t

応用数学Ⅱ
（３）
§3 線形１階変係数常微分方程式の解法
1. 定数変化法
2. 積分因子を用いる計算手順
3. ベルヌーイの微分方程式他
1
１．定数変化法
未知関数 y の係数が独立変数 t の関数になっている方程式
dy
 P(t ) y  R(t )
dt
解法（1）
(3.1)
R(t)  0 の場合：斉次（同次）形の微分方程式
dy
 P(t ) y  0
dt
変数分離法
dy
  P(t )dt
y
dy
 y   P(t )dt
t
ln y    P(t)dt   C1
t
t
P ( t  ) dt C1
  P ( t  ) dt 

ye
 Ce

一般解
2
１．定数変化法
解法（2）
R(t)  0 の場合：非斉次（非同次）形の微分方程式
dy
 P(t ) y  R(t ) (3.1)
dt
定数変化法
← 可能か否か試みよう
① 斉次形方程式の一般解を求める
②
t
P( t  )dt 

y  Ce
斉次解の定数Cを  (t ) で置き換える

t
P(t  )dt 

y  t   e

③ 非斉次形方程式に仮定した解を代入する
t
t
  P t dt 
dy d   P( t)dt
左辺第１項
 e
 (t)   P  t  e
dt dt
左辺第２項 P  t   y  (t)P  t   e 

t
P( t )dt
3
１．定数変化法
解法（2）
R(t)  0 の場合：非斉次（非同次）形の微分方程式
dy
 P(t ) y  R(t ) (3.1)
dt
定数変化法
③ 非斉次形方程式に仮定した解を代入する
  P( t )dt 
  P( t  )dt 
d   P( t)dt
e
P  t   e
P  t   e
 R(t)
dt
t
t
t
P( t )dt 
d

 e
 R t
dt
 (t ) の方程式を解く（変数分離法）
t
④
(t)  
t
R  t   e 
t
P( t  )dt
dt
4
１．定数変化法
解法（2）
R(t)  0 の場合：非斉次（非同次）形の微分方程式
dy
 P(t ) y  R(t ) (3.1)
dt
定数変化法
⑤ 仮定した式形にもどすと特解が得られる

y    R  t   e 

t
t
  P( t)dt
dt  e

P( t  )dt 

t
特解
⑥ 非斉次形方程式の一般解＝特解＋余関数（斉次形方程式の一般解）
 t
y    R  t   e 

t

   R  t   e 

t
t
  P( t )dt 
   P( t)dt
dt  e
 Ce

P( t  )dt 
t
t
一般解
  P( t)dt
dt  C   e

P( t  )dt 

t
5
１．定数変化法
Ex1) dy  2 y  2t 2
dt
t
(y  1 at t  1)
① 斉次形方程式の一般解を求める
1 dy 2

y dt t
両辺積分して
log y  2log t  C1
④
 (t ) の方程式を解く（変数分離法）
 (t )  2t  C
⑤⑥ 仮定した式形に戻すと一般解を得る
y  Ct 2  2t 3
⑦ 初期条件を代入する
y  t 2  2t 3
斉次解は
y  Ct 2
② 斉次解の定数Cを  (t ) で置き換える
③ 非斉次形方程式に仮定した解を代入
d (t )
2 (t )t 2
t
 2 (t )t 
 2t 2
dt
t
d (t )
 2
dt
2
6
１．定数変化法
平成１９年度期末試験問題
Ex2) dy
 x2
  2 x  1 y  e ( y (0)  0)
dx
2
d ( x )  x2  x
e
  ( x )  2 x  1 e  x  x
dx
  2 x  1  ( x )e  x
① 斉次形方程式の一般解を求める
斉次方程式：
1 dy
 2 x  1
y dx
x
斉次解は y  Ce
④
2
 e x
2
 ( x ) の方程式を解く（変数分離法）
 ( x )  e  x  C
2
x
② 斉次解の定数Cを  ( x ) で置き換える
y    x  e x
x
2
d ( x )  x2  x
e
 e x
dx
d ( x )
 e x
dx
dy
  2 x  1 y  0
dx
両辺積分して
log y   x 2  x  C1
2
x
⑤⑥ 仮定した式形に戻すと一般解を得る
y   e  x  C  e  x
 e
 x2
x
 x2  x
⑦ 初期条件を代入する
y  e  x  e  x
2
③ 非斉次形方程式に仮定した解を代入
 Ce
2
2
x
7
２．積分因子を用いる計算手順
未知関数 y の係数が独立変数 t の関数になっている方程式
dy
 P(t ) y  R(t ) (3.1)
dt
解法
積分因子
(t ) が存在する場合
d(t )
d(t )
if (t ) P(t ) 

 P(t )dt
dt
(t )
t
P ( t  ) dt 

ln (t )  P(t )dt  (t )  e

t
(t ) を式(3.1)の両辺に乗ずると
dy
(t )  (t ) P(t ) y  (t ) R(t )
dt
dy d(t )
then (t ) 
y  (t ) R(t )
dt
dt
8
２．積分因子を用いる計算手順
未知関数 y の係数が独立変数 t の関数になっている方程式
dy
 P(t ) y  R(t ) (3.1)
dt
解法
積分因子
(t ) が存在する場合
dy d (t )
d
(t ) 
y  [ y (t )(t )]  (t ) R(t )
dt
dt
dt
t
y (t )(t )   (t ) R(t )dt 
t
y (t )  (t )   (t ) R(t )dt 
1
y (t )  e 

t
P ( t  ) dt 
 
  e

t
t
P ( t  ) dt 

R(t )dt   C 

9
２．積分因子を用いる計算手順
未知関数 y の係数が独立変数 t の関数になっている方程式
dy
 P(t ) y  R(t ) (3.1)
dt
手順
積分因子
(t ) が存在する場合
Step1
Step3
積分因子(t )  e
t
P ( t  ) dt 
Step2
両辺に(t )を掛ける
y (t )   (t )
 (t)R(t)dt  C 
t
Step4
y (t )  e 

d
[ y(t )(t )]  (t ) R(t )
dt
1
t
P ( t  ) dt 
 t 
  e

t
P ( t  ) dt 

R(t )dt   C 

t
y (t )(t )   (t ) R(t )dt   C
10
Ex1)
dy 2 y t  1

 2 ( y  0 at t  1)
dt
t
t
2
P(t ) 
t
2
dt
2

t
(t )  e
 e2ln t  eln t  t 2
d  (t )
dt
t 1
(t ) R(t )  t 2  2  t  1
t
(t ) P(t )  2t 
dt
 (1  t ) y  e t
( y  0 at t  1)
dy (1  t )
e t

y
dt
t
t
(t ) P(t )  (1  t )et 
  (t)R(t)dt  C 
d  (t )
dt
et
 (t ) R(t )  t  e 
1
t
 (t ) R(t )dt
t
et
  te
dt   dt  t  C
t

1 t

y (t )  2   t  C 
t 2

t
2
1 1

0   1  C 
1 2

t
1t
dt
1 t

t
P(t ) 
(t )  e
 e(ln t t )  tet
t
t2
 (t ) R(t )dt   (t  1)dt  2  t  C
y (t )  (t ) 1
Ex2) dy
y(t )  (te t ) 1 t  C   e t (1 
C 
1
2
1  t2
1  1  t 1 
y (t )  2   t    

t 2
2 2 t 
0  e 1 (1 
2
C
)
1
C
)
t
 C  1
1
y(t )  (te t ) 1 t  C   e t (1  )
t
11
３．ベルヌーイの微分方程式
n=0のとき，1階線形微分方程式
dy
 P (t ) y  Q (t ) y n
dt
n=1のとき，1階線形斉次微分方程式
n≧2のとき，1階線形微分方程式？
1階線形微分方程式に変換可能な場合
手順
上式と1階線形微分方程式の違いは？
→ 右辺に y n の因子があること
n
試しに両辺を y で割ってみると
y
n
dy
 P(t ) y1n  Q (t )
dt
z  y1n

yz
1
1 n
とおくことにすると
dy
dy dz

dt
dz dt
1
n
dy
1 1n 1
1 1n

z

z
dz 1  n
1 n
12
３．ベルヌーイの微分方程式
dy
 P (t ) y  Q (t ) y n
dt
手順
n=0のとき，1階線形微分方程式
n=1のとき，1階線形斉次微分方程式
n≧2のとき，1階線形微分方程式？
1階線形微分方程式に変換可能な場合
ベルヌーイの微分方程式に代入すると
1
n
dy dz
 P(t ) z 1n  Q(t ) z 1n
dz dt
1
n
1 1nn dz
z
 P(t ) z 1n  Q(t ) z 1n
1 n
dt
dz
 (1  n) P(t ) z  (1  n)Q(t )
dt
ベルヌーイの微分方程式が1階線形微分方程式に変換できた！
13
３．ベルヌーイの微分方程式
Ex1)
2 y  y  ty 3
さらにnの値と関数を代入し，式(3.1)と比較すると
dz
 z  t
dt
dy 1
t
 y  y3
dt 2
2
P(t )  
1
2
z  y 2
Q (t ) 

P(t )  1
t
2
yz
n3

1
2
dy
dy dz

dt
dz dt
dy
1 113 1
1  23

z
 z
dz 1  3
2
これらをベルヌーイの微分方程式に代入すると
dz
 (1  n) P(t ) z  (1  n)Q(t )
dt
R(t )  t
 t
z (t )    R(t )e 

t
P ( t  ) dt 
z (t ) 

t
t
t
P ( t  ) dt 

Ce

   P ( t) dt
dt   e


( t )etdt  e  t  Ce  t
z (t )  (te t  et )e t  Ce t
 (t  1)  Ce t
y (t )  z (t )

1
2
 (t  1)  Ce
1
t  2

14
３．ベルヌーイの微分方程式－ロジスティック曲線－
Ex2) 一定地域に生息する生物の集団を考え，その個体数をN(t)（t：時間）とする。
単位時間あたりの出生率：a，死亡率：bとすると，  a  b は増殖率を表す。
dN (t )
 a N (t )  b N (t )   N (t ) (1)
dt
しかし，実際には，個体数が多くなるに従って，増加率は減少する傾向にある。
例えば，一つのモデルとして増殖率が (   N ) となる場合，以下のような
ロジスティック方程式が得られる。
dN (t )
    N (t )  N (t ) (2)
dt
dN (t )
  N (t )   N (t ) 2 (2) '
dt
← ロジスティック方程式
式(1)はベルヌ－イの微分方程式の形をしている。
P(t )  
z  N (t )1
Q(t )  

n2
N (t )  z 1 とおくと，式(1)は
dN (t )
dN (t ) dz

dt
dz dt
dN (t )
  z 2
dz
15
３．ベルヌーイの微分方程式－ロジスティック曲線－
Ex2)
dz
z
  z 1   z 2 dt
dz
  z   (3)
dt
2
ベルヌ－イの微分方程式(2)は，線形１階変係数常微分方程式に変換できたので，
線形１階変係数常微分方程式(3.1)の一般解が次式で与えられることを考慮して，
dy
 P(t ) y  R(t )
dt
P(t )  
ze
 t
R(t )  
y (t )  e 

t
P ( t  ) dt 
 
  e

t
t
P ( t  ) dt 



R(t )dt  C 

を代入すると，式(3)の一般解・特解は以下のように表さ
  t
 
 t
e

C


Ce




 
したがって，式(2)の一般解は

N (t ) 
  C e t
れる。
ａ）非斉次方程式の一般解＝特解＋余
関数（斉次方程式の一般解）
dy
 Ay  K において
ｂ）微分方程式
dt
A，Kが定数の場合，
y
K
は特解となる。
A
16
３．ベルヌーイの微分方程式－ロジスティック曲線－
Ex2) 一般解：

N (t ) 
  C e t
初期条件（t=0の時，N=N0）とすれば， C  (  N0 ) /  N0 となるため，
 N 0 e t
N (t ) 
   N 0 (e t  1)
上式は下図のようなS字状の曲線を表す。この曲線をロジスティック曲線という。
17
３’．リッカチの微分方程式
dy
 p(t ) y 2  q(t ) y  r (t )  0
dt
手順
この式は一般に求積法（有限回の積分で解を表
す）では解けないが，特解がわかれば一般解が
求められる。
特解の１つが判明している場合
例えば (t )を特解の１つとすると
y  z (t )   (t )
d ( z (t )  (t ))
 p(t )( z (t )  (t )) 2
dt
 q(t )( z (t )  (t ))  r (t )  0
dz
 (2 p(t )(t )  q(t )) z   p(t ) z 2
dt
ベルヌーイの微分方程式 n=2
v  z12
 z  v 1
dv
 (2 p(t )(t )  q(t ))v  p(t )
dt
dz (t )
 p(t ) z (t )2  (2 p(t )(t )  q(t )) z (t )
dt

t
  t (2 p ( t  )  ( t )  q ( t )) dt 
d  (t )
v (t ) 
p(t )e
dt   C

 p ( t )  ( t ) 2  q( t )  ( t )  r ( t )  0
dt
t
(2 p ( t  )  ( t )  q ( t )) dt 
dy
2

 p(t ) y  q(t ) y  r (t )  0 となるので
e
dt
1

dz (t )
 p(t ) z(t )2  (2 p(t )(t )  q(t )) z(t )  0
dt

z  v (t )
y  z (t )   (t )
18
３’．リッカチの微分方程式
2
dy 2 y
Ex)
 4   x 2 (1)
dx x
特解：y   x 3 
y  z  x   x 3　(2)
式(2)の両辺をxで微分すると
dy dz

 3x 2 (3)
dx dx
式(2)と式(3)を式(1)に代入すると
dz
2
2
3 2
 3x  4  z  x   x 2  0
dx
x
dz 2 2 4
 4 z  z0
dx x
x
dz 4
2 2
 z   4 z (4)
dx x
x
式(4)はベルヌ－イの微分方程式である。
P(t )  
4
x
Q (t )  
v  z12
2
x4
n2
z  v 1

dv 4 1
2
 v   4 v 2
dx x
x
dv 4
2

 v  4 (5)
dx x
x
v 2
式(5)のような線形１階変係数常微分方程式の一般
解が次式で与えられることを考慮して，
 (t )  e 

t
P ( t  ) dt 
P(t ) 
4
x
 t
   e

t
P ( t  ) dt 
R(t ) 

R(t )dt   C 

2
x4
2x  C
x4
v( x ) 
 z ( x ) 
4
x
2x  C
y  z (t )   (t )
x4

 x3
2x  C
19
３’’．ラグランジェの微分方程式（ダランベールの微分方程式）
y  xf ( y ')  g ( y ')　(1)
手順
y’=pとおいて
y  xf ( p)  g ( p)　(2)
の両辺をxで微分すると
dp
dp
p  f ( p)  xf '( p)  g '( p) (3)
dx
dx
f ( p)  p  0 が恒等的に成り立つとし，
pを独立変数，xを従属変数とみなすと
式(3)は
dp
dp
f ( p )  p  xf '( p )  g '( p )
0
dx
dx
1
dx


f ( p )  p dp を両辺すると
dx ( p )
f '( p )
g '( p )

x( p) 
0
dp
f ( p)  p
f ( p)  p
上式はx(p)に関する線形微分方程
式であるから，定数変化法で解くこ
とができる。
その解を
x   ( p, c)　(4)
（cは任意定数）
とすると，式(2)と式(4)は式(1)の一
般解を与える。ただし，両式はpを
パラメータとした表記である。
さらに，
両式からpを消去できれば，解は
f ( x, y, c)  0 という形で求められる。
20
３’’．ラグランジェの微分方程式（ダランベールの微分方程式）
Ex)
y  2 xy  ( y ')2 (1)
p  y'
y  2 xp  p 2 (2)
f (p)  2 p
g (p)  p
2
線形１階変係数常微分方程式の一般解が次式で与
えられることを考慮して，

p

p 2
x( p)  e 
e
p
dp 
式(2)の両辺をxで微分すると
dp
dp
p  2 p  2x
 2 p (3)
dx
dx
dp
dp
2x
 2p  p  0
dx
dx

1 dx
p dp
を上式の両辺にかけると
dx 2
 x  2　(4)
dp p
P(p)  2 p
R(p)  2
e
 p 
  e

p

p 
  2  e


p
P ( p  ) dp 
2log p


P ( p  ) dp 
2
dp 
p 



R ( p )dp  C 


dp  C 


p
 2  e 2log pdp   C


p
 2 3

 p 2  2  p2 dp  C  p 2  
p C
 3

C 2
 x ( p )  2  p (5)
p
3
式(2)に式(5)を代入すると
2C p 2
y ( p) 

(6)
p
3
式(5)と式(6)からpを消去すると
f ( x, y, c)  3x 2 y 2  4 y 3  C(4 x 3  6 xy  C )  0
21
問題
次の微分方程式を括弧内の初期条件のもとで解きなさい。
（１）
dy
 ty  t ( y (0)  2)
dt
（２）
dy
y
 2  4 x ( y (1)  2)
dx
x
（Ｈ１８年度期末試験問題）
22

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