一般化された体系における cut除去定理の成立条件

一般化された体系における
cut除去定理の成立条件
2007/09/19 SLACS
-1-
目次
• 1. イントロダクション
– 体系を一般化し、cut除去の条件を与えたい
• 2. 各種性質の定義
– essential cut除去
– reductive
– weakly substitutive
• 3. 証明の流れ
– rank と degree による二重数学的帰納法
• 4. 体系の拡張
– 右辺が複数の体系
-2-
様々な体系におけるcut除去定理
体系を一般化
成り立つ
古典論理
LK
直観主義論理
LJ
部分構造論理
FL
FLw
線形論理
LL
様相論理
K
FLce
FLew
成り立たない
FLe
FLwe
FLc
FLcw
S4
S5
MALL
KT
-3-
体系の定義
始式
XX
推論規則
cut規則
構造規則
 X
l , X , r  
(cut)
l , , r  
1  1
......  n  n
( Ri )

論理規則
1  1
......
 n  n
l ,★( X ), r  
1  1
(★l )
......
 n  n
 ★( X )
(★r )
※1. 英字は変数を、ギリシャ文字は変数列を表す
※2. ★は任意の論理記号を表す。
※3.
★(X )
は X1,…,Xn が★で結合された論理式を表す。（例
-4-
∧（X
,Y））
推論規則の条件
1  1
......  n  n
( Ri )

1. 仮定の左辺に現れる変数は全て結論の左辺にも現れる（右辺も同様）
2. 左辺と右辺に共通する変数はない
例
l ,  r  
( w)
l , X ,  r  
l , X ,  r  
(exp)
l , X , X ,  r  
l , , , r  
( sc)
 l , ,  r  
○
○
○
l , 1, r   l ,  2 , r  
l , 1,  2 , r  
○
-5-
X ,   　  , X

, X  , X
×
×
論理規則の条件
1  1
......
 n  n
l ,★( X ), r  
(★l )
1  1
......
 n  n
 ★( X )
(★r )
1. 主論理式以外の変数について、構造規則と同じ条件が成り立つ
2. X1,…,Xn は結論では主論理式の中以外には現れない
3. X1,…,Xn は仮定では高々１回ずつしか現れない
4. １つのシークエントに同じ変数が２つ以上現れることはない
例
 X Y
( r )
  X Y
 X Y  Z
(○
r )
○
( X , Y , Z )
 X  X
(□
r )
  X□
X
○
○
×
-6-
照井, Ciabattoni(2006)の結果
右辺が単数の体系（論理規則はsubstitutive）
reductive かつ
weakly substitutive
essential cut除去
reductive
coherent かつ
propagating
右辺が複数の体系（exchange規則を持つ）
reductive かつ
weakly substitutive
essential
modular cut除去
-7-
目次
• 1. イントロダクション
– 体系を一般化し、cut除去の条件を与えたい
• 2. 各種性質の定義
– essential cut除去
– reductive
– weakly substitutive
• 3. 証明の流れ
– rank と degree による二重数学的帰納法
• 4. 体系の拡張
– 右辺が複数の体系
-8-
essential cut除去
cut除去
LK
essential cut除去
LJ
MALL
ここに入る体系を考える
FLew FL
ce
FL
FLw
全ての論理規則がreductive
全ての推論規則がweakly substitutive
FLcw
-9-
FLc
cut除去が異質な形で成り立つ例1
体系 L 1 … 始式 X  X および以下の推論規則
l , X , Y , r  
(l )
l , X  Y ,  r  
 X
Y
( r )
  X Y
 X
l , X , r  
(cut)
l , , r  
 A B
, A, B,   
(l )
( r )
A∧B
A ∧ B ,    (cut)
  , , ,   
 B
, A, B ,  
(cut)
 A
, ,

,



A
(cut)
, , ,   
( ?)
, ,   
しかし、L 1 ではcut除去が成り立つ
（ (l ) は使う機会がないため）
- 10 -
cut除去が異質な形で成り立つ例2
体系 L 2 … 始式 X  X および以下の推論規則
Z 
X , (, l )
X  Y , Z 
l , X , X , r  
(c )
l , X , r  
l , X ,  r  
(exp)
l , X , X ,  r  
A A
(exp)

A
AA
, (l )
A
A , A ∧ B A
 (cut)
A B  A
(cut)
A A
( l )
A B  A
しかし、L 2 ではcut除去が成り立つ
- 11 -
A A
(exp)
A , A  A (l )
A ∧ B A (l )
A , A  B, A ∧ B A
(c)
A B  A
etc
essential cut除去の準備
1. 前提集合A
… 原子論理式のみからなるシークエントの集合
・ cut規則について閉じている。すなわち、
S S2
S1 , S 2  A かつ　1
(cut) ならば　S0  A
S0
右のような証明図が存在するとき、
Tは前提集合 {S1,...,Sn } から導出可能という
2. 論理階数Ω
T
… 証明図中の論理規則をある法則に従って数えた数
Tが始式または前提集合の要素の場合 (T , D)  0
(I)が構造規則の場合 (T , D)  max
{(Si , D)}
1in
(I)が論理規則の場合 (T , D)  max
{(Si , D)}1
1in
(I)が(cut)の場合
S1  S n




(T , D)  (S1, D)  (S2 , D)
- 12 -
D


S1  S n
(I )
T
essential cut除去
体系L において、任意の論理式S0 について次の２条件が成り立つとき、
L はessential cut除去を満たす、という。
1. S0 が前提集合A から導出可能ならば、S0はA から(cut)なしで導出可能
S1 …… Sn
S1 …… Sn
(cut)
(cut)
S0
S0
2. S0 が前提集合A から導出可能かつcut論理式が全て原子論理式ならば、
S0はA から(cut)なしで論理階数が増えないように導出可能
S1 …… Sn
S1 …… Sn
(cut)
原子論理式
D1
(cut)
S0
論理階数 ( D1)  ( D2 )
- 13 -
S0
D2
essential cut除去2
前述の2つの例ではcut除去は成り立つが、essential cut除去は成り立たない
前述の例(L1)
 A B
, A, B,   
(l )
( r )
A∧B
A ∧ B ,    (cut)
  , , ,   
 B
, A, B ,  
(cut)
 A
, A , ,   
(cut)
, , ,   
( ?)
, ,   
前提集合として {  A,
  B,
, A, B,   } をとると
essential cut除去の条件1を満たさない。
（条件1. S0 が前提集合A から導出可能ならば、S0はA から(cut)なしで導出可能）
- 14 -
essential cut除去3
前述の2つの例ではcut除去は成り立つが、essential cut除去は成り立たない
前述の例(L2)
A A
(exp)
A ,A A
(l )
A , A B  A
A
(cut)
A B  A
A A
( l )
A B  A
A A
(exp)
A, A  A
(l )
A, A  B  A
( l )
A  B, A  B  A
(c)
A B  A
下の変型は論理階数が増加しているため、条件2を満たさない
条件2. S0 が前提集合A から導出可能かつcut論理式が全て原子論理式ならば、
S0はA から(cut)なしで論理階数が増えないように導出可能
- 15 -
essential cut除去
cut除去
L1
LK
essential cut除去
LJ
LL
L2
FLew FL
ce
FL
FLw
全ての論理規則がreductive
全ての推論規則がweakly substitutive
FLcw
- 16 -
FLc
性質1. reductive
(★l ), (★r ) がreductiveである
(★l ), (★r ) の主論理式をcutしたシークエントを論理規則なしで
もとの仮定から導出可能
例
, A  B
  A ' , B  
( r )
( l )
 A B
 ' , A  B,   
(cut)
' , ,   
, A  B ' , B  
(cut)
 A
' , , A  
(cut)
' , ,   
( l ), ( r ) はreductiveである
- 17 -
性質2. weakly substitutive(構造規則)
1  1
......  n  n
( Ri )

がweakly substitutiveである
結論の任意の変数に変数列Φを代入したシークエントは、
仮定の同じ変数にΦを代入したシークエントから構造規則のみで
導出可能
例
l , X , X , r  
(c) の結論の X に Y,Z を代入した場合を考える
l , X , r  
l , Y , Z , Y , Z ,  r  
( e)
l , Y , Y , Z , Z ,  r  
(c )
l , Y , Z , Z ,  r  
(c )
l , Y , Z ,  r  
l , Y , Z , Y , Z , r  
( sc)
l , Y , Z , r  
(c)は (sc) または (e) を持つ体系では weakly substitutive である
- 18 -
性質2. weakly substitutive(論理規則)
1  1
......
 n  n
l ,★( X ), r  
(★l )
がweakly substitutiveである
結論の主論理式以外の任意の変数に変数列Φを代入した
シークエントは、仮定の同じ変数にΦを代入したシークエントから
構造規則と縦に高々１回の (★,l) のみで導出可能
例
X , Z 
(, l )
X  Y , Z 
の Z に空列を代入した場合を考える
X 
(exp)
X , X   (l )
X ∧ Y  (l )
X , X Y ,X
∧ Y 
(c)
X Y  
(∧l)を縦に２回使っているため、weakly substitutive でない。
(★,r )のweakly substitutiveの定義も同様
- 19 -
目次
• 1. イントロダクション
– 体系を一般化し、cut除去の条件を与えたい
• 2. 各種性質の定義
– essential cut除去
– reductive
– weakly substitutive
• 3. 証明の流れ
– rank と degree による二重数学的帰納法
• 4. 体系の拡張
– 右辺が複数の体系
- 20 -
十分性の証明
全ての論理規則がreductive
全ての推論規則がweakly substitutive
essential cut除去
証明の手法
• cut規則を拡張したn-cutを定義
– 構造規則が自由に使えないため、mix規則のように大きい拡張はできない
• degreeとrankの２重数学的帰納法による
– ゲンツェンによるcut除去と同様、degree と rank を定義
– n-cut の制限と前提集合A の存在により、複雑な手順が必要
– essential cut除去を示すためには、論理階数も考慮
- 21 -
degree と rank
degree …
例
論理式中の論理結合子の数
V  (W  ( X  Y  Z )) の degree は 4
l-rank … cut論理式が左上に連続して出現する最大の段数
r-rank … cut論理式が右上に連続して出現する最大の段数
rank
例
= l-rank + r-rank
XX
Z  Z (w)
( w)
X,Z  X
X,Z  Z
(r )
X , Z  X∧Z
Y, X , Z  X
l-rank = 1 r-rank = 2 rank = 3
- 22 -
XX
(l )

X
X∧Z
)
Y , X ∧ Z  X (w
(cut)
n-cut
cut規則を拡張した以下の規則を用いる
 X
1 , X , 2 , X ,...,n , X , n1  
(n  cut)
1, , 2 , ,...,n , , n1  
ただし、l-rank > 1 ならば n = 1
証明の手順
• 証明図中の(cut)を全て(1-cut)に書き換える
• 証明図中で最も上にある(1-cut)に着目
• degree と rank による２重数学的帰納法
– 1. 1-cut のままl-rank を下げる
– 2. l-rank =1 となったら、r-rank を下げる（この過程でnが増加）
– 3. l-rank = r-rank = 1 となったら、
• degree が下がり、1-cutのみになる。 1.へ戻る
• そのまま除去できる
• degree = 1 のときは論理階数が増加しないことも確認する
- 23 -
具体例(手順 1. l-rank を下げる)
weakly substitutive

AC D
 (結論に代入したものは仮定に代入したものから導出可能)
( w)
A, B  C∧D
C　∧ DE
(1  cut)
A, B  E


∧ D
C　∧ D E
AC
(1  cut)
A E
( w)
A, B  E
C ∧ D に E を代入
- 24 -
具体例(手順 2. r-rank を下げる)
AC
A D
(r )
CE
( w)
C, C  D  E (l )
C  D, C  D  E
weakly substitutive
(c )
CE
( w)
C, C  D  E (  l )
AC A D
(

r
)
C
∧
D
C　∧ D E
A  AC
∧ D
C ∧ D , C ∧ D  E (1  cut)
( 2  cut)
AE
E
A, A 
(c ) ( w)
A,EB  E
A
( w)
C ∧ D に A を代入
A, B  E
- 25 -
具体例(手順 2. r-rank を下げる)
weakly substitutive
AC A D
CE
( w)
(r )
∧ E
∧ D
D E
A  C　CC,C
(1) cut )
(w
AC A D AC A
DC , A CE, C  D  E
(r )
( l )
(l )
(

r
)
A C
,
A

E
C
∧
D
∧ D
AC
∧ D
C ∧ D(1 ,C
cut∧) D  E ( 2  cut)
A, A  E
(c ) A, A  E (c ) C ∧ D に A を代入
A  E ( w) A  E
( w)
A, B  E
A, B  E
- 26 -
具体例(手順 3. cutを除去もしくはdegreeを下げる)
weakly substitutive
C ∧ D に A を代入
reductive
CE
( w)
AC A D
C, A  E
( l )
(r )
C ∧ D, A  E
A  C∧D
(1  cut)
A  C A AD, A  E C  E
( w)
(r )
(c )
∧ D A  E C ,C
∧ D E
A  C　(1  cut )
( w)
AC A D
CA, ,AB
E
 E ( l )
(

r
)
C  EA  C
C ∧ D ,A E
( w　) ∧ D
(1  cut)
C, A  E
A C
A
,
A

E
(1  cut)
(c )
A, A  E
A  E ( w)
(c )
A  E ( w)
A, B  E
A, B  E
- 27 -
具体例(手順 4. degreeを下げて手順1から繰り返す)
weakly substitutive
前提集合はcut規則について閉じている
A C
CE
(1  cut)
A E
( w)
C に A を代入
A, A  E
(c )
A  E ( w)
これも前提集合に含まれる
A, B  E
CE
A E
( w)
( w)
C, A  E
A C
A, A  E (c )
(1  cut)
A, A  E
A  E ( w)
(c )
A, B  E
A  E ( w)
A, B  E
essential cut除去が成立！
- 28 -
目次
• 1. イントロダクション
– 体系を一般化し、cut除去の条件を与えたい
• 2. 各種性質の定義
– essential cut除去
– reductive
– weakly substitutive
• 3. 証明の流れ
– rank と degree による二重数学的帰納法
• 4. 体系の拡張
– 右辺が複数の体系
- 29 -
右辺が複数の場合への拡張
体系の定義
推論規則
cut規則
  l , X ,  r
l , X , r  
l , , r  l , ,  r
論理規則（右）
(cut)
1  1
......
 n  n
  l ,★( X ),  r
(★r )
条件の定義
•
•
essential cut除去、reductive、weakly substitutive などの定義は、今まで
のものをほぼそのまま拡張
前提集合の定義に条件を１つ追加
- 30 -
体系の定義
始式
XX
推論規則
cut規則
  l , X ,  r
構造規則
l , X , r  
l , , r  l , ,  r
(cut)
1  1
......  n  n
( Ri )

論理規則
1  1
......
 n  n
l ,★( X ), r  
•
•
1  1
(★l )
......
 n  n
  l ,★( X ),  r
(★r )
essential cut除去、reductive、weakly substitutive などの定義は、今まで
のものをほぼそのまま拡張
前提集合の定義に条件を１つ追加
- 31 -
右辺が複数の場合の十分性の証明
cut規則を拡張した以下の規則を用いる
  l , X , r
1 , X , 2 , X ,...,n , X , n1  
(nl  cut)
n
n
1 , , 2 , ,...,n , , n1  l , , r
  1 , X , 2 , X ,...,n , X , n1
l , X ,  r  
(nr  cut)
ln , , nr  1 , , 2 , ,...,n , , n1
前提集合の要素に応じて、nl-cutとnr-cutに優先順位を付ける。
それに応じて変型を行えば、essential cut除去を示すことができる。
- 32 -
まとめと今後の課題
• まとめ
– cut除去の一般的な特徴づけを行った
– 統語論的な証明を行った
– exchange規則を仮定しなくてもよいように
• 条件を加えて essential cut除去とした
• weakly substitutive の定義を多少変更した
• 今後の課題
– 様相論理を含むように拡張
– 定義をシンプルに改良
- 33 -
主な参考文献
• A. Ciabattoni and K. Terui. "Towards a semantic
characterization of cut-elimination". Studia Logica.
Vol. 82(1). pp. 95 - 119. 2006.
• A. Ciabattoni and K. Terui. "Modular CutElimination: Finding Proofs or Counterexamples".
Proceedings of Logic for Programming and
Automated Reasoning (LPAR'2006), LNAI. Phnom
Pehn, November 2006.
- 34 -
ご清聴ありがとうございました。
- 35 -

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