OR-A 第2回

「ORーA」
2010/12/17
• 一般的な定式化の仕方
– 整数変数はなぜ登場するか？
– Indicator変数の使い方（今回の主題）
• Reading Assignment: 配布資料「数理計画モ
デルの定式化」
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整数変数がどうして登場するか
（１）分割不可能な離散的変量 Indivisible
(Discrete) Quantities ：
本来、整数しかとりえない量；例えば、人数、
機械台数など
（２）デシジョン変数 Decision Variables ：
複数の代替案の中からどの案を選択する
かを示す例：倉庫をたてる（どのタイプの）／たてない
γ＝０
γ＝１
γ＝２
倉庫をたてない
タイプＡの倉庫をたてる
タイプＢの倉庫をたてる
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整数変数がどうして登場するか
（３）インディケータ変数 Indicator
Variables：システムの状態を示す
(indicateする)ために、０－１変数と他の変
数、あるいは他の条件式と結びつける
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インディケータ変数（Indicator Variables）
ｘＡ：ある（原料）配合において要素Ａが含まれる比率
要素Ａが配合に含まれる（ｘＡ＞０）か、含まれないか（ｘＡ＝
０）を、たとえば、０－１変数αを使って識別する。つまり、
α＝１（０）ならＡが含まれる（含まれない）、という形で、
インディケータ変数を使う。
たとえば、
（１）ｘＡ－ α ≦ ０
という制約条件は、次の論理条件（もし・・・ならば・・・）を
数式的に表現することになる：
（２）ｘＡ＞０ → α=１
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（２）式の逆表現
（２）の逆、すなわち、
（３） α=１ → ｘＡ＞０
（あるいは、その対偶のｘＡ＝０ → α＝0）
という条件を（も）数式的に表現したい。
残念ながらこれはできないので、そのかわりに、「Ａの配合
比率がこれ未満だったら入っていないも同然」という閾値
(threshold level)ｍを導入し、（３）を
（４） α=１ → ｘＡ≧ｍ
に変換すると、（４）は次のように数式表現できる：
（５）ｘＡ - ｍα ≧ ０
注意：数理計画では、通常、＞や＜を扱わず、≦や≧を扱
う。
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演習問題１
（１）「もし要素Ａが配合に含まれていたなら
ば、要素Ｂも配合に含まれていなければな
らない」、という条件を数式で表現せよ。
（２）さらに、その逆、すなわち、「もし要素Ｂ
が配合に含まれていたならば、要素Ａも配
合に含まれていなければならない」という
条件も、あわせて成立しなければいけない
というときはどうすればよいか。
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インディケータ変数を使って
不等式／等式の成立／不成立を示す
１．「δ＝１ → Σjａjｘj≦ｂ」型論理条件の表現
０－１変数δを使って、不等式が成立するか
否かに関する論理条件を表現する。
論理条件
（１１） δ＝１ → Σjａjｘj≦ｂ
は、次の不等式で表現できる：
（１２） Σjａjｘj＋Ｍδ≦Ｍ＋ｂ
ここに、ＭはΣjａjｘj－ｂの上界である。
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（１２）式の妥当性
• （１２）式が（１１）の論理条件を表現していること
を確かめるために、（１２）式を書き換えると、
（１２）’
Σjａjｘj－ｂ≦Ｍ（１－δ）
となる。δ＝１のときには右辺が０となり（１２）’式
は
Σjａjｘj≦ｂとなり、論理条件（１１）が満足される。
• 一方、δ＝０のときには、Σjａjｘj－ｂ≦Ｍとなるが、
Ｍの定義から、この式は常時満足される。論理
条件（１１）を数式表現するとき、表現された数式
は、δ＝０のときになにかを意味してはまずい。
換言すれば、δ＝０のときは数式が意味を持っ
ては困ることに注意。
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論理条件に対応する数式の「作成公式」
ステップ１「δ＝１→Σjａjｘj≦ｂ」形の論理条件にする。
ステップ２右辺ｂを左辺に移項しΣjａjｘj－ｂ≦０の形に。
ステップ３右辺０の代わりに、δの（１次）関数を考え
る。この関数はδ＝１のとき０、そうでないときは制
約条件式が無意味、すなわち、すべての解が生成さ
れる制約条件式を満足するようにしたい。
このため、右辺を□（１－δ）の形（□は適当な定
数）にすると、Σjａjｘj－ｂ≦Ｍ（１－δ）が望む制約条
件式となる。ただし、ＭはΣjａjｘj－ｂの上界値とする。
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ステップ１
「δ（０－１変数）＝１→Σjａjｘj≦ｂ」の形に
注意１：不等式の向きが逆、すなわち、≧ならば、
－１倍して、不等号の向きを変える。
注意２：論理条件が、「Σjａjｘj≦ｂ→δ＝０」のとき
は、対偶をとって、「δ＝１→Σjａjｘj＞ｂ」の形にし
た上で、閾値εを用いて、
「δ＝１→Σjａjｘj≧ｂ＋ε」、すなわち、
「δ＝１→Σj（－ａj）ｘj≦－ｂ－ε」
の形に変換されたものを与えられた論理条件と
考えればよい。
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ステップ３
Σjａjｘj－ｂ≦□（１－δ）
注意３：望む制約条件式の右辺は、δが１のとき
０となって、論理条件が表現されことになる。一
方、δ＝０のときには、□の定数を適当に決める。
Ｍ＝左辺のとりうる値の上界とすれば、すべての
解がこの制約条件を満足し、したがって、制約条
件はなにも意味しないことになる。
注意４：右辺の上界Ｍはあまり大きすぎない値が
望ましい。
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「δ＝０ → Σjａjｘj≦ｂ」型
論理条件の表現
「公式」のステップ３のＭ（１－δ）の部分を、
Ｍδに置き換えれば同様な議論ができる
ステップ３’ ステップ２の形Σjａjｘj－ｂ≦０の、
右辺の０をＭδに置き換える。
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論理条件（１）の逆の数式表現
（「逆は必ずしも真ならず」に注意）
（１３） Σjａjｘj≦ｂ →δ＝１
対偶をとることによって、「δ＝０→Σjａjｘj＞ｂ」とな
り、注意２のように、
「δ＝０→Σj（－ａj）ｘj≦－ｂ－ε」、すなわち、
「δ＝０→Σj（－ａj）ｘj＋ｂ＋ε≦０」
とする。あとは、ステップ３’にしたがって、
（１４） Σj（－ａj）ｘj＋ｂ＋ε≦Ｍ ’δ
ここに、Ｍ ’はΣj（－ａj）ｘj＋ｂ＋εの上界値とする。
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演習問題２
0-1インディケータ変数δを用いて、δが1の
とき以下の制約を満たすという条件を数式
として表現せよ。また、逆に、この制約が
満たされているとき、δが1になるという条
件を数式として表現せよ。いずれにせよ、
x1,x2は、0≦ｘ1≦1, 0≦ｘ2≦1の範囲にある
ものとする。
2x1+3x2≦1
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必要十分条件の表現
必要十分条件「δ＝１ ⇔ Σjａjｘj≦ｂ」を数式的に表現す
るためにはどうすればよいか
「δ＝１→Σjａjｘj≦ｂ」 AND 「δ＝１→Σjａjｘj≦ｂ」
（１２）
（１４）
（１２） Σjａjｘj＋Ｍδ≦Ｍ＋ｂ
（１４） Σj（－ａj）ｘj＋ｂ＋ε≦Ｍ ’δ
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論理条件と０－１変数
δi が０－１のインディケータ変数とし、Ｘiが
δi＝１という状態を示すこととする。
（A）
Ｘ1∨Ｘ2
δ1＋δ2≧１
（B）
Ｘ1・Ｘ2
δ1＝１，δ2＝１
（C）
～Ｘ1
δ1＝０（１－δ1＝１）
（D）
Ｘ1→Ｘ2
δ1－δ2≦０
（E）
Ｘ１←→Ｘ2 δ1－δ2＝０
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演習問題３：生産
（Ｘi：製品i が生産されている）
以下の論理条件を表現したいとしよう：
（２１）（ＸA∨ＸB）→（ＸC∨ＸD∨ＸE）
インディケータ変数δi を使い、δi が１（０）の
ときは、製品 i が作られている（作られてい
ない）ことを示すものとしよう。このとき、
（２１）を数式的に表現することを考えたい。
（ヒント）δA＋δB≧ 1 ⇒ δ＝１
⇒ δC＋δD＋δE ≧ 1
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施設配置問題
関東地方を中心に営業を行ってきた輸入品販売業の
Ｋ社では、関西地方に活動を拡大するため、京阪神地方
に倉庫の賃借を行う計画を立てている。賃借の候補とな
る倉庫はｍカ所にあって、第ｉ地点の倉庫Ｗｉ(i=1,･･･,m)の
月間処理能力はａｉ（トン／月）で、その経費（賃借料や維
持費など毎月の固定費）はｄｉ（千円／月）である。また、
関西一円に広がる消費地Ｄｊ(j=1,･･･,n)での輸入品の需
要量ｂｊ（トン／月）と、ＷｉからＤｊへのトン当たり輸送費ｃｉｊ
（千円）が与えられたとして、すべての需要を満たし、毎
月の総費用（倉庫経費＋輸送費）を最小にする倉庫配置
と輸送計画を求めたい。この問題を数理計画問題として
定式化せよ。
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