ガウス模型に基づく画像修復と
確率伝搬法
東北大 情報科学
田中和之,吉池紀子
山口大 工 庄野逸
理化学研究所 岡田真人
参考文献：田中和之, 統計力学を用いた確率的
画像処理アルゴリズムの基礎 ---確率伝搬法と
統計力学 ---, 計測と制御, Vol.42, No.8, pp.631636, 2003.
1
ポイント
可解確率場モデルを用いた確率的画
像処理に対して確率伝搬法はどの程
度の精度が出せるのだろうか？
ハイパパラメータの推定も含めて検証
したい．
2
画像修復の確率モデル
雑音
通信路
原画像
劣化画像
P(劣化画像 | 原画像 ) P(原画像 )
P(原画像 | 劣化画像 ) 
P(劣化画像 )
3
ベイズの公式と確率的画像処理
P f  
事前確率
y
画素
劣化過程
f  f x, y x, y  
事後確率
P f g ,  ,   
fˆx , y 
z
g
g
原画像

x
Pg f , 
f
x, y
劣化画像
g  g x, y x, y  
Pg f ,  P f  
Pg  ,  
P z g ,  ,  dz
4
周辺尤度最大化によるハイパパラメータ推定
ˆ ,ˆ   arg max Pg  ,  
 , 
fˆx , y 
z
Pg  ,     Pg z ,  Pz  dz 
y

P f  
x
原画像
f  f x, y x, y  

x, y
P z g , ˆ , ˆ dz
ZPOS  g ,  ,  

2 
Pg f , 
f
g

ZPR  
g
周辺化
Pg  , 
周辺尤度
g
劣化画像
g  g x, y x, y  
5
画像修復の劣化過程と事前確率
f x, y , g x, y   ,
劣化過程
P g f ,   

( x , y )
1
 1
2
exp  2  f x, y  g x, y  
2 
 2

事前確率
 
2
P f   
exp   f x , y  f x 1, y  

Z PR   ( x , y )
 2

1
 
2
  exp   f x , y  f x , y 1  
 2

( x , y )
6
ベイズの公式と画像修復の事後確率
P f g,  ,   
Pg f ,  P f  
P g  ,  



1

 f x, y g x, y  f x, y , f x 1, y  f x, y , f x. y 1

Z P OS g,  ,   ( x, y )

 f x, y g x, y

 1
2
 exp  2  f x, y  g x, y  
 2

 
2
  f x, y , f x ', y '   exp   f x, y  f x ', y '  
 2

7

周辺確率の導入
Px , y ( f x , y )     f x , y  z x , y Pz g,  ,  dz
x ', y '
x, y
P
( f x, y , f x ', y ' )
    f x, y  z x, y   f x ', y '  z x ', y ' Pz g,  ,  dz
fˆx , y   z x , y Pz g,  ,  dz   Px , y  d


8
確率伝搬法（ベーテ近似）
Px, y  f x, y    P


x 1, y
x, y
f
x, y
( x, y  1)
( x, y  1)
M xx,y1, y ( f x, y )
( x  1, y)
( x, y )
M xx,,yy 1 ( f x, y )
M xx,y1, y ( f x, y )

 f M
x, y
x , y 1
x, y
f 
x, y
Pxx, y1, y  f x, y , f x 1, y  
1
Z xx,y1, y
M xx12,,yy ( f x1, y )
( x  2, y )
M xx11,,yy1 ( f x1, y )
( x, y  1)

M
( x  1, y )
( x, y )
( x  1, y )
M xx,,yy 1 ( f x, y )
1
 f x , y g x , y M xx,y1, y  f x , y M xx,y1, y  f x , y 
Z x, y
x , y 1
x, y
M xx11,,yy1 ( f x1, y )
M xx,y1, y ( f x, y )
( x, y  1)
Px , y  f x , y  
( x  1, y  1)
M xx,,yy 1 ( f x, y )
M xx,,yy1 ( f x, y )
( x  1, y )
, z x 1, y dzx 1, y

( x  1, y  1)


 f x, y g x, y   f x, y , f x1, y  f x1, y g x1, y

 M xx,y1, y  f x, y M xx,,yy 1  f x, y M xx,,yy 1  f x, y 
 M xx12,,yy  f x 1, y M xx11,,yy 1  f x 1, y M xx11,,yy 1  f x 1, y 
9
Message Update Rule of Loopy Belief Propagation
 

  
    g   ,  'M

M
x, y
x 1, y
  g x , y   ,  M xx,y1, y  M xx,,yy 1  M xx,,yy 1  d

 
x, y
 
( x, y  1)
M xx,,yy 1 ( f x, y )
M xx,y1, y ( f x, y )
( x  1, y )
M xx,, yy 1 ( f x, y )
( x, y  1)
 M xx,,yy 1  M xx,,yy 1  d d '


x ', y '

 1 x', y '
x, y
x ', y '
x ', y ' 2 
M x, y ( ) 
exp  x, y    x, y 
2
 2

M xx, 1y, y ( f x1, y )
( x, y )
x 1, y
x, y
( x  1, y )
Fixed-Point Equations
 
  
M  M
Natural Iteration
10
画像修復
事前分布から生成された画像による数値実験
（ハイパパラメータα,σは周辺尤度最大化で決定）
原画像(α=0.001)
平均場近似
ˆ  0.000298
ˆ  29.1
劣化画像 (σ=40)
確率伝搬法
厳密解
ˆ  0.000784 ˆ  0.001090
ˆ  37.8
ˆ  39.4
11
ガウス模型を用いた画像修復
原画像
厳密解
MSE:306
劣化画像
平均場近似
確率伝搬法
MSE: 1409
MSE: 593
MSE: 324
ウィーナーフィルター
メジアンフィルター
平滑化フィルター
MSE: 268
MSE: 369
MSE: 259
12
ガウス模型を用いた画像修復
原画像
劣化画像
MSE: 1512
厳密解
平滑化フィルター
MSE:315
MSE: 411
平均場近似
確率伝搬法
MSE: 591
MSE: 325
ウィーナーフィルター
メジアンフィルター
MSE: 545
MSE: 447
13
まとめ
ベイズの公式と周辺尤度を用いた確率的画像処理におい
て可解確率場モデルのひとつであるガウス模型を事前確
率に採用した場合の確率伝搬法（ベーテ近似）の精度と性
能の評価
ハイパパラメータ推定において平均場近似から確率伝搬
法へと，厳密解で得られる結果に系統的に近づいている．
既存のフィルターに比較して平均場近似，確率伝搬法のい
ずれもMSEでみて同等以上の結果が得られるのみならず
見た目にも良好な結果が得られている．
14

確率モデルによる 画像処理技術入門