相関分析 売上と広告費のデータ 売上 広告費 売上 広告費 12.23 4.69 12.27 5.15 11.84 6.41 12.57 5.25 12.25 5.47 8.87 1.72 11.1 3.43 11.15 3.04 10.97 4.39 11.86 4.92 8.75 2.15 11.07 4.85 7.75 1.54 10.38 3.13 10.5 2.67 8.71 2.29 6.71 1.24 12.07 4.9 7.6 1.77 12.74 5.75 12.46 4.46 9.82 3.61 8.47 1.83 11.51 4.62 売上と広告費の散布図 14 12 売上(1千万円） 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 広告費(1千万円） 5 6 7 共分散 Yi = i 期の売上, Xi = i 期の広告費 Cov( X,Y) = X = 売上の平均 Y = 広告費の平均 1 n Xi - X Yi - Y n - 1 i=1 共分散の符号の意味 Xi - X Yi - Y < 0 Xi - X Yi - Y < 0 Y Xi - X Yi - Y < 0 Xi - X Yi - Y > 0 X 共分散の符号の意味 Y Y X X Cov(X,Y) > 0 Cov(X,Y) < 0 相関係数 r XY = Cov( X,Y) sX sY = Σ Xi - X Xi - X -1 ≦ r XY ≦ 1 2 Yi - Y Yi - Y 2 売上－広告費の相関係数 売上 売上 広告費 広告費 1 0.91627 1 相関係数の検定 帰無仮説 H0 : ρ= 0 対立仮説 H1 : ρ≠0 検定統計量 t=r n-2 1 - r2 t の分布 r →±1 ⇒ t →∞ r →0 ⇒ t→0 棄却限界値 -3 -2 -1 0 1 2 3 売上－広告の相関係数の検定 t = 0.916 = 14.852 22 1 - 0.916 偏相関 X = 広告費, Y = 売上, Z = クーポン割引率 rXY,Z = rXY - rXZ rYZ 2 ( 1 - r XZ) 2 ( 1 - rYZ) 相関分析に関する注意点 • 相関係数から因果関係を導くことはできない。 • 無相関 ≠ 独立 回帰分析 16 14 売上(1千万円） 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 広告費(1千万円） 5 6 7 単回帰分析 Yi = β0 + β1Xi + εi Yi = i 期の売上 Xi = i 期の広告費 εi = モデルの誤差項 回帰分析における仮定 1. 誤差項は正規分布に従う。 2. 正規分布の平均はゼロである。 3. 誤差項の分散は一定で、説明変数と独立である。 4. 各観測期間の誤差項は独立である。 5. 説明変数は確率変数ではない。 パラメータの推定 最小二乗推定量 yi = b0 + b1 Xi b1 = nΣXiYi - ( ΣXi) ( ΣYi) nΣX2i - ( ΣXi) yi = Yi の予測値 b0 = Y - b1 X 2 推定値の標準誤差 sb1 = s Σ Xi - X sb0 = s 1 n 2 = n -2 + X 2 2 Σ Yi - Y 1 Σ Xi - X 2 Σ Xi - X 2 回帰分析の検定 帰無仮説 H0 : β1= 0 対立仮説 H1 : β1≠0 検定統計量 t= b1 - β1 sb1 モデルの精度・決定係数 2 Σ(Yi - Y ) = Σ (yi - Yi )2 + Σ (Yi - yi )2 r2 = Σ (yi - Yi )2 Σ(Yi - Y )2 売上－広告費の回帰分析 yi = 6.597 + 1.060Xi (16.340) 決定係数 r2 = 0.839 (10.454) 重回帰分析 Yi = α + β1X1i + β2X2i +...+βkXki + εi 標準化回帰係数 標準化 βi = bi Xi の標準偏差 Y の標準偏差 売上・広告費の重回帰モデル Yi = α + βXi + βλXi - 1 + βλXi - 2 +...+εi , Yi = α* + λYi - 1 + βXi + ε*i ただし α* = ( 1 - λ) α, ε*i = εi - λεi 0<λ<1 売上－広告費の重回帰分析 yi = 7.572 - 0.102 Yi - 1 + 1.086Xi (8.116) (-1.156) 決定係数 r2 = 0.848 (10.539)
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