計算の理論 I －数学的概念と記法－

計算の理論 I
ー正則表現とFAの等価性ー
月曜３校時
大月美佳
連絡事項
 美観
– 自転車放置が目立つ
– 玄関先のタバコ
 JABEE
– 評価項目
– シラバスの変更
– 追加レポート(来週あたり)
今後のスケジュール（案）
回数
8
9
10
11
12
13
14
日付
6/10
6/17
6/24
7/1
7/8
7/15
7/22
内容
正則表現とFAの等価性
Myhill-Nerode の定理と最小化
文脈自由文法（CFL)
標準形
プッシュダウンオートマトン(PDF)
PDFとCFLの等価性
おわりに
今日の講義内容
1. 前回のミニテストの補足
1. 正則表現とことば
2. 今日の新しいこと
1. 正則表現とFAの等価性
1. 正則表現からのε-動作を含むNFAの作り方
→ 例2.12 (p. 42)
2. DFAからの正則表現の作り方
→ 例2.13 (p. 45)
前回のミニテスト補足
(演習問題 2.11, p. 66)
「次の正則表現が表すのはどんな集合か、
ことばで説明せよ。」
性質を表す言葉⇔正則表現
の変換が重要（仕様はことばでしか来ない）
(11+0)*ってどんな集合？
 あり得る記号列
– 01101111001101111011111111
– 偶数(0, 2, 4, ..)個連続する1と任意の数(0, 1,
2, …)連続する0が含まれる列
 あり得ない記号列
– 011011110011101111011111111
– 奇数個連続する1を一つでも含む列
1が偶数個連続する記号列の集合
(00+1)*ってどんな集合？
 あり得る記号列
– 00100110000001100111000011111
– 偶数(0, 2, 4, ..)個連続する0と任意の数(0, 1,
2, …)連続する1が含まれる列
 あり得ない記号列
– 0010011110001100111000011
– 奇数個連続する0を一つでも含む列
0が偶数個連続する記号列の集合
もうちょっと正規表現
慣れるためには、訓練が必要。
1. (00+1)*のバリエーション
(000+1)* : 0の個数が3の倍数連続
(0000+1)* : 0の個数が4の倍数連続
2. 記号の連続の制限
(1+01)*(ε+0) : 2個以上続く0を含まない
3. いろいろと当たってみる
演習問題2.10, 2.11(p. 66)
今日の新しいこと
1. 正則表現とFAの等価性
NFA
ε-動作を含む
NFA
DFA
正則表現
1.
正則表現からのε-動作を含むNFAの作り方
→NFAの生成例 (例2.12, p. 42)
2.
DFAからの正則表現の作り方
→正則表現の生成例 (例2.13, p. 45)
正則表現からのε-動作を含む
NFAの作り方
証明(定理2.3 p. 39～)と同じ手順
1. 括弧つきに書き換える
(00+1) → ((00)+1)*
*
2. 分解していく
1.
2.
3.
+
r = r 1*
r1 = r2+r3, r3 =1
r2 = r4+r5, r4 =1 , r5 =1
連接
0
1
0
NFAの作り方
(NFAに変換 1)
3. 末端（最小構成)をFAに変換する
1. r =ε
開始
q0
*
2. r =○
開始
q0
+
qf
3. r = a
開始
連接
q0
a
qf
0
1
0
NFAの作り方
(NFAに変換 2)
3. 末端から根に向かってどんどん変換す
る
1. r =r1+r2
*
→ 定理2.3 (1)、図2.14 (a)
2. r =r1r2
+
→ 定理2.3 (2)、図2.14 (b)
3. r = r1*
→ 定理2.3 (3)、図2.14 (c)
連接
0
1
0
NFAの作り方
(図2.14 (a))
最終状態が1個だけ
r1 のNFA
開始
q1
f1
開始
q1
f1
ε
r2 のNFA
開始
q2
f2
+
ε
q0
f0
ε
ε
q2
f2
NFAの作り方
(図2.14 (b))
最終状態が1個だけ
r1 のNFA
開始
q1
f1
r2 のNFA
開始
q2
f2
開始
q1
f1
q2
f2
連接
NFAの作り方
(図2.14 (c))
最終状態が1個だけ
r1 のNFA
開始
q1
f1
*
開始
q0
ε
ε
ε
q1
f1
ε
f0
どんどんやってみる
1
q5
q7
開始
q１
0
q6
q２
ε
q3
0
やってみ
てね
*
q8
q4
+
q１
0
q２
ε
q3
0
連接
q4
1
1
q5
開始
0
0
q２
q3
0
0
q１
開始
開始
開始
q4
q6
NFAの生成例
(例2.12, p. 42)
正規表現 : 01*+1
1. 括弧つきに書き換える
r
01*+1 → ((0(1*))+1)
+
r1
2. 分解していく
1. r=r1+r2, r1=0(1*), r2=1
2. r1=r3r4, r3=0, r4=1*
3. r4=r5*, r5=1
r2
連接
r3
0
r4
*
1
r5
1
r
NFAの生成例
r1
(つづき 1)
r3
連接
0
正規表現 : 01*+1
3. 最小構成をFAに変換する
4. FAを組みあげていく (定理2.3)
1. r4=r5*, r5=1
+
r4
*
1
開始
q5
1
q6
開始
q3
0
q4
開始
q1
1
q2
2. r1=r3r4 , r3=0
r2
3. r=r1+r2 , r2=1
r5
1
NFAの生成例
r
(つづき 2)
r1
4.1. r4=r5* (p. 41, 図2.14の(c))r
連接
*
ε
ε
q5
1
r5=1
ε
1
q6
ε
q8
r2
r4
3
0
q7
+
r5
1
NFAの生成例
r
(つづき 3)
r1
4.2. r1=r3r4 (p. 41, 図2.14の(b))r
開始
0
q3
r4
3
*
r5
q4
ε
ε
r2
1
ε
q7
連接
0
r3=0
+
q5
1
r5=1
ε
r4=r5*
q6
ε
q8
1
r
NFAの生成例
+
r1
(つづき 4)
r3
連接
4.3. r=r1+r2 (p. 41, 図2.14の(a))0
r2=1
ε
q9
開始
q1
1
r2
r4
*
1
r5
1
ε
q2
q10
ε
0
q3
ε
q4
ε
q7
ε
ε
ε
q5
1
r5=1
q6
r4=r5*
ε
q8
DFAからの正則表現の作り方
考え方
1.ある状態からある状態の間の状態を0か
らひとつずつ増やしていって、
2.状態の任意の組からなる道が生成するこ
とのできる文字列の正則表現を再帰的に
拡張していき、
3.最後に、初期状態から最終状態への道が
生成できる文字列の正則表現を求める。
数学的に定義
 Mの状態をqiから途中qjより大きな番号の
状態を通らずに、qjにたどり着くことのでき
る入力列の集合
 Rijk  Rikk 1 ( Rkkk 1*)Rkjk 1  Rijk 1 (k  1)
 0
 Rij  {a |  (qi , a )  q j }  { } (i  jのとき )
 0
 Rij  {a |  (qi , a )  q j } (i  jのとき )
正則表現の式との対応
 Rijk  Rikk 1 ( Rkkk 1*)R kjk1  Rijk 1 (k  1)
 0
 Rij  {a |  (qi , a )  q j }  { } (i  jのとき )
 0
 Rij  {a |  (qi , a )  q j } (i  jのとき )
↓ 証明はp.44～45
rijk  rikk 1 (rkkk 1*)rkjk 1  rijk 1 (k  1)
 0
rij  a   (i  jのとき )
 0
rij  a (i  jのとき )
正則表現の生成例
(例2.13, p. 45)
1
0
q1
0
1
q2
0,1
開始
δ
q3
r110  {a |  (q1 , a )  q1}    
(1  1)
r120  {a |  (q1 , a )  q2 }  0
(1  2)
r130  {a |  (q1 , a )  q3 }  1
(1  3)
r210  {a |  (q2 , a )  q1}  0
(2  1)
r220  {a |  (q2 , a )  q2 }    
( 2  2)
0
1
q1
q2
q3
r230  {a |  (q2 , a )  q3 }  1
(2  3)
q2
q1
q3
r310  {a |  (q3 , a )  q1} ○
(3  1)
q3
q2
q2
r320  {a |  (q3 , a )  q2 }  0  1
(3  2)
r330  {a |  (q3 , a )  q3 }    
(3  3)
どんどん進める
k=1
r  r (r *)r  r   ( *)    
1
11
0
11
0
11
0
11
0
11
1
0
q1
開始
r121  r110 (r110 *)r120  r120   ( *)0  0  0  0  0
r131  r110 (r110 *)r130  r130   ( *)1  1  1  1  1
r211  r210 (r110 *)r110  r210  0( *)  0  0  0  0
r221  r210 (r110 *)r120  r220  0( *)0    00  
r231  r210 (r110 *)r130  r230  0( *)1  1  01 1
r311  r310 (r110 *)r110  r310 φ( *) φφ
r321  r310 (r110 *)r120  r320 φ( *)0  0  1  0  1
r331  r310 (r110 *)r130  r330 φ( *)1    
0
1
q2
0,1
q3
どんどん進める
k=2
1
0
q1
r112  r121 (r221 *)r211  r111  0((00   )*)0    0(00) * 0    (00) * 開始
r122  r121 (r221 *)r221  r121  0((00   )*)(00   )  0  0(00) * 0  0(00) *
r132  r121 (r221 *)r231  r131  0((00   )*)(01 1)  1  0(00) * (0   )1  1
 00*1  1  0 *1
r212  r221 (r221 *)r211  r211  (00   )((00   )*)0  0  (00) * 0  0  (00) * 0
r222  r221 (r221 *)r221  r221  (00   )((00   )*)(00   )  (00   )
 (00) * 00    (00) *
r232  r221 (r221 *)r231  r231  (00   )((00   )*)(01 1)  (01 1)
 (00) * (0   )1  01 1  0 *1  01 1  0 *1
r312  r321 (r221 *)r211  r311  (0  1)((00   )*)0 φ (0  1)(00) * 0
r322  r321 (r221 *)r221  r321  (0  1)((00   )*)(00   )  (0  1)
 (0  1)(00) * (0  1)  (0  1)(00) *
r332  r321 (r221 *)r231  r331  (0  1)((00   )*)(01 1)  
 (0  1)(00) * (01 1)    (0  1)(00) * (0   )1    (0  1)0 *1  
0
1
q2
0,1
q3
最終状態への道
1
k=3
r  r (r *)r  r
3
12
2
13
2
33
2
32
2
12
 (0 *1)(((0  1)0 *1   )*)(0  1)(00) * 0(00) *
 0 *1((0  1)0 *1) * (0  1)(00) * 0(00) *
0
q1
0
1
q2
0,1
q3
開始
r133  r132 (r332 *)r332  r132
 0 *1(((0  1)0 *1   )*)((0  1)0 *1   )  (0 *1)
 0 *1((0  1)0 *1) * ((0  1)0 *1   )  0 *1
 0 *1((0  1)0 *1) *
r123  r133  0 *1((0  1)0 *1) * (0  1)(00) * (00) * 0 *1((0  1)0 *1) *
 0 *1((0  1)0 *1) * ((0  1)(00) *  )  0(00) *
まとめ方が難しい？
 演習問題 2.16 (p. 67)を使う
rs  sr
(r  s)  t  r  ( s  t )
(rs )t  r ( st )
r ( s  t )  rs  rt
(r  s )t  rt  st
○*  
(r*)* r *
(  r )*  r *
(r * s*)* (r  s) *
変換例
(演習問題 2.13, p. 66)
下の状態図に対応する正則表現を求めよ。
b)
0
A
B
0
開始
1
1
C
0
1
とりあえず番号をつける
0
A
1
0
1
B
0
A
A
r110  
A
B
r120  0
A
C
r130  1
B
A
r210  0
B
B
r220  
C
r230  1
A
r310  1
B
r320  0
C
r330  
C
1
開始
１から！
A→1
B→2
C→3
B
C
C
C
状態Aが加わった
k=1 その1
r111  r110 (r110 *)r110  r110   ( *)    
ε
ε
A
ε
A
A
A
A
A
ε
ε
A
ε
A
A
A
A
ε
A
ε
A
A
r121  r110 (r110 *)r120  r120   ( *)0  0  0  0  0
ε
A
A
A
ε
A
A
ε
A
ε
A
B
ε
A
B
A
ε
A
ε
A
B
状態Aが加わった
k=1 その2
r131  r110 (r110 *)r130  r130   ( *)1 1  1  1  1
ε
ε
A
ε
A
A
A
C
A
ε
ε
A
ε
A
A
A
C
ε
A
ε
A
C
r211  r210 (r110 *)r110  r210  0(0*)  0  00* 0  00*
ε
A
B
A
ε
B
A
ε
A
ε
A
A
ε
B
A
A
ε
A
ε
A
A
状態Aが加わった
k=1 その3
r221  r210 (r110 *)r120  r220  0( *)0    00  
ε
ε
A
ε
B
B
A
B
A
ε
ε
A
ε
A
A
B
B
ε
A
ε
A
B
r231  r210 (r110 *)r130  r230  0( *)1 1  011
ε
ε
A
B
A
ε
B
A
ε
A
ε
A
C
ε
B
C
A
ε
A
ε
A
C
状態Aが加わった
k=1 その4
r311  r310 (r110 *)r110  r310  1( *)  1  1  1  1
ε
ε
A
ε
C
C
A
A
A
ε
ε
A
ε
A
A
C
A
ε
A
ε
A
A
r321  r310 (r110 *)r120  r320  1( *)0  0  10  0
ε
ε
A
B
A
ε
B
A
ε
A
ε
A
C
ε
B
C
A
ε
A
ε
A
C
状態Aが加わった
k=1 その5
r331  r310 (r110 *)r130  r330  1( *)1    11 
ε
ε
A
ε
C
C
A
C
A
ε
ε
A
ε
A
A
C
C
ε
A
ε
A
r 
r  00*
r311  1
r 0
r  00  
r321  10  0
r 1
r  01 1
r331  11 
1
11
1
12
1
13
1
21
1
22
1
23
C
さらに状態Bが加わった
k=2 例1
r112  r121 (r221 *)r211  r111  0((00   )*)00* 
 0(00) * 00* 
ε
ε
ε
A
B
ε
A
A
ε
ε
A
A
B
ε
ε
A
ε
ε
A
A
ε
A
A
A
ε
ε
B
ε
A
ε
A
A
ε
A
ε
ε
A
B
A
ε
A
A
ε
A
どんどん進める
k=2
r122  r121 (r221 *)r221  r121  0((00   )*)(00   )  0  0(00) * 0  0(00) *
r132  r121 (r221 *)r231  r131  0((00   )*)(01 1)  1  0(00) * (0   )1  1
 00*1  1  0 *1
r212  r221 (r221 *)r211  r211  (00   )((00   )*)00* 00*  (00) * 00* 00*
 (00) * 00*
r222  r221 (r221 *)r221  r221  (00   )((00   )*)(00   )  (00   )  (00) *
r232  r221 (r221 *)r231  r231  (00   )((00   )*)(01 1)  (01 1)
 ((00) *  )(01 1)  (00) * (0   )1  0 *1
r312  r321 (r221 *)r211  r311  (10  0)((00   )*)00* 1  (10  0)(00) * 00* 1
r322  r321 (r221 *)r221  r321  (10  0)((00   )*)(00   )  (10  0)
 (10  0)((00) *  )  (10  0)(00) *
r332  r321 (r221 *)r231  r331  (10  0)((00   )*)(01 1)  (11  )
 (10  0)(00) * (0   )1  11   (10  0)0 *1  11 
最終状態への道
k=3
r111  0(00) * 00* 
r122  0(00) *
r131  0 *1
r  r123  r133
r211  (00) * 00*
r123  r132 ( r332 *)r322  r122
r221  (00) *
r  r ( r *)r  r
r231  0 *1
3
13
2
13
2
33
2
33
2
13
r312  (10  0)(00) * 00* 1
r322  (10  0)(00) *
r332  (10  0)0 *1  11 
最終解
k=3
r122  0(00 ) *
r322  (10  0)( 00 ) *
r131  0 *1
r332  (10  0)0 *1  11  
r123  0 *1(((10  0)0 *1  11  )*)(10  0)(00) * 0(00) *
 0 *1((10  0)0 *1  11) * (10  0)(00) * 0(00) *
 0 *1(((10  0)0 *1) * (11)*)* (10  0)(00) * 0(00) *
r133  0 *1(((10  0)0 *1  11  )*)((10  0)0 *1  11  )  0 *1
 0 *1((10  0)0 *1  11) * 0 *1
 0 *1(((10  0)0 *1) * (11)*)* 0 *1
r123  r133  0(00) * 0 *1(  (((10  0)0 *1) * (11)*)* (  (10  0)(00)*))
今日のミニテスト
 ミニテスト
– 演習問題 2.12のa
– 教科書・資料を見ても良い
 資料、ミニテストがない人は前へ
 提出したら帰って良し
 次回
– 最小化ができればいいかな

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