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第二回
時制論理とリアルタイムリソース
わんくま同盟大阪勉強会 #44
自己紹介
• 名前
– 長月葵
• 職業
– プログラマ
• 趣味嗜好
– 漫画/アニメ/ラノベ/論理学
わんくま同盟大阪勉強会 #44
はじめに
• 前回は様相論理の基本的な公理系まで説明
しました
– 公理系のあたりはだいぶ駆け足だったのでポ
カーン(ﾟдﾟ)だった人も多いかもしれませんが。。。
• 今回のトピックは時相論理と時間オートマトン
とリアルタイムリソースです
– リアルタイムリソースは時間の都合で割愛するか
もです
– 割愛しました
わんくま同盟大阪勉強会 #44
あらすじ
• 前回のおさらい
– 可能世界
– 様相論理
• 必然演算子
• 可能性演算子
• フレーム
わんくま同盟大阪勉強会 #44
あらすじ
• 時相論理 (temporal logic)
– 時点としての可能世界
• ある時点のモーダルオペレータ
• ある時点からすべてのモーダルオペレータ
– 時点の (全順序) 集合としての時間
– sinceとuntil
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あらすじ
– 分岐する時間CTL
– 分岐する時間の特性
– パス式と状態式
– アクセス可能性
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あらすじ
• オートマトン
– オートマトンの概要
– 有限オートマトン
– Buchiオートマトン
– 時間オートマトン (timed automata)
• 時間のモデル
• 時間オートマトンのモデル
• 時間オートマトンの状態遷移図例
• 次回予告
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前回のおさらい
わんくま同盟大阪勉強会 #44
可能世界
• 可能世界はある命題が成り立つ状況の集合
の元
– ようするに何かの起こる可能性それぞれを可能
世界と呼んでいる
• 可能世界はアクセス可能性によって関係を持
つ
– 可能世界すべてを認識できないとする。さらに観
測者はいずれかの可能世界に属するとしたとき
観測可能な世界をアクセス可能な世界と呼ぶ
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様相論理
• 様相論理は命題論理の公理に加えて以下の規則を
持つ論理体系
– 命題φは全ての世界で成り立つことを表す演算子□ (必然
演算子)
– 命題φが成り立つ世界が存在することを表す演算子◇
(可能性演算子)
• 様相論理の公理系は都合に応じて選択していく
– 採用する公理系を決定することは対象としたい論理体系
のシンタックスを決めることでもある
– 具体的な公理系についての説明は割愛する。代表的なも
のに関しては前回の資料を参照
わんくま同盟大阪勉強会 #44
必然演算子
• 必然演算子は命題φが (アクセス可能な) す
べての世界で成り立つことを表す
– すべての可能世界にアクセス可能な神の視点で
考えるなら命題φは必ず成り立っている
– 通常神の視点では考えないので命題φは様相に
応じて成り立たないこともある
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可能性演算子
• 可能性演算子は命題φが成り立つ (アクセス
可能な) 世界が存在することを表す
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フレーム
• フレームは可能世界と関係のペア
– 可能世界の集合をＷ={w_1,w_2,w_3,...}と置く
– Wの元の間のアクセス可能関係を
R={w_1Rw_2,w_1Rw_3,...}と置く
– このとき〈W,R〉をフレームと呼ぶ
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時相論理 (temporal logic)
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前準備
• 時制論理は様相論理のわかりやすい応用の
一つ
– 可能世界を時点と捉える
– 時間の流れを一方通行のアクセス可能関係と捉
える
• 時制論理での時間の扱いを述べる前に二項
関係と順序について整理しておく
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二項関係
• 反射的 (reflexive) 任意のtでtRtが成り立つ
• 非反射的 (inreflexive) 任意のｔでtRtが成り立たない
• 推移的 (transitive) t_1Rt_2かつt_2Rt_3ならばt_1Rt_3が成
り立つ
• 対称的 (symmetric) t_1Rt_2ならばt_2Rt_1が成り立つ
• 非対称的 (asymmetric) t_1Rt_2ならばt_2Rt_1でない
• 反対称的 (anti-symmetric) t_1Rt_2かつt_2Rt_1ならば
t_1=t_2
• 連結的 (connected) t_1Rt_2あるいはt_2Rt_1あるいは
t_1=t_2のいずれかである
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順序
• 擬順序 (preorder) 関係が反射的かつ推移的
である
• 反順序 (partial order) 関係が反射的かつ推
移的かつ反対称的である
• 前順序 (total order) 関係が非反射的かつ推
移的かつ連結的である
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時点としての可能世界
• 時制論理 (tense logic) では各々の時点を可
能世界で表す
• アクセス可能関係は時間の方向を示すことに
なる
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ある時点のモーダルオペレータ
• 時間の論理のフレームは〈T,≪〉であり、Tは時間の
点の集合、≪はその間の順序関係を表している
• このフレーム上に過去と未来を表す以下の様な時制
のオペレータ定義する
– Pφが真である⇔過去のある時点においてφが真である
– Fφが真である⇔未来のある時点においてφが真である
• フレームを用いて定義する
– 【Pφ】=T iff ∃t'(t≫t'){【φ】^t'=T}
– 【Fφ】=T iff ∃t'(t≪t'){【φ】^t'=T}
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ある時点からすべてのモーダルオペレータ
• 前ページで導入したPとFは「あるアクセス可能世界」
について述べている
• 対して「すべてのアクセス可能世界」に相当する概念
も同様に導入することを考える
– Hφが真である⇔過去のすべての時点においてφが真で
ある
– Gφが真である⇔未来のすべての時点においてφが真で
ある
• つまり
– Hφ=￢P￢φ
– Gφ=￢F￢φ
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時点の (全順序) 集合としての時間
• 時制論理 (tense logic) で扱う時間は連続し
た時点の集合として扱う
• このとき時点を表す可能世界間のアクセス可
能性は時間の流れに相当する
• このような構成で時間を扱う論理を時点によ
る時制の論理 (instant tense logic) と呼ぶ
わんくま同盟大阪勉強会 #44
時点の (全順序) 集合としての時間
• ここまでの定義では時間の構造は順序集合と
ならない
• 次の公理を付け足すことで全順序を満たす
– t≪t',t'≪t''ならばt≪t''
• つまり時点の関係は推移的であるということ
– Fφ→G(φ∨Pφ∨Fφ)
– Pφ→H(φ∨Pφ∨Fφ)
• これは時間が分岐しないことを示している
わんくま同盟大阪勉強会 #44
sinceとuntil
• ここまでの定義はPriorによるが、Prior tense
logicではsinceとuntilが表現できない
• sinceとuntilについても定義する
– 【S(φ,ψ)】^t=T iff ∃t'≪t[【φ】^t=Tかつ∀t''{t'≪t''≪t
→【ψ】^t''=T}]
• 過去φであってらそれ以降ずっとψである
– 【U(φ,ψ)】^t=T iff ∃t'≫t[【φ】^t=Tかつ∀t' {t
≪t''≪t'→【ψ】^t''=T}]
• 未来のどこかでφとなるまでずっとψである
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分岐する時間CTL
• ここまでの時制論理では分岐する時間を扱わ
ない
• しかし我々が記述したい世界はある時点の状
態に応じて先の時間の様相が変わりうる世界
である
• なので時間の分岐を織り込む
• 分岐する時間の論理としてよく知られるCTL
について述べる
わんくま同盟大阪勉強会 #44
分岐する時間の特性
• CTLで扱う時間は以下の特性を持つ物とする
– 時間は離散的である
– 時間の一コマを新たにstateと呼ぶ
• stateの一つがnowに相当する
–
–
–
–
–
過去は一直線の状態の連鎖である
過去には有限性がある (どこかに始まりがある)
未来は将来の可能性によって分岐しているものとする
未来は永遠に続く物とする
ある任意の状態から始めて未来の分岐をw選択していっ
た一本の道筋をパスと呼ぶ
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パス式と状態式
• 状態式とは一つの時間に注目した時に全て
の分岐を含んで正否を問われる式である
– 式φが状態式として真であるとき世界wと状態tを
指定して〈w,t〉|= φと書く
• パス式とは一つのパスに注目した時に正否を
問われる式である
– 注目したパスは線型時間として扱えばよい
– 式φがパスp=(t_1,t_2,...)でパス式として真である
とき〈w,(t_1,t_2,...)〉|= φと書く
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状態式の生成規則
• 状態式の生成式を述べる
– (S1)全ての原始命題式は状態式である
– (S2)φ,ψが状態式ならば￢φとφ∧ψも状態式であ
る
– (S3)φが状態式ならばAφ,Eφは状態式である
– (S4)φが状態式ならばB_iφ,D_iφ,I_iφも状態式で
ある
• ここでAφとEφは次のように分岐を定義する
– Aφ 全てのパスでφが真
– Eφ どこかのパスでφが真
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パス式の生成規則
• パス式の定義は以下となる
– (P0)φ,ψが状態式ならばXφ,φUψはパス式である
• ここでX,Uの意味は次のように与えられる
– Xφ 今のすぐ次の状態でφが成立する
– φUψ 未来のどこかでψが成り立つまでφが成り
立つ
わんくま同盟大阪勉強会 #44
CTLの時相オペレータ
• CTLでは(P0)と(S3)が交互に用いられることで状態
式が生成される事から時相オペレータは次の8種類
に限定される
–
–
–
–
–
–
–
–
EXφ ある分岐で次の時点でφが成り立つ
EFφ ある分岐でどこか未来でφが成り立つ
EGφ ある分岐で未来でずっとφが成り立つ
E(φUψ) ある分岐でψになるまでφである
AXφ すべての分岐で次の時点でφが成り立つ
AFφ すべての分岐でどこか未来でφが成り立つ
AGφ すべての分岐で未来でずっとφが成り立つ
A(φUψ) すべての分岐でψになるまでφである
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オートマトン
わんくま同盟大阪勉強会 #44
オートマトンの概要
• オートマトンはコンピュータの動作を形式的に
表現するのに向いた数学的なモデルである
– 本章では有限オートマトン、Buchiオートマトン、時
間オートマトンについて述べる
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有限オートマトン
• 有限オートマトンはイベント処理などを表すモ
デルの一つである
• 有限オートマトンの定義を以下に述べる
– 有限オートマトンは以下の五つ組である
•
•
•
•
•
S 状態の空でない有限集合 (S≠?)
S_0 初期状態の空でない集合 (S_0⊆S,S_0≠?)
Σ ラベル (イベント) の有限集合
δ 遷移の集合 (δ⊆S×Σ×S)
F 受理状態の集合 (F⊆S)
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有限オートマトンの受理言語
• 有限オートマトンの動作は語 (word) と呼ばれるラベ
ルの列によって与えられる
• ラベルの列a_0,a_1,...a_(n-1)が有限オートマトン
A=(S,S_0,Σ,δ,F)の語であるとは次の条件を満たす
状態s_0,s_1,...,s_nが存在することである
– (s_0,a_0,s_1),(s_1,a_1,s2),...,(s_(n-1),a_(n-1),s_n)∈δ
– ここでs_0は初期状態である
– 最後の状態が受理状態 (S_n∈F) であるときその語
a_0,a_1,...,a_(n-1)と状態s_0,s_1,...,s_nはオートマトンA
によって受理されると言う
– また有限オートマトンAによって受理される全ての語の集
合を受理言語と言いlang(A)で表す
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Buchiオートマトン
• 有限オートマトンは非決定的ではあるが珠里
状態へ遷移する。詰まり基本的には停止する
• Buchiオートマトンは停止しない (対話的シス
テムなど) を説明するモデルの一つである
– Buchiオートマトンは有限オートマトンと同じ五つ
組からなる
– しかしBuchiオートマトンと有限オートマトンでは受
理の考え方が異なる
わんくま同盟大阪勉強会 #44
Buchiオートマトン
– BuchiオートマトンB=(S,S_0,Σ,δ,F)の語であるとは次の
条件を満たす状態s_0,s_1,...,s_nが存在することである
• (s_0,a_0,s_1),(s_1,a_1,s2),...,(s_i,a_i,s_(i+1)),...∈δ
– ここでs_0∈S_0は初期状態である
– また上の状態の列s_0,s_i,...,s_i,s_(i+1),...をBuchiオート
マトンBの実行という
– 上記の遷移列の中にある受理状態s∈Fが無限回含まれ
ているなら、その無限長の語と実行はBuchiオートマトン
に受理されると言う
– またBuchiオートマトンBによって受理される全ての無限長
の語の集合をlang_ω(B)で表す
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時間オートマトン (timed automata)
• Buchiオートマトンは時間を扱わない
– 時間をカウントする変数を使うなどして表現可能
ではあるが、扱う時間が有限であるとは限らない
ためその域を有限に抑えることが難しい
– 最終の目的とするモデル検査を行うためには変
域や状態数は有限に留めなければならない
• 以下では連続時間を表現できる時間オートマ
トンについて述べる
わんくま同盟大阪勉強会 #44
時間のモデル
• 時間は0以上の実数で表す
• 時間変数の集合をXとする
– このとき時間制約式θの集合TC(X)は次の式を含
む最小の集合である
• x≪c 時間制約 (x∈X,c∈N,≪∈{≦,＜})
• ￢θ ￢
• θ∨η 論理和
• 時間の単位は任意である
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時間オートマトンのモデル
• 時間オートマトンは次の条件を満たす六つ組
である
– S 状態の空でない有限集合 (S≠?)
– s_init 初期状態 (s_init∈S)
– Σ イベントの有限集合
– X 時間変数の有限集合
– δ 遷移の集合 (δ⊆S×TC(X)×Σ×2^X×S)
– I 不変述語 (I:S→TC(X))
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時間オートマトンの状態遷移図例
わんくま同盟大阪勉強会 #44
次回予告
• まだ決めてませんが以下のどれかをやります
– 一階述語論理とゲーデルの不完全性定理
– 二重否定の論理
– 時相論理
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次回予告
• 次回より後の回でやりたいと思っているもの
– 内包論理
– 信念の論理
– 形式手法
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