Continue Fourierreeks
Jos´e Lagerberg
Universiteit van Amsterdam
November, 2014
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
1 / 60
1
Continue Fourierreeks
Continue periodieke signalen
Fundamentele periode en frequentie
Tijd-harmonische signalen
Continue Fourierreeks
Tijddomein en frequentiedomein
Hoekfrequentie
Van frequentiedomein naar tijddomein
Eigenschappen Fourrierreeks
Van tijddomein naar frequentiedomein
Eigenschappen Fourierreeks
Convergentie Fourierreeks
Samenvatting Fourierreeks
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
2 / 60
Discreet
Periodiek
Niet periodiek
DT Fourier Series
N−1
x[n] =
DT Fourier Transform
Z
1
x[n] =
X (Ω)e jΩn d Ω
2π 2π
∑ ak e jk N n
2π
k=0
+∞
2π
1 N−1
x[n]e −jk N n
ak =
∑
N n=0
X (Ω) =
Niet periodiek
CT Fourier Series
+∞
∑
k=−∞
Z
1
ak =
T0
x[n]e −jΩn
n=−∞
Continu
Periodiek
x(t) =
∑
CT Fourier Transform
Z
1 +∞
X (ω)e jωt d ω
x(t) =
2π −∞
ak e jkω0 t
x(t)e
T0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
−jkω0 t
dt
X (ω) =
Continue Fourierreeks
Z +∞
−∞
x(t)e −jωt dt
November, 2014
3 / 60
Sinuso¨ıden en complexe exponenten
Definitie hoekfrequentie, fase en amplitude
x(t) = A cos(ωt + ϕ)
1
ω is hoekfrequentie (rad/sec)
2
ϕ is fase (rad)
3
A is amplitude
A
A cos ϕ
t
T
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
4 / 60
Sinuso¨ıden en complexe exponenten
Sinuso¨ıde periodiek met periode T
x(t) = A cos(ωt + ϕ)
2π
1
T=
(sec)
ω
2
frequentie in Hz is f =
3
hoekfrequentie ω =
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
ω
1
=
(periode/sec)
T
2π
2π
= 2πf (radialen/ sec)
T
Continue Fourierreeks
November, 2014
5 / 60
Opgaven
Sinuso¨ıden
1
Bepaal de hoekfrequentie en periode van:
◮
◮
◮
2
3
cos t
cos 2t
cos 2πt
Bepaal ook de frequentie in Hz
Teken de sinuso¨ıden in ´e´en figuur
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
6 / 60
Continue periodieke signalen
Definitie periodiek signaal
Continu signaal x(t) is periodiek met periode T als geldt:
x(t + T ) = x(t),
∀t
Definitie fundamentele periode
Fundamentele periode T0 van x(t) is kleinste positieve waarde van T
waarvoor geldt x(t + T ) = x(t) voor alle t
Definitie fundamentele frequentie
Fundamentele frequentie is ω0 =
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2π
T0
Continue Fourierreeks
November, 2014
7 / 60
Fundamentele periode van complexe e-macht
Gegeven x(t) = e jωt , wat is periode T ?
x(t) = e jωt is periodiek met periode T als geldt:
e jωt = e jω(t+T ) = e jωt · e jωT ⇒
e jωT = 1 = e j2πk , k = 0, 1, 2, . . . ⇒
ωT = 2πk ⇒ T = 2π
ω ·k
Fundamentele periode van x(t) = e jωt
Kleinste waarde van T is
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
T=
2π
fundamentele periode
ω
Continue Fourierreeks
November, 2014
8 / 60
Formule van Euler
Formule van Euler
e jωt = cos ωt + j sin ωt
Fundamentele periode
e jωt , e −jωt , cos ωt en sin ωt
hebben fundamentele periode T0 =
2π
ω
Fundamentele periode
e jkωt , e −jkωt , cos kωt en sin kωt
hebben fundamentele periode Tk =
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2π
T0
=
kω
k
Continue Fourierreeks
November, 2014
9 / 60
Gemeenschappelijke periode T0
sin ω0 t
sin 2ω0 t
sin 3ω0 t
T3 = 31 T0
T2 = 21 T0
T0 =
2π
ω0
e jkω0 t , e −jkω0 t , cos kωt0 en sin kω0 t voor k = 1, 2, . . .
hebben gemeenschappelijke periode T0 =
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
2π
ω0
November, 2014
10 / 60
Tijd-harmonische signalen
ϕk (t) = e jkω0 t met k = 0, ±1, ±2, . . .
1
2
3
frequentie kω0 veelvoud van fundamentele frequentie ω0
2π
T0
periode
=
kω0
k
2π
gemeenschappelijke periode T0 =
ω0
Fourier
bijna elk periodiek signaal kan geschreven worden als superpositie
van tijd-harmonische signalen e jk ω0 t
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
11 / 60
Som van 1e, 3e, 5e en 7e harmonische
2
7π
2
5π
sin7ω0 t
2
3π
sin3ω0 t
sin5ω0 t
T=
2
π sin ω0 t
2π
ω0
t
T=
2π
ω0
t
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
12 / 60
Harmonische componenten
Harmonische componenten periodiek
Harmonische componenten periodiek met periode T =
2π
ω0
2
π
2
3π
2
5π
ω0
3ω0
5ω0
2
7π
7ω0
2
9π
9ω0
11ω0
ω
ω0 is 1ste harmonische
2ω0 is 2de harmonische
3ω0 is 3de harmonische
...
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
13 / 60
Bloksignaal bevat oneven harmonischen
T=
2π
ω0
t
2
2
2
x(t) = π2 sin ω0 t + 3π
sin 3ω0 t + 5π
sin 5ω0 t + 7π
sin 7ω0 t + . . .
amplitude van 1ste harmonische ω0 is
2
π
amplitude van 3ste harmonische 3ω0 is
amplitude van 5de harmonische 5ω0 is
...
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2
3π
2
5π
Continue Fourierreeks
November, 2014
14 / 60
Continue Fourierreeks
Fourierreeks van x(t) met periode T0 is
∞
x(t) =
∑
ak e jkω0 t met ω0 =
k=−∞
2π
T0
getallen ak zijn complexe Fourier co¨effici¨enten van x(t)
ak plotten als functie van frequentie levert lijnenspectrum
◮
◮
|ak | plotten levert amplitudespectrum
arg (ak ) plotten levert fasespectrum
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
15 / 60
Lijnenspectrum van periodiek signaal
Lineaire combinatie van harmonische complexe e-machten
∞
x(t) =
∑
ak e jk ω0 t met periode T0 =
k=−∞
a−1
a−3
−4
−3
a−2
−1
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0
e0
e −jω0 t
e −j2ω0 t
e −j3ω0 t
a1
lijnenspectrum
a2
a0
−2
2π
ω0
2
1
a3
3
4
5
k
e j2ω0 t
e jω0 t
e j3ω0 t
Continue Fourierreeks
November, 2014
16 / 60
Tijddomein en frequentiedomein
Periodiek signaal kan op 2 manieren gegeven worden
als functie x(t) van de tijd t
door voor elke waarde van k de complexe waarde ak te geven
1
2
|ak |
x(t)
T
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
t
1
Continue Fourierreeks
2
3
4
5
6
November, 2014
k
17 / 60
Hoekfrequentie
Hoekfrequentie
x(t) = sin ω0 t ⇒
ω0 noem je hoekfrequentie
Voorbeelden
x(t) = sin t ⇒ hoekfrequentie ω0 = 1
x(t) = sin 3t ⇒ ω0 = 3
x(t) = sin 2πt ⇒ ω0 = 2π
x(t) = sin 200πt ⇒ ω0 = 200π
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
18 / 60
Voorbeeld 1, van frequentiedomein naar tijddomein
Gegeven volgende signaal in frequentiedomein
fundamentele frequentie ω0 = 1
a0 = 0, a1 = a−1 = 1/2, a2 = a−2 = 1/4, a3 = a−3 = 1/6,
overige ak nul
Wat is x(t) in tijddomein?
ak
lijnenspectrum
1/2
−4
−3
−2
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
−1
1
2
3
4
Continue Fourierreeks
5
k
November, 2014
19 / 60
Wat is x(t) in tijddomein?
x(t) in tijddomein
Euler
x(t) = 21 (e jt + e −jt ) + 41 (e j2t + e −j2t ) + 61 (e j3t + e −j3t ) =
cos t + 21 cos 2t + 31 cos 3t
1
π
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2π
3π
Continue Fourierreeks
4π
t
November, 2014
20 / 60
Voorbeeld 2, van frequentiedomein naar tijddomein
Gegeven volgende signaal in frequentiedomein
fundamentele frequentie ω0 = 1
a0 = 0, a1 = − 12 j, a−1 = 21 j, a2 = − 41 j, a−2 = 41 j,
overige ak nul
Wat is x(t) in tijddomein?
ak
1/2j
1
−4
−3
−2
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
−1
2
3
4
Continue Fourierreeks
5
k
November, 2014
21 / 60
Wat is x(t) in tijddomein?
x(t) in tijddomein
Euler
x(t) = − 21 j(e jt − e −jt ) − 14 j(e j2t − e −j2t ) = sin t + 21 sin 2t
1
π
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2π
3π
Continue Fourierreeks
4π
t
November, 2014
22 / 60
Voorbeeld 3, van frequentiedomein naar tijddomein
Gegeven volgende signaal in frequentiedomein
fundamentele frequentie ω0 = 1
a0 = 0, a1 = 21 − 12 j, a−1 = 21 + 21 j, a2 = 14 − 41 j, a−2 = 41 + 14 j,
overige ak nul
Wat is x(t) in tijddomein?
|ak |
√
1/2 2
−5
−4
−3
−2
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
−1
1
2
3
4
Continue Fourierreeks
5
k
November, 2014
23 / 60
Wat is x(t) in tijddomein?
x(t) in tijddomein
x(t) = sin t + cos t + 21 sin 2t + 12 cos 2t
1
π
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2π
3π
Continue Fourierreeks
4π
t
November, 2014
24 / 60
Eigenschappen Fourrierreeks
Fourrierreeks van re¨eel periodiek signaal
∞
x(t) =
∑
ak e jkω0 t met ω0 =
k=−∞
2π
T0
Eigenschappen
ak zijn complex geconjugeerd
oftewel a−k = ak∗
als ak re¨
eel, dan bevat Fourierreeks cosinussen (x(t) was even)
als ak imaginair, dan bevat Fourierreeks sinussen (x(t) was
oneven)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
25 / 60
Bepalen van co¨effici¨enten ak Fourrierreeks
Analyse vergelijking
1
ak =
T
a0 =
1
T
Z
T
Z
x(t)e −jk ωt dt ω =
2π
T
x(t) dt is gemiddelde over T
T
Synthese vergelijking
∞
x(t) =
∑
ak e jkωt
k=−∞
Fourierco¨effici¨enten wegen dat deel van x(t) dat hoort bij
desbetreffende e-macht
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
26 / 60
Voorbeeld 4, van tijddomein naar frequentiedomein
Gegeven volgende signaal in tijddomein
(
1 als − π2 < t < π2
x(t) =
0 als π2 < t < 3π
2
Wat zijn de co¨effici¨enten van Fourierreeks?
− π2
π
2
0
1
a0 =
2π
Z
x(t)e
π
j0t
T
3π
2
1
dt =
2π
2π
Z
π
2
− π2
T = 2π ⇒ ω = 1
π
1 π
= 1/2
−−
dt =
2π 2
2
a0 is gemiddelde waarde van x(t)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
27 / 60
Co¨effici¨enten van Fourierreeks
x(t) in frequentiedomein
1
ak =
2π
Z
π
2
1 h −jkt i 2π
1
=
e
·
2π −jk
− π2
sin π k
π
1 −jk π
2
e 2 − e jk 2 =
−j2πk
πk
e −jkt dt =
π
−2
ak re¨
eel, omdat x(t) even functie,
1
a0 = 12 , a1 = a−1 = π1 , a2 = a−2 = 0, a3 = a−3 = − 3π
, a4 = a−4 = 0, . . .,
dus a−k = ak
a
k
1/2
1/π
−5
−4
−3
3
−2
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
−1
1
2
1
− 3π
4
Continue Fourierreeks
5
k
November, 2014
28 / 60
Fourierreeks van signaal voorbeeld 4
Fourierreeks
∞
x(t) =
∑
k=−∞
1
1 jt
e + e −jt −
e j3t + e −j3t + . . . =
π
3π
2
2
cos 3t + 5π
cos 5t − . . .
1/2 + π2 cos t − 3π
ak e jkωt = 1/2 +
Fundamentele frequentie ω0 = 1 wordt gewogen met π2
2
3de harmonische 3ω0 = 3 wordt gewogen met − 3π
2
, etc.
5de harmonische 5ω0 = 5 wordt gewogen met 5π
Even of oneven
x(t) was even ⇒ ak re¨eel, alleen cosinus bouwstenen
als x(t) oneven ⇒ ak imaginair, alleen sinus bouwstenen
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
29 / 60
Voorbeeld 5, van tijddomein naar frequentiedomein
Gegeven volgende signaal in tijddomein
x(t) = 1 + sin 2ω0 t + cos 3ω0 t, bepaal Fourierreeks
Periode van x(t) is T0 = ω2π0
inverseEuler
1
1
j2ω
t
−j2ω
t
j3ω
t
−j3ω
t
0
0
0
0
−e
+2 e
+e
=
x(t)
=
1 − 2j e
1
1
1 −j3ω0 t
1 j3ω0 t
e
+ j e −j2ω0 t + |{z}
1 − j e j2ω0 t +
e
2
2
2
2
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
a−3
1
−5
−4
a0
a−2
−3
−2
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
−1
a2
a3
|ak |
1
2
3
ω0
2ω0
3ω0
4
Continue Fourierreeks
5
k
November, 2014
30 / 60
Voorbeeld 6, van tijddomein naar frequentiedomein
Gegeven volgende signaal in tijddomein
x(t) = sin 2t cos t, bepaal harmonische componenten
jt −jt inverseEuler e j2t −e −2jt
. e +e
=
x(t)
=
2j
2
1 j3t
+ e jt − e −jt − e −j3t ) =
4j (e
1 jt
−jt ) + 1 (e j3t − e −j3t ) Euler
= 12 sin t + 12 sin 3t
4j (e − e
4j
Harmonische componenten
1
2
weegfactor 21
eerste harmonische (ω0 = 1) met weegfactor
derde harmonische (3ω0 = 3) met
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
31 / 60
Samenvatting Fourierreeks
Samenvatting
bijna elk periodiek signaal is te schrijven als gewogen som van
tijd-harmonische signalen
a−k = ak∗ , d.w.z. |ak | symmetrisch t.o.v. oorsprong
ak weegt dat gedeelte van signaal dat overeenkomt met
harmonische component e jkωt
Fourierco¨effici¨enten in het algemeen complex
als x(t) even, dan ak re¨eel, alleen cos
als x(t) oneven, dan ak imaginair, alleen sin
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
32 / 60
Opgave 1
ak zijn de Fourierco¨effici¨enten volgende blokgolf
1
2
0
1
t
Hoeveel van de volgende statements zijn waar?
1
ak = 0 als k even is
2
ak is re¨eel
3
4
|ak | neemt af met k 2
er zijn een oneindig aantal van ak ongelijk aan nul
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
33 / 60
Berekening ak
1
2
0
t
1
1
1 2 −j2πkt
1 0 −j2πkt
x(t)e
ak =
e
dt
+
dt = −
e
dt =
2 − 21
2 0
T
1 h −j2πkt i0
1 h −j2πkt i 12
1
1
e
e
·
− ·
+
=
− 12
2 −j2πk
2 −j2πk
0
1 1 0
e − e jπk − e −jπk + e 0 =
2 − e jπk − e −jπk ⇒
j4πk (
j4πk
1
als k oneven
ak = jπk
0
anders
Z
−j 2π
T kt
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Z
Continue Fourierreeks
Z
November, 2014
34 / 60
Antwoord
Waarden van ak
ak =
(
1
jπk
als k oneven
0
anders
Hoeveel van de volgende statements zijn waar?
1
ak = 0 als k even is
X
2
ak is re¨eel
×
3
|ak | neemt af met k 2
×
4
er zijn een oneindig aantal van ak ongelijk aan nul
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
X
November, 2014
35 / 60
Eigenschappen Fourierreeks
Differenti¨eren in tijddomein
Als signaal gedifferentieerd wordt naar de tijd, worden
2π
Fourierco¨effici¨enten vermenigvuldigd met j k
T
Bewijs
∞
x(t) = x(t + T ) =
∑
2π
ak e j T kt
k=−∞
∞
x ′ (t) = x ′ (t + T ) =
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2π 2π
∑ j T k ak e j T kt
k=−∞
Continue Fourierreeks
November, 2014
36 / 60
Opgave 2
bk zijn de Fourierco¨effici¨enten volgende driehoekige signaal
1
8
0
1
t
− 81
Hoeveel van de volgende statements zijn waar?
1
bk = 0 als k even is
2
bk is re¨eel
3
4
|bk | neemt af met k 2
er zijn een oneindig aantal van bk ongelijk aan nul
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
37 / 60
Berekening bk
Gebruik van differentiatie-eigenschap
De blokgolf is de afgeleide van het driehoekige signaal
driehoekig signaal blokgolf
x(t)
x ′ (t)
2π
bk
bk × j k
T
2π
ak /j k
ak
T
T = 1, co¨effici¨enten blokgolf bk =
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
1
−1
1
×
= 2 2 als k oneven
jπk j2πk 2π k
Continue Fourierreeks
November, 2014
38 / 60
Antwoord
Waarden van bk
(
−1
2π2 k 2
als k oneven
0
anders
Hoeveel van de volgende statements zijn waar?
1
bk = 0 als k even is
X
2
bk is re¨eel
X
3
|bk | neemt af met k 2
X
4
er zijn een oneindig aantal van bk ongelijk aan nul
bk =
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
X
November, 2014
39 / 60
Convergentie Fourierreeks driehoekig signaal
Alleen eerste harmonische
1
x(t) =
−1 j2πkt −1
e
= 2 cos 2πt
2 2
π
k=−1 2π k
∑
1
8
0
1
t
− 81
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
40 / 60
Convergentie Fourierreeks driehoekig signaal
Eerste en derde harmonische
3
x(t) =
−1
−1 j2πkt −1
e
= 2 cos 2πt + 2 cos 6πt
2
2
π
9π
k=−3 2π k
∑
1
8
0
1
t
− 81
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
41 / 60
Convergentie Fourierreeks driehoekig signaal
Eerste, derde en vijfde harmonische
5
x(t) =
−1 j2πkt −1
−1
−1
e
=
cos
2πt
+
cos
6πt
+
cos 10πt
2 2
π2
9π2
25π2
k=−5 2π k
∑
1
8
0
1
t
− 81
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
42 / 60
Convergentie Fourierreeks driehoekig signaal
Eerste, derde, vijfde en zevende harmonische
7
x(t) =
−1 j2πkt
−1
−1
−1
−1
e
= 2 cos 2πt + 2 cos 6πt +
cos 10πt +
cos 14πt
2k2
2
2
2π
π
9π
25π
49π
k=−7
∑
1
8
0
1
t
− 81
Discontinue helling
Fourierreeks representaties van functies met discontinue helling
convergeren naar functies met discontinue helling
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
43 / 60
Convergentie Fourierreeks blokgolf
Alleen eerste harmonische
1
x(t) =
1 j2πkt 2
e
= cos 2πt
π
k=−1 jπk
∑
1
2
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
1
Continue Fourierreeks
t
November, 2014
44 / 60
Convergentie Fourierreeks blokgolf
Eerste en derde harmonische
3
x(t) =
1 j2πkt 2
2
e
= cos 2πt + cos 6πt
π
3π
k=−3 jπk
∑
1
2
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
1
Continue Fourierreeks
t
November, 2014
45 / 60
Convergentie Fourierreeks blokgolf
Eerste, derde en vijfde harmonische
5
x(t) =
2
2
1 j2πkt 2
e
= cos 2πt + cos 6πt + cos 10πt
π
3π
5π
k=−5 jπk
∑
1
2
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
1
Continue Fourierreeks
t
November, 2014
46 / 60
Convergentie Fourierreeks blokgolf
Eerste, derde, vijfde en zevende harmonische
7
x(t) =
1 j2πkt
2
2
2
2
e
= cos 2πt +
cos 6πt +
cos 10πt +
cos 14πt
jπk
π
3π
5π
7π
k=−7
∑
1
2
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
1
Continue Fourierreeks
t
November, 2014
47 / 60
Convergentie Fourierreeks blokgolf
Eerste, derde, vijfde en zevende harmonische
Blokgolf samengesteld uit k = 1 t/m 7 harmonischen
2
1.5
1
x(t)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2
Continue Fourierreeks
1.4
1.6
1.8
2
November, 2014
48 / 60
Convergentie Fourierreeks blokgolf
Eerste, derde, ... en 19e harmonische
Blokgolf samengesteld uit k = 1 t/m 19 harmonischen
2
1.5
1
x(t)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2
Continue Fourierreeks
1.4
1.6
1.8
2
November, 2014
49 / 60
Convergentie Fourierreeks blokgolf
Eerste, derde, ... en 29e harmonische
Blokgolf samengesteld uit k = 1 t/m 29 harmonischen
2
1.5
1
x(t)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2
Continue Fourierreeks
1.4
1.6
1.8
2
November, 2014
50 / 60
Convergentie Fourierreeks blokgolf
Eerste, derde, ... en 39e harmonische
Blokgolf samengesteld uit k = 1 t/m 39 harmonischen
2
1.5
1
x(t)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2
Continue Fourierreeks
1.4
1.6
1.8
2
November, 2014
51 / 60
Fourierreeks blokgolf, Gibbs fenomeen
Eerste, derde, ... en 49e harmonische
Blokgolf samengesteld uit k = 1 t/m 49 harmonischen
2
1.5
1
x(t)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Gibbs fenomeen bij discontinue functie
Bij parti¨ele som van Fourierreeks van discontinue functies ontstaan
rimpels bij discontinu¨ıteit (Fourierco¨effici¨enten nemen af met 1/k)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
52 / 60
Definitie eenheidspuls
Eenheidspuls δ(t)
1
δ(t)
t
0
(
+∞ als t = 0
δ(t) =
0
anders
Zeefeigenschap
x(t)δ(t) = x(0)
x(t)δ(t − t0 ) = x(t0 )
R
δ(t)e −jωt dt = e −jω0 = 1
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
53 / 60
Opgave 3
ck zijn de Fourierco¨effici¨enten volgende pulstrein
1
0
1
t
Hoeveel van de volgende statements zijn waar?
1
ck = 0 als k even is
2
ck is re¨eel
3
|ck | neemt af met k 2
4
er zijn een oneindig aantal van ck ongelijk aan nul
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
54 / 60
Berekening ck
Gebruik van differentiatie-eigenschap ×j
2π
k
T
De pulstrein is de afgeleide van de blokgolf
driehoekig signaal blokgolf
x(t)
x ′ (t)
bk
2π
bk = ak /j k
T
−1
2π2 k 2
ak = bk × j
ak
1
jπk
T = 1, co¨effici¨enten pulstrein ck =
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2π
k
T
pulstrein
x ′′ (t)
ck = ak × j
2π
k
T
2
1
× j2πk = 2 als k oneven
jπk
Continue Fourierreeks
November, 2014
55 / 60
Antwoord
Waarden van ck
(
2 als k oneven
ck =
0 anders
Hoeveel van de volgende statements zijn waar?
1
ck = 0 als k even is
X
2
ck is re¨eel
X
3
|ck | neemt af met k 2
×
4
er zijn een oneindig aantal van ck ongelijk aan nul
X
Fourierreeks en som van cosinussen
∞
x(t) =
∑
2e j2πkt = 4(cos 2πt + cos 6πt + cos 10πt + cos 14πt + . . .)
k=−∞
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
56 / 60
Convergentie Fourierreeks pulstrein
Eerste t/m negende harmonische
Pulstrein samengesteld uit k = 1 t/m 9 harmonischen
20
15
10
x(t)
5
0
−5
−10
−15
−20
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2
Continue Fourierreeks
1.4
1.6
1.8
2
November, 2014
57 / 60
Convergentie Fourierreeks pulstrein
Eerste t/m 49e harmonische
Pulstrein samengesteld uit k = 1 t/m 49 harmonischen
100
80
60
40
x(t)
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2
Continue Fourierreeks
1.4
1.6
1.8
2
November, 2014
58 / 60
Convergentie Fourierreeks pulstrein
Eerste t/m 99e harmonische
Pulstrein samengesteld uit k = 1 t/m 99 harmonischen
200
150
100
x(t)
50
0
−50
−100
−150
−200
0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2
Continue Fourierreeks
1.4
1.6
1.8
2
November, 2014
59 / 60
Samenvatting Fourierreeks
Fourierreeks
1
2
Is het mogelijk alle periodieke signalen te representeren door
harmonischen? Ook discontinue signalen?
Fourier claimde dat dit mogelijk is, ofschoon harmonischen
continu zijn
Fourierreeks
1
2
3
4
Fourierreeks representeert een periodiek signaal als som van
sinuso¨ıden
dat geldt voor bijna alle periodieke signalen
zelfs voor discontinue signalen zoals de blokgolf
convergentie als het aantal harmonischen toeneemt kan
ingewikkeld zijn
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fourierreeks
November, 2014
60 / 60
© Copyright 2024 ExpyDoc
