Hoja de ejercicios

Optimizaci´
on Geom´
etrica en Convexidad
´
Prof. Mar´ıa de los Angeles
Hern´andez Cifre
http://webs.um.es/mhcifre
EJERCICIOS
1.
a)
Demostrar que todo punto de un k-s´ımplice S tiene una u
´nica representaci´on como combinaci´on
convexa de sus v´ertices.
b)
Demostrar que si K ⊂ Rn es convexo, entonces cl K tambi´en es convexo.
2.
Sean A y B subconjuntos compactos no vac´ıos de Rn . Demostrar que existe un hiperplano H que
separa fuertemente A y B si, y s´
olo si, conv A ∩ conv B = ∅.
3.
a)
Demostrar que Bn (r)∗ = Bn (1/r).
b)
Si A ⊂ Rn no vac´ıo, demostrar que A = A∗ si, y s´olo si, A = Bn .
4.
En relaci´
on al teorema de Krein-Milman, dar un ejemplo de un conjunto convexo K tal que:
K sea no acotado y K = conv ext K.
K sea no acotado y K 6= conv ext K, con ext K 6= ∅.
K sea no cerrado y K 6= conv ext K, con ext K 6= ∅.
5.
Sea K ⊂ Rn convexo y cerrado. Demostrar que si F, G son dos caras distintas de K, entonces
relint F ∩ relint G = ∅.
6.
Sea K ∈ Kn . Demostrar las siguientes propiedades de la funci´on soporte.
a) h(K, λu) = λh(K, u) si λ ≥ 0 y h(K, u + v) ≤ h(K, u) + h(K, v).
b) hK ≤ hL si, y s´
olo si, K ⊂ L.
c) h(λK, · ) = λh(K, · ) para todo λ ≥ 0, y adem´as h(−K, u) = h(K, −u).
d)
7.
8.
9.
10.
Si representamos por K|E la proyecci´on ortogonal del conjunto K sobre un subespacio vectorial
E de Rn , se tiene que h(K| E, u) = h(K, u) para todo u ∈ E.
Calcular la funci´
on soporte del cross-politopo 2-dimensional C2∗ = conv{±e1 , ±e2 }.
Demostrar que D(K) = m´
ax ω(K, u) : u ∈ Sn−1 .
Demostrar que dado un cuerpo convexo K centralmente sim´etrico respecto al origen de coordenadas,
la expresi´
on |x|K := g(K, x), x ∈ Rn , define una norma en Rn para la cual K es la bola unidad.
Sean K, L ∈ Kn con K, L ⊆ RBn para R > 0. Demostrar que dados u, v ∈ Rn , se tiene que
h(K, u) − h(L, v) ≤ R|u − v| + m´ax |u|, |v| δ(K, L).
Concluir que la funci´
on soporte h : Kn × Rn −→ R es continua como una funci´on de dos variables.
11.
Demostrar que el volumen del conjunto c´
onico K = conv L ∪ {x} , donde L es un conjunto convexo
(n − 1)-dimensional y el punto x 6∈ aff L, es
vol(K) =
12.
1 hx, ui voln−1 (L).
n
Obtener, como consecuencia de la desigualdad de Brunn-Minkowski, la desigualdad isoperim´etrica:
S(K)n ≥
S(Bn )n
vol(K)n−1 .
vol(Bn )n−1
13.
Sea K ∈ Kn centralmente sim´etrico y sea Hc = x ∈ Rn : hx, ui = c , donde u ∈ Rn . Demostrar
que voln−1 (K ∩ Hc ) es m´
aximo cuando c = 0.
14.
Sean K, L ∈ Kn .
a)
Demostrar que
V(K, . . . , K, L) =
b)
1
vol(K + λL) − vol(K)
l´ım
.
n λ→0
λ
Si u ∈ Sn−1 , demostrar que
2
V K, . . . , K, [−u, u] = voln−1 (K|u⊥ ),
n
donde K|u⊥ representa la proyecci´on ortogonal de K sobre el hiperplano u⊥ .
15.
Sea K ∈ Kn con dim K = n y n ≥ 2. Sin p´erdida
de generalidad podemos
tomar la recta dada por
` = (x1 , 0, . . . , 0) : x1 ∈ R , y suponemos que K se
encuentra entre los hiperplanos paralelos
K(t)
K
b
a
ℓ
t
Bn−1 (a)
Bn−1 (t)
Bn−1 (b)
{x ∈ Rn : x1 = a} y {x ∈ Rn : x1 = b}, con a < b.
Para cada t ∈ [a, b], sea K(t) = K ∩ {x ∈ Rn : x1 = t},
y sea Bn−1 (t) la bola (n − 1)-dimensional
centrada en el
punto (t, 0, . . . , 0) con voln−1 Bn−1 (t) = voln−1 K(t) .
El simetrizado de Schwartz de K se define como
[
Ks =
Bn−1 (t).
t∈[a,b]
a
t
b
Sea r(t) =
1/(n−1)
voln−1 K(t) /voln−1 (Bn−1 )
el ra-
dio de Bn−1 (t).
a)
Demostrar que r(t) es una funci´on c´oncava en [a, b].
b)
Concluir que el simetrizado de Schwartz K s de un conjunto convexo K tambi´en es convexo, y
su volumen vol(K s ) = vol(K).

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