Q状態イジング模型を用いた多値画像修復における 周辺尤度最大化によるハイパパラメータ推定 東北大学大学院情報科学研究科 田中和之 北海道大学大学院工学研究科 井上純一 共同研究者:D. M. Titterington (University of Glasgow) 1 はじめに マルコフ確率場モデルと古典スピン系の類似性 平均場理論をはじめとする統計力学的近似解析手法の有効性 Ising 模型・Potts模型でのいくつかの研究成果 Q-Ising 模型 レプリカ法を用いた統計的性能評価(Inoue and Carlucci) ハイパパラメータ推定も含めた平均場理論を 用いたアルゴリズム設計と数値実験による性能 評価(本講演) 期待値最大化(EM)アルゴリズムを用いたアル ゴリズムのレプリカ法を用いた統計的評価(井 上・田中) 2 確率的画像処理 劣化過程 Pg f P g x, y f x, y M N x 1 y 1 f x, y 0,1,2,, Q 1 事前確率 P f 0 2 2 exp f x , y f x 1, y f x , y f x , y 1 ( x , y ) P f 2 2 exp f x , y f x 1, y f x , y f x , y 1 f ( x , y ) 3 ベイズの公式と事後確率 P f g Pg f P f P g exp E f g exp E f g f E f g ( x , y ) gx,y , f x,y ( f x, y f x1, y ) 2 ( f x, y f x, y 1 ) 2 1 Qp p 0 p ln Z , exp E f g f 周辺事後確率最大化による修復画像の推定 fˆx, y arg max Px, y ( f x, y g) f x,y Px , y ( f x , y g ) P( f g ) f \ f x,y 4 ハイパパラメータ推定 周辺尤度最大化 ˆ , ˆ arg max Pg , , Z , P g | , P g, f | , P g | f , P f Z 0, Z , 0 f f Z , exp E f g, , f g x , y , f x , y M N E f g, , ( f x , y f x 1, y ) 2 x 1 y 1 2 ( f f ) x , y x , y 1 1 Qp p 0 p ln 5 ベーテ近似における周辺確率分布 Wxx, y1, y f x , y , f x 1, y xx,y1, y f x , y xx,,yy 1 f x , y xx,,yy 1 f x , y x 2 , y x 1 , y 1 x 1 , y 1 x 1, y f x 1, y x 1, y f x 1, y x 1, y f x 1, y x 1, y x , y f x , y , f x 1, y Wxx, y1, y f x , y , f x 1, y xx,y1, y f x , y xx,,yy 1 f x , y xx,,yy 1 f x , y x 2 , y x 1 , y 1 x 1 , y 1 x 1, y f x 1, y x 1, y f x 1, y x 1, y f x 1, y f x , y f x1, y x, y x 1, y f x 1, y W x 1, y x, y f x,y W f , f f f f f , f f f f x 1, y x, y x 1, y x, y x, y x 1, y x 1, y x, y x, y x 1, y x, y x, y x , y 1 x, y x, y x , y 1 x, y x , y 1 x, y x, y x , y 1 x, y x, y x, y f x1, y f x , y 1 Wx, y f x, y exp g x , y , f x , y Z x, y Wxx, 'y, y ' f x, y , f x ', y ' 1 Z x ', y ' x, y exp g x , y , f x , y exp ( f ( x, y 1) xx,,yy1 ( f x, y ) exp ( g x ', y ' f x ', y ' ) 2 f ) x, y x ', y ' ( x 1, y ) 2 xx, y1, y ( f x1, y ) xx,y1, y ( f x, y ) ( x, y ) ( x 1, y ) xx,,yy1 ( f x, y ) ( x, y 1) 6 数値実験 ハイパパラメータはすべて周辺尤度最大化により決定. ˆ 0.58899 Q3 0.65 2 p 0 .3 2 pˆ 0.27166 ˆ 1.67937 原画像 Q4 0.75 3 p 0 .3 劣化画像 修復画像 ˆ 0.62021 3 pˆ 0.27153 ˆ 2.08551 7 数値実験 周辺尤度最大化によるハイパパラメータの決定. P g | , P g | f , P f f Z , exp E f g, , f Q3 対数周辺尤度 1 ln P g | , |Ω| ˆ 0.58899 2 pˆ 0.27166 ˆ 1.67937 0.58899 Z , Z 0, Z , 0 1 Qp p 0 p ln Q4 ˆ 0.62021 3 pˆ 0.27153 ˆ 2.08551 0.62021 8 数値実験 ハイパパラメータは周辺尤度最大化により決定. Q3 原画像 Q4 劣化画像 (Q-1)p=0.3 Potts 模型に よる修復画像 Q-Ising 模型に よる修復画像 9 おわりに 要約 Q-Ising 模型を用いた確率的画像処理 ベーテ近似にもとづく Loopy Belief Propagation 周辺尤度最大化によるハイパパラメータ推定 Q=3 と Q=4 に対する数値実験 今後の課題 事前分布に従うモンテカルロシミュレーションの スナップショットにおいて 0 と Q-1 のパターン が比較的でにくい.これを補う項の導入について の検討 => スピンS Ising 模型への拡張 10
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