魔方陣講義第６回特殊領域による魔方陣の生成目次        特殊領域の復習特殊種の特徴特殊種の本質任意の特殊種を組み合わせてよいか？自分自身と組み合わせると？これは魔方陣か？１行目の順列を変更したら？       魔方陣か？では組み合わせるべき特殊種は？魔方陣完成組み合わせるべき種は？直交する種とは？特殊種の組み合わせで魔方陣は何個できる？特殊領域の復習  特殊領域とは、特殊種のすべてからなる集合  特殊種とは下図のようにどの行・列・対角線を見ても異なる数字のみで構成されている種  1 0 3 2 2 3 0 1 0 1 2 3 3 2 1 0 種とは方陣に０～３までの数字が４つずつ入っておりすべての行・列・対角線の合計が同じになっている方陣特殊種の特徴 0 1 2 3 1 3 2 1 0 2 3 1 0 3 2 1 0 2 3 0 1 1 0 3 2 2 3 0 0 1 3 2  １行目の行の順列は任意のものを入れることができる。  上の場合は１０３２であるが、例えば０１２３と変更してよい。ただし、そのときは２行目以降も１→０，０→１，３→２，２→３とする。  0 1 2 3 0 1 2 3 3 2 1 0 2 3 0 1 1 0 3 2 3 2 1 0 2 3 0 1 1 0 3 2 特殊種の本質  したがって、特殊種の本質は１行目の順列にあるのではない。  本質は０１２３がどのように動いていくかである。  １行目順列を０１２３に限定するとき、４方陣の特殊種は２種類しかない。それは上の二つである。  任意の特殊種を組み合わせてよいか？  特殊領域内の任意の要素を組み合わせて魔方陣は作れるだろうか。  それとも組み合わせには制約があるのだろうか。自分自身と組み合わせると？ 1 0 3 2 2 3 0 1 0 1 2 3 3 2 1 0 11 22 00 33 00 33 11 22 33 00 22 11 22 11 33 00 １０進数に翻訳しすべてに１加えると 1 0 3 2 2 3 0 1 0 1 2 3 3 2 1 0 ６ 11 １ 16 １ 16 ６ 11 16 １ 11 ６ 11 ６ 16 １これは魔方陣か？６ 11 １ 16 １ 16 ６ 11 16 １ 11 ６ 11 ６ 16 １  確かにどの行・列・対角線の合計も３４にはなっている。  しかし、１から１６までの数字を１個ずつ使うという大原則を満たしていないから魔方陣ではない。１行目の順列を変更したら？ 1 0 3 2 2 3 0 1 0 1 2 3 3 2 1 0 10 23 01 32 01 32 10 23 32 01 23 10 23 10 32 01 １０進数に翻訳しすべてに１加えると 0 1 2 3 3 2 1 0 1 0 3 2 2 3 0 1 ５ 12 ２ 15 ２ 15 ５ 12 15 ２ 12 ５ 12 ５ 15 ２魔方陣か？５ 12 ２ 15  ２ 15 ５ 12 15 ２ 12 ５ 12 ５ 15 ２先ほどと同様にして魔方陣ではない。では組み合わせるべき特殊種は？ 0 1 2 3 3 2 1 0 1 0 3 2 2 3 0 1 00 32 13 21 11 23 02 30 22 10 31 03 33 01 20 12 １０進数に翻訳しすべてに１加えると 0 1 2 3 2 3 0 1 3 2 1 0 1 0 3 2 １ 15 ８ 10 ６ 12 ３ 13 11 ５ 14 ４ 16 ２９７魔方陣完成１ 15 ８ 10    ６ 12 ３ 13 11 ５ 14 ４ 16 ２９７どの行・列・対角線の合計も３４１から１６までの数字が１個ずつ入っている。よって、正解。組み合わせるべき種は？  互いに直交する種である。（旧魔方陣HPでは互いに独立と呼んだが、ここでは一般的な用語法に従う。）直交する種とは？ 00 32 13 21  11 23 02 30 22 10 31 03 33 01 20 12 ００を座標（０，０）と見なすと（０，０），（３，０），（３，３），（０，３）を頂点とする正方形の各格子点に点が１つずつ入る組み合わせ。４方陣の場合は、本質的に異なる種が直交する種である。特殊種の組み合わせで魔方陣は何個できる？  ２×４！×４！＝１１５２個  ４！は１行目に入れることのできる順列の総数  最初の２は種の対称性からくる。対称性の意味は、二つの種Ａ，Ｂを組み合わせるとき、（Ａを一の位、Ｂを十の位）としても、（Ａを十の位、Ｂを一の位）と考えてもいいということ。続く