H6: Het Gelijkwaardigheidsbeginsel gravitatie, inertie en gekromde oppervlakken H6: Het Gelijkwaardigheidsbeginsel ..................................................................................... 1 gravitatie, inertie en gekromde oppervlakken ....................................................................... 1 1 Intro ....................................................................................................................................... 2 1 Intro ....................................................................................................................................... 2 2. Inertie en de wetten van Newton........................................................................................ 2 3 Gelijkwaardigheidsbeginsel................................................................................................. 4 3.1 Gelijkwaardigheid van traagheidsmassa en gravitatiemassa...................................... 4 3.2 Inertiele of vrij-vallende banen .................................................................................... 5 3.3 Universaliteit ................................................................................................................. 5 3.4 Gravitatie en versnelling............................................................................................... 5 3.5 Conclusie ....................................................................................................................... 6 4. Voorbeeld............................................................................................................................. 7 4.1 Val vanop hoogte h met 1 tijd en 1 ruimte dimensie .................................................. 7 4.2 Vrij vallend stelsel .................................................................................................. 8 4.3 Definitie van de coordinatentransformatie .................................................................. 8 4.4 Bundel van Parabolen ................................................................................................... 9 4.5 Bewegingsvergelijking in (x,t)..................................................................................... 9 5 Bewegingsvergelijking en de waarnemer in rust ............................................................. 10 5.1 Bewegingsvergelijking in het locale inertiaalstelsel................................................. 10 5.1 Dimensie 1+1 [Roza]................................................................................................. 10 5.2 Dimensie 1+3 ............................................................................................................. 11 6. Afbuiging van licht ........................................................................................................... 12 7. Conclusies.......................................................................................................................... 13 Referenties ............................................................................................................................. 14 1 1 Intro Waar de Speciale relativiteitstheorie het probleem aanpakt van het eindig en constant zijn van de lichtsnelheid, pakt de Algemene relativiteitstheorie het probleem van zwaartekracht aan. Daarbij spelen twee principes een belangrijke rol: het principe van relativiteit en het Gelijkwaardigheidsbeginsel. Belangrijk in de methode is dat er twee waarnemers een rol spelen. Stel, bij wijze van voorbeeld, dat we de beweging willen analyseren van een deeltje dat zich bevindt in de invloedsfeer van een centrale massa. Daarbij hoort – op een natuurlijke wijze – een centrale ‘waarnemer in rust’ met een assenstelsel, mogelijk een sferisch stelsel. Een tweede waarnemer is een ‘vrijvallende’ of ‘meebewegende waarnemer’. Met vrije val bedoelen we een situatie van gewichtloosheid vergelijkbaar met de situatie in een ruimtestation. Beide waarnemers doen verschillende vaststellingen omdat de ene te maken heeft met zwaartekarcht en de andere niet maar ze moeten het eens zijn over dezelfde wetten van de fysica. Het principe van relativiteit zorgt ervoor dat de visies van beide waarnemers verzoend worden. Het tweede principe is het Gelijkwaardigheidsbeginsel. Uit de gelijkwaardigheid van traagheidsmassa en gravitatiemassa volgt dat de baan van een vrije valbeweging niet afhangt van de eigenschappen van het testdeeltje maar van de eigenschappen van de omgeving. Alle testdeeltjes beschrijven een baan met dezelfde vorm. Er zijn alleen verschillen als gevolg van beginvoorwaarden. Dit suggereert dat we zwaartekracht niet zien als een kracht maar als inertie (alhoewel we het nog steeds zwaartekracht zullen noemen). De meebewegende waarnemer ziet dat alle deeltjes met dezelfde constante snelheid bewegen. Hij besluit dan ook dat hij te maken heeft met een inertiaal frame zoals gedefinieerd in de SRT. Wat met de andere waarnemer? Deze ziet de deeltjes bewegen met een veranderende snelheid langs gekromde banen. Hij heeft dus te maken met versnelling. Hierin schuilt een tegenspraak: inertie versus versnelling. Hoe kan een vrije beweging een gekromde baan opleveren? Dit wordt opgelost door de concepten te veralgemenen op een manier die opwaards compatibel is met SRT. We definieren vrije val in het algemeen als een beweging waarbij geen krachten aanwezig zijn en noemen de baan een geodeet. Als er geen zwaartekracht is gebruiken we een vlakke ruimte en is de geodeet een rechte. Als er wel zwaartekracht is dan zorgen de aanwezige massa en energie er voor dat de ruimte gekromd is en dus ook de geodeten. Het resultaat is een meetkundige theorie van de zwaartekracht. De ART is dus om de SRT heen gebouwd en ze omvat deze laatste bij constructie. Hieruit volgt dat, als we de beweging kennen in één stelsel, deze ook gevonden kan worden in het andere stelsel enkel en alleen door toepassing van een coordinaattransformatie tussen beide. De geodeten kunnen worden berekend uit een coordinaattransformatie. 2. Inertie en de wetten van Newton De klassieke mechanica is gebaseerd op de drie wetten van Newton die we dan ook als startpunt nemen en volledigheidshalve hier herhalen. Deze wetten leggen het verband tussen de beweging van een object en de krachten die op het voorwerp inwerken. De drie wetten zijn de volgende. 1. inertie wet: Inertie is de weerstand van een voorwerp tegen een verandering in zijn bewegingstoestand. Een voorwerp in rust blijft in rust en een voorwerp in beweging blijft in beweging zonder dat daarvoor externe kracht nodig is. Deze beweging is eenparig d.w.z. zelfde snelheid en rechtlijnig. De ‘toestand van beweging’ is dus de snelheid en richting. 2 2. kracht en versnelling: In elk inertiaal frame geldt F=ma of de versnelling van een voorwerp is evenredig met de netto kracht die er op wordt uitgeoefend en omgekeerd evenredig met de massa 3. actie-reactie: Als twee lichamen interactie hebben oefenen ze op elkaar gelijke maar tegengestelde krachten uit. De eerste wet geeft een operationele definitie van een inertiaal frame1: er bestaat dus een speciale klasse van referentie frames, genaamd inertiaal frames, waarin elk object, waarop geen kracht inwerkt (dus alle vrije deeltjes) beweegt met een constante snelheid. Vermits de zwaartekracht als een kracht gezien wordt is deze niet meegenomen. De volgende statements zijn equivalent • Object bevindt zich in een inertiaal frame • Object beweegt met een constante snelheid • Object ondervindt geen kracht • Object beweegt met een (andere) constante snelheid in elk ander inertiaal frame Alle inertiaalstelsels zijn gelijk, m.a.w. binnen de groep inertiaalstelsels wordt er geen onderscheid gemaakt, bijvoorbeeld al naargelang de snelheid gelijk is aan 0 of niet. De wetten van de fysica gelden dus in elk willekeurig inertiaalstelsel. Dit kan worden gecheckt omdat metingen in één inertiaal frame kunnen worden vertaald naar metingen in een ander inertiaal frame via de Lorentz transformaties.Als een stelsel geen inertiaal frame is dan is het een versnellend frame. Het is het een of het ander. Als men de wetten van Newton wil toepassen in versnellende stelsels moet men schijnkrachten invoeren2. In geval van translatie is deze schijnkracht de inertie kracht of traagheidskracht. De beweging kan vaak beschreven worden als een combinatie van een vrije (inertiaal) beweging (1ste wet) en afwijkingen hiervan die een gevolg zijn van externe krachten (2de wet). Inertie kan gezien worden als een soort beweging op de achtergrond, een scene of een decor zodat alle objecten eenzelfde beweging maken waartegen de voorgrond beweging zoals gedefinieerd in de tweede wet zich afspeelt. De inertiaal beweging hangt af van de onderliggende geometrie die resulteert in rechte lijnen en constante snelheid. Voorbeeld: [valparabool met beginsnelheid als functie van 2 spatiele dimensies] Een goed voorbeeld hiervan is de baan beschreven f(x,y) door een projectiel dat onder een zekere hoek wordt afgeschoten en waarbij de beweging gezien worden als een superpositie van bewegingen. Het gaat om de volgende twee bewegingen • een éénparige beweging in het verlengde van de loop (eerste wet) • een vertikale vrije val beweging met constante versnelling. (tweede wet) De eerste kan gezien worden als een achtergrond beweging die bepaald wordt door de Euclidische geometrie (zie hieronder), de tweede als een voorgrond beweging.■ 1 Een referentie frame hoort bij een waarnemer en verwijst naar een coordinatensysteem. Via de link met de waarnemer wordt er iets gezegd over de toestand van beweging, wat in een typische situatie een inertiaal frame of een versnellend frame genoemd wordt. Via de link met het coordinatensysteem wortd er informatie gegeven over plaats en tijd van objecten. Tijd is de coordinaat tijd en wordt gemeten met een gesynchroniseerde klok. Plaats is afstand tot de oorsprong en wordt simultaan op beide plaatsen afgelezen op een meetlat. 2 Andere benamingen zijn pseudo kracht, d’Alembert kracht, inertiekracht, traagheidskracht. Er zijn vier soorten afhankelijk van een beweging in rechte lijn of in de vorm van een cirkel. In het eerste geval spreekt men van inertie kracht of traagheidskracht,, in het tweede geval van centrifugaaal-, Coriolis- en Eulerkracht. 3 x v0t gt2/2 y Figure 1 Superpositie van twee bewegingen: inertie en een kracht volgens de eerste respectievelijk tweede wet van Newton 3 Gelijkwaardigheidsbeginsel Het Gelijkwaardigheidsbeginsel is een belangrijke doorbraak in de ontwikkeling van de Algemene Relativiteitstheorie. We maken achtereenvolgens de volgende observaties. 3.1 Gelijkwaardigheid van traagheidsmassa en gravitatiemassa De inertiele massa of traagheidmassa (mi ) is gedefinieerd als de weerstand van een lichaam tegen een verandering van beweging. De traagheidsmassa is een eigenschap van het voorwerp, ongeacht de plaats waar het zich bevindt.3 Als een kogelstoter een kogel werpt zal deze een grotere versnelling krijgen en een grotere afstand afleggen naarmate de massa kleiner is. We zeggen dat mi a = F In geval de kracht afkomstig is van de zwaartekracht werkt dit echter anders. Galileo voerde experimenten uit waaruit bleek dat de zwaartekracht de rare eigenschap heeft dat voorwerpen uit verschillende stoffen (ijzer, koper, lood hout...) even snel vallen, tenminste als er geen invloed is van de luchtweerstand. Deze test werd ook gedaan op de maan door David Scott (Apollo 15, 1971) die laat zien dat een hamer en een veer die gelijktijdig worden los gelaten, ook gelijktijdig het oppervlak bereiken. De verklaring is dat de kracht uitgeoefend door de zwaartekracht gelijk is aan F= - mg grad(φ). Hierin is (mg) de (passieve) gravitatie massa die een maat is voor de reactie van een voorwerp op een zwaartekrachtveld waarin het zich bevindt. Hieruit volgt dat mi a = F = - mg grad(φ) . De experimenten van Galileo en andere tonen aan dat de traagheidmassa en de gravitatie massa precies gelijk zijn. Daaruit volgt mi =- mg a = - grad(φ) Bij Newton geldt deze gelijkheid ook maar daar is het eerder een toevallige bijkomstigheid. Einstein maakt er een uitgangspunt van. De gelijkwaardigheid van beide massa’s was voor Einstein een indicatie van een nauwe en fundamentele verwantschap tussen inertie en 3 De zwaartekracht heeft geen invloed op de traagheidsmassa van een voorwerp maar de energie inhoud wel. 4 zwaartekracht. Indien dit op een dag zou blijken niet correct te zijn vervalt de hele relativiteitstheorie terwijl de theorie van Newton geldig zou blijven. 3.2 Inertiele of vrij-vallende banen Dit betekent dat de versnelling van een vrij deeltje (d.w.z. alleen aan de zwaartekracht onderworpen) onafhankelijk is van de eigenschappen van het deeltje zelf, zoals massa en de samenstelling, maar daarentegen alleen afhangt van de omgeving: de gegeven ruimte (met gegeven massa’s) en de beginvoorwaarden: de beginpositie en de beginsnelheid. Dit betekent dat er – afhankelijk van de omgeving – een bepaalde meestal ‘gekromde baan’ (functie, bijvoorbeeld een parabool, zie volgende sectie) in de ruimte-tijd bestaat die we inertiele of vrij-vallende banen noemen. 3.3 Universaliteit Het bovenstaande geldt voor alle deeltjes zonder uitzondering. De zwaartekracht is universeel (heeft impact op alle testdeeltjes op dezelfde manier) en onomkoombaar (er bestaat geen ‘zwaartekracht neutraal’ deeltje terwijl er wel een ‘elektrisch neutraal’ deeltje bestaat in de elektriciteitsleer). Omdat een ‘zwaartekracht neutraal’ deeltje niet bestaat is er ook geen referentiepunt om de versnelling te meten. 3.4 Gravitatie en versnelling In wat volgt beschrijven we een aantal gedachtenexperimenten van Einstein met liften en ruimtecapsules. We nemen aan dat we te maken hebben met een locaal frame dat voldoende klein is in ruimte en tijd zodat er geen getijdewerking of andere niet-lineaire effecten optreden. Wat er gebeurt als aan deze veronderstelling niet voldaan is wordt getoond in figuur 2e. (a) ruimtecapsule zonder motor en ver van gravitatie: de persoon in de capsule en ook alle voorwerpen bevinden zich in vrije val (b) de motor van de capsule wordt gestart en zorgt voor een constante opwaartse versnelling: de persoon en de voorwerpen bevinden zich op de vloer (c) zonder motor maar in aanwezigheid van een constant (=uniform: evenwijdig en zelfde grootte) gravitatieveld: dit geeft voor de inwendige waarnemer hetzelfde effect als (b) (d) lift met doorgesneden kabel in een gravitatieveld: dit geeft voor de inwendige waarnemer hetzelfde effect als (a) (e) Is zeer verschillend van de eerste vier en toont wat er gebeurt als het locale frame onvoldoende klein wordt gedefinieerd zodat bijvoorbeeld de kromming van de aarde niet verwaarloosbaar is. De beide losgelaten voorwerpen bewegen naar het centrum. a b c d Figure 2 Gedachte experimenten met lifts en ruimtecapsules. 5 e 3.5 Conclusie Vrij vallend stelsel Een inertiaal stelsel in SRT was gedefinieerd als een stelsel in de ruimte zonder gravitatie. In de ART context wordt dit vertaald als een stelsel/waarnemer in ‘vrije val’. Neem als voorbeeld een astronaut in een versnellende capsule die een bal laat vallen. Vermits het de capsule is die versnelt moet er contact zijn met de capsule om deze versnelling te voelen. Zodra de bal wordt losgelaten is dit contact verbroken en gaat de bal, die geen motor heeft, bewegen volgens een constante snelheid, m.a.w. volgens inertie. Dat hij toch op de bodem terechtkomt is een gevolg van een beweging van de capsule. Als we een tweede object loslaten ... Zijn gravitatie en versnelling absolute of relatieve begrippen? Einstein neemt de Speciale theorie als voorbeeld en past het relativiteitsbeginsel toe op een vergelijkbare manier. In de SRT zeggen we dat beweging relatief is. D.w.z. als we één object beschouwen is het een zinloze vraag of dit object beweegt. We hebben minstens één tweede referentie voorwerp nodig. Als we twee objecten beschouwen kunnen we zeggen of ze ten opzichte van elkaar bewegen. Snelheid is relatief. De vraag is nu hoe algemene theorie omgaat met gravitatie en versnelling. Zijn dit absolute of relatieve begrippen? Stel dat we op dezelfde manier twee stelsels hebben K en K’en dat K zich bevindt op het aardoppervlak in een uniform zwaartekrachtveld en dat K’ een uniforme versnelling ondergaat maar ver verwijderd is van elke massa. Dan zegt het gelijkheidsbeginsel dat we beide mogen verwisselen zodat versnelling niet absoluut is maar relatief net zoals snelheid relatief was in de SRT. Twee waarnemers Beide waarnemers (de meebewegende en de waarnemer in rust) zien verschillende zaken en hebben beiden gelijk en moeten dus beiden ‘au sérieux’ worden genomen. Met andere woorden de waarnemingen zijn relatief. Stel dat we als voorbeeld een gesloten volume beschouwen van beperkte afmetingen (bijv een ruimtecapsule ... ) dat gekarakteriseerd wordt door rasterpunten (snijpunten van coordinaatlijnen). Op deze rasterpunten kunnen we testdeeltjes plaatsen. De vrij vallende waarnemer ziet alleen wat zich afspeelt binnen dit locale volume. Hij neemt waar dat alle deeltjes eenparig (rechtlijnig en met dezelfde constante snelheid) bewegen, onafhankelijk van de massa van de testdeeltjes. Deze mogen zelfs verschillend zijn. Dit is alleen mogelijk als traagheidsmassa en gravitatiemassa gelijk zijn. Tijdens de globale beweging van dit volume blijft de onderlinge positie van de rasterpunten dus wat ze in het begin was en verandert niet. Deze waarnemer ziet alleen maar inertie en geen kracht. Hij is zich niet bewust van de aanwezigheid van enige zwaartekracht en besluit dan ook dat hij te maken heeft met een inertiaal frame zoals gedefinieerd in de SRT. Wat met de andere waarnemer in rust? Deze ziet het volume met de deeltjes bewegen met een veranderende snelheid langs gekromde banen. Stel bijvoorbeeld dat de ruimtecapsule een cirkelvormige baan om de aarde beschrijft. Hij ziet het volume met de rasterpunten ook helemaal anders. Hij ziet dat er vervorming op treedt van dit volume door de beweging, d.w.z. dat de rasterpunten verschuiven ten opzichte van elkaar. Hij heeft dus wel degelijk te maken met zwaartekracht en versnelling. 6 Hierin schuilt een tegenspraak: inertie versus versnelling. Inertiaal frames bewegen ten opzichte van elkaar met een constante eenparige snelheid. Hoe kan een vrije beweging een gekromde baan opleveren? Dit wordt opgelost door de concepten te veralgemenen op een manier die opwaards compatibel is met SRT. We definieren vrije val in het algemeen als een beweging waarbij geen krachten aanwezig zijn en noemen de baan een geodeet. Als er geen zwaartekracht is gebruiken we een vlakke ruimte en is de beweging rechtlijnig. Als er wel zwaartekracht is dan zorgen de aanwezige massa en energie er voor dat de ruimte gekromd is evenals de baan waarlangs de beweging gebeurt. Deze banen loemen we geodeten. Een geodeet is gedefinieerd als ‘een zo recht mogelijke verbinding’ tussen twee ruimte-tijd gebeurtenissen. Het resultaat is een meetkundige theorie van de zwaartekracht. Gelijkwaardigheidsbeginsel Het equivalentieprincipe is niets anders dan de veronderstelling dat de wetten van de SRT geldig zijn in een locaal inertiaal systeem. Het is een experimenteel niet-weerlegd bewering en luidt als volgt: “In elk ruimte-tijd punt van een willekeurig zwaartekrachtveld is het mogelijk een locaal inertiaal systeem (of een locaal Lorentz frame) te kiezen zodat de wetten van de fysica in dit systeem dezelfde vorm hebben als in de SRT.” 4. Voorbeeld We beginnen met een eenvoudig voorbeeld waarbij we de wetten van Newton toepassen in een 3D Euclidische vlakke ruimte. Het is een klassiek niet-relativistisch voorbeeld dat niettemin toelaat de concepten te illustreren. 4.1 Val vanop hoogte h met 1 tijd en 1 ruimte dimensie Als voorbeeld kiezen we een voorwerp dat vanop een hoogte h valt in een veld met een constante versnelling g en met beginsnelheid gelijk aan nul. Als we de wetten van Newton toepassen op dit deeltje dan schrijven we voor een waarnemer in rust (op het aardoppervlak) mi r r r d 2x = mg g + F . 2 dt Equation 1 Hierin is de richting van de x-as dezelfde als die van de versnelling. Verder is mi de inertiele massa of traagheidmassa en mg de (passieve) gravitatie massa. Als we aannemen dat de beide massa’s dezelfde zijn (mi = mg = m) en dat F=0 kan de vergelijking herschreven worden als r d 2 x r m 2 − g = F = 0 . dt Equation 2 Omdat g constant is en F=0 beschrijft het deeltje in een (x,t) ruimte een valparabool. Als de beginhoogte gelijk is aan h dan is het verband tussen de afstand en de tijd gegeven door x = gt 2 / 2 + h . Dit is een parabool door het punt x=h en t=0. 7 4.2 Vrij vallend stelsel τ t ξ x τ τ t P ’ξ P x P ξ Figure 3 Voorbeeld van een momentaan meebewegend frame (MCFR) voorgesteld op 2 manieren: als een frame ten opzichte van een Minkowski frame (links) en als een zelfstandig frame rechts. We behandelen kromme levenslijnen op dezelfde manier als rechte levenslijnen in de Speciale Relativiteitstheorie (zie figuur 3). Als we in de SRT verschijnselen willen bestuderen die zich afspelen met een constante snelheid, verschillend van die van de waarnemer, dan kiezen we een meebewegend frame. Anders geformuleerd, we kiezen voor een waarnemer in rust. Figuur 3, links boven, toont een (ξ ,τ ) frame in een Minkowski plot met als referentie het (x,t) stelsel in rust.4 Omdat het (ξ ,τ ) stelsel beweegt ten opzichte van het referentie frame zijn de assen naar de diagonaal toe gedraaid. Als we het (ξ ,τ ) stelsel apart beschouwen (Figuur 3, rechts boven) zien we dat de waarnemer zich in rust bevindt (een vaste ξ -coordinaat). De keuze van de coordinaten is dus aangepast aan stationaire waarnemers omdat ze voor de tijdcoordinaat de eigentijd weergeven en de ruimtecoordinaat een constante spatiele component heeft. 4.3 Definitie van de coordinatentransformatie Dit betekent dat - als we de nieuwe coordinaten (ξ ,τ ) noemen - we de transformatie zo definieren dat de (x,t) parabool gemapt wordt naar een vaste ξ coordinaat. Deze is dan constant en gelijk aan h. De parameter van de bundel wordt de coordinaat. De tijd is gelijk aan de eigentijd. ξ ( x, t ) = x − gt 2 / 2 τ ( x, t ) = t 4 Equation 3 Minkowski coordinaten zijn aangepast is aan een inertiaal frame waarin de vergelijking van een testdeeltje gegeven wordt door d 2 x a dτ 2 = 0 en de inertiaalbanen rechte lijnen zijn. Andere systemen, poolcoordinaten bijvoorbeeld, zouden geschikt zijn als de inertiaalbanen cirkels zouden zijn geweest. Om rechte lijnen te beschrijven moet de ‘gamma’ term worden toegevoegd. 8 t h=-2 0 h=-1 h=0 h=1 h=2 h x x -2 -1 1 0 2 Figure 4 Een parabolen bundel die gebruikt kan worden als een kromlijnig coordinatenstelsel. 4.4 Bundel van Parabolen Tot hiertoe hebben we vooral gefocust op één deeltje dat zich, bijvoorbeeld, in de oorsprong van het vrijvallend stelsel bevindt. Maar in feite moeten we een gesloten volume beschouwen (bijv een doos , lift ... ) dat gekarakteriseerd wordt door rasterpunten (snijpunten van coordinaatlijnen). Op deze rasterpunten kunnen we testdeeltjes plaatsen. In Figure 4 komt dit beschouwde volume overeen met een ééndimensionale spatiele ruimte langs de x-as. Daarom beschouwen we in dit voorbeeld een bundel parabolen met h als parameter. Elke parabool van de bundel stelt één rasterpunt van het coordinatensysteem voor. Omdat deze allemaal in de x-richting verschoven zijn ten opzichte van elkaar snijden deze parabolen elkaar niet. (Of omgekeerd, als twee parabolen één punt gemeen hebben, vallen ze samen) Door elk gegeven punt in de ruimte kan er één en slechts één parabool gevonden worden. Daartoe kiezen we een parabool met de juiste ξ -waarde en bepalen τ als de afstand langs de parabool vanaf t=0 tot het bewuste punt. We kunnen dus concluderen dat deze set van parabolen de ruimte opspant en dus als een assenstelsel beschouwd kan worden In het algemeen stellen de rasterpunten een 3D ruimte voor, die verschillend wordt waargenomen door beide waarnemers (de meebewegende en de waarnemer in rust). Beide waarnemers zien verschillende zaken en hebben beiden gelijk, met andere woorden de waarnemingen zijn relatief. Bijvoorbeeld, één ziet de zwaartekracht en de andere niet. Zo zien ze ook het locale volume anders. De waarnemer in rust ziet dat er vervorming op treedt van dit volume door de beweging, d.w.z. dat de rasterpunten verschuiven ten opzichte van elkaar. Voor de meebewegende waarnemer treedt dit verschijnsel niet op en blijft de initiele equidistante toestand behouden. 4.5 Bewegingsvergelijking in (x,t) De bewegingsvergelijking in het vrij vallende stelsel is ∂ 2ξ =0 ∂τ 2 Equation 4 9 Eq 4 kan worden omgeschreven met behulp van de transformatieformules (Eq 3) naar een differentiaal vergelijking in (x,t). Daartoe berekenen we de afgeleiden zodat ∂ξ ∂ξ ∂x ∂ξ ∂t ∂x ∂t ∂x = + = − gt = − gt ∂τ ∂x ∂τ ∂t ∂τ ∂τ ∂τ ∂τ ∂ 2ξ ∂ ∂ξ ∂ 2 x = −g = ∂τ 2 ∂τ ∂τ ∂τ 2 r d2x De differentiaal vergelijking wordt dus − g = 0 . Deze wordt bekomen door de dt 2 coordinatentransformatie in te vullen in de differentiaalvergelijking van het vrijvallend stelsel. De zwaartekracht komt dus terug te voorschijn via de transformatie. ■ 5 Bewegingsvergelijking en de waarnemer in rust Figuur 3 (links) laat zien dat het (ξ ,τ ) stelsel slechts geldt in één bepaald instelpunt omdat de snelheid varieert langs de kromme baan. We kunnen echter een stuksgewijze lineaire benadering maken waarbij we de snelheid constant veronderstellen voor infinitesimaal kleine gebieden. Dan zijn de wetten van de fysica toepasbaar. We willen meer algemeen de bewegingsvergelijking in (x,t) vinden van een partikel dat alleen aan de zwaartekracht is onderworpen. We doen dit door de bewegingsvergelijking in het vrij vallend stelsel (equation 4) te transformeren (ξ ,τ ) → ( x, t ) . We bespreken twee varianten. Eerst in een 2D ruimte of, nauwkeuriger geformuleerd, in een 1+1 ruimte met 1 tijddimensie en 1 spatiele dimensie. Vervolgens gebeurt het een tweede keer in een 4D ruimte. 5.1 Bewegingsvergelijking in het locale inertiaalstelsel In de SRT ziet het equivalent voor de tweede wet van Newton (F=ma) eruit als volgt d 2ξ α (τ ) dτ 2 α waarin f de relativistische kracht of de Minkowski kracht is. Deze vergelijking is alleen geldig in een inertaal systeem. In een versnellend systeem moeten we rekening houden met schijnkrachten. In een meebewegend inertiaalsysteem geldt bovendien dat t=τ. Hieruit volgt dat de nul-de component van f (tijdscomponent) gelijk is aan 0 ( α = 0 ⇒ ξ 0 = τ ⇒ d 2τ dτ 2 = 0 ). Voor de spatiele componenten schrijven we f α (τ ) = m d 2ξ 1 (τ ) =0 dτ 2 d 2ξ 2 (τ ) =0 dτ 2 d 2ξ 3 (τ ) =0 dτ 2 5.1 Dimensie 1+1 [Roza] De differentiaal vergelijking voor het vrij vallend frame is dezelfde als in het vorige voorbeeld maar de coordinatentransformatie is verschillend. Als we de transformatie kennen van (ξ ,τ ) → ( x, t ) kunnen we de baanvergelijking in (x,t) vinden. Daartoe beschouwen we een zogenaamde 1+1 ruimte, d.w.z. we gebruiken één tijd dimensie en één ruimte dimensie om de berekeningen te minimaliseren tot een minimum zonder de essentie te verliezen. We schrijven ξ = ξ ( x, t ) en τ = τ ( x, t ) en berekenen de volledige differentiaal als volgt 10 dξ ∂ξ dx ∂ξ dt = + . dτ ∂x dτ ∂t dτ Equation 5 Dit wordt een tweede maal herhaald zodat d 2ξ d dξ ∂ξ d 2 x ∂ 2ξ dx ∂ 2ξ dt dx ∂ξ d 2 t ∂ 2ξ dx ∂ 2ξ dt dt = + + + + + = dτ 2 dτ dt ∂x dτ 2 ∂x 2 dτ ∂x∂t dτ dτ ∂t dτ 2 ∂x∂t dτ ∂t 2 dτ dτ d 2ξ ∂ξ d 2 x ∂ξ d 2 t ∂ 2ξ = 0 = + + ∂x dτ 2 ∂t dτ 2 ∂x 2 dτ 2 2 2 2 ∂ 2ξ dt dx dx ∂ ξ dt + + 2 ∂x∂t dτ dτ ∂t 2 dτ dτ Equation 6 Vervolgens doen we hetzelfde voor τ ∂ 2τ ∂τ d 2 x ∂τ d 2 t ∂ 2τ = 0 = + + ∂x dτ 2 ∂t dτ 2 ∂x 2 ∂τ 2 2 2 ∂ 2τ dt ∂ 2τ dt dx dx + + 2 ∂x∂t dτ dτ ∂t 2 dτ dτ Equation 7 Vervolgens tellen we Eq 7 en Eq 8 bij elkaar op na vermenigvuldiging van Eq 7 met ∂ξ ∂x en Eq 8 met ∂τ ∂x ∂ξ 2 ∂τ 2 d 2 x ∂ξ ∂ξ ∂τ ∂τ d 2 t ∂ξ ∂ 2ξ ∂τ ∂ 2τ dx 2 − + − − 2 + + x 4 ∂4 t 24 ∂x4∂4 t3 dτ 2 ∂x ∂x 2 ∂x ∂x 2 dτ 1∂4 ∂x ∂x dτ =0 2 ∂ξ ∂ 2ξ ∂τ ∂ 2τ dt dx ∂ξ ∂ 2ξ ∂τ ∂ 2τ dt − + 2 − ∂t 2 ∂t 2 dτ ∂t ∂t ∂x ∂x∂t ∂x0 ∂x∂t dτ dτ Tot op dit punt hebben we alleen gebruik gemaakt van de transformatie formules. Uit het bovenstaande weten we echter dat dit bovendien het resultaat is van een aantal infinitesimale Lorentz transformaties zodat het interval constant is. Daardoor is de tweede term in de som gelijk aan 0 zoals aang egeven. Een andere optie is om we Eq 7 en Eq 8 bij elkaar op na vermenigvuldiging met de omgekeerde factor als hierboven, dus met van Eq 7 met ∂x ∂ξ en Eq 8 met ∂x ∂τ 2 d 2 x ∂x ∂ξ ∂x ∂τ d 2 t ∂x ∂ 2 ξ ∂x ∂ 2τ dx ∂x + + + + + dτ 2 ∂ξ ∂t ∂τ ∂t dτ 2 ∂ξ ∂x 2 ∂τ ∂x 2 dτ ∂ξ 144 42444 3 =0 ∂x + 2 ∂ξ Opnieuw is de tweede term gelijk aan 0 vermits ∂ 2ξ ∂x ∂ 2τ dt + ∂t 2 ∂τ ∂t 2 dτ 2 ∂ 2 ξ ∂x ∂ 2τ dt dx + ∂x∂t ∂τ ∂x∂t dτ dτ ∂x ∂ξ ∂x ∂ξ = δ tx = = 1of 0 ∂ξ ∂t ∂ξ ∂x 5.2 Dimensie 1+3 En we willen dit doen in coordinatensysteem xµ dat aangepast is aan de symmetrie van het probleem en daarom velerlei vormen aan kan nemen: dus behalve Cartesisch ook kromlijnig (bijv. pool coordinaten), sferisch, versneld (bijv. hyperbolische coordinaten) en zelfs roterend. De keuze hangt vaak af van de eigenschappen van het probleem zoals een bolsymmetrie voor een 11 puntlading. De externe waarnemer ziet een versnelde beweging en kromlijnige wereldlijnen ξα die kunnen geschreven worden als functies van xµ dus ξα (xµ). We beginnen bij de meebewegende waarnemer die meegaat met de beweging en zich dus bevindt in een vrijvallend inertiaal systeem waarin de SRT van toepassing is. De vergelijking die de beweging van een vrij deeltje beschrijft in een Minkowski ruimte met 4D coordinaten waarbij de coordinaattijd gelijk is aan de eigentijd is d 2ξ α (τ ) =0 dτ 2 Equation 8 Terugtransformatie naar de algemene coordinaten xµ leidt tot de geodetische vergelijking. Als we dit verder veralgemenen naar een 4D ruimte wordt dit ∂ 2ξ α dx µ dxν d 2ξ α d ∂ξ α dxν ∂ξ α d 2 xν = = + =0 dτ ∂xν dτ ∂xν dτ 2 ∂xν ∂x µ ∂τ dτ dτ 2 ∂ξ α ∂x λ dx λ , sommeren over α en gebruik makende van = δ µλ geeft Vermenigvuldigen met dξ ν ∂x µ ∂ξ α de geodetische vergelijking die de bewegingsvergelijking voorstelt van een vrij vallend deeltje in een willekeurig coordinatensysteem. ν µ d 2 xλ λ dx dx + Γ =0 µν dτ dτ dτ 2 λ Γµν = waarin ∂x λ ∂ 2ξ α ∂ξ α ∂xν ∂x µ Equation 9 Equation 10 Γνβτ de affiene connectie is (ook genaamd de Christoffelsymbolen), horend bij het algemene coordinaatsysteem xµ Γτ νβ = (1 / 2 gττ )( gτν ,β + gτ β ,ν − gνβ ,τ ) Equation 11 In een vrijvallend systeem moet Eq. 10 samenvallen met Eq 9 en dus moeten de gamma’s gelijk zijn aan 0. De gamma-term stelt dus een kracht voor die in het meevallend stelsel niet aanwezig is marr die wel zichtbaar en voelbaar wordt in een niet_inertiaal frame. De aanwezigheid van gravitatie krachten is dus een gevolg van het gebruik van versneld frames, precies zoals dit het geval is met andere schijnkrachten. In het eenvoudige voorbeeld is deze term gelijk aan g. Vermits de gamma term een kracht voorstelt (Eq. 7) die in Eq 12 geschreven wordt als de afgeleide van de metrische tensor kan deze laatste geinterpreteerd worden als een potentiaal. 6. Afbuiging van licht Uit het voorgaande kunnen we afleiden wat er gebeurt als licht een gravitatieveld binnentreedt. We hebben daarvoor geen grote berekeningen nodig. We doen alleen een gedachte experiment. Voorbeeld confrontatie van views [buiging van licht] Stel een lift bevindt zich in de ruimte ver weg van elke bron van gravitatie. Stel we sturen een lichtstraal horizontaal van de linker naar de rechter zijde. De waarnemer (astronaut) bevindt zich 12 in een inertiaal frame en past SRT toe om de waarneming te verklaren. Hij ziet een rechtlijnige beweging. M.a.w. de detector en de lichtbron bevinden zich op dezelfde hoogte of afstand tot de vloer. Vervolgens snijden we de kabel door. Dit geeft hetzelfde resultaat omdat vrije val aanleiding geeft tot een locaal inertiaal frame. Maar vervolgens nemen we voor de vrije val situatie we het standpunt in van de waarnemer in rust. Ook deze waarnemer ziet de gebeurtenis ‘lichtstraal valt in op de licht detector’. De gebeurtenissen zijn eenduidig gedefinieerd in de relativiteitstheorie. Tussen het tijdstip van vertrek van de lichtstraal vanuit de bron en het tijdstip van aankomst bij de detector ziet de waarnemer in rust een verplaatsing van de lift. verplaatsing lichtbron verplaatsing Figure 5 Twee waarnemers I en E zien een lichtstraal van links naar rechts. I ziet een horizontale straal, E een gebogen. De lift valt verticaal naar beneden en we sturen een lichtstraat horizontaal van de linker naar de rechter zijde. De meebewegende waarnemer is zich niet bewust van enige zwaartekacht vermits de effecten daarvan zijn weggetoverd. Hij ziet dan ook een rechte baan van links naar rechts. De uitwendige waarnemer in rust echter ziet dat de lift valt en dat de plaats aan de rechterzijde waar de lichtstraal toekomt over dezelfde afstand is opgeschoven. Beide waarnemers hebben gelijk en om de resultaten met elkaar te verzoenen (beide waarnemers moeten accoord zijn over dezelfde wetten van de fysica) stellen we dat licht een gekromd pad volgt als er zwaartekracht/massa aanwezig is. Voor de meebewegende waarnemer is de zwaartekracht afwezig en dus is het pad recht. 7. Conclusies Einstein heeft fundamenteel nagedacht over gravitatie. Hij kwam tot de conclusie dat gravitatie als inertie moet worden gezien. Daarbij heeft hij de link gemaakt met geometrie en gravitatie gerelateerd aan kromming van de ruimte-tijd of meer precies aan de kromming van de metriek die de eigenschappen van ruimte-tijd modelleert. De metrische tensor krijgt daarmee een centrale plaats in de Algemene relativiteitstheorie. Het gelijkwaardigheidsprincipe is het fundament waarop de algemene relativiteitstheorie is gebouwd. Het equivalentieprincipe is niets anders dan de veronderstelling dat de wetten van de SRT geldig zijn in een locaal inertiaal systeem. Het is een experimenteel niet-weerlegde bewering en luidt als volgt: 13 In elk ruimte-tijd punt van een willekeurig zwaartekrachtveld is het mogelijk een locaal inertiaal systeem (of een locaal Lorentz frame) te kiezen zodat de wetten van de fysica in dit systeem dezelfde vorm hebben als in de SRT. Referenties “Ruimte, tijd en energie: 100 jaar relativiteitstheorie” Engel Roza ISBN 909019549-1, http://www.liberoosa.nl/ 14
© Copyright 2024 ExpyDoc
