elektrische-modelvorming-van-twee

i\
.
.
'.
,
I
a?
/)I
\t,..>
i
iy
RIJKSDIENST ,
VOOR DE IJSSELMEERPOLDERS
SMEDINGHUIS
' L E L Y S T A D
818L101'klZE~
I -.
-
R I ~ K S D I E N S -\/C)CR
~
oe
IJSSELMEE~PSLD~RS
Werkdocument 1975-572 Bbw
ELEKTRISCHE MODELVORMING VAN TWEE-COMPONENTIGE GRONDWATERSTROMING
ing. .
I
.Ardon
ing. D. Eenkhoorn
Samenvatting
Dankzij de analogie tussen elektrische stroming in een geleider
(Ohm) en de stroming van water door een poreus medium (Darcy), kunnen
grondwaterbewegingen bestudeerd worden in elektrische modellen.
Voor het analyseren van twee-componentige grendwaterstroming
(zout-en zoet water) is het nodig om voorzieningen in het model te
treffen voor de overgang tussen de verschillende vloeistoffen.
In dit verslag is een methode uitgewerkt waarbij de overgangsgrens tussen de vloeistoffen gesimuleerd'wordt door een capaciteitsbarrizre.
c
-
codering van schakelelementen
capaciteit
gravitatie
elektrische stroomsterkte
- elektrische stroomdichtheid
- doorlaatfactor
- druk t.0.v. atmosferische druk
debiet
elektrische-spanning
- filtersnelheid
- cozrdinaten in orthagonaal
assenstelsel
- horizontaal oppervlak van
een beschouwd gebiedje
- effectieve porisngehalte
soortelijke weerstand
:soortelijke massa
stijghoogte
.
-
z
indices
I
II
- zoet
- zout
!
Inleiding
Elektrisch modelonderzoek wordt op vele gebieden toegepas't, zoals
bij : - warmtetechniek
1
- elektrostatica
- magnetisme
- hydrologie
Elektrische modelvorming is mogelijk doordat:d basiswetten in de
verschillende disciplines aan elkaar verwant zijn.
In de genoemde ajsciplines speelt de vergelijking van Laplace een
belangrijke rol. Tevens kunnen'de diffusie-vergelijking en de vergelijking van Poisson van belang zijn:
Voor elektrische~modelvormingvan vloeistofstroming in eenporeus
medium, zijn de volgende yergelijkingen van belang:
. .
- de wet van Ohm
I;-+
- de wet van Darcy
-
v
=
- k
.
.
. vY
Toepassing van het continuiteitsprincipe op bovenstaande formules
levert Laplace-vergelijkingen op:
Danlczij de analogie tussen bovenstaande formules (Fraanje, 1972;
Verruit, 1970) is elektrische modelvorming van grondwaterstroming mogelijk.
Voor elektrische modelvorming zijn een aantal technieken ontwikkeld
(Fraanje, 1972; Karplus, 1958) waarbij gebruik wordt gemaakt van verschillende weerstandsmedia, .zeals:
- elektroliet
- plaatvormige geleider
- weerstands-netwerk
Bij grondwaterstroming kan menook situaties aantreffen, waarbij
vloeistoffen met verschillende dichtheden voorkomen, zoals zoet en
zout water.
Voor deze meer-componentige grondwaterstroming zijn er nauwelijks
modeltechnieken aanwezig. Josselin de Jong heeft een systeem beschreven (1970), waarbij de grens tussen de verschillende vloeistoffen voor- ,
gesteld wordt door een stroom- of potentiaalbarriZre.,Bijdit systeem
is het niet mogelijk om de vloeistofgrens in het model te verplaatsen,
omdat de voorwaarde voor de'ver~laatsingvan de grens niet direct uit
het model is te destilleren.Bij een dynamisch model is het echter noodzakelijk dat de vloeistofgrens (zoet-zoutgrens) in het model verplaatst
kan worden.
In dit artikel wordt nu een methode besproken, waarbij de zoetzoutgrens voorgesteld wordt door een capaciteitsbarri0re. Deze capaciteitsbarrisre kan bij een netwerkmodel verplaatstworden door middel
van elektronische schakelelementen. De voorwaarde voor de positie van
.de zoet-zoutgrens is af te leiden van de spanning over de capaciteitsbarrisre.
Systemen met zoet en zout grondwater
Door het verschil in dichtheid bij tweecomponentige grondwaterstroming, zal er een scheiding van de vloeistoffen optreden. In het
geval van zoet en zout grondwater, zal het zoete water zich boven
het zoute water bevinden. De overgang tussen zoet en zout is in de
meeste gevallen vrij abrupt. Hierdoor is het mogel;jk om een scheidingsvlak tussen de vloeistoffen aan te nemen.
Het systeem met zoet en zout grondwater kan geanafyseerd worden
aan de hand van fig. 1. In deze figuur is.een bodempakket met zoet
en zout grondwater afgebeeld.
+.
Z
Fig. 1. Bodempakket met
zoet en zout
grondwater..
.
1
ref. niveau
verzadigd met
zoet grondwater
.
grens tussen ZOet
en zout grondwater
/
/
verzadigd
zout grondwater
met
,
u
H
PI1
De stijghoogte in deze figuur is als volgt gedefinieerd:
Hierbij is z de verticale cosrdinaat t.0.v. het referentieniveau.
~ o o rhet verschil in dichtheid van de vloeistoffen, treedt er, op
de zoet-zoutgrens, een stijghoogtesprong op. Voor een punt A op de
z,oet-zoutgrens (A I aan de zoete zijde en AI1aan de zoute zijde) geldt
,771.
Omdat
.
=AI = zA11
-
?AI - P~~~
en
A
P is de stijghoogtesprong te schrijven als:
A
= Z
=
Uit de vergelijkingen 2 en 3 isvoor de i-cosrdinaat van de zoetzoutgrens af te leiden:
I
,
. Voor ziet en zout water is de term .pII/pI 2 l , 0 2 . In fig. 1 is
het referentieniveau zodanig gekozen dat de stijghoogte in het zoute
water zeer klein is..Hierdoor is ifAII<<( (P II en kan de term
pII/pI in formule 5 op 66n gesteld worden. beze benadering is essentieel bij de modelvorming. Toepassing van deze benadering in formule
5 levert:
YAI)
'
it' formule 6 blijkt dat de z-cob;rdinaat van de zoet-ioutgrens
evenredig is met de stijghoogtesprong op deze grens.
Bij een dynamisch' systeem zal de zoet-zoutgrens zich verplaatsen. Ten gevolge van die verplaatsing zal er stroming van en naar de
grens plaatsvinden. Voor de stkoming, ten gevolge-van de verticale
verplaatsing geldt :
.T
De stroming van en naar de grens is dus evenredig metlde afgeleide van de stijghoogtesprong. Vertaalt men formule 7 naar een elektrisch
systeem, dan moet de stroom van en naar de grens evenredig zijn met de
afgeleide van de spanningssprong over die grens. Bij een condensator
komt een dergelijk verschijnsel voor. Voor een condensator geldt namelijk:
...
Bij een condensator is dus de stroom van en naar de condensator
evenredig met de afgeleide van de spanning over de condensator. Hierdoor
is het mogelijk om een stukje van de zoet-zoutgrens voor te stellen
door een condensator. De hele zoet-zoutgrens kan dan voorgesteld worden
door een rij condensatoren, of we1 een capaciteitsbarrisre.
De simulatie van de zoet-zoutgrens d.m.v. een capaciteitsbarrisre
is te-vergelijken met de simulatie van .berging aan een vrij oppervlak. Bij bergingsverschijnselen is er een freatisch vlak in beweging.
Door de beweging van het freatisch vlak wordt er stroming van en naar
het freatisch vlak veroorzaakt. Deze stroming wordt in een elektrisch
model ook m.b.v. een capaciteitslaag gesimuleerd (Fraanje, 1972).
.Bij de zoet-zoutgrens wordt de stijghoogtesprong en de stroming
.
nagebootst door de,capaciteitsbarrisre. De verplaatsing van de grens
zelf en daarmee de verandering in de geometrische situatie, wordt echter niet nagebootst. Hiervoor moet de capaciteitsbarrisre in het model
verplaatst worden.
De spanning over de capaciteitsbarrisre in het model, is analoog
met de stijghoogtesprong op de zoet-zoutgrens. Deze stijghoogtesprong
is evenredig met de z-coErdinaat van de zoet-zoutgrens (formule 6).
Dus is in het elektrisch model, de spanning over de capaciteitsbarii5re
evenredig met de z-coordinaat van die barrlsre. Hiermee is de voorwaarde voor de positie-.ende verplaatsing van degrens verkregen.
In situaties waar de verplaatsing van de zoet-zoutgrens relatief klein is, is het eventueel mogelijk om de grens d.m.v.een starre
capaciteitsbarri&-e te simuleren.
Netwerkmodel
In een netwerkmodel kan een condensatorlaag ingebouwd worden, die
door schakelelementen verplaatsbaar is. Als schakelelementen kunnen
elektronische schakelaars toegepasf worden, die opgebouwd zijn uit
mos-f ets en als gektegreerde schakelingen,verkrijgbaar zijn.
In fig. 2 is te zien hoe de capaciteitsbarrisre verplaatst kan
worden in een 66n-dimensionaal-(ko1om)model. De condensator C wordt
op de gewenste positie in de kolom geschakeld, door de betreffende
en de bijbehorende b- en c-schakelaars te
a-schakelaar te openen
. ,
sluiten.
Fig. 2. I-dimensionaal netwerk.
Fig. 3. 2-dimensionaal netwerk.
Een twee-dimensionaal netwerk kan verkregen worden door kolommen
te koppelen d.m.v. horizontale weerstanden zoals in fig. 3. De horizontale verbindingsweerstanden moeten ontkoppeld kunnen worden, om
direct contact tussen het zoete en het zoute systeem, in het model,
te voorkomen. De ontkoppeling kan plaatsvinden door elektronische
schakelelementen (zie fig. 3).
Literatuur
Fraanje, M.J., Vloeistofmechanica 3 , ~msterdam/Brussel,Agon Elzevier,
1972.
de Josselin de Jong, G., Singularity distribution $or the analysis o'f
multiple fluid flow through poreus media.
Journal of geophysical research, November 1970.
Karplus, W.J., Analogsimulation, solution. of fieldproblems, New York.
Mc. Graw-Hill Book Cy, 1958.
Verruit, A., Theory of groundwater flow, London/Basingstoke.
Macmillan and Co L.T.D., 1970.

Download Report