kort. Zo ontstond de vaagverzamelingenleer. Bij een scherpe verzameling
A zit een element x uit het universum U ofwel vervat in de verzameling A ofwel niet.
Bij vaagverzamelingen kunnen we dit principe verfijnen door te stellen dat er gradaties
kunnen bestaan van het in een bepaalde verzameling bevat zitten. Een element hoeft dan
niet meer absoluut wel of niet tot een verzameling te horen. In de praktijk blijkt dit zeer
praktisch aangezien het vaak moeilijk is een bepaald kenmerk toe te schrijven aan een
object. Zo kunnen we bijvoorbeeld denken aan het kenmerk “rijk zijn”: wanneer we dit
beschrijven met een scherpe verzameling kan een persoon x uit een universum U wel of
niet tot de verzameling A van rijke mensen behoren. In realiteit is het natuurlijk uiterst
moeilijk om de grens van een dergelijke verzameling te bepalen. De vaagverzamelingenleer
maakt het mogelijk om dit zwart-wit beeld te verbreden.
Aangezien we coverings en ruwverzamelingen ook zullen beschouwen in de vage setting,
hebben we nood aan uitbreidingen van definities die gelden in het scherpe geval. Zo kunnen we dezelfde begrippen beschouwen wanneer we met vaagverzamelingen werken. Het
eerste deel van deze sectie behandelt de standaardbegrippen in de vaagverzamelingenleer.
21
Daarna bespreken we enkele vaaglogische operatoren en als laatste komen ook vaagrelaties
aan bod.
1.4.1
Vaagverzamelingen
We voeren de definitie van Zadeh [60] voor een vaagverzameling in. Deze definitie karakteriseert de vaagverzameling A in een universum U aan de hand van een lidmaatschapsfunctie fA : U → [0, 1]. Deze functie beeldt elk element x af op zijn lidmaatschapsgraad
fA (x) die gelegen is tussen 0 en 1. In de praktijk bepaalt deze in welke mate x voldoet aan
de eigenschap die de verzameling A voorstelt. Als fA (x) = 0 betekent dit dat x niet aan
deze eigenschap voldoet, fA (x) = 1 zegt dat x er perfect aan voldoet. Deze twee gevallen
beperken A terug tot een scherpe verzameling waar x wel of niet kan toe behoren. We zien
dan ook dat de lidmaatschapsfunctie fA zich in dat geval beperkt tot de karakteristieke
functie van een scherpe verzameling: χA : U → {0, 1}.
De klasse der vaagverzamelingen in een universum U , noemen we F(U ). We zien onmiddellijk uit het voorgaande dat P(U ) ⊆ F(U ). Verder noteren we de lidmaatschapsgraad
in A van een x ∈ U niet als fA (x) maar als A(x).
De begrippen uit deze subsectie zijn gebaseerd op [14] en [60].
Doorgaans wordt de kardinaliteit van een vaagverzameling A uit F(U ) berekend als de
som van de lidmaatschapsgraden:
X
|A| =
A(x).
x∈U
Elke vaagverzameling heeft een drager en een kern. We beschrijven deze begrippen in de
volgende definitie.
Definitie 1.4.1. Neem A ∈ F(U ).
• De kern van een vaagverzameling A is gedefinieerd als:
ker(A) = {x ∈ U : A(x) = 1}.
Een vaagverzameling wordt modaal genoemd indien zijn kern niet ledig is.
• De drager van een vaagverzameling A wordt gegeven door:
supp(A) = {x ∈ U : A(x) > 0}.
In de komende definities breiden we standaardbegrippen in de verzamelingenleer uit tot de
vaagverzamelingenleer. Ten eerste defini¨eren we het complement van een vaagverzameling.
Definitie 1.4.2. Het complement van een vaagverzameling A ∈ F(U ) is de vaagverzameling co A waarvan de lidmaatschapsfunctie de volgende is:
∀x ∈ U : (co A)(x) = 1 − A(x).
22
Zadeh definieerde eveneens de unie en de doorsnede van vaagverzamelingen.
Definitie 1.4.3. De unie en doorsnede van twee vaagverzamelingen A en B uit F(U )
worden bepaald door hun lidmaatschapsfunctie. Voor alle x ∈ U zijn A ∪ B, resp. A ∩ B,
gedefinieerd als:
(A ∪ B)(x) = max(A(x), B(x)) en
(A ∩ B)(x) = min(A(x), B(x)).
In de volgende definitie beschouwen we wanneer een vaagverzameling in een andere vervat
zit. Beschouw daarvoor twee vaagverzamelingen A, B ∈ F(U ).
Definitie 1.4.4. Een vaagverzameling A is een deelverzameling van de vaagverzameling
B als en slechts als
∀x ∈ U : A(x) ≤ B(x).
Net zoals bij scherpe verzamelingen noteren we dit als A ⊆ B.
We bespreken ook de definitie van α-niveauverzamelingen:
Definitie 1.4.5. Voor een A ∈ F(U ) en een α ∈ [0, 1] is de zwakke α-niveauverzameling
gedefinieerd door:
Aα = {x ∈ U : A(x) ≥ α}.
De sterke α-niveauverzameling is:
Aα = {x ∈ U : A(x) > α}.
1.4.2
Vaaglogische operatoren
We kennen logische operatoren als conjunctie, disjunctie, implicatie e.a. uit de klassieke
logica. Het zijn binaire logische operatoren die inwerken op {0, 1}. Deze begrippen kunnen echter niet zomaar overgenomen worden wanneer we met vaagverzamelingen werken,
waardoor de noodzaak ontstaat om ze uit te breiden tot vaaglogische operatoren. Deze
operatoren zijn gedefinieerd op het interval [0, 1] in plaats van op {0, 1}. Zie o.a. [33].
Om te beginnen defini¨eren we de triangulaire norm of t-norm. Dit begrip geeft een
belangrijke uitbreiding van de conjunctie uit de klassieke logica.
Definitie 1.4.6. Een t-norm T is een binaire operator T : [0, 1]2 → [0, 1] waarvoor de
volgende voorwaarden gelden:
• Neutraal element: ∀x ∈ [0, 1] : T (x, 1) = x,
• Commutativiteit: ∀x, y ∈ [0, 1] : T (x, y) = T (y, x),
• Associativiteit: ∀x, y, z ∈ [0, 1] : T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z),
23
• Niet-dalend in beide argumenten:
∀x1 , x2 , y1 , y2 ∈ [0, 1] : x1 ≤ y1 en x2 ≤ y2 ⇒ T (x1 , x2 ) ≤ T (y1 , y2 ).
We geven enkele bekende voorbeelden van t-normen:
Voorbeeld 1.4.7. Beschouw x, y ∈ [0, 1].
• De minimum t-norm is T M (x, y) = min(x, y). Dit is de grootste t-norm.
• Het algebra¨ısch product is de t-norm T P (x, y) = x.y.
• De Lukasiewicz t-norm is T L (x, y) = max(x + y − 1, 0).
• De nilpotente minimum t-norm is:
min(x, y) als x + y > 1
T nM (x, y) =
0
anders.
We defini¨eren een toepassing van het begrip t-norm:
Definitie 1.4.8. Neem een t-norm T . Twee vaagverzamelingen A, B ∈ F(U ) zijn paarsgewijs disjunct indien:
∀x ∈ U : T (A(x), B(x)) = 0.
(1.9)
We zeggen dat A en B paarsgewijs disjunct zijn ten opzichte van T .
De triangulaire conorm of t-conorm is een uitbreiding naar de vaaglogica van het gekende
begrip disjunctie.
Definitie 1.4.9. Een t-conorm S is een binaire operator S : [0, 1]2 → [0, 1] waarvoor de
volgende voorwaarden gelden:
• Neutraal element: ∀x ∈ [0, 1] : S(0, x) = x,
• Commutativiteit: ∀x, y ∈ [0, 1] : S(x, y) = S(y, x),
• Associativiteit: ∀x, y, z ∈ [0, 1] : S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z),
• Niet-dalend in beide argumenten:
∀x1 , x2 , y1 , y2 ∈ [0, 1] : x1 ≤ y1 en x2 ≤ y2 ⇒ S(x1 , x2 ) ≤ S(y1 , y2 ).
Voorbeeld 1.4.10. We geven enkele voorbeelden van t-conormen:
• De maximum t-conorm is SM (x, y) = max(x, y). Dit is de kleinste t-conorm.
• De probabilistische som of product t-conorm is SP (x, y) = x + y − xy.
24
• De Lukasiewicz t-conorm is SL (x, y) = min(x + y, 1).
De implicatie die we kennen uit de logica, kan in de vaaglogica veralgemeend worden tot
een zogenaamde implicator.
Definitie 1.4.11. Een implicator I is een afbeelding I : [0, 1]2 → [0, 1] waarvoor de
volgende voorwaarden gelden:
• Niet-stijgend in de eerste component:
∀x1 , x2 , y ∈ [0, 1] : x1 ≤ x2 ⇒ I(x1 , y) ≥ I(x2 , y),
• Niet-dalend in de tweede component:
∀x, y1 , y2 ∈ [0, 1] : y1 ≤ y2 ⇒ I(x, y1 ) ≤ I(x, y2 ),
• Randvoorwaarden:
I(0, 0) = I(0, 1) = I(1, 1) = 1 en I(1, 0) = 0.
Een speciale implicator is de grensimplicator.
Definitie 1.4.12. Een implicator noemen we een grensimplicator als en slechts als voor
alle x ∈ [0, 1] geldt dat I(1, x) = x.
We geven enkele voorbeelden:
Voorbeeld 1.4.13. Neem x, y ∈ [0, 1].
• De Lukasiewicz implicator is de implicator: I L (x, y) = min(1, 1 − x + y).
• De Kleene-Dienes implicator is de implicator: I KD (x, y) = max(1 − x, y).
We geven ook nog de definitie van een negator, die de vaaglogische uitbreiding is van de
negatie.
Definitie 1.4.14. Een negator N is een operator N : [0, 1] → [0, 1] waarvoor de volgende
voorwaarden gelden:
• Niet-stijgend:
∀x1 , x2 ∈ [0, 1] : x1 ≤ x2 ⇒ N (x2 ) ≤ N (x1 )
• Randvoorwaarden:
N (0) = 1 en N (1) = 0.
Wij zullen twee soorten negatoren nodig hebben (zie [9]):
25
Definitie 1.4.15. Een negator N noemen we involutief indien voor alle x ∈ [0, 1] geldt
dat N (N (x)) = x. Een negator N is strikt wanneer hij continu en strikt dalend is.
Een involutieve negator is altijd continu (zie [33]).
We zullen meestal gebruik maken van de standaard negator:
Voorbeeld 1.4.16. Een voorbeeld van een involutieve negator is de standaard negator genoteerd met N S . Zijn lidmaatschapsfunctie is voor alle x uit [0, 1] gegeven door
N S (x) = 1 − x.
Aan de hand van negatoren kunnen we Zadehs notie van complement veralgemenen:
Definitie 1.4.17. Beschouw een negator N . Voor de vaagverzamelingen A, B ∈ F(U )
defini¨eren we het N -complement van de vaagverzameling A die voor alle x ∈ U bepaald
wordt door de lidmaatschapsfunctie AN met:
AN (x) = N (A(x)).
Een t-norm kan samen met een negator een t-conorm genereren:
Definitie 1.4.18. Zij N een negator. De N -duale t-conorm S van een t-norm T wordt
gegeven door:
∀x, y ∈ [0, 1] : S(x, y) = N (T (N (x), N (y))).
We merken op dat de t-conormen uit Voorbeeld 1.4.10 de N S -duale t-conormen zijn van
de t-normen in Voorbeeld 1.4.7.
Aan de hand van zekere vaaglogische operatoren kunnen er andere operatoren gedefinieerd worden. Deze nieuwe vaaglogische operatoren worden in de volgende definities
gegeven.
Uit een t-conorm S en een negator N kunnen we een implicator afleiden:
Definitie 1.4.19. De t-conorm S en de negator N genereren samen een implicator die
we de S-implicator noemen en noteren met I S,N . Voor alle x, y ∈ [0, 1]:
I S,N (x, y) = S(N (x), y).
Een implicator kan een negator genereren:
Definitie 1.4.20. Zij I een implicator. De negator ge¨ınduceerd door deze implicator
wordt voor alle x ∈ [0, 1] gedefinieerd als: N I (x) = I(x, 0).
Voor de volgende begrippen en propositie hebben we gebruik gemaakt van [10], [14] en [26].
Op basis van een t-norm T kunnen we een implicator opstellen die we de residuele implicator noemen:
26
Definitie 1.4.21. Aan de t-norm T kan een zogenaamde residuele implicator (of Rimplicator) geassocieerd worden. We noteren deze met I T . Voor alle x, y ∈ [0, 1]:
I T (x, y) = sup{z ∈ [0, 1] : T (x, z) ≤ y}.
De residuele implicator gebaseerd op een t-norm geeft aanleiding tot een nieuwe soort
t-normen, namelijk de IMTL-t-normen (zie [17]).
Definitie 1.4.22. Een involutieve mono¨ıdale t-norm gebaseerde logische t-norm (of IMTLt-norm) is een linkscontinue t-norm T waarvan de ge¨ınduceerde negator gebaseerd op de
R-implicator geassocieerd aan T , involutief is, i.e., ∀x ∈ [0, 1] : N I T (N I T (x)) = x.
De nilpotente minimum t-norm T nM uit Voorbeeld 1.4.7 is een IMTL-t-norm. De geassocieerde R-implicator I T nM noteren we met I nM en wordt voor x, y ∈ [0, 1]:
1
als x ≤ y
I nM (x, y) =
max(1 − x, y) als x > y.
Aan de hand van een R-implicator kunnen we de biresiduele operator defini¨eren (zie [26]):
Definitie 1.4.23. Een t-norm T definieert ook een biresiduele operator E T . De lidmaatschapsfunctie wordt voor een x, y ∈ [0, 1] gegeven door:
E T (x, y) = min(I T (x, y), I T (y, x)).
We kunnen E T ook als volgt schrijven:
E T (x, y) = I T (max(x, y), min(x, y)).
We omschrijven in de volgende definitie het residu-principe voor een t-norm T en een
implicator I.
Definitie 1.4.24. Een t-norm T en een implicator I voldoen aan het residu-principe als
en slechts als voor alle x, y, z ∈ [0, 1] geldt:
T (x, y) ≤ z ⇔ y ≤ I(x, z).
We zien dat dit een galoisconnectie is waardoor het residu-principe ook vaak als galoisconnectie wordt omschreven.
Voor de R-implicator I T bestaat er een bijzondere voorwaarde voor het voldaan zijn
aan het residu-principe:
Propositie 1.4.25. [1] Het paar (T , I T ) voldoet aan het residu-principe als en slechts
als T linkscontinu is.
27
Als het paar (T , I) aan het residu-principe voldoet, dan geldt dat I = I T .
Naast de vorige propositie voldoet het paar (T , I T ) nog aan een paar interessante gelijkheden als T linkscontinu is:
Propositie 1.4.26. [34] Zij T een linkscontinue t-norm en I T zijn R-implicator. Voor
alle x, y, z ∈ U geldt dan dat:
I T x, I T (y, z) = I T T (x, y), z ,
T (x, I T (x, y)) ≤ y,
y ≤ I T (x, T (x, y))
I T (x, y) = 1 ⇔ x ≤ y.
Als we nu ook de negator N I T ge¨ınduceerd door de R-implicator I T beschouwen, dan
geldt:
I T x, N I T (y) = N I T T (x, y) .
1.4.3
Vaagrelaties
Een relatie kan op natuurlijke wijze uitgebreid worden naar de vaagverzamelingenleer.
We defini¨eren een binaire vaagrelatie op de verzameling U als een vaagverzameling in
F(U × U ). De lidmaatschapsfunctie van een vaagrelatie R is dan een functie van twee
variabelen en voor x, y ∈ U is de lidmaatschapsgraad van de vorm R(x, y). De veralgemening voor een n-aire vaagrelatie is analoog, het is namelijk een vaagverzameling
A ∈ F(U × ... × U ) met lidmaatschapsgraad A(x1 , x2 , ..., xn ) voor xi ∈ U en i gaande van
1 tot n.
Nu het begrip vaagrelatie is ingevoerd, kunnen we ook de uitbreiding van een equivalentierelatie in de vaagverzamelingenleer geven. Dit begrip zullen we defini¨eren aan de
hand van een t-norm T en zal de naam vaag T -equivalentie(relatie) [13] krijgen. In de
literatuur werd dit begrip ook al eerder ingevoerd als vaaggelijkheidsrelatie [26] of vaaggelijkheid [22].
Definitie 1.4.27. Stel T een t-norm. Een binaire vaagverzameling R in het universum U noemen we een vaag T -equivalentie op U als en slechts als R aan de volgende
eigenschappen voldoet:
1. Reflexief: ∀x ∈ U : R(x, x) = 1,
2. Symmetrisch: ∀x, y ∈ U : R(x, y) = R(y, x),
3. T -transitief: ∀x, y ∈ U : T R(x, y), R(y, z) ≤ R(x, z).
Voor de eenvoud zullen we het woord ‘vaag’ vaak weglaten en spreken over T -equivalenties.
Naast reflexief, symmetrisch en transitief kunnen vaagrelaties ook serieel en euclidisch
zijn (zie [47]).
28
Definitie 1.4.28. Een vaagrelatie R is serieel als en slechts als
∀x ∈ U, ∃y ∈ U : R(x, y) = 1.
We noemen een vaagrelatie R euclidisch als en slechts als
∀x, y, z ∈ U : sup (min(R(x, y), R(x, z))) ≤ R(y, z).
x∈U
We defini¨eren ook het concept equivalentieklasse voor T -equivalenties:
Definitie 1.4.29. Voor een t-norm T en een T -equivalentie R op het universum U , is de
equivalentieklasse ten opzichte van R van een x ∈ U de vaagverzameling [x]R waarvan de
lidmaatschapsfunctie voor een y ∈ U gegeven is door:
[x]R (y) = R(x, y).
In Hoofdstuk 4 zullen we vaagcoverings en T -partities defini¨eren voor een t-norm T . Als
R een T -equivalentie is zullen we aantonen dat de verzameling {[x]R : x ∈ U } een T partitie is.
De voor- en naverzameling defini¨eren we in de vaagverzamelingenleer op analoge wijze
als de equivalentieklassen:
Definitie 1.4.30. Als R een willekeurige vaagrelatie is op het universum U , dan zijn de
R-voorverzameling, resp. R-naverzameling van y ∈ U de vaagverzamelingen die voor alle
x ∈ U gedefinieerd zijn als:
Ry(x) = R(x, y) en yR(x) = R(y, x).
We merken op dat wanneer R een T -equivalentie is voor een t-norm T , er net zoals in
het scherpe geval geldt dat de voor- en naverzamelingen van R overeenkomen met de
equivalentieklassen van deze T -equivalentie R.
29
Hoofdstuk 2
Veralgemeende ruwverzamelingen
In Hoofdstuk 1 beschouwden we benaderingsruimten (U, R) waarbij U een niet-ledig, eindig universum is en R een equivalentierelatie is. Vanaf hier zullen we echter meer algemene
benaderingsruimten (U, R) veronderstellen waarbij R een willekeurige, binaire relatie op
U is. In dat geval hebben we geen partitie van equivalentieklassen meer zoals in pawlakbenaderingsruimten, maar spreken we van een covering van U . We zullen opnieuw
uitgaan van een eindig universum U en we zullen deze veronderstelling behouden voor het
vervolg van deze masterproef. In deze thesis staan ruwverzamelingen die gebaseerd zijn
op coverings centraal en in het bijzonder hun uitbreiding naar de vaagverzamelingenleer.
We nemen in dit hoofdstuk afstand van de pawlakbenaderingsoperatoren door definities
te bespreken van ruwverzamelingen waarbij partities veralgemeend worden tot coverings.
Het was Zakowski [61] die in 1983 voor het eerst ruwverzamelingen veralgemeende door
afstand te nemen van partities en in de plaats daarvan gebruik te maken van coverings.
Een aantal jaar later stelde Pomykala [32] de definitie voor van twee duale paren benaderingsoperatoren aan de hand van het paar gedefinieerd door Zakowski. Duale benaderingsoperatoren gebaseerd op binaire relaties werden ingevoerd door Yao [56] die hierbij ook
gebruik maakte van de twee paren van Pomykala [32]. Deze veralgemeningen gebaseerd
op binaire relaties werden ook verder onderzocht door Zhu (zie [67], [71]) en toegepast
in onder meer [20] en [21]. In het onderzoek naar coveringgebaseerde benaderingsoperatoren (o.a. in [39], [51], [65], [70], [74]) ontstond er een kloof tussen het onderzoek naar
duale paren van benaderingsoperatoren enerzijds en niet-duale paren anderzijds. Onder
andere Zhu (zie [63], [64], [68], [73]) draagde veel bij in het onderzoek naar coveringgebaseerde (niet-duale) benaderingsoperatoren dat zich baseerde op benaderingsoperatoren
eerder ingevoerd door Bryniarski [4] en Bonikowski et al. [3]. Zhu maakte gebruik van vijf
types van benaderingsoperatoren waarbij de onderbenaderingsoperatoren van Zakowski
beschouwd werden, maar andere bovenbenaderingsoperatoren. Niet-duale paren van benaderingsoperatoren werden verder onderzocht door Tsang et al. [40] en Wu et al. [45].
Wang et al [41] definieerden een duaal paar benaderingsoperatoren dat ook onderzocht
werd door Xu et al. in [48] en [49] en eveneens gebruikt werd in het werk van Li [28]. Yao
en Yao [58] geven een overzicht van de studie van ruwverzamelingen gebaseerd op coverings. De verbanden tussen zowel de veralgemeende benaderingsoperatoren uit het duale
30
als het niet-duale raamwerk worden besproken in Restrepo et al. [35]. In het bijzonder
onderzoeken ze de dualiteit, conjunctie en adjunctie van deze benaderingsoperatoren. In
hun andere paper [36] voeren ze een parti¨ele ordening in voor onder- en bovenbenaderingsoperatoren waarmee ze de orderelaties tussen veralgemeende ruwverzamelingen bepalen.
In het vorige hoofdstuk beschouwden we reeds Pawlaks definitie van ruwverzamelingen
in een pawlakbenaderingsruimte. Algemeen kan een ruwverzameling gedefinieerd worden
als een paar benaderingsoperatoren (apr, apr) : P(U ) → P(U )2 . Als we terugdenken
aan de eerder vermelde tralie (P(U ), ⊆, ∩, ∪, co) die we als onderliggende structuur beschouwden, kunnen we onder- en bovenbenaderingen zien als afbeeldingen tussen tralies
(zie Subsectie 1.1.2). Meer specifiek kunnen de drie equivalente definities van Pawlak uit
Definitie 1.2.5 veralgemeend worden. Deze drie types zullen echter niet langer equivalente
paren van definities vormen. Desalniettemin leidt dit wel tot interessante veralgemeende
onder- en bovenbenaderingsoperatoren. Later, in Hoofdstuk 3, gaan we verder in op
welke verbanden gelden tussen de verschillende soorten veralgemeende benaderingsoperatoren. Elk van de drie paren definities zal steunen op een ander begrip. Zo zullen we in
de elementgebaseerde definitie omgevingsoperatoren beschouwen. Niettegenstaande zullen deze begrippen op een ´e´enduidige manier aan een covering gerelateerd kunnen worden.
We zullen starten met de eerst ingevoerde definitie, namelijk de elementgebaseerde definitie.
2.1
Ruwverzamelingen gebaseerd op elementen
De elementgebaseerde definitie kan veralgemeend worden met gebruik van omgevingsoperatoren die we hier defini¨eren:
Definitie 2.1.1. Een omgevingsoperator is een afbeelding N : U → P(U ). We noemen
een omgevingsoperator reflexief indien ∀x ∈ U : x ∈ N (x).
Nu we een omgevingsoperator hebben gedefinieerd, kunnen we de elementgebaseerde definitie geven.
Definitie 2.1.2. [56] Gegeven een omgevingsoperator N , defini¨eren we de benaderingsoperatoren gebaseerd op N van een verzameling A ⊆ U als volgt:
aprN (A) = {x ∈ U : N (x) ⊆ A},
(2.1)
aprN (A) = {x ∈ U : N (x) ∩ A 6= ∅}.
(2.2)
Dat deze definities de uitbreidingen zijn van (1.3) en (1.4) naar het algemene geval, zien we
onmiddellijk door een omgevingsoperator N te kiezen met voor alle x ∈ U : N (x) = [x]R
met R een equivalentierelatie.
Een paar benaderingsoperatoren (apr, apr) noemen we duaal wanneer volgens Definitie
31
1.1.6 apr de duale is van apr en omgekeerd. Overigens hebben we reeds vermeld dat
benaderingsoperatoren gezien kunnen worden als morfismen P(U ) → P(U ) op de tralie
(P(U ), ⊆, ∩, ∪, co). Dit komt onder meer tot uiting in de volgende stelling die benaderingsoperatoren linkt met de tralietheorie en die we hierna o.a. zullen toepassen in het
geval van benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren.
Stelling 2.1.3. [43] Als (apr, apr) een duaal paar van benaderingsoperatoren is, dan is
apr een meetmorfisme als en slechts als apr een joinmorfisme is.
Bewijs. We bewijzen eerst de voldoende voorwaarde en veronderstellen dat apr een meetmorfisme is, met andere woorden, ∀A, B ⊆ U : apr(A ∩ B) = apr(A) ∩ apr(B). Dan
geldt:
apr(A ∪ B) = co apr(co(A ∪ B))
= co apr(co A ∩ co B)
= co apr(co A) ∩ apr(co B)
= co apr(co A) ∪ co apr(co B)
= apr(A) ∪ apr(B),
waarbij de dualiteit van de benaderingsoperatoren gebruikt wordt.
Het bewijs van de nodige voorwaarde is analoog.
De boven- en onderbenadering gebaseerd op een omgevingsoperator N zoals net ingevoerd
in Definitie 2.1.2 zijn elkaars duale. Dit kunnen we zien door voor een A ⊆ U op te merken:
co aprN (co A) = co ({x ∈ U : N (x) ⊆ co A})
= co ({x ∈ U : N (x) ∩ A = ∅})
= {x ∈ U : N (x) ∩ A 6= ∅}
= aprN (A).
Analoog kan er afgeleid worden dat co (aprN (co A)) = aprN (A) voor alle A ⊆ U .
We geven een belangrijke eigenschap van benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren waaruit zal blijken dat deze veralgemeende benaderingsoperatoren altijd een
geadjungeerde hebben.
Stelling 2.1.4. [35] Voor iedere omgevingsoperator N geldt dat aprN een meetmorfisme
is.
Bewijs. Door de definitie van aprN , kunnen we voor A, B ⊆ U het volgende afleiden:
x ∈ aprN (A ∩ B) ⇔ N (x) ⊆ A ∩ B
⇔ N (x) ⊆ A en N (x) ⊆ B
⇔ x ∈ aprN (A) en x ∈ aprN (B)
⇔ x ∈ aprN (A) ∩ aprN (B).
32
Er geldt dan eveneens:
Gevolg 2.1.5. [35] Voor elke omgevingsoperator N geldt dat aprN een joinmorfisme is.
Bewijs. Wegens de dualiteit van het paar (aprN , aprN ) en Stelling 2.1.3.
Wanneer we deze resultaten samennemen met Propositie 1.1.10, kunnen we concluderen
dat aprN altijd een geadjungeerde heeft en aprN steeds een cogeadjungeerde heeft.
Veel omgevingsoperatoren worden bekomen uit coverings. Om specifieke voorbeelden
van benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren te kunnen beschouwen,
bespreken we nu enkele bekende voorbeelden van omgevingsoperatoren. We geven hun
definities en enkele eigenschappen.
De omgevingsoperatoren N1 , N2 , N3 en N4
We geven de definitie van de speciale omgevingsoperatoren N1 , N2 , N3 en N4 (zie [35]
en [58]).
Definitie 2.1.6. Gegeven een covering C van U worden de omgevingsoperatoren voor
x ∈ U gedefinieerd als:
• N1 (x) = ∩{K : K ∈ md(C, x)},
• N2 (x) = ∪{K : K ∈ md(C, x)},
• N3 (x) = ∩{K : K ∈ MD(C, x)},
• N4 (x) = ∪{K : K ∈ MD(C, x)}.
Opmerking 2.1.7. Door het gebruik van de definitie van N1 , kan de covering C3 uit
Definitie 1.3.11 ook als {N1 (x) : x ∈ U } geschreven worden. Ook geldt de gelijkheid
C4 = {N4 (x) : x ∈ U }.
Propositie 2.1.8. Elk van de omgevingsoperatoren N1 , N2 , N3 en N4 is reflexief, i.e.,
∀x ∈ U, ∀N ∈ {N1 , N2 , N3 , N4 } : x ∈ N (x).
De omgevingsoperator N1 heeft twee interessante eigenschappen, die verder zullen toegepast worden in een aantal bewijzen. We tonen ze aan in de volgende propositie.
Propositie 2.1.9. [51] Als C een covering is van U en K ∈ C, dan geldt:
1. K =
S
N1 (x)
x∈K
2. ∀y ∈ N1 (x) : N1 (y) ⊆ N1 (x)
Bewijs.
1. K =
S
x∈K
x⊆
S
N1 (x) ⊆ K en dus is K =
x∈K
S
x∈K
33
N1 (x).
2. Uit de definitie van N1 (x), weten we dat y ∈ N1 (x) impliceert dat ∀K ∈ md(C, x),
y ∈ K. Hieruit volgt dat voor elk van die K ook moet gelden dat K ∈ md(C, y).
We besluiten dat {K : K ∈ md(C, x)} ⊆ {K : K ∈ md(C, y)} en dus ook dat
N1 (y) = ∩{K : K ∈ md(C, y)} ⊆ ∩{K : K ∈ md(C, x)} = N1 (x).
Voor de omgevingsoperator N3 bewijzen we ook een eigenschap:
Propositie 2.1.10. Als C een covering is van U en K ∈ C, dan geldt
∀y ∈ N3 (x) : N3 (y) ⊆ N3 (x).
Bewijs. Het bewijs is analoog aan dat van Propositie 2.1.9.
We zullen deze verschillende omgevingsoperatoren toepassen in een voorbeeld waarbij we
benaderingen berekenen die gegenereerd worden door elementgebaseerde benaderingsoperatoren.
Voorbeeld 2.1.11. Om een voorbeeld te beschouwen van de onder- en bovenbenaderingen gebaseerd op N1 , N2 , N3 en N4 , kiezen we de covering C = {1, 6, 14, 23, 46, 236, 245, 345,
12345, 13456} van U = 123456 die we reeds beschouwden in Hoofdstuk 1.
Als we voor elke x ∈ U de omgevingsoperatoren N1 (x), N2 (x), N3 (x) en N4 (x) berekenen,
krijgen we:
x
1
2
3
4
5
6
N1 (x)
1
2
3
4
45
6
N2 (x) N3 (x)
1
1345
2345
23
2345
3
123456 1345
2345
1345
6
36
N4 (x)
123456
123456
123456
123456
123456
123456
Voor A = 14 en omgevingsoperator N1 , resulteert dit in:
aprN (A) = {x ∈ U : N1 (x) ⊆ A}
1
= 14
aprN1 (A) = {x ∈ U : N1 (x) ∩ A 6= ∅}
= 145.
De volgende tabel toont eveneens de resultaten voor de andere omgevingsoperatoren voor
de verzameling A = 14:
N1
N2
N3
N4
aprN
14
1
∅
∅
34
aprN
145
12345
145
123456
Uit dit voorbeeld kunnen we concluderen dat de benaderingen gebaseerd op deze vier
verschillende omgevingsoperatoren verschillend zijn, behalve voor aprN1 en aprN3 resp.
aprN en aprN . Indien we echter de benaderingen voor de verzameling A = 3456 be3
4
rekenen geeft dit 3456 en 123456 resp. 36 en ∅, waardoor we onmiddellijk zien dat alle
beschouwde onder- en bovenbenaderingen verschillend zijn.
In de volgende subsectie veralgemenen we de tweede soort definities voor benaderingsoperatoren, namelijk deze gebaseerd op granules.
2.2
Ruwverzamelingen gebaseerd op granules
We gaan nu verder met een ander paar definities van veralgemeende benaderingsoperatoren. Zo zullen we nu de definitie gebaseerd op granules uitbreiden naar de algemene
setting. Deze maken rechtstreeks gebruik van coverings, waarvan we de basisconcepten
reeds in Sectie 1.3 hebben besproken. Wanneer we een equivalentierelatie R in een pawlakbenaderingsruimte (U, R) beschouwden, vormden de equivalentieklassen voortgebracht
door R een partitie van de ruimte U . We zagen reeds in het voorgaande dat equivalentieklassen veralgemeend kunnen worden tot voor- en naverzamelingen. Indien we nu een
partitie van equivalentieklassen veralgemenen, komen we bij het begrip covering.
We geven de definitie gebaseerd op een covering:
Definitie 2.2.1. [56] De definitie gebaseerd op granules vindt zijn veralgemening in het
gebruik van een covering C van U . We defini¨eren twee paren van benaderingsoperatoren:
(apr0C , apr0C ) en (apr00C , apr00C ):
apr0C (A) =
[
{K ∈ C : K ⊆ A} = {x ∈ U : (∃K ∈ C)(x ∈ K ∧ K ⊆ A)},
apr0C (A) = co(apr0C (co A)) = {x ∈ U : (∀K ∈ C)(x ∈ K ⇒ K ∩ A 6= ∅)},
(2.3)
(2.4)
apr00C (A) = co(apr00C (co A)) = {x ∈ U : (∀K ∈ C)(x ∈ K ⇒ K ⊆ A)},
(2.5)
[
apr00C (A) = {K ∈ C : K ∩ A 6= ∅} = {x ∈ U : (∃K ∈ C)(x ∈ K ∧ K ∩ A 6= ∅)}.(2.6)
Indien we voor de pawlakbenaderingsoperatoren in (1.5) en (1.6) een willekeurige relatie
R beschouwen en de covering C = {xR : x ∈ U } van U kiezen in plaats van de partitie
U/R, dan zien we op welke manier de definities (1.5) en (1.6) veralgemeend werden tot
deze in (2.3). Zo bekomen we namelijk apr0C voor de veralgemening van de onderbenaderingsoperator in (1.5) en apr00C voor de bovenbenaderingsoperator. De andere onder- en
bovenbenaderingsoperatoren in (2.3) zijn duaal gedefinieerd, waardoor we kunnen spreken van de duale paren benaderingsoperatoren (apr0C , apr0C ) en (apr00C , apr00C ). We geven
een voorbeeld van deze benaderingen.
Voorbeeld 2.2.2. We zullen dezelfde covering als in Voorbeeld 2.1.11 gebruiken, namelijk
C = {1, 6, 14, 23, 46, 236, 245, 345, 12345, 13456}. Als we de onder- en bovenbenaderingen
35
van een deelverzameling A = 234 van U = 123456 berekenen, krijgen we het volgende:
[
apr0C (A) = {K ∈ C : K ⊆ 234}
= 23
en
apr0C (A) = co(apr0C (co 234))
= co(apr0C (156))
= co(1 ∪ 6)
= 2345.
Analoge berekeningen voor apr00C (A) en apr00C (A) geven 123456 resp. ∅. Hierdoor blijkt
ook onmiddellijk dat deze benaderingsoperatoren verschillend zijn.
In Sectie 1.3 gaven we reeds een aantal definities van coverings afgeleid van een covering C
van U . Om te zien dat deze verschillende benaderingen genereren, zullen we deze hierna
gebruiken om tot enkele expliciete voorbeelden te komen.
Voorbeeld 2.2.3. Eerst en vooral bepalen we de coverings C1 , C2 , C3 , C4 en C∩ uit de
covering C = {1, 6, 14, 23, 46, 236, 245, 345, 12345, 13456} die we reeds in Voorbeeld 2.1.11
en 2.2.2 gedefinieerd hebben.
• C1 = {1, 6, 14, 23, 46, 245, 345},
• C2 = {236, 12345, 13456},
• C3 = {1, 2, 3, 4, 6, 45},
• C4 = {123456},
• C∩ = {14, 46, 236, 245, 345, 12345, 13456}.
De volgende tabel toont de resultaten van de benaderingen van A = 234 ⊆ U voor de
verschillende coverings:
C1
C2
C3
C4
C∩
apr0C
23
∅
234
∅
∅
apr0C
apr00C
2345
∅
123456
∅
2345
23
123456
∅
123456
∅
apr00C
123456
123456
2345
123456
123456
We zien hier heel wat gelijke resultaten maar wanneer we deze benaderingen op andere
A ⊆ U toepassen, kan men zien dat deze benaderingen allemaal onderling verschillend zijn.
Wel zullen we in Hoofdstuk 3 vinden dat sommige van deze onder- en bovenbenaderingen
samenvallen met benaderingen gebaseerd op bepaalde omgevingsoperatoren.
36
Onder- en bovenbenaderingen gebaseerd op coverings hoeven echter niet per se duale
paren te zijn. Zakowski (zie [61]) onderzocht dit als eerste en later werd een lijst van nietduale onder- en bovenbenaderingen gebaseerd op coverings ge¨ıntroduceerd door Wang et
al. in [42] en Li en Yang in [51]. We geven de definities van deze twee onderbenaderingen
en zeven bovenbenaderingen, waarvan we in Hoofdstuk 3 de onderlinge relaties zullen
onderzoeken.
In hetgeen volgt van dit onderdeel zullen we voor de eenvoud van notatie kiezen om
een onderbenadering apr te noteren met L en een bovenbenadering apr met H.
Definitie 2.2.4. [50] [53] We defini¨eren de volgende onderbenaderingen van een verzameling A ⊆ U met C een covering van U :
• LC1 (A) = ∪{K ∈ C : K ⊆ A} = apr0C (A),
• LC2 (A) = ∪{N1 (x) : N1 (x) ⊆ A} = apr0C .
3
De bovenbenaderingen van A zien er als volgt uit:
• H1C (A) = LC1 (A) ∪ (∪{md(C, x) : x ∈ A\LC1 (A)}),
• H2C (A) = ∪{K ∈ C : K ∩ A 6= ∅} = apr00C (A),
• H3C (A) = ∪{md(C, x) : x ∈ A},
• H4C (A) = LC1 (A) ∪ (∪{K : K ∩ (A\LC1 (A)) 6= ∅}),
• H5C (A) = ∪{N1 (x) : x ∈ A},
• H6C (A) = {x ∈ U : N1 (x) ∩ A 6= ∅} = aprN1 (A),
• H7C (A) = ∪{N1 (x) : N1 (x) ∩ A 6= ∅}.
We merken op dat sommige benaderingsoperatoren gelijk blijken te zijn aan deze gedefinieerd in (2.3). Zo zijn voor een A ⊆ U , LC1 (A) = apr0C (A) en H2C (A) = apr00C (A), alsook
H6C (A) = aprN1 (A). Door Opmerking 2.1.7 is LC2 (A) = apr0C . Deze onder- en boven3
benaderingen en hun niet-duale combinaties werden door verschillenden in de literatuur
bestudeerd. Zo werd H1C ge¨ıntroduceerd door Zakowski [61] en H2C door Pomykala [32].
De benaderingsoperator H3C werd ingevoerd door Tsang et al. [40], H4C en H5C door Zhu
en Wang [72] en H6C door Xu en Wang [50]. Tenslotte introduceerden Xu en Zhang [48] de
benaderingsoperator H7C . Wij hebben gebruik gemaakt van de notaties uit Yang en Li [51].
Zowel voor de duale definities gebaseerd op coverings in (2.3) als de niet-duale definities
kunnen verschillende coverings toegepast worden om tot specifieke onder- en bovenbenaderingen te komen. Zo zagen we reeds dat LC2 (A) = apr0C .
3
We gaan over naar het derde paar benaderingsoperatoren. Deze zijn gebaseerd op sluitingssystemen.
37
2.3
Ruwverzamelingen gebaseerd op systemen
Om de definities gebaseerd op subsystemen te kunnen uitbreiden voor coverings in plaats
van partities (zie [58]), moeten we het begrip sluiting S over U invoeren. In tegenstelling
tot de subsystemen zijn dit geen σ-algebra’s vermits we niet uitgaan van een partitie van
U , maar van een familie deelverzamelingen van U . Een sluiting is dan een familie deelverzamelingen uit P(U ) die U moet bevatten en gesloten moet zijn onder de doorsnede.
Men kan ook het duale systeem van S defini¨eren als S = {co X : X ∈ S}. Dit duale
systeem bevat ∅ en is gesloten onder de unie.
Voor de uitbreiding van de definitie van benaderingsoperatoren gebaseerd op subsystemen, beschouwen we het paar (S, S) van sluitingssystemen, zoals hierboven gedefinieerd.
We geven de definitie van deze veralgemeende benaderingsoperatoren:
Definitie 2.3.1. [58] De veralgemeende benaderingsoperatoren gebaseerd op sluitingssystemen, zijn gedefinieerd als:
[
(2.7)
aprS (A) = {X ∈ S : X ⊆ A},
\
aprS (A) = {X ∈ S : X ⊇ A}.
(2.8)
Aangezien de sluitingssystemen geen partitie vereisen en het enige verschil tussen de definities in (1.7) en (1.8) enerzijds en (2.7) en (2.8) anderzijds het gebruik van subsystemen
resp. sluitingssystemen is, zien we dat deze laatste definities een rechtstreekse veralgemening zijn van de definities (1.7) en (1.8) uit Hoofdstuk 1.
Ook (aprS , aprS ) is een duaal paar benaderingsoperatoren. Dit kunnen we aantonen door
een A ⊆ U te beschouwen en de definities toe te passen:
[
{X ∈ S : X ⊆ co A}
co aprS (co A) = co
[
= co
{co Y ∈ S : Y ∈ S, X = co Y, co Y ⊆ co A}
[
{co Y ∈ S : Y ∈ S, A ⊆ Y }
= co
\
= {co(co Y ) ∈ S : Y ∈ S, A ⊆ Y }
\
= {Y ∈ S : A ⊆ Y }
= aprS (A).
De gelijkheid aprS (A) = co (aprS (co A)) kan op analoge wijze worden aangetoond.
We beschouwen een bekend voorbeeld van een sluiting die we de doorsnedesluiting S∩,C
noemen en die zoals de notatie toont, gebaseerd is op een covering C: het is de minimale deelverzameling in P(U ), die C, ∅ en U bevat en die uiteraard gesloten is onder
de doorsnede. Analoog kunnen we de uniesluiting S∪,C defini¨eren. Het is de minimale
deelverzameling in P(U ), die C, ∅ en U bevat en die gesloten is onder de unie. Bijgevolg
38
zijn de doorsnede- en uniesluiting gebaseerd op een covering C gegeven door de minimale
verzamelingen waarvoor:
S∩,C ⊆ P(U ) zodat ∅, U, C ∈ S∩,C ∧ ∀X, Y ∈ S∩,C : X ∩ Y ∈ S∩,C , en
S∪,C ⊆ P(U ) zodat ∅, U, C ∈ S∪,C ∧ ∀X, Y ∈ S∪,C : X ∪ Y ∈ S∪,C .
We kunnen zowel het duale paar benaderingsoperatoren (aprS , aprS∩,C ) beschouwen ge∩,C
baseerd op het paar sluitingen ((S∩,C )0 , S∩,C ) als het paar (aprS , aprS∪,C ) dat voortge∪,C
bracht wordt door de sluitingen (S∪,C , (S∪,C )0 ).
Opmerking 2.3.2. [36] Het duale paar (aprS , aprS∩,C ) onderscheidt zich van de an∩,C
dere behandelde duale paren in het geval dat C een partitie is. In tegenstelling tot de
andere paren benaderingsoperatoren genereert dit paar dan andere benaderingen dan de
pawlakbenaderingsoperatoren.
We eindigen dit hoofdstuk met een voorbeeld van deze laatste soort veralgemeende benaderingsoperatoren waarbij we de doorsnede- en uniesluiting zullen gebruiken.
Voorbeeld 2.3.3. Wanneer we opnieuw met de covering C = {1, 6, 14, 23, 46, 236, 245, 345,
12345, 13456} uit Voorbeeld 2.1.11 werken, vinden we de volgende doorsnedesluiting en
uniesluiting:
S∩,C = C ∪ {∅, 2, 3, 4, 36, 45, 1345, 123456, },
S∪,C = C ∪ {∅, 16, 123, 146, 1234, 1236, 1245, 1345, 2345, 2346, 2456, 3456, 12346, 23456,
123456}.
Om de paren ((S∩,C )0 , S∩,C ) en (S∪,C , (S∪,C )0 ) te kunnen beschouwen, bepalen we de duale
systemen:
(S∩,C )0 = {∅, 2, 6, 26, 126, 136, 145, 1235, 1245, 1236, 1456, 12345, 12356, 12456, 13456, 23456,
123456},
0
(S∪,C ) = {∅, 1, 2, 5, 6, 12, 13, 15, 16, 26, 36, 45, 56, 126, 136, 145, 235, 456, 1235, 1456, 2345,
12345, 23456, 123456}.
Voor het paar ((S∩,C )0 , S∩,C ) zijn de benaderingen van A = 234 als volgt bepaald:
[
aprS (A) = {X ∈ (S∩,C )0 : X ⊆ A}
∩,C
= 2,
\
aprS∩,C (A) = {X ∈ S∩,C : A ⊆ X}
= 12345 ∩ 123456
= 12345.
39
Het paar (S∪,C , (S∪,C )0 ) geeft de volgende benaderingen voor A = 234:
[
aprS (A) = {X ∈ S∪,C : X ⊆ A}
∪,C
= 23,
\
aprS∪,C (A) = {X ∈ (S∪,C )0 : A ⊆ X}
= 123456 ∩ 2345 ∩ 23456 ∩ 12345
= 2345.
We zien dat deze benaderingsoperatoren verschillend zijn.
In het komende onderdeel behandelen we een speciaal geval van de elementgebaseerde
veralgemeende ruwverzamelingen, namelijk deze gebaseerd op binaire relaties die niet
langer equivalentierelaties hoeven te zijn.
2.4
Ruwverzamelingen gebaseerd op binaire relaties
Wanneer we de pawlakbenaderingsoperatoren (1.3) en (1.4) beschouwen voor een willekeurige binaire relatie R op U , dan krijgen we de benaderingsoperatoren gebaseerd op
binaire relaties die steunen op het begrip voor- of naverzameling. Deze veralgemenen
rechtstreeks de oorspronkelijke definitie van Pawlak [31].
Definitie 2.4.1. [56] Voor een binaire relatie R op U , defini¨eren we het paar benaderingsoperatoren aprR en aprR voor een deelverzameling A van U als volgt:
aprR (A) = {x ∈ U : xR ⊆ A},
aprR (A) = {x ∈ U : xR ∩ A 6= ∅}.
(2.9)
(2.10)
Vermits we een omgevingsoperatoren N kunnen kiezen als N (x) = xR voor alle x ∈ U ,
zien we dat deze definities als een speciaal geval van de elementgebaseerde definities
beschouwd kunnen worden. Verder merken we op dat aprR een joinmorfisme is. We zien
dit als volgt:
x ∈ aprR (A) ⇔ xR ∩ A 6= ∅
⇔ ∃y ∈ A : y ∈ xR
⇔ ∃y ∈ A : {y} ∩ xR 6= ∅
⇔ ∃y ∈ A : x ∈ aprR ({y}).
In de volgende stelling van Yao [53] koppelen we het bestaan van onder- en bovenbenaderingen gebaseerd op een bepaalde relatie R aan een zekere eigenschap van die relatie.
We starten met een lemma.
Lemma 2.4.2. Als apr een joinmorfisme is, dan werkt apr monotoon op de deelverzamelingen van U , i.e. voor A, B ⊆ U geldt:
A ⊆ B ⇒ apr(A) ⊆ apr(B).
40
Bewijs. We zien namelijk dat voor A, B ⊆ U met A ⊆ B, voldaan is aan:
apr(B) = apr(A ∪ B)
= apr(A) ∪ apr(B).
Bijgevolg is apr(A) ⊆ apr(B).
Dit voorgaande lemma zegt meer algemeen dat een joinmorfisme ordebewarend is en is
met andere woorden een direct gevolg van Definitie 1.1.4.
Propositie 2.4.3. [53] [52] Veronderstel dat (apr, apr) : P(U ) → P(U ) een duaal paar
van benaderingsoperatoren is, zodat apr een joinmorfisme is en apr(∅) = ∅. Er bestaat een
binaire relatie R op U zodat voor alle A ⊆ U , apr(A) = aprR (A) en apr(A) = aprR (A).
De relatie R voldoet aan de eigenschap:
1. reflexief,
2. symmetrisch,
3. transitief,
4. serieel,
5. euclidisch,
als en slechts als het paar (apr, apr) voldoet aan
1. A ⊆ apr(A),
2. A ⊆ apr(apr(A)),
3. apr(apr(A)) ⊆ apr(A),
4. apr(A) ⊆ apr(A),
5. apr(apr(A)) ⊆ apr(A).
Bewijs. We zullen eerst bewijzen dat er inderdaad zo’n binaire relatie R bestaat waarvoor
apr(A) = aprR (A) en apr(A) = aprR (A) voor alle A ⊆ U . We defini¨eren hiervoor R als
volgt:
∀x, y ∈ U : y ∈ xR ⇔ x ∈ apr({y}).
Dan zien we voor singletons:
aprR ({y}) = {x ∈ U | xR ∩ {y} =
6 ∅}
= {x ∈ U | y ∈ xR}
= apr({y}),
41
waarbij de laatste gelijkheid verklaard wordt door de manier waarop we R gedefinieerd
hebben.
Er geldt ook:
[
aprR (A) =
aprR ({y})
y∈A
=
[
apr({y})
y∈A
= apr(A),
vermits aprR en apr joinmorfismen zijn.
We gaan nu de eigenschappen van R na:
1. Neem A ⊆ U :
R is reflexief ⇔ ∀x ∈ A : x ∈ xR
⇔ ∀x ∈ A : x ∈ apr({x})
⇔ ∀x ∈ A : {x} ⊆ apr({x})
Doordat apr een joinmorfisme is, zien we dat dit eveneens equivalent is met:
A=
[
{x} ⊆
x∈A
[
apr({x}) = apr(A).
x∈A
2. We bewijzen eerst de voldoende implicatie. Met andere woorden, stel dat er een
symmetrische relatie R bestaat zodat ∀A ⊆ U , geldt dat:
apr(A) = aprR (A) en
apr(A) = aprR (A).
Indien we A = {x} nemen voor een willekeurige x ∈ U , dan willen we bewijzen dat
x ∈ apr(apr({x})). Als we deze verzameling uitschrijven, krijgen we:
apr(apr({x})) = apr({y ∈ U : x ∈ yR})
= apr({y ∈ U : y ∈ xR})
= apr(xR).
De tweede gelijkheid wordt verklaard door de symmetrie. Door de definitie van van
aprR zien we dat x in deze verzameling
S bevat zit. Doordat apr een joinmorfisme is,
volgt dit nu ook voor algemene A =
x.
x∈A
42
Om de omgekeerde implicatie aan te tonen, nemen we x, y ∈ U met x ∈ yR:
{y} ⊆ apr(apr({y}) ⇒ y ∈ apr(apr({y})
⇒ yR ⊆ apr({y})
⇒ x ∈ apr({y})
⇒ xR ∩ {y} =
6 ∅
⇒ y ∈ xR
⇒ R is symmetrisch.
3. Ten eerste tonen we de voldoende voorwaarde aan door aan te nemen dat R transitief
is. Dit betekent voor een x ∈ U dat:
apr(apr({x})) = {z ∈ U : zR ∩ apr({x}) 6= ∅}
= {z ∈ U : (∃y ∈ U )(y ∈ zR en y ∈ apr({x})}
⊆ {z ∈ U : x ∈ zR}
= apr({x}).
Hiermee is de te bewijzen inclusie eveneens aangetoond voor alle A ⊆ U , aangezien
apr een joinmorfisme is.
We bewijzen de nodige voorwaarde door willekeurige x, y, z ∈ U te nemen met
y ∈ xR, wat equivalent is met x ∈ apr({y}) en we zien dat:
z ∈ yR ⇒ y ∈ apr({z})
⇒ {y} ⊆ apr({z})
⇒ apr({y}) ⊆ apr(apr({z}))
⇒ apr({y}) ⊆ apr({z})
⇒ x ∈ apr({z})
⇒ z ∈ xR,
waarbij we in de derde implicatie de monotoniciteit hebben toegepast en in de vierde
implicatie assumptie 3. Uit de bewezen implicatie z ∈ yR ⇒ z ∈ xR volgt nu dat
yR ⊆ xR en bijgevolg is R transitief.
4. We veronderstellen eerst dat R serieel is.
x ∈ apr(A) ⇒ xR ⊆ A
⇒ xR ∩ A 6= ∅
⇒ x ∈ apr(A).
Voor de omgekeerde implicatie nemen we aan dat voor alle A ⊆ U , apr(A) ⊆ apr(A).
Indien we veronderstellen dat er een x ∈ U bestaat waarvoor xR = ∅, dan geldt:
∀y ∈ U : xR ⊆ {y} ⇒ ∀y ∈ U : x ∈ apr({y})
⇒ ∀y ∈ U : x ∈ apr({y})
⇒ ∀y ∈ U : xR ∩ {y} =
6 ∅
,
43
wat een tegenstrijdigheid is. We besluiten dat ∀x ∈ U : xR 6= ∅.
5. Als R euclidisch is, dan geldt voor alle A ⊆ U :
x ∈ apr(apr(A)) ⇒ xR ∩ apr(A) 6= ∅
⇒ ∃y ∈ U : xR ⊆ yR en y ∈ apr(A)
⇒ ∃y ∈ U : xR ⊆ yR en yR ⊆ A
⇒ ∃y ∈ U : xR ⊆ A
⇒ x ∈ apr(A),
waardoor de inclusie bewezen is.
Omgekeerd gaan we er van uit dat voor alle A ⊆ U , apr(apr(A)) ⊆ apr(A). Om te
bewijzen dat R euclidisch is, moet de implicatie y ∈ xR ⇒ xR ⊆ yR aangetoond
worden. Hierbij is xR ⊆ yR equivalent met x ∈ apr(yR). Door onze veronderstelling
is het dus voldoende te bewijzen dat x ∈ apr(apr(yR)) geldt.
y ∈ xR ⇒ ∃z ∈ U : z ∈ xR en zR ⊆ yR
⇒ ∃z ∈ U : z ∈ xR en z ∈ apr(yR)
⇒ xR ∩ apr(yR) 6= ∅
⇒ x ∈ apr(apr(yR)),
waarbij de eerste implicatie gemakkelijk gezien kan worden door te beschouwen dat
yR ⊆ yR.
Alle benaderingsoperatoren die we in dit hoofdstuk besproken hebben, zullen met elkaar
in verband gebracht worden in Hoofdstuk 3.
44
Hoofdstuk 3
Verbanden tussen
benaderingsoperatoren
In dit hoofdstuk onderzoeken we verbanden tussen de verschillende veralgemeende benaderingsoperatoren of meer bepaald benaderingsoperatoren. We zullen steeds een eindig
universum U beschouwen. De eerste sectie behandelt de drie klassen van benaderingsoperatoren die wij beschouwd hebben: de benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren, deze gebaseerd op coverings en deze gebaseerd op sluitingssystemen. Eerst
beschouwen we in deze sectie de relaties tussen benaderingsoperatoren uit dezelfde klasse.
Dit doen we voor enerzijds de benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren
en anderzijds deze gebaseerd op coverings. Daarna geven we ook resultaten die de verbanden tussen benaderingsoperatoren uit de verschillende klassen bespreken.
De tweede sectie beschouwt dan naast deze drie klassen meer specifiek de benaderingsoperatoren gebaseerd op relaties. We zullen zien hoe deze benaderingsoperatoren gelinkt
worden aan andere benaderingsoperatoren uit de drie klassen (zie o.a. [53], [69], [71]). Hiervoor zullen we eerst beschouwen hoe coverings relaties kunnen genereren en omgekeerd.
Zhu [69] was degene die deze ge¨ınduceerde relaties en coverings invoerde. Daarna gebruiken we een resultaat van Yao [53] uit Hoofdstuk 2 om te zien hoe benaderingsoperatoren
gebaseerd op relaties zich verhouden tot de andere klassen van benaderingsoperatoren.
3.1
Verbanden binnen en tussen de verschillende klassen benaderingsoperatoren
Het is belangrijk de onderlinge relaties tussen onder- en bovenbenaderingsoperatoren te
kennen. Benaderingsoperatoren kunnen namelijk equivalent zijn, waardoor ze voor iedere
verzameling gelijke onder- en bovenbenaderingen genereren. Ze kunnen echter ook elkaars
geadjungeerde of geconjungeerde zijn. Aangezien veralgemeende benaderingsoperatoren
afbeeldingen tussen tralies zijn, kunnen we de concepten en definities uit Sectie 1.1 gebruiken. We baseren ons voor de begrippen en proposities uit deze sectie op het werk van
Restrepo, Cornelis en G´omez [35].
45
In Propositie 1.1.10 zagen we reeds dat een afbeelding tussen twee tralies een geadjungeerde heeft als en slechts als deze een joinmorfisme is. Naast het bestaan van deze
geadjungeerde, kunnen we ook de vorm specifi¨eren. Als we nu een bovenbenaderingsoperator H beschouwen als afbeelding tussen de tralie (P(U ), ⊆, ∩, ∪, co) en zichzelf, dan
geldt deze propositie ook voor H. De geadjungeerde H a wordt dan gegeven door:
H a (A) = ∪{B ⊆ U : H(B) ⊆ A}.
(3.1)
We hebben ook het volgende resultaat dat een vereenvoudigde uitdrukking geeft voor de
geadjungeerde H a van een benaderingsoperator H:
Propositie 3.1.1. [35] Als H : P(U ) → P(U ) een joinmorfisme is, dan is de geadjungeerde van H van de volgende vorm voor A ⊆ U :
H a (A) = {x ∈ A : H({x}) ⊆ A}.
Bewijs. We willen bewijzen dat bovenstaande uitdrukking (3.1) gelijk is aan de verzameling uit de propositie. Neem daarvoor een x ∈ A, waarvoor H({x}) ⊆ A, dan is
{x} ⊆ ∪{B ⊆ U : H(B) ⊆ A} en dus ook x ∈ ∪{B ⊆ U : H(B) ⊆ A}. Hiermee hebben
we reeds bewezen dat {x ∈ A : H({x}) ⊆ A} ⊆ ∪{B ⊆ U : H(B) ⊆ A}.
Omgekeerd, nemen we een x ∈ ∪{B ⊆ U : H(B) ⊆ A}. Er bestaat dan een B, zodat
H(B) ⊆ A en x ∈ B. Zonder verlies van algemeenheid mogen we B eindig veronderstellen en van de volgende vorm: B = {y1 , ..., yn }. Dit betekent dat x = yi voor
een bepaalde index i. De bovenbenaderingsoperator H is een joinmorfisme, waardoor
n
S
H(B) =
H({yi }). Uit H(B) ⊆ A, kunnen we concluderen dat voor alle i geldt dat
i=1
H({yi }) ⊆ A en bijgevolg ook dat H({x}) ⊆ A. Daaruit volgt de omgekeerde inclusie
{x ∈ A : H({x}) ⊆ A} ⊇ ∪{B ⊆ U : H(B) ⊆ A}.
In de volgende paragraaf bekijken we de verbanden tussen benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren.
3.1.1
Benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren
Omwille van hun gebruik in enkele van de bewijzen van de hieronder vermelde stellingen,
bespreken we eerst de volgende definities:
N
Definitie 3.1.2. [35] Voor A ⊆ U en N een omgevingsoperator worden GN
5 en G6
gegeven door:
GN
5 (A) = ∪{N (x) : x ∈ A}, en
GN
6 (A) = {x ∈ U : N (x) ∩ A 6= ∅} = aprN (A).
46
N
C
C
We zien dat voor N = N1 , de operatoren GN
5 en G6 samenvallen met resp. H5 en H6 .
De volgende propositie zullen we verder dan ook gebruiken om het verband tussen H5C en
H6C aan te tonen.
Propositie 3.1.3. [35] Stel N een omgevingsoperator, dan is GN
5 de geconjungeerde van
GN
.
6
Bewijs. We nemen A, B ⊆ U . Om het gestelde te bewijzen, moeten we aantonen dat
N
A ∩ GN
5 (B) = ∅ als en slechts als B ∩ G6 (A) = ∅. Wij zullen de equivalente uitdrukking
N
A ∩ GN
5 (B) 6= ∅ als en slechts als B ∩ G6 (A) 6= ∅ aantonen.
N
Stel eerst dat A ∩ G5 (B) 6= ∅, dan bestaat er een x ∈ U waarvoor x ∈ A en x ∈ GN
5 (B).
Dit laatste impliceert dat er een y ∈ B bestaat zodat x ∈ N (y). Doordat ook x ∈ A, geldt
N
er dat N (y) ∩ A 6= ∅ en wegens de definitie van GN
6 (A) weten we hieruit dat y ∈ G6 (A).
Vermits y ∈ B hebben we gevonden dat B ∩ GN
6 (A) 6= ∅.
N
Omgekeerd stellen we dat B ∩ G6 (A) 6= ∅. Opnieuw moet er een element x ∈ U bestaan
N
zodat x ∈ B en x ∈ GN
6 (A). Uit dit laatste volgt door de definitie van G6 (A) dat
N (x) ∩ A 6= ∅. Er bestaat dan een y ∈ U , zodat y ∈ N (x) en y ∈ A. Omdat x ∈ B en
N
y ∈ N (x) volgt er dat y ∈ GN
5 (B) en dus ook y ∈ A ∩ G5 (B).
We zagen eerder in Hoofdstuk 2 dat de benaderingsoperator aprN voor een willekeurige
N altijd een geadjungeerde heeft. We willen echter weten wanneer aprN en aprN elkaars
geadjungeerde zijn.
Gevolg 3.1.4. Het paar (aprN , aprN ) is een adjunct paar als en slechts GN
6 zelfgeconjungeerd is.
Bewijs. Om te zien wanneer aprN en aprN elkaars geadjungeerden zijn, berekenen we de
cogeadjungeerde van aprN . Hiervoor maken we gebruik van Propositie 1.1.11:
(aprN )a = (apr∂N )c
= (aprN )c
c
= (GN
6 )
= GN
5 .
N
N c
N
Dit betekent dat (aprN )a = aprN als en slechts als GN
5 = G6 of (G6 ) = G6 . We spreken
dus van een adjunct paar (aprN , aprN ) als en slechts als GN
6 zelfgeconjungeerd is.
We geven het gevolg van Propositie 3.1.3 voor de benaderingsoperatoren H5C (A) en H6C (A):
Gevolg 3.1.5. [35] Neem een covering C van het universum U en een A ⊆ U . De
bovenbenaderingen H5C (A) en H6C (A) zijn elkaars geconjungeerden.
N1
C
1
Bewijs. Dit volgt meteen uit H5C (A) = GN
5 en H6 (A) = G6 en Propositie 3.1.3, waarbij
we omgevingsoperator N1 gebruikt hebben.
47
Voor het bewijs van de volgende propositie, die de geadjungeerde van H5C bepaalt, hebben
we eerst dit lemma nodig:
Lemma 3.1.6. [35] Voor alle x ∈ U geldt dat H5C (N1 (x)) = N1 (x).
Bewijs. Als y ∈ N1 (x), volgt wegens Propositie 2.1.9 dat N1 (y) ⊆ N1 (x). De definitie
van H5C toont dan dat H5C (N1 (x)) ⊆ N1 (x). De omgekeerde inclusie geldt ook aangezien
x ∈ N1 (x).
Propositie 3.1.7. [35] De benaderingsoperator LC2 is de geadjungeerde van H5C .
Bewijs. We zullen eerst de inclusie LC2 (A) ⊆ (H6C )a (A) voor een A ⊆ U aantonen. Indien
y ∈ LC2 (A), bestaat er een x ∈ U met N1 (x) ⊆ A zodat y ∈ N1 (x). Wanneer we
Lemma 3.1.6 toepassen, kunnen we stellen dat H5C (N1 (x)) = N1 (x). Nu volgt hieruit
dat y ∈ ∪{Y ⊆ U : H5C (Y ) ⊆ A}, waaruit we kunnen afleiden dat y ∈ (H5C )a (A). De
andere inclusie bewijzen we door te veronderstellen dat y ∈ (H5C )a (A), dan bestaat er
een Y ⊆ U zodat y ∈ Y en H5C (Y ) ⊆ A. Wegens de definitie van H5C is dit hetzelfde als
∪{N1 (x) : x ∈ Y } ⊆ A. Zo zien we dat y ∈ N1 (y) ⊆ H5C (Y ) ⊆ A en hieruit volgt dat
y ∈ LC2 (A). Op die manier hebben we de omgekeerde inclusie ook aangetoond.
Gevolg 3.1.8. [35] De duale van H6C is LC2 .
Bewijs. De benaderingsoperator H5C is een joinmorfisme. Wegens Propositie 3.1.7, Propositie 1.1.11 en Gevolg 3.1.5, krijgen we dan dat LC2 = (H5C )a = ((H5C )c )∂ = (H6C )∂ .
De volgende paragraaf behandelt de verbanden die bestaan binnen een andere klasse
benaderingsoperatoren, namelijk deze gebaseerd op coverings.
3.1.2
Benaderingsoperatoren gebaseerd op coverings
In Hoofdstuk 2 hebben we de de definitie gezien van verschillende benaderingsoperatoren
gebaseerd op coverings. Een deel daarvan was duaal gedefinieerd, maar we zagen ook
niet-duaal gedefinieerde benaderingsoperatoren. We onderzoeken in deze subsectie voor
beide soorten hoe de verschillende definities onderling aan elkaar gerelateerd zijn.
Zo zegt de eerste propositie ons dat de geconjungeerde van H2C zichzelf is.
Propositie 3.1.9. [35] De benaderingsoperator H2C is zelf-geconjungeerd.
Bewijs. Omdat H2C een joinmorfisme is, kunnen we met behulp van Propositie 1.1.11
a
uitdrukken dat H2C = ((H2C )c )∂ . Met andere woorden, H2C is zelf-geconjungeerd indien
a
de gelijkheid H2C = (H2C )∂ voldaan is. Volgens de
a definitie Cvan een duale van een
C
benaderingsoperator, is dit equivalent met H2 (co A) = co(H2 (A)) voor alle A ⊆ U .
We zullen deze uitdrukking bewijzen. Daarvoor nemen we een x ∈
/ H2C (A). Dit geldt
als en slechts als K ∩ A = ∅ voor alle K ∈ C met x ∈ K. Met andere woorden,
voor alle K ∈ C met x ∈ K geldt dat K ⊆ co A. Vermits dan ook voldaan is aan
∪{K ∈ C : x ∈ K} = H2C ({x}) ⊆ co A, besluiten we wegens Propositie 3.1.1 dat
x ∈ (H2C )a (co A).
48
Gevolg 3.1.10. [35] Aangezien apr00C = H2C , zien we door Propositie 3.1.9 dat de benaderingsoperator apr00C ook zelf-geconjungeerd is.
We bekijken welke relaties er bestaan tussen de verschillende benaderingsoperatoren wanneer we verschillende coverings gebruiken.
Voor het vervolg noteren we dat voor twee onderbenaderingen (of bovenbenaderingen)
apr1 en apr2 geldt dat apr1 ⊆ apr2 als en slechts als apr1 (A) ⊆ apr2 (A) voor alle A ∈ P(U ).
Lemma 3.1.11. [36] Indien C en C0 coverings zijn van het universum U zodanig dat
C ⊆ C0 , dan geldt apr0C ⊆ apr0C0 en apr00C ⊆ apr00C0 .
Propositie 3.1.12. [35] Voor alle A ⊆ U zijn de onderbenaderingen apr0C (A) en apr0C (A)
1
aan elkaar gelijk.
Bewijs. Vermits C1 ⊆ C, volgt onmiddellijk uit Lemma 3.1.11 dat apr0C ⊆ apr0C .
1
Omgekeerd, neem een element x uit apr0C , dan bestaat er een K ∈ C zodat x ∈ K ⊆ A en
een K 0 ∈ md(C, x) zodat x ∈ K 0 ⊆ K ⊆ A. Bijgevolg geldt x ∈ ∪{K ∈ C1 : K ⊆ A} =
apr0C , waardoor ook apr0C ⊆ apr0C .
1
1
Propositie 3.1.13. [35] De benaderingsoperatoren apr00C en apr00C2 zijn aan elkaar gelijk.
Bewijs. Aangezien C2 ⊆ C, hebben we wegens Lemma 3.1.11 dat apr00C2 ⊆ apr00C .
Omgekeerd, neem een K ∈ C, dan bestaat er een K 0 ∈ C2 zodat K ⊆ K 0 . Bijgevolg volgt
uit K ∩ A 6= ∅ dat ook K 0 ∩ A 6= ∅. Hieruit kunnen we besluiten dat
apr00C = ∪{K ∈ C : K ∩ A 6= ∅}
⊆ ∪{K ∈ C2 : K ∩ A 6= ∅}
= apr00C2 .
Daarnaast geldt er nog een andere gelijkheid voor apr00C :
Propositie 3.1.14. [35] De benaderingsoperatoren apr00C en apr00C∩ zijn aan elkaar gelijk.
Bewijs. Uit de definities, leiden we meteen af dat C∩ ⊆ C. Voor alle A ⊆ U is dan wegens
00
Lemma 3.1.11 voldaan aan apr00C∩ (A) ⊆ apr
C (A). Neem nu een K ∈ C\C∩ , er bestaat
T
0
dan een C ⊆ C\{K} zodanig dat K = C0 . Voor alle L ∈ C0 is dan K ⊆ L. Indien
voor een A ⊆ U geldt dat K ∩ A 6= ∅, is bijgevolg ook voldaan aan L ∩ A 6= ∅, waardoor
apr00C (A) ⊆ apr00C∩ . Op die manier tonen beide inclusies de gelijkheid aan.
Propositie 3.1.15. [35] Het paar (apr00C , apr00C ) is een geadjungeerd paar.
Bewijs. Doordat apr00C een joinmorfisme is en zelf-geconjungeerd, hebben we dat (apr00C )a =
[(apr00C )c ]∂ = [apr00C ]∂ = apr00C . Analoog kan er aangetoond worden dat (apr00C )a = apr00C .
49
3.1.3
Benaderingsoperatoren uit verschillende klassen
Er zijn eveneens benaderingsoperatoren van verschillende types die aan elkaar gerelateerd
zijn. In dit onderdeel zullen we zo bijvoorbeeld bepaalde voorbeelden van veralgemeende
ruwverzamelingen gebaseerd op coverings en gebaseerd op omgevingsoperatoren met elkaar vergelijken in een aantal proposities.
Propositie 3.1.16. [36] Voor alle A ⊆ U zijn de onderbenaderingen apr00C (A) en
2
aprN (A) aan elkaar gelijk.
4
Bewijs. We nemen een x ∈ U en A ⊆ U . We zien dat
x ∈ aprN (A) ⇔ ∀K ∈ MD(C, x) : K ⊆ A,
4
x∈
apr00C (A)
2
⇔ ∀K ∈ ∪{MD(C, y) : y ∈ U } met x ∈ K : K ⊆ A.
Met behulp van deze uitdrukkingen, zien we dat indien x ∈ apr00C eveneens geldt dat
2
x ∈ aprN . Hiermee hebben we de inclusie apr00C ⊆ aprN .
4
2
4
Voor de omgekeerde inclusie veronderstellen we dat x ∈ aprN . Stel dat x ∈
/ apr00C en neem
4
2
y ∈ U en K ∈ MD(C, y) met x ∈ K en K 6⊆ A. Bijgevolg is K ∈
/ MD(C, x) waardoor er
een S ∈ MD(C, x) bestaat zodat K ⊂ S en S ⊆ A. Dit is een tegenstrijdigheid aangezien
K 6⊆ A en we zien bijgevolg dat aprN ⊆ apr00C .
2
4
Gevolg 3.1.17. De benaderingsoperatoren apr00C en apr00C zijn eveneens gelijk aan aprN .
∩
4
Bewijs. Dit volgt uit Proposities 3.1.13, 3.1.14 en 3.1.16.
Propositie 3.1.18. [35] De benaderingsoperator apr0C is gelijk aan aprN .
3
1
Bewijs. We zien voor een A ⊆ U dat
aprN (A) = {x ∈ U : N1 (x) ⊆ A} ⊆ ∪{N1 (x) : N1 (x) ⊆ A} = apr0C (A).
1
3
Omgekeerd als y ∈ apr0C (A), dan bestaat er een x waarvoor geldt dat y ∈ N1 (x) ⊆ A.
3
Doordat N1 (y) ⊆ N1 (x) is ook y ∈ N1 (y) ⊆ A en we kunnen besluiten dat y ∈ aprN .
1
Propositie 3.1.19. [35] De benaderingsoperator H7C is gelijk aan H2C3 .
Bewijs. We gebruiken de definitie van H7C en C3 om te zien dat:
H7C (A) = ∪{N1 (x) : N1 (x) ∩ A 6= ∅}
= ∪{K ∈ C3 : K ∩ A 6= ∅}
= H2C3 ,
waarbij we in de tweede gelijkheid Opmerking 2.1.7 gebruikt hebben.
50
Gevolg 3.1.20. [35] De benaderingsoperator H7C is zelf-geconjungeerd en haar geadjun∂
geerde is gelijk aan H2C3 = apr00C .
3
Bewijs. Als we de Proposities 3.1.9 en 3.1.19 gebruiken, kunnen we afleiden dat H7C inderdaad zelf-geconjungeerd is. Verder zien we voor de geadjungeerde van het joinmorfisme
H7C dat:
H7C
a
c ∂
H7C
∂
= H7C
∂
= H2C3
∂
= apr00C3
= apr00C .
=
3
Hiermee is de gestelde gelijkheid aangetoond.
Propositie 3.1.21. [35] Het paar (apr00C , apr00C ) is gelijk aan het paar (aprN , aprN ) indien
N als volgt gedefinieerd is:
N (x) = {y ∈ U : (∃K ∈ C)(x ∈ K ∧ y ∈ K)}.
Bewijs. Voor A ⊆ U en y ∈ U is voldaan aan:
y ∈ A ⇒ (∀K ∈ C)(y ∈ K ⇒ K ∩ A 6= ∅)
⇒ y ∈ {x ∈ U : (∀K ∈ C)(x ∈ K ⇒ K ∩ A 6= ∅)
⇒ y ∈ {x ∈ U : (∀K ∈ C)(x ∈ K ⇒ K ⊆ apr00C (A))
⇒ y ∈ apr00C (apr00C (A)).
We kunnen dan uit Stelling 2.4.3 afleiden dat er een symmetrische R bestaat zodat
(apr00C , apr00C ) = (aprR , aprR ) en waarbij
y ∈ xR ⇔ x ∈ apr00C ({y})
⇔ x ∈ ∪{K ∈ C : K ∩ {y} =
6 ∅}
⇔ x ∈ ∪{K ∈ C : y ∈ K}.
Indien we N (x) = xR, zien we dat y ∈ N (x) ⇔ x ∈ ∪{K ∈ C : y ∈ K}. Hieruit volgt
inderdaad dat N (x) = {y ∈ U : (∃K ∈ C)(x ∈ K ∧ y ∈ K)}.
Ook de benaderingsoperatoren gebaseerd op subsystemen zijn gelinkt aan een ander type
benaderingsoperatoren, zoals we zien in de volgende propositie.
Propositie 3.1.22. [35] De benaderingsoperator aprS is gelijk aan apr0C .
∪
51
Bewijs. Omdat C ⊆ S∪,C , zien we dat apr0C ⊆ aprS wegens Lemma 3.1.11.
∪,C
Omgekeerd, nemen we een A ⊆ U . Voor elke X ∈ S∪,C bestaat er een C0 ⊆ C zodat
X = ∪C0 . Als X ⊆ A, dan is ook K ⊆ A voor alle K ∈ C0 . Hieruit volgt dat
∪{X ∈ S∪,C : X ⊆ A} ⊆ ∪{K ∈ C : K ⊆ A}
en we hebben bewezen dat aprS = apr0C .
∪
In Tabel 3.1 geven we een overzicht van de verbanden tussen de besproken benaderingsoperatoren. We vermelden welke benaderingen gelijk zijn, welke paren geadjungeerd zijn
en of het al dan niet join- en meetmorfismen zijn (zie [36] en [35]).
N◦
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Duaal paar
aprN aprN1
1
apr0C apr0C3
3
aprN aprN2
2
aprN aprN3
3
aprN aprN4
4
apr00C apr00C
apr00C apr00C2
2
apr00C apr00C∩
∩
apr0C apr0C
apr0C apr0C1
1
aprS aprS∪
∪
apr0C apr0C2
2
apr0C apr0C4
4
apr0C apr0C∩
∩
apr00C apr00C1
1
apr00C apr00C3
3
apr00C apr00C4
4
aprS aprS∩
∩
Equivalent paar
LC2 H6C
Adjunct Meet/join
7
3
N2 ∂
2
GN
6 (G6 )
N3 ∂
3
GN
6 (G6 )
(H2C )∂ H2C
7
7
3
3
3
3
LC1 (LC1 )∂
7
7
LC1 2 (LC1 2 )∂
LC1 4 (LC1 4 )∂
LC1 ∩ (LC1 ∩ )∂
(H2C1 )∂ H2C1
(H7C )∂ H7C
(H2C4 )∂ H2C4
LS1 ∩ (LS1 ∩ )∂
(H1C )∂ H1C
(H3C )∂ H3C
(H4C )∂ H4C
(H5C )∂ H5C
7
7
7
3
3
3
7
7
7
7
7
7
7
7
3
3
3
7
7
3
7
3
Tabel 3.1: Overzicht benaderingsoperatoren
52
3.2
Verbanden met benaderingsoperatoren gebaseerd
op binaire relaties
In Hoofdstuk 2 zagen we reeds de benaderingsoperatoren gebaseerd op binaire relaties
en Stelling 2.4.3 die een eerste link legde tussen deze soort en andere benaderingsoperatoren. In deze sectie onderzoeken we precies welke andere benaderingsoperatoren uit
een van de drie klassen gelijk zijn aan benaderingsoperatoren gebaseerd op een relatie en
onder welke voorwaarden dit geldt. We onderscheiden hiervoor twee invalshoeken. In de
eerste subsectie zullen we met behulp van de Stelling 2.4.3 van Yao [53] zien voor welke
benaderingsoperatoren een relatie te vinden is waardoor hij gegenereerd wordt. Voor deze
benaderingsoperatoren zullen we dan bijkomend onderzoeken welke van hun eigenschappen kunnen gelinkt worden aan eigenschappen van de gegenereerde relaties. In de tweede
subsectie zullen we Zhu’s methode [69] hanteren. Hij linkte een covering aan een relatie
en omgekeerd en besprak onder welke voorwaarden ze dezelfde benaderingsoperatoren
genereren. Ten slotte zullen we in de laatste subsectie de verschillende invalshoeken van
Yao en Zhu met elkaar vergelijken.
In de volgende subsectie onderzoeken we op de manier van Yao [53] de relaties die benaderingsoperatoren genereren.
3.2.1
De methode van Yao: eigenschappen van relaties en van
gegenereerde benaderingsoperatoren
Om te onderzoeken welke benaderingsoperatoren gelijk zijn aan benaderingsoperatoren
gebaseerd op relaties, kunnen we gebruik maken van wat we gezien hebben in Hoofdstuk
2, meer bepaald Stelling 2.4.3 van Yao [53]. Deze stelling zegt dat onder bepaalde voorwaarden altijd een relatie bestaat waarvoor de benaderingsoperator equivalent is met een
benaderingsoperator gebaseerd op die relatie. We herhalen dat deze relatie gedefinieerd
werd aan de hand van de volgende equivalentie:
y ∈ xR ⇔ x ∈ apr({y}).
Verder bepaalt deze stelling van Yao [53] dat sommige eigenschappen van benaderingsoperatoren gelinkt zijn aan een bepaalde eigenschap van een relatie waardoor deze benaderingsoperator dan gegenereerd wordt.
Deze stelling kan in principe toegepast worden op alle besproken benaderingen uit de
Tabel 3.1. De voorwaarden in de stelling stellen echter dat de bovenbenadering van het
beschouwde duale paar een joinmorfisme moet zijn en de bovenbenadering van de ledige
verzameling gelijk moet zijn aan de ledige verzameling. Als we deze voorwaarden in acht
nemen, blijven volgende paren over waarop de stelling toepasbaar is. Hun nummering
komt overeen met deze uit Tabel 3.1:
1. (aprN , aprN1 ) = (apr0C , apr0C3 )
1
3
53
2. (aprN , aprN2 )
2
3. (aprN , aprN3 )
3
4. (aprN , aprN4 ) = (apr00C , apr00C ) = (apr00C , apr00C2 ) = (apr00C , apr00C∩ )
4
2
∩
9. (apr00C , apr00C1 )
1
10. (apr00C , apr00C3 )
3
11. (apr00C , apr00C4 )
4
Vermits we ze in het vervolg meermaals zullen nodig hebben, hernemen we de definities
van deze benaderingsoperatoren voor een algemene omgevingsoperator N :
aprN (A) = {x ∈ U : N (x) ⊆ A},
aprN (A) = {x ∈ U : N (x) ∩ A 6= ∅},
en voor een algemene covering C van U :
apr0C (A) =
S
{K ∈ C : K ⊆ A} = {x ∈ U : (∃K ∈ C)(x ∈ K ∧ K ⊆ A)},
apr0C (A) = co(apr0C (co A)) = {x ∈ U : (∀K ∈ C)(x ∈ K ⇒ K ∩ A 6= ∅)},
apr00C (A) = co(apr00C (co A)) = {x ∈ U : (∀K ∈ C)(x ∈ K ⇒ K ⊆ A)},
S
apr00C (A) = {K ∈ C : K ∩ A 6= ∅} = {x ∈ U : (∃K ∈ C)(x ∈ K ∧ K ∩ A 6= ∅)}.
Volgens Stelling 2.4.3 van Yao [53] moeten voor deze zeven verschillende benaderingsoperatoren relaties bestaan, zodat deze de benaderingsoperatoren genereren. Voor deze
relaties zullen wij in het volgende onderzoeken welke eigenschappen ze hebben. We zullen
dit doen door voor de zeven groepen na te gaan aan welke eigenschappen uit Stelling 2.4.3
ze voldoen om vervolgens de stelling toe te passen. Om de eigenschappen van deze benaderingen te onderzoeken, zullen we voor elke eigenschap enerzijds de elementgebaseerde
benaderingsoperatoren met nummers 1, 2, 3 en 4 en anderzijds de coveringgebaseerde
benaderingsoperatoren 9, 10 en 11 onderzoeken. Indien we dan de stelling toepassen voor
de gevonden eigenschappen van de benaderingsoperatoren, vinden we welke relatie de
beschouwde benaderingsoperatoren genereert.
Reflexiviteit
De eerste eigenschap uit Stelling 2.4.3 stelt dat elke willekeurige A ⊆ U bevat zit in zijn
bovenbenadering.
54
1. Om dit aan te tonen voor de eerste vier beschouwde paren van benaderingsoperatoren, beschouwen we de definitie van een bovenbenadering voor een algemene
N:
aprN (A) = {x ∈ U : N (x) ∩ A 6= ∅}.
Aangezien wij veronderstellen dat N een omgevingsoperator voorstelt uit de verzameling {N1 , N2 , N3 , N4 }, geldt voor een willekeurige y ∈ U dat y ∈ N (y). Daardoor
is voldaan aan:
y ∈ A ⇒ N (y) ∩ A 6= ∅,
wat impliceert dat A ⊆ aprN (A).
2. Op gelijkaardige wijze kunnen we nu zien dat diezelfde eigenschap voldaan is voor
apr00C . We beschouwen de definitie voor een willekeurige covering C en verzameling
A ⊆ U:
[
apr00C (A) = {K ∈ C : K ∩ A 6= ∅}.
Stel dat x ∈ A. We weten dat er een K ∈ C bestaat waarvoor x ∈ K. Voor die
K zal K ∩ A 6= ∅ en bijgevolg zal x in bovenstaande unie bevat zitten. Dezelfde
redenering houdt stand wanneer we de coverings C1 , C3 en C4 gebruiken.
Hiermee is aangetoond dat Eigenschap 1 uit Stelling 2.4.3 voor alle toepasselijke benaderingen voldaan is en dit wil zeggen dat elk van deze benaderingsoperatoren equivalent is
met een benaderingsoperator gebaseerd op een reflexieve relatie.
Opmerking 3.2.1. Aangezien elke reflexieve relatie ook serieel is, geldt ook de vierde
eigenschap uit Stelling 2.4.3 die stelt dat voor alle A ⊆ U : apr(A) ⊆ apr(A), voor de
zeven beschouwde groepen.
Symmetrie
Als tweede stelt de stelling dat indien voor alle A ⊆ U geldt dat A ⊆ apr(apr(A)), de
gegenereerde relatie symmetrisch is.
1. Neem een willekeurige N ∈ {N1 , N2 , N3 , N4 }. Indien we terug een x ∈ A nemen,
willen we bewijzen dat eveneens x ∈ apr(apr(A)) geldt, i.e.
x ∈ {x ∈ U : N (x) ⊆ aprN (A)} ⇔ N (x) ⊆ aprN (A).
Om deze laatste uitdrukking na te gaan, nemen we een y ∈ N (x) en onderzoeken we
wanneer y ∈ aprN (A) of met andere woorden N (y)∩A 6= ∅. We kunnen concluderen
dat dit enkel voldaan is indien y ∈ N (x) impliceert dat x ∈ N (y), in dat geval zit
x namelijk zowel in N (y) als in A bevat. Zonder deze extra voorwaarde geldt
Eigenschap 2 niet. We vatten het besluit samen in de volgende propositie:
55
Propositie 3.2.2. [35] Als N een omgevingsoperator is, zijn de volgende uitspraken
equivalent:
(i) ∀x, y ∈ U : y ∈ N (x) ⇒ x ∈ N (y)
(ii) Er bestaat een symmetrische relatie R waarvoor: (aprN , aprN ) = (aprR , aprR ).
Deze stelling is echter niet voldaan voor de benaderingsoperatoren N1 , N2 , N3 en
N4 .
We beschouwen een tegenvoorbeeld dat bevestigt dat A ⊆ apr(apr(A)) niet altijd
geldt:
Voorbeeld 3.2.3. We gebruiken de covering C = {6, 12, 345, 234, 3456, 12345} van
U = 123456. We berekenen de omgevinsgoperatoren N1 , N2 , N3 en N4 in de Tabel
3.3. We zien dat voor A = 12 geldt dat aprN (aprN1 (12)) = aprN (12) = 1 en
1
x md(C, x)
1
{12}
2 {12,234}
3 {234,345}
4 {234,345}
5
{345}
6
{6}
MD(C, x)
{12345}
{12345}
{3456,12345}
{3456,12345}
{3456,12345}
{3456}
N1 (x)
12
2
34
34
345
6
N2 (x)
12
1234
2345
2345
345
6
1
N3 (x)
12345
12345
345
345
345
3456
N4 (x)
12345
12345
123456
123456
123456
3456
Tabel 3.2: Minimale - en maximale beschrijving en omgevingsoperatoren
bijgevolg is A 6⊆ aprN (aprN1 (A)).
1
2. Beschouw het paar (apr00C , apr00C ) met C een willekeurige covering. Voor een A ⊆ U
nemen we een willekeurige x ∈ A. We willen aantonen dat x ∈ apr00C (apr00C (A)).
Hiervoor beschouwen we eerst de definitie van apr00C :
apr00C (A) = co(apr00C (co A)) = {x ∈ U : (∀K ∈ C)(x ∈ K ⇒ K ⊆ A)}.
Vervolgens krijgen we:
x ∈ apr00C (apr00C (A)) ⇔ ∀K ∈ C : x ∈ K ⇒ K ⊆ apr00C (A)
[
⇔ ∀K ∈ C : x ∈ K ⇒ K ⊆ {K ∈ C : K ∩ A 6= ∅}.
Aangezien x ∈ A, zien we onmiddellijk dat als x ∈ K, ook geldt dat K ∩ A 6= ∅.
We besluiten dat voor alle paren (apr00C , apr00C ) met C willekeurig geldt dat
A ∈ apr00C (apr00C (A)). De gegenereerde relaties zijn voor de benaderingsoperatoren 9,
10 en 11 altijd symmetrisch.
We besluiten dat de benaderingsoperatoren 9, 10 en 11 gegenereerd worden door symmetrische relaties.
56
Transitiviteit
De volgende eigenschap is: apr(apr(A)) ⊆ apr(A) voor een willekeurige A ⊆ U .
1. Voor een algemene aprN is de eigenschap voldaan als voor een willekeurige x ∈ U
geldt:
x ∈ aprN (aprN (A)) ⇒ x ∈ aprN (A), of ook
N (x) ∩ aprN (A) 6= ∅ ⇒ N (x) ∩ A 6= ∅.
(3.2)
(3.3)
Dit is niet altijd voldaan en we zien dus dat de gegenereerde relatie uit Stelling 2.4.3
niet steeds transitief is. We bekijken de omgevingsoperatoren N1 , N2 , N3 en N4 nu
apart. Als we N2 en N4 beschouwen vinden we een tegenvoorbeeld:
Voorbeeld 3.2.4. We gebruiken opnieuw de covering C uit Voorbeeld 3.2.3, namelijk C = {6, 12, 345, 234, 3456, 12345} van U = 123456. We hernemen Tabel 3.3 en
kiezen deze keer de omgevingsoperator N2 . We zien dat aprN2 (1) = 12 en krijgen
dan dat
aprN2 (aprN2 (1)) = aprN2 (12) = 1234,
waardoor ook
1234 = aprN2 (aprN2 (1)) 6⊆ aprN2 (1) = 12 geldt.
Dezelfde covering C geeft eveneens een tegenvoorbeeld dat geldt voor de omgevingsoperator N4 . We zien namelijk dat aprN4 (aprN4 (2)) = 123456 6⊆ 12345 = aprN4 (2).
Voor N1 en N3 zullen we de geldigheid van de beschouwde eigenschap aantonen.
We nemen aprN1 en zoals vermeld is het voldoende om de implicatie (3.5) te bewijzen
voor N1 . Het eerste lid van deze implicatie wijst ons op het bestaan van een y ∈ U
waarvoor geldt dat:
y ∈ N1 (x) en N1 (y) ∩ A 6= ∅.
Door Propositie 2.1.9 volgt hieruit dat N1 (y) ⊆ N1 (x), waardoor we ook kunnen besluiten dat N1 (x) ∩ A 6= ∅. De implicatie is hiermee bewezen voor N1 ; de redenering
voor N3 is volledig analoog.
2. We onderzoeken dezelfde eigenschap voor de benaderingsoperatoren van de vorm
apr00C . Ook dit is niet algemeen te bewijzen, waardoor het voor de benaderingsoperatoren uit 9, 10 en 11 apart zullen onderzoeken.
Voor de benaderingsoperatoren 9 en 11 vinden we een tegenvoorbeeld:
Voorbeeld 3.2.5. We gebruiken opnieuw de covering uit Voorbeeld 3.2.3 en leiden
af dat C1 = {6, 12, 234, 345}. We kiezen A = 2 en krijgen:
apr00C1 (apr00C1 (2)) = apr00C1 (1234) = 12345 6⊆ apr00C1 (2) = 1234.
57
Voorbeeld 3.2.6. Voor C4 gebruiken we de covering C = {1, 2, 23, 14, 34} van
U = 1234. De afgeleide covering C4 wordt dan bepaald door de verzameling
{14, 23, 134, 234}. Indien we A = 2 kiezen, stellen we vast dat:
apr00C4 (apr00C4 (2)) = apr00C4 (234) = 1234 6⊆ apr00C1 (2) = 234,
waarmee we aangetoond hebben dat de beschouwde eigenschap niet algemeen geldt
voor de benaderingsoperator apr00C4 .
Voor de covering C3 zullen we de eigenschap aantonen.
Voor een willekeurige A ⊆ U en x ∈ U is de eigenschap apr00C3 (apr00C3 (A)) ⊆ apr00C3 (A)
equivalent met de implicatie
[
[
x ∈ {K ∈ C3 : K ∩ apr00C3 (A) 6= ∅} ⇒ x ∈ {K ∈ C3 : K ∩ A 6= ∅}.
We veronderstellen het eerste lid van de implicatie en zien dat de volgende uitdrukking:
[
∃K ∈ C3 : x ∈ K en ∃y ∈ U : y ∈ K en y ∈ {K ∈ C3 : K ∩ A 6= ∅} (3.4)
hiermee equivalent is. Het is voldoende om aan te tonen deze uitdrukking impliceert
dat
∃K 0 ∈ C3 : x ∈ K 0 en K 0 ∩ A 6= ∅.
(3.5)
Bij veronderstelling (zie (3.4)) geldt dat ∃K 00 ∈ C3 : y ∈ K 00 en K 00 ∩ A 6= ∅.
Vermits de covering C3 representatief is, volgt uit y ∈ K 00 dat voor alle L ∈ C3 met
y ∈ L geldt dat K 00 ⊆ L. Dit geldt meer specifiek voor L = K. Aangezien K 00 een
niet-ledige doorsnede heeft met A, hebben we nu ook dat K ∩ A 6= ∅ waarmee we
bewezen hebben dat er een K 0 bestaat zoals in (3.5), namelijk K.
Uit de bovenstaande beschouwing concluderen we dat de benaderingsoperatoren 1, 3 en
10 equivalent zijn met benaderingsoperatoren gebaseerd op een transitieve relatie. Voor
de andere met nummers 2, 4, 9 en 11 vonden we een tegenvoorbeeld.
Euclidisch
Tenslotte beschouwen we voor een A ⊆ U de eigenschap apr(apr(A)) ⊆ apr(A).
1. Het onderzoek naar deze eigenschap voor een algemeen paar (aprN , aprN ) is gelijkaardig als dat voor Eigenschap 3. Analoog aan de redenering voor de transitiviteit,
kunnen we stellen dat voor een N ∈ {N1 , N2 , N3 , N4 } de eigenschap voldaan is,
indien:
N (x) ∩ aprN (A) 6= ∅ ⇒ N (x) ⊆ A.
We zien opnieuw dat dit niet algemeen kan bewezen worden en bevestigen dit met
tegenvoorbeelden:
58
Voorbeeld 3.2.7. We nemen terug de covering C = {6, 12, 345, 234, 3456, 12345}
en gebruiken ook de tabel gegeven in Voorbeeld 3.2.3. Als we N1 nemen en A = 2,
zien we dat:
aprN1 (aprN (2)) = aprN1 (2) = 12 6⊆ aprN (2) = 2.
1
1
Voor N2 vinden we op dezelfde manier een tegenvoorbeeld met A = 12, ook voor
N3 geldt de eigenschap niet indien we bijvoorbeeld A = 345 kiezen. Tenslotte kan
ook een tegenvoorbeeld bekomen worden voor N4 met A = 12345.
We hebben hiermee aangetoond dat de beschouwde eigenschap niet geldt voor de
paren van benaderingsoperatoren met nummers 1, 2, 3 en 4.
2. Ook voor elk van de benaderingsoperatoren 9, 10 en 11 tonen we aan dat de gegeven
eigenschap niet voldaan is. We geven eerst tegenvoorbeelden voor de benaderingsoperatoren gebaseerd op C1 en C4 .
Voorbeeld 3.2.8. We gebruiken de covering uit Voorbeeld 3.2.6, namelijk
C = {1, 2, 23, 34, 14} van de ruimte U = 1234.
We vinden dat C1 = C = {1, 2, 23, 34, 14}. Het tegenvoorbeeld vinden we voor
A = 134. De onderbenadering wordt dan:
apr00C (134) = co(apr00C1 (co 134)) = co(apr00C1 (2)) = co 23 = 14.
1
Hierdoor zien we dat door apr00C1 (14) = 134 geldt dat apr00C1 (apr00C (134)) 6⊆ 14.
1
De afgeleide covering C4 wordt gegeven door {14, 23, 134, 234} en vermits
apr00C4 (apr00C (134)) = 134 6⊆ 1 = apr00C , hebben we een tegenvoorbeeld gevonden.
4
4
Ook voor C3 vinden we een tegenvoorbeeld:
Voorbeeld 3.2.9. Voor de covering C = {14, 234} van U = 1234, is
C3 = {4, 14, 234} en we berekenen dat apr00C3 (apr00C (134)) = 14 6⊆ 1 = apr00C .
3
3
We concluderen dat geen van de beschouwde groepen benaderingsoperatoren equivalent
is met benaderingsoperatoren gebaseerd op euclidische relaties.
We vatten de gevonden resultaten samen in onderstaande tabel:
59
nummer
1
2
3
4
9
10
11
paar
reflexief symmetrisch transitief euclidisch
(aprN , aprN1 )
3
7
3
7
1
0
0
(aprC , aprC3 )
3
(aprN , aprN2 )
3
7
7
7
2
(aprN , aprN3 )
3
7
3
7
3
(aprN , aprN4 )
3
7
7
7
4
00
00
(aprC , aprC )
(apr00C , apr00C2 )
2
(apr00C , apr00C∩ )
∩
(apr00C , apr00C1 )
3
3
7
7
1
00
00
(aprC , aprC3 )
3
3
3
7
3
00
00
(aprC , aprC4 )
3
3
7
7
4
Tabel 3.3: Eigenschappen van relaties en de gegenereerde benaderingsoperatoren
Opmerkelijk is dat alle benaderingsoperatoren equivalent zijn aan benaderingsoperatoren gebaseerd op reflexieve relaties, maar geen enkele ge¨ınduceerde relatie euclidisch is.
Verder besluiten we dat benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren geen
symmetrische relaties genereren, in tegenstelling tot de benaderingsoperatoren gebaseerd
op coverings. In het bijzonder is het paar (apr00C , apr00C3 ) equivalent aan een paar benade3
ringsoperatoren gebaseerd op een equivalentierelatie. Met andere woorden, dit paar geeft
dezelfde benaderingen als de pawlakbenaderingsoperatoren.
3.2.2
De methode van Zhu: ge¨ınduceerde coverings en relaties
We weten dat benaderingsoperatoren gebaseerd op relaties een speciaal geval zijn van
benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren, omdat elke voor- en naverzameling ook een omgevingsoperator is. We zullen dit gebruiken om de verbanden te
onderzoeken tussen benaderingsoperatoren gebaseerd op coverings en deze gebaseerd op
binaire relaties. Hiervoor moet op zoek gegaan worden naar een covering die ge¨ınduceeerd
wordt door een bepaalde relatie en omgekeerd.
Eerst en vooral zullen we een relatie defini¨eren aan de hand van een bepaalde covering.
Zoals gezegd zullen hiervoor omgevingsoperatoren gebruikt worden en meer specifiek de
omgevingsoperator N1 . We hernemen de definitie van N1 = ∩{K : K ∈ md(C, x)} en
we zien onmiddellijk dat deze omgevingsoperator rechtstreeks verband houdt met een
covering C. Hiermee rekening houdend kunnen we het verband tussen een ge¨ınduceerde
relatie en een covering als volgt stipuleren voor een x, y ∈ U :
y ∈ xRC ⇔ y ∈ N1 (x).
(3.6)
Hierbij hebben we de relatie die ge¨ınduceerd wordt door een gegeven covering C, genoteerd met RC . Dit verband werd voor het eerst ge¨ıntroduceerd door Xu en Wang [50]
60
en later hernomen door onder andere Zhu [69]. Wij zullen ons baseren op de resultaten
van deze laatste en spreken daardoor over de methode van Zhu [69]. Het is wel zo dat
de ge¨ınduceerde relatie niet noodzakelijk bepaald wordt door een unieke covering. Twee
verschillende coverings kunnen dezelfde relatie genereren.
Omgekeerd, kunnen we coverings construeren uit een gegeven relatie R. Een mogelijke
covering van een verzameling U noteren we met CR en we defini¨eren deze als volgt:
CR = {xR : x ∈ U }.
(3.7)
Uit de volgende propositie blijkt echter dat de gegeven relatie R aan een bijkomstige
voorwaarde moet voldoen alvorens CR een covering van U is.
Propositie 3.2.10. [69] Neem R een binaire relatie op U . De verzameling {xR : x ∈ U }
is een covering van U als en slechts als R invers serieel is.
Het is interessant te weten welke relaties ge¨ınduceerd worden door de verschillende coverings C1 , C2 , C3 , C4 en C∩ die we eerder al introduceerden. Uit het onderzoek van
de eigenschappen die de relatie ge¨ınduceerd door deze coverings bevatten, volgt dat deze
eigenschappen echter onafhankelijk zijn van de gebruikte covering. Dit brengt ons bij het
resultaat van Zhu [69] dat beschrijft welke eigenschappen relaties hebben die ge¨ınduceerd
zijn door een covering C volgens de hierboven beschreven methode.
Stelling 3.2.11. [69] De relatie RC ge¨ınduceerd door een covering C van U volgens
Equivalentie (3.6) is reflexief, serieel en transitief.
Bewijs. Dat de relatie RC reflexief is volgt meteen uit x ∈ N1 (x) voor een x ∈ U .
Voor de transitiviteit nemen we x, y ∈ U zodat y ∈ xRC of met andere woorden
y ∈ ∩ md(C, x). Hierdoor is ∀K ∈ md(C, x) : y ∈ K en er bestaat een K 0 ∈ md(C, y) met
K 0 ⊆ K. We leiden af dat ∀K ∈ md(C, x) : ∩ md(C, y) ⊆ K 0 ⊆ K. Hiermee kunnen we
besluiten dat ∩ md(C, y) ⊆ ∩ md(C, x) en bijgevolg yRC ⊆ xRC .
Om te weten welke eigenschappen de ge¨ınduceerde covering CR heeft, geven we de volgende stelling. Deze veronderstelt een reflexieve en transitieve relatie R.
Stelling 3.2.12. [69] Als R een reflexieve en transitieve relatie op U is, dan is CR een
unaire, unie-irreducibele, representatieve en exacte covering van U .
Bewijs. Omdat R reflexief is, geldt voor alle x ∈ U dat x ∈ xR. Door de transitiviteit
geldt voor alle yR uit CR : x ∈ yR ⇒ xR ⊆ yR. Hiermee hebben we bewezen dat ∀x ∈ U :
md(CR , x) = {xR} en bijgevolg is CR unair.
Stel dat CR unie-reducibel is. Uit het voorgaande leiden we dan af dat er zonder verlies
van algemeenheid x1 , ..., xn bestaan waarvoor xR = x1 R ∪ ... ∪ xn R. Voor elke xi
met i = 1, ..., n moet dan xi R ⊂ xR. Er bestaat een i waarvoor x ∈ xi R en door de
transitiviteit moet hieruit volgen dat xR ⊆ xi R. Dit levert een tegenstrijdigheid op,
waardoor we hebben aangetoond dat CR unie-irreducibel is. Wegens Stelling 1.3.10 is CR
eveneens representatief en bovendien volgt dan uit Stelling 1.3.8 dat de covering CR exact
is.
61
Wanneer we bijkomstig veronderstellen dat R ook symmetrisch is, geldt het volgende:
Stelling 3.2.13. [69] Als R een equivalentierelatie is op U , dan is CR een partitie van
U.
Om verbanden te vinden tussen benaderingsoperatoren gebaseerd op coverings en relaties, zullen we onderzoeken welke benaderingsoperatoren door de ge¨ınduceerde coverings
en relaties gegenereerd worden en welke verbanden er tussen bestaan.
Het is belangrijk om op te merken dat de relatie R en de ge¨ınduceerde covering CR
niet noodzakelijk dezelfde benaderingen zullen genereren. Bij de ge¨ınduceerde relatie RC
daarentegen, kunnen we voor het paar (aprN , aprN1 ) waarbij N1 gebaseerd is op C, aflei1
den dat het dezelfde benaderingen geeft als het paar (aprR , aprRC ). We formuleren dit
C
in de volgende stelling:
Stelling 3.2.14. Neem een covering C van U en beschouw de ge¨ınduceerde relatie RC . Het
paar benaderingsoperatoren (aprR , aprRC ) is gelijk aan het paar (aprN , aprN1 ) waarbij N1
1
C
gedefinieerd is aan de hand van de covering C.
Bewijs. Indien we de onderbenaderingen bekijken voor een willekeurige A ⊆ U , zien we
door de definitie van RC uit Equivalentie 3.6 dat:
aprR (A) = {x ∈ U : xRC ⊆ A}
C
= {x ∈ U : N1 (x) ⊆ A}
= aprN (A).
1
Voor de bovenbenadering van A geldt een analoge redenering.
Voor de ge¨ınduceerde covering CR merkten we reeds op dat niet noodzakelijk dezelfde
benaderingsoperatoren gegenereerd zouden worden als door R. We zien wel dat dit geldt
wanneer we extra condities op R leggen.
Stelling 3.2.15. [69] Als R een reflexieve en transitieve relatie op U is, dan genereert
R dezelfde benaderingen als het paar (aprN , aprN1 ) gebaseerd op de covering CR .
1
De volgende stellingen geven resultaten over de uniciteit van het paar benaderingsoperatoren (aprN , aprN1 ) gebaseerd op ge¨ınduceerde coverings.
1
Stelling 3.2.16. [69] Als C een covering van U is, dan is CRC = {N1 (x) : x ∈ U }
waarbij N1 op C gebaseerd is. De coverings CRC en C genereren dezelfde onder- en
bovenbenaderingen aprN en aprN1 .
1
Bewijs. Dat de covering CRC = {N1 (x) : x ∈ U } volgt onmiddellijk uit de definities van
RC en CR .
Door Stelling 3.2.11 en 3.2.15 genereert RC het paar benaderingsoperatoren (aprN , aprN1 )
1
gebaseerd op CRC . Ook geldt door Stelling 3.2.14 dat RC het paar (aprN , aprN1 ) voort1
brengt gebaseerd op C. We concluderen dat CRC en C hetzelfde paar benaderingsoperatoren genereren.
62
Voor het volgende wordt er verondersteld dat de covering C van U unair en unie-irreducibel
is.
Stelling 3.2.17. [69] Neem twee coverings C en C0 van U die unair en unie-irreducibel
zijn, dan is CRC = C en als C en C0 dezelfde (aprN , aprN1 ) genereren, dan is C = C0 .
1
3.2.3
Vergelijkende studie van de methode van Yao en Zhu
Om dit hoofdstuk te eindigen, zullen we tonen dat het mogelijk is om de methode van
Zhu [69], uit Subsectie 3.2.2 en de Stelling van Yao [53] die we toepasten in Subsectie
3.2.1 met elkaar in overeenstemming te brengen.
In Subsectie 3.2.1 hebben we de stelling van Yao toegepast om te zien welke relaties
de verschillende benaderingsoperatoren genereerden. Op die manier kunnen benaderingsoperatoren gebaseerd op relaties en andere klassen van benaderingsoperatoren met elkaar
in verband worden gebracht. Dit is wat Zhu ook deed, zoals we besproken hebben in Subsectie 3.2.2, maar dan vanuit een andere invalshoek. Zhu induceerde relaties aan de hand
van coverings en omgekeerd om de benaderingen die deze relaties en coverings genereerden
te kunnen onderzoeken. Een ge¨ınduceerde relatie RC werd als volgt gedefinieerd:
y ∈ xRC ⇔ y ∈ N1 (x).
(3.8)
Als we volgens Stelling 2.4.3 van Yao te werk gaan en specifiek de benaderingsoperatoren
gebaseerd op N1 beschouwen, wordt de relatie R gegeven door:
y ∈ xR ⇔ x ∈ aprN1 ({y}).
(3.9)
Vermits aprN1 ({y}) = {x ∈ U : y ∈ N1 (x)}, zijn (3.8) en (3.9) equivalent. We zien dat
voor het specifieke paar benaderingsoperatoren (aprN , aprN1 ) de Stelling van Yao exact
1
dezelfde relatie geeft als de methode van Zhu. We besluiten dat de methode van Zhu kan
gezien worden als een speciaal geval van de Stelling van Yao.
We kunnen de overeenkomstigheid ook op een andere manier zien. In Stelling 3.2.11
hebben we immers bewezen dat de ge¨ınduceerde relatie RC gebaseerd op een covering
C reflexief en transitief is. Bovendien hebben we in Stelling 3.2.14 reeds geconcludeerd
dat het paar benaderingsoperatoren (aprR , aprRC ) dezelfde benaderingen oplevert als het
C
paar (aprN , aprN1 ) met N1 gebaseerd op C. Als we nu de resultaten uit Subsectie 3.2.2
1
beschouwen, stellen we vast dat we bewezen hebben dat het paar 1, (aprN , aprN1 ), na
1
toepassing van de stelling van Yao, inderdaad equivalent is aan benaderingsoperatoren
gebaseerd op een reflexieve en transitieve relatie. We concluderen dat Stelling 3.2.14
inhoudt dat de methode van Zhu een specifiek geval is van Yao’s Stelling 2.4.3.
63
Hoofdstuk 4
Vaagcoverings en T -partities
In Hoofdstuk 2 bespraken we veralgemeende benaderingsoperatoren gebaseerd op coverings. Dergelijke coverings definieerden we als een familie scherpe deelverzamelingen van
een universum die een bedekking vormen van dit universum.
Sinds 1969 defini¨eren verschillende auteurs het concept vaagcovering, waarbij gebruik gemaakt wordt van vaagverzamelingen. Er is echter geen sluitende definitie voor dit concept
(e.g. [5], [13], [29], [37]). Wij zullen in Sectie 4.1 enkele van de gehanteerde definities bespreken. Door het invoeren van het begrip vaagcovering wordt het, net zoals bij coverings,
mogelijk om ruwverzamelingen te beschouwen die gebaseerd zijn op vaagcoverings. Daarbij zullen we benaderingen beschouwen van vaagverzamelingen. Deze benaderingen worden bepaald door benaderingsoperatoren die zijn voortgebracht zijn door een vaagcovering
van het beschouwde universum. Deze benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings
zullen we in Hoofdstuk 5 bestuderen.
We verlaten de scherpe verzamelingenleer en beschouwen vanaf hier vaagverzamelingen in een eindig universum U . In de vorige hoofdstukken werkten we in de tralie
(P(U ), ⊆ ∩, ∪, co). Voor het vervolg van deze thesis zal de onderliggende structuur gegeven worden door de tralie (F(U ), ⊆ ∩, ∪, co).
4.1
Definities uit de literatuur en hun verbanden
In de literatuur komen er veel verscheidene definities van vaagcoverings en vaagpartities
voor. Wij spitsen ons toe op T -partities, maar er bestaan ook andere soorten vaagpartities, zoals de c-partities ingevoerd door Ruspini [38] (zie ook [2] en [16]). Deze vallen
echter buiten het bereik van deze masterproef. In deze sectie zullen we enkele van de
definities van vaagcoverings en T -partities aanhalen en verder onderzoeken. Ook bestuderen we de verbanden tussen deze verschillende definities om op die manier te kunnen
besluiten in welke opzichten de besproken definities al dan niet verschillen. Uiteindelijk
zullen we een definitie vastleggen voor het begrip vaagcovering waarmee we in het vervolg
van de thesis zullen verder werken.
64
4.1.1
Ruspini
Ten eerste bespreken we kort de definitie die voorgesteld werd door Ruspini [37] in 1969.
Hij was de eerste om de vaagverzamelingenleer te linken aan de begrippen partitie en
covering. Hij definieerde een vaagpartitie als volgt:
Definitie 4.1.1. [37] Een eindige familie C = {Ci ∈ F(U ) : i ∈ I} met I een indexverzameling is een vaagpartitie van U als en slechts als:
(R1) ∀i ∈ I : Ci 6= ∅,
P
(R2) ∀x ∈ U : Ci (x) = 1.
i∈I
Merk op dat de indexverzameling I eindig of oneindig kan zijn. Als I eindig, zullen wij
spreken van een eindige vaagpartitie.
De term partitie is hier echter niet ´e´enduidig gekozen vermits voor twee verzameling Ci
en Cj de doorsnede Ci ∩ Cj niet ledig moet zijn voor i 6= j (zie Definitie 1.2.3) en er
bijgevolg niet kan gesproken worden over een partitie. Ondanks de uitbreiding van deze
eigenschap naar de vaagheidstheorie door Butnariu (zie [5]) als:
[ ∀i ∈ I : Ci ∩
Cj = ∅,
(R2’)
j∈I
j6=i
bleek deze definitie niet te voldoen aan de nodige eisen. Voor deze definitie ontbreekt er
namelijk een ´e´en-´e´en verband tussen de begrippen vaagpartitie en vaagequivalentie.
Laat deze ´e´en-´e´en relatie nu net zijn waar De Baets en Mesiar in [10] naar op zoek
zijn gegaan door het gebruik van T -partities. De volgende paragraaf bespreekt hun versie
van de definitie van een T -partitie.
4.1.2
De Baets-Mesiar
Het begrip T -partitie was al eerder gedefinieerd in de literatuur aan de hand van T equivalenties (zie [8]), maar in [10] beschreven De Baets en Mesiar deze vaagpartitie op
een afhankelijke manier door eerst T -semipartities in te voeren.
Definitie 4.1.2. [10] Stel T een t-norm. Een verzameling C ⊆ F(U ) wordt een T semipartitie van het universum U genoemd als en slechts als voldaan is aan:
(BM1) ∀C ∈ C : C is modaal,
(BM2) ∀C, C 0 ∈ C : sup T (C(x), C 0 (x)) ≤ inf E T (C(x), C 0 (x)).
x∈U
x∈U
Zoals de volgende propositie aantoont, is de ongelijkheid in (BM 2) voor een T -semipartitie
steeds een gelijkheid.
65
Propositie 4.1.3. [10] Als T een t-norm is en C een T -semipartitie van een verzameling
U , dan geldt
∀C, C 0 ∈ C : sup T (C(x), C 0 (x)) = inf E T (C(x), C 0 (x)).
x∈U
x∈U
(BM2’)
Door de volgende propositie zal duidelijk worden hoe deze T -semipartitie kan uitgebreid
worden tot een T -partitie.
Propositie 4.1.4. [10] Als T een t-norm is en C een T -semipartitie van een universum
U , dan is de verzameling
k(C) = {ker C : C ∈ C}
een semipartitie van U .
We herinneren ons dat we het paarsgewijs disjunct zijn van twee vaagverzamelingen
C, C 0 ∈ F(U ) ten opzichte van een t-norm T als volgt hebben gedefinieerd in (1.9):
∀x ∈ U : T (C(x), C 0 (x)) = 0.
Hiermee kunnen we een voldoende voorwaarde vinden voor een T -semipartitie. Indien
elke twee vaagverzamelingen uit een familie C van vaagverzamelingen namelijk paarsgewijs disjunct zijn, dan is C een T -semipartitie. Merk hierbij op dat als we voor T de
minimum t-norm T M kiezen, we de intu¨ıtieve definitie van paarsgewijs disjunct bekomen
waarbij alle verzamelingen onderling een ledige doorsnede hebben.
Aan de hand van de Propositie 4.1.4, komen we tot de definitie van een T -partitie die een
sterkere voorwaarde legt op de verzameling k(C).
Definitie 4.1.5. [10] Neem een t-norm T . Een verzameling C ⊆ F(U ) van modale
vaagverzamelingen noemen we een T -partitie van U als C een T -semipartitie is, i.e., als
(BM 1) en (BM 2) gelden, en de verzameling
k(C) = {ker(C) : C ∈ C}
(BM3)
een partitie is van U .
Voor deze definitie van een T -partitie geldt er een zuiver ´e´en-´e´en verband tussen T equivalenties en T -partities. We komen hier in Subsectie 4.1.5 op terug.
De volgende subsectie behandelt de karakterisatie van het begrip T -partitie volgens Deng
et al. [13].
4.1.3
Deng et al.
Deng et al. [13] voerden een andere definitie in voor het begrip vaagcovering. Zoals we
zullen zien wordt er in [13] algemener te werk gegaan dan bij De Baets en Mesiar [10]
die zich beperkten tot vaagpartities. Deng et al. beschouwden een vaagcovering als een
verzameling vaagverzamelingen met daarop enkele voorwaarden die ons doen terugdenken
aan de definitie van Ruspini voor een vaagpartitie.
66
Definitie 4.1.6. [13] Een vaagcovering van U is een familie van vaagverzamelingen
C ⊆ F(U ) zodat voor alle C ∈ C geldt dat:
(d1) ∀C ∈ C : C 6= ∅,
(d2) ∀x ∈ U : supC(x) > 0.
C∈C
Deng et al. geven in [13] voor een linkscontinue t-norm T definities voor een T -semipartitie
en een T -partitie die equivalent zijn aan Definitie 4.1.5 van De Baets-Mesiar. Naast deze
definitie geven Deng et al. ook een andere karakterisatie voor T -partities waarbij T een
linkscontinue t-norm is.
Propositie 4.1.7. [13] Beschouw het paar (T , I T ) van een linkscontinue t-norm T en
zijn R-implicator I T . Een vaagcovering C van een verzameling U is een T -partitie van
U (volgens Definitie 4.1.5) als en slechts als voldaan is aan:
(D1) C is een T -semipartitie van U , i.e., (BM 1) en (BM 2) gelden,
(D2) ∀x ∈ U : ∃!C ∈ C : C(x) = 1, deze unieke C noteren we met [x]C ,
(D3) ∀x, y ∈ U : [x]C (y) = [y]C (x) = sup T ([x]C (z), [y]C (z)).
z∈U
In de volgende subsectie bespreken we een alternatieve karakterisatie van T -partities
die ingevoerd werd door Li et al. [29]. Daarna zullen we ook het verband tussen deze
karakterisaties nagaan.
4.1.4
Li et al.
Een derde karakterisatie van het begrip T -partitie is ingevoerd door Li et al. [29]. De
karakterisatie uit Propositie 4.1.7 vormt daarbij de basis voor hun definitie. Eerst geven
we echter de definitie van Li et al. voor een vaagcovering. Deze is verschillend van Definitie
4.1.6 van Deng et al. voor een vaagcovering.
Definitie 4.1.8. [29] Een vaagcovering van een verzameling U is een familie van vaagverzamelingen C ⊆ F(U ) waarvoor geldt dat
U = ∪ C.
C∈C
(l1)
Li et al. [29] definieerden een T -partitie voor een t-norm T aan de hand van een andere
karakterisatie dan Deng et al. die bijkomend veronderstelde dat T een linkscontinue tnorm is. We geven deze karakterisatie van Li et al. in de volgende propositie. Wij zullen
bewijzen dat deze karakterisatie equivalent is aan Definitie 4.1.5. Aangezien de karakterisatie van Deng et al. en de definitie van De Baets-Mesiar equivalent zijn voor linkscontinue
t-normen, is het voldoende om de karakterisatie van Li et al. met ´e´en van beide te vergelijken. Wij zullen hiervoor in het bewijs de karakterisatie van Deng et al. (Propositie
4.1.7) gebruiken en daarom ook veronderstellen dat de t-norm T linkscontinu is.
67
Propositie 4.1.9. Gegeven een linkscontinue t-norm T en een familie van vaagverzamelingen C ⊆ F(U ), dan is C een T -partitie indien voldaan is aan:
(L1) ∀C ∈ C : C is modaal,
(L2) ∀x ∈ U : ∃!C ∈ C : C(x) = 1, deze unieke C noteren we opnieuw met [x]C ,
(L3) ∀x, y ∈ U : [x]C (y) = [y]C (x) = sup T ([x]C (z), [y]C (z)).
z∈U
Alvorens dit te bewijzen, geven we eerst een lemma:
Lemma 4.1.10. Beschouw een linkscontinue t-norm T en zijn bijhorende R-implicator
I T . Als C een T -partitie volgens de karakterisatie van Li et al. (Propositie 4.1.9) is, dan
geldt voor x, y ∈ U :
[x]C (y) = [y]C (x) = sup T ([x]C (z), [y]C (z)) ⇔ [x]C (y) = [y]C (x) = inf I T ([x]C (z), [y]C (z)).
z∈U
z∈U
Bewijs. We nemen willekeurige x, y, z ∈ U en zullen gebruik maken van de notatie [x]C
voor de unieke vaagverzameling C uit C waarvoor C(x) = 1. Doordat het paar (T , I T )
aan het residu-principe voldoet en T commutatief is, geldt:
[x]C (y) ≤ I T ([x]C (z), [y]C (z)) ⇔ T ([x]C (y), [x]C (z)) ≤ [y]C (z).
(4.1)
Het eerste lid is equivalent met [x]C (y) ≤ inf I T ([x]C (z), [y]C (z)) aangezien de ongelijkheid
z∈U
geldt voor willekeurige z ∈ U . We krijgen dan:
[x]C (y) ≤ inf I T ([x]C (z), [y]C (z)) ≤ I T ([x]C (x), [y]C (x)) = I T (1, [x]C (y)) = [x]C (y),
z∈U
waarbij de laatste gelijkheid geldt doordat I T een grensimplicator is. Bijgevolg hebben
we dat het eerste lid uit (4.1) equivalent is met:
[x]C (y) = inf I T ([x]C (z), [y]C (z)).
z∈U
Verder zien we als we (L3) toepassen, dat het tweede lid equivalent is met:
T ([y]C (x), [z]C (x)) ≤ [y]C (z).
Hieruit leiden we af dat:
sup T ([y]C (x), [z]C (x)) ≤ [y]C (z)
x∈U
en aangezien T ([y]C (z), [z]C (z)) = T ([y]C (z), 1) = [y]C (z) hebben we zelfs dat:
sup T ([y]C (x), [z]C (x)) = [y]C (z).
x∈U
68
Omdat x, y en z willekeurig gekozen zijn, kunnen we dit herschrijven als:
sup T ([y]C (z), [x]C (z)) = [y]C (x).
z∈U
Door de karakterisatie van Li et al. weten we dat [x]C (y) = [y]C (x) en door het voorgaande hebben we nu aangetoond dat de equivalentie (4.1) leidt tot een equivalentie tussen [x]C (y) = inf I T ([x]C (z), [y]C (z)) en sup T ([y]C (z), [x]C (z)) = [y]C (x), wat het bewijs
z∈U
z∈U
van dit lemma vervolledigt.
Bewijs van Propositie 4.1.9. We bewijzen eerst dat de karakterisatie van een T -partitie
volgens Deng et al. (Propositie 4.1.7) de karakterisatie van een T -partitie volgens Li et
al. impliceert. Dit zien we eenvoudig doordat de voorwaarden (L2) en (L3) gelden wegens
(D2) en (D3) en de voorwaarde (L1) ge¨ımpliceerd wordt door (BM 1).
Voor de omgekeerde implicatie zullen we gebruik maken van Lemma 4.1.10. We veronderstellen dat de vaagcovering C voldoet aan (L1), (L2) en (L3). Wegens (L2) en (L3)
gelden (D2) en (D3). Om (D1) te hebben, moeten we nog (BM 1) en (BM 2) aantonen.
De voorwaarde (BM 1) geldt door (L1). We bewijzen (BM 2):
Hiervoor merken we eerst op dat C = {[x]C : x ∈ U } door (L1) en (L2), waardoor we
(BM 2) moeten aantonen voor de covering {[x]C : x ∈ U }.
We beschouwen de R-implicator gebaseerd op de linkscontinue t-norm T . Wegens de
equivalentie uit Lemma 4.1.10 geldt dat
sup T ([x]C (z), [y]C (z)) = inf I T ([x]C (z), [y]C (z)).
z∈U
z∈U
Doordat T commutatief is, geldt ook dat
sup T ([x]C (z), [y]C (z)) = inf I T ([y]C (z), [x]C (z)).
z∈U
z∈U
Dit geeft uiteindelijk:
sup T ([x]C (z), [y]C (z)) = min inf I T ([x]C (z), [y]C (z)), inf I T ([y]C (z), [x]C (z))
z∈U
z∈U
z∈U
= inf min I T [x]C (z), [y]C (z) , I T [y]C (z), [x]C (z)
z∈U
= inf E T ([x]C (z), [y]C ).
z∈U
Hiermee is (BM 2) bewezen voor een C die aan (L1), (L2) en (L3) voldoet. We hebben
hiermee aangetoond dat voor een vaagcovering C die voldoet aan de karakterisatie van een
T -partitie volgens Li et al. ook de karakterisatie van een T -partitie van Deng et al. geldt.
We besluiten dat de twee karakterisaties equivalent zijn en bijgevolg dat een C die voldoet
aan (L1), (L2) en (L3) een T -partitie is voor een linkscontinue t-norm T .
Door het voorgaande volgt samengevat dat:
Gevolg 4.1.11. Voor het paar (T , I T ) van een linkscontinue t-norm T en zijn R-implicator
I T zijn de karakterisaties van Li et al. en Deng et al. voor een T -partitie equivalent en
bijgevolg geven Li et al. in Propositie 4.1.9 een geldige karakterisatie van een T -partitie
volgens Definitie 4.1.5.
69
4.1.5
E´
enduidig verband tussen T -partities en T -equivalenties
Zoals we reeds aanhaalden, is het gewenst om voor een t-norm T een ´e´en-´e´en verband
tussen T -partities en T -equivalenties te hebben zoals dat ook bestaat voor het scherpe
geval. De volgende stelling beschrijft dit verband dat geldt voor linkscontinue t-norm T .
Stelling 4.1.12. Neem een linkscontinue t-norm T en een T -equivalentie R ∈ F(U × U ).
De verzameling CR = {[x]R : x ∈ U } is dan een T -partitie. Omgekeerd geldt ook dat voor
elke T -partitie C de relatie RC bepaald door:
∀x, y ∈ U : RC (x, y) = sup T ([x]C (z), [y]C (z))
z∈U
een T -equivalentie is op U .
Bovendien geldt voor elke T -equivalentie R en elke T -partitie C, dat R = RCR en
C = CRC .
Bewijs. Stel R een T -equivalentie. We zullen bewijzen dat CR = {[x]R : x ∈ U } aan
(L1), (L2) en (L3) voldoet en bijgevolg een T -partitie is. (L1) volgt rechtstreeks doordat
voor alle x ∈ U geldt dat [x]R (x) = R(x, x) = 1. Voorwaarde (L2) is voldaan wegens de
uniciteit van [x]R . Tenslotte geldt (L3) door de T -transitiviteit van R wegens:
∀x, y, z ∈ U : T ([x]R (z), [y]R (z)) = T ([x]R (z), [z]R (y))
≤ [x]R (y)
Veronderstel nu dat C een T -partitie is. De vaagrelatie RC is reflexief doordat
RC (x, x) = sup T ([x]C (z), [x]C (z)) ≥ T ([x]C (x), [x]C (x)) = T (1, 1) = 1.
z∈U
De symmetrie van RC geldt door de commutativiteit van T .
Voor de T -transitiviteit nemen we een x, y en z in U en we zien dat:
T RC (x, y), RC (y, z) = T ([x]C (y), [y]C (z))
= T ([x]C (y), [z]C (y))
≤ sup T ([x]C (v), [z]C (v))
v∈U
= RC (x, z),
waarbij de eerste en de tweede gelijkheid gelden door (L3).
De gelijkheden R = RCR en C = CRC volgen uit de definities.
Het verband tussen de vaagrelatie R en de covering CR kan als volgt gezien worden:
∀C ∈ CR , ∀x ∈ ker(C) : [x]R = C.
Hierin is [x]R de equivalentieklasse van x ten opzichte van R.
We merken nog op dat De Baets-Mesiar een algemene t-norm T beschouwen en aan de
hand van hun definitie ook het bestaan van een ´e´en-´e´en verband tussen T -equivalenties en
T -partities aantonen. Als we een T -semipartitie in plaats van een T -partitie beschouwen,
verkregen De Baets-Mesiar het volgende resultaat:
70
Stelling 4.1.13. [10] Voor een t-norm T is C ⊆ F(U ) een T -semipartitie als en slechts
als er een T -equivalentie R in F(U × U ) bestaat waarvoor C ⊆ {[x]R : x ∈ U }.
De volgende subsectie bespreekt welke definities gehanteerd zullen worden in het vervolg
van deze masterproef.
4.1.6
Motivatie voor de definitie van een vaagcovering
We hebben drie verschillende versies gezien van de definities voor een T -partitie en ook
verschillende definities voor het begrip vaagcovering. Voor het vervolg van deze thesis
zullen wij gebruik maken van de volgende definitie voor een vaagcovering, vermits de
voorgaande resultaten onder deze definitie blijven gelden.
Definitie 4.1.14. Een vaagcovering van een verzameling U is een familie vaagverzamelingen C ⊆ F(U ) zodat geldt:
(c1) ∀C ∈ C : C 6= ∅, en
(c2) ∀x ∈ U, ∃C ∈ C : C(x) = 1.
Bij de keuze van deze definitie hebben we ons voornamelijk gebaseerd op vaagcoverings
volgens Deng et al. uit Definitie 4.1.6. De eerste voorwaarde (c1) komt overeen met conditie (d1). De voorwaarde (d2) wordt hier vervangen door de strengere voorwaarde (c2),
omdat we willen vermijden dat voor bepaalde x ∈ U geen C ∈ C zou bestaan waarvoor
C(x) = 1. Onder (d2) zou er immers een familie {Ci : i ∈ I} ⊆ C kunnen bestaan met I
een indexverzameling, waarvoor supCi (x) = 1 voor een x ∈ U , maar ∀i ∈ I : Ci (x) < 1.
i∈I
In het geval we eindige vaagcoverings zouden beschouwen, valt deze definitie van vaagcovering samen met andere definities uit de literatuur (zie o.a. [19], [44]) en is het een
speciaal geval van Definitie 4.1.6 van Deng et al. voor een vaagcovering.
We merken het verschil op tussen deze conditie (c2) en voorwaarde (D2) uit de karakterisatie van Deng et al. of (L2) van Li et al.. Deze condities houden immers in dat alle C ∈ C
modaal zijn, terwijl dit niet meer volgt uit onze voorwaarde (c2). Wij hechten echter meer
belang aan dat elk element van het universum tot een element van de vaagcovering behoort
dan dat er voor ieder een element C van de vaagcovering een x ∈ U bestaat met C(x) = 1.
We onderzoeken nu of de karakterisatie van Deng et al. uit Propositie 4.1.7 waarbij de
definitie van vaagcovering met voorwaarden (d1) en (d2) wordt gebruikt, blijft gelden
onder Definitie 4.1.14 met de strengere voorwaarde (c2).
Stelling 4.1.15. Zij C een vaagcovering van U volgens Definitie 4.1.14 en (T , I T ) het
paar dat bestaat uit een linkscontinue t-norm en zijn R-implicator I T , dan blijft de karakterisatie van Deng et al. uit Propositie 4.1.7 gelden, i.e., C is een T -partitie als en slechts
als voldaan is aan de voorwaarden (D1), (D2) en (D3).
71
Bewijs. We stellen vast dat een vaagcovering C volgens Definitie 4.1.14 ook een vaagcovering is volgens Definitie 4.1.6 van Deng et al. die gebruikt wordt in hun karakterisatie.
Als C een T -partitie is blijven (D1), (D2) en (D3) bijgevolg gelden. Omgekeerd, geldt
voor een T -partitie C volgens Deng et al. dat (D2) voorwaarde (c2) impliceert, waardoor
C ook voldoet aan Definitie 4.1.14 van vaagcoverings.
4.2
Uitbreiding van gerelateerde begrippen naar het
vage geval
Nu we een sluitende definitie voor het begrip vaagcovering hebben afgesproken (zie Definitie 4.1.14), kunnen we naast coverings ook andere gerelateerde begrippen uitbreiden
naar de vaagverzamelingenleer. Hierbij nemen we Sectie 1.3 als leidraad en bekijken we
de daarin besproken definities in de vage setting. Merk op dat indien we een vaagcovering
C van een eindige verzameling U beschouwen, we de benaderingsruimte gebaseerd op deze
vaagcovering met (U, C) zullen noteren.
4.2.1
Complete, minimale en maximale beschrijving
Gegeven een vaagcovering C, dan defi¨eren we het vaagomgevingssysteem als volgt:
Definitie 4.2.1. Stel C een vaagcovering van U en x ∈ U . Het vaagomgevingssysteem
C(C, x) van een element x uit U wordt gegeven door:
C(C, x) = {C ∈ C : C(x) = 1}.
We zullen dit de complete beschrijving van x noemen.
Het vaagomgevingssysteem C(C, x) van een element x ∈ U is net zoals een vaagcovering
een scherpe verzameling van vaagverzamelingen. Indien C ⊆ P(U ), herleidt deze definitie
zich tot Definitie 1.3.2.
We defini¨eren de vaagverzameling Cx en de ge¨ınduceerde vaagcovering Cov(C) die steunen
op een vaagcovering C, zoals we dit in Definitie 1.3.3 gedaan hebben voor een scherpe
covering, als volgt:
Definitie 4.2.2. Zij C een vaagcovering van U en x ∈ U , dan defini¨eren we:
Cx = ∩ C(C, x) = ∩{C ∈ C : C(x) = 1},
i.e.,
∀y ∈ U : Cx (y) = inf {C(y) : C(x) = 1}.
C∈C
De ge¨ınduceerde vaagcovering Cov(C) vormt dan opnieuw de verzameling van deze vaagverzamelingen: Cov(C) = {Cx : x ∈ U }.
72
Met de definitie van een vaagomgevingssysteem, kunnen we eveneens de minimale en
maximale beschrijving van een element uitbreiden naar het vage geval. Dit doen we door
in de gekende Definities 1.3.4 en 1.3.5 de voorgaande definitie voor een vaagomgevingssysteem C(C, x) te gebruiken:
Definitie 4.2.3. Zij C een vaagcovering van U en x ∈ U , dan worden de minimale en
maximale beschrijving in het vage geval gegeven door:
md(C, x) = {C ∈ C(C, x) : (∀S ∈ C(C, x))(S ⊆ C ⇒ C = S)},
MD(C, x) = {C ∈ C(C, x) : (∀S ∈ C(C, x))(C ⊆ S ⇒ C = S)}.
4.2.2
Afgeleide coverings
Naast het omgevingssysteem en de minimale en maximale beschrijving voerden we in Definitie 1.3.11 enkele afgeleide coverings in van een gegeven covering. Voor een vaagcovering
C kunnen we op identieke wijze de vaagcoverings C1 , C2 , C3 , C4 , C∪ en C∩ defini¨eren door
gebruik te maken van de hierboven ingevoerde begrippen uit de vaagverzamelingenleer
voor C(C, x), md(C, x) en MD(C, x). Deze afgeleide vaagcoverings van een vaagcovering
C zien er analoog aan Definitie 1.3.11 als volgt uit:
• C1 = ∪{md(C, x) : x ∈ U },
• C2 = ∪{MD(C, x) : x ∈ U },
• C3 = {∩(md(C, x)) : x ∈ U },
• C4 = {∪(MD(C, x)) : x ∈ U },
• C∪ = C\ {K ∈ C : (∃C ⊆ C\{K}) (K = ∪C)},
• C∩ = C\ {K ∈ C : (∃C ⊆ C\{K}) (K = ∩C)}.
We merken op dat in Definitie 1.3.11 de coverings C3 en C4 op twee manieren gedefinieerd
kunnen worden. Neem een scherpe covering C van U ,
C3 = {∩(md(C, x)) : x ∈ U } = {∩(C(C, x)) : x ∈ U },
C4 = {∪(MD(C, x)) : x ∈ U } = {∪(C(C, x)) : x ∈ U }.
We gaan na of deze gelijkheden ook gelden in de vage setting. Voor C3 is dit voldaan
indien voor een willekeurige x ∈ U geldt dat ∩(md(C, x)) = ∩(C(C, x)).
Stelling 4.2.4. Voor een vaagcovering C van het universum U en een willekeurige x ∈ U
geldt dat
∩(md(C, x)) = ∩(C(C, x)).
73
Bewijs. We willen bewijzen dat de vaagverzameling ∩{C : C ∈ md(C, x)} gelijk is aan de
vaagverzameling ∩{C : C ∈ C(C, x)}, met andere woorden
∀y ∈ U :
min
C(y) = min C(y).
C∈md(C,x)
C∈C(C,x)
Enerzijds weten we dat md(C, x) ⊆ C(C, x), waardoor
∀y ∈ U :
min
C(y) ≥ min C(y).
C∈md(C,x)
Anderzijds zien we dat
C∈C(C,x)
min C(x) = 1 aangezien ∀C ∈ C(C, x) per definitie geldt dat
C∈C(C,x)
C(x) = 1. Hiermee zien we dat (∩{C : C ∈ C(C, x)}) (x) = 1. Ook is voldaan aan:
∀S ∈ C(C, x) : S ⊆ ∩{C : C ∈ C(C, x)} ⇒ S = ∩{C : C ∈ C(C, x)}.
Hiermee zien we dat de vaagverzameling ∩{C : C ∈ C(C, x)} aan de nodige eigenschappen
voldoet om tot de verzameling md(C, x) te behoren.
Doordat ∩{C : C ∈ C(C, x)} ∈ md(C, x), zien we onmiddellijk dat
∩{C : C ∈ md(C, x)} ⊆ ∩{C : C ∈ C(C, x)},
of anders gezegd:
∀y ∈ U :
min
C(y) ≤ min C(y).
C∈md(C,x)
C∈C(C,x)
Vermits analoog kan bewezen worden dat ∪(MD(C, x)) = ∪(C(C, x)), leiden we af dat de
definities van C3 en C4 op unieke wijze uitbreidbaar zijn in de vaagverzamelingenleer.
In Hoofdstuk 1, meer bepaald Stelling 1.3.13, zagen we eveneens dat de afgeleide coverings C1 en C∪ aan elkaar gelijk zijn. In de volgende stelling zien we dat dit eveneens
geldt voor de vage definities van C1 en C∪ , maar enkel wanneer we eindige vaagcoverings
beschouwen.
Stelling 4.2.5. Beschouw een eindige vaagcovering C van U , dan geldt dat C1 = C∪ .
Bewijs. Stel C een eindige vaagcovering van U , we zullen bewijzen dat C1 = C∪ , i.e.
∪{md(C, x) : x ∈ U } = C\{C ∈ C : (∃C0 ⊆ C\{C})(C = ∪C0 }.
Neem eerst een vaagverzameling C ∈ C1 , hiervoor geldt:
∃x ∈ U : C ∈ md(C, x).
Stel C 6∈ C∪ , dan bestaat er een eindige indexverzameling I en een vaagcovering
C0 ⊆ C\{C} waarvoor geldt:
[
C = Ci met Ci ∈ C0 .
i∈I
74
Doordat 1 = C(x) = maxCi (x), leiden we af dat er een i ∈ I bestaat waarvoor Ci (x) = 1.
i∈I
Aangezien Ci ⊂ C is C ∈
/ md(C, x), wat een tegenstrijdigheid oplevert. We kunnen besluiten dat C1 ⊆ C∪ .
Voor de omgekeerde inclusie maken we gebruik van contrapositie. We nemen een vaagverzameling C ∈ C, met C ∈
/ C1 . Voor deze C geldt dat ∀x ∈ U : C ∈
/ md(C, x). Wegens
de definitie van md(C, x) moet er dan voor elke x ∈ U gelden:
∃Cx0 ∈ C(C, x) : Cx0 ⊂ C.
Aangezien dit geldt voor alle x ∈ U , is het zeker voldaan voor alle x ∈ C. Bijgevolg geldt
er ook dat ∀y ∈ U : maxCx0 (y) ≤ C(y). Voor de omgekeerde ongelijkheid voeren we voor
x∈C
iedere x ∈ U de vaagverzameling fx in als:
∀y ∈ U : fx (y) =
C(x)
0
als y = x
als y =
6 x
Door deze definitie kunnen we de vaagverzameling C schrijven als ∪ fx . We merken op
x∈C
dat fx ⊆ Cx0 . We besluiten hieruit dat
∀y ∈ U : C(y) = maxfx (y) ≤ maxCx0 (y) ≤ C(y).
x∈C
We verkrijgen dat ∀y ∈ U :
maxCx0 (y)
x∈C
x∈C
= C(y). Met andere woorden: er bestaat een
C0 = {Cx : x ∈ U } ⊆ C\{C} met C = ∪ Cx . Hiermee hebben we aangetoond dat
x∈U
C∈
/ C∪ en bijgevolg geldt de omgekeerde inclusie C∪ ⊆ C1 .
4.2.3
Omgevingsoperatoren
Zoals een scherpe covering de omgevingsoperatoren N1 , N2 , N3 en N4 induceerde, zo
verkrijgen we uit een vaagcovering de definitie van een vaagomgevingsoperator.
Definitie 4.2.6. Algemeen wordt een vaagomgevingsoperator N gedefinieerd als de afbeelding:
N : U → F(U ).
We defini¨eren de uitbreidingen naar het vage geval van de omgevingsoperatoren N1 , N2 ,
N3 en N4 in een element x ∈ U door gebruik te maken van een vaagcovering C. Voor alle
y ∈ U geldt:
• N1 (x)(y) =
• N2 (x)(y) =
• N3 (x)(y) =
• N4 (x)(y) =
min
C(y),
C∈md(C,x)
max C(y),
C∈md(C,x)
min
C(y),
C∈MD(C,x)
max
C(y).
C∈MD(C,x)
Opmerking 4.2.7. Elk van deze vaagomgevingsoperatoren is reflexief, i.e., voor alle
x ∈ U geldt dat N (x)(x) = 1.
75
4.2.4
Sluitingssystemen
Tenslotte breiden we ook de sluitingen uit Sectie 2.3 uit naar de vaagverzamelingenleer
door middel van vaagcoverings.
Definitie 4.2.8. Een vaagsluitingssysteem S is een familie vaagverzamelingen die U bevat
en die gesloten is onder de doorsnede, i.e., indien A, B ∈ S dan zit de vaagverzameling
A ∩ B ook bevat in S.
Het duale systeem S definieerden we in het scherpe geval als S = {co A : A ∈ S}. Voor
de uitbreiding naar de vaagverzamelingenleer krijgen we:
Definitie 4.2.9. Gegeven een involutieve negator N en een vaagsluitingssysteem S dan
defini¨eren we het duale vaagsysteem S als volgt:
S = {AN : A ∈ S}.
Eveneens hebben we nood aan de specifieke definities van de uniesluiting S∪,C en de
doorsnedesluiting S∩,C in het vage geval. Voor de unie en de doorsnede zullen we gebruik
maken van Zadeh’s unie en doorsnede voor vaagverzamelingen uit Definitie 1.4.3. Neem
een vaagcovering C, voor de vaaguniesluiting noteren we dan net zoals in het scherpe
geval met S∪,C . Het is de minimale deelverzameling in F(U ) waarvoor geldt:
∅, U, C ∈ S∪,C en ∀A, B ∈ S∪,C : A ∪ B ∈ S∪,C .
(4.2)
De vaagdoorsnedesluiting S∩,C wordt analoog gedefinieerd:
∅, U, C ∈ S∩,C en ∀A, B ∈ S∩,C : A ∩ B ∈ S∩,C .
76
(4.3)
Hoofdstuk 5
Vaagruwverzamelingen gebaseerd op
vaagcoverings
Ruw- en vaagverzamelingen werden voor het eerst gecombineerd in 1990 door Dubois en
Prade [15]. Zo ontstond de term vaagruwverzameling, waarbij vaagverzamelingen benaderd worden waardoor een vage onder- en bovenbenadering bekomen wordt. Ze maakten
hiervoor gebruik van vaagrelaties, waardoor het natuurlijke, vage uitbreidingen zijn van de
ruwverzamelingen van Pawlak. Later gebruikten Radzikowska en Kerre T -equivalenties
bij het opstellen van hun paar benaderingsoperatoren voor vaagverzamelingen [33]. Aan
de hand van dit paar vaagbenaderingsoperatoren werden twee andere paren gedefinieerd
door De Cock, Cornelis en Kerre, namelijk de zwakke en strenge boven- en onderbenaderingsoperatoren [11], [7]. In de literatuur zijn vaagruwverzamelingen gebaseerd op binaire
vaagrelaties reeds veelvuldig onderzocht (zie o.a. [30], [46], [59]). Door het gebruik van
verschillende vaaglogische operatoren kan een gamma aan benaderingsoperatoren bekomen worden voor vaagruwverzamelingen.
Niet alleen vaagrelaties kunnen de basis vormen van vaagruwverzamelingen. In Hoofdstuk
2 gaven we naast de ruwverzamelingen gebaseerd op binaire relaties drie types van definities voor veralgemeende ruwverzamelingen die zich elk op een bepaalde manier baseren
op een covering. Zo kunnen ook vaagruwverzamelingen gedefinieerd worden die gebaseerd
zijn op vaagcoverings. In de literatuur zijn sinds een aantal jaren reeds enkele definities
te vinden. We verwijzen naar Sectie 5.2 voor een lijst van auteurs en zullen in die sectie
de verschillende definities bespreken. Het is belangrijk hierbij te vermelden dat de studie
van vaagruwverzamelingen gebaseerd op vaagcoverings pas tot leven kwam anno 2007.
Vermits dit relatief recent is, is het onderzoek nog in volle ontwikkeling.
Alvorens benaderingsoperatoren uit de literatuur te bestuderen, zullen we eerst zelf uitbreidingen naar het vage geval construeren voor de verschillende types van benaderingsoperatoren uit Hoofdstuk 2. In Sectie 5.1 zullen we benaderingsoperatoren defini¨eren die
gebaseerd zijn op vaagomgevingsoperatoren, daarna benaderingsoperatoren die gebaseerd
zijn op vaagcoverings en ten slotte ook benaderingsoperatoren waarvan de definitie gebruik maakt van vaagsluitingssystemen. We zullen in dit hoofdstuk enkel duale paren van
benaderingsoperatoren behandelen. Het niet-duale raamwerk van vaagbenaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings valt buiten het bereik van deze thesis.
77
We zullen de verbanden tussen de benaderingsoperatoren die we in dit hoofdstuk bespreken, onderzoeken in Hoofdstuk 6.
5.1
Uitbreiding van benaderingsoperatoren naar het
vage geval
De drie paren definities uit Hoofdstuk 2 zullen we nu stuk voor stuk beschouwen in de
vaagverzamelingenleer. Dit betekent dat we vaagverzamelingen benaderen in een eindig universum U waarbij wij specifiek gebruik zullen maken van vaagcoverings. Zoals
gezegd zullen we boven- en onderbenaderingen van vaagverzamelingen krijgen die zelf
vaagverzamelingen zijn en met andere woorden gedefinieerd worden aan de hand van hun
lidmaatschapsfunctie. Voor ieder type zullen we een uitbreiding defini¨eren en nagaan dat
wanneer we scherpe verzamelingen omgevingsoperatoren, coverings of sluitingssystemen
beschouwen opnieuw de oorspronkelijke definitie bekomen wordt. Verder hadden we in
het scherpe geval dat elke verzameling zijn onderbenadering omvat en zelf bevat zit in
zijn bovenbenadering. We zullen onderzoeken of deze eigenschap blijft gelden voor elke
definitie die we uitbreiden naar de vaagverzamelingenleer. Zo nodig zullen we extra voorwaarden leggen op de vaaglogische connectieven van deze definities opdat deze zouden
voldoen aan de gewenste inclusies. Tenslotte willen we zoals in Hoofdstuk 2 duale paren
van definities bekomen. We zullen onderzoeken of er extra condities moeten opgelegd
worden om te voldoen aan de dualiteit.
5.1.1
Benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagomgevingsoperatoren
Om te beginnen bespreken we de vage uitbreiding van benaderingsoperatoren gebaseerd op
omgevingsoperatoren. De definitie van omgevingsoperatoren in de vaagverzamelingenleer,
de zogenaamde vaagomgevingsoperatoren, gaven we reeds in Definitie 4.2.6. Zoals we in
het scherpe geval de formules (2.1) en (2.2) uit Definitie 2.1.2 hadden, defini¨eren we nu
de benaderingsoperatoren voor omgevingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings.
Definitie 5.1.1. Neem een A ∈ F(U ), een implicator I, een t-norm T en een vaagomgevingsoperator N . De onderbenadering aprN (A) en de bovenbenadering aprN (A) van A
gebaseerd op N zijn gedefinieerd als volgt, voor x ∈ U :
(aprN (A))(x) = inf I N (x)(y), A(y) ,
(5.1)
y∈U
(aprN (A)(x)) = sup T N (x)(y), A(y) .
(5.2)
y∈U
Deze definities zijn uitbreidingen in het vage geval van de operatoren in Definitie 2.1.2,
dat wil zeggen, indien we scherpe verzamelingen en een scherpe omgevingsoperator N
beschouwen, herleiden deze definities zich tot de definities voor het scherpe geval. We
tonen dit aan in volgende propositie:
78
Propositie 5.1.2. Neem een scherpe omgevingsoperator N een een scherpe verzameling
A ⊆ U . De vaagbenaderingsoperatoren (5.1) en (5.2) herleiden zich dan respectievelijk
tot de benaderingsoperatoren (2.1) en (2.2).
Bewijs. Neem A en N scherp, dan geldt voor een x ∈ U :
x ∈ aprN (A) ⇔ (aprN (A))(x) = 1
⇔ ∀y ∈ U : I N (x)(y), A(y) = 1
⇔ ∀y ∈ U : N (x)(y) = 1 ⇒ A(y) = 1
⇔ ∀y ∈ U : y ∈ N (x) ⇒ y ∈ A
⇔ N (x) ⊆ A
en
x ∈ aprN (A) ⇔ (aprN (A))(x) = 1
⇔ ∃y ∈ U : T N (x)(y), A(y) = 1
⇔ ∃y ∈ U : N (x)(y) = 1 en A(y) = 1
⇔ ∃y ∈ U : y ∈ N (x) en y ∈ A
⇔ N (x) ∩ A 6= ∅.
We zien inderdaad dat Definitie 2.1.2 bekomen wordt.
We gaan na of de inclusies aprN (A) ⊆ A en A ⊆ aprN (A) nog steeds gelden. De volgende
propositie geeft aan welke voorwaarde hiervoor voldaan moet zijn:
Propositie 5.1.3. Neem een t-norm T , een grensimplicator I en een A ∈ F(U ). Voor een
reflexieve vaagomgevingsoperator N is dan voldaan aan aprN (A) ⊆ A en A ⊆ aprN (A).
Bewijs. Neem A ∈ F(U ) en x ∈ U . We gebruiken dat I een grensimplicator is en dat
N (x)(x) = 1 en krijgen dat:
(aprN (A))(x) = inf I(N (x)(y), A(y))
y∈U
≤ I(N (x)(x), A(x))
= I(1, A(x))
= A(x).
Met andere woorden, aprN (A) ⊆ A.
Anderzijds zien we ook dat:
(aprN (A))(x) = sup T (N (x)(y), A(y)) ≥ T (N (x)(x), A(x)) = A(x).
y∈U
79
We merkten reeds eerder op dat N1 , N2 , N3 en N4 allen reflexief zijn en bijgevolg is de
propositie voldaan voor deze vaagomgevingsoperatoren.
Om in de vaagverzamelingenleer de duale te beschouwen van een benaderingsoperator,
gebruiken we een involutieve negator N en het N -complement van vaagverzamelingen
zoals gedefinieerd in Definitie 1.4.17. Dat wil zeggen, een paar (apr, apr) is duaal ten
opzichte van de negator N als en slechts als
N
N
.
∀A ∈ F(U ) : apr(A) = apr A
Het paar (aprN , aprN ) kan in twee gevallen duaal zijn. De volgende proposities bepalen
welke voorwaarden voldaan moeten zijn.
Propositie 5.1.4. Als we het paar (T , I T ) van een IMTL-t-norm T en zijn R-implicator
I T samen met de involutieve negator ge¨ınduceerd door deze implicator N I T beschouwen,
dan is voor een vaagomgevingsoperator N het paar (aprN , aprN ) duaal ten opzichte van
N IT .
Bewijs. Zij T een IMTL-t-norm, N = N I T , A ∈ F(U ) en x ∈ U , dan geldt:
N
aprN (AN ) (x) = N sup T N (x)(y), N (A(y))
y∈U
= inf N T N (x)(y), N (A(y))
y∈U
= inf I T N (x)(y), N N (A(y))
y∈U
= inf I T N (x)(y), A(y) ,
y∈U
waarbij we zien dat tweede gelijkheid geldt doordat N involutief en dus continu is en
de derde gelijkheid door Propositie 1.4.26. De gelijkheid (aprN (AN ))N = aprN (A) kan
analoog aangetoond worden onder dezelfde voorwaarden.
Propositie 5.1.5. Beschouw het paar (T , I S,N ) van een t-norm T en de S-implicator
I S,N waarbij N een involutieve negator is en S de N -duale t-conorm is van T . Het paar
(aprN , aprN ) met N een vaagomgevingsoperator is dan duaal ten opzichte van N .
Bewijs. Zij A ∈ F(U ) en x ∈ U , dan geldt onder de voorwaarden van de propositie dat:
N
aprN (AN ) (x) = N sup T N (x)(y), N (A(y))
y∈U
= inf N T N (x)(y), N (A(y))
y∈U
= inf S N N (x)(y) , A(y)
y∈U
= inf I S,N N (x)(y), A(y) ,
y∈U
waarbij de tweede gelijkheid kan verklaard worden doordat N involutief en bijgevolg
continu is.
80
5.1.2
Benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings
We zullen de duale granulegebaseerde definities van benaderingsoperatoren uit Definitie
2.2.1 uitbreiden door vaagcoverings te gebruiken. We zullen eerst het paar (apr0C , apr0C )
uit (2.3) en (2.4) bekijken in het vage geval.
Definitie 5.1.6. Neem A ∈ F(U ), N een involutieve negator en C een vaagcovering
van U , dan worden de onderbenadering apr0C (A) en de bovenbenadering apr0C (A) van A
gebaseerd op C voor een x ∈ U gegeven door:
(apr0C (A))(x) = sup{C(x) : C ⊆ A},
(5.3)
N
(apr0C (A))(x) = apr0C (AN ) (x).
(5.4)
C∈C
We zien onmiddellijk dat (5.3) en (5.4) een duaal paar van vaagbenaderingoperatoren
defini¨eren.
We kunnen eenvoudig afleiden dat dit uitbreidingen zijn naar de vaagverzamelingenleer
van het scherpe paar (apr0C , apr0C ).
Propositie 5.1.7. Neem een scherpe covering C van het universum U en een scherpe
verzameling A ⊆ U . De vaagbenaderingsoperatoren (5.3) en (5.4) herleiden zich dan
respectievelijk tot de benaderingsoperatoren (2.3) en (2.4).
Bewijs. Neem een scherpe verzameling A ⊆ U en een scherpe covering C. We krijgen
voor x ∈ U :
x ∈ apr0C (A) ⇔ (apr0C (A))(x) = 1
⇔ sup{C(x) : C ⊆ A} = 1
C∈C
⇔ ∃C ∈ C met C ⊆ A : C(x) = 1
⇔ ∃C ∈ C met C ⊆ A : x ∈ C
⇔ x ∈ ∪{C ∈ C : C ⊆ A},
wat de definitie van de scherpe benaderingsoperator apr0C (A) oplevert. De bovenbenaderingsoperator is zoals in het scherpe geval bepaald door de duale van apr0C , waardoor
we kunnen concluderen dat we een uitbreiding voor vaagverzamelingen van het paar
(apr0C , apr0C ) hebben gedefinieerd.
De volgende propositie toont dat er geen extra voorwaarden op C gelegd moeten worden
opdat voor alle A ∈ F(U ) de gewenste inclusies apr0C (A) ⊆ A en A ⊆ apr0C (A) gelden:
Propositie 5.1.8. Neem een vaagcovering C van U en een involutieve negator N . Voor
alle A ∈ F(U ) is voldaan aan de inclusies apr0C (A) ⊆ A en A ⊆ apr0C (A).
81
Bewijs. We zien dat:
(apr0C (A))(x) = sup{C(x) : C ⊆ A} ≤ A(x).
C∈C
Wegens dualiteit geldt ook dat voor alle x ∈ U : A(x) ≤ (apr0C (A))(x).
We breiden ook het paar (apr00C , apr00C ) uit naar de vaagverzamelingenleer.
Definitie 5.1.9. Zij N een involutieve negator, C een vaagcovering van U en A ∈ F(U ),
dan zijn de onderbenadering apr00C (A) en de bovenbenadering apr00C (A) van A voor alle
x ∈ U gegeven door:
N
(5.5)
(apr00C (A))(x) = apr00C (AN ) (x),
00
(aprC (A))(x) = sup{C(x) : (∃y ∈ U ) C(y) > N (A(y)) }.
(5.6)
C∈C
Per definitie verkrijgen we een duaal paar van vaagbenaderingsoperatoren.
In de volgende propositie tonen we aan dat dit nieuwe paar vaagbenaderingsoperatoren
uitbreidingen zijn van de scherpe definities voor (apr00C , apr00C ).
Propositie 5.1.10. Neem een scherpe covering C van U en een scherpe verzameling
A ⊆ U . De vaagbenaderingsoperatoren in (5.5) en (5.6) herleiden zich voor deze C en A
respectievelijk tot de benaderingsoperatoren (2.5) en (2.6).
Bewijs. Om dit te zien, beschouwen we een scherpe verzameling A ⊆ U en een scherpe
covering C. We krijgen voor x ∈ U :
x ∈ apr00C (A) ⇔ (apr00C (A))(x) = 1
⇔ sup{C(x) : (∃y ∈ U ) C(y) > N (A(y)) } = 1
C∈C
⇔ ∃C ∈ C met C 6⊆ co A : C(x) = 1
⇔ ∃C ∈ C met C ∩ A 6= ∅ : x ∈ C
⇔ x ∈ ∪{C ∈ C : C ∩ A 6= ∅}
en door dualiteit is apr00C een uitbreiding van (2.6) naar het vage geval. Het paar (apr00C , apr00C )
zoals in onze Definitie 5.1.9 is bijgevolg een uitbreiding naar het vage geval voor datzelfde
paar in Definitie 2.2.1.
We merken op dat de bovenbenadering apr00C zeer ruim gedefinieerd is. We zien immers
dat:
∀x ∈ U : A(x) > 0 ⇒ (apr00C (A))(x) = 1.
We beredeneren dit als volgt: neem een x ∈ U , A(x) > 0 impliceert dat N (A(x)) < 1,
vermits N involutief is. Verder bestaat er een C ∈ C waarvoor C(x) = 1. Voor deze C is
altijd voldaan aan C(x) > N (A(x)) waardoor (apr00C (A))(x) = 1.
De volgende propositie toont dat de inclusies apr00C (A) ⊆ A en A ⊆ apr00C (A) blijven
gelden in het vage geval.
82
Propositie 5.1.11. Neem een vaagcovering C van U en een involutieve negator N . Voor
alle A ∈ F(U ) zijn de inclusies apr00C (A) ⊆ A en A ⊆ apr00C (A) voldaan.
Bewijs. Neem x ∈ U en A ∈ F(U ). We zullen de ongelijkheid A(x) ≤ (apr00C (A))(x)
bewijzen. Voor het geval dat A(x) > 0 geldt de ongelijkheid doordat A(x) steeds kleiner
of gelijk is aan (apr00C (A))(x) = 1. Indien A(x) = 0 is de ongelijkheid voldaan doordat
(apr00C (A))(x) steeds groter of gelijk aan 0 is. De andere inclusie apr00C (A) ⊆ A geldt door
dualiteit.
5.1.3
Benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagsluitingssystemen
Als laatste breiden we de benaderingsoperatoren uit die gebaseerd zijn op sluitingssystemen. In Sectie 4.2 zagen we hoe deze systemen werden uitgebreid naar de vaagverzamelingenleer. Als we ons baseren op Definitie 2.3.1, dan krijgen we in het vage geval de volgende
lidmaatschapsfuncties van benaderingsoperatoren gebaseerd op sluitingen:
Definitie 5.1.12. We nemen het paar (S, S) van een vaagsluitingssysteem S en zijn duale
systeem S. Neem een vaagverzameling A ∈ F(U ), dan is aprS (A) de onderbenadering en
aprS (A) de bovenbenadering van A gebaseerd op het paar (S, S). Voor een x ∈ U worden
deze gedefinieerd als:
(aprS (A))(x) = sup{S(x) : S ⊆ A},
(5.7)
(aprS (A))(x) = inf {S(x) : A ⊆ S}.
(5.8)
S∈S
S∈S
We zien dat deze definities uitbreidingen zijn van het scherpe geval:
Propositie 5.1.13. Neem een scherp sluitingssysteem S en een scherpe verzameling
A ⊆ U . De vaagbenaderingsoperatoren (5.7) en (5.8) herleiden zich in dat geval tot
respectievelijk de benaderingsoperatoren (2.7) en (2.8).
Bewijs. Neem x ∈ U . Voor een scherpe verzameling A en een scherpe sluiting S wordt
de scherpe definitie bekomen:
x ∈ aprS (A) ⇔ (aprS (A))(x) = 1
⇔ ∃S ∈ S met S ⊆ A : x ∈ S
⇔ x ∈ ∪{S ∈ S : S ⊆ A}.
Voor aprS kunnen we op analoge wijze zien dat het zich in het scherpe geval herleidt tot de
bovenaderingsoperator in Definitie 2.3.1. Dit leert ons dat Definitie 5.1.12 uitbreidingen
oplevert van de oorspronkelijke Definitie 2.3.1 in het vage geval.
De gewenste inclusies aprS (A) ⊆ A en A ⊆ aprS (A) bespreken we in de volgende propositie.
83
Propositie 5.1.14. De vaagbenaderingsoperatoren uit Definitie 5.1.12 voldoen voor alle
A ∈ F(U ) aan de inclusies aprS (A) ⊆ A en A ⊆ aprS (A).
Bewijs. Voor elke A ∈ F(U ) en x ∈ U geldt immers dat:
(aprS (A))(x) = sup{S(x) : S ⊆ A} ≤ A(x)
S∈S
en analoog voor aprS (A).
We tonen aan dat het paar uit Definitie 5.1.12 een duaal paar benaderingsoperatoren is.
Propositie 5.1.15. Neem een involutieve negator N , een vaagsluitingssysteem S en een
A ∈ F(U ). Het paar (aprS , aprS ) volgens Definitie 5.1.12 is een duaal paar ten opzichte
van de negator N .
Bewijs. Voor A ∈ F(U ) en x ∈ U geldt:
aprS (AN )
N
(x) = N sup{S(x) : AN ⊆ S}
S∈S
= inf {N (S(x)) : AN ⊆ S}
S∈S
= inf {S(x) : AN ⊆ S N }
S∈S
= inf {S(x) : S ⊆ A}
S∈S
= (aprS (A))(x).
Hierbij werd in de derde gelijkheid toegepast dat S ∈ S ⇔ S N ∈ S en in de vierde
gelijkheid werd gebruik gemaakt van de involutiviteit van N .
Een analoge redenering geldt voor (aprS (AN ))N = aprS (A).
Na zelf de verschillende types definities van benaderingsoperatoren te hebben uitgebreid
voor vaagverzamelingen, beschouwen we nu welke definities in de literatuur al werden
onderzocht.
5.2
Vaagbenaderingsoperatoren in de literatuur
In de literatuur komen heel wat definities voor die een beschrijving geven voor vaagbenaderingsoperatoren die gebaseerd zijn op vaagrelaties (voor een overzicht zie [12]), omdat
dit een intu¨ıtieve uitbreiding is van de pawlakbenaderingsoperatoren naar het vage geval.
In deze thesis focussen we echter op vaagbenaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings. Ook hiervan bestaan reeds verschillende definities in de literatuur. We herinneren
ons uit Hoofdstuk 4 dat ook het begrip vaagcovering op verschillende manieren gedefinieerd kon worden. De vaagbenaderingsoperatoren die auteurs defini¨eren kunnen dan ook
op meerdere gebieden van elkaar verschillen. Zo kunnen ze bijvoorbeeld gebruik maken
84
van andere vaaglogische operatoren of een andere definitie van een vaagcovering.
De auteurs die als eerste vaagverzamelingen benaderden aan de hand van benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings waren Deng et al. (2007, [13]), Li et al. (2008, [29]).
Feng et al. (2012, [18]) volgden enkele jaren later. Deng et al. maken gebruik van de
covering C = {Rx : x ∈ U } voor een vaagrelatie R. Hierdoor kan hun paar vaagbenaderingsoperatoren herleid worden tot het paar van de zwakke onder- en strenge bovenbenaderingsoperator van Cornelis, De Cock en Kerre (2004, [11] en 2008, [7]). Deze
vaagbenaderingsoperatoren maken enkel gebruik van vaagrelaties en niet van vaagcoverings, waardoor we de vaagbenaderingsoperatoren van Deng et al. niet apart bespreken,
maar als een speciaal geval van de benaderingsoperatoren van Li et al. zien. Li et al. geven
definities die overeenkomstig zijn met deze van Deng et al. maar waarbij gebruik wordt
gemaakt van een willekeurige vaagcovering. Deze zullen we uitvoerig bespreken alsook de
vaagbenaderingsoperatoren ingevoerd door Feng et al. die in hun definitie de specifieke
Kleene-Dienes implicator en minimum t-norm gebruiken. Andere auteurs die vaagbenaderingsoperatoren definieerden aan de hand van vaagcoverings of die hiertoe aanleiding
gaven waren o.a. Inuiguchi et al. [23], Wu et al. [44] en Zhang [62]. In het werk van
Inuiguchi et al. en Wu et al. worden nieuwe definities voor vaagruwverzamelingen gebaseerd op vaagcoverings beschouwd. Deze zullen we dan ook opnemen in het onderzoek
van deze masterproef. Hun definities onderscheiden zich elk op hun manier van de andere
definities voor benaderingsoperatoren uit de literatuur. Inuiguchi et al. defini¨eren een
speciale operator en Wu et al. maken gebruik van niveauverzamelingen. Zhang bouwt
verder op de definities van Li et al. waardoor we zijn werk niet apart zullen behandelen.
Ook Zhu beschouwt in [66] vaagruwverzamelingen, maar in tegenstelling tot de benaderingsoperatoren die wij zullen bespreken, baseert hij zijn definities op scherpe coverings.
We vermelden nog dat Lang et al. [27] een niet-duaal paar vaagbenaderingsoperatoren invoerde waarbij de onderbenadering op dezelfde manier gedefinieerd is als apr0C in Definitie
5.1.6. Zij gebruiken echter een andere bovenbenadering die een niet-duaal paar oplevert.
Vermits wij enkel duale paren van vaagbenaderingsoperatoren beschouwen, zullen we het
voorstel van Lang et al. niet bespreken.
5.2.1
Li et al.
Li et al. [29] stelden twee duale paren van benaderingsoperatoren voor die gebaseerd zijn op
vaagcoverings uit Definitie 4.1.8. Deze definitie houdt in dat een vaagcovering een familie
vaagverzamelingen C ⊆ F(U ) is, zodat U = ∪ C. Wij hebben een vaagcovering echter
C∈C
anders vastgelegd in Definitie 4.1.14. Het is een familie vaagverzamelingen C ⊆ F(U )
waarvoor ∀C ∈ C : C 6= ∅ en ∀x ∈ U, ∃C ∈ C : C(x) = 1. We zien echter dat elke
vaagcovering volgens Definitie 4.1.14 ook een vaagcovering volgens Li et al. is. Hierdoor
blijven de definities en de eigenschappen van de vaagbenaderingsoperatoren van Li et
al. geldig in het geval een vaagcovering volgens Definitie 4.1.14.
Nadat we deze operatoren hebben ingevoerd, zullen we zien dat net zoals in de vorige
sectie beide paren uitbreidingen geven van benaderingsoperatoren die we bespraken in
Hoofdstuk 2.
85
We beginnen met het eerste paar:
Definitie 5.2.1. [29] Neem een vaagcovering C, een t-norm T en een implicator I.
Beschouw A ∈ F(U ), dan worden de onderbenadering aprC0 T ,I (A) en de bovenbenadering
aprC0 T ,I (A) van A als volgt gedefinieerd voor x ∈ U :
0 T ,I
(5.9)
(aprC (A))(x) = sup T C(x), inf I C(y), A(y) ,
y∈U
C∈C
0 T ,I
(aprC (A))(x) = inf I C(x), sup T C(y), A(y) .
(5.10)
C∈C
y∈U
Dit eerste paar van Li et al. is een vage uitbreiding van het paar (apr0C , apr0C ) met C een
covering van U uit Definitie 2.2.1, met andere woorden, in het scherpe geval geeft het paar
(apr0CT ,I , apr0CT ,I ) dezelfde benaderingen als (apr0C , apr0C ). Dit bewijzen we in onderstaande
propositie.
Propositie 5.2.2. Zij T een t-norm en I een implicator. Neem een scherpe covering C
van U en een scherpe verzameling A ⊆ U , dan herleiden (5.9) en (5.10) zich respectievelijk
tot de benaderingsoperatoren (2.5) en (2.6).
Bewijs. Neem een scherpe covering C en een verzameling A ⊆ U . Voor x ∈ U geldt:
x ∈ apr0CT ,I (A) ⇔ (apr0CT ,I (A))(x) = 1
⇔ ∃C ∈ C : C(x) = 1 en (∀y ∈ U )(C(y) = 1 ⇒ A(y) = 1)
⇔ ∃C ∈ C : x ∈ C en C ⊆ A
⇔ x ∈ apr0C (A).
Voor de bovenbenadering zien we dit als volgt:
x ∈ apr0CT ,I (A) ⇔ (apr0CT ,I (A))(x) = 1
⇔ ∀C ∈ C : C(x) = 1 ⇒ (∃y ∈ U )(C(y) = 1 en A(y) = 1)
⇔ ∀C ∈ C : x ∈ C ⇒ C ∩ A 6= ∅
⇔ x ∈ apr0C (A).
We zien dat de uitbreiding die wij voorstelden in Definitie 5.1.6 geen unieke uitbreiding
is. In Hoofdstuk 6 zullen we onderzoeken hoe deze verschillende uitbreidingen zich tot
elkaar verhouden.
De dualiteit van het eerste paar benaderingsoperatoren van Li et al. wordt besproken
in de volgende propositie:
Propositie 5.2.3. [29] [33] Zij C een vaagcovering van U , T een t-norm, N een involutieve negator en I de S-implicator gebaseerd op de N -duale t-conorm van T , dan is het
paar (apr0CT ,I , apr0CT ,I ) een duaal paar.
86
Bewijs. We beschouwen de N -duale t-conorm S van T en I = I S,N . Voor alle x ∈ U en
A ∈ F(U ) geldt dan:
N
N
0 T ,I
aprC (A ) (x) = N sup T C(x), inf I C(y), N (A(y))
y∈U
C∈C
= inf N T C(x), inf I C(y), N (A(y))
y∈U
C∈C
= inf N T C(x), inf S N (C(y)), N (A(y))
y∈U
C∈C
= inf N T C(x), inf N T C(y), A(y)
y∈U
C∈C
= inf S N (C(x)), N inf N T (C(y), A(y))
y∈U
C∈C
= inf S N (C(x)), sup N N T (C(y), A(y))
C∈C
y∈U
= inf I C(x), sup T C(y), A(y)
C∈C
=
y∈U
(apr0CT ,I (A))(x),
waarbij gebruik gemaakt wordt van de definities van S en I S,N alsook van de involuti0 T ,I
0 T ,I
viteit van N . We concluderen dat het paar (aprC S,N , aprC S,N ) onder de gemaakte
veronderstellingen voor T en I duaal is ten opzichte van N .
Er bestaan echter nog andere keuzes voor T , I en N waarvoor (apr0CT ,I , apr0CT ,I ) een duaal
paar is:
Propositie 5.2.4. Neem C een vaagcovering van U , T een IMTL-t-norm, zijn R-implicator
I T en de ge¨ınduceerde negator N I T , dan is het paar (apr0CT ,I T , apr0CT ,I T ) een duaal paar
ten opzichte van N I T .
Bewijs. We nemen een IMTL-t-norm T , zijn R-implicator I T en we stellen N = N I T .
Voor alle x ∈ U en A ∈ F(U ) geldt dan:
N
0 T ,I T
N
aprC
(A ) (x) = N sup T C(x), inf I T C(y), N (A(y))
y∈U
C∈C
= inf N T C(x), inf I T C(y), N (A(y))
y∈U
C∈C
= inf I T C(x), N inf I T C(y), N (A(y))
y∈U
C∈C
= inf I T C(x), sup N I T C(y), N (A(y))
C∈C
y∈U
= inf I T C(x), sup N N T (C(y), A(y))
C∈C
y∈U
87
apr0CT ,I T
N
(A )
N
(x) = inf I T
C∈C
=
C(x), sup T C(y), A(y)
y∈U
(apr0CT ,I (A))(x),
waarbij in de derde en vijfde gelijkheid gebruik wordt gemaakt van Propositie 1.4.26. We
besluiten dat het paar (apr0CT ,I T , apr0CT ,I T ) onder de gemaakte veronderstellingen duaal is
ten opzichte van N I T .
De inclusies apr0CT ,I (A) ⊆ A en A ⊆ apr0CT ,I (A) gelden onder strengere voorwaarden dan
de proposities over dualiteit.
Propositie 5.2.5. [29] Neem een linkscontinue t-norm T , de R-implicator I T en een
vaagcovering C van U . De vaagbenaderingsoperatoren (apr0CT ,I T , apr0CT ,I T ) voldoen voor
een willekeurige A ∈ F(U ) aan de inclusies apr0CT ,I T (A) ⊆ A en A ⊆ apr0CT ,I T (A).
Bewijs. Neem een x ∈ U . We zien dat:
(apr0CT ,I T
(A))(x) = sup T C(x), inf I T C(y), A(y)
y∈U
C∈C
≤ sup T C(x), I T C(x), A(x)
C∈C
≤ A(x),
waarbij de laatste ongelijkheid verklaard wordt door Propositie 1.4.26. De andere inclusie
kunnen we analoog aantonen.
We merken op dat Li et al. deze propositie zelf aantoonden maar niet veronderstellen dat
de gebruikte implicator de R-implicator I T geassocieerd aan de t-norm T moet zijn om
gebruik te kunnen maken van de eigenschap die wordt toegepast in het bewijs.
We geven het volgende tegenvoorbeeld om aan te tonen dat de inclusies uit Propositie 5.2.5 niet gelden onder dezelfde voorwaarden als voor dualiteit. Het tegenvoorbeeld
gebruikt een t-norm T , een negator N en de implicator I S,N met S de N -duale t-conorm
van T .
Voorbeeld 5.2.6. Beschouw U = {x, y}, A(x) = 0, A(y) = 1 en C = {C1 , C2 } met:
C1 (x) = 1, C1 (y) = 0.5,
C2 (x) = 0.5, C2 (y) = 1.
Neem T = T M en N = N S . De N S -duale t-conorm van T M is SM en zo krijgen we
I S,N = I KD . We berekenen dat (apr0CT M ,I KD (A))(x) = 0.5 en (aprC0 T M ,I KD (A))(y) = 0.5.
Hieruit leiden we af dat:
(apr0CT M ,I KD (A))(x) = 0.5 > A(x) = 0,
(apr0CT M ,I KD (A))(y) = 0.5 < A(y) = 1,
waarmee we de inclusies apr0CT M ,I KD (A) ⊆ A en A ⊆ aprC0 T M ,I KD (A) hebben weerlegd.
88
Li et al. definieerden hun tweede paar vaagbenaderingsoperatoren als volgt:
Definitie 5.2.7. [29] Neem een vaagcovering C, een t-norm T en een implicator I. Voor
een A ∈ F(U ) en een x ∈ U worden de onderbenadering aprC00 T ,I (A) en de bovenbenadering apr00CT ,I (A) van A bepaald door:
00 T ,I
(5.11)
(aprC (A))(x) = inf I C(x), inf I C(y), A(y) ,
y∈U
C∈C
00 T ,I
(aprC (A))(x) = sup T C(x), sup T C(y), A(y) .
(5.12)
y∈U
C∈C
Naast de uitbreidingen van Definitie 5.1.9 geeft ook dit tweede paar van Li et al. uitbreidingen naar de vaagverzamelingenleer van het paar benaderingsoperatoren (apr00C , apr00C )
uit Definitie 2.2.1.
Propositie 5.2.8. Zij T een t-norm, I een implicator, C een scherpe covering van U en
A ⊆ U een scherpe verzameling, dan herleiden (5.11) en (5.12) zich respectievelijk tot de
benaderingsoperatoren (2.5) en (2.6).
Bewijs. Analoog aan het bewijs van Propositie 5.2.2.
We bespreken de dualiteit van dit paar in de volgende twee proposities:
Propositie 5.2.9. [29] Zij C een vaagcovering, T een t-norm, N een involutieve negator en I de S-implicator gebaseerd op de N -duale t-conorm van T , dan is het paar
(apr00CT ,I , apr00CT ,I ) een duaal paar ten opzichte van N .
Bewijs. Analoog aan het bewijs van Propositie 5.2.3.
Propositie 5.2.10. Neem C een vaagcovering, T een IMTL-t-norm, I T zijn R-implicator
en N I T de ge¨ınduceerde negator, dan is het paar (apr00CT ,I T , apr00CT ,I T ) een duaal paar ten
opzichte van N I T .
Bewijs. Analoog aan het bewijs van Propositie 5.2.4.
Propositie 5.2.11. [29] Neem een t-norm T , zijn R-implicator I T en een vaagcovering
C. Het paar (apr00CT ,I T , apr00CT ,I T ) voldoet aan de inclusies aprC00 T ,I T (A) ⊆ A en
A ⊆ aprC00 T ,I T .
Bewijs. Analoog aan het bewijs van Propositie 5.2.5.
We kunnen een gelijkaardig tegenvoorbeeld vinden als in Voorbeeld 5.2.6 om aan te tonen
dat de inclusies enkel gelden in het geval van Propositie 5.2.11.
Om dit deel af te sluiten, merken we nog op dat de twee paren vaagbenaderingsoperatoren (apr0CT ,I , apr0CT ,I ) en (apr00CT ,I , apr00CT ,I ) van Li et al. een speciaal geval zijn van
89
respectievelijk de zwakke onder- en strenge bovenbenadering en de strenge onder- en
zwakke bovenbenadering gedefinieerd door Cornelis, De Cock en Kerre [11]. Hun definities kunnen immers gezien worden als deze van Li et al. gebruik makend de specifieke
vaagcovering {Rx : x ∈ U } met R een vaagrelatie op U . Zoals reeds vermeld, gebruikten ook Deng et al. deze definities met de vaagcovering {Rx : x ∈ U } maar zij pasten
in tegenstelling tot Cornelis et al. wel de term vaagcovering toe en werkten algemener
door gebruik te maken van een conjunctor in plaats van een t-norm. Vermits Cornelis
et al. geen bijkomstige voorwaarden opleggen voor R zal de verzameling {Rx : x ∈ U }
niet per se een vaagcovering zijn. Deng et al. spraken van een relatie R afgeleid uit een
vaagcovering en R zal dus voldoen aan:
∀y ∈ U : supR(x, y) > 0,
x∈U
zodat {Rx : x ∈ U } volgens Definitie 4.1.6 van Deng et al. een vaagcovering is.
5.2.2
Feng et al.
We gaan verder met de benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings die ingevoerd
werden door Feng et al. [19].
Feng et al. defini¨eren een vaagcovering C
familie vaagverzamelingen in U ,
van U als een waarvoor ∀C ∈ C : C 6= ∅ en ∀x ∈ U : ∪ {C : C ∈ C} (x) = 1. We zien dat Definitie
4.1.14 die wij kozen voor een vaagcovering deze definitie impliceert, waardoor we zonder
problemen onze definitie kunnen toepassen in de resultaten van Feng et al..
In de definitie van de benaderingsoperatoren nemen ze in plaats van een willekeurige
covering C de ge¨ınduceerde covering Cov(C) die gedefinieerd is zoals in Definitie 4.2.2.
In tegenstelling tot Li et al. maken Feng et al. gebruik van een specifieke t-norm en
implicator, namelijk de minimum t-norm T M en de Kleene-Dienes implicator I KD .
Definitie 5.2.12. [19] Zij A ∈ F(U ) en C een vaagcovering van U . Beschouw de
ge¨ınduceerde vaagcovering Cov(C) = {Cx : x ∈ U } en neem A ∈ F(U ). De onderbenadering aprFC eng (A) en de bovenbenadering aprFC eng (A) van A worden voor x ∈ U gegeven
door de volgende lidmaatschapsfuncties:
(aprFC eng (A))(x) = inf max(1 − Cx (y), A(y)),
(5.13)
(aprFC eng (A))(x) = sup min(Cx (y), A(y)).
(5.14)
y∈U
y∈U
Net zoals bij Li et al. kunnen we aantonen dat deze vaagbenaderingsoperatoren van Feng
et al. een vage uitbreiding zijn van het scherpe paar (apr0C , apr0C ). Er moet echter een
bijkomende voorwaarde verondersteld worden:
Propositie 5.2.13. Neem een scherpe covering C, de ge¨ınduceerde covering Cov(C) en
een scherpe verzameling A ⊆ U . Het paar dat bestaat uit de vaagbenaderingsoperatoren
(5.13) en (5.14) herleidt zich onder die voorwaarden tot het paar (2.3) en (2.4) gebaseerd
op de covering Cov(C).
90
Bewijs. Veronderstel een scherpe covering C en zijn ge¨ınduceerde, scherpe covering Cov(C).
Neem een scherpe verzameling A in U . We zien dat:
x ∈ aprFC eng (A) ⇒ ∀y ∈ U : y ∈
/ Cx of y ∈ A
⇒ ∀y ∈ U : y ∈ Cx ⇒ y ∈ A
⇒ Cx ⊆ A
⇒ ∃C ∈ Cov(C) : x ∈ C en C ⊆ A
⇒ x ∈ apr0Cov(C) (A).
Anderzijds,
x ∈ apr0Cov(C) (A) ⇒ ∃y ∈ U : x ∈ Cy en Cy ⊆ A
⇒ ∃y ∈ U : Cx ⊆ Cy en Cy ⊆ A
⇒ Cx ⊆ A
⇒ x ∈ aprFC eng (A).
Voor de bovenbenadering geldt een gelijkaardige redenering:
x ∈ aprFC eng (A) ⇒ Cx ∩ A 6= ∅
⇒ ∀y ∈ U : x ∈ Cy ⇒ Cy ∩ A 6= ∅
⇒ ∀C ∈ Cov(C) : x ∈ C ⇒ C ∩ A 6= ∅
⇒ x ∈ apr0Cov(C) (A)
Omgekeerd, neem x ∈ apr0Cov(C) (A) en stel dat Cx ∩ A = ∅. De volgende uitdrukking is
dan niet meer voldaan:
∀y ∈ U : x ∈ Cy ⇒ Cy ∩ A 6= ∅.
Dit is een tegenstrijdigheid met de definitie van apr0Cov(C) (A). Bijgevolg moet Cx ∩ A 6= ∅
en zo leiden we af dat x ∈ aprFC eng (A).
Dit paar is duaal en de inclusieverbanden aprFC eng (A) ⊆ A en A ⊆ aprFC eng (A) zijn voldaan:
Propositie 5.2.14. [19] Zij C een vaagcovering van U . De vaagbenaderingsoperatoren
(aprFC eng , aprFC eng ) vormen een duaal paar ten opzichte van de standaard negator N S en
voldoen voor A ∈ F(U ) aan de inclusies: aprFC eng (A) ⊆ A en A ⊆ aprFC eng (A).
Bewijs. Neem een x ∈ U . We zien dat het paar duaal is ten opzichte van N S :
(aprFC eng (AN S ))N S (x) = N S inf max 1 − Cx (y), N S (A(y))
y∈U
= sup 1 − max(1 − Cx (y), 1 − A(y))
y∈U
= sup min(Cx (y), A(y))
y∈U
= (aprFC eng (A))(x)
91
De inclusies volgen wegens Cx (x) = 1:
(aprFC eng (A))(x) = inf max(1 − Cx (y), A(y))
y∈U
≤ max(1 − Cx (x), A(x))
= A(x).
Het bewijs van de andere inclusie is analoog.
5.2.3
Inuiguchi et al.
Inuiguchi et al. [24] beschouwden een familie van vaagverzamelingen F ⊆ F(U ). Daarnaast voeren ze de operator ξ[I] in met I een implicator:
∀x, y ∈ U : ξ[I](x, y) = inf{s ∈ [0, 1] : I(x, s) ≥ y}.
Dit is een t-norm als:
• ∀x ∈ U : I(1, x) = 1 ⇔ x = 1,
• ∀x ∈ U : ξ[I](1, x) = x,
• ξ[I] commutatief,
• ξ[I] associatief.
Opmerking 5.2.15. Wij zullen altijd veronderstellen dat de eerste voorwaarde op I en
de voorwaarden op ξ[I] die ervoor zorgt dat ξ[I] een t-norm is, gelden.
De vaagbenaderingsoperatoren van Inuiguchi et al. worden als volgt gedefinieerd:
Definitie 5.2.16. [24] Beschouw een familie vaagverzamelingen F ⊆ F(U ), een implicator I en een involutieve en strikte negator N . Voor een A ∈ F(U ) wordt de onderbenadering aprIF (A) en de bovenbenadering aprIF (A) van A gedefinieerd als volgt, voor
x ∈ U:
I
(aprF (A))(x) = sup ξ[I] F (x), inf I(F (y), A(y)) ,
(5.15)
y∈U
F ∈F
I
(aprF (A))(x) = inf N ξ[I] F (x), inf I F (y), N (A(y))
.
(5.16)
F ∈F
y∈U
We stellen vast dat in hun definitie van benaderingsoperatoren geen gebruik gemaakt
wordt van een vaagcovering, maar van een willekeurige familie vaagverzamelingen zoals
hierboven vermeld. Dit paar vaagbenaderingsoperatoren is duaal gedefinieerd ten opzichte
van N .
Opnieuw worden met deze definities uitbreidingen bekomen van (apr0C , apr0C ) uit Definitie
2.2.1.
92
Propositie 5.2.17. Zij I een implicator, F ⊆ F(U ), C een scherpe covering van U en
A ⊆ U een scherpe verzameling. De vaagbenaderingsoperatoren (5.15) en (5.16) herleiden
zich dan tot respectievelijk de scherpe benaderingsoperatoren (2.3) en (2.4) in het speciale
geval dat F = C.
Bewijs. Als F = C een scherpe covering is en A ⊆ U scherp is, dan hebben we dat:
x ∈ aprIF (A) ⇔ (aprIF (A))(x) = 1
⇔ ∃C ∈ C : ξ[I] C(x), inf I(C(y), A(y)) = 1
y∈U
⇔ ∃C ∈ C : x ∈ C en C ⊆ A
⇔ x ∈ apr0C (A).
Analoog zien we:
x∈
/ aprIF (A) ⇔ (aprIF (A))(x) = 0
⇔ ∃C ∈ C : N ξ[I] C(x), inf I(C(y), N (A(y)))
=0
y∈U
⇔ ∃C ∈ C : x ∈ C en C ⊆ AN
⇔ ∃C ∈ C : x ∈ C en C ∩ A = ∅,
waardoor
x ∈ aprIF (A) ⇔ ∀C ∈ C : x ∈ C ⇒ C ∩ A 6= ∅
⇔ x ∈ apr0C (A).
In verband met de dualiteit van het paar benaderingsoperatoren van Inuiguchi et al. geven
we de volgende propositie:
Propositie 5.2.18. Zij I een implicator, F ⊆ F(U ) een familie vaagverzamelingen en
N een involutieve en strikte negator, dan is het paar (aprIF , aprIF ) duaal ten opzichte van
N.
Bewijs. We gebruiken de definitie van aprIF en de continu¨ıteit van N om te zien dat:
N
I
N
aprF (A ) (x) = N sup ξ[I] F (x), inf I F (y), N (A(y))
y∈U
F ∈F
= inf N ξ[I] F (x), inf I F (y), N (A(y))
F ∈F
=
y∈U
(aprIF (A))(x).
We besluiten dat het paar (aprIF , aprIF ) duaal is ten opzichte van N .
De inclusies van een verzameling in zijn bovenbenadering en de onderbenadering in de
verzameling zelf, gelden ook voor het paar van Inuiguchi et al.:
93
Propositie 5.2.19. [24] Neem F ⊆ F(U ), een implicator I en een strikte en involutieve
negator N . Voor het paar (aprIF , aprIF ) gelden de inclusies aprIF (A) ⊆ A en A ⊆ aprIF (A).
Bewijs. De inclusies zijn een gevolg van de volgende vergelijkingen uit [23]:
(aprIF (A))(x) = sup{ξ[I](F (x), h) : F ∈ F, h ∈ [0, 1] zodat
ξ[I](F (y), h) ≤ A(y), ∀y ∈ U },
(aprIF (A))(x) = inf{N (ξ[I](F (x), h)) : F ∈ F, h ∈ [0, 1] zodat
ξ[I](F (y), h) ≤ N (A(y)), ∀y ∈ U }.
De eerste vergelijking toont meteen dat (aprIF (A))(x) ≤ A(x). In de tweede vergelijking
zien we voor de voorwaarde op h:
∀y ∈ U : ξ[I](F (y), h) ≤ N (A(y)) ⇔ ∀y ∈ U : N ξ[I](F (y), h) ≥ A(y).
Hierdoor krijgen we ook dat (aprIF (A))(x) ≥ A(x). Zo zijn beide inclusies aangetoond.
5.2.4
Wu et al.
Als laatste bespreken we de definities die ge¨ıntroduceerd werden door Wu, Han en Si [44].
Ze vertrokken van een vaagcovering C van U die gedefinieerd is als de verzameling
{C : ∅ 6= C ∈ F(U )} waarvoor supC(x) = 1. Aangezien een vaagcovering C volgens
C∈C
Definitie 4.1.14 die wij gebruiken, ook een vaagcovering is volgens Wu et al., besluiten we
dat we in hetgeen volgt Definitie 4.1.14 kunnen gebruiken.
In hun definitie maken ze gebruik van de α-niveauverzamelingen Aα van een vaagverzameling A ∈ F(U ) (zie Definitie 1.4.5).
u
(A)
Definitie 5.2.20. [44] Neem een vaagcovering C van U . De onderbenadering aprW
C
Wu
en de bovenbenadering aprC (A) van A worden gedefinieerd als, voor x ∈ U :
u
(A))(x)
=
sup
inf
A(y)
(5.17)
(aprW
C
C∈C y∈CC(x)
u
(aprW
(A))(x)
=
inf
sup
A(y)
.
(5.18)
C
C∈C y∈C
C(x)
We merken op dat deze benaderingsoperatoren zich onderscheiden van de andere die we
reeds invoerden in deze sectie, vermits zij geen gebruik maken van een t-norm, noch van
een implicator.
Ook deze vaagbenaderingsoperatoren van Wu et al. zijn uitbreidingen van het paar
(apr0C , apr0C ) uit Definitie 2.2.1.
Propositie 5.2.21. Zij C een scherpe covering van U en A ⊆ U een scherpe verzameling,
dan herleiden de vaagbenaderingsoperatoren (5.17) en (5.18) zich respectievelijk tot de
benaderingsoperatoren (2.3) en (2.4).
94
Bewijs. We nemen een scherpe verzameling A ⊆ U en een scherpe covering C. We leiden
u
(A) zich herleidt tot de scherpe onderbenadering
af dat de vaagonderbenadering aprW
C
0
aprC (A):
u
x ∈ aprW
(A) ⇔ (∃C ∈ C)(∀y ∈ CCx )(y ∈ A)
C
⇔ (∃C ∈ C)(∀y ∈ U met C(y) ≥ C(x))(y ∈ A),
waarbij we de gevallen x ∈
/ C en x ∈ C onderscheiden. Het eerste leidt tot de triviale
uitdrukking A = U omdat ∀y ∈ U : C(y) ≥ 0. We gaan dus uit van het tweede geval,
zodat C(x) = 1 en vermits dan ook C(y) = 1, krijgen we dat:
u
x ∈ aprW
(A) ⇔ (∃C ∈ C)(∀y ∈ C)(y ∈ A)
C
⇔ x ∈ apr0C (A).
Voor de bovenbenadering geldt een analoge redenering.
In de volgende propositie tonen we aan dat het paar vaagbenaderingsoperatoren van Wu
u
u
et al. duaal is en voldoet aan aprW
(A) ⊆ A en A ⊆ aprW
C (A).
C
Propositie 5.2.22. [44] Zij C een vaagcovering van U en N een involutieve negator, dan
u
u
, aprW
vormen de vaagbenaderingsoperatoren (aprW
C ) een duaal paar ten opzichte van N
C
u
u
en voldoen ze aan: aprW
(A) ⊆ A en A ⊆ aprW
C (A).
C
Bewijs. Neem een x ∈ U . De dualiteit zien we doordat N involutief (en bijgevolg ook
continu) is:
N N
u
(A
))
(x)
=
N
sup
inf
N
A(y)
(aprW
C
C∈C y∈CC(x)
= inf sup N N (A(y))
C∈C y∈C
C(x)
= inf
sup A(y)
C∈C y∈C
C(x)
u
N N
= (aprW
C (A )) (x).
u
(A) ⊆ A:
We bewijzen nu de inclusie aprW
C
inf A(y)
C∈C y∈CC(x)
≤ sup A(x)
u
(aprW
(A))(x) = sup
C
C∈C
= A(x).
Het bewijs voor de andere inclusie is analoog.
95
Hoofdstuk 6
Verbanden tussen
benaderingsoperatoren gebaseerd op
vaagcoverings
Voor de verbanden tussen de verschillende benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings die we in Hoofdstuk 5 besproken hebben, kunnen er zich verschillende mogelijkheden
voordoen. Er kunnen enerzijds inclusieverbanden bestaan of gelijkheden bij het gebruik
van specifieke vaaglogische connectieven en in het andere geval zijn de vaagbenaderingsoperatoren niet vergelijkbaar. Het is interessant deze verbanden te kennen om op die manier een volledig beeld te krijgen van benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings.
Omdat de scherpe benaderingsoperatoren speciale gevallen zijn van de vaagbenaderingsoperatoren die we definieerden in Sectie 5.1 zullen we van de verbanden in Hoofdstuk 2
vertrekken en onderzoeken welke blijven gelden in het vage geval en onder welke voorwaarden. Dit zullen we behandelen in de eerste sectie van dit hoofdstuk. Daarna zullen
we in Sectie 6.2 bestuderen welke verbanden er bestaan tussen de vaagbenaderingsoperatoren die uitbreidingen zijn van het scherpe paar (apr0C , apr0C ) uit Definitie 2.2.1. Tenslotte
zullen we in Sectie 6.3 hetzelfde doen voor de uitbreidingen naar het vage geval van de
benaderingsoperatoren (apr00C , apr00C ).
6.1
Verbanden tussen vaagbenaderingsoperatoren
Om de verbanden na te gaan voor de vaagbenaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings die we invoerden in Sectie 5.1 zullen we uitgaan van de verbanden die we besproken
hebben in Sectie 3.1. Vermits het scherpe geval een onderdeel is van de vaagverzamelingenleer, zullen er geen andere verbanden bestaan voor de vaagbenaderingsoperatoren. We
moeten wel nagaan of de verbanden in het vage geval eveneens allemaal voldaan zijn. We
gebruiken Tabel 3.1 als vertrekbasis en merken nog op dat het, net zoals in het scherpe
geval, bij het onderzoeken van een gelijkheid tussen paren benaderingsoperatoren genoeg
is om de onder- of bovenbenaderingsoperator te beschouwen. We beschouwen immers
enkel duale paren van benaderingsoperatoren.
96
De eerste gelijkheid in Tabel 3.1 die we zullen onderzoeken is de gelijkheid onder paar 1.
(aprN , aprN1 ) 6= (apr0C , apr0C3 )
1
3
De gelijkheid van benaderingsoperatoren onder paar 1 is (aprN , aprN1 ) = (apr0C , apr0C3 ).
3
1
We bestuderen dit verband voor de definities uit de vaagverzamelingenleer die we zagen
in Sectie 5.1. Deze gelijkheid is echter niet meer geldig in het vage geval en nog sterker,
we vinden tegenvoorbeelden voor beide inclusies.
Voorbeeld 6.1.1. Beschouw het universum U = {x, y, z}, een vaagverzameling
A ∈ F(U ) met A(x) = 0.9, A(y) = 0.6, A(z) = 1 en een vaagcovering C = {C1 , C2 }
bepaald door:
C1 (x) = 1, C1 (y) = 1, C1 (z) = 0.3,
C2 (x) = 0.9, C2 (y) = 0.5, C2 (z) = 1.
We gaan eenvoudig na dat
N1 (x) = N4 (x) = C1 ,
N1 (y) = N4 (y) = C1 ,
N1 (z) = N4 (z) = C2 .
We hernemen de definitie van aprN voor een A en een willekeurige x ∈ U :
1
(aprN (A))(x) = inf I N1 (x)(y), A(y) .
y∈U
1
Stel I de R-implicator I T met als t-norm T = T L .
Als we dit berekenen, bekomen we de voor dit voorbeeld de volgende resultaten:
(aprN (A))(x) = 0.6,
1
(aprN (A))(y) = 0.6.
1
We vergelijken dit nu met de resultaten voor apr0C (A). De definitie wordt gegeven door:
3
(apr0C (A))(x) = sup {C(x) : C ⊆ A}.
3
C∈C3
Hiervoor hebben we de vaagcovering C3 nodig. Voor dit voorbeeld zien we dat
C3 = {N4 (x) : x ∈ U } = {C1 , C2 } = C. Zo vinden we:
(apr0C (A))(x) = 0.9,
3
(apr0C (A))(y)
3
97
= 0.5.
Doordat
(aprN (A))(x) = 0.6 < 0.9 = (apr0C (A))(x) en
1
3
(aprN (A))(y) = 0.6 > 0.5 =
1
(apr0C (A))(y),
3
zien we onmiddellijk dat in het algemeen niet voldaan kan zijn aan aprN (A) ⊆ apr0C (A)
1
3
of apr0C (A) ⊆ aprN (A) voor een willekeurige A ∈ F(U ). We hebben dus tegenvoor3
1
beelden gevonden die aantonen dat de paren vaagbenaderingsoperatoren (aprN , aprN1 )
1
en (apr0C , apr0C3 ) niet gelijk zijn noch geldt ´e´en van beide inclusies.
3
Wanneer we verder kijken in Tabel 3.1 zien we de volgende gelijkheden onder paar 4:
(aprN , aprN4 ) = (apr00C , apr00C ) = (apr00C , apr00C2 ) = (apr00C , apr00C∩ ).
4
2
∩
(6.1)
(aprN , aprN4 ) 6= (apr00C , apr00C )
4
Voor de eerste gelijkheid in (6.1), namelijk (aprN , aprN4 ) = (apr00C , apr00C ), vinden we op4
nieuw een tegenvoorbeeld.
Voorbeeld 6.1.2. Beschouw het universum U = {x, y, z} en een vaagverzameling
A ∈ F(U ) met A(x) = 0, A(y) = 0.4, A(z) = 0. Neem een vaagcovering C = {C1 , C2 }
bepaald door:
C1 (x) = 0.3, C1 (y) = 1, C1 (z) = 1,
C2 (x) = 0.9, C2 (y) = 0.5, C2 (z) = 1.
Neem T = T L , dan krijgen we voor aprN4 (A):
(aprN4 (A))(x) = 0.4,
(aprN4 (A))(z) = 0.
Deze vergelijken we met apr00C (A). We hernemen de definitie voor x ∈ U :
(apr00C (A))(x) = sup C(x) : (∃y ∈ U ) C(y) > N A(y)
.
C∈C
Wij zullen de involutieve standaard negator N S gebruiken en daarmee vinden we:
(apr00C (A))(x) = 0.3,
(apr00C (A))(z) = 1.
Vermits
(aprN4 (A))(x) = 0.4 > 0.3 = (apr00C (A))(x),
(aprN4 (A))(z) = 0 < 1 = (apr00C (A))(z),
zien we dat er geen gelijkheid noch inclusies bestaan tussen de paren (aprN , aprN4 ) en
4
(apr00C , apr00C ).
De andere gelijkheden in (6.1) kunnen echter wel uitgebreid worden naar de vaagverzamelingenleer.
98
(apr00C , apr00C ) = (apr00C , apr00C2 )
2
We bewijzen de gelijkheid (apr00C , apr00C ) = (apr00C , apr00C2 ) aan de hand van een andere
2
propositie:
Propositie 6.1.3. Zij C en C0 twee vaagcoverings van U zodat C0 ⊆ C, dan geldt dat
apr00C0 ⊆ apr00C .
Bewijs. Neem een willekeurige A ∈ F(U ) en x ∈ U , dan geldt er:
(apr00C0 (A))(x) = sup {C(x) : (∃y ∈ U ) C(y) > N (A(y)) }
C∈C0
≤ sup{C(x) : (∃y ∈ U ) C(y) > N (A(y)) }
C∈C
= (apr00C (A))(x).
Propositie 6.1.4. Zij C een vaagcovering van U en N een involutieve negator. De
vaagbenaderingsoperatoren apr00C en apr00C2 die bepaald zijn volgens Definitie 5.1.9, zijn
gelijk.
Bewijs. Enerzijds is C2 ⊆ C en door Propositie 6.1.3 geldt dan dat apr00C2 ⊆ apr00C .
Anderzijds hernemen we de definitie C2 = ∪{MD(C, x) : x ∈ U }. Zo zien we dat:
(∀C ∈ C)(∃C 0 ∈ C2 )(C ⊆ C 0 ).
Stel dat voor een willekeurige A ∈ F(U ) de vaagverzameling C ∈ C voldoet aan:
∃y ∈ U : C(y) > N (A(y)).
Dan impliceert dit voor de bijhorende C 0 ∈ C2 :
∃y ∈ U : C 0 (y) ≥ C(y) > N (A(y)).
Hierdoor is voor een x ∈ U :
sup{C(x) : (∃y ∈ U ) C(y) > N (A(y)) } ≤ sup {C(x) : (∃y ∈ U ) C(y) > N (A(y)) },
C∈C
C∈C2
waardoor we besluiten dat: (apr00C (A))(x) ≤ (apr00C2 (A))(x).
Hierdoor hebben we ook de omgekeerde inclusie bewezen en besluiten we dat in het vage
geval eveneens de gelijkheid apr00C = apr00C2 geldt.
99
(apr00C , apr00C ) = (apr00C , apr00C∩ )
∩
In de volgende propositie tonen we het resultaat aan voor de paren (apr00C , apr00C ) en
(apr00C , apr00C∩ ).
∩
Propositie 6.1.5. Neem een vaagcovering C van U en een involutieve negator N . De
vaagbenaderingsoperatoren apr00C en apr00C∩ die bepaald zijn volgens Definitie 5.1.9, zijn
gelijk.
Bewijs. Aangezien C∩ ⊆ C, krijgen we door Propositie 6.1.3 dat apr00C ⊆ apr00C∩ .
Omgekeerd, stel C ∈ C die niet tot C∩ behoort. Dit betekent dat C = ∩C0 met C0 ⊆
C \ {C}. We zien dat voor alle C 0 ∈ C0 geldt dat:
∀y ∈ U : C(y) ≤ C 0 (y).
Bijgevolg impliceert C(y) > N (A(y)) voor een C 6∈ C∩ dat C 0 (y) > N (A(y)) voor alle
C 0 ∈ C0 . Hierdoor hebben we aangetoond dat voor een x ∈ U :
sup{C(x) : (∃y ∈ U ) C(y) > N (A(y)) } ≤ sup {C(x) : (∃y ∈ U ) C(y) > N (A(y)) }
C∈C
C∈C∩
en dus hebben we ook dat apr00C ⊆ apr00C∩ .
De laatste verbanden onder paar 5 in Tabel 3.1 waarvan we zullen onderzoeken of ze uit
te breiden zijn naar de vaagverzamelingenleer, zijn:
(apr0C , apr0C ) = (apr0C , apr0C1 ) = (aprS , aprS∪ ).
∪
1
(6.2)
(apr0C , apr0C ) = (apr0C , apr0C1 )
1
De volgende propositie toont aan dat het verband (apr0C , apr0C ) = (apr0C , apr0C1 ) geldig
1
blijft in het vage geval. Eerst maken we opnieuw gebruik van een andere propositie.
Propositie 6.1.6. Neem twee vaagcoverings C en C0 van U zodat C0 ⊆ C. Er geldt dan
dat apr0C0 ⊆ apr0C .
Bewijs. Voor de vaagcoverings C en C0 met C0 ⊆ C geldt er voor een A ∈ F(U ) en x ∈ U
dat:
(apr0C0 (A))(x) = sup {C(x) : C ⊆ A}
C∈C0
≤ sup{C(x) : C ⊆ A}
C∈C
= (apr0C (A))(x).
Zo hebben we de inclusie apr0C0 ⊆ apr0C aangetoond.
100
Propositie 6.1.7. Zij C een vaagcovering van U . De vaagbenaderingsoperatoren apr0C en
apr0C die bepaald zijn volgens Definitie 5.1.6, zijn gelijk.
1
Bewijs. De inclusie apr0C ⊆ apr0C zien we doordat C1 ⊆ C en toepassing van Propositie
1
6.1.6.
Omgekeerd weten we door C1 = ∪{md(C, x) : x ∈ U } dat:
(∀C ∈ C)(∃C 0 ∈ C1 )(C 0 ⊆ C).
Doordat dan voor alle y ∈ U geldt dat C 0 (y) ≤ C(y), is ook voldaan aan C ⊆ A ⇒ C 0 ⊆ A.
We zien dat voor x ∈ U :
sup{C(x) : C ⊆ A} ≤ sup {C(x) : C ⊆ A}
C∈C
C∈C1
en zo hebben we voor een willekeurige A en x gevonden:
(apr0C (A))(x) ≤ (apr0C (A))(x).
1
We besluiten dat
apr0C
=
apr0C .
1
(apr0C , apr0C ) = (aprS , aprS∪ )
∪
De gelijkheid tussen de paren (apr0C , apr0C ) en (aprS , aprS∪ ) wordt bewezen in de volgende
∪
propositie.
Propositie 6.1.8. Zij C een vaagcovering van U en S∪,C de bijhorende vaaguniesluiting.
De vaagbenaderingsoperatoren apr0C en aprS die respectievelijk bepaald zijn volgens De∪,C
finitie 5.1.6 en Definitie 5.1.12, zijn gelijk.
Bewijs. Uit de beschrijving (4.3) van S∪,C zien we dat dit ook een vaagcovering vormt
van U waarvoor C ⊆ S∪,C . Uit Propositie 6.1.6 leiden we af dat apr0C ⊆ apr0S .
∪,C
Anderzijds, neem een S ∈ S∪,C . Dan zijn er twee mogelijkheden: S is een niet-ledige
vaagverzameling of S = ∅. In het eerste geval geldt dat S = ∪C0 met C0 ⊆ C. Dit
betekent dat voor een C ∈ C0 geldt dat S ⊆ A ⇒ C ⊆ A. We besluiten het volgende:
(aprS
∪,C
(A))(x) = sup {S(x) : S ⊆ A}
S∈S∪,C
≤ sup{C(x) : C ⊆ A}
C∈C
= (apr0C (A))(x).
In het geval dat S = ∅ volgt het gestelde onmiddellijk.
Samengevat zien we dat de verbanden uit Tabel 3.1 tussen de benaderingsoperatoren
nog steeds gelden voor de definities in het vage geval, behalve voor enerzijds de paren
(aprN , aprN1 ) en (apr0C , apr0C3 ) en anderzijds de paren (aprN , aprN4 ) en (apr00C , apr00C ).
1
3
4
In de onderstaande tabel van alle vaagbenaderingsoperatoren uit Sectie 5.1 worden alle
bestaande verbanden samengevat.
101
N◦
1a
1b
2
3
4a
4b
Duaal paar
aprN aprN1
1
apr0C apr0C3
3
aprN aprN2
2
aprN aprN3
3
aprN aprN4
4
apr00C apr00C
apr00C apr00C2
2
apr00C apr00C∩
∩
N◦
5
6
7
8
9
10
11
12
Duaal paar
apr0C apr0C
apr0C apr0C1
1
aprS aprS∪
∪
apr0C apr0C2
2
apr0C apr0C4
4
apr0C apr0C∩
∩
apr00C apr00C1
1
apr00C apr00C3
3
apr00C apr00C4
4
aprS aprS∩
∩
Tabel 6.1: Overzicht vaagbenaderingsoperatoren
6.2
Uitbreidingen van (apr0C, apr0C)
Nu we onderzocht hebben hoe de vaagbenaderingsoperatoren uit Sectie 5.1 zich onderling
tot elkaar verhouden, halen we er de benaderingsoperatoren die we bespraken in Sectie
5.2 terug bij. We maken een onderscheid tussen de uitbreidingen naar het vage geval van
(apr0C , apr0C ) uit Definitie 2.2.1 die we in deze sectie bespreken en de uitbreidingen van
(apr00C , apr00C ) die in de volgende sectie aan bod komen.
In Sectie 5.1 zagen we de vaagbenaderingsoperatoren (apr0C , apr0C ) uit Definitie 5.1.6 als
uitbreidingen van het scherpe paar (apr0C , apr0C ). In Sectie 5.2 hebben we gezien dat het
paar benaderingsoperatoren (apr0CT ,I , apr0CT ,I ) van Li et al., het paar (aprFC eng , aprFC eng )
u
u
van Feng et al., het paar (aprIF , aprIF ) van Inuiguchi et al. en het paar (aprW
, aprW
C ) van
C
Wu et al. uitbreidingen zijn van het scherpe paar (apr0C , apr0C ). Voor al deze vaagbenaderingsoperatoren zullen we onderzoeken of er gelijkheden of inclusieverbanden te vinden
zijn en onder welke voorwaarden. Voor de benaderingsoperatoren van Wu et al. hebben
we geen verbanden kunnen aantonen met deze van de andere auteurs die we bespreken.
Dit blijft dus een open probleem. Wel zullen we zien hoe ze zich verhouden tot het paar
vaagbenaderingsoperatoren (apr0C , apr0C ).
Li et al. - Feng et al.
De eerste paren benaderingsoperatoren die we met elkaar zullen vergelijken zijn het eerste
paar van Li et al. en Feng et al.. De volgende stelling bepaalt dat er een inclusieverband
bestaat tussen enerzijds het paar benaderingsoperatoren (apr0CT ,I , apr0CT ,I ) van Li et al. en
anderzijds het paar (aprFC eng , aprFC eng ) van Feng et al. wanneer bepaalde voorwaarden voor
C, T en I worden opgelegd:
Stelling 6.2.1. Voor de covering Cov(C), met C een vaagcovering van het universum
U , de minimum t-norm T M en de Kleene-Dienes implicator I KD , hebben we voor elke
102
vaagverzameling A ∈ F(U ):
0 T M ,I KD
T M ,I KD
(A) en aprCov(C)
aprFC eng (A) ⊆ apr0Cov(C)
(A) ⊆ aprFC eng (A).
(6.3)
Ook geldt voor alle x ∈ U dat:
T M ,I KD
(apr0Cov(C)
(A))(x) = sup min Cz (x), (aprFC eng (A))(z) ,
z∈U
T M ,I KD
(apr0Cov(C)
(A))(x)
= inf max 1 − Cz (x), (aprFC eng (A))(z) .
z∈U
Bewijs. Neem x ∈ U en A ∈ F(U ). Het bewijs volgt uit de definities en uit Cx (x) = 1:
T M ,I KD
(A))(x) =
(apr0Cov(C)
sup
min C(x), max 1 − C(y), A(y)
y∈U
C∈Cov(C)
= sup min Cz (x), max 1 − Cz (y), A(y)
y∈U
z∈U
F eng
= sup min Cz (x), (aprC (A))(z)
z∈U
≥ min Cx (x), (aprFC eng (A))(x)
= (aprFC eng (A))(x).
Een analoge redenering geldt voor de bovenbenaderingsoperatoren.
Om aan te tonen dat er geen andere inclusieverbanden kunnen bestaan tussen deze benaderingsoperatoren, beschouwen we het volgende voorbeeld:
Voorbeeld 6.2.2. Neem U = {x, y}, A(x) = 0, A(y) = 1, C = {Cx , Cy } = Cov(C) met:
Cx (x) = 1, Cx (y) = 0.5,
Cy (x) = 0.5, Cy (y) = 1.
We berekenen dat (aprFC eng (A))(x) = 0, (aprFC eng (A))(y) = 1, (aprC0 T M ,I KD (A))(x) = 0.5
en (apr0CT M ,I KD (A))(y) = 0.5. Zo zien we dat:
(apr0CT M ,I KD (A))(x) = 0.5 > (aprFC eng (A))(x) = 0,
(apr0CT M ,I KD (A))(y) = 0.5 < (aprFC eng (A))(y) = 1.
Inuiguchi et al. - Feng et al.
Voor de paren (aprFC eng , aprFC eng ) van Feng et al. en (aprIF , aprIF ) van Inuiguchi et al. bespreken we de gevonden verbanden in de volgende stelling:
103
Stelling 6.2.3. Neem C een vaagcovering van U en stel F = Cov(C). Als we de minimum
t-norm T M , de Kleene-Dienes implicator I KD en de standaard negator N S beschouwen,
dan hebben we voor een vaagverzameling A ∈ F(U ):
KD
KD
(A) en aprICov(C)
aprFC eng (A) ⊆ aprICov(C)
(A) ⊆ aprFC eng (A).
(6.4)
Daarenboven geldt voor alle x ∈ U :
KD
(aprICov(C)
(A))(x) = supξ[I KD ] Cz (x), (aprFC eng (A))(z) ,
z∈U
F eng
I KD
(aprCov(C) (A))(x) = inf N S ξ[I KD ] Cz (x), N S ((aprC (A))(z))
.
z∈U
Bewijs. Neem een x ∈ U . Het bewijs volgt opnieuw uit de definities en door te gebruiken
dat Cx (x) = 1 en dat het paar (aprFC eng , aprFC eng ) duaal is ten opzichte van de negator N S :
inf
1 − ξ[I KD ] C(x), inf max(1 − C(y), 1 − A(y))
y∈U
C∈Cov(C)
= inf 1 − ξ[I KD ] Cz (x), inf max(1 − Cz (y), 1 − A(y))
z∈U
y∈U
F eng
NS
= inf 1 − ξ[I KD ] Cz (x), (aprC (A ))(z)
z∈U
= inf 1 − ξ[I KD ] Cz (x), N S ((aprFC eng (A))(z))
z∈U
≤ 1 − ξ[I KD ] Cx (x), 1 − (aprFC eng (A))(x)
≤ 1 − (1 − aprFC eng (A))(x)
KD
(A))(x) =
(aprICov(C)
= (aprFC eng (A))(x).
Het bewijs voor de onderbenaderingsoperator is analoog.
We geven een tegenvoorbeeld voor de omgekeerde inclusies:
Voorbeeld 6.2.4. Veronderstel U = {x, y, z} en neem een vaagverzameling A ∈ F(U )
met A(x) = 1, A(y) = 1 en A(z) = 0.7. Stel F = {Cx , Cy , Cz } = Cov(C) met:
Cx (x) = 1, Cx (y) = 0, Cx (z) = 0.2,
Cy (x) = 0.5, Cy (y) = 1, Cy (z) = 0.1,
Cz (x) = 0, Cz (y) = 0, Cz (z) = 1.
KD
We berekenen dat 0.8 = (aprFC eng (A))(x) < (aprICov(C)
(A))(x) = 0.9.
Voor de bovenbenaderingsoperatoren vinden we op dezelfde wijze een tegenvoorbeeld.
104
Inuiguchi et al. - Li et al.
Opnieuw geven we een stelling die het verband tussen de benaderingsoperatoren (aprIF , aprIF )
en (apr0CT ,I , apr0CT ,I ) bespreekt. Tussen deze benaderingsoperatoren treden er gelijkheden
op wanneer we bepaalde keuzes voor T , I, F en C maken.
Propositie 6.2.5. Neem een vaagcovering C van het universum U en stel F = C. Neem
een linkscontinue t-norm T en zijn R-implicator I T , dan geldt er dat:
aprC0 T ,I T (A) = aprICT (A).
Indien T een IMTL-t-norm, I T zijn R-implicator en N I T de ge¨ınduceerde negator is, dan
geldt de gelijkheid ook voor de bovenbenaderingen. Onder deze condities krijgen we:
apr0CT ,I T (A) = aprICT (A) en apr0CT ,I T (A) = aprICT (A).
(6.5)
Bewijs. Stel T een linkscontinue t-norm en I T zijn R-implicator, dan geldt door het
residu-principe dat:
∀x, y ∈ U : ξ[I T ](x, y) = inf{s ∈ [0, 1] : I T (x, s) ≥ y}
= inf{s ∈ [0, 1] : T (x, y) ≤ s}
= T (x, y).
Voor A ∈ F(U ) en x ∈ U leiden we af:
(aprICT
(A))(x) = supξ[I T ] C(x), inf I(C(y), A(y))
y∈U
C∈C
= sup T C(x), inf I C(y), A(y)
y∈U
C∈C
=
(apr0CT ,I T
(A))(x).
Neem nu T een IMTL-t-norm, I T zijn R-implicator en N I T de ge¨ınduceerde negator. De
bovenbenaderingsoperator aprICT van Inuiguchi et al. is wegens Propositie 5.2.18 de duale
van de onderbenaderingsoperator aprICT . We hebben in Propositie 5.2.4 aangetoond dat
voor een IMTL-t-norm T en zijn R-implicator I T geldt dat het paar (apr0CT ,I T , apr0CT ,I T )
duaal is ten opzichte van de ge¨ınduceerde negator N I T . Met andere woorden, aprC0 T ,I T =
aprICT geldt door dualiteit.
Het volgende tegenvoorbeeld toont dat de gelijkheid tussen de bovenbenaderingsoperatoren niet geldt wanneer de strengere voorwaarde van een IMTL-t-norm niet voldaan
is.
Voorbeeld 6.2.6. Beschouw het universum U = {x, y, z}, een vaagverzameling
A ∈ F(U ) met A(x) = 0.9, A(y) = 0.6, A(z) = 1 en een vaagcovering C = {C1 , C2 }
bepaald door:
C1 (x) = 1, C1 (y) = 1, C1 (z) = 0.3,
C2 (x) = 0.9, C2 (y) = 0.5, C2 (z) = 1.
105
Beschouw de t-norm T M , zijn R-implicator I T M en de ge¨ınduceerde negator N I T M . Deze
negator is van de volgende vorm voor een x ∈ U :
0 als x 6= 0
N I T M (x) =
1 als x = 0.
Als we de bovenbenaderingen van Inuiguchi et al. en Li et al. berekenen, dan bekomen
we voor dit voorbeeld:
0.9 = (apr0CT ,I T (A))(x) < (aprICT (A))(x) = 1.
We hebben alle relaties tussen de vaagbenaderingsoperatoren uit Sectie 5.2 die uitbreidingen zijn van het scherpe paar (apr0C , apr0C ), onderzocht, uitgenomen de verbanden met de
benaderingsoperatoren van Wu et al.. Wegens de vorm van hun definities is het moeilijk
linken te leggen met de andere en dit blijft een erg interessante, open onderzoeksvraag.
We zullen in het vervolg van deze sectie de uitbreidingen uit de literatuur van het scherpe
paar (apr0C , apr0C ) nu ook vergelijken met het paar vaagbenaderingsoperatoren (apr0C , apr0C )
uit Definitie 5.1.6. Hiervoor hebben we wel een verband met de benaderingsoperatoren
van Wu et al. gevonden.
Li et al. - (apr0C , apr0C )
Om te beginnen zoeken we een mogelijk verband tussen de paren (apr0CT ,I , apr0CT ,I ) van
Li et al. uit Definitie 5.2.1 en (apr0C , apr0C ) uit Definitie 5.1.6. Het resultaat is weergegeven
in de volgende propositie:
Propositie 6.2.7. Zij C een vaagcovering van U , T een linkscontinue t-norm en I T zijn
R-implicator, dan is voor A ∈ F(U ) voldaan aan:
apr0C (A) ⊆ apr0CT ,I T (A).
Bewijs. Stel C0 = {C ∈ C : C ⊆ A} ⊆ C en neem een x ∈ U . We verkrijgen dat:
0 T ,I T
(aprC
(A))(x) = sup T C(x), inf I T C(y), A(y)
y∈U
C∈C
≥ sup T C(x), inf I T C(y), A(y)
y∈U
C∈C0
= sup T (C(x), 1)
C∈C0
= sup C(x)
C∈C0
= sup{C(x) : C ⊆ A}
C∈C
= (apr0C (A))(x).
Hierbij geldt inf I T C(y), A(y) = 1 door Propositie 1.4.26.
y∈U
106
Stel dat we bovenop de voorwaarden van deze propositie de extra voorwaarden voor
dualiteit van het paar (apr0CT ,I , aprC0 T ,I ) in acht nemen (zie Propositie 5.2.4). Dit houdt
in dat T een ITML-t-norm is. In dat geval geldt wegens dualiteit ten opzichte van de
ge¨ınduceerde negator N I T ook de inclusie:
apr0CT ,I T (A) ⊆ apr0C (A).
Of deze inclusie ook geldt onder de zwakkere voorwaarden van Propositie , is een open
probleem.
We zien door het volgende voorbeeld dat onder de opgelegde voorwaarden in Propositie 6.2 de omgekeerde inclusie niet kan voorkomen. We geven ook een tegenvoorbeeld
voor de inclusie in de propositie indien de voorwaarden niet voldaan zijn.
Voorbeeld 6.2.8. We gebruiken dezelfde gegevens als in Voorbeeld 6.1.1. Beschouw een
universum U = {x, y, z}, een vaagverzameling A ∈ F(U ) met A(x) = 0.9, A(y) = 0.6,
A(z) = 1 en een vaagcovering C = {C1 , C2 } bepaald door:
C1 (x) = 1, C1 (y) = 1, C1 (z) = 0.3,
C2 (x) = 0.9, C2 (y) = 0.5, C2 (z) = 1.
Beschouw eerst de minimum t-norm T M en zijn R-implicator I T M . In dat geval zien we
dat de voorwaarden uit Propositie 6.2 voldaan zijn en we krijgen we de strikte ongelijkheid:
0 T M ,I T M
0.5 = (apr0C (A))(y) < (aprC
(A))(y) = 0.6.
Neem nu de minimum t-norm T M , de Kleene-Dienes implicator I KD en een involutieve
negator N . We kunnen berekenen dat (apr0C (A))(x) = 0.9 en (apr0C (A))(y) = 0.5. Voor
de vaagbenaderingsoperatoren van Li et al. bekomen we (apr0CT M ,I KD (A))(x) = 0.6 en
(apr0CT M ,I KD (A))(y) = 0.6. Hierdoor kunnen afleiden dat:
(apr0C (A))(x) > (aprC0 T M ,I KD (A))(x) en
(apr0C (A))(y) < (aprC0 T M ,I KD (A))(y).
We besluiten dat er zonder de juiste voorwaarden uit Propositie 6.2 geen inclusierelaties
bestaan tussen deze vaagbenaderingsoperatoren.
Feng et al. - (apr0C , apr0C )
Het paar vaagbenaderingsoperatoren (aprFC eng , aprFC eng ) bevat uitgenomen de gebruikte
vaagcovering geen vrijheidsgraden. We geven een tegenvoorbeeld voor mogelijke inclusierelaties tussen dit paar en (apr0C , apr0C ).
Voorbeeld 6.2.9. We beschouwen opnieuw het universum U = {x, y, z}, de vaagverzameling A met A(x) = 0.9, A(y) = 0.6, A(z) = 1 en de vaagcovering C = {C1 , C2 } bepaald
door:
C1 (x) = 1, C1 (y) = 1, C1 (z) = 0.3,
C2 (x) = 0.9, C2 (y) = 0.5, C2 (z) = 1.
107
Als er een verband zou bestaan tussen de beschouwde vaagbenaderingsoperatoren verwachten we dat dit geldt voor de ge¨ınduceerde covering Cov(C).
In dit geval is Cov(C) = C = {C1 , C2 }. We vinden dat (aprFC eng (A))(x) = 0.6 en
(aprFC eng (A))(y) = 0.6. Wegens:
0.9 = (apr0Cov(C) (A))(x) > (aprFC eng (A))(x) = 0.6 en
0.5 = (apr0Cov(C) (A))(y) < (aprFC eng (A))(y) = 0.6,
concluderen we dat er geen inclusieverbanden bestaan tussen deze vaagbenaderingsoperatoren. Voor de bovenbenaderingen kan analoog te werk gegaan worden.
Inuiguchi et al. - (apr0C , apr0C )
Door Propositie 6.2.5 weten we dat het paar (aprIF , aprIF ) van Inuiguchi et al. voor bepaalde keuzes van F, de t-norm T en de implicator I, samenvalt met het paar
(apr0CT ,I T , apr0CT ,I T ). Bijgevolg, kunnen we een gelijkaardig resultaat als in Propositie 6.2
geven.
Propositie 6.2.10. Zij C een vaagcovering van U en kies F = C. Zij T een linkscontinue t-norm en I T zijn R-implicator, dan zien we voor alle A ∈ F(U ) dat:
apr0C (A) ⊆ aprICT (A).
Als we stellen dat T een IMTL-t-norm, I T zijn R-implicator en N I T de ge¨ınduceerde
negator is, dan zien we dat voor alle A ∈ F(U ) geldt dat:
apr0C (A) ⊆ aprICT (A) en aprICT (A) ⊆ apr0C (A).
Bewijs. Dit volgt uit de Proposities 6.2.5 en 6.2.
Het volgende tegenvoorbeeld toont dat de omgekeerde inclusie voor de onderbenaderingen
niet kan voorkomen.
Voorbeeld 6.2.11. Neem opnieuw het universum U = {x, y, z}, de vaagverzameling A
met A(x) = 0.9, A(y) = 0.6, A(z) = 1 en de vaagcovering C = {C1 , C2 } bepaald door:
C1 (x) = 1, C1 (y) = 1, C1 (z) = 0.3,
C2 (x) = 0.9, C2 (y) = 0.5, C2 (z) = 1.
Beschouw de minimum t-norm T M , de bijhorende R-implicator I T M , de ge¨ınduceerde
negator N I T M en kies F = C. We krijgen de volgende strikte ongelijkheid:
IT M
0.6 = (aprC
(A))(y) > (apr0C (A))(y) = 0.5.
Ook voor de bovenbenaderingen beschouwen we dat de omgekeerde inclusie zich niet
kan voordoen. Indien we de IMTL-t-norm T nM , zijn R-implicator I T nM (of I nM ) en de
ge¨ınduceerde negator N I nM = N S beschouwen, zien we de volgende strikte ongelijkheid:
0.9 = (aprICnM (A))(x) < (apr0C (A))(x) = 1.
108
We beschouwen ook een tegenvoorbeeld voor de inclusie van de bovenbenaderingen wanneer de strengere voorwaarde van een IMTL-t-norm niet voldaan is.
Voorbeeld 6.2.12. Beschouw het universum U = {x, y, z}, de vaagverzameling A met
A(x) = 0.9, A(y) = 0.6, A(z) = 0 en de vaagcovering C = {C1 , C2 } bepaald door:
C1 (x) = 1, C1 (y) = 1, C1 (z) = 0.3,
C2 (x) = 0, C2 (y) = 0, C2 (z) = 0.5.
Beschouw de minimum t-norm T M , de bijhorende R-implicator I T M , de ge¨ınduceerde
negator N I T M en kies F = C. We berekenen dat:
IT M
1 = (aprC
(A))(z) > (apr0C (A))(z) = 0,
waardoor we zien dat de inclusie aprICT (A) ⊆ apr0C (A) uit Propositie 6.2.10 niet voldaan
is voor een T die geen IMTL-t-norm is.
Wu et al. - (apr0C , apr0C )
u
u
, aprW
We vinden ook een inclusieverband tussen het paar (aprW
C ) uit Definitie 5.2.20
C
en (apr0C , apr0C ). We tonen dit verband aan in de volgende propositie. Door de definitie
van de benaderingsoperatoren van Wu et al. die enkel de keuze voor de vaagcovering C
vrijlaten, moet voor deze propositie geen enkele bijkomstige voorwaarde voldaan zijn.
Propositie 6.2.13. Zij C een vaagcovering van U . De volgende inclusies gelden voor
alle A ∈ F(U ):
u
u
(A) en apr0C (A) ⊇ aprW
apr0C (A) ⊆ aprW
C (A).
C
Bewijs. We stellen C0 = {C ∈ C : C ⊆ A}. Neem een C ∈ C0 en een x ∈ U :
inf {A(y) : C(y) ≥ C(x)} ≥ inf {C(y) : C(y) ≥ C(x)} = C(x).
y∈U
y∈U
Hiermee rekening houdend, zien we dat:
u
(A))(x)
(aprW
C
= sup
inf A(y)
y∈CC(x)
C∈C
inf {A(y) : C(y) ≥ C(x)}
≥ sup inf {A(y) : C(y) ≥ C(x)}
= sup
C∈C
C∈C0
y∈U
y∈U
≥ sup C(x)
C∈C0
= (apr0C (A))(x).
De tweede inclusie geldt door dualiteit.
109
We geven een tegenvoorbeeld voor de omgekeerde inclusies:
Voorbeeld 6.2.14. We nemen opnieuw het universum U = {x, y, z}, de vaagverzameling
A met A(x) = 0.9, A(y) = 0.6, A(z) = 1 en de vaagcovering C = {C1 , C2 } bepaald door:
C1 (x) = 1, C1 (y) = 1, C1 (z) = 0.3,
C2 (x) = 0.9, C2 (y) = 0.5, C2 (z) = 1.
We kunnen berekenen dat:
u
0.5 = (apr0C (A))(y) < (aprW
(A))(y) = 0.6.
C
Ook voor de bovenbenadering vinden we gelijkaardige voorbeelden.
Samenvatting
We geven een samenvatting van de gevonden verbanden tussen de benaderingsoperatoren
die vage uitbreidingen zijn van het paar (apr0C , apr0C ). We beschouwen een A ∈ F(U ) en
een vaagcovering C van U .
• Zonder extra voorwaarden gelden de volgende verbanden:
u
(A),
apr0C (A) ⊆ aprW
C
u
apr0C (A) ⊇ aprW
C (A).
• Voor de t-norm T M , de implicator I KD en de ge¨ınduceerde covering Cov(C) geldt:
KD
(A),
aprFC eng (A) ⊆ aprICov(C)
KD
aprICov(C)
(A) ⊆ aprFC eng (A),
0 T M ,I KD
aprFC eng (A) ⊆ aprCov(C)
(A),
0 T M ,I KD
aprCov(C)
(A) ⊆ aprFC eng (A).
• Voor een linkscontinue t-norm T en zijn R-implicator I T geldt:
apr0CT ,I T (A) = aprICT (A),
apr0C (A) ⊆ apr0CT ,I T (A),
apr0C (A) ⊆ aprICT (A).
• Voor een IMTL-t-norm T , zijn R-implicator I T en de ge¨ınduceerde negator N I T
geldt:
apr0CT ,I T (A) = aprICT (A),
apr0C (A) ⊇ apr0CT ,I T (A),
apr0C (A) ⊇ aprICT (A).
110
6.3
Uitbreidingen van (apr00C, apr00C)
In hoofdstuk 5 zagen we slechts twee uitbreidingen van het paar (apr00C , apr00C ), namelijk het
tweede paar van Li et al. en het paar vaagbenaderingsoperatoren (apr00C , apr00C ) uit Definitie
5.1.9.
Li et al. - (apr00C , apr00C )
Zij T een t-norm, I een implicator en C een vaagcovering van het universum U , dan
onderzoeken we in deze sectie of er een verband bestaat tussen de paren (apr00C , apr00C ) uit
Definitie 5.1.9 en (apr00CT ,I , apr00CT ,I ) uit Definitie 5.2.7. We zullen voor dit verband een onderscheid maken tussen twee soorten vaagcoverings aan de hand van de definitie van apr00C .
De volgende propositie bespreekt het bestaande verband wanneer we een vaagcovering C
van U beschouwen waarvoor geldt:
(∀C ∈ C)(∃y ∈ U ) C(y) > N (A(y)) .
(6.6)
Propositie 6.3.1. Neem een t-norm T , een implicator I en een involutieve negator N .
Stel C een vaagcovering van U die aan (6.6) voldoet, dan geldt voor een A ∈ F(U ) de
volgende inclusie:
aprC00 T ,I (A) ⊆ apr00C (A).
Bewijs. Neem een willekeurige x ∈ U :
(apr00CT ,I (A))(x) = sup T C(x), sup T (C(y), A(y))
y∈U
C∈C
≤ sup T C(x), 1
C∈C
= supC(x).
C∈C
Door de voorwaarde op C, hebben we:
(apr00C (A))(x) = supC(x),
C∈C
waardoor we kunnen besluiten dat
apr00CT ,I (A)
⊆ apr00C (A).
Merk op dat wanneer naast conditie (6.6) de voorwaarden voor de dualiteit van het paar
(apr00CT ,I , apr00CT ,I ) op de t-norm T , de implicator I en de gebruikte negator voldaan zijn
(zie Proposities 5.2.9, 5.2.10) , dan geldt de omgekeerde inclusie voor de onderbenaderingsoperatoren:
∀A ∈ F(U ) : apr00C (A) ⊆ aprC00 T ,I (A).
Of deze inclusie voor de onderbenaderingen ook geldt onder de minder strenge voorwaarden van Propositie 6.3.1, blijft een open probleem.
We zien door volgend tegenvoorbeeld dat de omgekeerde inclusie van deze uit Propositie
6.3.1 niet kan optreden onder voorwaarde (6.6).
111
Voorbeeld 6.3.2. We beschouwen het universum U = {x, y, z}, de vaagverzameling A
met A(x) = 0.9, A(y) = 0.6, A(z) = 1 en de vaagcovering C = {C1 , C2 } bepaald door:
C1 (x) = 1, C1 (y) = 1, C1 (z) = 0.3,
C2 (x) = 0.9, C2 (y) = 0.5, C2 (z) = 1.
Als we N = N S nemen, zien we dat (6.6) voldaan is. Als we de t-norm T M gebruiken en
zijn R-implicator I T , dan krijgen we:
00 T M ,I T M
1 = (apr00C (A))(x) > (aprC
(A))(x) = 0.9.
In het geval de voorwaarde (6.6) niet voldaan is en er bijgevolg geldt:
(∃C ∈ C)(∀y ∈ U ) C(y) ≤ N (A(y)) ,
(6.7)
vinden we een tegenvoorbeeld voor beide inclusies:
Voorbeeld 6.3.3. Beschouw het universum U = {x, y, z} en de vaagverzameling
A ∈ F(U ) met A(x) = 0.3, A(y) = 0.3, A(z) = 0. Laat C een vaagcovering zijn van U
bepaald door:
C1 (x) = 1, C1 (y) = 1, C1 (z) = 0,
C2 (x) = 0.3, C2 (y) = 0.3, C2 (z) = 1.
We nemen N = N S en zien dat voorwaarde (6.7) voldaan is. Als we de t-norm T M en
de R-implicator I T M beschouwen, dan krijgen we dat:
(apr00CT ,I (A))(x) = 0.3, (apr00CT ,I (A))(z) = 0.3 en (apr00C (A))(x) = 1, (apr00C (A))(z) = 0.
Hierdoor zien we het volgende:
(apr00CT ,I (A))(x) < (apr00C (A))(x), en
(apr00CT ,I (A))(z) > (apr00C (A))(z).
We concluderen dat er in dit geval geen inclusieverbanden bestaan tussen het paar vaagbenaderingsoperatoren (apr00C , apr00C ) en het paar (apr00CT ,I , aprC00 T ,I ).
112
Hoofdstuk 7
Besluit
We hebben in deze masterproef meermaals kunnen vaststellen dat lang niet alle verschillende operatoren ook andere benaderingen opleveren. In het eerste deel hebben we de
bestaande literatuur bestudeerd over verbanden tussen benaderingsoperatoren uit zowel
het duale als het niet-duale raamwerk. De drie types definities van de benaderingsoperatoren gebaseerd op omgevingsoperatoren, coverings en sluitingssystemen, alsook de benaderingsoperatoren gebaseerd op relaties werden in Hoofdstuk 2 besproken. In Hoofdstuk
3 behandelden we de verbanden tussen de verschillende types benaderingsoperatoren.
Eerst gaven we de verbanden tussen de drie types coveringgebaseerde benaderingsoperatoren en om deze samen te vatten, gaven we Tabel 3.1. Daarnaast onderzochten we hoe
benaderingsoperatoren gebaseerd op coverings en relaties zich tot elkaar verhouden. Dit
onderzoek maakte gebruik van twee methodes, zijnde de methode van Yao en de methode
van Zhu. Door het toepassen van de methode van Yao vonden we een resultaat waaruit
blijkt dat (apr0C , apr0C3 ) equivalent is met een paar pawlakbenaderingsoperatoren. We
3
besloten in dit hoofdstuk dat de methode van Yao een speciaal geval uitmaakt van de
methode van Zhu die gebruik maakt van ge¨ınduceerde coverings en relaties om coveringen relatiegebaseerde benaderingsoperatoren aan elkaar te linken.
In het tweede deel formuleerden we, na een grondige studie van de bestaande definities,
een voorstel voor de definitie van een vaagcovering en andere gerelateerde vaagbegrippen.
We gebruiken deze definitie om in Hoofdstuk 5 de drie types ruwverzamelingen gebaseerd
op coverings uit te breiden naar de vaagverzamelingenleer. We hebben nieuwe definities voorgesteld voor deze drie paren benaderingsoperatoren en we concluderen dat deze
paren onder de juiste voorwaarden duaal zijn. Verder geldt voor deze benaderingsoperatoren ook dat de onderbenadering bevat zit in de vaagverzameling die wordt benaderd en
tevens zit deze vaagverzameling in zijn bovenbenadering bevat. Wat betreft de benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings uit de literatuur, gelden dezelfde resultaten.
We besluiten hieruit dat de ingevoerde definities van benaderingsoperatoren gebaseerd op
vaagcoverings voldoen aan de gewenste dualiteit en inclusies en dat ze net zoals de reeds
bestaande definities een volwaardige uitbreiding geven van de scherpe benaderingsoperatoren. De uitbreiding voor vaagverzamelingen van de niet-duale benaderingsoperatoren
gebaseerd op coverings uit Hoofdstuk 2 werd in deze thesis niet behandeld en dit blijft
dus een interessant onderzoeksdomein.
113
In Hoofdstuk 6 voerden we de studie uit naar de verbanden tussen de zelf ingevoerde
benaderingsoperatoren en deze die we bespraken uit de literatuur. Het leerde in de eerste
plaats welke verbanden uit Hoofdstuk 3 voor scherpe benaderingsoperatoren behouden
bleven tussen de benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings die we in deze thesis
invoerden. Ons onderzoek spitste zich hier echter toe op gelijkheden binnen en tussen de
verschillende klassen benaderingsoperatoren en we zijn niet dieper ingegaan op de inclusierelaties tussen de drie types benaderingsoperatoren. Voor het scherpe geval werd dit
reeds onderzocht in [36]. De vraag welke inclusieverbanden voor de nieuwe definities uit
deze thesis blijven gelden, blijft dus nog onbeantwoord. Verder bestudeerden we ook hoe
de nieuwe definities en deze uit de literatuur als uitbreidingen van hetzelfde scherpe paar
zich tot elkaar verhouden. We vermelden ook dat voor ´e´en van de paren vaagbenaderingsoperatoren uit de literatuur die we bestudeerden, namelijk deze van Wu et al, geen
verbanden werden gevonden ten opzichte van de andere besproken benaderingsoperatoren
van Li et al., Feng et al. en Inuiguchi et al.. Wel konden we hun benaderingsoperatoren
linken aan ´e´en van de paren die we zelf invoerden. Deze verbanden voor het paar van Wu
et al. blijven dus het onderwerp van een open onderzoeksvraag.
We merken nogmaals op dat we in deze masterproef werkten in eindige universa. Er zijn
auteurs zoals Li et al. die vaagcoverings en de benaderingsoperatoren die hierop gebaseerd
zijn, beschouwen voor een oneindig universum. Als de verschillende ingevoerde definities
allemaal uitgebreid zouden worden voor oneindige verzamelingen kan een volgende uitdaging er in bestaan om ook in dit geval de verbanden te onderzoeken.
Als slotbemerking herhalen we dat de nieuwe definities voor benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings die deze thesis levert nog in heel wat opzichten het onderwerp
kunnen zijn van verder onderzoek. Zo kan bestudeerd worden welke verbanden er bestaan tussen deze definities en benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagrelaties of men
kan links zoeken met de uitbreidingen van de niet-duale benaderingsoperatoren gebaseerd
op coverings.
114
Bijlage A
Resume
This thesis will examine rough sets based on coverings and fuzzy rough sets based on
fuzzy coverings. Rough set theory (Pawlak [31], 1982) provides a way to approximate
a classical set when we are dealing with incomplete information. They are defined by a
pair of operators that act on the set that we want to approximate and generate an under
and upper approximation. Pawlak’s approximation operators use a partition of the universe that is determined by an equivalence relation. When these partitions are replaced
by coverings and arbitrary relations are considered, the theory of generalized rough sets
originates. Fuzzy set theory (Zadeh [60], 1965) serves to model uncertain information
and forms an extension of the classical set theory. Fuzzy sets are determined by a so
called membership function. This function stipulates to what extend an object belongs
to the considered set. When approximation operators are used to approximate fuzzy sets,
fuzzy rough sets come into existence (Dubois and Prade [15], 1990). These are defined by
a pair of membership functions that give an under and upper approximation. The first
part of this thesis will provide the fundamentals of the knowledge of crisp approximation
operators based on coverings and their connections in order to extend this study in the
second part to the case of fuzzy sets.
Scientific literature provides us with three types of definitions for generalized rough sets.
These are determined by neighbourhood operators, coverings or closure systems. The
rough sets are represented as a pair of approximation operators (apr, apr). The approximation operators based on coverings are linked to a covering in a direct way, while for the
other types there is an indirect connection to a covering by means of a neighbourhood
operator or a closure system. The existing research of these approximation operators and
their connections forms the basic thought of this thesis. Next to this, rough sets based on
binary relations are also taken into account. After giving a thorough foundation for the
rest of the thesis in Chapter 1, we consider the three types of approximation operators
in Chapter 2. In Chapter 3, we give a summary of the connections between them. The
use of different neighbourhood operators, coverings and closure systems leads to a range
of approximation operators that are related to each other. We examine the equalities
between approximation operators of the same type as well as approximation operators of
different types. For the three types of approximation operators Table 3.1 gives an overview of which rough sets generate the same approximations. The second part of Chapter
115
3 investigates the connections of approximation operators based on binary relations and
coverings. For that we use two methods, namely the method of Zhu [69] and the method
of Yao [53]. Application of the method of Yao learns that the pair (apr0C , apr0C3 ) is equi3
valent to a pair of Pawlak approximation operators. We also conclude that the method
of Zhu that applies induced coverings and relations, is a special case of the considered
theorem of Yao.
The goal of the second part is to expand Chapter 2 and 3 to fuzzy rough sets and to
study approximation operators based on fuzzy coverings. For this, we start Chapter 4
with the discussion of fuzzy coverings and T -partitions. The results prove that there is
an equivalence between the different characterisations of a T -partition introduced by De
Baets-Mesiar [10], Deng et al. [13] and Li et al. [29] for a left-continuous t-norm T . We
determine a well-motivated definition of a fuzzy covering for the following chapters of this
thesis and extend the concepts related to coverings in the case of fuzzy sets. Nevertheless,
the focus of this work lies upon Chapters 5 and 6. Firstly, we introduce new definitions for
the three types of approximation operators that are extensions to the case of fuzzy sets.
We get three types of fuzzy approximation operators that are based on fuzzy coverings in
a direct or indirect way. Next to these extensions, Chapter 5 also deals with other fuzzy
approximation operators that we found in the existing scientific literature. We mainly
focuss on the definitions introduced by Li et al. [29], Feng et al. [19], Inuiguchi et al. [24]
and Wu et al. [44]. For each of the pairs of approximation operators that are discussed
in this chapter, we prove that they form extensions of the approximation operators from
Chapter 2. Besides that we investigate under which conditions the fuzzy approximation
operators are dual with respect to an involutive negator. Finally we examine if the following condition that holds for all crisp approximation operators, still holds for the fuzzy
approximation operators: apr(A) ⊆ A en A ⊆ apr(A).
The different approximation operators based on fuzzy coverings are compared in Chapter
6. First we investigate whether the connections that existed for the crisp approximation operators still hold for the fuzzy definitions. For this purpose, we use Table 3.1.
Table 6.1 provides a summary of the connections between the different fuzzy approximation operators of Section 5.1. We will also discuss the connections between the fuzzy
approximation operators based on fuzzy coverings from the literature that we considered in Chapter 5. Therefore we make a distinction between the extensions to the fuzzy
set theory of the pair (apr0C , apr0C ) and the extensions of the pair (apr00C , apr00C ). Within
these classes we study the relations between the approximation operators and we will find
that certain equalities or inclusions occur by choosing specific fuzzy coverings or fuzzy
logical connectives. On the other hand, the purpose of discussing fuzzy approximation
operators from the literature is to decide whether these approximation operators coincide
with or show relations to the approximation operators that we defined ourself in Section
5.1. We conclude that these fuzzy approximation operators generally generate different
approximations, but under special conditions there are some inclusion relations. Finally,
we discuss the conclusions we can make due to the results of this thesis and we point out
some open research questions in Chapter 7.
116
Bijlage B
Samenvatting
In deze masterproef wordt onderzoek gedaan naar ruwverzamelingen gebaseerd op coverings en vaagruwverzamelingen gebaseerd op vaagcoverings. Ruwverzamelingenleer
(Pawlak [31], 1982) geven een manier om scherpe verzamelingen te benaderen wanneer we
te maken krijgen met onvolledige informatie. Ze laten een paar operatoren op de te benaderen verzameling inwerken en die genereren een onder- en bovenbenadering. Bij Pawlak
maken deze benaderingsoperatoren gebruik van een partitie van het universum bepaald
door een equivalentierelatie, we noemen het pawlakbenaderingsoperatoren. Door partities
te verzwakken tot coverings en willekeurige relaties te beschouwen, ontstaat de veralgemeende ruwverzamelingenleer. Vaagverzamelingen (Zadeh [60], 1965) dienen om onzekere
informatie te modelleren en zijn een uitbreiding van scherpe verzamelingen. Ze worden
bepaald aan de hand van een zogenaamde lidmaatschapsfunctie. Deze bepaalt in welke
mate een object uit het universum bevat zit in de beschouwde verzameling. Wanneer
benaderingsoperatoren gebruikt worden om vaagverzamelingen te benaderen, ontstaan
vaagruwverzamelingen (Dubois en Prade [15], 1990). Deze worden gedefinieerd door een
paar van lidmaatschapsfuncties die de onder- en bovenbenadering geven. Het eerste deel
van deze thesis legt een grondige basis voor de kennis van scherpe benaderingsoperatoren
gebaseerd op coverings en hun verbanden, om in het tweede deel deze studie te kunnen
uitbreiden naar het vage geval.
In de wetenschappelijke literatuur is er sprake van drie types definities voor veralgemeende ruwverzamelingen. Deze worden bepaald door omgevingsoperatoren, coverings of
sluitingssystemen. De ruwverzamelingen worden voorgesteld als het paar benaderingsoperatoren (apr, apr). De benaderingsoperatoren gebaseerd op coverings zijn op een directe
manier gelinkt aan een covering terwijl de andere types op een indirecte manier, door
middel van de begrippen omgevingssysteem of sluitingssysteem, gebaseerd zijn op een covering. Het bestaande onderzoek van deze benaderingsoperatoren en hun verbanden vormt
het uitgangspunt van deze thesis. Hiernaast komen ook ruwverzamelingen gebaseerd op
binaire relaties aan bod. Nadat we in Hoofdstuk 1 de nodige theoretische basis gelegd
hebben voor deze thesis, defini¨eren we in Hoofdstuk 2 de drie types scherpe benaderingsoperatoren. In Hoofdstuk 3 geven we dan een samenvatting van hun verbanden. Gebruik
van verschillende omgevingsoperatoren, coverings en sluitingssystemen geeft een gamma
aan benaderingsoperatoren die aan elkaar gerelateerd zijn. We onderzoeken zowel gelijk117
heden tussen benaderingsoperatoren van hetzelfde type als tussen de verschillende types.
We besluiten voor de drie types benaderingsoperatoren in Tabel 3.1 welke ruwverzamelingen gelijke benaderingen genereren. In het tweede deel van Hoofdstuk 3 onderzoeken we
de verbanden met benaderingsoperatoren gebaseerd op binaire relaties. Daarvoor gebruiken we enerzijds de methode van Yao [53] en anderzijds de methode van Zhu [69]. Door
toepassing van de methode van Yao, leiden we af dat het paar (apr0C , apr0C3 ) equivalent
3
is met een paar pawlakbenaderingsoperatoren. Verder concluderen we in dit hoofdstuk
dat de methode van Zhu die gebruik maakt van ge¨ınduceerde coverings en relaties, een
speciaal geval oplevert van Yao’s Stelling.
Met als doel de Hoofdstukken 2 en 3 uit te breiden naar vaagruwverzamelingen en een
studie uit te voeren van benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings, starten we in
Hoofdstuk 4 met de bespreking van vaagcoverings en T -partities. In dat opzicht besluiten
we de equivalentie van verschillende karakterisaties van het begrip T -partitie ingevoerd
door De Baets-Mesiar [10], Deng et al. [13] en Li et al. [29] voor een linkscontinue t-norm
T . We leggen de definitie van het begrip vaagcovering vast voor het vervolg van de masterproef en breiden de begrippen gerelateerd aan coverings uit de voorgaande hoofdstukken
uit voor vaagverzamelingen. Het zwaartepunt van deze thesis ligt op de Hoofdstukken 5
en 6. Eerst voeren we in Hoofdstuk 5 voor de drie gekende types benaderingsoperatoren
nieuwe definities in die uitbreidingen zijn naar de vaagverzamelingenleer. We verkrijgen
drie paren vaagbenaderingsoperatoren die, direct of indirect, gebaseerd zijn op vaagcoverings. Hierbij maken we enkel gebruik van vaaglogische operatoren, zoals een t-norm en
een implicator, voor de benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagomgevingsoperatoren.
Verder behandelen we in Hoofdstuk 5 ook andere benaderingsoperatoren gebaseerd op
vaagcoverings die we gevonden hebben in de bestaande wetenschappelijke literatuur. Het
betreft voornamelijk de definities ingevoerd door Li et al. [29], Feng et al. [19], Inuiguchi
et al. [24] en Wu et al. [44]. Voor elk van de paren benaderingsoperatoren die in dit
hoofdstuk besproken worden, tonen we aan dat het uitbreidingen zijn van de benaderingsoperatoren uit Hoofdstuk 2. Daarnaast gaan we na onder welke voorwaarden de paren
vaagbenaderingsoperatoren duaal zijn ten opzichte van een involutieve negator. Tenslotte
onderzoeken we voor alle vaagbenaderingsoperatoren de volgende eigenschap die ook voor
de besproken scherpe benaderingsoperatoren voldaan is: apr(A) ⊆ A en A ⊆ apr(A).
De verschillende benaderingsoperatoren gebaseerd op vaagcoverings worden in Hoofdstuk
6 met elkaar vergeleken. Eerst voeren we een onderzoek dat nagaat welke verbanden die
bestaan voor scherpe benaderingsoperatoren blijven gelden in het vage geval. We baseren
ons hiervoor op Tabel 3.1. In Tabel 6.1 zullen we dan samenvatten welke verbanden bestaan tussen de vaagbenaderingsoperatoren uit Sectie 5.1. Ook de benaderingsoperatoren
uit de literatuur die in Hoofdstuk 5 aan bod kwamen, worden betrokken in het onderzoek
naar de verbanden. Zo zullen we een opsplitsing maken tussen de uitbreidingen naar het
vage geval van het paar (apr0C , apr0C ) en de uitbreidingen van het paar (apr00C , apr00C ). Binnen deze klassen bestuderen we de onderlinge relaties van de benaderingsoperatoren en
we zullen vinden dat er zich inclusieverbanden of zelfs gelijkheden voordoen bij specifieke
keuzes van de vaagcoverings of vaaglogische connectieven. Anderzijds bespreken we deze
vaagbenaderingsoperatoren uit de literatuur met als doel te kunnen besluiten of deze benaderingsoperatoren samenvallen of een verband vertonen met de benaderingsoperatoren die
we zelf defini¨eren in Hoofdstuk 5. We concluderen dat deze vaagbenaderingsoperatoren in
118
het algemeen verschillende benaderingen genereren maar dat onder speciale voorwaarden
op de gebruikte vaagcovering of vaaglogische operatoren wel inclusieverbanden kunnen
optreden. Tenslotte trekken we in Hoofdstuk 7 conclusies in verband met de resultaten
van deze thesis en bespreken we nog enkele openstaande onderzoeksvragen.
119
Bibliografie
[1] M. Baczy´
nski and B. Jayaram. An Introduction to Fuzzy Implications. Springer,
2008.
[2] J. Bezdek. Cluster validity with fuzzy sets. 1973.
[3] Z. Bonikowski, E. Bryniarski, and U. Wybraniec-Skardowska. Extensions and intentions in the rough set theory. Information Sciences, 107(1):149–167, 1998.
[4] E. Bryniarski. A calculus of rough sets of the first order. Bulletin of the Polisch
Academy of Sciences, 36(16):71–77, 1989.
[5] D. Butnariu. Additive fuzzy measures and integrals 1. Journal of Mathematical
Analysis and Applications, 93(2):436–452, 1983.
[6] D. Chen, C. Wang, and Q. Hu. A new approach to attribute reduction of consistent
and inconsistent covering decision systems with covering rough sets. Information
Sciences, 177(17):3500–3518, 2007.
[7] C. Cornelis, M. De Cock, and A.M. Radzikowska. Fuzzy rough sets: from theory
into practice. Handbook of Granular Computing. Wiley, Chichester, pages 533–552,
2008.
[8] B. De Baets, G. De Cooman, and E. Kerre. The construction of possibility measures
from samples on t-semi-partitions. Information Sciences, 106(1):3–24, 1998.
[9] B. De Baets and J. Fodor. Twenty years of fuzzy preference structures (1978–1997).
Rivista di matematica per le scienze economiche e sociali, 20(1):45–66, 1997.
[10] B. De Baets and R. Mesiar. T-partitions. Fuzzy Sets and Systems, 97(2):211–223,
1998.
[11] M. De Cock, C. Cornelis, and E. Kerre. Fuzzy rough sets: beyond the obvious. In
IEEE International Conference on Fuzzy Systems, volume 1, pages 103–108. Institute
of Electrical and Electronics Engineers, 2004.
[12] L. D’eer, N. Verbiest, C. Cornelis, and L. Godo. Implicator-conjunctor based models
of fuzzy rough sets: definitions and properties. In Rough Sets, Fuzzy Sets, Data
Mining, and Granular Computing, pages 169–179. Springer, 2013.
120
[13] T. Deng, Y. Chen, W. Xu, and Q. Dai. A novel approach to fuzzy rough sets based
on a fuzzy covering. Information Sciences, 177(11):2308–2326, 2007.
[14] G. Deschrijver. Cursus vaagheids- en onzekerheidsmodellen, 2012. Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek.
[15] D. Dubois and H. Prade. Rough fuzzy sets and fuzzy rough sets. International
Journal of General System, 17(2-3):191–209, 1990.
[16] J. Dunn. A fuzzy relative of the isodata process and its use in detecting compact
well-separated clusters. 1973.
[17] F. Esteva and L. Godo. Monoidal t-norm based logic: towards a logic for leftcontinuous t-norms. Fuzzy sets and systems, 124(3):271–288, 2001.
[18] T. Feng, J. Mi, and W. Wu. Covering-based generalized rough fuzzy sets. In Rough
Sets and Knowledge Technology, pages 208–215. Springer, 2006.
[19] T. Feng, S.P. Zhang, and J.S. Mi. The reduction and fusion of fuzzy covering systems based on the evidence theory. International Journal of Approximate Reasoning,
53(1):87–103, 2012.
[20] J. Grzymala-Busse. Data with missing attribute values: Generalization of indiscernibility relation and rule induction. In Transactions on Rough Sets 1, pages 78–95.
Springer, 2004.
[21] J. Grzymala-Busse and S. Siddhaye. Rough set approaches to rule induction from
incomplete data. In Proceedings of the International Conference on Information
Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems, volume 2,
pages 923–930, 2004.
[22] U. H¨ohle. Fuzzy equalities and indistinguishability. Proceedings of The European
Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT), 93:358–363, 1993.
[23] M. Inuiguchi. Classification- versus approximation-oriented fuzzy rough sets. In Proceedings of Information Processing and Management of Uncertainty in KnowledgeBased Systems. CD-ROM, 2004.
[24] M. Inuiguchi, W.Z. Wu, C. Cornelis, and N. Verbiest. Fuzzy-rough hybridization. In
Handbook of Computational Intelligence. Springer, 2013.
[25] J. J¨arvinen. Lattice theory for rough sets, pages 400–498. Springer, 2007.
[26] F. Klawonn and R. Kruse. From fuzzy sets to indistinguishability and back. Proceedings of International Symposium on Fuzzy Logic (ISFL), 95:57–59, 1995.
[27] G. Lang, Q. Li, and L. Guo. Generalized fuzzy rough sets based on fuzzy coverings.
arXiv preprint arXiv:1204.0072, 2012.
121
[28] T.J. Li. Rough approximation operators in covering approximation spaces. In Rough
Sets and Current Trends in Computing, pages 174–182. Springer, 2006.
[29] T.J. Li, Y. Leung, and W.X. Zhang. Generalized fuzzy rough approximation operators based on fuzzy coverings. International Journal of Approximate Reasoning,
48(3):836–856, 2008.
[30] J.S. Mi and W.X. Zhang. An axiomatic characterization of a fuzzy generalization of
rough sets. Information Sciences, 160(1):235–249, 2004.
[31] Z. Pawlak. Rough sets. International Journal of Computer and Information Sciences,
11(5):341–356, 1982.
[32] J.A. Pomykala. Approximation operations in approximation space. Bulletin of the
Polish Academy of Sciences: Mathematics, 35:653–662, 1987.
[33] A.M. Radzikowska and E. Kerre. A comparative study of fuzzy rough sets. Fuzzy
Sets and Systems, 126(2):137–155, 2002.
[34] A.M. Radzikowska and E. Kerre. Characterisation of main classes of fuzzy relations
using fuzzy modal operators. Fuzzy sets and systems, 152(2):223–247, 2005.
[35] M. Restrepo, C. Cornelis, and J. G´omez. Duality, conjugacy and adjointness of
approximation operators in covering based rough sets. International Journal of Approximate Reasoning, 55(1):469–486, 2014.
[36] M. Restrepo, C. Cornelis, and J. G´omez. Partial order relation for approximation
operators in covering based rough sets. Information Sciences, in press.
[37] E. Ruspini. A new approach to clustering. Information and Control, 15(1):22–32,
1969.
[38] E. Ruspini. Numerical methods for fuzzy clustering. Information Sciences, 2(3):319–
350, 1970.
[39] Z. Shi and Z. Gong. The further investigation of covering-based rough sets: uncertainty characterization, similarity measure and generalized models. Information
Sciences, 180(19):3745–3763, 2010.
[40] E. Tsang, D. Chen, J. Lee, and D. Yeung. On the upper approximations of covering
generalized rough sets. In Proceedings of 2004 International Conference on Machine
Learning and Cybernetics, volume 7, pages 4200–4203. Institute of Electrical and
Electronics Engineers, 2004.
[41] J.P. Wang, D. Dai, and Z.C. Zhou. Fuzzy covering generalized rough sets. Journal
of Zhoukou Teachers College, 21(2):20–22, 2004.
[42] L. Wang, X. Yang, J. Yang, and C. Wu. Relationships among generalized rough
sets in six coverings and pure reflexive neighborhood system. Information Sciences,
207:66–78, 2012.
122
[43] S.K.M. Wong, L.S. Wang, and Y.Y. Yao. On modeling uncertainty with interval
structures. Computational Intelligence, 11(2):406–426, 1995.
[44] M.F. Wu, H.H. Han, and Y.F. Si. Properties and axiomatization of fuzzy rough sets
based on fuzzy covering. In International Conference on Machine Learning and Cybernetics (ICMLC), volume 1, pages 184–189. Institute of Electrical and Electronics
Engineers, 2012.
[45] M.F. Wu, X. Wu, T. Shen, and C. Cao. A new type of covering approximation
operators. In International Conference on Electronic Computer Technology, pages
334–338. Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2009.
[46] W.Z. Wu, J.S. Mi, and W.X. Zhang. Generalized fuzzy rough sets. Information
Sciences, 151:263–282, 2003.
[47] W.Z. Wu and W.X. Zhang. Constructive and axiomatic approaches of fuzzy approximation operators. Information Sciences, 159(3):233–254, 2004.
[48] W.H. Xu and W.X. Zhang. Measuring roughness of generalized rough sets induced
by a covering. Fuzzy Sets and Systems, 158(22):2443–2455, 2007.
[49] Z.Y. Xu and J.Q. Liao. On the covering fuzzy rough sets model. Fuzzy Systems and
Mathematics, 20(3):141–144, 2006.
[50] Z.Y. Xu and Q. Wang. On the properties of covering rough sets model. Journal of
Henan Normal University (Natural Sciences), 33(1):130–132, 2005.
[51] T. Yang and Q. Li. Reduction about approximation spaces of covering generalized
rough sets. International Journal of Approximate Reasoning, 51:335–345, 2010.
[52] Y.Y. Yao. Two views of the theory of rough sets in finite universes. International
Journal of Approximate Reasoning, 15:291–317, 1996.
[53] Y.Y. Yao. Constructive and algebraic methods of the theory of rough sets. Information Sciences, 109(1-4):21–47, 1998.
[54] Y.Y. Yao. Relational interpretations of neighborhood operators and rough set approximation operators. Information Sciences, 111(1):239–259, 1998.
[55] Y.Y. Yao. Information granulation and rough set approximation. International Journal of Intelligent Systems, 16(1):87–104, 2001.
[56] Y.Y. Yao. On generalizing rough set theory. In Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mining
and Granular Computing, pages 44–51. Springer, 2003.
[57] Y.Y. Yao and T. Wang. On rough relations: an alternative formulation. In New
Directions in Rough Sets, Data Mining, and Granular-Soft Computing, pages 82–90.
Springer, 1999.
123
[58] Y.Y. Yao and B. Yao. Covering based rough set approximations. Information Sciences, 200:91–107, 2012.
[59] D. Yeung, D. Chen, E. Tsang, J. Lee, and W. Xizhao. On the generalization of fuzzy
rough sets. Transactions on Fuzzy Systems, 13(3):343–361, 2005.
[60] L. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8(3):338–353, 1965.
[61] W. Zakowski. Approximations in the space (u, π). Demonstratio Mathematica,
16(40):761–769, 1983.
[62] Z. Zhang. Generalized intuitionistic fuzzy rough sets based on intuitionistic fuzzy
coverings. Information Sciences, 198:186–206, 2012.
[63] W. Zhu. Properties of the fourth type of covering-based rough sets. In Sixth International Conference on Hybrid Intelligent Systems, pages 43–43. Institute of Electrical
and Electronics Engineers, 2006.
[64] W. Zhu. Properties of the second type of covering-based rough sets. In Proceedings
of the 2006 IEEE/WIC/ACM international conference on Web Intelligence and Intelligent Agent Technology, pages 494–497. Institute of Electrical and Electronics
Engineers Computer Society, 2006.
[65] W. Zhu. Basic concepts in covering-based rough sets. In Third International Conference on Natural Computation (ICNC), volume 5, pages 283–286. Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2007.
[66] W. Zhu. A class of covering-based fuzzy rough sets. In International Conference on
Fuzzy Systems and Knowledge Discovery, pages 7–11, 2007.
[67] W. Zhu. Generalized rough sets based on relations. Information Sciences, 177:4997–
5011, 2007.
[68] W. Zhu. Relationship among basic concepts in covering-based rough sets. Information
Sciences, 179(14):2478–2486, 2009.
[69] W. Zhu. Relationship between generalized rough sets based on binary relation and
covering. Information Sciences, 179:210–225, 2009.
[70] W. Zhu and F.Y. Wang. Reduction and axiomization of covering generalized rough
sets. Information Sciences, 152:217–230, 2003.
[71] W. Zhu and F.Y. Wang. Binary relation based rough sets. In Fuzzy Systems and
Knowledge Discovery, pages 276–285. Springer, 2006.
[72] W. Zhu and F.Y. Wang. A new type of covering rough set. In 3rd International
IEEE Conference on Intelligent Systems, pages 444–449. Institute of Electrical and
Electronics Engineers, 2006.
124
[73] W. Zhu and F.Y. Wang. Properties of the first type of covering-based rough sets.
In Sixth IEEE International Conference on Data Mining Workshops, pages 407–411.
Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2006.
[74] W. Zhu and F.Y. Wang. On three types of covering-based rough sets. Transactions
on Knowledge and Data Engineering, 19(8):1131–1144, 2007.
125

Europese top 10 "Maatschappelijke schade index" voor

klik hier - Corilus

Download hier de poster

Weekbericht 28 maart 2014

03 Belgian Diabetes Registry

informatiebulletin 22 - OBS Centrum

Trimester 3, premaster

Aktie aanbieding APR 3020

Afronding SE H5 en V6

Column VNO NCW - 20140916134431 - VNO