PISA數學素養的評量設計與 台灣學生的表現 國立東華大學 數學系 林素微 [email protected] PISA • The Programme for International Student Assessment (PISA) is a triennial world-wide test of 15-yearold schoolchildren's scholastic performance, the implementation of which is coordinated by the Organisation for Economic Cooperation and Development (OECD). PISA was first mooted in 1997. What is the OECD? • 具有 30 個會員國，旨在推動民主和 市場經濟的國際組織。 • 提供資料的比較、分析和展望 • 以便政府能夠： - 比較政策經驗 對一般問題尋求解答 識別好的政策 調整政策 別稱「富國俱樂部」 廣布全球的國際組織 OECD Member Countries Comparison with TIMSS and PIRLS • Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) • Progress in International Reading Literacy Study ( PIRLS ) PISA之目的與特性 目的：評量國際間15歲學生在閱讀、 數學與科學領域的素養與表現；並進 行持續、定期的國際性比較研究。 特性：強調評量學生在各領域面對成 人生活的準備程度，而非對學校課程 的精熟程度。 閱讀、數學與科學領域評量內涵 閱讀 – 評量學生了解與評鑑閱讀文本的實質能力 – 了解學生以閱讀為工具的情形 數學 – 評量學生成功解決數學問題的知識或想法 – 了解學生對數學的反思與應用的能力 科學 – 評量學生在日常生活運用科學知識的能力 – 了解學生有效表達科學想法的能力 PISA的規模 第ㄧ次調查2000年有43個國家、第二次調 查2003年有41國、第三次調查2006年有56 國家、第四次PISA 2009共有68個地區參加 每個國家預試施測的參與學生約在 800~1,200之間 每個國家正式施測的參與學生約在 4,500~10,000之間 PISA評量週期 此評量每三年調查一次，自2000年開始至 2015年 每一週期針對主要領域進行深度了解 2000 (閱讀) 、2003 (數學) 、2006 (科學) 、2009 又回到閱讀 一.PISA對於數學素養之定義 •每個國家的國民都會碰到無數的有關數量 、空間、機率或者其他數學概念的相關課 題。例如，媒體（報紙、雜誌、電視、以 及網際網路）都充滿了統計圖表或者圖示 的資訊，例如氣象、經濟、醫藥和運動。 •現在國民都會碰到全球暖化與溫室效應、 人口成長、浮油與海洋、或者逐漸削減的 農村議題的相關資訊。最後但同樣重要的 是，國民都必須閱讀各種表格，解讀公車 以及火車的時刻表、成功的處理包含金錢 的買賣、以及決定賣場中的最佳買法等等 。 二.PISA數學素養的理論基礎 •數學化(mathematising)有五個重要的特徵： 1.數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題。 2.解題者嘗試去找出相關的數學，並且依據重要 的數學概念重新組織問題。 3.逐漸調整現實(trimming away the reality) ，轉化成數學語言 4.進行問題解決 5.針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵。 • M537：心跳 • 為了健康的理由，人們應該控制他們的活動量，例如 運動時，才不會超出特定的心跳頻率範圍。 • 數年來，個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議 使用以下的公式： • 最大心跳速率 = 220 - 年齡 • 最近研究顯示這個公式應略為修正。新的公式如下： • 最大心跳速率 = 208 - ( 0.7 × 年齡 ) • 算出Nuben和Kado的最短距離 • Zoe住在Angaz，她想要去Kado和Lapat玩 。她一天最多只能走300km，但她可以在 途中露營。 • Zoe會在Kado和Lapat各住兩晚，所以她就 可以在每個城市觀光，請在以下的表格完 成Zoe可能的旅遊規劃表。 三.數學領域的組織 情境(Situations) 脈絡(CONTEXT) 問題形式 (Problem format) 數學概念(Overarching ideas) 內容(CONTENT) 問題(PROBLEM) 與 解決(SOLUTION) 歷程(Process) 能力群組 (COMPETENCY CLUSTER) 能力(Competencies) 四.情境和脈絡 •情境是作業內容中學生世界的部分，它 應該和學生有一定的距離。 •對PISA而言，最接近的情境為的學生的 個人生活；接著是學校生活，工作以及 休閒；然後日常生活中所會碰到社區及 社會；最後是科學情境。針對這四個情 境所界定和使用的問題為：個人、教育 ／職業、公共、以及科學問題。 儲蓄 • 1000元存進銀行中。有兩種選擇。一種 是年利率4%，或者是年利率3%，但每 年會有額外10元的紅利。 • 存一年的話哪一種選擇較好？ • 存兩年呢？ 幣值系統 • 有沒有可能可以建立一個被3和5所整除 的幣值系統？ • 這些幣值可能為何？ • 是否可以符合現實的需要 五.數學內容-四個概念(overarching ideas) •OECD/PISA使用的概念如下： 1.數量 2.空間與形狀 3.改變與關係 4.不確定性 •這四個數學內容形成的領域廣泛，確保試 題可散布於課程之中，但同時可避免太過 明確而違反真實情境問題解決的憂慮。 • 當一個平面切過一個正立方體時，可能 產生哪些形狀？ • 這些形狀有多少面？多少邊？或者頂點 ？ • 這是一個有許多正立方體所堆疊起來的 物體。 • 從側面看、和前面看的兩個圖形。 • 有許多正立方體被用來組合成這個物體 ？ 校外教學 • 有個班級要租一輛遊覽車進行校外教學。有三 家公司來競標。 • A公司一開始就收費375元，遊覽車每行駛一 公里就再加0.5元。B公司一開始就收費250元 ，遊覽車每行駛一公里就再加0.75元。C公司 在車子行走200公里以內都收取350元，超過 200公里後每走一公里就再加1.02元。 • 問題1 如果校外教學的距離介於400到600之間，這個 班級應該選擇哪一家公司？ 細胞繁殖 • 醫生們正在監控細胞的繁殖。他們對於 從實驗開始後細胞數量達到60000個的 天數特別感到興趣。觀察的結果如下表 何時細胞會達到60000個？ 食物鏈 • 下圖呈現的是兩種生物(草履蟲和酵素) 的消長情形 食物鏈 • 問題1 其中一種動物(predator)會吃掉另一種 (prey)。從圖中，你判斷出哪一種生物 是predator，哪一種是prey嗎？ Prey-predator的現象之一可以描述如下 ：predator的成長速率是prey目前數量 的比例。請問這個特質在上圖中可以看 出來嗎？ 高斯 • Karl Friedrich Gauss(1777-1855)的老 師要求全班學生將1到100的所有整數都 加起來。假設這位老師的目的是想要讓 學生都花一些時間在這些數字的計算上 。但是Gauss是一個很優秀的數量推理 者，他很快的就找出解題的捷徑，他的 理由如下： 高斯 • 你可以把這些數字加兩次，一個由小到大，另 一個由大到小： • 1+2+3+……….+98+99+100 • 100+99+98+………+3+2+1 • 將這兩列加起來，一個對一個，可以得出 • 101+101+….+101+101 • 那就會有100個101，所以這樣總合為101×100 • 但這樣的積數是原來答案的兩倍，如果你取一 半，答案就是：5050 • 今天晚上你要舉辦一個聚會，你想要買100罐 可樂，一手可樂有六罐，請問你要買幾手？ • 一個滑翔者的滑翔比例為1比22，要從120公 尺高的懸崖往下滑下，如果飛行員想要停在距 離滑翔起點1400公尺處的落點，在沒有風等 條件的影響，他是否可能完成目標？ • 學校想要租迷你巴士(有八人座)來進行學校的 露營活動，有98名學生需要搭乘，學校需要 多少輛迷你巴士？ 百分比 • Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50 元的夾克。在Zedland國家是需要外加5%的稅 。店員先將夾克的定價加5%的稅後再打八折 。Carl認為不應該如此。他要店員先打八折， 然後再算5%的稅。 • 請問這兩種做法有何差異？ 平均年齡 • 如果有一個國家40%的人口最少都在60 歲以上，有沒有可能這個國家的平均年 齡是30歲？ 成長中的收入？ • Zedland的人民最近幾十年來的收入是增加還 是減少？每一個家庭總收入的中數是下降的： 1970年是34200元，1980年是30500元， 1990年是31200元。但是每個人的收入卻是 增加的：1970年為13500，1980年為13850 ，1990年是15777元。 • 家庭總收入包含了所有住在相同住址的人的收 入總額。解釋為什麼有可能Zedland國家中， 家庭總收入下降的同時，個人的收入卻是增加 的？ 上升的犯罪率 • 下圖是Zedland新聞周刊中的一個統計圖 • 它呈現出每100 000居民中的犯罪量，一開始是 五年為間隔，然後間隔改變為一年。 上升的犯罪率 • 問題1 • 根據報導，1960年時，每100 000人中 的犯罪量是多少？ 上升的犯罪率 • 有一家警報系統的工廠運用了同樣的數 據畫出以下的統計圖： 上升的犯罪率 • 問題2 請問設計者是如何畫的？理由為何？ 六.數學歷程 • (ㄧ)數學化（mathematisation） •圖 數學化的循環 真實世界(Real world) 數學世界(Mathematical world) 真實解法 Real solutions 5 5 真實世界問題 Real-world problem 數學解法 Mathematical solutions 4 1,2,3 數學問題 Mathematical problem • (二)能力(the competencies) • 針對mathematisation，PISA提出學生在 此種歷程中需運用到數種不同的能力 (competencies)： 1. 思考及推理Thinking and Reasoning 2. 論證Argumentation 3. 溝通Communication 4. 建模Modelling 5.擬題及解題Problem posing and solving 6.表徵Representation, 7.運用符號、形式化及科技的語言及運算 Using symbolic, formal and technical language and operations 8.使用輔助工具Use of aids and tools 七.能力群組(competency clusters) 1.複製(reproduction)、 2.連結(connection)、 3.反思(reflection)。 (1)複製群組reproduction cluster • 此能力群組基本上包含習過知識的複製 。一般而言，他們包含標準化評量以及 課室評量中最常測量的能力 。 • 如事實、一般問題表徵的知識，等值的 辨識，熟悉數學物件以及特性的再蒐集 ，例行程序的比現，標準算則及技術性 技巧的應用，在標準的型態中操弄概念 完備的符號，以及計算的進行。 • 解方程式7x-3=13x+15 • 7,12,8,14,15,9的平均數是多少？ • 1000元存進銀行，年利率是4%，一年 後全部領回多少錢？ • M432: 反應時間 • 在一個短跑競賽的事件裡，「反應時間 」是指鳴槍後 • 到運動員開始起跑的時間，「最後時間 」包含了反應時間 • 和起跑後到終點的跑步時間。 下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間： 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒） 1 0.147 10.09 2 0.136 9.99 3 0.197 9.87 4 0.180 沒跑完 5 0.210 10.17 6 0.216 10.04 7 0.174 10.08 8 0.193 10.13 問題 1: 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌、銀牌、銅牌。並依照金、銀、 銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表。 獎牌 金牌 銀牌 銅牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒） M438： 外銷出口 下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊，這個國家的貨幣名稱為zeds。 1996 年-2000 年 Zedland 年度外銷總額 (單位：百萬 zeds) 2000 年 Zedland 外銷物品分配圖 其它 棉紡織品 肉類 羊毛 其 菸草 它 其它 其它 年 果汁 米 其它 茶葉 其它 • 問題 2：外銷出口 2000年Zedland的果汁外銷總額（單位：百萬 zeds）？ (A) 1.8 百萬zeds。 (B) 2.3 百萬zeds。 (C) 2.4 百萬zeds。 (D) 3.4 百萬zeds。 (E) 3.8 百萬zeds。 (2)連結群組connection cluster •連結群組的能力是建立在複製能力群組 之上，在此問題解決不是例行的，但仍 然包含了熟悉和半熟悉的情境 • 問題示例： • 小莉家離學校2公里，而小丁是5公里。 請問小莉家和小丁家的距離有多遠？ • 問題示例： • 以下是某個國家日報上的兩則廣告，幣制是以 zeds為單位 A大樓 B大樓 辦公室出租 辦公室出租 58-95平方公尺 35-260平方公尺 每個月475zeds 每年每平方公尺 90zeds 100-120平方公尺 每個月800zeds • 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公 尺的辦公室，要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜？請 呈現你的想法。 問題示例： • 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小 的披薩，較小的披薩直徑為30公分，定 價30元；較大的披薩直徑為40公分，定 價40元。 • 問題1： 哪種披薩比較划算，請寫出你的理由。 (3)反思群組reflection cluster •此能力群組包含包含學生對於問題解決 必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)，這些反思性能力和學 生計畫解題策略以及在問題情境中實施 這些策略有關，相對於連結群組，反思 群組的情境包含較多元素或者可能是更 為「原始」(或者非熟悉)。 M479：學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1：學生身高 某一天的數學課上，所有學生都測量了身高。男生平均身高 160 公分，女生平均身高 150 公 分。艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分。丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130 公分。 那天上課有兩位學生缺席，但隔天他們都有在課堂上。再測量他們的身高，並重新計算平均 身高。令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變。 從這些訊息可以獲得下列何種推論？ 每一個推論後面圈出 “是”或“否”。 推論 是否可獲得這個推論 兩位學生都是女生。 是/否 一個學生是男生，另一個是女生。 是/否 兩個學生有相同的身高。 是/否 所以學生的平均高度沒有改變。 是/否 丹尼克仍是最矮的。 是/否 M523：燈塔 燈塔是一座頂端有燈的塔。當船隻要靠岸的時候，燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路。燈塔以有規律的方式發出光亮。 每座燈塔有它自己的週期。下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 。燈號的亮和暗交錯形成一定的規律。 這是一個規律。一段時間後規律會再次重覆。在開始重覆之前的一個完整規律循環所用 的時間，稱之為週期。當你找出一個規律的週期，便很容易延伸上圖來找出下一個、或者數 分鐘、甚至數小時後燈塔的亮、暗情形。 • 問題1：燈塔 下列哪一個是這個燈塔亮、暗的週期？ A. 2秒 B. 3秒 C. 5秒 D. 12秒 問題 3：燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律，這個燈塔每一分鐘發出亮光 30 秒，亮光規律的週期為六秒 鐘。 八.數學素養評量 • (ㄧ)作業的特徵 • 1.PISA數學作業的本質 • PISA是一個以15歲學生為對象的國際素養技能測驗。所有的試題 應能適合每一個國家的15歲學生。 • 訓練有素的評定者，詳細的編碼架構 • 四個情境型態均納入考量 • 強調真實的脈絡 • 試題內容和四個整體概念有關且應該包含一個以上的數學歷程、 數學能力群組。 • 試題的閱讀層次需詳加考量，試題的用字盡可能簡單且方向容易 掌握，避免會造成文化偏誤的試題。 • 試題難度範圍廣泛 • 2.試題的型態 • 三種題型：開放的建構反應型態、封閉的建構反應型態 、選擇題 • 選擇題：複製及連結能力群組最適切的題目， • 更高階的目標以及更複雜的歷程，其他兩種型態會比較 好，封閉式的建構反應型態和選擇題比較類似，但仍有 一些區隔。 • 三分之ㄧ的數學問題是開放建構的試題，這些試題需要 評分者根據具有專業判斷的評量基準來進行編碼。PISA 進行評分者信度來監控評定時的一致性。 海豹 海豹即使在睡覺也必須要呼吸。Martin觀察一隻海豹一 個小時。一開始他看到海豹潛入海底開始睡覺。8分 鐘後牠慢慢浮上海面開始呼吸。 3分鐘後牠又回到海底。整個過程從開始到結束都是很有 規律的方式。 • 一個小時後這隻海豹正在 A.海底 B.上升的途中 C.呼吸 D.下沉的途中 M037: 農場 在這你可以看到一張有三角形屋頂的農舍照片。 下面是一個學生依據對這個農舍的屋頂做進一步測量結果所做出的數學模型。 在這個屋頂模型中地板ABCD是一個正方形。支撐屋頂的橫樑是四角柱EFGHNKLM的邊。E是 AT 的中點，F是 BT 的中點，G是 CT 的中點，且H是 DT 的中點。在這三角錐模型中所有的邊長都 是12公尺。 • 問題 1:農場 • 計算屋頂地板ABCD的面積。 屋頂地板的面積 ABCD = 平方公尺 。 •(二)評量結構 •試題的比例反映出三個能力群組 (reproduction, connections and reflection)約為1：2：1 。 •三分之一的題目為選擇題，三分之一的題目為 封閉式建構問題，另三分之一為開放建構反應 試題。
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