Dominantie op een schaakbord

2014
DOMINANTIE OP EEN SCHAAKBORD
Jonas Vantrappen & Stijn Wierinckx
Heilige- Drievuldigheidscollege Leuven
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Inhoud
Inleiding......................................................................................................................................................... 2
Het begrip dominantie .................................................................................................................................. 3
Dominantie met torens ................................................................................................................................. 3
Dominantieonderzoek .............................................................................................................................. 3
Dominantie met lopers ................................................................................................................................. 5
Dominantieonderzoek .............................................................................................................................. 5
Dominantie met koningen ............................................................................................................................ 6
Dominantieonderzoek .............................................................................................................................. 6
Dominantie met paarden .............................................................................................................................. 7
Het dominantieprobleem ......................................................................................................................... 7
Dominantie met dames ................................................................................................................................ 9
Het dominantieprobleem ......................................................................................................................... 9
Dominantie met de beginstukken op een 8x8 schaakbord ........................................................................ 11
Efficiëntie ................................................................................................................................................ 12
Hypothese: torens in de hoeken ............................................................................................................. 13
Dominantie voor 6x6 schaakbord ........................................................................................................... 14
Combinatie 1: koning, 2 paarden en 2 lopers ......................................................................................... 14
Combinatie 2: koning, 2 paarden, een loper en de dame ...................................................................... 15
Positie 1 ............................................................................................................................................... 15
Positie 2 ............................................................................................................................................... 15
Positie 3 ............................................................................................................................................... 16
Positie 4 ............................................................................................................................................... 16
Positie 5 ............................................................................................................................................... 16
Positie 6 ............................................................................................................................................... 17
Besluit ..................................................................................................................................................... 17
Eindwoord ................................................................................................................................................... 18
1
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Inleiding
Er was eens, in een prachtig land heel ver hier vandaan, een land waar zelfs de dieren konden spreken,
een konijn. Het konijn heette Kasparov en had een wit-zwart geruite vacht. Armoede en werkloosheid
kende men niet in dit land, dus had Kasparov zijn leven lang, tot aan zijn welverdiende pensioen, een
rustig maar bevredigend jobje gehad in de bankensector. Verleden jaar echter was de tijd voor Kasparov
gekomen. De tijd om op pensioen te gaan. Dit pensioen heeft zijn leven grondig veranderd.
Het toeval wou dat Kasparov een mooie digitale tv had waarop hij allerhande programma’s kon
bekijken. Gepensioneerde konijnen zijn net als gepensioneerde mensen en doen weinig andere dingen
dan lezen en tv kijken. Op een dag was Kasparov weer eens bezig met van het ene kanaal naar het
andere te zappen tot plots zijn aandacht werd getrokken door een schaaktoernooi. Kasparov kende dit
spel vaag van uit zijn kindertijd, maar was er sinds toen niet meer mee in aanraking gekomen. Nu echter
werd zijn fascinatie plotsklaps getrokken door dit prachtige spel. Kasparovs mateloze interesse voor
wiskunde en zijn drang om te ontdekken en onderzoeken deed hem binnen de 5 minuten naar de winkel
lopen en terugkomen met een splinternieuw schaakbord. Gedaan met lezen, gedaan met tv kijken.
Vanaf nu zou Kasparov zich met niets anders bezighouden dan schaken.
Zo kwam Kasparov terecht in de wereld van het schaken. Een wereld die nooit eindigt en waar altijd
nieuwe dingen ontdekt kunnen worden. Na wat potjes tegen zichzelf te hebben geschaakt, was de tijd
rijp om het pad van de wijsheid op te gaan: het pad van de wiskunde.
Schaken is een spel waarvan we talloze wiskundige aspecten kunnen ontdekken. Kasparov was echter
vooral geïnteresseerd in het domineren. Domineren? Domineren houdt in dat het mogelijk is om na één
zet een bepaalde tegel te bereiken met een bepaald schaakstuk.
Één vraag echter liet Kasparov niet met rust. Wanneer hij ’s avonds naar bed ging, wanneer hij ’s
ochtends onder de douche stond, wanneer hij ’s middags de tafel dekte. Dag in dag uit. Hij werd er niet
door losgelaten. Deze vraag luidde als volgt:
Is het mogelijk om met de 8 beginstukken van een schaakspel het volledige 8x8-schaakbord te
domineren?
Hij startte zijn onderzoek en schreef het neer in zijn dagboek. Wij – Stijn Wierinckx en Jonas Vantrappen
– zijn de nederige vinders van dit prachtige werk en we vonden het wel de moeite waard om te
publiceren.
2
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Het begrip dominantie
Liefste dagboek,
Is het mogelijk om met de 8 normale stukken van een schaakspel het volledige 8x8 schaakbord te
domineren?
Deze vraag laat me niet los. Voor ik mijn onderzoek kan beginnen, is het noodzakelijk om een goede en
duidelijke definitie van dominantie op een schaakbord te hebben.
In de inleiding werd als definitie gegeven: ‘dat het mogelijk is om na 1 zet elke tegel op het schaakbord
te bereiken.’ Een degelijke definitie maar niet bevredigend genoeg. Als we heel het veld volzetten met
64 paarden, dan kunnen we ook na 1 zet elke tegel op het schaakbord bereiken. Dit is wel domineren,
maar niet het domineren dat interessant is voor dit onderzoek. Wat voor mij belangrijk is, is de kleinste
dominerende verzameling, en het aantal stukken dat deze bevat. Dit aantal stukken noemen we het
dominantiegetal.
Voordat ik mijn levensvraag probeer te beantwoorden, is het aangewezen om te beginnen met het
begrip dominantie verder uit te spitten en elk stuk eerst apart te bekijken.
Dominantie met torens
Liefste dagboek,
De toren kan beschouwd worden als het simpelste schaakstuk. Het kan zich over een onbepaald aantal
velden zowel horizontaal als verticaal verplaatsen. Perfect om mee te beginnen als opwarmertje.
Dominantieonderzoek
Het dominantieprobleem met torens is ideaal om het probleem te schetsen. Het is duidelijk dat men om
een 8x8 schaakbord te domineren minstens 8 torens nodig heeft. Indien men minder torens zou
gebruiken, is er een rij en kolom waarop geen toren staat. Het hele bord is dus niet gedekt of
gedomineerd. Algemeen kan men dus stellen dat om een nxn schaakbord te domineren men minstens n
torens nodig heeft.
3
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Het is duidelijk dat er enorm veel verschillende dominante opstellingen zijn, we kunnen zelfs het exacte
aantal berekenen.
Bij een nxn schaakveld weten we dat we minstens n torens nodig hebben om een dominante opstelling
te bekomen. Bovendien moeten zowel alle n kolommen als alle n rijen een toren bevatten. We kunnen
dus stellen dat het aantal manieren waarop n torens kunnen worden geplaatst (waarbij er één in elke
kolom staat) gelijk is aan
.
Dit geldt eveneens voor het aantal manieren dat n torens kunnen worden geplaatst als er telkens één in
elke rij staat. Het aantal verschillende manieren is dan
. Dit is echter niet correct, we hebben
namelijk een aantal opstellingen dubbel geteld. Deze opstellingen zijn de opstellingen waarbij er een
toren in elke kolom staat en een toren in elke rij. Er zijn n! van deze opstellingen, aangezien er n velden
zijn om een toren in de eerste kolom te plaatsen en n-1 velden om een toren in de tweede kolom te
plaatsen (in een andere rij dan de eerste toren). Indien we zo de 8 kolommen afgaan en de aantallen
vermenigvuldigen, komen we op n! opstellingen. Het totaal aantal mogelijkheden is dus
. Voor
een 8x8 bord komt dit neer op 33 514 112 verschillende dominante opstellingen.
4
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Dominantie met lopers
Liefste dagboek,
Dominantie met torens heeft geen geheimen meer voor mij. Daarom besloot ik me vandaag aan
dominantie met lopers te zetten. Lopers en torens zijn namelijk bijna hetzelfde. Neem nu de witveldige
loper en kijk naar de volgende afbeelding. We kunnen de witte velden van de eerste figuur hertekenen
als de tweede figuur. Eigenlijk is de loper dus gewoon een toren die op een eigenaardig veld staat!
Dominantieonderzoek
Laten we nu het dominantieprobleem bekijken op een 8x8 bord. De afbeelding hierboven laat ons zien
dat een loper zich gedraagt als een toren, en dus ook hetzelfde dominantiegetal heeft. In de afbeelding
zien we dat er een rechthoekig 4x5 veld gedekt moet worden. Als dit gedekt is, zijn alle witte velden
gedekt. Ons bewijs van de torens zegt dat we voor een 4x5 veld 4 torens nodig hebben. Bijgevolg
hebben we om alle witte velden te domineren juist 4 lopers nodig. Aangezien er perfecte symmetrie
tussen de witte en zwarte velden bestaat, hebben we ook 4 lopers nodig voor alle zwarte velden.
Doordat 4+4=8, hebben we 8 lopers nodig om een 8x8 veld te domineren.
Voor een nxn veld stuitte ik op een klein probleempje. Er is namelijk een verschil tussen een even of een
oneven n. Dus is het het makkelijkste om het bewijs op te splitsen in twee delen.
Voor een even n kunnen we heel gemakkelijk het bewijs van een 8x8 veld veralgemenen. We krijgen
namelijk altijd na het ‘trukje’ waarbij we 45° draaien en lopers tot torens omvormen, een
x
veld, waarvoor we
lopers nodig hebben om het volledig te domineren. Bij een even n is er een
mooie symmetrie, en ( )
( )
, dus ons dominantiegetal is n.
Voor een oneven n werkt de redenering op exact dezelfde manier, alleen moeten we hem opsplitsen en
twee keer uitvoeren. We kunnen n schrijven als 2k + 1. Een van de twee kleuren zal dan in het midden
een (k+1)x(k+1) veld bevatten en dus k+1 lopers nodig hebben. De andere kleur zal in het midden een
(k)x(k) veld bevatten en slechts k lopers nodig hebben. (k+1) + k = 2k + 1 = n.
Ik kwam dus zeer mooie resultaten uit voor het dominantiegetal van lopers. Een nxn veld heeft n lopers
nodig om gedomineerd te worden. Prachtig!
5
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Dominantie met koningen
Liefste dagboek,
Vandaag was ik heel erg enthousiast toen ik begon aan mijn werk. Ik ging namelijk dominantie met
koningen bekijken. In mijn ogen het belangrijkste stuk op het veld. Het stuk dat altijd beschermd moet
zijn en zelf bijna nooit moet aanvallen. Ik dacht dat dit wel heel speciale resultaten zou opleveren. Mijn
bevindingen waren helaas ronduit teleurstellend. Koningen zijn best saai...
Dominantieonderzoek
Zoals gewoonlijk begon ik met een 8x8 bord. Al snel had ik door dat 1 koning optimaal 9 velden dekt,
namelijk het vierkant waarin hij in het midden staat. Het makkelijkste is dus om het 8x8 veld op te delen
in allemaal vierkantjes van 3 op 3 en telkens in het midden een koning te plaatsen. Op deze manier heb
je 9 koningen nodig om een 8x8 veld te domineren. Piece of cake.
Op een nxn veld waren de resultaten bijna frustrerend. Voor een 9x9 veld heb je ook 9 koningen nodig,
en dan ziet het er mooi uit, zelfs perfect. Voor een 7x7 veld heb je echter ook de volle 9 koningen nodig.
Algemeen betekent dit dat we voor een nxn bord telkens een veelvoud van 3, zo dicht mogelijk, maar
toch groter dan n, moeten zoeken. Dit veelvoud delen we door drie en hiervan nemen we het kwadraat.
Het veelvoud van 3 is er doordat een koning 3 velden in de breedte of hoogte kan dekken, het kwadraat
is er omdat we altijd een vierkant hebben, waardoor we dus de zijde moeten kwadrateren.
Stel n = 3k, dan is het dominantiegetal k²
Stel n = 3k – 1, dan is het dominantiegetal k²
Stel n = 3k – 2, dan is het dominantiegetal k²
6
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Dominantie met paarden
Liefste dagboek,
Het paard heb ik altijd het meest interessante schaakstuk gevonden,
heel leuk dus voor een dominantieonderzoek. Een paard kan zich
verplaatsen door één veld horizontaal of verticaal en vervolgens twee
velden voorwaarts of achterwaarts naar links of naar rechts te gaan.
Van bovenaan gezien lijkt de paardzet op een L.
Eigenlijk kunnen we de paardzet ook vergelijken met het omgekeerde
van de damezet.
Het dominantieprobleem
Paardzet
Damezet
Net als bij de torens ga ik onderzoeken hoe en met hoeveel paarden
men een veld kan domineren. Uiteraard zal dit verschillen van schaakbord tot schaakbord. Hieronder
een overzicht van de verschillende nxn schaakborden voor n=3 tot n=10. (Het is onmogelijk om een 2x2
veld te domineren aangezien een paard zich niet kan verplaatsen binnen deze kleine ruimte).
Zoals enigszins te verwachten viel, zijn de dominante opstellingen van paarden vaak zeer symmetrische
vormen. Verder valt op dat voor n groter dan 5 het dominantiegetal steeds met 2 vergroot.
Ook is het opvallend dat bij het 3x3 schaakbord het middelste paard eigenlijk geen enkel veld dekt, het
stuk is echter wel nodig om het middelste veld te ‘dekken’.
7
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Vanaf het 11x11 schaakbord wordt alle symmetrie echter
overboord gegooid. Hierdoor wordt het heel erg moeilijk om
nog een optimale dominante opstelling te vinden. Toch zijn er
al enkele doorbraken geweest: in 1971 vond Bernard Lemaire
de optimale dominante opstelling voor het 11x11 schaakbord
en in 1987 vonden Eleanor Hare en Stephen Hedetniemi een
algoritme om het dominantiegetal voor rechthoekige
schaakborden te berekenen.
De dominantie van paarden op een schaakbord is dus een
onopgelost probleem binnen de wiskunde.
De dominante opstelling voor het 11x11
schaakbord, gevonden door Bernard Lemaire
8
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Dominantie met dames
Liefste dagboek,
Het mooiste heb ik voor het laatste bewaard. De dame, het schaakstuk dat het beste van de toren en de
loper combineert. Zeer interessant voor dominantie, maar ook zeer ingewikkeld. Zo ingewikkeld dat ik
geen verregaand onderzoek ga voeren naar het nxn veld, maar het beperkt ga houden, en vooral naar
een 8x8 veld ga kijken.
Het dominantieprobleem
Om een dominante opstelling met dames voor een 8x8 veld te vinden, moeten we best eerst gewoon
wat proberen. Al snel vind je opstellingen waarbij je maar 5 dames nodig hebt om het hele bord te
domineren. Bijvoorbeeld onderstaande opstellingen.
Op deze manier zijn er maar liefst 4860 oplossingen. Vooral opvallend zijn de eerste twee oplossingen,
omdat deze de mogelijkheid lijken te geven om een – zo lijkt – optimale uitbreiding te geven naar het
nxn veld.
Laten we eerst de eerste opstelling een beetje beter bestuderen. We nemen een nxn veld met een
dominante opstelling waarbij alle dames op de witte diagonaal staan. We noemen K de verzameling van
alle kolommen (en rijen) die geen dame bevatten. Neem nu kolom (of rij) i en j in K. Aangezien i en j in K
zitten, bevatten ze geen dame. Tegels (i,j) en (j,i) moeten schuin gedekt worden, want in hun rij of kolom
staat geen dame. De diagonaal is helemaal wit, dus tegels (i,j) en (j,i) moeten ook wit zijn, anders kunnen
ze niet schuin gedekt worden. Hieruit volgt dat de som van i en j even moet zijn. Dit geldt voor eender
welke i en j in K, dus álle getallen in K moeten ofwel allemaal even ofwel allemaal oneven zijn. Een
combinatie is niet mogelijk. De dame die tegel (i,j) en (j,i) dekt, moet zich ook op de diagonaal bevinden,
en nog specifieker, op tegel (
,
). Dit betekent dat voor alle lege kolommen i en j, de kolom die zich
precies ertussen bevindt, niet leeg is. Zulk verschijnsel noemt men een middelpuntvrije verzameling, een
verzameling waar voor elke twee getallen die hij bevat, hun middelpunt niet in de verzameling zit.
Hieruit kunnen we concluderen dat K een willekeurige middelpuntvrije verzameling van 1, 2, 3, ..., n is
(voor een nxn bord). Heel leuk, maar helaas bij grotere schaakborden niet de opstelling met het minste
dames.
9
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Nu is het de beurt aan het tweede voorbeeld. Merk op dat deze opstelling ook een 10x10 bord zou
domineren, namelijk als we onderaan en rechts nog een rij bijvoegen. Nog leuker wordt het als je naar
de volgende afbeelding kijkt! Voor een 15x15 bord hebben we slechts 9 dames nodig! Deze opstelling
ziet er vrij perfect uit!
We hebben echter weer pech. Ookal lijkt deze
methode zo mooi, als we verder gaan naar een 21x21
bord, zijn er constructies die minder dames nodig
hebben dan de 13 in deze constructie.
Nog uren zou ik verder kunnen gaan over dames; bovengrenzen, ondergrenzen, ... ik zou nog gerust 20
pagina’s kunnen vullen, maar dat is niet waar dit onderzoek om draait. Ik heb elk stuk apart bekeken.
Tijd om alles samen te voegen en te kijken of we hier mooie dingen uit kunnen halen.
10
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Dominantie met de beginstukken op een 8x8 schaakbord
Liefste dagboek,
Na enkele inleidende onderzoeken kan ik eindelijk beginnen aan het echte werk. Het betreft een
dominantieonderzoek van de combinatie van de 8 verschillende schaakstukken die men aan het begin
van een schaakspel ter beschikking krijgt: 2 paarden, 2 lopers, 2 torens, een koningin en de koning. Ik
laat de pionnen buiten beschouwing omdat ze niet interessant zijn voor een
dominantieonderzoek.
Om wat voeling te krijgen met deze nieuwe vorm van dominantie ga ik meteen
met de praktijk aan de slag. Hoe kan ik heb hele schaakbord opvullen? Intuïtief heb
ik het gevoel dat de torens in de hoeken geplaatst moeten worden. Zo ‘verkleinen’
ze het bord namelijk tot een 6x6 schaakbord waardoor er nog maar 36 velden
gedomineerd moeten worden. Dit lijkt op het eerste zicht een haalbare opdracht.
Op dit moment heb ik nog een heel machtig wapen achter de hand: de dame. Met
behulp van de dame kan ik het schaakbord zelfs verkleinen tot een 5x5 bord,
waarbinnen een diagonaal reeds gedekt is. Ik heb nu dus nog een koning, 2
paarden en 2 lopers over.
Na heel wat puzzelen ben ik er in geslaagd om een dominante opstelling te vinden.
Straffer nog: er zijn zelfs meerdere dominante opstellingen. Dit had ik eerlijk
gezegd niet verwacht.
Hieronder drie dominante opstellingen, er zijn er wellicht meer.
Doordat het vinden van deze dominante opstellingen al bij al vlot verlopen is, vraag ik me af of het niet
mogelijk is om het dominantiegetal (8) te verkleinen. Met andere woorden: is het mogelijk om een
bepaald stuk niet te gebruiken en toch het hele schaakbord te domineren?
Om het dominantiegetal te kunnen bepalen, gaan we onderzoeken of we het 8x8 schaakbord kunnen
domineren met 7 beginstukken. Na wat puzzelen merken we dat dit niet evident is. Dit onderzoek vraagt
dan ook een meer structurele en theoretische aanpak.
11
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Efficiëntie
Om dit onderzoek tot een goed einde te kunnen brengen heb ik nood aan een nieuw begrip. Ik heb
namelijk nood aan een manier om het intuïtieve gevoel waarmee je een bepaald schaakstuk op een veld
plaatst te verklaren. Dit begrip noem ik efficiëntie.
De efficiëntie van een schaakstuk is het aantal velden dat het stuk dekt (in een bepaalde opstelling)
over het aantal velden dat dit stuk in haar meest optimale positie dekt.
Ik kan dus stellen dat de blauwe koning in nevenstaande opstelling een
efficiëntie heeft van 4/9. De koning dekt namelijk 4 velden (inclusief het eigen
veld), terwijl hij in zijn optimale positie 9 velden dekt.
De groene koning daarentegen heeft een efficiëntie van 9/9 = 1. Hij bevindt
zich namelijk op een van zijn meest efficiënte posities. We merken dus dat we
een koning best niet op de rand van het schaakbord plaatsen.
Dit verklaart o.a. waarom het dominantiegetal van koningen voor een 7x7, 8x8
en 9x9 veld gelijk is. Bij het 7x7 veld zijn er namelijk maar 4 koningen met een efficiëntie van 1, de 5
andere staan op de rand en hebben een efficiëntie van 3/9. Bij het 8x8 veld zijn er opnieuw 4 koningen
met een efficiëntie van 1, de andere 5 hebben een efficiëntie van 6/9. Bij het 9x9 veld hebben alle
koningen echter een efficiëntie van 1.
Met behulp van het begrip efficiëntie ga ik proberen aantonen dat het niet mogelijk is om met minder
dan de 8 beginstukken een schaakbord te domineren. Om dit te bewijzen zal ik eerst aantonen dat de
torens hoogst waarschijnlijk in de hoeken moeten, we houden dan een 6x6 bord over. Als dit 6x6 veld
niet kan gedomineerd worden door 5 van de overblijvende stukken, kan het 8x8 schaakbord niet
gedomineerd worden met 7 of minder beginstukken. Het dominantiegetal is dan 8.
12
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Hypothese: torens in de hoeken
Als elk stuk op haar meest efficiënte positie zou staan dan kunnen de
schaakstukken samen 89 velden dekken. Dit zou – puur theoretisch –
betekenen dat we 1 of 2 stukken zouden kunnen laten vallen om de 64
velden te kunnen dekken.
Hypothese: De twee torens (of een dame) moeten telkens in een hoek,
zodat we een 6x6 veld krijgen.
Aantal velden dat een stuk
op haar meest efficiënte
positie kan dekken
Paard (x2)
Koning
Loper (x2)
Toren (x2)
Dame
Totaal
Als we de efficiëntie van een stuk nu anders bekijken: niet in functie van het
aantal velden dat het maximaal kan dekken, maar in functie van het aantal
velden dat het stuk op de rand van het schaakbord kan dekken. We kunnen dit laterale efficiëntie
noemen.
Paard (x2)
Koning
Toren (x2)
Loper (x2)
Dame
Totaal
9
9
10
11
20
89
Overzicht laterale efficiëntie
Meest efficiënt Niet in hoek
4
4
5
5
15
4
4
4
16
8
67
37
Stel dat de torens (of dame) niet in de hoek staan:
We moeten 28 zijkanten dekken en we kunnen er – theoretisch – 37 dekken. Dit betekent dat
we maar 9 velden mogen ‘verliezen’ en dat elk stuk dus op een voor zichzelf zeer (lateraal)
efficiënte positie moet staan. Indien we dit toepassen op het schaakbord merken we dat het
mogelijk is om alle randvelden te dekken zonder de torens in de hoeken te plaatsen. Het is
volgens mij echter onmogelijk om de rest van het veld te domineren met deze opstellingen.
Neem bijvoorbeeld nevenstaande opstelling. Alle randvelden zijn
gedekt, maar het volledige schaakbord is duidelijk niet gedomineerd.
Om effectief te bewijzen dat de torens in de hoeken moeten, zijn we verplicht
om 5040 mogelijkheden af te gaan. Een combinatie van
Paard Paard Toren Toren Koning Koningin Loper Loper
waarbij we beginnen bij de eerste van de rij en elk schaakstuk telkens zo
plaatsen dat het zo veel mogelijk zijkanten dekt. Als we dan geen dominante opstelling tegenkomen na
5040 opstellingen, is bewezen dat de torens in de hoek moeten. Ik stel echter voor dat we ons niet aan
zo’n sisyfusarbeid ten prooi gaan werpen, maar gewoon veronderstellen dat de hypothese correct is.
13
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Dominantie voor 6x6 schaakbord
Aangezien we (beargumenteerd) veronderstellen dat de torens in de hoeken staan, houden we een 6x6
schaakbord over. Indien we dit bord kunnen opvullen met 5 van de overige stukken, is het
dominantiegetal 7 en dus kleiner dan 8. De overige stukken zijn:
Dame, 2 lopers, 2 paarden en de koning
Hieruit kunnen we 4 verschillende combinaties van 5 stukken halen:
1)
2)
3)
4)
2 paarden, 2 lopers en de koning
2 paarden, een loper, de dame en de koning
Een paard, 2 lopers, de dame en de koning
2 paarden, 2 lopers en de dame
Het komt er nu op aan om voor elk van deze combinaties te onderzoeken of hiermee een 6x6 bord
gedomineerd kan worden.
Combinatie 1: koning, 2 paarden en 2 lopers
De eerste combinatie is de combinatie zonder dame. De
afwezigheid van de dame zorgt ervoor dat de combinatie
slechts 21 randvelden kan dekken. Dit is erg weinig
aangezien er op een 6x6 veld 20 randvelden zijn. Elk stuk zal
dus op een zeer (lateraal) efficiënte positie moeten staan, er
mag namelijk maar 1 veld ‘verloren’ gaan.
Laterale efficiëntie
Meest efficiënt
Paard (x2)
4
Koning
5
Loper (x2)
4
Totaal
21
Het lijkt dus niet waarschijnlijk dat het veld gedomineerd zal kunnen worden, toch zullen we het eens
proberen.
We weten dat de koning schuin naast een hoek moet staan, indien hij daar
niet zou staan dan zou hij een laterale efficiëntie hebben van 3/5, waardoor
er 2 velden verloren gaan. Het zou dus al niet meer mogelijk zijn om het hele
veld te domineren.
Na de koning plaatsen we een paard. Dit paard kunnen we opnieuw maar op
één positie zetten om geen veld te verliezen en dus 4 velden te dekken.
Nu is er echter geen enkele positie meer over waar ofwel een paard, ofwel
een loper op haar meest efficiënte positie staat. Aangezien we nog 3 stukken
moeten plaatsen zullen we dus meer dan één veld verliezen, waardoor het
6x6 veld niet gedomineerd kan worden met deze combinatie van beginstukken.
Koning
Paard 1
14
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Combinatie 2: koning, 2 paarden, een loper en de dame
Met deze combinatie lijkt het al een stuk haalbaarder om het veld te domineren. De dame kan dan ook
veel meer velden dekken dan een loper. Toch brengt deze dame ook wel enkele problemen met zich
mee. Om dit te illustreren onderscheiden we 6 gevallen. Deze 6 gevallen zijn de 6 verschillende posities
dat de dame kan innemen op het 6x6 schaakbord.
Positie 1
In nevenstaande afbeelding is te zien dat de dame al heel veel velden dekt.
Er is echter ook te zien dat er heel wat velden ‘geïsoleerd’ zijn: ze liggen
tussen reeds gedekte velden.
Nu plaatsen we de koning, rechtsonder op positie F3 lijkt de meest voor de
hand liggende plaats. De koning kan daar namelijk 6 ongedekte velden
dekken. Met andere woorden: de efficiëntie van de koning is op die positie
het grootst.
Helaas merken we dat we met de overblijvende stukken (2 paarden en een loper) de resterende velden
niet kunnen dekken. We merken zelfs dat eender waar we de koning plaatsen, de resterende velden
nooit gedekt kunnen worden met de overblijvende stukken.
Het is dus onmogelijk om het schaakbord te domineren als de dame op positie 1 staat.
Positie 2
Als de dame op positie 2 staat, krijgen we te maken met hetzelfde probleem.
De vier velden bovenaan rechts kunnen enkel gedekt worden door ofwel een
paard en een loper ofwel de koning.
Veronderstel dat we de velden dekken met de koning, dan hebben we nog
een loper en twee paarden over om de resterende velden te dekken.
Opnieuw is het duidelijk dat dit niet lukt.
De dame kan dus niet op positie 2 staan.
Dame
Koning
15
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Positie 3
Indien de dame op positie 3 staat, krijgen we een mooi patroon, de dame
dekt net als op de vorige posities al heel wat velden. We gaan op dezelfde
manier te werk als bij de vorige posities. We merken dat de 3 velden
bovenaan rechts (en onderaan links) enkel gedekt kunnen worden met een
loper en een paard, of een koning. Stel dat we de 3 velden bovenaan rechts
dekken met een paard en een loper (dan moet de koning de 3 velden
onderaan links dekken). We krijgen dan nevenstaande opstelling. Het paard
moet sowieso op 5F staan, terwijl de loper op F7, E6, D5, C4 of B3 moet
staan. Het maakt echter niet uit op welke van deze 5 posities de loper staat.
Dame
Paard
Loper
We hebben nu dus nog een koning en een paard over om de overblijvende
velden te domineren. Het is opnieuw duidelijk dat dit niet mogelijk is. We
kunnen het schaakbord dus niet domineren met 7 stukken indien de dame op positie 3 staat.
Positie 4
Op positie 4 dekt de dame al heel wat minder velden (doordat ze op de rand
staat). We krijgen hierdoor rechtsonder een groep van 5 ongedekte velden.
Deze velden moeten door de koning gedekt worden, indien de koning ergens
anders zou staan, dan zouden we 2 paarden en een loper nodig hebben om
de velden te dekken. Het is duidelijk dat de koning dan nooit de resterende
velden zou kunnen dekken.
Indien de koning dus wel rechtsonder staat, moeten de resterende velden
gedomineerd worden met 2 paarden en een loper. Na wat proberen merken
we al snel dat het opnieuw onmogelijk is om de resterende velden te
domineren.
Dame
Koning
De dame kan dus niet op positie 4 staan.
Positie 5
De werkwijze bij positie 5 is opnieuw analoog aan de vorige posities. De zes
velden bovenaan rechts die niet door de dame worden gedekt, kunnen enkel
worden gedekt met een loper en een paard, of met een koning. Als we de
velden opvullen met de loper en een paard, krijgen we nevenstaande
opstelling.
Opnieuw merken we dat de resterende stukken (paard en koning) de
overblijvende velden niet kunnen dekken. Indien we de koning bovenaan
rechts plaatsen merken we dat ook nu de overblijvende stukken de
resterende velden onmogelijk kunnen domineren.
Het is dus onmogelijk om het gehele 8x8 schaakbord te domineren met de
huidige combinatie van beginstukken als de dame op positie 5 staat.
Dame
Paard
Loper
16
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Positie 6
Als het mogelijk is om het schaakbord te domineren met 7 beginstukken dan
moet de dame wel op positie 6 staan. De dame verdeelt het bord dan in een
5x5 schaakbord met een diagonaal. Er zijn dus geen geïsoleerde velden, de
diagonaal zorgt er wel voor dat er twee gelijke helften ontstaan. De koning
moet dus binnen een van deze velden liggen of op de diagonaal van de
dame.
Indien we deze posities afgaan, merken we al snel dat het onmogelijk is om
met de resterende stukken (2 paarden en een loper) de ongedekte velden te
domineren.
Besluit
We kunnen besluiten dat het onmogelijk is om met de combinatie van 2 paarden, een loper, de dame en
de koning het 6x6 schaakbord te domineren. Bijgevolg kunnen we het 8x8 schaakbord niet domineren
met 2 torens, 2 paarden, een loper, de dame en de koning aangezien we veronderstellen dat de torens
in de hoeken moeten staan.
Voor de twee overblijvende combinaties is het bewijs analoog. Het is bij deze combinaties dus ook niet
mogelijk om het 8x8 schaakbord te domineren. Hieruit volgt dat het onmogelijk is om met een
combinatie van 7 beginstukken het 8x8 bord te domineren.
Het bewijs is echter niet sluitend, we hebben namelijk verondersteld dat de torens sowieso behoren tot
de combinatie van 7 beginstukken en dat ze in de hoeken van het bord staan. We kunnen dus niet
uitsluiten dat er toch een dominante opstelling is. Deze opstelling heeft dan ofwel maar 1 toren, ofwel
staan de torens niet in de hoeken van het bord.
17
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Eindwoord
Liefste dagboek,
Voila, het werk zit er op. Lang heb ik mij bezig gehouden met de geheimen van dominantie, zo lang dat
dominantie nu zelfs geen geheimen meer heeft. Door de grondige voorbereidingen die ik heb getroffen,
verliep het echte onderzoek zeer vlot. Zo vlot dat ik zelfs een opstelling heb gevonden met de 8
schaakstukken waarbij het volledige schaakbord gedomineerd wordt.
Helaas was een sluitend bewijs vinden dat het niet lukt met slechts zeven stukken heel wat moeilijker.
Het probleem is dat alles van elkaar afhangt, en het bijna onmogelijk is om alle stukken samen in een
wiskundig model te gieten. Door het begrip efficiëntie heb ik veel werk kunnen besparen, maar nog
altijd was het meer proberen dan bewijzen.
Alhoewel, wiskundig bewijzen draait erom dat mensen overtuigd moeten worden, zei ooit een wijze
man. Daarin ben ik denk ik wel geslaagd.
18
Jonas Vantrappen
Stijn Wierinckx
6WeWIi
2014
Bronnen
WATKINS, J., Wiskunde op een schaakbord, eerste druk, Veen Magazines B.V., 2007, p. 107-133.
19