「ORーA」 第１２回
2012/01/06
• カッティングストック問題
–
–
–
–
–
問題紹介と定式化
LP版カッティングストック問題の解法の基本的考え方
被約費用を最小化するパターンを求める問題
（整数値）ナップザック問題
ナップザック問題の解法
• 動的計画法
1
2
（１次元）カッティングストック問題
•
•
•
•
45cｍ の長さの板 x 97枚
36cm の長さの板 x 610枚
31cm の長さの板 x 395枚
14cm の長さの板 x 211枚
100cm
45cm
36cm
14cm
3
カッティングストック問題の定式化
最小化 ｚ ＝ｘ1＋ｘ 2＋ｘ3＋ｘ 4＋ｘ5＋・・・
１
０
制約条件 ０
０
０
１
ｘ
＋
1 ０
０
0
０
０
０
ｘ
＋
ｘ
＋
2 １ 3 ０
０
１
１
１
ｘ
＋
4 ０
１
ｘ 5＋・・・≧
97
610
395
211
• ｘｊ＝第ｊ カッティングパターンの使用回数
• ｘｊ≧0，整数
4
LP版カッティングストック問題
• 整数計画は（LPに比べて）解きにくい
• そこでLP版CS問題を考える（切上げ解は必
ず実行可能）
• 板の長さLが、需要の長さに比べて長いと、
カッティングパターンの数は膨大になる
• あらかじめすべてのカッティングパターンを列
挙しておくことは無理。LP版CSも、列が膨大
だと困る→必要に応じパターンを生成できない
か？
→列生成法
→改訂単体法で必要な情報を復元
5
カッティングストック問題の定式化
最小化 ｚ ＝ｘ1＋ｘ 2＋ｘ3＋ｘ 4＋ｘ5＋・・・
１
０
制約条件 ０
０
０
１
ｘ
＋
1 ０
０
0
０
０
０
ｘ
＋
ｘ
＋
2 １ 3 ０
０
１
１
１
ｘ
＋
4 ０
１
ｘ 5＋・・・≧
• ｘｊ＝第ｊカッティングパターンの使用回数
• ｘｊ≧0，整数
97
610
395
211
6
スタート
初期可能基底解
（を示す単体表の一部）
－
ｃj＝ｃj－πAj
Aｊの生成
π
最適性の判定と
軸の列の生成
新しい可能基底解
改訂単体法
の１反復
ナップザック問題
B-1Aｊ
ストップ
復元された軸の列の追加
最適？
列生成
LP版カッティングストック問題
を列生成+改訂単体法で解く
標準的改訂単体法との違い
①初期可能基底形式の設定にあたって注意
（スラック変数でなく、実際のカッティングパター
ンに対応する変数を初期基底変数とするため）
②双対価格の現われ方が違うので注意
（「いつも、πが見えていたところにπ－１がある；
理由は、①と同じで、初期基底変数の元の問題
の目的関数の係数が1だから）
③列（=パターン）があらかじめ列挙されてい
ないので、その生成が必要（ナップザック問題）
7
8
LP版CS問題の初期可能基底解
No.00
元問題
x1
-1
1
0
0
0
x2
-1
0
1
0
0
x3
-1
0
0
1
0
x4
-1
0
0
0
1
…
-1
…
…
…
…
右辺定数 基底変数
0
z
97
x1
45cm
610
x2
36cm
395
x3
31cm
211
x4
14cm
これは、基底形式ではない！なぜ？
No.0
初期単体表
x1
0
1
0
0
0
x2
0
0
1
0
0
x3
0
0
0
1
0
x4
0
0
0
0
1
…
…
…
…
…
…
右辺定数 基底変数
1313
z
97
x1
45cm
610
x2
36cm
395
x3
31cm
211
x4
14cm
目的関数の行に、制約の各行を加えればよい
9
双対価格π＝ｃBB-1の読み方に注意（∵
初期基底変数の目的関数の係数が1）
初期基底に対する双対価格π＝ｃBB-1＝ｃBI ＝ｃB ＝（1,1,1,1）
－ c 1 ＝－（ｃ１－πA１）＝－１＋
π 1π 2π 3π 4
＝－１＋π1
π－１
No.0
初期単体表
x1
0
1
0
0
0
x2
0
0
1
0
0
x3
0
0
0
1
0
x4
0
0
0
0
1
…
…
…
…
…
…
右辺定数 基底変数
1313
z
97
x1
45cm
610
x2
36cm
395
x3
31cm
211
x4
14cm
よって、 πの値は緑の数字＋１；つまり、π1＝π２＝π３＝π４ ＝１
1
0
0
0
双対価格自身が現れない理由
12
• 初期可能基底解の基底変数の目的関数の係
数ｃｊ が0でない場合（例：スラック変数でない場合）
– 基底の逆行列B-1の「上」に双対価格が現われない
－
– なぜなら、ｃ
ｊ＝ｃｊ－πAjであり、ｃｊ ≠0のため（ただし、
Aj は単位ベクトル）、 B-1の「上」にπi－cｊが現われる
－
（単体表には－ｃｊ が現われることに注意）ため、B-1の上に現わ
れる数値にｃｊ を加えた値がπの値となる
（非基底）カッティングパターン 15
の被約費用は？
• パターンをa＝(a1,a2,...,am)t (列ベクトル)と表記
• 最小化 c －πta
＝１－ (π1.π2,…,πm )（a1,a2,...,am）t
＝１－（π1a1＋π2a2＋．．．＋πmam）
• 最大化
（π1a1＋π2a2＋．．．＋πmam）－ １
といっても、基本的に同じこと
• 制約条件
1a1＋ 2a2＋．．．＋ mam ≦ L
aiは非負整数、 i は需要iの長さ(定数）
被約費用最小の非基底カッティングパターンを求める 16
整数値ナップザック問題
• 最小化 c －πta ＝１－ (π1.π2,…,πm )（a1,a2,...,am）t
• 最大化 π1a1＋π2a2＋...＋πmam－ １
制約条件 1a1＋ 2a2＋...＋ mam ≦ L
aiは≧0かつ整数（変数）、
i は需要iの長さ(定数）
• π＝(1,1,1,1)
• 最大化
a 1 ＋ a2 ＋ a3 ＋ a4 － １
制約条件 45a1＋36a2＋ 31a3＋14a4 ≦100
ai ≧0かつ整数（変数）
• 最小被約費用の値は、１－「ナップザック問題の最適値」
注：CS問題の解の改善という観点からは、被約費用が負でさえあればよく、 KPが最適に解けていなくてもよい
No.0
初期単体表
45cm
36cm
31cm
14cm
x1
0
1
0
0
0
x2
0
0
1
0
0
x3
0
0
0
1
0
π＝(1,1,1,1)
x4
0
0
0
0
1
x5
6
0
0
0
(7)
右辺定数 基底変数
1313
z
97
x1
610
x2
395
x3
211
x4
17
No.0
初期単体表
45cm
36cm
31cm
14cm
x1
0
1
0
0
0
x2
0
0
1
0
0
x3
0
0
0
1
0
x4
0
0
0
0
1
x5
6
0
0
0
(7)
右辺定数 基底変数
1313
z
97
x1
610
x2
395
x3
211
x4
x4
-6/7
0
0
0
1/7
x6
2
0
1
(2)
0
右辺定数 基底変数
7925/7
z
97
x1
610
x2
395
x3
211/7
x5
x4
-6/7
0
0
0
1/7
x7
9/7
0
2
0
(2)
右辺定数 基底変数
5160/7
z
97
x1
825/2
x2
395/2
x6
211/7
x5
18
π＝(1,1,1,1)
No.1
初期単体表
45cm
36cm
31cm
14cm
x1
0
1
0
0
0
x2
0
0
1
0
0
x3
0
0
0
1
0
1132.14
30.14
π＝(1,1,1,1/7)
No.2
初期単体表
45cm
36cm
31cm
14cm
x1
0
1
0
0
0
x2
0
0
1
0
0
x3
-1
0
0
1/2
0
π＝(1,1,0,1/7)
737.14
412.5
197.5
30.14
19
（整数値）ナップザック問題
• 整数値ナップザック問題（KP）：一般形
max z = ∑i＝1,…,m πi ａi （ － １）
s.t.
∑i＝1,…,m i ａi ≦ L
ａi ≧ 0, 整数
• 具体的数値例 （カッティングストック問題の例）
max z = ∑i＝1,…,４ ａi （ － １） （各πi ＝1の場合）
s.t.
45a1＋36a2＋ 31a3＋14a4 ≦100
ａi ≧ 0, 整数
20
（整数値）ナップザック問題の最適解法
max z = ∑i＝1,…,m πiａi （ - １）
s.t.
∑i＝1,…,m j ａi ≦ L，
ａi ≧ 0, 整数
• 動的計画法（Dynamic Programming; DP）
f (ｙ) = 重量制限ｙのナップザックに詰め込むことの
できる最大の価値
f (ｙ) = max i＝1,…,m { πi + f (ｙ - i )} 漸化式
ｙ = ｍｉｎ ,..., L に対して、順次f (y)を計算。最終的に、
f (L)が解きたい問題の最適値。ただし、
ｍｉｎ = min i＝1,…,m { i }
• DPの他に分枝限定法による列挙解法もあり
ナップザック問題のDP解法：数値例
21
max z = ∑i＝1,…,m ａi
s.t.
45a1＋36a2＋ 31a3＋14a4 ≦100
j
ａi ≧ 0, 整数
• f (ｙ) = 重量制限ｙ のナップザックに詰め込むことので
きる最大の価値
– 自明に、f (ｙ) = 0，ｙ＝0,…,13； f (ｙ) =－∞，ｙ＝負
• f (ｙ) = max i＝1,…,m { πi + f (ｙ - i )} 漸化式
• ｙ = ｍｉｎ ,..., L に対して、順次f (y)を計算。最終的に、
f (L)＝ f (100)が解きたい問題の最適値。ただし、
ｍｉｎ = min i＝1,…,m { i } = 14
– ほぼ自明に、f (ｙ) =1＝14,…,27
y
０～１３
１４～２７
２８～３０
３１～３５
３６～４１
４２～４４
４５～４９
５０～５５
５６～５８
５９～６１
６２～６３
６４～６５
６６～７０
７０～７１
７２
７３～７５
７６
７７
７８～７９
８０
８１～８３
８４
８５～８６
（中略）
９８
９９
L=１００
ｆ（y）
０
１
２
２
２
３
３
３
４
４
４
４
４
５
５
５
５
５
５
５
６
６
６
７
７
７
i＝１ i＝２ i＝３ i＝４
1+f (y-45) 1+f (y-36)
1+f(y-31)
1+f(y-14)
1+(-∞)=-∞
1+(-∞)=-∞
1+(-∞)=-∞
1+(-∞)=-∞
1+(-∞)=-∞
1+0=1 1+0=1 1+0=1 1+1=2 1+1=2 1+1=2 1+1=2 1+1=2 1+1=2 1+2=3 1+2=3 1+2=3 1+2=3 1+2=3 1+2=3 1+2=3 1+2=3 -∞ -∞ -∞ 1+ 0=1
1+ 0=1
1+ 0=1
1+ 1=2
1+ 1=2
1+ 1=2
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+3=4 1+ 4=5
1+3=4 1+ 4=5
1+3=4 1+ 4=5
ｄ(y)
-∞
-∞
1+ 0=1
1+ 0=1
1+ 0=1
1+ 1=2
1+ 1=2
1+ 1=2
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 0=1
1+ 1=2
1+ 1=2
1+ 1=2
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 2=3
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 3=4
1+ 4=5
1+ 4=5
1+ 4=5
1+ 4=5
1+ 4=5
1+ 4=5
1+ 4=5
1+ 4=5
1+ 5=6
1+ 5=6
０
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
４
1+ 4=5
1+ 4=5
1+ 4=5
1+ 6=7
1+ 6=7
1+ 6=7
４
４
４
22
F(100) = 7
被約費用＝
1－7＝－6
a4=7, その他0
追加する列＝
(0,0,0,7)
注：CS問題の解の改善という観点からは、被約費用が
負でさえあればよく、 KPが最適に解けていなくてもよい
23
スタート
初期可能基底解
（を示す単体表の一部）
－
ｃj＝ｃj－πAj
Aｊの生成
π
最適性の判定と
軸の列の生成
新しい可能基底解
改訂単体法
の１反復
ナップザック問題
B-1Aｊ
ストップ
復元された軸の列の追加
最適？
列生成
第１２回宿題（締切： 1月12日18時）
24
宿題１２．１ ppt2に示したカッティングストック問
題を、以下の指示に従って、授業で解説した
列生成法により解け。解答は計算のプロセス
が分かるように要点を示す。
– 一部の列（カッティングパターン）からなるLP版カッティング
ストック問題を適当な数理計画ソフトウェア（Excelソルバー、
または、AMPL）、または、手計算で解く
– 初期基底は単位行列のカッティングパターンとする
– 列生成（パターン生成）と最適性の判定のための整数値
ナップザック問題も適当な数理計画ソフトウェア、または、
手計算で解く
– 初期列と生成された列（だけ）からなる整数計画問題も適
当な数理計画ソフトウェアで解く
25
第１２回のまとめ
• カッティングストック問題
– 問題紹介と定式化（復習）
– 「列生成」による解法の考え方と改訂単体法
– 整数値ナップザック問題による最適性の判定
と列生成
• 動的計画法（DP）
– 動的計画法による整数値ナップザック問題の
解法
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