Streamflow Prediction using a Forecast Combining System

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 13, NO. 4, APRIL 2015
1035
Streamflow Prediction using a Forecast
Combining System
J. D. Rojo, L. F. Carvajal and J. D. Velásquez, Senior Member, IEEE
Abstract— In this work, we describe a forecasts combining
system for predicting the monthly streamflows of the Guadalupe
river in Colombia; the forecast combining system is composed of
four individual experts implementing the following models:
autoregresive (AR), autoregresive integrated moving averages,
artificial neural networks and singular spectral analysis. We test
the methods of simple average, weighted average, neural
networks, and ANFIS for combining expert forecasts. The
combining system is used for streamflow prediction with horizons
of one, three and six months ahead. We found that the combination
of forecasts using ANFIS outperforms the accuracy of each
individual model and the composed forecasts obtained using the
other combining techniques.
Keywords— Streamflow prediction, forecast combining,
artificial intelligence, stochastic processes, committee machines,
ANFIS.
E
I. INTRODUCCIÓN
L PRONÓSTICO de los caudales medios mensuales de los
ríos es un importante problema práctico cuya dificultad está
relacionada con su variabilidad en diversas escalas espaciotemporales derivadas de las dinámicas complejas entre el clima
y la hidrología de una determinada región [1]; dicha dificultad
es explicada por la naturaleza compleja del ciclo hidrológico, el
cual resulta de la interacción de factores climáticos de
comportamiento complejo, tales como la influencia del sistema
El Niño y la Oscilación del Sur (ENSO), y las variabilidad del
océano Atlántico y la cuenca Amazónica para el caso
Colombiano. Los pronósticos son un insumo fundamental en
los procesos de toma de decisiones relacionados con el
aprovechamiento del recurso hídrico, tales como la generación
de electricidad y la prevención de desastres.
Dada la importancia de este problema, se han dedicado
muchos esfuerzos a la aplicación y comparación de
metodologías de pronóstico, con el fin de determinar cuál o
cuáles técnicas serían más apropiadas para este fin; véase, por
ejemplo [1]. Es así como se ha publicado un número importante
de reportes de caso en que se abarcan desde técnicas estadísticas
clásicas hasta modelos estadísticos no lineales y métodologías
de inteligencia computacional, entre las que se incluyen las
redes neuronales artificiales [1], los sistemas híbridos
adaptativos de inferencia difusa [2] y el análisis espectral
singular [3].
_________________________
J. D. Rojo, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellin, Colombia,
[email protected].
L. F. Carvajal, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellin,
Colombia, [email protected]
J. D. Velásquez, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellin,
Colombia, [email protected]
No obstante, la combinación numérica de los pronósticos
producidos por diferentes modelos individuales es una
alternativa al uso de modelos individuales de predicción, la cual
permite obtener un pronóstico combinado que es usualmente
más preciso que el pronóstico puntual obtenido con cada uno de
los modelos individuales considerados.
Esta metodología recibe el nombre de combinación de
pronósticos en el contexto de la estadística [4][5] y de
ensambles (o máquinas concurrentes) en el contexto de la
inteligencia computacional [6]. Diferentes técnicas han sido
utilizadas en hidrología para la combinación de los pronósticos
puntuales obtenidos con modelos independientes, las cuales
abarcan desde el promedio aritmético simple [4] hasta técnicas
no lineales [7][8]. La idea de combinar pronósticos no es nueva
en la literatura y en el trabajo seminal de Clemen [9] se
identifican las contribuciones tempranas realizadas desde
diferentes áreas a la combinación de pronóstico;
adicionalmente, en [7] se analizan los avances recientes en la
predicción de series económicas y financieras. Si bien, la mayor
parte de las experiencias reportadas sobre combinación de
pronósticos están relacionadas con series financieras o
económicas [7][10], también existen experiencias en
climatología [11][12][13][14][15] y en la combinación de los
resultados de modelos lluvia-escorrentía [16][17].
Siguiendo esta misma línea de pensamiento, resulta
interesante establecer empíricamente si la técnica de
combinación de pronósticos permite superar el desempeño de
los pronósticos en el caso de la predicción de caudales de un
río. Es así como en este trabajo se aplicó la técnica de
combinación de pronósticos al problema de predicción de los
caudales mensuales del rio Guadalupe cuya estación de aforo se
encuentra ubicada en inmediaciones de la población de
Carolina del Príncipe al nor-occidente de Colombia. El río
Guadalupe constituye el eje central de la cadena de generación
eléctrica conocida como Guatrón (propiedad de Empresas
Públicas de Medellín), la cual genera actualmente el 7% de la
hidroelectricidad del país. La localización geográfica de la
estación de medición y la serie de caudales del río Guadalupe
se presentan en la Fig. 1.
El objetivo de esta investigación es evaluar si la técnica de
combinación de pronósticos mejora la predicción del caudal
mensual del rio Guadalupe respecto a los pronósticos obtenidos
a partir de técnicas individuales teniendo en cuenta modelos
lineales y no lineales, para horizontes de pronóstico de uno, tres
y seis meses. En este trabajo se consideraron los siguientes
modelos para obtener los pronósticos individuales: modelos
autorregresivos (AR), modelos ARIMA, redes neuronal
artificiales tipo perceptrón multicapa, y análisis espectral
singular [18]. Para la combinación de los pronósticos se
evaluaron las siguientes técnicas: promedio simple, promedio
1036
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ponderado, redes neuronales artificiales y redes neuronales
adaptativas de inferencia difusa, también conocidas como
ANFIS [19].
El resto de este artículo está organizado como sigue: en la
Sección II se describen las metodologías y datos utilizados. En
la Sección III, se presentan los resultados. Seguidamente, se
realiza el análisis de resultados en la Sección IV, y finalmente
en la Sección V se presentan las conclusiones.
•
•
La serie histórica de caudales.
Los expertos, modelos o técnicas de pronóstico. En
este caso, cada experto es calibrado sobre la misma
muestra de datos. Cada experto corresponde a una
técnica diferente de pronóstico. Los
cuatro
expertos son: un modelo AR, un modelo ARIMA,
una red neuronal artificial y un modelo de análisis
espectral singular.
• Un mecanismo para combinar la predicción puntual
de caudales obtenida a partir de cada uno de los
expertos (modelos). En este caso se evalúan
diferentes técnicas de combinación de pronósticos:
promedio simple, promedio ponderado, una red
neuronal artificial tipo perceptrón multicapa y una
red neuronal adaptativa de inferencia difusa
(ANFIS).
Como salida del sistema se obtiene el pronóstico compuesto
que resulta de combinar los pronósticos de los expertos usando
uno de los mecanismos de combinación descritos.
Experto 1: modelo
autorregresivo
Experto 2: modelo
ARIMA
Figura 1. Localización de la estación y serie de caudales del río GuadalupeColombia.
Experto 3: perceptrón
multicapa
Serie
histórica de
caudales
II. MATERIALES Y MÉTODOS
A. Información Utilizada
Tal como ya se indicó, los datos utilizados corresponden a la
serie de caudales medios mensuales del río Guadalupe entre
enero de 1938 y diciembre de 2008 (852 observaciones). Para
efectos de aplicar los modelos de predicción de caudales y los
modelos de combinación de pronósticos a la serie del río
Guadalupe se han definido los siguientes periodos:
• 1938-1980: Para la calibración de los parámetros de
los cuatro modelos individuales de pronóstico o
expertos.
• 1981-2008: Para validar de manera retroactiva los
pronósticos de caudales con los cuatro modelos
calibrados.
• 1981-1995: Para la calibración de los cuatro
modelos de combinación con base en las
predicciones de los cuatro modelos individuales.
• 1996-2008: Validación de los modelos de
combinación de pronósticos.
B. Combinación de pronósticos
1) Modelo de combinación de pronósticos
Este método permite la combinación numérica de los
pronósticos puntuales de los métodos individuales o expertos
que conforman el sistema. Un diagrama esquemático del
sistema de combinación de pronósticos de caudales
desarrollado en este trabajo es presentado en la Fig. 2. El
sistema desarrollado está compuesto de las siguientes partes:
Experto 4: análisis
espectral singular
Qt,1
Qt,2
Qt,3
Combinador
Pronóstico
compuesto
Qt,4
Figura 2. Esquema del sistema de combinación de pronósticos para la
predicción de caudales.
2) Expertos individuales
El sistema desarrollado utiliza cuatro expertos para la
predicción de caudales, los cuales son descritos a continuación.
Puesto que las series de caudal presenta un patrón cíclico de
periodo anual asociado a las estaciones del año, los datos fueron
estandarizados con el fin de remover dicho ciclo. Dicha
estandarización se realiza considerando que los caudales tienen
doce poblaciones muestrales diferentes: una para cada mes del
año, tal que, la serie estandarizada es calculada como:
−
=
(1)
donde: es el caudal mensual;
es la media de los caudales
del mes
al que pertenece , con = 1, … ,12; y
es la
desviación estándar de los caudales del mes al que pertenece
. Los valores pronosticados de
son transformados en
caudales mediante la aplicación inversa de la transformación
descrita por la ec. (1).
Modelo autorregresivo de orden p.— En el caso del
pronóstico de caudales, el modelo autorregresivo de orden o
AR(p) es definido como:
,
donde
=
+
+⋯+
es el caudal mensual estandarizado.
+
(2)
es ruido blanco.
ROJO et al.: STREAMFLOW PREDICTION USING A FORECAST
1037
Los parámetros del modelo, , se estiman mediante la solución
de las ecuaciones de Yule-Walker [20]. El pronóstico , se
obtiene mediante la transformación inversa de , .
Modelo ARIMA de orden (p, d, q).—. La forma general de
estos modelos está dada por:
=
,
…+
−
+
−
−⋯
(3)
3) Comparación de pronósticos individuales
Una forma de comparar modelos alternativos de pronóstico
y
con el fin de determinar si son estadísticamente
diferentes, es el contraste de Diebold y Mariano [22], cuya
hipótesis nula es que los modelos no son estadísticamente
diferentes; la comparación se basa en calcular el error
diferencial para el periodo ℎ del horizonte de predicción:
=
con:
=
(4)
−
donde los parámetros , y
tienen el mismo significado
que para los modelos AR( ) y MA( ). Teóricamente, la serie
estandarizada
posee media cero y desviación estándar
unitaria; sin embargo, esto no se suele cumplir ya que la
estandarización solo remueve el ciclo anual, pero otros ciclos
de periodos superiores —que pueden llegar hasta 20 años—
siguen presenten ; esto causa que la serie
sea no
estacionaria y se requiera de un proceso de diferenciación
simple (ec. (4)) para cumplir la condición de estacionalidad; en
este caso. En este trabajo se considero = 1.
Perceptrón multicapa (RNA).— El modelo usado es definido
matemáticamente como:
=
+
+
+
,
(5)
donde () es la función sigmoidea de activación, definida como
( ) = 1 + exp(− ) , y ,
,
y
son los
,
parámetros del modelo, también conocidos como pesos de la
red neuronal artificial. El cálculo de los parámetros óptimos del
modelo se realizó usando el algoritmo de propagación hacia
atrás del error. Se consideraron únicamente modelos con =
1, 2 neuronas en la capa oculta.
Análisis espectral singular (AESMP).— Esta es una
metodología usada originalmente en el procesamiento de
señales digitales, y que puede ser usada para el análisis y
pronóstico de series de tiempo no lineales. Se basa en la
aplicación univariada del Análisis de Componentes Principales
en el tiempo, y es equivalente a aplicar funciones ortogonales
empíricas a series de tiempo univariadas [21]. El objetivo de la
para obtener
metodología es filtrar la serie de caudales
series,
≤ , que capturan diferentes
, , con 1 ≤
comportamientos de la serie de datos original. Cada una de las
series filtradas es pronosticada mediante un modelo
autorregresivo de orden :
,
=
,
+
,
+⋯+
,
(6)
El pronóstico final , se obtiene utilizando el principio de
superposición de las series pronosticadas , con 1 ≤ ≤ .
La descripción detallada de la metodología esta por fuera de los
alcances de este trabajo; el lector puede consultar los detalles
de la metodología en la ref. [3].
−
,
con
,
= 1,2, ; ℎ = 1, … ,
(7)
Donde toma el valor de 1 cuando se usa como estadístico de
ajuste la desviación media absoluta; y toma el valor de 2 cuando
se usa el error cuadrático medio. El estadístico de Diebold y
Mariano [22] se calcula como:
=
̅
√
̅=
, con
1
,
=
1
− ̅
(8)
el cual sigue asintóticamente una distribución normal estándar.
4) Combinador de expertos
En esta investigación se consideraron y evaluaron las técnicas
que se describen a continuación para la combinación de los
pronósticos individuales de cada uno de los expertos, , , , ,
, y
, , para el período (véase la Fig. 2).
Promedio simple (MPS).— El pronóstico combinado ∗ es
calculado como:
∗
=(
,
+
+
,
,
+
,
(9)
)/4
Promedio ponderado (MPP).— En este caso se considera
que el pronóstico combinado es calculado como [23]:
∗
=
,
+
,
+
,
+
,
(10)
donde los valores óptimos de los coeficientes , para =
1, … ,4, son obtenidos usando mínimos cuadrados ordinarios.
Perceptrón multicapa (MRN).— La consideración de esta
metodología tiene como fin investigar el desempeño de un
combinador no lineal para el caso analizado [24]. Esta forma de
combinación puede ser representada matemáticamente como:
=
+
+
,
,
(11)
donde , ,
y , son los parámetros del modelo y (∙) es
la función de activación sigmoidea bipolar definida como:
( )=
2
−1
1 + exp(− )
(12)
y representa la cantidad de neuronas en la capa oculta. Los
valores óptimos de los parámetros de la red neuronal son
calculados usando el algoritmo de propagación hacia atrás del
error (o backpropagation). La red neuronal usada como
1038
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 13, NO. 4, APRIL 2015
combinador de expertos utiliza el mismo algoritmo de
calibración y validación que el modelo individual de
pronóstico, salvo que las variables de entrada corresponden a
los resultados de los diferentes expertos. Nótese que los
modelos especificados mediante las ec. (5) y (11) difieren en
que en el modelo de la ec. (11) no tiene una función de
activación especificada en la salida del modelo.
Sistema adaptativo de inferencia neuro-difusa (ANFIS).—
Este es un sistema adaptativo de inferencia difusa conformado
por reglas de Takagi-Sugeno [25][26][27] cuya arquitectura
esta organizada en forma de una red neuronal [19]. Al igual que
otros tipos de redes neuronales artificiales con aprendizaje
supervisado, ANFIS puede aproximar una relación no lineal
desconocida entre un conjunto de variables de entrada y una
variable de salida, ya que es un aproximador universal de
funciones. Su entrenamiento (la estimación de sus parámetros)
se realiza mediante la minimización del error cuadrático entre
la salida del sistema y el valor deseado. Información detallada
sobre esta metodología puede ser consultada en [19].
La precisión del pronóstico, tanto para cada uno de los expertos
individuales como para las combinaciones consideradas, fue
cuantificada usando:
1
TABLA I. ESTADÍSTICO DE DEBOLD-MARIANO (DM) PARA LA COMPARACIÓN
DE LOS PRONÓSTICOS INDIVIDUALES DEL CAUDAL MENSUAL DEL RÍO
GUADALUPE.
MODELO
AR
ARIMA
RNA
AESMP
AR
3,25
3,98
4,48
ARIMA
3,25
2,96
3,25
RNA
3,98
2,96
2,28
AESMP
4,48
3,25
3,25
-
−
∗)
(13)
× 100
(%) =
donde RMSE(%) representa la raíz del error cuadrático medio
expresada como porcentaje del caudal medio mensual.
En la parte (A) de la Tabla II se presenta los estadísticos de
ajuste entre los caudales predichos por los modelos de
pronóstico y los caudales históricos para horizontes de
predicción de 1, 3 y 6 meses con su respectivo coeficiente de
determinación (entre paréntesis) para el periodo 1996-2008. En
la parte (B) de la Tabla II se presentan estos mismos estadísticos
para las diferentes formas consideradas de combinación de
pronósticos.
TABLA II. ESTADÍSTICOS DE AJUSTE CALCULADOS.
HORIZONTE
1 MES
3
III. RESULTADOS
En este trabajo se usó un sistema de combinación de pronósticos
conformado por cuatro expertos. La estructura óptima de cada
experto se obtuvo usando criterios comúnmente aceptados por
la comunidad científica. La especificación final de los expertos
fue la siguiente: un modelo AR(2) y un modelo ARIMA(2,1,1)
que buscan representar adecuadamente el autocorrelograma
parcial de la serie de tiempo; una red neuronal artificial tipo
perceptrón multicapa con tantas entradas como variables
explicativas y 2 neuronas en la capa oculta, y la técnica de
predicción de análisis espectral singular.
Con los modelos AR(2), ARIMA(2,1,1), RNA y AESMP, se
obtuvieron predicciones de caudales para el río Guadalupe con
horizontes de predicción de 1, 3 y 6 meses para el período
comprendido entre enero de 1981 y diciembre de 1995. La Fig.
3 presenta los resultados para el horizonte de pronóstico de un
mes.
Con el objeto de verificar que los pronósticos de los
diferentes modelos no fueran redundantes se aplicó el test
estadístico de comparación de pronósticos de Diebold-Mariano
cuyos resultados se presentan en la Tabla I. Ya que en todos los
casos el estadístico DM es superior 1,96 se concluye que los
pronósticos arrojados por los diferentes expertos son
estadísticamente diferentes entre sí.
Los pronósticos obtenidos entre 1981 y 1995 fueron
utilizados para calibrar los modelos de combinación MPS,
MPP, MRN y ANFIS. Luego se hicieron predicciones con los
modelos individuales y los modelos de combinación para el
periodo comprendido entre enero de1996 y diciembre de 2008.
∑(
MODELO
RMSE (
)
6
MESES
MESES
RMSE
( )
RMSE
( )
(A) PRONÓSTICOS INDIVIDUALES
AR
ARIMA
RNA
AESMP
*PROMEDIO
26,36 (0,474)
22,76 (0,635)
19,70 (0,677)
11,76 (0,881)
20,10
30,96 (0,354)
28,14 (0,484)
21,98 (0,604)
15,30 (0,806)
24,10
33,77 (0,361)
28,59 (0,484)
23,71 (0,553)
18.60 (0,727)
26,20
(B) COMBINACIÓN DE PRONÓSTICOS
MPS
MPP
MRN
ANFIS
*PROMEDIO
17,85 (0,733)
11,01 (0,904)
10,85 (0,906)
8,43 (0,949)
12,04
20,57 (0,661)
14,71 (0,813)
13,50 (0,813)
12,53 (0,868)
15,33
22,55 (0,596)
18,51 (0,724)
17,20 (0,725)
16,78 (0,773)
18,76
*PROMEDIO: VALOR PROMEDIO DEL RMSE PARA LOS MODELOS INDIVIDUALES
(EXPERTOS) Y COMBINACIÓN DE PRONÓSTICOS.
IV. DISCUSIÓN
Los resultados presentados en la Tabla II indican que el
modelo AESMP es el de mayor eficiencia, seguido por la red
neuronal artificial (RNA), el modelo ARIMA(2,1,1) y el
modelo AR(2), según lo muestran los coeficientes de
determinación para cada caso. Los resultados anteriores pueden
explicarse en función de las capacidades y la conceptualización
de cada uno de los modelos; así por ejemplo, tanto los
autorregresivos como los autorregresivos integrados de media
móvil simulan los caudales como una variable aleatoria
estocástica lineal según los postulados de Box y Jenkins [20]
sin incluir variables explicativas dependiendo únicamente de la
persistencia de la serie de tiempo.
ROJO et al.: STREAMFLOW PREDICTION USING A FORECAST
Figura 3. Pronósticos de los modelos AR(2), ARIMA(2,1,1), RNA y AESMP
para el río Guadalupe
Las redes neuronales son más eficientes que los autorregresivos
dada su capacidad para capturar la naturaleza altamente no
lineal entre las variables de entrada y las variables de salida en
un modelo de predicción [18][24]. El modelo AESMP
presentado por Rojo y Carvajal [3] representa un híbrido entre
el modelo de regresión y el método espectral que filtra las series
de caudales en función de aquellas frecuencias fundamentales
extraídas de un análisis multivariado de componentes
principales, lo que mejora ostensiblemente la capacidad de
predicción del modelo.
En la parte (B) de la Tabla II se presentan los resultados de
la combinación de pronósticos para el rio Guadalupe durante el
periodo 1996-2008. Según los resultados obtenidos, el método
MPS es mas eficiente que los modelos RNA, ARIMA(2,1,1) y
AR(2), pero no supera en precisión al modelo AESMP. La
combinación por ponderación (MPP) arroja predicciones más
precisas que cualquiera de los modelos individuales, dado que
mas alto que cualquier
presenta un RMSE mas bajo y un
modelo utilizado en el presente trabajo para predicción.
Alguna ganancia presenta la aplicación de combinación con
redes neuronales (MRN) frente a la combinación ponderada
(MPP), pero ANFIS aparece como el método de combinación
más exitoso con los valores más altos del coeficiente de
determinación y los menores RMSE. Estos resultados fueron
corroborados mediante el análisis de los gráficos de dispersión
entre los caudales históricos y los pronosticados
V. CONCLUSIONES
Los resultados del proceso de combinación dependen de las
capacidades y habilidades de los diferentes modelos o expertos
para capturar distintas características de la serie de tiempo a
modelar, por ello se debe tener en cuenta que para propósitos
de combinación los pronósticos provistos por los diferentes
expertos no deben ser redundantes.
El presente trabajo pone de manifiesto la necesidad de ir más
allá de los métodos expertos a fin de explorar con mayor detalle
la combinación de pronósticos. En tal sentido se sugiere que en
los procesos de predicción se utilicen múltiples modelos,
1039
integrados a una estrategia de combinación.
Para caso específico del pronóstico de los caudales medios
mensuales del río Guadalupe, la comparación de los cuatro
métodos de combinación (MPS, MPP; MRN, ANFIS) muestra
que las estimaciones combinadas (MPP, MRN y ANFIS) son
más eficientes que el mejor de los modelos de predicción. Esto
justifica el uso de la metodología de combinación en el contexto
de la predicción de caudales medios mensuales.
La evaluación del desempeño de los diferentes modelos
mediante el coeficiente de determinación y el RMSE muestran
que el mejor de los modelos de combinación es el ANFIS; sin
embargo, cabe destacar que los demás modelos de combinación
también presentan una mejora significativa.
En lo relacionado al coeficiente de determinación, para los
modelos individuales se tiene un valor mínimo de 0,36 y con
los métodos de combinación el dicho valor pasa a 0,6. En
cuanto a el valor máximo de coeficiente de determinación para
se pasa de 0,88 a 0,95. La combinación de pronósticos también
mejora el RMSE en general dado que el valor promedio de los
errores para los métodos expertos comparados con los métodos
de combinación disminuye en un 8% aproximadamente para las
tres ventanas de pronóstico.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen el apoyo financiero brindado por el
Departamento Administrativo de Ciencia, Tecnología e
Innovación de Colombia (COLCIENCIAS) a través del
proyecto “Desarrollo de un sistema experto para la predicción
de caudales en Colombia” y al instituto Interamericano de
Cambio Global IAI.
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applications to modelling and control,” IEEE Transactions on Systems,
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Julian D. Rojo received the Bs. Eng in Civil Engineering in
2008, the MS degree in Water Resource Planning in 2010, both
of them from the Universidad Nacional de Colombia. Medellin,
Colombia. He is currently working toward the Ph.D. degree in
Water Resource Planning in the Facultad de Minas, Universidad
Naconal de Colombia, His research interests include:
hydrologic forecasting and water resources planning.
Luis F. Carvajal received the Bs. Eng in Civil Engineering in
1993, and the MS degree in Water Resource Planning in 1997,
both of them from the Universidad Nacional de Colombia.
Medellin, Colombia. Currently, he is an Associated Professor in
the Department of Geosciences and Environment, Facultad de
Minas, Universidad Nacional de Colombia. His research interests include:
hydrologic forecasting and water resources planning.
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 13, NO. 4, APRIL 2015
Juan D. Velásquez received the Bs. Eng in Civil Engineering
in 1994, the MS degree in Systems Engineering in 1997, and
the PhD degree in Energy Systems in 2009, all of them from the
Universidad Nacional de Colombia. Medellin, Colombia. From
1994 to 1999, he worked for electricity utilities and consulting
companies within the power sector and since 2000 for the
Universidad Nacional de Colombia. Currently, he is a Full Professor in the
Computing and Decision Sciences Department, Facultad de Minas, Universidad
Nacional de Colombia. His research interests include: simulation, modeling and
forecasting in energy markets; nonlinear time-series analysis and forecasting
using statistical and computational intelligence techniques; and optimization
using metaheuristics.

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