3章 確率変数とその分布
3.4 基本的な分布関数 2回目
■ポアソン分布
(Poisson distribution)
二項分布において
平均 np = λ を一定としながら
試行回数
n 大 （n → ∞）
成功の確率 p 小 （p = λ / n → 0）
とした極限分布。
平均は記号 λ （ギリシャ文字ラムダの小文
字）で表す伝統。
http://econom01.cc.sophia.ac.jp/stat/Binom1.htm
相対度数
確率
0.4
サッカー１試合あたり得点の分布
（2005 年J1リーグ、n=612 ）
相対度数
ポアソン確率
0.3
0.2
0.1
x
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7 得点
相対度数 大型航空機 事故 発生件数（単位：件／年）
確率
（日本、1974 －2007 年、全137 件/34年間）
0.3
相対度数
ポアソン確率
0.2
0.1
x
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 件/年
無理数
e
=
2.718281828…
と関数
e
無理数 e = 2.718281828… と
x
無理数 e = 2.718281828… と関数 ex
定義：
関数
性質1:
ex
 1
e  lim 1  
n
 n
n
x

e  lim 1  
n
 n
x
無理数 e = 2.718281828… と関数 ex
性質2：
任意の実数 x について
2
3

k
x x
x
x
e  1 

  
1! 2!
3!
k 0 k!
x
n
λ = np と置き、p = λ / n と表した二項確率
λ = np と置き、p = λ / n と表した二項確率
性質3：
系:
d ax d (ax) d
ax
ax
e 
e  ae
dx
dx d (ax)
d x
x
e e
dx
λ = np と置き、p = λ / n と表した二項確率
p( x)n C x p 1  p
x
n x
( x  0,1,, n)
n(n  1)(n  x  1)  λ 

 
x!
n
x
λ

1  
 n
n x
λ  n(n  1)(n  x  1) 
λ

1





x
x! 
n
 n 
x
n x
x
λ   1   x  1   λ   λ 
 1   1   1 
  1    1  
x!   n  
n   n   n 

 

 
n
x
 1 ( n  )
 e  ( n )  1 ( n )
n → ∞ とした二項確率の極限値
ポアソン確率：
λ λ
p( x ) 
e ( x  0,1,2,)
x!
x
ポアソン確率の総和：


λ
λ λ
p( x )  e 
 e e 1

x 0
x 0 x!
λ
x
ポアソン分布の平均：
μ  E[ X ]  λ
ポアソン分布の分散：
σ
2
 V[ X ]  λ
ポアソン分布の標準偏差：
σ 
λ
サッカー得点 データ
（2005年J1リーグ、n = 612）
データ
ポアソン分布
1.43
1.43
平均
分散
1.55
1.43
標準偏差
1.25
1.19
大型航空機 事故 発生件数
(単位：件 / 年、n = 34 年)
データ
ポアソン分布
4.03
4.03
平均
4.39
4.03
分散
2.10
2.01
標準偏差
■指数分布
(Exponential Distribution)
標本&確率
密度
0.012
大型航空機 事故 発生間隔（単位：日）
（日本、1974－2007年、全137件/34年間）
標本密度
指数分布密度
0.008
0.004
x
0.000
360
330
300
270
240
210
180
150
120
90
60
30
0
日
大型航空機 事故 発生間隔
(単位：日、n = 136 件)
データ 指数分布 (１/平均)×365
平均
分散
標準偏差
90.0
90.0
4.06
7487.3
8097.4
86.5
90.0
(ポアソン年平均
発生件数に対応)
ある事故のあと（=条件つき確率）、
時間 y 以内に次の事故が起きる確率
• 事象 A = 「時間 y 以内に次の事故が起きる」
• 余事象 not A = Ac
= 「時間 y 経過しても事故が起きない」
• P(A) = 1 – P(Ac)
= 1 – P(時間 y 平均 λy のポアソン分布で x = 0)
= 1 – e –λy
事故発生の時間間隔: 連続確率変数 Y
その分布関数（累積確率）
F(y) = P( Y ≦ y ) = 1 – e –λy
指数分布の密度関数：
d
 λx
f ( x) 
F ( x )  λe
( x ≧ 0, λ ≧ 0)
dx
指数分布の平均：
1
μ  E[ X ] 
λ
指数分布の分散：
σ
2
指数分布の標準偏差：
1
 V[X ]  2
λ
1
σ
λ

1章 データの整理

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