シャノンのスイッチングゲームにおける最適戦略につい

シャノンのスイッチングゲームにおける
ペアリング戦略について
東北大学情報科学研究科
○高橋良介，瀧本英二
発表の流れ
① tic-tac-toeゲーム
② ペアリング戦略について
③ HEXゲーム
④ シャノンスイッチングゲーム
⑤ PATH-WITH-FP問題のNP完全性
⑥ 今後の課題
tic-tac-toeゲーム
tic-tac-toe とは？
N  N の盤面に2人のプレイヤーが
交互に○と×を置く
縦，横，斜めのいずれか一辺を
自分の石で独占したプレイヤーの勝ち
tic-tac-toeにおけるペアリング戦略
N ≧4 の場合
後手側は必ず引き分け以上にできる
後手の戦略：
先手が置いたマス番号と
同じ番号のマスに置く
全ての辺に同じ番号が2個あるため
先手は一辺を独占できないペアリング戦略
先手が番号の付いていないマスに置いた場合
後手は適当なマスに置けばよい
これによってペアリング戦略が崩れることはない
11
1
8
1
12
6
2
2
9
10
3
7
9
3
6
7
4
4
10
12
5
8
5
11
完全禁止対
同じ番号が振られているマスのペア・・・禁止対（forbidden pair）
ペアリング戦略を成功させるような
禁止対の割当て
・・・完全禁止対（perfect forbidden pairs）
11
1
8
1
12
6
2
2
9
10
3
7
9
3
6
7
4
4
10
12
5
8
5
11
完全禁止対の定義
禁止対の集合をP ，盤面のマス（頂点）の集合をV とする
P = { (p1, q1) ,･･･, (pk , qk) } (1≦k ≦
|V |
)
2
pi , qi ∈V (1≦i≦k)
ただし，全ての頂点がdisjointであるとする
P が完全禁止対である
どのwinning pathも必ず
P 中のある禁止対 pi , qiを含む
HEXゲーム
red side
blue side
red player と blue player が自分の色でマスを交互に埋めていき
自分のsideをつなげたplayerが勝ち
blue side
red side
HEXゲーム
red side
blue side
blue side
red side
HEXの性質
引き分けはない
初期盤面では先手がwinning strategyを持つ
任意の盤面で，winning strategyを持つplayerを決定する問題
・・・・PSPACE-complete
HEXにおけるペアリング戦略
N  ( N  1) の盤面
0
1
0
6
1
6
2
7
3
8
4
9
5
10
11
12
14
12
15
17
5
9
16
18
4
13
18
19
3
8
15
16
10
14
17
19
20
20
（N－1）マス
7
11
13
2
N マス
HEXにおけるペアリング戦略
N  ( N  1) の盤面
red playerは
blue playerが置いたマスと
同じ番号のマスに赤石を置く
0
1
0
仮定に反する！
2
8
9
5
6
7
3
4
10
6
1
11
12
14
7
11
13
8
15
16
5
9
16
18
4
13
18
19
3
12
15
17
2
10
14
blue player はパスを作る際
同じ番号のマスを必ず通る
17
19
20
20
同じ番号を1度までしか通らないパスが存在すると仮定
red playerは必ず勝つ！
HEXのグラフによる表現
5
4
10
3
9
14
2
8
13
17
0
1
6
7
12
16
19
11
15
18
20
0
6
11
15
18
20
1
7
12
16
19
2
8
13
17
3
9
14
4
10
5
HEXの盤面と等価なグラフ
より一般的なグラフでもペアリング戦略は有効か？
シャノンのスイッチングゲーム
shannon vertex switching game
2人のプレイヤーが交互に無向グラフG =（V ,E ）の頂点を確保
先手の目標： s → t のパスを作る
後手の目標：先手のパス作成を阻止
G
s
t
シャノンのスイッチングゲーム
shannon vertex switching game
どちらのプレイヤーにwinning strategyがあるか決定する問題
・・・・PSPACE-complete
G
s
t
PERFECT-FP問題
後手の戦略
に対応
次のような問題を考える
PERFECT-FP ={(G, s, t ) | G has perfect forbidden pairs}
ただし G = (V, E) ，始点をs，終点をt とする
先手の戦略
に対応
PATH-WITH-FP ={(G, s, t, P ) | G has a path from s to t that contains
at most one vertex from each pair in P}
|V |
ただし P = { (p1, q1) ,･･･, (pk , qk) } (1≦k与えられた禁止対の割当てが
≦ 2) ,
pi , qi ∈V (1≦i≦k) とする
perfect forbidden pairs でな
いかどうか
PERFECT-FP問題
入力:（G, s, t ）
PERFECT-FP
禁止対の割当てを非決定的に生成
（G, s, t, P）
PATH-WITH-FP
reject
accept
accept
reject
PATH-WITH-FPのNP完全性
定理： PATH-WITH-FP はNP完全である［HAROLDら，1976］
１．『PATH-WITH-FP∈NP』の証明
PATH-WITH-FPのアルゴリズム
多項式時間
① 非決定的にs-t間のパスを選ぶ
② そのパスが禁止対の頂点を両方通るかどうかを調べる
③ 通らないなら受理，そうでなければ非受理
非決定性多項式時間で終了するので
PATH-WITH-FP∈NP である
PATH-WITH-FPのNP完全性
定理： PATH-WITH-FP はNP完全である［HAROLDら，1976］
２．『PATH-WITH-FP はNP-hard 』の証明
3SAT から PATH-WITH-FP へ帰着
PATH-WITH-FPのNP完全性
  ( x1  x2  x3 )  ( x1  x2  x4 )  ( x2  x3  x4 )  ( x1  x2  x4 )  ( x2  x3  x4 )
変換
s
x1
x1
x2
x1
x2
x2
x2
x3
x2
x3
x3
x4
x4
x4
x4
CNF式に x がn個，x がm個ある
t
ノードx をそれぞれm個に
ノードx をそれぞれn個に分身させる
PATH-WITH-FPのNP完全性
  ( x1  x2  x3 )  ( x1  x2  x4 )  ( x2  x3  x4 )  ( x1  x2  x4 )  ( x2  x3  x4 )
s
x1
x1
x2 x2 x2
x2
x2
x3
x3
x2
x2
x3
x4
x4
x4 x4
x4
x4
x1
x2 x2 x2
CNF式に x がn個，x がm個ある
x2
x2
x1
x3
x4
t
x4
ノードx をそれぞれm個に
ノードx をそれぞれn個に分身させる
PATH-WITH-FPのNP完全性
  ( x1  x2  x3 )  ( x1  x2  x4 )  ( x2  x3  x4 )  ( x1  x2  x4 )  ( x2  x3  x4 )
s
x1
x1
x2 x2 x2
x2
x2
x3
x3
x2
x2
x3
x4
x4
x4 x4
x4
x4
x1
x2 x2 x2
x2
x2
x1
x3
x4
t
x4
変数 x と x を禁止対とする
全ての x と x の組み合わせをカバーするように禁止対を割り当てる
PATH-WITH-FPのNP完全性
  ( x1  x2  x3 )  ( x1  x2  x4 )  ( x2  x3  x4 )  ( x1  x2  x4 )  ( x2  x3  x4 )
s
x1
x1
x2 x2 x2
x2
x2
x3
x3
x2
x2
x3
x4
x4
x4 x4
x4
x4
CNF式の変数 x に
φがsatisfiable i
1が割り当てられる
x1
x2 x2 x2
x2
x2
x1
s-t間のパスが
s-t間に，どの禁止対も同時に
ノード xi を通る
通らないパスが存在
であるので
例 x1 =31,SAT
x2 =0,p PATH-WITH-FP
x3 = 1, x4 = 0 の場合，φ=
1
PATH-WITH-FP はNP完全（証明終）
x3
x4
t
x4
PERFECT-FP問題
入力:（G, s, t ）
PERFECT-FP
禁止対の割当てを非決定的に生成
PERFECT-FP∈NPNP
（G, s, t, P）
PATH-WITH-FP
NPオラクル
reject
accept
accept
reject
今後の課題
 PERFECT-FP問題の計算量は？
 ペアリング戦略が可能なグラフにはどのようなも
のがあるか？
例. series-parallel graph

Download Report