カメラと透視投影
Y
凸レンズによる結像
a
f
物体
O
光学中心
像
b
像の位置の計算式：
1 1 1
 
a b f
Z
凸レンズによる結像
像の位置の計算式：
1 1 1
 
a b f
af
af  ff  ff
b

a f
a f
(a  f ) f  ff
ff

 f
a f
a f
ff
ff
0
a
lim b  f  lim
 f  lim
 f
 f
a 
a  a  f
a 
f
1

0
1
a
結論：物体とレンズとの距離が十分長いとき、像はレンズ
との距離が焦点距離と同じである。
ピンホールカメラ
透視投影の方程式
Y
y
X
P = (X,Y,T)
x
(x,y,f)
Z
o
o
O
(x,y)
仮想の画像面
x 投影中心
T=0
y
f
画像面
f
Y
y
X
P = (X,Y,T)
x
(x,y,1)
O
投影中心
Z
o
投影面
T=1
同次座標表現による投影変換
１．焦点距離 f =1 のピンホールカメラモデル
X

x  Z

Y
y 
Z

X
 x   X   1 0 0 0  
    
 Y 
  y  ~  Y    0 1 0 0  
 1   Z   0 0 1 0  Z 
T 
 
 
投影方程式
p  M pinhole P
ここで、
X 
 
p Y 
Z
 
1 0 0 0


M Pinhole   0 1 0 0 
0 0 1 0


X
 
Y 
P 
Z
 
T 
 
同次座標表現による投影変換
2．焦点距離

x  f

y  f

X
Z
Y
Z
f 1
 x
 
  y ~
1
 
のピンホールカメラモデル
 fX   f
  
 fY    0
 Z  0
  
0
f
0
X
0 0  
 Y 
0 0  
Z


1 0  
T 
投影方程式
p  MP
ここで、
M  M f M Pinhole
f

Mf 0
0

0
f
0
0

0
1 
同次座標表現による投影変換
３．①焦点距離 =f , ②ピクセルの縦横比 != 1, ③投影中心 != (0, 0)

 x'  k x f

 y'  k y f

X
 x0
Z
Y
 y0
Z
p  MI P
M I  M centerM kxyM f M Pinhole
1 0

M center   0 1
0 0

x0 

y0 
1 
M kxy
 kx

 0
0

0
ky
0
0

0
1 
同次座標表現による投影変換
４．①焦点距離 = f, ②ピクセルの縦横比 != 1, ③投影中心 != (0, 0)
④画像座標軸が垂直でない ときの投影変換
Y
V
d
y

P'=(u, v)
P=(x, y)
v
tanyd
sin=y/v

O

u
U
d
x
X
u=x-d=x-y/ tan
v=y/sin
同次座標表現による投影変換
４．①焦点距離 = f, ②ピクセルの縦横比 != 1, ③投影中心 != (0, 0)
④画像座標軸が垂直でない ときの投影変換

X  k x f  Y 
x
'

k
f

   x0
x

 Z  tan  Z 


k f
 y '   y  Y   y0  sin   Z


 

p  MI P
M  (M centerM kxyM f MO )M Pinhole
 1  1 / t an

M O   0 1 / sin 
0
0

0

0
1 
 kx f

M  0
 0

 k x f / tan
x0
k y f / sin 
0
y0
1
0

0
0 
カメラの内部パラメータと外部パラメータ
カメラの投影行列：
M  M centerM kxyM f M O M Pinhole
M  M I M Pinhole
M I  M centerM kxyM f M O
M Pinhole
Pin-hole カメラモデルの投影行列で、カメラの固有パラメータに依存しない。
MI
カメラの固有パラメータを表す部分で、カメラの内部パラメータ行列である。
カメラの投影方程式
p  M I P  AMPinholeP
カメラの外部パラメータ：
ワールド座標系からカメラ座標系への変換行列
~
X
P
ワールド座標系における物体の点の同次座標
R
ME   T
0 3
カメラ座標系における物体の点の同次座標
したがって、
~
P  ME X
内部パラメータと外部パラメータで表したカメラの投影方程式
~
p  AM Pinhole M E X
T

1

k^m-cn-bpw- ap-km---hcn- _w-•m-hpw