スライド 1 - Tohoku Univ. Particle Theory and

χ
χ
χ
χ

χ
χ
χ
χ
χ
東京大学
ビッグバン宇宙国際研究センター
χ
χ
χ
Scalar fields could be
the origin of everything!
Large Homogeneous,
Isotropic, & Flat Universe
Inflation driven by a scalar field
called the Inflaton
Density fluctuations
& CMB Anisotropy
Quantum fluctuations of
the Inflaton field
Radiation
Reheating by Inflaton’s decay
Baryon Asymmetry
Affleck-Dine scalar fields in SUSY？
Dark Matter
Q-balls ？
  3H  V [ ]  0
Slow-roll phase is now
probed by astronomical
observations.
V[φ]
BEGINNING??
slow rollover
END??
Reheating
Λ
Inflaton φ
But little is known about the beginning and end of inflation.
The Origin of the Hot Big Bang Universe
Reheating Processes After Inflation
＝Entropy Production through the decay of
the Inflaton, a scalar field which drives inflation.
V[φ]
V[φ]
INFLATION
Potential energy
Slow rollover
effeff
Exponential expansion
Kinetic + potential energy
φφ
１
R2 inflation
(conformal
Chaotic
inflationtr.)
V
Rapid field oscillation
Preheating (parametric resonance)
Reheating (perturbative decay)
 eff
φ
Ψ
Radiation dominated stage
Hybrid inflation
V [ ]
Reheating temperature TR
The maximum temperature after inflation is much
higher than the reheating temperature in general.
The inflaton decays in a thermal bath.
 eff

v
New/Topological inflation
超対称性理論：
weak scaleの質量を持った多数のスカラー場を含む。
squark, slepton がバリオン数やレプトン数を破る
反応を起こすとバリオン・レプトン非対称の起源を
説明可能＝Affleck-Dine mechanism
これらの場はハッブルパラメタがmass scaleまで
下がると振動を開始する。（温度～1010GeVの頃）
非対称はこれらの場が振動し、エネルギーを粒子に
散逸するときに生成する。
Moduli：
①他の場と重力の強さ(Planck-suppressed)でしか
相互作用しない。
②グラビティーノと同程度の質量を持ち、元素合成後
に大量のエントロピーを出して崩壊する。
１熱浴（＝有限温度の輻射媒質）中を振動する
スカラー場の挙動
２インフラトンの崩壊生成物が大きな熱的
質量を持つ場合
３モジュライのコヒーレント振動の早期崩壊
の可能性
２の熱浴中でのインフラトンの崩壊に関する興味深い指摘
If the would-be decay product of the inflaton acquires a thermal mass
which is larger than the inflaton’s mass, its decay is temporarily suspended.
(Linde 1985, Kolb, Notari, & Riotto 2003)


other scalar particles or
Finite-Temperature Effective Potential
  fermions
1 2 2 g2 4 g2 2 2
V [  ]  m     T   ...
m(T )  gT thermal mass 2
4
8
thermal mass
The decay rate of the inflaton to two massive particles with mass m .
1
2
 4m 2 
M  : the inflaton mass
   0 1 
2 
M  

Decay rate to two massless particles.
Phase space is closed and the scalar field cannot decay if would-be
decay products have a thermal mass larger than M 2 !?
If so, thermal
Thermal
history
history
after after
preheating
inflation
in isconventional
drastically changed.
theory with   const
d 
3
 (3H   ) 
dt
d r
 4 H  r   
dt
field oscillation
 a(t )   (t te )
 (t )   (te ) 
 e
 a(te ) 
radiation
 a(t ) 
 r (t )    dt  (t ) 

 a(te ) 
te
t
4
φdominant
T  a 3 8
Reheat
temperature
TR ,conv
radiation dominant
T  a1
φdecays completely at t   1
If inflaton’s decay rate vanishes at high temperature T  M g,
thermal history is drastically changed.
huge discrepancy
new reheating scenario
φ decays gradually, keeping T  const.
TR ,conv
discrepancy
TR,new  M g
ρφ=ρr
This would affect the relic abundances of gravitinos, superheavy particles etc.
熱的質量は本来の質量とは違うだろう。
スカラー場のコヒーレント振動はただの粒子とは違うだろう。
そこでまず、
① Nonequilibrium field theory for the oscillating scalar field
② The case decay products do not have any thermal masses.
③ The case decay products have a large thermal mass.
Assumptions & Conditions:
① Neglect cosmic expansion
② The would-be decay products of the inflaton are
in thermal equilibrium at a fixed temperature.
③ The inflaton is in nonequilibrium and oscillating.
④ Parametric resonance ineffective (after the preheating stage, if any).
１熱浴中を振動するスカラー場の挙動
Coherent field oscillation behaves almost classically.
But its decay is of course a quantum process.
Derive an effective equation of motion for the expectation value of
the scalar field φ by calculating its effective action Γ(φ).
t
t







4
4 
 (t )  exp i  Hd x   (0) exp i  Hd x  Heisenberg picture




0

 0

t
t







4
4 
in  (t ) in  in exp i  Hd x   (0) exp i  Hd x  in




0

 0

time flow
Time ordered & anti-ordered product
cf Quantity calculated in ordinary quantum field theory: Transition Amplitude
  4 
out TO (t ) exp i  Ld x  in
 

time flow
What fraction of the initial state goes
to the final state?
Time ordered product
Model Lagrangian
oscillating scalar field (inflaton)
interacting field χ in
a thermal state with
temperature T   1
φ→χχ
φ→ψψ
Generating functional
-branch

  i 
  e  H
+branch
time
Effective Action in terms of the Legendre Transform
Field variables also have suffices ±, and + fields interact
with – fields, although they should be regarded as the same field
in the end.
Calculate the Effective action perturbatively.




M
M
using finite-temperature propagators
in the closed-time path formalism
f
f
h2
h2
h2
h2
represent interactions between
  and  .
h2

Since and  are identified in the end, it is more convenient to define
 0 in the end.
and set  



f
f
h2
h2
M
h2


M
h2
h2
Equation of motion


0
  0
From now on, I concentrate on the diagram related with the decay process
 
  induced by the interaction
.
 M
M
2
imaginary part
Its contribution is complex-valued which is a manifestation of the dissipative
nature of this interaction.
Its real part and imaginary part are mutually related.
Effective Action
Since φ is a real scalar field, we cannot obtain a sensible equation of
motion by the variation of such a complex-valued effective action Γ.

As we often encounter a complex-valued effective action or effective
potential even for a real scalar field, there is a known prescription
to obtain a real-valued equation of motion.
(Morikawa 88)
including a path integral of
②
.
instability,dissipation
① Introduce a real-valued random Gaussian auxiliary field
and rewrite the effective action
as
is a probability distribution function defined by
Gaussian with a dispersion
：the imaginary part of the effective action
（N.B.） If we performed path integral over
using Gaussian integral,
we would recover the original complex-valued effective action.
③ Here we take variation of the effective action
as it is.
,
Manifestly real-valued equation of motion!
④ Equation of motion: a Langevin equation
auxiliary stochastic
field
quantum correction
Memory term depending on the past
Auxiliary field
with a dispersion
is treated as a random Gaussian noise
.
Real part of the effective action: Deterministic terms in EOM
Imaginary part of the effective action governs a Stochastic Noise term.
The expectation value of the scalar field evolves according to
the above Langevin equation.
(N.B.) If we incorporate
other diagrams, the
Langevin equation has
both additive and
multiplicative noises and
dissipation terms.


f
h
2

f
h
2


h2
h2
h2
h2
h2
multiplicative noise
The Langevin eq. can easily be solved via Fourier transform.
spatial Fourier transform
temporal Fourier transform
pure imaginary
real
General solution
The memory of the initial
condition is erased after
t   k1 (M k )
Inflaton’s dissispation rate is given by
evaluated at
  Mk .
So we calculate
using

 dt cos(  
p
 k  p )t
0
destruction
terms R
np  nB ( p )
D
creation terms RC
The dissipation rate of the homogeneous mode (
) has a simple form
This δfunction vanishes
if m  M 2 .
One particle decay Induced emission
rate in the vacuum
at high
temperature
This dissipation rate vanishes if m  M 2 .
Cf The decay rate to fermions is suppressed by Pauli blocking.
f
Decay rate through
Yukawa coupling
Pauli blocking
f
２インフラトンの崩壊生成物が大きな熱的質量を持つ場合
Does this apply to the large thermal mass m (T )  M 2 as well?
Does the dissipation rate vanish if m (T )  M 2 ?
In our scheme, thermal mass m (T ) is included in
,
if we incorporate the finite-temperature self energy of χ, Σ(T ), in its
propagator,
because
is determined by the pole of the propagator
….
Full or ‘dressed’
propagator
＝
Resummation
＋
＋
Σ
Σ
original
propagator
Σ
＋
Σ
Σ
Σ ……
1
Full propagator in the Matsubara representation GM (n , k )  2
n  k 2  m2
self energy due to χ’s interaction
＝
GM
＋
Σ
＋
Σ
Σ
＋
Σ
Σ ……
Σ
 GM  GM GM  GM GM GM  GM GM GM GM ....
1
1
1
 GM
 1
 2
1  GM
GM  (T )
n  k 2  m2  (T )
(T ) includes a thermal mass term such as g 2T 2 which depends on
the nature of χ’s interaction.
Apparently, high-temperature effect closes the phase space of φ’s decay.
m2 
 m2  (T )  m2  g 2T 2  ...
0?
However, (T ) contains an imaginary part as well, (T )  R  iI
and the full propagator has a complex phase.
p  p2  m2   R ,  R  g 2T 2 ,   p 

 dt cos(M  2
Then the δ function
0
the Breit-Wigner form

 dte
0
2  pt
p
 I
2p
)t   (M  2 pis
)
cos(M  2p )t 
replaced by
2 p
.
2
2

(M  2 p )  (2  p )
It is nonvanishing even when m (T )  M 2 .
Dissipation rate of the zero mode coherent field oscillation of the inflaton φ
   M 0  2 p  for  p
0 for   p 
0
When M

0
np  n(p )
m (T ), the dissipation rate reads
It is nonvanishing and proportional to
  p.
Imaginary part of self energy  dissipation rate of the decay product χ,
not the inflaton φ.
It depends on interaction of χ which thermalizes it.
For example, if χ thermalizes through
g2 4
 interaction,
4
3g 4T 2
we find   p (p ) 
for the imaginary part of χ’s self energy.
128p
(Hosoya & Sakagami 84)
As a result, the dissipation rate of the inflaton φ is given by
M 2 T 3g 2
0 ( M  ) 
2 M 2 24 2
dissipation rate to
massless particles
at high temperature
for
M
m (T ) 
gT
2
suppression factor
depending on the form of   p
  p p   p m  coupling constants
in general.
The dissipation rate of the inflaton oscillation is finite even when
its decay product, χ, acquires a larger mass than the inflaton in
a high temperature plasma.
g2
Reheating process is not suspended even when the decay product of
the inflaton has a larger thermal mass.
It is even possible to complete reheating in this regime in principle.
M 2 T 3g 2
0 ( M  ) 
2 M 2 24 2
suppression factor
1
2
 90  M 2 M G 3g 2
TR   2 
2
2

g
2

M
24


* 

Consistency condition m (T )
M
reheat temperature when
inflaton decays to massless particles
 g  M

M   3 10 GeV 
 13

 0.1  10 GeV 
12
2
3
This result, however, strongly depends on the nature of χ’s interaction
which controls the imaginary part of its self energy.
T  a 1 2
suppressed by coupling
constants of the decay product
T  a 3 8
TR ,conv
TR,actual
in case thermal mass prohibits decay
M
Reheating process in a high temperature environment proceeds
in a nontrivial way.
Not only the thermal mass, namely real part of the self energy, but also its
imaginary part of the would-be decay product,   p,plays an important role.
When M m (T ) , the reheat temperature is suppressed by a power
of coupling constants which thermalizes the decay product χ.
gravitino abundance depends
on the physics of decay products.
supermassive particles
M could be created.
in case thermal mass
prohibits decay
TR ,conv
TR,actual
M g
３モジュライのコヒーレント振動の早期崩壊の可能性
Superstring, Supergravity：
何もしないとポテンシァルを持たず、安定化させるのに
苦労するスカラー場が多数ある。Flat Direction.
Dilaton Moduli
超対称性の破れた現在の真空では、グラビティーノ程度
の質量を持ってポテンシァルの最小点が決まっていて、
そこに落ち着いている、、、、と思うことにしよう。
しかし宇宙初期、とくにインフレーション中はこれらは
最小点から離れたところにいた。
モジュライのポテンシァルの変化
φ
ポテンシァルを持たず、超対称的な真空
φ
インフレーション中、通常ハッブルパラメタに
比例した質量を持ち、安定化。
（インフレーション中は大きな真空の
エネルギーにより超対称性破れる）
φ
超対称性が破れると現在の最小点が
現れる。
一般に、インフレーション中の値と最終的な
値のズレはプランクスケール程度である。
モジュライのポテンシァルの変化
φ
ポテンシァルを持たず、超対称的な真空
インフレーション中、ハッブルパラメタに比例
した質量を持たない状況では、量子揺らぎ
によって大きな振幅を得る。
φ
φ
超対称性が破れると現在の最小点が
現れる。
一般に、インフレーション中の値と最終的な
値のズレはプランクスケール程度である。
モジュライの進化
しかし、超対称性が破れた後すぐに最小点に
落ち着くわけではなく、ハッブルパラメタ H が
モジュライ質量すなわちグラビティーノ質量 m3 2
程度になるまでは、ずれた値を持ち続ける。
H  m
φ
H  m3 2 になると、最小点の周りを振動する。
H m
φ
これはインフレーション後の再加熱期のインフ
ラトンの振動と同様な、スカラー場のゼロモード
のコヒーレントな振動である。
モジュライの進化
H  m になると、最小点の周りを振動する。
H m
φ
これはインフレーション後の再加熱期のインフ
ラトンの振動と同様な、スカラー場のゼロモード
のコヒーレントな振動である。
このようなコヒーレントな場の振動はモジュライ粒子φの崩壊率で散逸する。
しかし、モジュライは他の場と重力の強さでしか結合していないため、グラビ
ティーノと同じように長寿命である。
たとえば Lint 
1
MG
m 2  2
で m m として
（  は標準模型中のスカラー場）
3


m
 m 
1
   2   105 sec 

M
1TeV


 G
MG  1 8 G  2.4 1018 GeV

3
元素合成後に崩壊してエントロピー
生成を起こしてしまう。
はreduced Planck scale
モジュライの進化
H  m になると、最小点の周りを振動する。
H m
φ
これはインフレーション後の再加熱期のインフ
ラトンの振動と同様な、スカラー場のゼロモード
のコヒーレントな振動である。
輻射優勢
1
2
H  m の頃の宇宙の温度は T  1010 GeV  m  程度であり、
 1TeV 
まだまだ高温である。
m3
 2
MG
は真空中で計算した崩壊率である。有限温度では変化する。
たとえば Lint 

MG
m 2  2 という相互作用によるボソンχへの崩壊において、
χが熱平衡状態にあったとすると、誘導放出により、
m3
(T )  2
MG

m2

H TM G
2

 m  4m T
1  2nB  2   M 2
 

G
1 なので役に立たない。
程度に増幅されるが、
一般にModuliは運動項とも結合する。
Lint  

MG
F F

Lint  
これまでの考え方では、

MG
    
2

MG
 
などの相互作用がある。
  m2  により、運動項との結合も L
int


MG
m 2  2
m3
と同様、   2 程度の崩壊率しか与えないと考えられてきた。
MG
しかし、χは熱浴中で他の場と相互作用し、熱的質量
mT  gT
Tをもつ。
 を g 2T 2  で置き換えられるとすると、Moduliとχの結合はずっと強くなる。
 2 2 2
Lint  
gT 
MG
g 4T 4 4T
による崩壊率は   
程度になるはずで、

2
MGm m
2
大きく増幅される。
崩壊生成物が大
きな熱的質量を持
つことによる
m  1TeV=103GeV, T  1010 GeV とすると、  107GeV  (suppression factor)
になる。 
H  m  1TeV がみたされるとModuliは振動を始めた
途端に散逸してしまう。
つまり、熱浴の効果を考えると、Moduli問題ははじめからなかった
ということになる、、、、かもしれない？
これまで述べた直観的な結論が正しいか
非平衡系場の理論を用いて解析する。
• Moduliのゼロモードは、質量mを持ち、最小点
の周りを振動している非平衡状態にあるとする。
• 宇宙はまだ輻射優勢であるとする。
• Moduliと結合している場χは、輻射温度Tの
熱平衡状態にあるとする。
• 散逸率の大きい場合に興味があるので、宇宙
膨張は無視する。
いま興味のある微分結合のループをEffective actionに取り入れる。
Lint  

MG
  
2
実線はφ
二重線はχ
を表す。
2

MG
と は同じ場であり、最後には同一視するので
とおいて最後に 
0とする方がよい。
2

MG
Equation of motion


0
  0
散逸系なので、φのEffective actionは複素数になる。
実部と虚部は互いに関係しあっている。
先ほどと同じ処方で運動方程式が求められ、散逸率もC のフーリエ変換で求
められる。
モジュライの散逸率は
そこで、
に   Mk
を計算する。
を代入したものである。
2

MG
ただし
χが熱的状態にあることを正しく取り入れるためには、propagator
として、有限温度でのself energyを取り入れ、resummationした
full propagatorを用いなければならない。
2

MG
self energy
Full or ‘dressed’
propagator
＝
Resummation
Σ
＋
original
propagator
Σ
＋
Σ
Σ
＋
Σ
Full propagator in the Matsubara representation GM (n , k ) 
Σ ……
1
n2  k 2  m2
self energy due to χ’s interaction
＝
GM
＋
Σ
＋
Σ
Σ
＋
Σ
Σ
Σ ……
 GM  GM GM  GM GM GM  GM GM GM GM ....
1
1
1
 GM
 1
 2
1  GM
GM  (T )
n  k 2  m2  (T )
g2 4
 という相互作用によって熱化するので、
今のモデルでは χ は
4
3g 4T 2
χのself energyの虚部は  p (p ) 
となる。
128p
その結果
  m
g2
直観的には
3  gT
512 3 m2 M G2
2
6
5
2 104
 gT
2
6
5
m2 M G2
m  1TeV=103GeV, T  1010 GeV とすると、
になり、まずまずの値である。
g 4T 4 4T


M G2 m m だった。
2
  m 3 2 g 6 TeV
熱浴中の崩壊を真面目に考えることによって
モジュライのコヒーレント振動を効率的に散逸
させられそうである。
温度が高いほど効率的である。
しかし、温度が高いとグラビティーノ同様熱的散乱によって生成される
ものも出てくる、という問題はある。

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