Uitwerkingen 01

WISKUNDE-WEDSTRIJD KUN 2001
Uitwerkingen individuele wedstrijd
1
De pit van de tweede kaars – de rechter – loopt tweemaal zo snel naar beneden als die van
de eerste kaars. Laten we de snelheid van de pit van de eerste stellen op: 1 lengte-eenheid
per uur. Dan hebben beide kaarsen om 20.00 uur een lengte van 6 (lengte-eenheden).
Na t uur is de linker kaars lang: 6 − t en de rechter: 6 − 2t. Op het gevraagde geldt
6 − t = 2 · (6 − 2t). Blijkbaar is dan t = 2. Het gevraagde tijdstip is dus 22.00 uur.
2
Maak een (gedeeltelijke) uitslag van de kubus door vlak BCG om ribbe BC te draaien.
C
A
P
G
B
In deze uitslag is de afstand van A tot P
opleveren.
1
2
√
13 m. Er zijn geen uitslagen die minder
3
Een getal met precies vier delers is de derdemacht p3 van een priemgetal of het product pq
van twee priemgetallen p en q.
In het eerste geval zijn de delers 1, p, p2 , p3 ; maar een priemgetal p z´o dat 1 + p3 = 4(p + p2 )
bestaat niet, want het rechterlid zou deelbaar zijn door p en het linkerlid niet.
In het tweede geval zijn de delers 1, p, q, pq. Er geldt:
1 + pq = 4(p + q)
pq − 4p = 4q − 1
4q − 1
15
p=
=4+
.
q−4
q−4
q is priem en q − 4 is een deler van 15. Blijkbaar is q ∈ {3, 5, 7, 19} en omdat ook p een
priem is zien we snel dat {p, q} = {5, 19}. Het gezochte getal is dus 95.
4
Er zijn 5 · 4 · 3 (=60) van zulke getallen. Van deze getallen zijn er
12 met het cijfer 1 op de plaats van de eenheden
12 met het cijfer 1 op de plaats van de tientallen
12 met het cijfer 1 op de plaats van de honderdtallen
(Analoog voor het cijfer 2, 3, 4, 5.) De som van deze getallen is dus
12(1 + 10 + 100)(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 19980.
5
D
2.5 C
10
A
B
10
E
Het lijnstuk AC is 12,5 cm lang. M.b.v. de stelling van Pythagoras reken je uit dat het
lijnstuk BC 7,5 cm lang is. Klaarblijkelijk is de lengte van DE gelijk aan (10 + 7, 5 + 2, 5)
cm ( = 20 cm). Het hoogste punt van de dikke buizen ligt ook 20 cm boven de vloer. Het
antwoord is dus 20 cm.
6
√
√
De hoogte van 4ABC is 4 3 cm. Omdat 4 3 > 6, is de lengte van CD 7 cm; de afstand
van D tot het midden E van AB is dus 1 cm. Blijkbaar is de lengte van AD 3 cm.
7
Iedere zoon dient 7 vaten te erven en een hoeveelheid van 3 12 vat honing. Geen der zoons
kon dus meer dan 3 van de volle vaten krijgen. Als ieder der zoons minder dan 3 volle
vaten krijgt raken de 7 volle vaten niet op. Er is dus een zoon die 3 volle en dan ook 1
halfvol en 3 lege vaten krijgt. Er zijn dan nog 4 volle vaten te verdelen. Dit kan op twee
manieren. E´en zoon krijgt er 3 van en de ander 1, of ze krijgen allebei 2. We komen zo
aan de schemas.
8
Er zijn in totaal 35 combinaties. Daarvan zijn er 31 · 15 in ´e´en kleur en 32 · 25 in ten
hoogste twee kleuren. Er zijn 32 · (25 − 2) in precies twee kleuren. De uitkomst is dus
3
3
5
5
3 −
· (2 − 2) −
· 15 = 150.
2
1
Je kunt ook z´o redeneren:
Er zijn twee mogelijkheden voor het aantal optredens van de drie kleuren in zo’n kledingcombinatie:
a) ´e´en kleur komt ´e´enmaar voor, elk van de andere twee kleuren tweemaal (5=1+2+2).
b) ´e´en kleur komt driemaal voor, elk van de andere twee ´e´enmaal (5=3+1+1).
a)Bijvoorbeeld: rood ´e´enmaal (dat kan in 5 kledingstukken), wit tweemaal (dat kan in
4
(=6) paren kledingstukken), blauw is dan voor de twee overblijvende kledingstukken;
2
in totaal zijn er 5 · 6 (=30) van zulke combinaties.
Net zo voor ‘wit ´e´enmaal’ en voor ‘blauw ´e´enmaal’. Dat zijn er dus 3 · 30 (=90).
b) Bijvoorbeeld: rood driemaal (dat kan in 53 (=10) trio’s van kledingstukken), wit
´e´enmaal (dat kan dan nog in 2 kledingstukken), blauw is voor het vijfde kledingstuk;
In totaal zijn er dus 10 · 2 (=20) van zulke combinaties.
Net zo voor ‘wit driemaal’ en voor ‘blauw driemaal’. Dat zijn er dus 60. In totaal 150
combinaties. De groep kan dus uit op zijn hoogst 150 fans hebben bestaan.

Download Report