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A02 計算理論的設計による知
識抽出モデルに関する研究
徳山豪（東北大学）
塩浦昭義（東北大学）
全眞嬉
（東北大学）
河原林健一（東北大学→NII)
研究の目的
• 知識抽出システムでの計算理論的設計や解析の手
法を探る
–
知識抽出：データマイニングだけではない
• 計算幾何学でのパターン抽出
• Voronoi図：点集合データ→理解しやすい知識形態
• 全列挙→マイニング→最適化（目的がはっきりするに従い）
• 計算困難性を打破するためのモデルの検討
–
入力の性質を利用した高速アルゴリズム
• パラメトリック複雑度
• アルゴリズム的グラフマイナー理論
–
–
数理経済学での価格決定のモデル
離散凸解析
プロジェクトと成果（2004－2007）
１：最適曲面近似とデータマイニング（直接のテーマ）
–
–
全，徳山+浅野，加藤他
Journal：5（Algorithmicaなど） Conf（ISAACなど）：6
２： Voronoi図とZone図
– 徳山＋浅野,Matousek他
– Journal ：2（SICOMP, Adv. Math), Conf： 2 (STOC,
SODA)
３：パラメトリック複雑度
–
–
徳山＋Halldorsson他
Journal： 2（TCSなど）, Conf：１（WADS)，IETA：2
プロジェクトと成果：２
４：アルゴリズム的グラフマイナー理論
–
–
–
河原林＋海外研究者等
Journal 多数（30くらい）、Conf 多数
STOC２、FOCS，SODA、ISAAC（Best Paper)
５：オプションの価格決定でのモデルと解析
–
–
塩浦、徳山
Journal ：2（Algorithmica, IPL), Conf ：1
６：離散凸解析
–
–
塩浦＋室田他
Journal 多数（10くらい）
７：その他：アドホックネットワークのモデルなど
最適曲面近似についての進展
• 非負行列データ： A = (a(i,j) ) i,j = 1,2,..,n
– 2次元格子上の関数と思う
• Aの単峰近似： F = (f(i,j)) : 単峰関数
– Fの水平切断が「良い形」
– Minimize ｜A－F｜2 ： L2距離
• 等高線で書かれた地図から「山」を切り出す
単峰近似（1次元（上図） 2次元（下図））
単峰近似の手法
• グラフの「最大重み支配閉包」問題に帰着する
– G ＝（V, E): 有向グラフ、
• 頂点に重み w(v) （負の重みもある）
– G の支配閉包：頂点の集合X
•
uがXの要素で(u，v)が有向辺ならばvもXの要素
– 最大重み支配閉包（山の等高線に対応）
•
重み和が最大になる支配閉包
• 最大流問題に帰着（多項式時間解法）
中心点に向いた格子グラフでの支配閉包
-1
-1
-2
1
0
-2
1
2
2
-1
1
2
2
0
2
1
1
-1
2
--2
1
0
--3
-4
4
--4
最近の進展（１）
• 「山」の水平断面として自然なのは？
– 星型領域（技術的困難があった）
– 凸領域（未解決）
– 星型領域の輪
• 星型領域（輪）についての解法の提案
– 難しさ：グリッドでの星型領域は何か？
– 星型領域：各点から中心点へ向かう直線
分を含むような領域
– グリッドでの「直線分」の定義が難しい
• 通常の定義だと「星型」らしくなくなる
グリッド星型領域を定めるグラフ（木）
（Martin Noellenburg製作）
最近の進展（２）
• 多峰近似は多項式時間で出来るか？
• 2つのグラフの最大重み支配閉包和問題
– 頂点集合Vと重み（入力行列の要素に対応）
– G=(V, E), G’ =(V, E’) ： V上の有向グラフ
•
2つの山に対応
– X: Gでの支配閉包，Y: G’での支配閉包
– X∪Y の形で最大重みのものを求める
• NHCの会議（06調布）でのOpen Problem
– NP困難か？G, G’が根付き有向木の場合にはどうか？
– 木の場合は、支配閉包＝根付き部分木
残念ながらNP困難
• 2つの根付き有向木（グリッドの部分木に向き
をつけたもの）に対してすらNP困難
– MAX2SATを帰着する
•
→ 現在の定式化だと2次元での多峰近似
は難しそう
• 多峰近似問題の近似アルゴリズム？？
– 最大支配閉包和の形だと近似できない
M+N
M+N
M+N
M+N
M+N
M+N
S3 ∨S2
-N
S3
-N
S3
S3 ∨S1
S2 ∨S3
1/2
S2 ∨S1
-N
S2
S3 ∨S2
1/2
1/2
-N
S2
1/2
1/2
S2∨S3
1/2
-N
S1
-N
S1
S1∨S2
S3
-M
-M
M
S3
-M
M
-M
S2
-M
-M
M
S2
-M
M
-M
S1
-M
-M
M
S1
-M
M
-M
-M
-M -M
1/2
1/2
S1∨S3
-N
M+N
-N
-N
M+N
-N
-N
-M
-M
S1 S1 S2 S2 S3 S3
M+N
M+N
-N
-M
M+N
S1 S1 S2 S2 S3 S3
M+N
M+N
M+N
M+N
M+N
M+N
総重み＝
M+N
S3 ∨S2
-N
S3
-N
S3
S3 ∨S1
S2 ∨S3
1/2
S2 ∨S1
-N
S2
ｎM＋MAX２SAT
S3 ∨S2
1/2
1/2
-N
S2
1/2
1/2
S2∨S3
1/2
-N
S1
-N
S1
S1∨S2
S3
-M
-M
M
S3
-M
M
-M
S2
-M
-M
M
S2
-M
M
-M
S1
-M
-M
M
S1
-M
M
-M
-M
-M -M
S1 S1 S2
1/2
1/2
S1∨S3
-N
M+N
-N
-N
M+N
-N
-N
-M
-M
S2 S3 S3
M+N
M+N
-N
-M
M+N
S1 S1 S2 S2 S3 S3
M+N

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