Natuurkunde: De wonderen van de quantumwereld

De wonderen van de quantumwereld
“If quantum mechanics hasn't profoundly shocked you, you haven't understood it yet.”
- Niels Bohr (één van de grondleggers van de quantum mechanica)
Inhoud
1
Inleiding .............................................................................................................................................................................. 3
1.1
Wat is quantummechanica? .............................................................................................................................. 4
1.2
Waarom werd de quantummechanica ontwikkeld? ............................................................................... 4
1.3
Als de klassieke natuurkunde fout is, waarom gebruiken we het dan nog steeds? ................... 4
2
Wat is het belang van de quantummechanica? ................................................................................................... 4
3
Golf-deeltjes dualiteit van licht en materie........................................................................................................... 5
3.1
Broglie golflengte ................................................................................................................................................... 7
Opdracht 1............................................................................................................................................................................... 7
3.2
Het deeltje in de doos (uitdaging) .................................................................................................................. 8
Opdracht 2............................................................................................................................................................................... 9
4
Energieniveaus ................................................................................................................................................................. 9
5
Quantum tunneling ...................................................................................................................................................... 10
Opdracht 3............................................................................................................................................................................ 11
Opdracht 4............................................................................................................................................................................ 11
6
Heisenberg’s onzekerheidsprincipe ..................................................................................................................... 13
Opdracht 5............................................................................................................................................................................ 14
Opdracht 6............................................................................................................................................................................ 15
7
Keuzeopdrachten ......................................................................................................................................................... 16
Opdracht: oud vs. nieuw................................................................................................................................................. 16
Opdracht: double-slit experiment .............................................................................................................................. 17
Opdracht: Quantumfysica in de wereld van het alledaagse............................................................................. 17
Opdracht: Elektronenwolk ............................................................................................................................................ 20
Opdracht: Quantumdots ................................................................................................................................................. 23
2
De wonderen van de quantumwereld
1
Inleiding
Als het bovenstaande plaatje je idee is van een atoom, met elektronen die om een kern heen
bewegen, dan loop je ongeveer 90 jaar achter. Het is tijd om je ogen te openen voor de moderne
wereld van de quantummechanica! Het onderstaande plaatje toont een aantal plots van waar je het
meest waarschijnlijk een elektron kan vinden in een waterstofatoom (de kern is in het midden van
elke plot).
Figuur 1: Waarschijnlijkheidsfunctie1 plot van een aantal waterstofatoom orbitalen. De dichtheid van de stipjes
vertegenwoordigt de kans dat een elektron op die plek wordt gevonden.
De waarschijnlijkheidsfunctie komt nog uitgebreid aan bod, dus je hoeft nog niet precies te snappen wat het
exact is.
1
3
1.1 Wat is quantummechanica?
Simpel gezegd is quantummechanica de studie van materie en straling op atomair niveau.
De quantummechanica is voor velen een mysterieuze vorm van natuurkunde. Het zegt dat deeltjes
op één moment op verschillende plekken kunnen zijn. Dat deeltjes zich tegelijkertijd gedragen als
golven en dat zelfs teleportatie mogelijk is. Het bijzondere van de quantummechanica is dat je er
geen gevoel voor hebt, zoals je dat bij de natuurkunde die tot nu toe kent wel hebt. De meest rare en
onvoorspelbare dingen kunnen gebeuren. Toen de theorie begin 1900 op kwam, waren er vele
wetenschappers die het niet geloofde. Zo dacht Einstein bijvoorbeeld dat de wetenschappers het
simpelweg bij het verkeerde eind hadden. Wat dit allemaal betekent ga je de komende lessen
ontdekken.
1.2 Waarom werd de quantummechanica ontwikkeld?
In het begin van de 20e eeuw deden wetenschappers een aantal experimenten die niet verklaart
kunnen worden door de klassieke natuurkunde (de wetenschap ontwikkeld door Galileo Galilei,
Isaac Newton, etc.). Zo dacht men bijvoorbeeld dat elektronen om de kern (in een atoom) heen
cirkelen. Echter, als elektronen net zoals de planeten rond de zon bewegen, dan voorspelt de
klassieke natuurkunde dat de elektronen binnen een fractie van een seconde de kern in zullen
knallen. Uiteraard gebeurt dat niet, anders zou het leven zoals wij het kennen niet bestaan
(scheikunde is afhankelijk van de wisselwerking van de elektronen in atomen en leven is afhankelijk
van scheikunde). Deze onjuiste voorspelling, samen met enkele andere experimenten die de
klassieke fysica niet kunnen verklaren, toonden de wetenschappers dat er iets nieuws nodig was om
verschijnselen op atomair niveau te verklaren.
Om te beginnen kijk je eerst een kort filmpje over een bijzonder experiment, het wereld beroemde,
‘double slit experiment’, een van de gemeten resultaten die niet te verklaren is met klassieke
natuurkunde.
http://youtu.be/Bm2WievRZWA (Dr. Quantum - Dubbele spleet experiment)
1.3 Als de klassieke natuurkunde fout is, waarom gebruiken we het dan nog steeds?
Klassieke fysica is een gebrekige theorie, maar het is alleen dramatisch gebrekig bij het behandelen
van de zeer kleine (atomaire afmetingen, dat in de quantummechanica wordt gebruikt) of de zeer
snelle (in de buurt van de snelheid van het licht, waar de relativiteitstheorie overneemt)
natuurkundige verschijnselen. Voor alledaagse dingen, die veel groter zijn dan atomen en veel
langzamer dan de snelheid van het licht zijn, werkt de klassieke natuurkunde nog uitstekend.
Bovendien is het veel gemakkelijker te gebruiken dan quantummechanica en relativiteitstheorie
(beide vereisen complexe wiskunde).
2
Wat is het belang van de quantummechanica?
De volgende voorbeelden zijn enkele van de belangrijkste verschijnselen die wel door de
quantummechanica beschreven wordt, terwijl de klassieke fysica dat niet kan:

Golf-deeltjes dualiteit van licht en materie (H4)
4



3
Energieniveaus (H5)
Quantum tunneling (H6)
Heisenberg’s onzekerheidsprincipe (H7)
Golf-deeltjes dualiteit van licht en materie.
In 1690 bedacht Christiaan Huygens dat licht bestaat uit golven, terwijl Isaac Newton in 1704 zei uit
dat licht bestaat uit kleine deeltjes. Experimenten ondersteunden echter beide theorieën. Daarbij
was het niet mogelijk om een theorie te ontwikkelen waarmee alle verschijnselen van licht met
deeltjestheorie te beschrijven was, noch met een golftheorie! Dus wetenschappers begonnen te
denken dat licht zowel als deeltje als golf beschreven kan worden. In 1923 maakte Louis de Broglie
een hypothese (zie paragraaf 4.1) dat een deeltje ook golfachtige eigenschappen heeft, en in 1927
werd aangetoond (door Davisson en Germer) dat elektronen zich inderdaad als golven gedragen.
Hoe kan iets zowel een deeltje en een golf tegelijkertijd zijn? Ten eerste, is het onjuist om te denken
dat licht als een stroom van deeltjes op en neer beweegt in een golvende manier. In feite bestaat
licht en materie als deeltjes; hetgeen dat zich als golf gedraagt, is de kans waar dat deeltje gevonden
kan worden. De reden dat licht zich soms als een golf lijkt te gedragen, is omdat we eigenlijk het
totaalbeeld zien van veel licht deeltjes bij elkaar, verdeeld over de waarschijnlijkheid waar elk
deeltje is2.
Hoe beschrijven we golven en hoe beschrijven we de deeltjes? Deeltjes met positie x en golven met een
golflengte  .
Bijvoorbeeld, stel je hebt een dartgooimachine die 95 % kans heeft op het raken van de bulls-eye en
een 5% kans op het raken van de buitenring en geen kans om naast het dartbord te gooien. Je laat de
machine 100 darts gooien zonder ze uit het bord te halen. Je kunt elke individuele dart zien (dus we
weten dat ze zich gedragen als een deeltje), maar je ziet ook een patroon op het bord van een grote
ring van darts rondom een kleine cluster in het midden waar erg veel darts in het bord zitten. Dit
patroon laat de waarschijnlijkheid zien van waar elke dart zou zijn gekomen, zitten er erg veel darts
dicht bij elkaar dan is de kans groot dat je daar een dart zal vinden en visa versa (zie figuur 2). Dit
patroon van darts vertegenwoordigt het 'golf'-gedrag van de darts. Zoals in figuur 1 van het
waterstofatoom (bij 1s). En zoals je uit de wiskunde bijvoorbeeld de normaalverdeling kent, kan je
jezelf voorstellen dat er een bepaalde functie is, de waarschijnlijkheidsfunctie (ook wel
kansdichtheidsfunctie genoemd), die beschrijft waar de meeste pijltjes komen, maar dan in 2
dimensies (dus x, y en de kans), zoals in het onderstaande figuur.
2
Als je deze zin nog niet helemaal snapt, dan is dat niet heel erg.
5
Figuur 2: De waarschijnlijkheidsfunctie van de darts met in het midden de bulls-eye.
Figuur 3: Het bovenstaande figuur van bovenaf bekeken. Vergelijk dit eens met het plaatje van het
waterstofatoom (aan het begin).
Dit soort waarschijnlijkheidsfuncties worden in de quantummechanica golffuncties genoemd3. De
golffunctie beschrijft dus de kans van waar een deeltje gevonden kan worden. In het geval van
bovenstaande figuren is de grootste kans op positie (x,y) = (0,0), de bulls-eye. Een golffunctie geven
we meestal aan met de Griekse letter  (psi).
Een deeltje dat vrij beweegt, gedraagt zich dus als een golf. Een golf kan een welbepaalde golflengte
hebben zoals de geluidsgolf van een zuivere toon, maar hij kan ook zijn opgebouwd uit een mengsel
Er is een klein verschil tussen golffuncties en kansdichtheidsfunctie, nl.
de kansdichtheidsfunctie is de golffunctie in het kwadraat, zoals je zo in opdracht 1 ziet.
3
6
van verschillende golflengten zoals bij muziek. Het kan zelfs chaotisch worden zoals bij een knal of
bij ruis.
3.1 Broglie golflengte
Zoals je al weet heeft de golflengte van een golffunctie direct te maken met de massa en de snelheid
van het deeltje.
Broglie stelde vast dat er een vaste relatie is tussen de golflengte  van een voorwerp (of deeltje) en
de impuls p ( p  m  v de snelheid v, de massa m).

h
h

p mv
Waarin h de Planck constante is en de ontzettend kleine waarde van 6.63 1034 J  s heeft.
Opdracht 1
a) Bereken de De Broglie golflengte van een knikkertje ( m  1 g ) dat rolt met een snelheid van
5 m/s.
b) Zal je iets merken van het golfkarakter van dat knikkertje? Waarom wel/niet? (Hint: Denk
na over de relatie tussen de golflengte en de grootte van het knikkertje.)
c) Bereken de De Broglie golflengte van een elektron ( m  9.1110
31
kg ) dat beweegt met een
snelheid van 3 105 m/s , geef je antwoord in pm (p staat voor picco, zie BINAS.)
d) Het elektron beweegt om de kern heen. Het atoom is 53 pm groot. Zal je iets merken van het
golfkarakter van het elektron? Waarom wel/niet?


e) Plot twee golffuncties op je GR met een window x = [0,1] en y = [0,1],   sin  2
x
met
 
verschillende golflengtes, kies   1 en   2 . Wat is het verschil? Waar zal je het ene
deeltje waarschijnlijk vinden en waar het andere? (Tip: zet je GR op radialen)
a) Je hebt hierboven een golffunctie geplot. Om van een golffunctie naar een
waarschijnlijkheidsfunctie te gaan, kwadrateer je de golffunctie, dus  . Plot de
2
waarschijnlijkheidsfunctie van   1 . Wat is het verschil?
f) Doordat je de golffunctie  kwadrateert, wordt alles wat negatief is positief. Waarom is het
logisch dat je de golffunctie positief moet maken voor de
waarschijnlijkheidsfunctie/kansdichtheidsfunctie?
Een typische golffunctie zie je bijvoorbeeld in het onderstaande plaatje (figuur 4). De rode lijn toont
de functie voor de meting: er is 60% kans om het deeltje op plaats x = -2 aan te treffen en 20% om
het op plaats x = 1 te vinden. Je kunt je nu afvragen waar het deeltje nu werkelijk is? Als je gaat
meten, meet je natuurlijk gewoon een bepaalde plek, en niet een golffunctie. Na het meten gebeurd
er iets vreemds, de golffunctie veranderd, dit noemen we “het instorten van de golffunctie”. Zo
zagen we in het filmpje over het ‘double slit experiment’ dat het deeltje zich anders ging gedragen
als het geobserveerd werd, dit komt omdat observeren in dat geval ook meten is. En na het meten
7
stort de golffunctie in. Zo zie je in het plaatje hier onder dat er na het meten van de positie van het
deeltje (de blauwe lijn) de golffunctie gecentreerd is om een bepaald punt. In dit geval hebben we
het deeltje op plek x = 1 gemeten en daarom is de waarschijnlijkheid op dat punt 100%. Waar was
het deeltje dan daarvoor? Ook op plek x = 1? Nee, dit is weer een van de bijzondere en onintuïtieve
aspecten van de quantummechanica, het deeltje was namelijk op alle plekken onder de grafiek
tegelijkertijd!
Figuur 4: In rood zie je de kansdichtheidsfunctie voor de meting, er is een grote kans om het deeltje op x = -2 te
vinden. Na de meting wordt het deeltje op x = 1 gevonden, een positie die 20% kans had. Na de meting (in blauw)
is de kans echter 100% dat het deeltje daarna op x = 1 gevonden wordt.4
3.2 Het deeltje in de doos (uitdaging)
De golffunctie   x  is dus te vertalen in een kansdichtheidsfunctie, maar om de kans P uit te
rekenen dat het deeltje zich tussen twee plekken bevindt, gebruiken we de volgende integraal:
b
P  x      x  dx , dit is de kans dat, als je gaat meten, je het deeltje tussen positie a en b vindt. De
2
a
golffunctie   x  
2
 
sin  x  beschrijft een deeltje in een doos. Dat betekent dat het deeltje
L
L 
De slimme leerling zal opmerken dat de getallen op de y-as (in %) in het plaatje niet helemaal kunnen
kloppen, want het oppervlak onder beide grafieken moet gelijk zijn, omdat de kans (oppervlak) onder de
grafiek in totaal 100% moet zijn. Hecht aan deze ‘fout’ niet te veel waarde, dit is gedaan om beide golffuncties
passend in een grafiek te maken.
4
8
alleen tussen twee muren kan zijn en dat het daar geen energie kost om in te bewegen (zie het
onderstaande figuur).
Figuur 5: Deeltje in een doos. Het deeltje kan vrij bewegen in het witte gebied en bewegen van links naar rechts
kost dus geen energie (tussen x = [0,L]). Om in de grijze gebieden te komen zou oneindig veel energie kosten en
dit kan dus niet.
Opdracht 2
a) Plot   x  van een deeltje in een doos met de golffunctie   x  
2
2
 
sin  x 
L
L 
b) Neem L = 1 nm en bereken de kans dat het deeltje tussen x = 0,5 nm en x = 0,6 nm is. Gebruik
je GR om de integraal het oppervlak onder de grafiek uit te rekenen en gebruik als window x
= [0,1] en y = [0,2].
c) Wat is de kans dat het deeltje tussen x  0 nm en x  1 nm zit, denk eerst na en reken
daarna pas uit. Is dit wat je had verwacht, waarom wel/niet?
4
Energieniveaus
Als je naar het licht spectrum kijkt van energetische atomen (zoals het oranje-gele licht van
natriumlampen (straatverlichting), of de blauw-witte licht van kwiklampen) zal je zien dat het is
samengesteld uit afzonderlijke lijnen van verschillende kleuren. Deze lijnen vertegenwoordigen de
discrete energieniveaus van de elektronen in aangeslagen atomen. Als een elektron in een hoge
energietoestand springt naar een lagere, dan zendt het atoom een foton uit dat overeenkomt met
het exacte energieverschil van deze twee niveaus (behoud van energie). Dit heet het foto-elektrisch
effect en is door Einstein in 1905 verklaard, waarvoor hij een Nobelprijs kreeg. Met een groter
energieverschil, heeft het foton een grotere energie en zal zijn kleur steeds dichter naar het violette
einde van het kleuren spectrum gaan. Als elektronen niet beperkt zijn tot discrete energieniveaus,
dan is het spectrum, van een aangeslagen atoom, een continue spreiding van kleuren van rood tot
violet zijn zonder individuele lijnen.
9
Figuur 6: Een diagram dat het uitzenden van elektronen uit een metalen plaat weergeeft. Elektronen hebben
energie verkregen uit een invallend foton.
5
Quantum tunneling
Kijk hiervoor het 1 minuut durende filmpje5 http://youtu.be/cTodS8hkSDg (What is Quantum
Tunneling? van minutephysics)
Kijk later nog eens op dit YouTube kanaal, er staan veel leuke filmpjes over wonderlijke natuurkundige
verschijnselen.
5
10
Dit is een van de meest interessante verschijnselen uit de quantummechanica, zonder quantum
tunneling zouden computerchips niet bestaan, en een normale computer zou groter zijn dan een
hele kamer. Zoals eerder vermeld, een golf bepaalt de waarschijnlijkheid van waar een deeltje zal
zijn. Als die waarschijnlijkheidsgolf een energie barrière tegenkomt dan wordt het grootste gedeelte
van de golf teruggekaatst, maar een klein deel ervan zal ‘weglekken’ in de barrière. Als de barrière
klein genoeg is, zal de ‘gelekte’ golf verder gaan aan de andere kant, dit is tunnelen, alsof het deeltje
door een onzichtbare tunnel is gegaan. Hoewel de deeltjes niet genoeg energie hebben om over de
barrière heen te komen, is er dus toch nog een kleine kans dat het deeltje er toch doorheen tunnelt!
Laten we zeggen dat je een voetbal tegen een muur gooit. Je weet al dat je niet genoeg energie hebt
om de bal door de muur heen te gooien, en je verwacht altijd dat de bal weer terugkaatst. De
quantummechanica zegt echter dat er een kleine kans is dat de bal dwars door de muur heen gaat (
zonder beschadiging van de muur) en vervolgens aan de andere kant gewoon verder gaat! Met iets
zo groot als een voetbal is de kans dat dit gebeurd echter zo klein dat je miljarden jaren kan blijven
gooien zonder hem ooit door de muur heen te zien gaan. Maar met iets zo klein als een elektron, is
tunnelen een alledaagse gebeurtenis.
Aan de andere kant van tunnelen, wanneer een deeltje een daling in energie tegenkomt, is er een
kleine kans dat het zal worden gereflecteerd. Met andere woorden, stel je rolt een knikker van een
vlakke tafel af, dan is er een kleine kans dat wanneer de knikker de rand van de tafel bereikt, dat hij
weer terug rolt, in plaats van op de grond te vallen! Nogmaals, voor iets zo groot als een knikker zal
je dit hoogst waarschijnlijk nooit zoiets zien gebeuren, maar voor fotonen (de massaloze deeltjes
licht) is een zeer reële gebeurtenis.
Opdracht 3
2kd
De kans dat een deeltje door een potentiaal barrière tunnelt, wordt gegeven door T  e
(T staat
8 2 m V  E 
voor transmissie) waarin de constante k gelijk is aan k 
en d is de dikte van de
h2
31
barrière in m, en m is de massa van een elektron 9.1110 kg
Een elektron met een energie van 50 eV bereikt een rechthoekige barrière van 70 eV met een dikte
van 1,0 nm.
a) Bereken de kans dat het elektron door deze barrière heen tunnelt.
b) Bereken de factor waarmee deze kans wordt vergroot wanneer de dikte van de barrière
gelijk wordt aan 0,10 nm.
Opdracht 4
We gaan nu kijken naar 1-D golffuncties met potentiaal barrières, veel van de termen die je tot nu
toe gehoord hebt komen terug. Kijk op http://phet.colorado.edu/sims/quantumtunneling/quantum-tunneling_nl.jnlp voor de applet.
11
a) (De Broglie) Selecteer als Vorm golffunctie “golf”. Verander de energie van de golf, door het
energieniveau te verslepen (of door, via het menu "configureer potentiaal” de totale energie
te veranderen). Kijk hoe de golf verandert. Verifieer voor minstens twee waarden van de
energie dat de de-Broglie relatie dezelfde golflengte geeft als de applet weergeeft.
b) (Instorten van golffunctie) Zet de potentiaal op "constant". Selecteer als Vorm golffunctie
"golfdeeltje". Laat de simulatie kort lopen, en druk daarna op de knop "Maak
quantummeting". Probeer ook de knop een paar keer achter elkaar in te drukken (start des
noods de simulatie opnieuw). Wat is de functie van deze knop?
c) (Tunneling) Zet de potentiaal op "barrière/put". Selecteer de vorm golffunctie “golf”. Zorg
dat de totale energie ruim onder de hoogte van de barrière staat.
a. Hoe ziet de golf eruit? En de waarschijnlijkheidsverdeling links van de
barrière/rechts van de barrière, in de barrière?
b. Verhoog de totale energie tot halverwege de barrière; tot precies aan de top van de
barrière; tot ruim boven de barrière. Bestudeer steeds de
waarschijnlijkheidsverdeling links van de barrière/rechts van de barrière, in/boven
de barrière. Benoem verschillen en overeenkomsten en verklaar ze.
d) (Reflectie en transmissie) Zet de potentiaal op "barrière/put". Selecteer de vorm golffunctie
“golf”. Selecteer "toon reflectie- en transmissiewaarschijnlijkheid". De transmissiecoefficient
T is het deel van de intensiteit van de golf dat achter de barrière terecht komt. De
reflectiecoefficient R is het deel van de intensiteit dat wordt gereflecteerd. (Voor
quantumgolven is de intensiteit in essentie de waarschijnlijkheid)
a. Tussen R en T is een eenvoudig verband. Geef dat verband.
12
b.
Wat zouden de waarden voor R en T moeten zijn voor een klassiek deeltje dat invalt
op een barrière
i. Als zijn energie hoger is dan de potentiaal van de barrière
ii. Als zijn energie lager is dan de potentiaal van de barrière.
e) Varieer de energie van de golf, boven en onder de potentiaalbarrière. Onder welke
omstandigheden gaat de golf voor 100% door de barrière? Wanneer wordt hij 100%
gereflecteerd? Vergelijk met de klassieke situatie (vraag b).
6
Heisenberg’s onzekerheidsprincipe
Mensen zijn bekend met het meten van dingen in de macroscopische wereld om ons heen. Iemand
neemt een meetlint en bepaalt de lengte van een tafel. Een agent richt zijn radar pistool op een auto
en weet in welke richting de auto reist, maar ook hoe snel. Zij krijgen de informatie die ze willen en
hoeven zich geen zorgen te maken of de meting iets aan de situatie heeft veranderd. Het immers niet
logisch zijn om de tafel op te gaan meten, als de meting zijn lengte zou veranderen!
Op atomaire schaal van de quantummechanica zijn meting echter een zeer delicaat proces. Stel, je
wilt weten waar een elektron is en waar hij heen gaat. Hoe zou je het doen? Neem je een super
krachtig vergrootglas en gaat op zoek naar een elektron? De daad van het kijken is afhankelijk van
het licht, dat bestaat uit fotonen, en deze fotonen hebben genoeg impuls ( p 
h

) dat zodra ze op
een elektron botsen zijn koers kunnen wijzigen! Het is net als het rollen van de bal over een
biljarttafel en proberen te ontdekken waar de bal heen gaat door er een andere bal tegen aan te
schieten, door de meting heb je zeker de situatie veranderd. Nu heb je misschien ontdekt waar de
bal precies was, maar nu weet je zeker niet meer welke kant hij opgaat.
Werner Heisenberg was de eerste die realiseerde dat bepaalde metingen een intrinsieke6
onzekerheid met zich meebrengen. Bijvoorbeeld, als je een heel goed weet waar iets zich bevindt,
(tot op zekere hoogte), dan weet je erg slecht hoe snel het beweegt of in welke richting het beweegt.
Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg (ja, degene van Breaking Bad) zegt dus dat er altijd een
fundamentele onzekerheid zit tussen het meten van positie en snelheid.
xp 
h
4
Waarin Δp de onzekerheid is in impuls (p = mv), x de positie en h de Planck constante. Als we 100%
zeker willen weten waar een deeltje is, dan is je onzekerheid in positie dus Δx = 0, en je onzekerheid
h
. Niemand kan delen door nul, maar als je toch een heel klein getal invult, krijg
4x
h
h

  . De onzekerheid in snelheid zal dus oneindig groot zijn.
je p  mv 
4x 4 0
in impuls: p 
6
definitie intrinsiek: van binnenuit afkomstig; van nature in zich hebben
13
We hebben dit niet in de gaten in ons dagelijks leven, omdat het onzekerheidsprincipe spreekt over
onzekerheden die ruim binnen onze aanvaardbare nauwkeurigheid valt. Bijvoorbeeld, je kan een
geparkeerde auto zien en denken dat je precies de positie weet en hoe snel de auto beweegt. Maar
weet je die dingen echt precies? Als je de positie van de auto zou willen meten met een
nauwkeurigheid van een miljardste van een miljardste van een centimeter, dan zou je proberen om
de posities van de individuele atomen waaruit de auto bestaat te meten. En die atomen zouden op
die schaal alleen maar heen en weer schudden door de temperatuur van de auto!
De beschrijving van fysische objecten met de klassieke natuurkunde van vóór 1900 hebben drie
kenmerken:
1. Dingen hebben nauwkeurig meetbare eigenschappen, die er ook zonder meting zijn
(realisme).
2. Gebeurtenissen en processen verlopen onafhankelijk van eventuele waarnemers
(objectiviteit).
3. Het toekomstig verloop van een systeem ligt vast in de huidige toestand (determinisme).
Elk van deze kenmerken is vervallen in de quantummechanica, en de wereld ziet er daarmee
fundamenteel anders uit, ook al is de oude beschrijving in veel gevallen nog steeds toereikend.
Heisenberg’s onzekerheidsprincipe is daarmee compleet vreemd in wereld van de klassieke
natuurkunde. De klassieke natuurkunde probeert namelijk alles zo nauwkeurig en precies mogelijk
te meten, en nu zegt de quantummechanica dat het onmogelijk is om die metingen precies te
krijgen! Maar het onzekerheidsprincipe van Heisenberg is een feit van de natuur, en het zou
onmogelijk zijn om een apparaat te bouwen dat zich er niet aan houdt.
Figuur 7: Waar is de bovenste golf en waar is de onderste golf? Wat is de snelheid van de bovenste golf en wat van
de onderste (bedenk dat de golflengte iets zegt over de snelheid)?
Opdracht 5
a)
b)
c)
d)
Maak af, een golf wordt gekarakteriseerd door zijn ……….
Van de twee bovenstaande golven, bedenk waar de golf ongeveer is (positie).
Geef in beide figuren de onzekerheid in plaats aan.
Van de twee bovenstaande golven, welke heeft een beter te bepalen golflengte, en waarom?
14
Opdracht 6
Bron: Quantumwereld Nina
U heeft in de Sarphatistraat 59 km/h gereden, daar krijgt u een bekeuring voor.” “Maar agent, als u
wist waar ik was, dan kunt u mijn snelheid helemaal niet bepalen, ken u de onbepaaldheidsrelatie
van Heisenberg niet?”
a) Schat dat de straat ongeveer een kilometer lang is. Zoals de agent het zegt legt hij de positie
dus vast met een onbepaaldheid van een kilometer. Schat daarmee de orde van grootte in de
onbepaaldheid in de snelheid door te rekenen met de onbepaaldheidsrelatie. Ontloopt de
automobilist zijn boete?
b) Bereken de onbepaaldheid in de snelheid als de positie van de auto tot op één nanometer
nauwkeurig is vastgelegd.
Nu krijgt een elektron een boete voor te snel bewegen in de Sarphatistraat.
c) Bereken de onbepaaldheid in de snelheid als de positie van het elektron tot op één kilometer
nauwkeurig is vastgelegd.
d) Bereken de onbepaaldheid in de snelheid als de positie van het elektron tot op één
nanometer nauwkeurig is vastgelegd.
e) Trek een conclusie over het belang van de onbepaaldheidsrelatie voor voorwerpen van
verschillende afmetingen.
15
7
Keuzeopdrachten
Je bent nu klaar met de te behandelen stof. In de volgende opdrachten komt je nieuwe kennis goed
van pas.
Opdracht: oud vs. nieuw
Zoek het antwoord op de volgende vragen. Op internet is veel info te vinden. Het zijn meestal wel
erg moeilijke teksten. Een makkelijke tekst vind je bij Wikibooks, maar daar zul je niet alle
antwoorden kunnen vinden! http://nl.wikibooks.org/wiki/In_mensentaal/Quantummechanica
a) Veel grootheden zijn continu. De grootheid “temperatuur” bijvoorbeeld is continu. Wat is
het verschil tussen een continue en gekwantiseerde grootheid ?
b) Het jaar 1900 wordt wel gezien als het ”geboortejaar” van de quantumtheorie door de
ontdekkingen van Max Planck. Albert Einstein werkte zijn ideeën in 1905 verder uit en
verklaarde daarmee het foto-elektrisch effect. Hij veronderstelde daarbij dat licht
opgebouwd is uit zogenaamde lichtkwanta. Hoe worden deze kwanta ook wel genoemd ?
c) Met het idee van Einstein dat licht uit kwanta zou bestaan ontstond de zogenaamde golfdeeltje dualiteit. Wat is dat?
Lees onderstaand artikel.
Bestaat toeval? Het debat tussen Bohr en Einstein
Bestaat Toeval? Naar aanleiding van de quantummechanica was deze vraag tussen 1925 en 1950
inzet van een verhit debat tussen Albert Einstein en Niels Bohr, de twee grootste fysici van de
twintigste eeuw. Dit debat leek in eerste instantie in een patstelling te eindigen, maar werd in 1964
door John Bell met behulp van een zuiver wiskundig argument beslecht in het voordeel van Bohr.
Bell formuleerde bepaalde ongelijkheden voor correlaties (dit zijn kansen dat twee gebeurtenissen
beide plaatsvinden) zodanig, dat als het onderliggende toevalsproces een gevolg is van onze
onwetendheid, dat dan aan deze ongelijkheden voldaan is. Met andere woorden, als de correlaties
van een bepaald toevalsproces niet aan de ongelijkheden van Bell voldoen, dan is het toeval “echt”
(in de zin dat het geen gevolg kan zijn van onze onwetendheid). Bepaalde correlaties in de natuur
blijken zowel volgens de quantummechanica als volgens het experiment inderdaad niet aan de
ongelijkheden van Bell te voldoen, zodat toeval inderdaad `echt' bestaat, zij het slechts op zeer
kleine schaal. Dit geldt als een van de diepste resultaten van de twintigste-eeuwse wetenschap.
Prof.dr. N.P. Landsman
d) In het artikel wordt over twee soorten toeval gesproken, nl over toeval uit onwetendheid en
“echt toeval”. Is het gooien van een dobbelsteen een toevalsproces uit onwetendheid of is
het een proces van “echt toeval” ?
e) Wat betekent het bestaan van “echt toeval” ivm punt 3 aan de andere zijde van dit blad ?
Lees onderstaande tekst. Het is een fragment van een brief van Einstein aan Born.
Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns kaum näher. Jedenfalls bin ich
überzeugt, daß der nicht würfelt.
In vertaling: De theorie levert veel op, maar brengt ons nauwelijks dichter bij het geheim van God. In
ieder geval ben ik er van overtuigd dat hij niet dobbelt.
f) Wat bedoelt Einstein met: “Ik ben ervan overtuigd dat hij niet dobbelt” ?
16
Opdracht: double-slit experiment
Er zijn op het internet meerdere applets over het twee-spleten-experiment te vinden. Bijvoorbeeld.
http://phys.educ.ksu.edu/vqm/html/doubleslit/index.html
a) Kies fotonen als deeltjes en doe het experiment (‘start’) bij een bepaalde golflengte van de
fotonen en bij een bepaalde spleetafstand. Laat zoveel mogelijk deeltjes per seconde uit het
kanon komen. Noteer golflengte en spleetafstand en tel het aantal maxima.
b) Herhaal a) bij dezelfde spleetafstand, maar met steeds andere golflengtes.
c) Herhaal a) maar laat nu de golflengte constant en varieer de spleetafstand.
d) Herhaal a) maar laat nu de deeltjes een voor een uit het kanon komen en schets wat je ziet
na 5 fotonen, 20 fotonen en 100 fotonen
e) Verklaar de resultaten van b) en c) met de formule: d  sin   k 
f) Verklaar de resultaten van b) en c) met behulp van de Onbepaaldheidsrelatie.
g) Verklaar je schetsen bij d) door gebruik te maken van de kansinterpretatie van het
interferentie-experiment.
h) Herhaal a) t/m f) maar gebruik nu elektronen als deeltjes. Bereken bij elke gegeven
elektronenergie de De Broglie golflengte van de elektronen.
i) Leg uit waarom voor interferentie met elektronen veel kleinere spleetafstanden nodig zijn
dan voor interferentie met fotonen.
j) Ga na wat er verandert wanneer je elektronen vervangt door protonen, neutronen en
pionen.
Opdracht: Quantumfysica in de wereld van het alledaagse
Bron: Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde
Lees eerst onderstaande tekst. Deze tekst is een bewerking van een artikel van Dirk van Delft uit de
Wetenschapsbijlage van NRC-Handelsblad (2004).
Test onzekerheidsrelatie Heisenberg op macroschaal is bijna mogelijk
Waar houdt de quantumwereld van atomen en elektronen op en begint de macro-omgeving van
alledaagse voorwerpen als zandkorrels en olifanten? Matthew LaHaye en zijn medewerkers van de
University of Maryland hebben een methode ontwikkeld, waarmee het weldra mogelijk moet zijn
quantumgedrag op macroschaal aan te tonen. Het golfkarakter van quantumobjecten zoals
elektronen heeft tot gevolg dat plaats en impuls niet gelijktijdig scherp bepaald kunnen zijn.
Vastpinnen van de positie tot op hoge nauwkeurigheid leidt principieel (dus los van iedere
beperking van de meetmethode) tot meer onzekerheid in de waarde van de impuls – en vice versa.
De onzekerheidsrelatie van Heisenberg uit l927 geeft een kwantitatieve beschrijving van deze
onzekerheid.
LaHaye vroeg zich af of Heisenbergs onzekerheidsrelatie ook waarneembaar is bij objecten die veel
groter zijn dan de atomaire schaal. Het idee was een staafje zo ver af te koelen dat de
nulpuntstrilling van het staafje – de trilling die het staafje volgens de onzekerheidsrelatie van
Heisenberg ook bij nul kelvin (het absolute nulpunt) nog moet uitvoeren – meetbaar zou worden.
Het trillende staafje dat in LaHaye’s experiment fungeert als macro-object, heeft een lengte van
ongeveer een honderdste millimeter. Dat is niet groot, maar zijn massa van 1,67 picogram komt nog
altijd overeen met die van 1000 miljard waterstofatomen – uit quantumoogpunt zéér macro. De
17
nulpuntstrilling van dit staafje heeft volgens de quantumtheorie een amplitudo van 10 femtometer
(10.000 keer zo klein als de diameter van een waterstofatoom) en zou bij temperaturen beneden
l millikelvin (0,001 graad boven het absolute nulpunt) te meten moeten zijn. LaHaye heeft die
nulpuntstrillingen in zijn eerste experiment nog niet kunnen meten. Daarvoor zijn nog lagere
temperaturen en een nauwkeuriger amplitudebepaling nodig. De Amerikanen hopen die binnenkort
te realiseren.
Leg uit waarom je bij een lopende olifant niets merkt van golfgedrag. Gebruik in je uitleg de DeBrogliegolflengte.
Het waarnemen van de nulpuntstrilling wordt in het artikel gezien als een belangrijke aanwijzing
voor quantumgedrag.
a) Leg uit waarom de nulpuntstrilling een belangrijke aanwijzing voor quantumgedrag zou zijn.
In formulevorm luidt de onzekerheidsrelatie (onbepaaldheidsrelatie) van Heisenberg als volgt:
xp 
h
4
met Δx de onbepaaldheid in de plaats, Δp de onbepaaldheid in de impuls en h de constante van
Planck.
b) Bereken hoe groot volgens de quantumfysica de minimale onbepaaldheid v in de snelheid
van het staafje is.
Omdat trillingen in het staafje ook kunnen worden veroorzaakt door de warmtebeweging, wordt de
nulpuntstrilling alleen waarneembaar bij voldoende lage temperatuur. De gemiddelde energie ten
gevolge van de warmtetrilling van het zwaartepunt moet hiervoor kleiner worden dan de energie
E0 ten gevolge van de nulpuntstrilling. Ruwweg houdt deze voorwaarde in dat
kT < E0
met k = 1,38.10–23 J/K de constante van Boltzmann en T de absolute temperatuur van het staafje.
De nulpuntstrilling van het zwaartepunt van het staafje wordt in goede benadering beschreven door
het ééndimensionale deeltje-in-doos model. De energie E0 is dan gelijk aan de energie van de
grondtoestand in dit model. De dooslengte is tweemaal de amplitudo van de nulpuntstrilling.
c) Bereken de temperatuur die het staafje volgens het doosjesmodel maximaal mag hebben om
de nulpuntstrillingen te kunnen waarnemen. Gebruik gegevens uit het artikel en ga na of je
resultaat met de daar genoemde temperatuur in overeenstemming is.
Als we ervan uitgaan dat het zwaartepunt van het staafje harmonisch trilt, dan kunnen de
golffuncties van deze trilling exact worden berekend. In de figuren onder de vragen zijn de
kwadraten van de golffuncties van de grondtoestand en de tiende aangeslagen toestand getekend.
Volgens de klassieke theorie is de maximale uitwijking van een trillend voorwerp de amplitudo en
18
kan het voorwerp niet daarbuiten worden aangetroffen. Deze 'classical limit' is ook aangegeven in
de figuur. Tevens is aangegeven waar het zwaartepunt van het staafje zich volgens de klassieke
theorie het langst bevindt ('classical probability').
d) Leg uit waarom de klassieke waarschijnlijkheid het grootst is in de buurt van de maximale
uitwijking.
e) Geef twee manieren waarop uit onderstaande figuur blijkt dat het trillende staafje zich in
een hoge aangeslagen toestand meer als een klassiek deeltje gedraagt dan in de
grondtoestand.
19
Opdracht: Elektronenwolk
Bron: natuurkunde 1,2 (Project Moderne Natuurkunde) examen 2009-I
Canadese onderzoekers hebben in 2007 een methode gevonden om met laserlicht
elektronenwolken van moleculen zichtbaar te maken. Zij willen deze methode gebruiken om meer
inzicht te krijgen in chemische bindingen. De methode maakt gebruik van het elektromagnetisch
veld van het laserlicht. Het elektrisch veld is zo sterk dat het in staat is om een elektron gedurende
korte tijd een stukje van het molecuul af te trekken. Wanneer even later het veld weer 0 wordt en
het elektron weer terug gaat naar de oorspronkelijke toestand, komt daarbij röntgenstraling vrij. Uit
het spectrum van deze röntgenstraling kan de oorspronkelijke toestand van de elektronenwolk
worden berekend.
Figuur 1 is een computersimulatie van het experiment en geeft het kansplaatje van de
elektronenwolk van een molecuul weer. Hoe donkerder, des te groter de kans een elektron aan te
treffen. Figuur 1a geeft de situatie weer op een moment dat het elektrisch veld van het laserlicht 0
is. Figuur 1b geeft de elektronenwolk weer bij de eerstvolgende maximale waarde van het elektrisch
veld.
a) Leg uit of het elektrisch veld van het laserlicht in figuur 1b naar links of naar rechts is
gericht.
b) De golflengte van het gebruikte laserlicht is 750 nm. Bereken de tijdsduur tussen de situaties
van figuur 1a en figuur 1b.
De onderzoekers hebben hun lasermethode toegepast op het stikstofmolecuul N2. In figuur 2 is het
resultaat van hun experiment gegeven. Figuur 2 is een dwarsdoorsnede van het kansplaatje van de
gemeenschappelijke elektronenwolk gevormd door de buitenste twee elektronen van het molecuul.
Weer geldt: hoe donkerder des te groter is de kans een elektron aan te treffen. De driedimensionale
weergave van deze elektronenwolk wordt verkregen door figuur 2 te roteren om de x-as.
20
Hier onder is een assenstelsel gegeven waarin de golffunctie Ψ van een buitenste elektron van N2
langs de x-as kan worden geschetst.
c) Schets deze golffunctie in het assenstelsel.
De bindingsenergie van de elektronenwolk in figuur 2 is de energie die vrijkomt wanneer een
buitenste elektron van een los stikstofatoom samen met het buitenste elektron van een ander los
stikstofatoom in de elektronenwolk van het gevormde N2-molecuul gaat zitten. We gebruiken het
deeltje-in-een-doos-model om de orde van grootte van deze bindingsenergie te bepalen. Hierbij
benaderen we de twee losse stikstofatomen elk door een kubusvormig doosje met ribbe L en de
elektronenwolk van N2 door een balkvormig doosje met lengte 2L dat uit de twee kubusvormige
doosjes is samengesteld.
De buitenste elektronen zijn de elektronen in het hoogst bezette energieniveau. Bij een los
stikstofatoom hebben deze elektronen volgens het driedimensionale deeltje-in-een-doos-model een
energie gelijk aan:
21
E
3h 2
4mL2
Hierin is:



h de constante van Planck;
m de massa van een elektron;
L de ribbe van het kubusvormige doosje.
d) Toon dit aan. Bepaal hiertoe eerst de verdeling van de 7 elektronen van het stikstofatoom


over de energietoestanden nx , ny , nz van het kubusvormige doosje.


Uit figuur 2 volgt in welke energietoestand nx , ny , nz van het balkvormige doosje de twee
elektronen van de elektronenwolk in het molekuul N2 zitten.
e) Leg uit dat dit de energietoestand (3, 1, 1) is.
22
Opdracht: Quantumdots
Bron: natuurkunde 1,2 (Project Moderne Natuurkunde) examen 2005-II
Met nanotechnologie kunnen quantumdots worden gemaakt. Een quantumdot is een klein systeem
waarin zich twee soorten elektronen bevinden:
• elektronen die gebonden zijn aan atomen in de quantumdot;
• een beperkt aantal geleidingselektronen, dat vrij door de quantumdot beweegt. Op deze
elektronen is het deeltje-in-een-doosmodel van toepassing.
Figuur 1
Figuur 2
Figuur 1 toont een bovenaanzicht van een paddestoelachtige structuur die een quantumdot bevat.
De eigenlijke quantumdot is een dun laagje in de steel van de paddestoel. Zie figuur 2. Er zijn drie
elektroden op aangesloten: een negatieve pool, een positieve pool en een stuurelektrode. De
potentiaal van de stuurelektrode bepaalt het aantal geleidingselektronen.
Figuur 3
In de quantumdot in figuur 3 is één geleidingselektron aangebracht. De quantumgetallen nx, ny en nz
geven voor de x-, y- en z-richting het aantal maxima in de golffunctie van dit elektron. De


grondtoestand van het elektron wordt gegeven door nx , ny , nz = (1, 1, 1).
Quantumdots kunnen worden toegepast als ‘nano’-lichtbronnen van iedere gewenste kleur.
a) Bereken de minimale frequentie van een foton dat door de quantumdot van figuur 3 wordt
uitgezonden.
Het aantal geleidingselektronen in de quantumdot wordt verhoogd tot 5. De verdeling van de
elektronen over de energietoestanden is zodanig dat de totale energie minimaal is.
23
b) Leg uit op welke twee manieren deze vijf elektronen verdeeld kunnen zijn over de
beschikbare toestanden. Gebruik voor het antwoord de onderstaande tabel/
18
De quantumdot gedraagt zich ook als een ‘nano’-condensator met een capaciteit C van 110 F .
Men verwacht dat zulke condensatoren in toekomstige computerchips een rol als schakelaar
e2
kunnen spelen. Voor de benodigde schakelenergie geldt Es 
, waarin e de ladingseenheid is.
C
Zo’n schakelaaar werkt echter alleen betrouwbaar als de thermische energie veel kleiner is dan de
schakelenergie. Voor de thermische energie geldt Et  kT , waarin k de constante van Boltzmann is
(zie BINAS tabel 7) en T de absolute temperatuur.
c) Bereken de maximale temperatuur die een quantumdot mag hebben als de thermische
energie niet meer dan 1% van de schakelenergie mag bedragen.
24

Download Report