アルゴリズムとデータ構造 2012年7月9日 酒居敬一([email protected]) http://www.info.kochi-tech.ac.jp/k1sakai/Lecture/ALG/2012/index.html グラフの定義(225ページ) • グラフは頂点の集合と辺の集合からなる。 • グラフには有向グラフと無向グラフがある。 • グラフに対する、教科書4章の仮定。 – (v, v)の形の辺(NDAのε遷移みたいなの)はない。 – 頂点uからvへ結ぶ辺は高々1つ。 • 辺の属性として数値を持つ場合、重みという。 • いくつかの辺をつないでできる経路は道。 – 有向グラフでは辺はすべて同じ向きをたどる。 • 頂点からその頂点自身への道は閉路。 • 木はグラフの一種。 グラフの定義(つづき) • 木が複数集まったグラフは森という。 – 木と木がつながっていなくてもいい。 • 頂点につながる辺の数を次数という。 – 有向グラフでは、入次数・出次数と区別する。 • 正則グラフでは全頂点の次数が同じ。 – このときの次数をグラフの次数とする場合がある。 • ハイパーキューブなど • グラフ全体を組織的に調べることを探索という。 – ただし、単に頂点を訪問するだけ、かもしれない。 グラフアルゴリズムの計算量 • 頂点数をnとしたときの最大の辺の数mは、 無向グラフでは m n C2 n (n 1) / 2 有向グラフでは m n (n 1) • 辺の数が最大のものを完全グラフという。 • 辺の数が0でもグラフである。 • 密なグラフか、疎なグラフか。 – 次数がある程度以下なら疎と考える。 • 「ある程度」とは、問題に依存する。 • CCC(Cude Connected Cycle)なら次数は3。疎? • 人工的なネットワークか、自然なネットワークか。 グラフの表現法(230ページ) • 隣接行列 – 頂点から頂点への接続の有無や辺の重みを持つ – 密なグラフにはいい • 配列やListやSetやMapによる表現 – 正則グラフなら配列 – 二分探索木のような順序木のグラフならList – 無向グラフならListでもSetでもMapでもいい • MapならKeyを接続先の頂点、Valueを重みにするなど • 計算で求める – 配列上のヒープソートの、部分順序つき二分木 – スパコン内部ネットワークなど 0100 0101 1100 1101 0110 0111 1110 1111 0000 0001 1000 1001 0010 0011 1010 1011 4-dimentional binary hyper cube A 深さ優先探索 B (234ページ) 1 C A D 7 B 2 E G 1 6 C F A D 5 B 図4.3.2 a 3 E 2 5 4 C F D 4 G 図4.3.2 b •木の辺(実線で表示) •逆辺(点線で表示) •連結グラフなら木が得られ、 そうでなければ森が得られる 6 3 E F 7 G 図4.3.3 public class Node<E> { private E value; // 頂点の値 private Collection<Node<E>> edges; // 有向辺 private boolean visited; private int sequence; private boolean searching; public Node(E value, Collection<Node<E>> edges) { this.value = value; this.edges = edges; reset(); } public void reset(){ this.visited = false; this.sequence = 0; this.edges.clear(); this.searching = false; } public E getValue() { // 頂点の値を得る。 return value; } public Collection<Node<E>> getEdges(){ return this.edges; } グラフの頂点を表すクラス (4.3と4.4で使う) } public boolean isVisited() { return visited; } public void setVisited(boolean v) { this.visited = v; } public int getSequence() { return sequence; } public void setSequence(int s) { this.sequence = s; } public boolean isSearching() { return searching; } public void setSearching(boolean s) { this.searching = s; } public void connect(Node<E> to){ this.edges.add(to); //無向辺を追加 if( !to.getEdges().contains(this) ){ to.getEdges().add(this); } } public void connectTo(Node<E> to){ this.edges.add(to); //有向辺を追加 8 } private static Node<Character> nodeA = new Node<Character>('A', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeB = new Node<Character>('B', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeC = new Node<Character>('C', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeD = new Node<Character>('D', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeE = new Node<Character>('E', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeF = new Node<Character>('F', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeG = new Node<Character>('G', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Collection<Node<Character>> test_data = new LinkedList<Node<Character>>(); static { public class DepthFirstSearch { test_data.add(nodeA); private static <E> void visit(Node<E> node){ test_data.add(nodeB); test_data.add(nodeC); node.setVisited(true); test_data.add(nodeD); System.out.print(node.getValue()); test_data.add(nodeE); for(Node<E> neighbor: node.getEdges()){ test_data.add(nodeF); if(neighbor.isVisited()) continue; // 訪問済み test_data.add(nodeG); System.out.print(" -> "); } } テストデータのうち、 グラフの頂点とその集合 } visit(neighbor); } public static <E> void search(Collection<Node<E>> graph){ for(Node<E> node: graph){ if(node.isVisited()) continue; // 訪問済み System.out.println(node.getValue() + "から探索します。"); visit(node); System.out.println(); } } 9 深さ優先探索のプログラム public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.2"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); public static void main(String[] args) { } System.out.println("図4.3.3"); nodeA.connect(nodeC); for(Node<Character> node: test_data){ nodeA.connect(nodeD); node.reset(); public static void main(String[] args) { nodeA.connect(nodeB); } System.out.println("図4.3.4"); nodeC.connect(nodeE); nodeA.connect(nodeC); for(Node<Character> node: test_data){ nodeC.connect(nodeF); nodeA.connect(nodeD); node.reset(); nodeD.connect(nodeB); nodeA.connect(nodeB); } nodeD.connect(nodeF); nodeC.connect(nodeF); nodeA.connectTo(nodeC); nodeE.connect(nodeG); nodeC.connect(nodeE); nodeA.connectTo(nodeD); nodeE.connect(nodeF); nodeD.connect(nodeB); nodeA.connectTo(nodeE); search(test_data); nodeD.connect(nodeF); nodeC.connectTo(nodeB); } nodeE.connect(nodeG); nodeB.connectTo(nodeA); nodeE.connect(nodeF); nodeD.connectTo(nodeC); search(test_data); nodeD.connectTo(nodeE); } nodeF.connectTo(nodeA); 図4.3.2 Aから探索します。 A -> C -> E -> G -> F -> D -> B } nodeF.connectTo(nodeG); search(test_data); 図4.3.3 Aから探索します。 A -> C -> F -> D -> B -> E -> G 図4.3.4 Aから探索します。 A -> C -> B -> D -> E 10 Fから探索します。 F -> G A •上昇辺 子孫から祖先へ向かう辺 無向グラフでは逆辺 •下降辺 祖先から子孫へ向かう辺 無向グラフでは逆辺 •交差辺 上昇辺でも下降辺でもない辺 F B G E C D 図4.3.4 a 連結グラフとは、グラフ全体が つながっていること。無向グラフ では、深さ優先探索で全ての 頂点をたどる事ができれば連結 グラフである。 しかし、有向グラフでは必ずしも そうとはならない。 交差辺 上昇辺 1 6 A F 3 下降辺 B 5 2 4 C 7 G E D 交差辺 図4.3.4 b public class DirectedDepthFirstSearch<E> { private int sequence; private void visit(Node<E> node){ node.setVisited(true); node.setSequence(++this.sequence); (240ページ) node.setSearching(true); System.out.print(node.getValue()); for(Node<E> neighbor: node.getEdges()){ if(neighbor.getSequence() == 0){ System.out.print(" -> "); visit(neighbor); // 木の辺 } else if (neighbor.getSequence() > node.getSequence()) { System.out.print(" 下降辺(" + node.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); } else if (neighbor.isSearching()){ System.out.print(" 上昇辺(" + node.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); } else { System.out.print(" 交差辺(" + node.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); }} node.setSearching(false); } public void search(Collection<Node<E>> graph){ this.sequence = 0; for(Node<E> node: graph){ if(node.getSequence() == 0){ System.out.println(node.getValue() + "から探索します。"); visit(node); 12 System.out.println(); }}}} 有向グラフの深さ優先探索 public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.4"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connectTo(nodeC); nodeA.connectTo(nodeD); nodeA.connectTo(nodeE); nodeC.connectTo(nodeB); nodeB.connectTo(nodeA); nodeD.connectTo(nodeC); nodeD.connectTo(nodeE); nodeF.connectTo(nodeA); nodeF.connectTo(nodeG); new DirectedDepthFirstSearch<Character>().search(test_data); } 図4.3.4 Aから探索します。 A -> C -> B 上昇辺(B, A) -> D 交差辺(D, C) -> E 下降辺(A, E) Fから探索します。 F 交差辺(F, A) -> G 13 トポロジカルソート (242ページ) •Topology は「位相」のこと。トポロジカルソートのときはこちら。 •Phase も「位相」と訳せます。ベクタの位相はこちら。 たとえば、ベクターがあったとします。 5 0 0 大きさ0 0 2 大きさ2 0 5 大きさ5 0 0 2 3 4 0 5 大きさを比較することは できますが、大きさが同じ だからといって同じベクター であるとは限りませんよね? 全要素間で順序がつけられる → 全順序関係 一部の要素間に順序がつけられる → 半順序関係 同じだけど同じじゃない、というのは順序がつけられて ません。そういうデータは、DAGで保持することができる。 2 0 0 0 3 4 0 2 0 5 図4.3.6 DAG (Directed Acyclic Graph) 幅優先探索 A (244ページ) B C D 1 A E G 4 B F 2 C 図4.3.2 a D 3 5 E 6 F 7 G 図4.3.7 public class BreadthFirstSearch { public static <E> void search(Collection<Node<E>> graph){ Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<Node<E>>(); // FIFO for(Node<E> node: graph){ if(node.isVisited()){ continue; // 訪問済み } queue.add(node); // enqueue node.setVisited(true); while( !queue.isEmpty() ){ Node<E> next = queue.remove(); // dequeue System.out.print("頂点" + next.getValue()); for(Node<E> neighbor: next.getEdges()){ if( neighbor.isVisited() ){ continue; } queue.add(neighbor); // enqueue neighbor.setVisited(true); System.out.print(" 辺(" + next.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); } System.out.print(" -> "); } System.out.println(); } } } 16 public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.7"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connect(nodeC); nodeA.connect(nodeD); nodeA.connect(nodeB); nodeC.connect(nodeE); nodeC.connect(nodeF); nodeD.connect(nodeB); nodeD.connect(nodeF); nodeE.connect(nodeG); nodeE.connect(nodeF); search(test_data); } 図4.3.7 頂点A 辺(A, C) 辺(A, D) 辺(A, B) -> 頂点C 辺(C, E) 辺(C, F) -> 頂点D -> 頂点B -> 頂点E 辺(E, G) -> 頂点F -> 頂点G -> 17 public class DepthFirstSearchStack { public static <E> void search(Collection<Node<E>> graph){ Stack<Node<E>> stack = new Stack<Node<E>>(); // LIFO for(Node<E> node: graph){ if(node.isVisited()){ continue; // 訪問済み } stack.push(node); // push node.setVisited(true); while( !stack.empty() ){ Node<E> next = stack.pop(); // pop System.out.print("頂点" + next.getValue()); for(Node<E> neighbor: next.getEdges()){ if( neighbor.isVisited() ){ continue; } stack.add(neighbor); // push neighbor.setVisited(true); } BreadthFirstSearchのFIFO(リスト)を System.out.print(" -> "); LIFO(スタック)に変えたもの。 } この変更により、幅優先探索だったプログラムが System.out.println(); 深さ優先探索プログラムになる。 } (247ページ) } } 18
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